高中数学(人教版必修2)第二章2.1.2

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

一、基础过关

1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是

( ) A ．异面

B ．平行

C ．相交

D ．以上都有可能

2．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则有

( ) A ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′

B ．∠BA

C ＋∠B ′A ′C ′＝180°

C ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′或∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°

D ．∠BAC ＞∠B ′A ′C ′

3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是

( )

A ．空间四边形

B ．矩形

C ．菱形

D ．正方形 4．“a 、b 为异面直线”是指：

①a ∩b ＝∅，且aD \∥b ；②a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b ＝∅；③a ⊂面α，b ⊂面β，且α∩β＝∅；④a ⊂面α，b ⊄面α；⑤不存在面α，使a ⊂面α，b ⊂面α成立．

上述结论中，正确的是

( ) A ．①④⑤

B ．①③④

C ．②④

D ．①⑤

5．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是________．

6．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中：

(1)BC ′与CD ′所成的角为________；

(2)AD 与BC ′所成的角为________．

7．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB

＝90°，BC 綊12

AD ， BE 綊12

F A ，

G 、

H 分别为F A 、FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；

(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？

8．如图，正方体ABCD －EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求：

(1)BE 与CG 所成的角；

(2)FO 与BD 所成的角．

二、能力提升

9.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是

( )

A ．MN ≥12(AC ＋BD )

B ．MN ≤12(A

C ＋B

D ) C ．MN ＝12

(AC ＋BD ) D ．MN <12(AC ＋BD ) 10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( ) A ．12对 B ．24对 C ．36对

D ．48对 11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB ⊥EF ；

②AB 与CM 所成的角为60°；

③EF 与MN 是异面直线；

④MN ∥CD .

以上结论中正确的序号为________．

12．已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，

(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；

(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．

三、探究与拓展

13．已知三棱锥A —BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M 、N 分别是BC 、

AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．

答案

1．D 2．C 3．B

4．D 5.平行或异面

6．(1)60° (2)45°

7．(1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，

可得GH 綊12AD .又BC 綊12

AD ， ∴GH 綊BC ，

∴四边形BCHG 为平行四边形．

(2)解 由BE 綊12

AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ， ∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .

由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，

∴EF 与CH 共面．

又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．

8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角， 又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°.

(2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ，

∴HD 綊FB ，

∴四边形HFBD 为平行四边形，

∴HF ∥BD ，

∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角．

连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ，

∴△AFH 为等边三角形，

又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°.

9．D 10．B

11．①③

12．(1)证明 假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从

而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同

一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF

与BD 是异面直线．

(2)解 取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相

交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在

Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12

AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.