高中数学必修二第二章 2.2.3课件

问题 1 如果直线和平面平行，那么这条直线与这个平面内的
直线的位置关系是怎样的？
答 平行或者异面．
本 问题 2 若直线 a 与平面 α 平行，那么在平面 α 内与直线 a 平
课 时
行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？
栏 目
答 在平面 α 内与直线 a 平行的直线有无数条，这些直线
开 关
互相平行．
本
课
行，所以直线 a 与平面 α 内的任何直线无公共点，所以 a，
时 栏
b 两直线平行．
目 开
小结 线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过
关
这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：
线面平行则线线平行．
问题 5 线面平行性质定理用符号语言如何表述？
答 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
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2.2.3
跟踪训练 2 如图，正方体的棱长是 a，C，D 分
别是两条棱的中点．
(1)证明：四边形 ABCD(图中阴影部分)是一个梯
形．(2)求四边形 ABCD 的面积．
本 (1)证明 如图，CD∥EF，EF∥AB，
课 时 故 CD∥AB.又 CD≠AB， 栏 目 所以四边形 ABCD 是梯形． 开 关 (2)解 设 DC 的中点为 G，EF 的中点为 O，AB 的中点为 O′，
也提供了一种作 平行线 的重要方法．
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2.2.3
本 [问题情境]
课
直线与平面平行的判定定理解决了直线与平面平行的条件
时
栏
问题，反之，在直线与平面平行的条件下，可以得到什么
目
开
结论呢？本节我们就来研究这个问题．
关
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2.2.3
探究点一 直线与平面平行的性质定理
本 课
平面 α 的交线为 b，由线面平行性质定理得，a∥b，所以直线
时 栏
b 即为所确定的直线．
目 问题 2 教室内的日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地
开
关 面上作一条直线与灯管所在的直线平行？
答 只需由灯管两端向地面引两条平行线，过两条平行线与地
面的交点的连线就是与灯管平行的直线．
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2.2.3
例 1 如图，a∥α，a⊂β，α∩β＝b.求证： a∥b.
证明 因为 α∩β＝b，所以 b⊂α.
本 课
又因为 a∥α，所以 a 与 b 无公共点．
时 栏
又因为 a⊂β，b⊂β，所以 a∥b.
目 开
小结 用线面平行的性质定理可以判定两直线是否平行，同
关
时也提供了一种作平行线的方法．
连接 GO，OO′，GO′，
则梯形的高 GO′＝
a2＋
42a2＝3
4
2 a.
所以梯形的面积为12( 22a＋ 2a)×3 42a＝98a2.
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例 3 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，
求证：另一条也平行于这个平面．
已知 如图，直线 a、b，平面 α，且 a∥b，a∥α，
开 关
A′B′，C′D′于点 E，F.连接 BE，CF.
则 EF、BE、CF 就是应画的线．
(2)因为棱 BC 平行于平面 A′C′，平面 BC′与平面 A′C′
交于 B′C′，所以 BC∥B′C′.
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由(1)知，EF∥B′C′，所以 EF∥BC，
EF∥BC
a、b 都在平面 α 外．
本 课
求证 b∥α.
时 栏
证明 过 a 作平面 β，使它与平面 α 相交，交线为 c.
目
因为 a∥α，a⊂β，α∩β＝c，所以 a∥c，
2.2.3
例 2 如图所示的一块木料中，棱 BC 平行
于面 A′C′.
(1)要经过面 A′C′内的一点 P 和棱 BC
将木料锯开，应怎样画线？
本
(2)所画的线与平面 AC 是什么位置关系？
课 时
解 (1)如图，在平面 A′C′内，过点 P 作
栏 目
直 线 EF ， 使 EF∥B′C′ ， 并 分 别 交 棱
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跟踪训练 1 如图，平面 α、β、γ 两两相交，a，
b，c 为三条交线，且 a∥b.那么，a 与 c，b 与
c 有什么关系？为什么？
本
解 a 与 c，b 与 c 的关系为：a∥b∥c.
课 时
因为 γ∩α＝a，β∩γ＝b，α∩β＝c，且 a∥b，由 b⊂β，a⊄β，
2.2.3
欢迎来到数学课堂
2.2.3
2.2.3 直线与平面平行的性质
[学习要求]
本
1．掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推
课
出线线平行；
时 栏
2．结合具体问题体会化归与转化的数学思想．
目 开
[学法指导]
关
通过观察与类比，借助实物模型得到直线与平面平行的性
质定理和探索其他的一些性质，以及性质定理的应用，提
问题 3 如果直线与平面平行，那么经过直线的平面与平面
有哪几种位置关系？
答 经过直线 a 的平面 α 与平面平行或相交．
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2.2.3
问题 4 如果直线 a 与平面 α 平行，经过直线 a 的平面 α 与
平面相交于直线 b，那么直线 a，b 的位置关系如何？为
什么？
答 直线 a，b 的位置关系为平行．因为直线 a 与平面 α 平
高想象能力、思维能力，体会类比的作用，进一步渗透等
价转化的思想.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.3
直线与平面平行的性质定理：
本 课
一条直线与一个平面平行，则 过这条直线的任一平面与此
时 栏
平面的交线与该直线平行 ．
目 开
(1)符号语言描述：a∥α，a⊂β，β∩α＝b⇒a∥b.
关 (2)性质定理的作用：可以作为直线和直线平行的判定方法，
栏
得 a∥β；
目 开
又 a⊂α，a⊄β，β∩α＝c，得 a∥c，
关
所以 a∥b∥c.
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2.2.3
探究点二 线面平行的性质定理的应用
问题 1 如果直线 a 与平面 α 平行，那么经过平面内一点 P
且与直线 a 平行的直线怎样定位？
答 直线 a 与平面 α 内一点 P 确定一个平面，设这个平面与
本 课
因此 EF⊄平面AC ⇒EF∥平面 AC. BC⊂平面AC
时
栏 目
BE、CF 显然都与平面 AC 相交．
开Fra Baidu bibliotek
小结 平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，
关
则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与
一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任意一条直线
平行，它只与该平面内与它共面的直线平行．