人教版高中数学必修四练习第二章《平面向量》质量评估

章末质量评估(二) 平面向量

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2012·江油市测试)若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中不正确的是

( )．

A.AB →与CD →

共线 B.AC →与BD →

相等

C.AD →与CB →

模相等，方向相反 D.AB →与CD →

模相等

解析 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB →＝DC →，故A ，D 正确；AC ＝BD 但AC →

与BD →的方向不同，故B 不正确；AD ＝CB 且AD ∥CB ，AD →与CB →

的方向相反，故C 正确． 答案 B

2．已知两点A (2，－1)，B (3,1)，与AB →

平行且方向相反的向量a 可能是( )． A ．a ＝(1，－2) B.a ＝(9,3) C ．a ＝(－1,2)

D.a ＝(－4，－8)

解析 ∵AB →＝(1,2)，∴a ＝(－4，－8)＝－4(1,2)＝－4AB →

，∴D 正确． 答案 D

3．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )·b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为( )． A ．3

B.－3

C ．0 D.2

解析 由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝6，

y ＝3.∴x －y ＝3.

答案 A

4．向量BA →＝(4，－3)，向量BC →

＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( )． A ．等腰非直角三角形 B.等边三角形 C ．直角非等腰三角形

D.等腰直角三角形

解析 ∵AC →＝BC →－BA →

＝(－2，－1)，

∴AC →·BC →＝－2×2＋(－1)×(－4)＝0，∴AC →⊥BC →. 又|AC →|≠|B C →|，

∴△ABC 是直角非等腰三角形． 答案 C

5．(2012·丰台测试)如图，在四边形ABCD 中，下列各式中成立的是( )． A.BC →－BD →＝CD → B.CD →＋DA →＝AC → C.CB →＋AD →＋BA →＝CD → D.AB →＋AC →＝BD →＋DC →

解析 BC →－BD →＝BC →＋DB →＝DC →，故A 错误；CD →＋DA →＝CA →，故B 错误；CB →

＋AD →＋BA →＝CB →＋BA →＋AD →＝CA →＋AD →＝CD →，故C 正确；BD →＋DC →＝BC →≠AB →＋AC →

，故D 错误． 答案 C

6．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，用a ，b 作基底可将c 表示为c ＝p a ＋q b ，则实数p ，q 的值为( )． A ．p ＝4，q ＝1 B.p ＝1，q ＝4 C ．p ＝0，q ＝4

D.p ＝1，q ＝－4

解析 ∵c ＝(3，－2)＝p a ＋q b ＝(－p ＋q,2p －q )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －p ＋q ＝3，2p －q ＝－2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧

p ＝1，q ＝4. 答案 B

7．已知向量a ＝(1，－2)，|b |＝4|a |，a ∥b ，则b 可能是( )． A ．(4,8) B.(8,4) C ．(－4，－8)

D.(－4,8)

解析 a ＝(1，－2)＝－1

4(－4,8)． 即b ＝－4a ，∴b 可能是(－4,8)． 答案 D

8．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 与b 的夹角为135°，则|b |＝( )． A ．12 B.3 C ．6

D.3 3 解析 －122＝|a |·|b |·cos 135°，且|a |＝4，故|b |＝6. 答案 C

9．关于船从两河岸平行的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是( )． A ．船垂直到达对岸所用时间最少 B ．当船速v 的方向与河垂直时用时最少 C ．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样 D ．以上说法都不正确

解析 根据向量将船速v 分解，当v 垂直河岸时，用时最少． 答案 B

10．设0≤θ<2π，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→

＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→

长度的最大值是( )． A. 2 B. 3 C ．3 2

D.2 3

解析 ∵P 1P 2→＝OP 2→－OP 1→

＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)， ∴|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cos θ≤3 2.

答案 C

11．点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →

，则点O

是△ABC 的( )．

A ．三个内角的角平分线的交点

B ．三条边的垂直平分线的交点

C ．三条中线的交点

D ．三条高的交点

解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫OA →－OC →·OB →＝0. ∴OB →·CA →＝0.

∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为垂心． 答案 D

12．如图所示，半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是( )．