高中数学必修二第二章 2.2.3课件
高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系课件2.2.2平行平面的判定
P
符号语言：
b a b P // a // b //
a
8
尝试性练习：
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1、下面的说法正确吗？ (1)、如果一个平面内有两条直线分别平行于另一 个平面,那么这两个平面平行.( ) (2)、如果一个平面内有无数条直线分别平行于另 一个平面,那么这两个平面平行.( ) (3)、如果一个平面内任意一条直线平行于另一个 平面,那么这两个平面平行.( )
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C1
D1 B1
A1
C
D B
1
复习：
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一、直线与平面平行的判定定理：
a b a // a // b
线面平行问题 直线与平面平行关系
空间问题 空间问题
1、定义：如果两个平面没有公共点，那么 这两个平面互相平行，也叫做平行平面.
（ 1 ）、平面平行于平面 ，记作： // .
(2)、 画法：
4
2、判定：
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探究：
（ 1 ）、若内有一条直线 a与平行， 则与平行吗？
× ×
9
品质来自专业 判定定理 :一个平面内两条相交直线分别 信赖源于诚信 平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 金太阳教育网
判定定理剖析： 1〉两条 条件要点：内有2〉相交 直线 3〉分别和平行
b
P
a
结论： // a 符号语言： b a b P // a // b //
高中数学必修二课件-2.2.3 两条直线的位置关系-人教B版
解法二a：)(∵2a直＋线3)＝l1⊥0，l2，解∴得(aa＝＋±2)(1a.－1)＋(1－
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 要[注点意评直] 线在的利斜用率k1是·k否2＝有－可1判能定不垂存直在关这系一时情，况一．定
已知直线 2ax＋y－1＝0 与直线(a－1)x＋ay
＋1＝0 垂直，则实数 a 的值等于( )
2.2.3 两条直线的位置关系
课前自主预习
课堂典例讲练
方思法想警方示法探技究巧
新知推广应用
课后强化作业
课前自主预习
k1k2 1
1．两直线垂直的条件 (1)l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2i ＋B2i ≠0)，
A1A2 Bl11B⊥2 l2⇔0 _____________________.
1
3
A.2
B.2
C．0 或12
D．0 或32
[答案] C [解析] 由已知，得2a(a－1)＋a＝0，∴a＝0或12.
两直线垂直的简单应用 过点 P－1，32且与直线 x－4y－1＝0 垂直的直线 方程是__________________．
[答案] 8x＋2y＋5＝0 [解析] 由题意，知所求直线的斜率为－4， 又∵直线过点P－1，32， ∴所求直线方程为y－32＝－4(x＋1)， 即8x＋2y＋5＝0.
A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝0
[答案] A
[解析] 直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线方程 为－x－y＋1＝0，即x＋y－1＝0.
点 P(－1,1)关于直线 ax－y＋b＝0 的对称点是
Q(3，－1)，则 a、b 的值依次是( )
高中数学必修2第二章点直线平面之间的位置关系211平面及其表示法(含习题课)PPT课件
1，2，3（1）（2）
21
补充练习金太：阳教育网
l 1、A为直线 l上的点，又点A不在平面
与 的公共点最多有 _______1个.
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内，则
2、四条直线过同一点，过每两条直线作一个平
面，则可以作_____1_或___4_或___6个不同的平面 .
22
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2
金实太阳教例育网引入
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观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？
3
一.平面金太的阳教育概网 念：
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光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现
实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空 间是无限延伸的。
文字语金言太阳：教育网 公理1.如果一条直线上两点品信质赖在来源自于专诚一业信 个平面内，那么这条直线在此平
面内（即这条直线上的所有的点
23
点、线金、太阳面教之育网间的位置关系及语言表达
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文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达
点A在直线a上 点A不在直线a上
A
a
A
a
A∈a A∈a
点A在平面α上 点A不在平面α上 直线a在平面α内
α
A
α
α
A
a a
A∈α A∈ α
aα
a b∩α＝A
直线a在平面α外 α
A α
a∩α＝φ 或 a∥α24
B A
B
CαA
C
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
高中数学第二章函数2.2.3待定系数法课件新人教B版必修1
(C)y=-x-1 (D)y=-x+1
解析:可将点
P、Q
坐标代入验证,也可由
2 3k b, 2 k b,
解得
k b
1, 1.
3.(2018·北京通州期中)已知函数f(x)=x2+bx+c的图象的对称轴是x=1,并且 经过点A(3,0),则f(-1)等于( C ) (A)6 (B)2 (C)0 (D)-4
思路点拨:表示点 B,D 坐标→代入抛物线方程求解析式→求 D 点坐标→求时间
解:(1)由题意,设抛物线的解析式为 y=ax2(a<0), 点 D 的坐标为(5,y),点 B 的坐标为(10,y-3), 又 D,B 在抛物线 y=ax2 上,
所以有
y y
25a, 3 100a,
变式训练4-:如图所示,有一条双向公路隧道,其横断面由抛物线和矩形 ABCO的三边组成,隧道的最大高度为4.9 m,AB=10 m,BC=2.4 m.现把隧道的 横断面放在平面直角坐标系中,若有一辆装有集装箱的高为4 m,宽为2 m的 汽车要通过隧道.问:如果不考虑其他因素,汽车的右侧离隧道右壁多少才 不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部,AO,BC为壁)?
即(x-5)2=9.解得 x1=8,x2=2. 显然 x2=2 不合题意,舍去.所以 x=8. OC-x=10-8=2. 故汽车应离开右壁至少 2 m,才不至于碰到隧道顶部.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
解析:f(x)=x2+bx+c,对称轴为 x= b =- b =1,得 b=-2, 21 2
高中数学 第二章 函数 2.2 一次函数和二次函数 2.2.3
2.2.3 待定系数法整体设计教学分析 在初中阶段，学生已经对待定系数法有了认知基础．由于待定系数法是解决数学问题的重要方法，所以本节进一步学习．教材利用实例引入了待定系数法，并且通过两个例题介绍了其应用．值得注意的是本节重点应放在运用待定系数法求函数的解析式上，对于其他方面的应用不必过多延伸．三维目标1．了解待定系数法，通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲，培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力．2．掌握用待定系数法求函数解析式的方法及其应用，提高学生解决问题的能力． 重点难点教学重点：待定系数法及其应用． 教学难点：待定系数法的应用． 课时安排 1课时教学过程 导入新课思路1.已知一次函数y ＝f(x)的图象经过点(1,2)和(2，－1)，求一次函数y ＝f(x)的解析式，我们用什么方法？(待定系数法)教师指出本节课题．思路 2.这节课我们学习求一次函数和二次函数解析式的方法——待定系数法，教师指出本节课题．推进新课 新知探究 提出问题①两个关于x 的一元多项式ax 2－x ＋4与2x 2＋bx ＋c 相等，即任意x ∈R ，总有ax 2－x ＋4＝2x 2＋bx ＋c ，求a ，b ，c 的值.②两个一元多项式相等的条件是什么？③已知一次函数y ＝f x 的图象经过点1，2和2，－1，求一次函数y ＝f x 的解析式即前面导入中的问题.④这种求函数解析式的方法称为什么？ ⑤待定系数法有什么优点？讨论结果：①a＝2，b ＝－1，c ＝4.②两个一元多项式分别整理成标准式(按降幂排列)之后，当且仅当它们对应同类项的系数相等，则称这两个多项式相等．③设f(x)＝kx ＋b(k≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－1，解得k ＝－3，b ＝5.即f(x)＝－3x ＋5. ④待定系数法．⑤待定系数法的特点是先根据数量之间的关系所具有的形式，假定一个含有待定的系数的恒等式，然后根据恒等式的性质列出几个方程，解这个方程组，求出各待定系数的值或从方程组中消去这些待定系数，找出原来那些已知系数之间的关系，从而使问题得到解决．应用示例思路1例1已知一个二次函数f(x)，f(0)＝－5，f(－1)＝－4，f(2)＝－5，求这个函数．解：设所求函数为f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c 待定．根据已知条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧0＋0＋c ＝－5，a －b ＋c ＝－4，4a ＋2b ＋c ＝5，解此方程组，得a ＝2，b ＝1，c ＝－5.因此所求函数为f(x)＝2x 2＋x －5.点评：求二次函数解析式可用待定系数法，已知图象上任意三点的坐标时，二次函数解析式设为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；已知顶点坐标时，二次函数解析式设为顶点式y＝a(x －m)2＋n(a≠0)比较简便；已知抛物线与x 轴的两个交点的坐标，或一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐标时，二次函数解析式设为零点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)比例2已知y ＝f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，求这个函数的解析式．解：设f(x)＝kx ＋b(k≠0)， 其中k ，b 待定．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2(2k ＋b)－3(k ＋b)＝5，2b －(－k ＋b)＝1，解得k ＝3，b ＝－2，即这个函数的解析式f(x)＝3x －2.点评：用待定系数法求函数解析式的一般步骤是： (1)设出函数解析式，其中包括待定的系数；(2)把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组． (3)解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数解析式.例1已知f(x)＝ax ＋7，g(x)＝x 2＋2x ＋b ，且f(x)＋g(x)＝x 2＋22x ＋9，试求a 、b 的值．解：f(x)＋g(x)＝ax ＋7＋x 2＋2x ＋b ＝x 2＋(2＋a)x ＋(7＋b)，则⎩⎨⎧2＋a ＝22，7＋b ＝9，解得a ＝2，b ＝2.点评：对任意x∈R ，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ＝a′x 2＋b′x＋c′⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝a′，b ＝b′，c ＝c′.例2一根弹簧原长是12厘米，它能挂的重量不超过15 kg ，并且每挂重量1 kg 就伸长0.5厘米，挂后的弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)是一次函数的关系．(1)求y 与x 的函数解析式； (2)写出函数的定义域； (3)画出这个函数的图象． 解：(1)设y ＝kx ＋b(k≠0)．由于弹簧原长是12厘米，则f(0)＝12，所以b ＝12， 每挂重量1kg 就伸长0.5厘米，则k ＝0.5， 所以y 与x 的函数解析式是y ＝0.5x ＋12. (2)[0,15]．(3)图象如下图所示．点评：解决本题的关键是审清题意，读懂题．弹簧原长是12厘米是指当x ＝0时，y ＝12；每挂重量1 kg 就伸长0.5厘米，是指斜率k ＝0.5.知能训练1．已知在x 克a%的盐水中，加入y 克b%的盐水，浓度变为c%，将y 表示成x 的函数关系式( )A ．y ＝c －a c －b xB ．y ＝c －a b －c xC ．y ＝c －b c －a xD ．y ＝b －c c －a x解析：由题意得xa%＋yb%x ＋y ＝c%，解得y ＝c －a b －cx.答案：B2．二次函数的图象过点A(0，－5)，B(5,0)两点，它的对称轴为直线x ＝3，求这个二次函数的解析式．解：∵二次函数的图象过点B(5,0)，对称轴为直线x ＝3，∴设抛物线与x 轴的另一个交点C 的坐标为(x 1,0)，则对称轴：x ＝x 1＋x 22， 即5＋x 12＝3，∴x 1＝1.∴C 点的坐标为(1,0)． 设二次函数解析式为y ＝a(x －1)(x －5)，又∵图象过A(0，－5)，∴－5＝a(0－1)(0－5)，即－5＝5a.∴a＝－1.∴y＝－(x －1)(x －5)＝－x 2＋6x －5. 拓展提升二次函数图象经过点(1,4)，(－1,0)和(3,0)三点，求二次函数的解析式．解法一：设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)， ∵二次函数图象过点(1,4)，(－1,0)和(3,0)， ∴a＋b ＋c ＝4，①a－b＋c＝0，②9a＋3b＋c＝0，③解得a＝－1，b＝2，c＝3，∴函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3.解法二：∵抛物线与x轴相交两点(－1,0)和(3,0)，∴1＝－1＋32.∴点(1,4)为抛物线的顶点．设二次函数解析式为y＝a(x＋h)2＋k，∴y＝a(x－1)2＋4.∵抛物线过点(－1,0)，∴0＝a(－1－1)2＋4，得a＝－1.∴函数的解析式为y＝－1(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.解法三：由题意可知两根为x1＝－1、x2＝3，设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，∵函数图象过点(1,4)，∴4＝a(1＋1)(1－3)，得a＝－1.∴函数的解析式为y＝－1(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.课堂小结本节课学习了待定系数法及其应用．作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节教学设计中，注重了待定系数法的应用，其理论基础只是简单地作了介绍，这符合课程标准．教师在实际教学中可以对教材适当拓展以适应高考的要求．备课资料待定系数法1．要确定变量间的函数关系，根据所给条件设出某些未定系数，并确定这一关系式的基本表达形式，从而进一步求出表达式中含有的未定系数的方法，叫做待定系数法．其理论依据是多项式恒等原理．也就是依据了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有f(a)≡g(a)．或者两个标准多项式中各同类项的系数对应相等．待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未定系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．要判断一个问题是否用待定系数法求解．主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式．如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，设出含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；第三步，解方程或方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．2．运用待定系数法求二次函数的解析式时，一般可设出二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，但如果已知函数的对称轴或顶点坐标或最值，则解析式设为y＝a(x－h)2＋k 会使求解比较方便，具体来说：(1)已知顶点坐标为(m，n)，可设y＝a(x－m)2＋n，再利用一个独立条件求a；(2)已知对称轴方程x＝m，可设y＝a(x－m)2＋k，再利用两个独立的条件求a与k；(3)已知最大值或最小值为n，可设y＝a(x＋h)2＋n，再利用两个独立条件求a与h；(4)二次函数的图象与x轴只有一个交点时，可设y＝a(x＋h)2，再利用两个独立条件求a与h.对于用待定系数法求二次函数的解析式，在课堂上要展开讨论，要让学生探索所需的已知条件，然后可由学生自行设计问题、解决问题．。
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修
一级达标重点名校中学课件
2．本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝D→E，b＝D→F，用a，b表示D→B. [解] 由题意ab＝＝A12→A→BB－－12AA→→DD，， 解得 AA→→BD＝＝4323aa－－2343bb，， 所以D→B＝A→B－A→D＝23a＋23b.
一级达标重点名校中学课件
A，B，D三点共线．
(2)先用共线向量定理引入参数λ得
→ AP
＝λ
→ AB
，再用向量减法的几何意义向
O→P＝xO→A＋yO→B变形，最后对比求x＋y.
一级达标重点名校中学课件
(1)A，B，D
[(1)∵
→ AB
＝e1＋2e2，
B→D＝
B→C＋
→ CD
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝
2(e1＋2e2)＝2A→B.
A [对于①，b＝－a，有a∥b； 对于②，b＝－2a，有a∥b； 对于③，a＝4b，有a∥b； 对于④，a与b不共线．]
一级达标重点名校中学课件
4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b. 【导学号：84352202】
－57 [由题意知a＝－57b.]
一级达标重点名校中学课件
一级达标重点名校中学课件
2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是( )
A.A→B＝3B→C
B.A→C＝2B→C
C.A→C＝12B→C
D.A→C＝2C→B
D [由题意可知：A→B＝－3B→C；A→C＝－2B→C＝2C→B.故只有D正确．]
一级达标重点名校中学课件
3．如图2-2-27，在平行四边形ABCD中，对角线AC 与BD交于点O，A→B＋A→D＝λA→O，则λFra bibliotek________.
数学：2.2.3《直线与平面平行的性质》课件(新人教A版必修2)
C1
A1
D
FLeabharlann B1C BA例题示范 例2：有一块木料如图，已知棱 BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面 A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应 怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？
（2）因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'与平 面A'C'交于B'C'，所以BC∥B'C'，由（1）知， EF∥B'C'，所以，EF∥BC，因此，EF//BC, EF平面AC,BC平面AC.所以,EF//平面AC. BE、CF显然都与平面AC相交。
线面平行 线线平行
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直 线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线 平行。
作业：P62 5、 6题.
例题示范
如图,已知直线a,b,平面α, 且a//b,a//α ,a,b都在平面 α 外.求证:b//α.
证明:过a作平面β ,使它与 平面α相交,交线为c. 因为a//α,a β ,α Çβ =c, 所以 a// c. 因为a//b,所以,b//c. 又因为c α, b α, 所以 b// α。
证明：∵α ∩β ＝b，∴bα ∵ a∥α ，∴a与b无公共点， ∵aβ ，bβ ，∴a∥b。
我们可以把这个结论作定理来用.
直线与平面平行的性质定理： 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的 任一平面与这个平面的交线与该直线平行。 符号表示：
a // , a , b
提出问题、引入新课
提出问题:如果已知直线与平面平 行，会有什么结论？
直线与平面平行的性质
探研新知
探究1.如果一条直线与平面平行，那么 这条直线是否与这个平面内的所有直线 都平行？ 这条直线与这个平面内有多少条直线平 行？
人教版高中数学必修二课件-第二单元
公理1：若一条直线的两点在一个平面内， 则这条直线上所有的点都在这个平面内, 即:这条直线在这个平面内。
即: A∈且B∈ AB
A AB B
作用:用于判定线在面内
A
B
结论2 ：空间中线与面的位置关系
直线a在平面 内 记作：a
直线a在平面外
3.记法: B ①平面α、平面β、平面γ（标记在边上） ②平面ABCD、平面AC或平面BD
A
B
A
巩固: 判断下列各题的说法正确与否，在正 确的说法的题号后打 ，否则打 . 1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
3、一个平面的面积是 25 cm 2； 4、平面是无限延展、没有厚度的 ；
记作：a
强调: 空间中点与线(面)只有∈和 关系 空间中线与面只有 与 的关系 推导符号“”的使用： 条件1 结论 条件结论 条件2
｝
思考2:固定一扇门需要几样东西？
回答:确定一个平面需要什么条件?
公理2：过不在同一条直线上的三点,有 且只有一个平面。
B
A
C
A、B、C不共线 A、B、C确定一个平面 作用:用于确定一个平面.
1
（2）若直线过焦点则可考虑利用第二定义,将弦长转 化为弦的端点到相应准线距离的和与离心率的 乘积,在应用时要注意区分两种情形: ① 如果两点在同一支上,那么| AB |=| AF1 | | BF1 | (见图一) ② 如果两交点分别在两支上,那么| AB |=|| AF1 | | BF1 || (见图二)
点A是线段
的中点？ PP 1 2
这样的直线 弦长|
l如果存在，求出它的方程及
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.3第二课时两条直线垂直的条件课件 新人教B版必修2
点评】 【点评】
对称， 设P与P′关于直线 对称，则几何条 与 ′关于直线l对称
件为PP′ ， 件为 ′ ⊥ l， 且 PP′ 的中点在直线 上 ， 转化 ′ 的中点在直线l上 为代数式后即可解得所求点的坐标． 为代数式后即可解得所求点的坐标．
跟踪训练3 跟踪训练
已知直线l： ＋ － ＝ ，试求： 已知直线 ：x＋2y－2＝0，试求：
(2)线关于点的对称直线 线关于点的对称直线 直线l： ＋ ＋ ＝ 关于 关于P(x0 ， y0)的对称直线为 直线 ： Ax＋ By＋ C＝ 0关于 的对称直线为 A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0 ＋ ＋ ＝ ___________________________. (3)线关于线的对称性 线关于线的对称性 设直线l：Ax＋By＋C＝0， 设直线 ： ＋ ＋ ＝ ， ＋ － ＋ ＝ 关于x轴对称的直线是 ①l关于 轴对称的直线是：___________________； 关于 轴对称的直线是： Ax＋B(－y)＋C＝0 ； － ＋ ＋ ＝ 关于y轴对称的直线是 ②l关于 轴对称的直线是：__________________； 关于 轴对称的直线是： A(－x)＋By＋C＝0 ； 关于原点对称的直线是： ③ l关于原点对称的直线是 ： ____________________； 关于原点对称的直线是 ； A(－x)＋B(－y)＋C＝0 － ＋ － ＋ ＝ 关于y＝ 对称的直线是 对称的直线是： ④l关于 ＝x对称的直线是：______________； 关于 ； ＋ 的 直 ⑤ l 关 于 直 线 y ＝ － xBx＋称 ＋C＝0 线 是 ： 对 Ay＋ ＝ __________________________. A(－y)＋B(－x)＋C＝0 － ＋ － ＋ ＝
高中数学 第二章《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》课件3 新人教A版必修2
说明理由.
（2）设E、F分别是A1B和B1C的中点，求证直线
EF//平面ABCD.
D1
C1
M A1
D
E
A
G
B1 F C
H B
小结
直线与平面平行的判定定理可简述为
“线线平行，则线面平行”
思想方法
通过直线间的平行，推证直线与平面平 行，即将直线与平面的平行关系（空间问题） 转化为直线间的平行关系（平面问题）.
A α
M βB
C
N E
D
l
练习1
如果三个平面两两相交，那么它们的交线 位置如何？
bβ
γ l
α
β γα
ab l a
相交于一条交线 三条交线两两平行
三条交线相交 于一点
应用举例
练习2 一条斜线和两个平行平面相交，求证它和两
个平面所成的角相等．
小结
1. 知识小结 几个结论和性质的应用
2. 思想方法
面面平行
( ）-网校通名校系列资料上，下精品资料！ •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/62021/9/62021/9/6Sep-216-Sep-21
•12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/62021/9/62021/9/6Monday, September 06, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/62021/9/62021/9/62021/9/69/6/2021
D′
高中数学课件：第二章 2.2.3 第一课时 两条直线相交、平行与重合的条件
[通一类] 3．求经过直线l1：x－y＋1＝0与l2：x＋2y－5＝0的交点且 斜率为－1的直线的方程．
x－y＋1＝0 解：法一：由题意，得 x＋2y－5＝0
法二：所求直线方程为 x＋3y－4＋λ(5x＋2y＋6)＝0(λ∈R)． 将点 A(2,3)的坐标代入，有 7 2＋3×3－4×λ(5×2＋2×3＋6)＝0，∴λ＝－22， 7 故所求直线为 x＋3y－4－22(5x＋2y＋6)＝0， 即 x－4y＋10＝0.
[悟一法]
(1)两条直线的交点坐标是直线方程对应方程组的解；
提示：不一定．当A2· 2＝0时不成立． B
3．下列各组直线中，相交的有哪些？平行的有哪些？ (1)a：2x－y＋1＝0；b：x＋2y＝0 (2)c：y＝2x＋3；d：x－y＋1＝0 (3)e：x－3y＝0；f：2x－6y＋4＝0 1 (4)g：2x＋y－1＝0；h：4x＋2y－2＝0
提示：相交的有(1)(2)；平行的有(3)(4)．
[研一题] [例2] (1)求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平 行的直线方程； (2)求过点P(3,2)且与经过点A(0,1)，B(－2，－1)的直 线平行的直线方程．
[自主解答]
2 (1)法一：已知直线的斜率为－3，因为所
2 求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是－3，根据点斜 2 式，得到所求直线的方程是 y＋4＝－3(x－1)， 即 2x＋3y＋10＝0.
有无数 个解
重合
A1 B1 C1 λC2(λ≠0) 或 A ＝ B ＝ C
2 2 2
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修2
∴n＝－1，
∴所求直线方程为 x＋2y－1＝0.
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
25
程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
【知识点拨】 (1)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直 的直线方程为 Bx－Ay＋m＝0；
(2)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线方程为 Ax＋By＋n＝0(n≠C)．
已知两直线 l1：x＋my＋3＝0，l2：(m－
1)x＋2my＋2m＝0，若 l1∥l2，则 m 为( )
A．0
B．－1 或12
C．3
D．0 或 3
解析：由 1·2m－m(m－1)＝0，得 m＝0 或 m＝3.
当 m＝3 时，l1：x＋3y＋3＝0，l2：2x＋6y＋6＝0，
l1 与 l2 重合，∴m≠3；
根据下列条件，分别求直线方程： (1)经过点 A(3,0)且与直线 2x＋y－5＝0 垂直的直线方程； (2)经过直线 x－y－1＝0 与 2x＋y－2＝0 的交点，且平行于 直线 x＋2y－3＝0 的直线方程．
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
23
程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
A．2
B．－2
C．12
D．－12
【解析】 由 l1⊥l2，得 m＋2×(－1)＝0，∴m＝2.故选 A．
【答案】 A
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
20
程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
直线 y＝kx 与直线 y＝2x＋1 垂直，则 k
等于( )
A．－2
2020_2021学年高中数学第二章解析几何初步2.2.3.2圆与圆的位置关系课件北师大版必修2
半径为 3 的圆与 x 轴相切，且与圆 x2＋(y－1)2＝1 外切，求 此圆的方程．
解：因为所求圆的半径为 3，且与 x 轴相切， 所以设圆心坐标为(a，－3)或(a,3)． 又因为所求圆与圆 x2＋(y－1)2＝1 外切， 所以 a2＋4＝4 或 a2＋16＝4， 即 a＝±2 3或 a＝0.所以所求圆的方程为(x±2 3)2＋(y－3)2 ＝9 或 x2＋(y＋3)2＝9.
【解】 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则
a－12＋b2＝r＋1，
ba＋－33＝ 3，
|a＋ 2
3b|＝r，
a＝4， 解得b＝0，
r＝2，
a＝0， 或b＝－4 3，
r＝6.
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4 或 x2＋(y＋4 3)2＝36.
规律方法 处理两圆相切问题，首先必须准确把握是内切还 是外切，若只是告诉两圆相切，则必须分两圆内切和两圆外切两 种情况讨论；其次，根据两圆相切，列出两圆的圆心距与两圆半 径之间的关系式．
规律方法 判断两圆的位置关系通常用几何法，这种方法比 较直观，容易理解．设⊙O1 的半径为 r1，⊙O2 的半径为 r2，则 有如下关系：
(1)相交⇔|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2；
(2)相切内外切切⇔⇔||OO11OO22||＝＝r|r11＋－rr22；|， (3)外离⇔|O1O2|>r1＋r2； (4)内含⇔|O1O2|<|r1－r2|.
(1)已知两圆的方程分别为圆 C1：x2＋y2＝81 和圆 C2：x2＋ y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是( C )
A．相离
B．相交
C．内切
D．外切
解析：圆 C1 的圆心为 C1(0,0)，半径长 r1＝9；圆 C2 的方程 化为标准形式为(x－3)2＋(y－4)2＝42，圆心为 C2(3,4)，半径长 r2 ＝4，故|C1C2|＝ 3－02＋4－02＝5.又 r1－r2＝5，∴|C1C2|＝r1 －r2，∴圆 C1 和圆 C2 内切．故选 C.
高中数学人教A版必修二第二章平面课件
S=面数+棱数+顶点数+1
证明三线共面,可先证其中两条直线共面,再证第三条直线也在此平面内.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内.
（ ）几何里的平面是平滑，无厚度，可无限延展的. 1 ∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.
经过不共线的三点有且只有一个平面
点评：几何里的平面的特征:
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面
2 3、4 4、6、7、8
变式引申： （1）长方体的六个面所在平面把空间分成几部分？
27 （2）三棱锥的四个面所在平面把空间分成几部分？
15
结论：
凸多面体个面所在平面分空间成的部分数S为:
S=面数+棱数+顶点数+1
eg:一条直线和两条平行线都相交,求证:这三条直线共面.
又∵l2⊂α，∴B∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. 不同.
直线也在此平面内.
已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝ C. 求证：直线l1、l2、l3在同一平面内. 证明 方法一 (纳入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可
证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.
证明三线共面,可先证其中两条直线共面,再证第三条直线也在此平面内.
2 2 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
经过两条平行直线，有且只有一个平面
22
求证:a,b,l三线共面
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内. ∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内.
人教版高中数学必修二全册教学课件ppt
开
关
答 旋转轴叫做圆台的轴，垂直于轴的边
旋转而成的圆面叫做圆台的底面，斜边旋
转而成的曲面叫做圆台的侧面，斜边在旋
转中的任何位置叫做圆台侧面的母线．
圆台用表示它的轴的字母表示，如上图的圆台表示为圆台 O′O.
研一研·问题探究、课堂更高效
填一填 研一研 练一练
问题 3 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点
答案 图1是由圆柱中挖去圆台形成的， 图2是由球、棱柱、棱台组合而成的.
答案
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达标检测
1.下图是由哪个平面图形旋转得到的( D )
1 23 4
答案
2.下列说法正确的是( D ) A.圆锥的母线长等于底面圆直径 B.圆柱的母线与轴垂直 C.圆台的母线与轴平行 D.球的直径必过球心
解析 圆锥的母线长与底面直径无联系； 圆柱的母线与轴平行； 圆台的母线与轴不平行.
答案
球的结构特征
球
图形及表示
定义：以 半圆的直径 所在直线为旋转轴， 半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体， 简称球
相关概念： 球心：半圆的 圆心 半径：半圆的 半径 直径：半圆的 直径
图中的球表示为： 球O
答案
知识点五 简单组合体
思考 下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗？ 它们是如何构成的？
课
时
上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物
栏 目
和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体．本节我
开 关
们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征．
填一填 研一研 练一练
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 圆柱的结构特征
问题 1 如图所示的空间几何体叫做圆柱，那么圆
2020届高中数学分册同步讲义(必修2) 第2章 2.2.3 直线与平面平行的性质
2.2.3直线与平面平行的性质学习目标 1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行.2.结合具体问题体会转化与化归的数学思想.知识点直线与平面平行的性质定理1.若直线l∥平面α，且b⊂α，则l∥b.(×)2.若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线.(×)3.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.(×)4.若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则b∥α.(×)题型一线面平行性质的直接应用例1已知直线a∥平面α，a⊂平面β，α∩β＝b，b∥平面γ，α∩γ＝c.求证：a∥c.证明∵a∥α，a⊂β，β∩α＝b，∴a∥b，又∵b∥γ，b⊂α，α∩γ＝c，∴b∥c，∴a∥c.反思感悟直接应用线面平行的性质定理，关键是摆全定理中有三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②直线a在平面β内，即a⊂β；③平面α，β相交，即α∩β＝b.三个条件缺一不可.跟踪训练1如图所示，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，则()A.MN∥PDB.MN∥P AC.MN∥ADD.以上均有可能答案 B解析四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，因为MN⊂平面P AC，平面P AC∩平面P AD＝P A，所以由直线与平面平行的性质定理可得，MN∥P A.题型二线面平行的判定与性质的交替应用例2如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题证明连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.引申探究本例条件不变，求证：GH ∥平面P AD . 证明 由例2证得AP ∥GH . 又AP ⊂平面P AD ，GH ⊄平面P AD ， ∴GH ∥平面P AD .反思感悟 线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行.跟踪训练2 如图，在五面体EF －ABCD 中，已知四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，求证：AD ∥EF .证明 ∵AD ∥BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF ， ∴AD ∥平面BCEF ，∵AD ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面BCEF ＝EF ， ∴AD ∥EF .线面平行性质的综合应用典例 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，求线段FE 的长度.考点 直线与平面平行的性质 题点 与线面平行性质有关的计算 解 ∵EF ∥平面AB 1C ，又平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，EF ⊂平面ADC ， ∴EF ∥AC ， ∵E 是AD 的中点， ∴EF ＝12AC ＝12×22＝ 2.[素养评析] (1)利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点①根据已知线面平行关系推出线线平行关系.②在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系.③利用所得关系计算求值.(2)逻辑推理是数学核心素养之一.1.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定答案 A2.如图，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A.EF与BC相交B.EF∥BCC.EF与BC异面D.以上均有可能答案 B3.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 A解析因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.4.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算答案 5解析因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5.5.已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG是________四边形.答案平行1.在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.2.要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.一、选择题1.如果a，b是两条异面直线，且a∥α，那么b与α的位置关系是()A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.不确定答案 D2.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A.平行B.平行或异面C.平行或相交D.异面或相交考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 B解析由AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，得CD∥α，所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面.3.已知a，b表示直线，α表示平面，给出下列说法：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α，其中正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 A4.已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线()A.有无数条，不一定在平面α内B.只有一条，不在平面α内C.有无数条，一定在平面α内D.只有一条，且在平面α内答案 D5.对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是()A.如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥αB.如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交C.如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD.如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 C解析由线面平行的性质定理知C正确.6.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行或异面考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 A解析由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又∵EF ∥AB ，∴GH ∥AB .7.如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，AC 交BD 于点O ，E 为AD 中点，F 在P A 上，AP ＝λAF ，PC ∥平面BEF ，则λ的值为( )A.1B.32C.2D.3答案 D解析 设AO 交BE 于点G ，连接FG . ∵O ，E 分别是BD ，AD 的中点， ∴AG AO ＝23，AG AC ＝13. ∵PC ∥平面BEF ，平面BEF ∩平面P AC ＝GF ， ∴GF ∥PC ，∴AF AP ＝AG AC ＝13，∴λ＝3.8.在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当BD ∥平面EFGH 时，下面结论正确的是( ) A.E ，F ，G ，H 一定是各边的中点 B.G ，H 一定是CD ，DA 的中点C.BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GCD.AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC 考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质判定位置关系 答案 D解析 由于BD ∥平面EFGH ，所以有BD ∥EH ，BD ∥FG ，则AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC .二、填空题9.直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线有____条. 考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质判定位置关系 答案 0或1解析 过直线a 与交点作平面β，设平面β与α交于直线b ，则a ∥b ，若所给n 条直线中有1条是与b 重合的，则此直线与直线a 平行，若没有与b 重合的，则与直线a 平行的直线有0条.10.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若过A ，C ，B 1三点的平面与底面A 1B 1C 1D 1的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________. 答案 A 1C 1∥l解析 因为平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ∥平面A 1B 1C 1D 1.又平面ACB 1经过直线AC 与平面A 1B 1C 1D 1相交于直线l ， 所以AC ∥l .又因为A 1C 1∥AC ，所以A 1C 1∥l .11.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.考点 直线与平面平行的性质 题点 与线面平行性质有关的计算 答案223a 解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMNQ ∩平面AC ＝PQ ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a3.三、解答题12.如图，四边形ABCD 是矩形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于点E ，交DP 于点F ，求证：四边形BCFE 是梯形.考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质证明平行问题证明 ∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ∥AD . ∵AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ， ∴BC ∥平面P AD .∵平面BCFE ∩平面P AD ＝EF ， ∴BC ∥EF .∵AD ＝BC ，AD ≠EF ，∴BC ≠EF ， ∴四边形BCFE 是梯形.13.已知AB ，CD 为异面线段，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，过E ，F 作平面α∥AB .求证：CD ∥α.证明 如图，连接AD 交平面α于点H ，连接EH ，FH ，因为AB ∥α，AB ⊂平面ABD ，且平面ABD ∩α＝FH ， 所以AB ∥HF .又因为F 为BD 中点， 所以H 为AD 中点，又E 为AC 中点，所以EH ∥CD ，又因为EH ⊂α，CD ⊄α，故CD ∥α.14.如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则下列命题中错误的是( )A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC＝BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 C解析由题意知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，则AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D 正确；C是错误的，故选C.15.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC 上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题解若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF.因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，所以BFNM是平行四边形，所以MN∥BF，MN＝BF＝1.而EC ∥FB ，EC ＝2FB ＝2，所以MN ∥EC ，MN ＝12EC ＝1， 故MN 是△ACE 的中位线. 所以当M 是AC 的中点时， MB ∥平面AEF .。
2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件 第二章§2.3第二课时
9 2 24 3－5 ＝ ， 5
2
24 . 5 综上可得，两圆公共弦所在的直线方程为 3x－4y＋6＝ 0， 24 公共弦长为 . 5
栏目 导引
第二章
解析几何初步
【名师点评】
求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两
个圆的方程相减即可．这是因为若两圆相交，其交点坐标必
须满足相减后的方程；另一方面，相减后的方程为二元一次
第二章
解析几何初步
第二课时 圆与圆的位置关系
栏目 导引
第二章
解析几何初步
学习导航
学习目标 圆与圆位置关 掌握 实例 ― ― → 系的几何特征 ― ― →
理解
圆与圆的位置关 系的判定及应用 重点难点 重点：圆与圆的位置关系的判定及应用． 难点：两圆相交时与公共弦有关的问题．
栏目 导引
第二章
解析几何初步
相交 ， 方程组___
外离或内含 ． 无实数解⇔ 两圆 ______________
栏目 导引
第二章
解析几何初步
想一想
两圆相切或相交时，两圆的连心线有何特征？
提示：当两圆相切时，两圆圆心与切点在同一直线上；两圆 相交时，两圆连心线垂直平分公共弦.
方程，即直线的一般方程，故此方程即为两圆公共弦所在的 直线方程，而在求两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思 想方法的灵活运用．
栏目 导引
第二章
解析几何初步
互动探究 2.在本例中，若M，N为圆C1，圆C2的外公切线的两切点(如 图所示)，试求MN的长度及梯形MNC2C1的面积．
栏目 导引
第二章
解析几何初步
栏目 导引
第二章
解析几何初步
典题例证技法归纳
高中数学2.2.3直线的一般式方程课件新人教A版选择性必修第一册
[规律方法] 已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或取值范 围的步骤
【对点训练】❷ 若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直 线．
[规律方法] 一般式在直线平行、垂直中的应用 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)平行：①A2，B2，C2 均不为 0，l1∥l2⇔AA12＝BB12≠CC12； ②A2，B2 中有一个为 0，则根据 A1，B1 是否为 0 判断位置关系； ③若 C2 为 0，则根据①只需判断 A1，B1 与 A2，B2 的关系． (2)垂直：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．
[规律方法] 直线的一般式方程的特征． 求直线方程时，要求将方程化为一般式方程，其形式一般作如下设 定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y 项、常数项的顺序排列．
【对点训练】❶ (1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般
式．
①斜率是－12，且经过点 A(8，－6)的直线方程为____x＋__2_y_＋__4_＝__0____；
[分析] 利用在一般式方程下，两直线平行或垂直的条件求解．
[解析] (1)由2×3－m(m＋1)＝0，得m＝－3或m＝2． 当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然l1与l2不重合，∴l1∥l2． 同理，当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重 合，l1∥l2，故m的值为2或－3． (2)由直线l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1． 故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2．
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本
课
行，所以直线 a 与平面 α 内的任何直线无公共点，所以 a，
时 栏
b 两直线平行．
目 开
小结 线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过
关
这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：
线面平行则线线平行．
问题 5 线面平行性质定理用符号语言如何表述？
答 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
栏
得 a∥β；
目 开
又 a⊂α，a⊄β，β∩α＝c，得 a∥c，
关
所以 a∥b∥c.
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2.2.3
探究点二 线面平行的性质定理的应用
问题 1 如果直线 a 与平面 α 平行，那么经过平面内一点 P
且与直线 a 平行的直线怎样定位？
答 直线 a 与平面 α 内一点 P 确定一个平面，设这个平面与
连接 GO，OO′，GO′，
则梯形的高 GO′＝
a2＋
42a2＝3
4
2 a.
所以梯形的面积为12( 22a＋ 2a)×3 42a＝98a2.
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2.2.3
例 3 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，
求证：另一条也平行于这个平面．
已知 如图，直线 a、b，平面 α，且 a∥b，a∥α，
也提供了一种作 平行线 的重要方法．
Байду номын сангаас
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2.2.3
本 [问题情境]
课
直线与平面平行的判定定理解决了直线与平面平行的条件
时
栏
问题，反之，在直线与平面平行的条件下，可以得到什么
目
开
结论呢？本节我们就来研究这个问题．
关
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2.2.3
探究点一 直线与平面平行的性质定理
问题 3 如果直线与平面平行，那么经过直线的平面与平面
有哪几种位置关系？
答 经过直线 a 的平面 α 与平面平行或相交．
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2.2.3
问题 4 如果直线 a 与平面 α 平行，经过直线 a 的平面 α 与
平面相交于直线 b，那么直线 a，b 的位置关系如何？为
什么？
答 直线 a，b 的位置关系为平行．因为直线 a 与平面 α 平
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2.2.3
例 1 如图，a∥α，a⊂β，α∩β＝b.求证： a∥b.
证明 因为 α∩β＝b，所以 b⊂α.
本 课
又因为 a∥α，所以 a 与 b 无公共点．
时 栏
又因为 a⊂β，b⊂β，所以 a∥b.
目 开
小结 用线面平行的性质定理可以判定两直线是否平行，同
关
时也提供了一种作平行线的方法．
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2.2.3
跟踪训练 1 如图，平面 α、β、γ 两两相交，a，
b，c 为三条交线，且 a∥b.那么，a 与 c，b 与
c 有什么关系？为什么？
本
解 a 与 c，b 与 c 的关系为：a∥b∥c.
课 时
因为 γ∩α＝a，β∩γ＝b，α∩β＝c，且 a∥b，由 b⊂β，a⊄β，
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2.2.3
跟踪训练 2 如图，正方体的棱长是 a，C，D 分
别是两条棱的中点．
(1)证明：四边形 ABCD(图中阴影部分)是一个梯
形．(2)求四边形 ABCD 的面积．
本 (1)证明 如图，CD∥EF，EF∥AB，
课 时 故 CD∥AB.又 CD≠AB， 栏 目 所以四边形 ABCD 是梯形． 开 关 (2)解 设 DC 的中点为 G，EF 的中点为 O，AB 的中点为 O′，
开 关
A′B′，C′D′于点 E，F.连接 BE，CF.
则 EF、BE、CF 就是应画的线．
(2)因为棱 BC 平行于平面 A′C′，平面 BC′与平面 A′C′
交于 B′C′，所以 BC∥B′C′.
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2.2.3
由(1)知，EF∥B′C′，所以 EF∥BC，
EF∥BC
本 课
平面 α 的交线为 b，由线面平行性质定理得，a∥b，所以直线
时 栏
b 即为所确定的直线．
目 问题 2 教室内的日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地
开
关 面上作一条直线与灯管所在的直线平行？
答 只需由灯管两端向地面引两条平行线，过两条平行线与地
面的交点的连线就是与灯管平行的直线．
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2.2.3
欢迎来到数学课堂
2.2.3
2.2.3 直线与平面平行的性质
[学习要求]
本
1．掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推
课
出线线平行；
时 栏
2．结合具体问题体会化归与转化的数学思想．
目 开
[学法指导]
关
通过观察与类比，借助实物模型得到直线与平面平行的性
质定理和探索其他的一些性质，以及性质定理的应用，提
2.2.3
例 2 如图所示的一块木料中，棱 BC 平行
于面 A′C′.
(1)要经过面 A′C′内的一点 P 和棱 BC
将木料锯开，应怎样画线？
本
(2)所画的线与平面 AC 是什么位置关系？
课 时
解 (1)如图，在平面 A′C′内，过点 P 作
栏 目
直 线 EF ， 使 EF∥B′C′ ， 并 分 别 交 棱
问题 1 如果直线和平面平行，那么这条直线与这个平面内的
直线的位置关系是怎样的？
答 平行或者异面．
本 问题 2 若直线 a 与平面 α 平行，那么在平面 α 内与直线 a 平
课 时
行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？
栏 目
答 在平面 α 内与直线 a 平行的直线有无数条，这些直线
开 关
互相平行．
本 课
因此 EF⊄平面AC ⇒EF∥平面 AC. BC⊂平面AC
时
栏 目
BE、CF 显然都与平面 AC 相交．
开
小结 平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，
关
则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与
一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任意一条直线
平行，它只与该平面内与它共面的直线平行．
高想象能力、思维能力，体会类比的作用，进一步渗透等
价转化的思想.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.3
直线与平面平行的性质定理：
本 课
一条直线与一个平面平行，则 过这条直线的任一平面与此
时 栏
平面的交线与该直线平行 ．
目 开
(1)符号语言描述：a∥α，a⊂β，β∩α＝b⇒a∥b.
关 (2)性质定理的作用：可以作为直线和直线平行的判定方法，
a、b 都在平面 α 外．
本 课
求证 b∥α.
时 栏
证明 过 a 作平面 β，使它与平面 α 相交，交线为 c.
目
因为 a∥α，a⊂β，α∩β＝c，所以 a∥c，