高中数学必修二第二章 2.1.1 平面课件
【高中数学】第二章 2.1.1
第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面[学习目标] 1.了解平面的概念及表示方法.2.理解平面的公理1，公理2，公理3.3.会用符号语言准确表述几何对象的位置关系．[知识链接]1．在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、重合．2．点和直线的位置关系有点在直线上和点在直线外．[预习导引]1．平面的概念(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.(3)平面的表示法图①的平面可表示为平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD.2．点、线、面之间的关系(1)直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.图形题的依据要点一三种语言的转换例1用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于P A，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝P A，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图①.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②.规律方法 1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．跟踪演练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.要点二点线共面问题例2证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内．证明方法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．方法二(重合法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．规律方法在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．跟踪演练2已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．证明如图所示．由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面．要点三点共线与线共点问题例3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线．证明 ∵MN ∩EF ＝Q ， ∴Q ∈直线MN ，Q ∈直线EF ， 又∵M ∈直线CD ，N ∈直线AB ， CD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD . ∴M 、N ∈平面ABCD ，∴MN ⊂平面ABCD .∴Q ∈平面ABCD . 同理，可得EF ⊂平面ADD 1A 1. ∴Q ∈平面ADD 1A 1.又∵平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝AD ， ∴Q ∈直线AD ，即D 、A 、Q 三点共线． 规律方法 点共线与线共点的证明方法：(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．跟踪演练3 如图所示，已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且BG GC ＝DHHC＝2.求证：直线EG ，FH ，AC 相交于同一点．证明 ∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD 且EF ＝12BD .又∵BG GC ＝DHHC＝2，∴GH ∥BD 且GH ＝13BD ，∴EF ∥GH 且EF >GH ，∴四边形EFHG 是梯形，其两腰所在直线必相交， 设两腰EG ，FH 的延长线相交于一点P ， ∵EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ， ∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ACD ， 又∵平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ，故直线EG ，FH ，AC 相交于同一点.1．下列命题中正确的个数是( ) ①一个平面长4米，宽2米； ②2个平面重叠在一起比一个平面厚； ③一个平面的面积是25平方米；④将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 几何中的平面是无限延展的，不可进行所有类型的度量，容易判断所有命题都不对． 2．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是( )答案 D解析 画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．3．若点Q 在直线b 上，b 在平面β内，则Q ，b ，β之间的关系可记作( ) A ．Q ∈b ∈β B ．Q ∈b ⊂β C ．Q ⊂b ⊂β D ．Q ⊂b ∈β 答案 B解析 ∵点Q (元素)在直线b (集合)上，∴Q ∈b .又∵直线b (集合)在平面β(集合)内，∴b ⊂β，∴Q∈b⊂β.4．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________. 答案C解析∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.5．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．答案(1)4(2)7解析(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面．(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想．一、基础达标1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是()①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A∉a，a⊂α⇒A∉α；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α. A．0 B．1 C．2 D．3答案 A解析①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A ∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误．2．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A解析A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；BCD都是平面的基本性质公理．3．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合答案 C解析∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β.由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A的写法错误．4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线答案 B解析如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A、B、D不共线．5．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.答案∈解析因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l. 6．平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β，且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.答案直线PR解析如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.7．已知△ABC在平面α外，直线AB∩α＝P，直线AC∩α＝R，直线BC∩α＝Q，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．证明∵直线AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又∵AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.则由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．故P，Q，R三点共线于平面ABC与平面α的交线．二、能力提升8．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是()A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面答案 D解析在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M.∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴选项A，B，C均正确，D不正确．9．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．答案共线解析∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．答案36解析正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．11. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：(1)E，F，D1，C四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图，分别连接EF，A1B，D1C.∵E，F分别是AB和AA1的中点，∴EF 綊12A 1B .又A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形． ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1. ∴EF 与CD 1确定一个平面，∴E ，F ，D 1，C 四点共面．(2)∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交．设D 1F ∩CE ＝P ，∵D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，P ∈D 1F ， ∴P ∈平面AA 1D 1D .又CE ⊂平面ABCD ，P ∈EC ， ∴P ∈平面ABCD .∴P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点． 又平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD ， ∴P ∈AD ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点． 三、探究与创新12. 如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB >CD ，S 是直角梯形ABCD 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线．解 很明显，点S 是平面SBD 和平面SAC 的一个公共点，即点S 在交线上．由于AB >CD ，则分别延长D 和BD 交于点E ，如图所示，∵E ∈AC ，AC ⊂平面SAC ， ∴E ∈平面SAC .同理，可证E ∈平面SBD .∴点E 在平面SBD 和平面SAC 的交线上，则连接SE ，直线SE 就是平面SBD 和平面SAC 的交线．13．在棱长是a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1、D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l . (1)画出交线l ；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求PB 1的长； (3)求点D 1到l 的距离．解 (1)如图，延长DM 交D 1A 1的延长线于点Q ，则点Q 是平面DMN 与平面A 1B 1C 1D 1的一个公共点．连接QN ，则直线QN 就是两平面的交线l .(2)∵M 是AA 1的中点，MA 1∥DD 1， ∴A 1是QD 1的中点． 又∵A 1P ∥D 1N ，∴A 1P ＝12D 1N .∵N 是D 1C 1的中点，∴A 1P ＝14D 1C 1＝a4，∴PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝34a .(3)过点D 1作D 1H ⊥PN 于点H ，则D 1H 的长就是点D 1到l 的距离．∵QD 1＝2A 1D 1＝2a ，D 1N ＝a2，∴D 1H ＝D 1Q ·D 1N QN ＝2a ·a 24a 2＋a24＝21717a . 即点D 1到l 的距离是21717a .高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学必修2第2章212第二课时两点式课件(_1
1．直线的两点式方程
(1)条件：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)． (2)方程：_y_y2－_－_yy_11_＝__xx2_－－_x_x1_1 __ 2．直线的截距式方程 (1)条件：A(a,0)，B(0，b)且___a_b_≠__0_______ (2)方程：__xa_＋__by_＝__1______
1．在例1的条件下，求过点B且平行于AC的直线方程． 解：设所求的直线为 l，由于 l 与直线 AC 平行，则这两条直线 的倾斜角相等，所以 kl＝kAC＝3－0－－22＝－25， 故直线 l 的方程为 y－2＝－25(x－3)．
直线的截距式方程 求过定点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程．
(本题满分 12 分)求过点 A(4,2)，且在两坐标轴上的 截距的绝对值相等的直线 l 的方程．
[解] 当直线过原点时 ，它在 x 轴、y 轴上的截距都是 0， 满足题意，此时，直线的斜率为12，所以直线方程为 y＝12x.2 分 当直线不过原点时 ，由题意可设直线方程为xa＋by＝1，又过 点 A，所以4a＋2b＝1①，4 分 因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|＝|b| ②，
[错因与防范] (1)方程xa＋by＝1 中的 a 与 b 是直线在 x 轴与 y 轴上的截距，而不是距离，所以由三角形面积为 4，应该有12|a||b| ＝4. (2)直线的截距是指直线在坐标轴上对应的坐标，因此可为正、 可为负、可为零；而距离是线段的长度，是非负的．截距不是 距离，解题中应注意准确把握两者的区别．
2．求过点 A(3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的 方程． 解：(1)当直线 l 在坐标轴上截距互为相反数且不为 0 时，可 设直线 l 的方程为xa＋－ya＝1.又 l 过点 A(3,4)， 所以3a＋－4a＝1，解得 a＝－1.
高中数学 2.1.1 平面 课件 新人教A版必修2
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3
高中数学必修2第二章点直线平面之间的位置关系211平面及其表示法(含习题课)PPT课件
1，2，3（1）（2）
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补充练习金太：阳教育网
l 1、A为直线 l上的点，又点A不在平面
与 的公共点最多有 _______1个.
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内，则
2、四条直线过同一点，过每两条直线作一个平
面，则可以作_____1_或___4_或___6个不同的平面 .
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金太阳教育网
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2
金实太阳教例育网引入
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观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？
3
一.平面金太的阳教育概网 念：
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光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现
实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空 间是无限延伸的。
文字语金言太阳：教育网 公理1.如果一条直线上两点品信质赖在来源自于专诚一业信 个平面内，那么这条直线在此平
面内（即这条直线上的所有的点
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点、线金、太阳面教之育网间的位置关系及语言表达
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文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达
点A在直线a上 点A不在直线a上
A
a
A
a
A∈a A∈a
点A在平面α上 点A不在平面α上 直线a在平面α内
α
A
α
α
A
a a
A∈α A∈ α
aα
a b∩α＝A
直线a在平面α外 α
A α
a∩α＝φ 或 a∥α24
B A
B
CαA
C
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
高中数学必修二第二章第一节课件
k y2 y1 x1 x2 .
x2 x1
如果x1 x2,那么直线PQ的斜率不
存在(图2 1 22).
图2 1 2
y
l
第 2章 平面解析几何初步
如 果 代 数 与 几 何 各 自 分开 发 展, 那 它 的 进 步 将 十 分 缓 慢,而 且 应 用 范 围 也 很 有 限.但 若 两 者 互 相 结 合 而 共同 发 展, 则 就 会 互 相加 强, 并 以 快速 的 步 伐 向 着 完 美 化 的 方 向 猛 进.
点的集合是一条曲线.
我 们 知 道, 直 线 和 圆 是 基 本 的 几 何图 形.那 么 如何建立它们的方程? 如何通过方程来研究它们的性质?
2.1 直线与方程
高二（19）
直 线 是 最 常 见 的 图 形, 过 一 点 沿 着 确 定 的 方 向 就 可 以 画 出 一 条 直 线.
为 什 么?
在直角坐标系中, 对于一条与x 轴相交的直线,把 x 轴所在 的 直 线 绕 着 交 点 按 逆 时针 方 向 旋 转 到 和 直 线 重合 时 所 转
过的最小正角称为这条直线的倾 斜 角(inclination),并规定:
y B
A
O
N
图2 1 51
与 x 轴 平 行 或 重 合 的 直 线 的倾 斜 角 为00 . 由定义可知,直线的倾斜角 的取值范 围是00 1800 . 当 直 线 的 斜 率 为 正 时, 直 线 的 倾 斜 角
x 为锐角图2 1 51,此时,
k y BN tan .
高中数学必修2第2章211直线的斜率课件(31张)_1
(2)设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为 α，如果将直线 l 绕坐 标原点按逆时针方向旋转 45°，得到直线 l1，那么 l1 的倾斜角 为__当__0_°__≤__α_＜__1_3_5_°__时__，__倾___斜__角__为__α_＋__4_5_°__，__当__1_3_5_°__≤__α___ _＜__1_8_0_°__时__，__倾___斜__角__为__α_－__1_3_5_°________ (3)已知直线 l1 的倾斜角 α1＝15°，直线 l1 与 l2 交点为 A，直线 l1 和 l2 向上的方向之 间所成的角为 120°，如图所示，则直线 l2 的倾斜角为__1_3_5_°___． (链接教材 P79 倾斜角定义)
[解析] (1)上述说法中，⑤正确，其余均错误，原因是： ①与 x 轴垂直的直线倾斜角为 90°，但斜率不存在； ②举反例说明，120°＞30°，但 tan 120°＝－ 3＜tan 30°＝ 33； ③平行于 x 轴的直线的倾斜角为 0°； ④如果两直线的倾斜角都是 90°，那么两直线的斜率都不存在， 也就谈不上相等．
2．已知点 A(1,2)，若在坐标轴上有一点 P，使直线 PA 的倾斜 角为 135°，则点 P 的坐标为____(_3_,0_)_或__(_0_,3_)_____． 解析：由题意知 kPA＝－1，设 x 轴上点(m,0)，y 轴上点(0，n)， 由m0－－21＝n0－－12＝－1，得 m＝n＝3.
[解] 如图，由斜率公式可知 kPA＝1－1－－23＝－4，kPB＝11－－－－23＝34. 要使直线 l 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是
(－∞，－4]∪34，＋∞.
[感悟提高] (1)本题关键是利用图形找到斜率变化的区间；画 出图形，借助图形可以看出，若直线 l 与线段 AB 有公共点， 则倾斜角应介于直线 PA，PB 的倾斜角之间，故斜率的变化范 围也随之确定． (2)借助图形，用运动变化的观点看问题，是这类题的一般解 法．本题容易把直线 l 的倾斜角介于直线 PA，PB 的倾斜角之 间与斜率介于二者之间混为一谈，得出错误答案为－4≤k≤34， 因此应注意倾斜角为 90°的“跨越”．
2020年高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件新人教B版必修2
【解】 (1)证明：设数轴上的任意三点 A，B，C 的坐标是 xA，xB，xC，
由于 AC＝xC－xA，CB＝xB－xC，AB＝xB－xA， ∴AC＋CB＝xC－xA＋xB－xC＝xB－xA＝AB. (2)∵CB＝3，∴BC＝－3， 又 AC＝AB＋BC＝5－3＝2， ∴AC＝2.
(3)A，B，C 是数轴上的任意三点，讨论点 C 与点 A，B 的 位置关系：
【知识点拨】 根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上 的点自左到右对应的实数依次增大．
下列说法：①向量A→B的数量有正、负之
分，其大小为终点坐标减起点坐标；②数轴上 A，B 两点间的距
离 d(A，B)＝|AB|；③起点和终点重合的向量是零向量，它的方
向是任意的，它的坐标是 0；④在数轴上点 A(a)位于点 B(b)的左
当 C 在点 A，B 之间时，有|AC|＋|CB|＝|AB|， 所以|AC|＝|AB|－|CB|＝5－3＝2， 当 C 在点 A，B 之外时，由于|CB|＝3<|AB|＝5， 点 C 只能在 AB 的延长线上， 从而有|AC|＝|AB|＋|CB|＝5＋3＝8， 综上可知，|AC|＝2 或|AC|＝8.
2．数轴上的基本公式 (1)向量A→C，A→B，B→C的关系 _A→_C__＝A→B＋B→C. (2)向量坐标 AC，AB，BC 之间的关系 AC＝_A_B_＋__B__C_. (3)已知 A(x1)，B(x2)，则 AB＝__x_2_－__x_1 _____. (4)数轴上 A(x1)，B(x2)两点之间的距离公式 d(A，B)＝_|_A_B_|____＝__|_x_2－__x_1_| .
典例精析 规律总结
类型 1 数轴上的点的坐标
(1)如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两个点 相距 1 个单位，点 A，B，C，D 对应的数分别是整数 a，b，c， d，且 d－2a＝10，那么数轴的原点应是( )
2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1
• 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公
理2的推理2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所
以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．
• 规律总结：(1)证明点线共面的主要依据：公理1、公理2及其 推论．
• [证明] 如右图所示，
• ∵PA∩PB＝P， • ∴过PA，PB确定一个平面α. • ∴A∈α，B∈α. • ∵A∈l，B∈l， • ∴l⊂α. • ∴PA，PB，l共面．
3. 证明多点共线问题
• 例题3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，
BC∩α＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线．
自主预习
1．平面
描述
几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出 来的，是无限___延__展_____的
通常把水平的平面画成一个__平__行__四__边__形__，并且其锐 角画成45°，且横边长等于其邻边长的___2__倍，如图 1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强 立体感，被遮挡部分用__虚__线___画出来，如图2所示
练习1
(1)若点 M 在直线 a 上，a 在平面 α 内， 则 M，a，α 间的关系可记为________.
(2) 根 据 右 图 ， 填 入 相 应 的 符 号 ： A________平面 ABC，A________平面 BCD， BD________平面 ABC，平面 ABC∩平面 ACD ＝________.
• (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有 ”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在 和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不 能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定 一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在 性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．
2019版高中数学第二章平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件
(C)AB=AO+OB
(D)AB+AO+BO=0
解析:A正确,因为AB=AO+OB=OB-OA; B正确,因为AO+OB+BA=AB+BA=0; C正确,因为AO+OB=AB; D不正确,因为AB+AO+BO不一定为0,故选D.
4.数轴上A、B两点间的距离是5,点A的坐标是1,则点B的坐标是
.
解析:设B点的坐标为x, 则|x-1|=5,所以x=6或-4. 答案:6或-4
类型二 数轴上的基本公式的应用 【例2】 已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1=a+b,x2=a-b.求AB,BA,d(A, B),d(B,A).
解:AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b; BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b或BA=-AB=2b; d(A,B)=|x2-x1|=2|b|;d(B,A)=|x1-x2|=2|b|.
方法技巧 (1)记住公式,理解符号的含义是解题的关键;(2)明确向量的 长度及数量的区别与联系;(3)注意区别:|AB|=d(A,B)=|xB-xA|,AB=xB-xA.
变式训练2-1:已知A,B,C是数轴上任意三点: (1)若AB=5,CB=3,求AC; (2)若A(-2),BC=1,AB=2,求C点的坐标;
高中数学北师大版必修二2.1.1【教学课件】《直线的倾斜角和斜率》
α = 0° , k = tan0°=0 ;
②当直线l与x轴垂直时, α = 90° , k 不存在。 ③一条直线l的倾斜角 α 一定存在,但是斜率k不一定存在。
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（4）直线的斜率公式：
������2 − ������1 公式为： k = ������2 − ������1
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思考1：一个倾斜角能确定一条直线吗？ 解：不能。确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要 素是一个点P和一个倾斜角。 思考2：倾斜角从0°变化180°到时斜率是正数还是负数？
解：当倾斜角0°≤ α ＜90°时，斜率是非负的，倾斜角越大，直
线的斜率就越大；当倾斜角90°≤ α＜180°时，斜率是负的，倾
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（2）倾斜角的取值范围： 0°≤ α ＜180°。
（3）直线的斜率的概念：
一条直线的倾斜角
° α(α ≠ 90 ) 的正切值叫做这条直线的斜
率,斜率常用小写字母k表示,也就是
。αk = tan
注意：①当直线l与x轴 平行或重合时, α = 0° , k = tan0°=0;
−1 − 1 1 直线BC的斜率 ������2 = 0 − (−4) = − 2 < 0 , 所以它的倾斜角是钝角；
直线CA的斜率
2 − (−1) ������3 = = 1 > 0 , 所以它的倾斜角是锐角。 3−0
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巩固练习
（1）若直线经过点 A ������2 , 0 , ������(2, 3������) ，且倾斜角为60°，
a
b c
(1)它们都经过点P。
(2)它们的‘倾斜程度’不同。
高中数学必修二2.1.1平面课件
一、平面的概念
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面 在空间中是无限延伸的。
随堂练习
一、判断下列各题的说法正确与否：
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
Bl
A
l
B
在生产、生活中，人
们经过长期视察与实践，
B
总结出关于平面的一些 基本性质，我们把它作
为公理．这些公理是进
一步推理的基础．
作用：判断直线是否在平面 内的根据．
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思考2：
过一点可以做几条直线？两点呢？ 过空间中一点可以做几个平面？ 两点呢？
不共线的三点呢？
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4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
画法：
表 示：平面α
平面β
D
C
γ
A
B
平面γ
平面 平面ABACD或平面BD
常用平行四边形（450,横边长是邻边长的2倍）
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β
β
α
α
两个平面相交时,当一个平面的一部分被 另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成 虚线或不画
如果两个不重合的 公 平面有一个公共 理 点，那么它们有且 3 只有一条过该点的
公共直线．
l A B
A BC
l P
A, B AB
A, B,C不共线
有且只有一个平面， 使得A, B,C
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
三、平面的画法：
(1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
ß a
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成450
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
一、平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
二、平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面 在空间是无限延伸的. (1)平展性 (2)无限延展性 (3)没有厚度
3．作者先说“请息交以绝游”，而后又 说“悦 亲戚之 情话”， 这本身 也反映 了作者 的矛盾 心情。 4．此段是转承段，从上文的路上、居 室、庭 院，延 展到郊 野与山 溪，更 广阔地 描绘了 一个优 美而充 满生机 的隐居 世界。
5．“木欣欣以向荣，泉涓涓而始流”既 是实景 ，又是 心景， 由物及 人，自 然生出 人生短 暂的感 伤。 6．“善万物之得时，感吾生之行休”， 这是作 者在领 略到大 自然的 真美之 后，所 发出的 由衷赞 美和不 能及早 返归自 然的惋 惜之情 。
点P在直线l上: P l
点Q不在直线l上: Q l
点A在平面上：A
点B不在平面上：B
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
直线l在平面内：
l 表示为：l
(不在呢?) l
【高中数学必修二】2.1.1平面的基本性质
符号语言：
A, B, C三点不共线 有且只有一个平面 使A , B , C
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有 一个平面
判断:1)经过空间任意三点有且只有一个平面( ) 2)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这 两个平面就重合为一个平面( ) 3)两个相交平面有不在同一条在直线上的三个公 共点( )
小结
1.平面的概念； 2.平面的画法、表示方法及两个平面 相交的画法；
王新敞
奎屯 新疆
3.点、直线、平面间基本关系的文字 语言,图形语言和符号语言。
文字语言：
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 它们有且只有一条过该点的公共直线。
图形语言：
β
α
P
l
符号语言：
P 且P l且P l
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么 它们有且只有一条过该点的公共直线。
判断:1)如果平面α 与平面β相交，那 么它们只有有限个 公共点（ ） 2)过一条直线的平 面有无数多个( )
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有 一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有 且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
观察下列问题，你能得到什么结论？
天花板α
墙面γ
P
墙面β
β
α
P
l
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
B
桌面α
A
公理1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那 么这条直线在此平面内（即这条直线上的所有的 点都在这个平面内）。 这是判断一条直线是否在一个平面内的依据.
高中数学 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 新人教A版必修2
公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据。
精品课件
例1、用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的关系。
解 ：左边的图中， α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B。 右边的图中， α∩β＝l，a α，b β， a∩l=P，b∩l=P。
精品课件
新疆 王新敞
奎屯
求证： P 在直线 BD 上新疆 王新敞 奎屯
A
P EH
D
G
B
C
F
精品课件
证明：∵ EH FG P ，∴ PEH ， P FG ， ∵ E, H 分别属于直线 AB, AD ， ∴ EH 平面 ABD，∴ P 平面 ABD， 同理： P 平面 CBD ， 又∵平面 ABD 平面 CBD BD ，
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“ ”和“∩”的符号只能
用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用
几何语言．（平面α外的直线 a）表示 a （平面α外的直线 a）表示 a 或 a A．
精品课件
问题4：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？ 直线l不一定在平面α内。
答案：（1）×（2）√（3）×（4）√
精品课件
2．①一条直线与一个平面会有几种位置关系
．
②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.
③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，
有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图
所示），问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？
（5）
直线在平面内
aα
直线与平面相交
高中数学课件-2 1 从平面向量到空间向量
第二章 2.1
[点评] 求两向量夹角时，注意只有将两向量平移至起点 相同处，得到的夹角才是所求．如第(1)问中，将向量A→A1平移 至B→B1处，由于B→1C，B→B1的起点不相同，所以得到的∠BB1C 为 应求两向量夹角的补角．同学们注意体会！
第二章 2.1
如 图 ， M ， N 分 别 是 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD － A′B′C′D′的棱 BB′，B′C′的中点，求：
第二章 2.1
探索拓研创新
第二章 2.1
法向量
对于平行四边形 ABDC，图 中的五个向量中各个向量之间的关系如 何？在图中画出平行四边形 ABDC 的一个 法向量．
[分析] 分析图中五个向量的关系，要看它们是否相等、 相反或平行．作平面的法向量，只要作向量b，使之垂直于平 面内两个相交向量即可．
第二章 2.1
向量的有关概念
给出下列五个命题：
①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间两向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b；
③在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中必有A→C＝A→1C1； ④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数
第二章 2.1
[点评] 证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证直 线与直线平行即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量， 只要证明直线垂直于平面即可．都可转化为已学过的空间几何 问题．
第二章 2.1
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
(1)分别给出直线AA1，BD的一个方向向量； (2)分别给出平面ADD1A1，平面BB1D1D的一个法向量．
第二章 2.1
数学：2.1.1《平面》课件(新人教A版必修2)
β
l
典型例题
如图，用符号表示下列图形中点、直线、 例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的位置关系． 面之间的位置关系．
β
a
α
A l
α
a l b P （2） ）
B
β
（1） ）
解：在（1）中， α ∩ β = l, a ∩α = A, a ∩ β = B. 在（2）中， α ∩ β = l, a α, b β , a ∩l = P, b ∩l = P.
α
A
A ∈ l, B ∈ l, A ∈α , B ∈α l α
作用： 作用： 判定直线是否在平面内． 判定直线是否在平面内．
图形、文字、符号 图形、文字、
l A A 在直线l上 点A在直线 上． 在直线
A∈ l
l
点A在直线l外．
A l
l A
α
α
A
l B
直线l在平面 直线 在平面 α 外．
l α
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否 正确，并说明理由： 正确，并说明理由： ①直线 AC1在平面 CC1 B1 B 内；错误
CB AD源自C1 D1A1B1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，判断下列命题是否 正确，并说明理由： 正确，并说明理由： 设正方形ABCD与 A1 B1C1D1 的中心分别为 O1 的中心分别为O， ②设正方形 与 ， AA1C1 BB1 D1 D 则平面 与平面C 的交线为 ； OO1
平面公理
公理1 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． 那么这条直线在此平面内． l B
辽宁省沈阳市第二十一中学高中数学必修二全册课件2.1.1平面
第五页，编辑于星期日：二十一点 分。
思考2:请你用尺子做实验并回答以下问 题（分组讨论）
1、过一点有几个平面？
2、过两点有几个平面？
3、过在同一直线上的三点有几个平面？ 4、过不在一直线上的三点有几个平面？
不共线三点确定一个平面
第六页，编辑于星期日：二十一点 分。
公理二：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 （文字表示）
第十四页，编辑于星期日：二十一点 分。
3、点与平面的关系 B
A
α
① 点A在平面内，记作A∈ α ② 点B在平面外，记作B α
第十五页，编辑于星期日：二十一点 分。
点、线、平面之间的关系的符号表示（用集合 语言描述）
（1）点A 在直线L上
A
表示为： A L
第十六页，编辑于星期日：二十一点 分。
（2）直线L在平面 内 .
图形表示
No·B
α ·A
·C
Image
符号表示为： C AB
存在唯一平面α，使A∈ α
作用： 可用于确定平面的条件。
第七页，编辑于星期日：二十一点 分。
思考3:把三角板的一个角立在课桌上， 三角板所在平面与桌面所在平面是 否只相交与一点B？为什么？
B
第八页，编辑于星期日：二十一点 分。
公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它 公共点，且所这些公共点的集合是一条过这个公共点的直 线。（文字表示）
⑴点A在平面α内，点B在平面α外；
⑵直线L在平面α内，直线m不在平面α内； ⑶平面α和β相交于直线L； ⑷直线L经过平面α外一点P和平面α内一点Q ； ⑸直线L是平面α和β的交线，直线m在平面α内，L和m
相交于点P 。
第十一页，编辑于星期日：二十一点 分。
人教A版高一数学必修2人教版精品课件第2章 2.1 2.1.1《平面》
高中数学人教版必修2课件
2．下列命题正确的是( C ) A．因为直线向两方无限延伸，所以直线不可能在平面内 B．如果线段的中点在平面内，那么线段在平面内 C．如果线段上有一个点不在平面内，那么线段不在平面内 D．当平面经过直线时，直线上可以有不在平面内的点 3．下列说法中正确的是( C ) A．两个平面相交有两条交线 B．两个平面可以有且只有一个公共点 C．如果一个点在两个平面内，那么这个点在两个平面的交 线上 D．两个平面一定有公共点
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例 4：如图 5，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E、F 分别是 AA′、AB 上一点，且 EF∥CD′，求证：平面 EFCD′、 平面 AC 与平面 AD′两两相交的交线 ED′、FC、AD 交于一点．
图5
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错因剖析：遇到此类证明多线共点问题，找不到解决问题 的突破口．
高中数学人教版必修2课件
正确地用图形和符号表示点、直线、平面以 及它们之间的关系．点看成是元素，线、面看成是点的集合， 所以点与线、面的关系用“∈、∉”表示，线与线、线与面及面 与面的关系用“⊂、⊄”表示．
1－1.试用集合符号表示下列各语句，并画出图形： (1)点 A 在平面α内，但不在平面β内； (2)直线 l 经过平面α外一点 P，且与平面α相交于点 M； (3)平面α与平面β相交于直线 l，且 l 经过点 P.
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高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1 平面
高中数学人教版必修2课件
1．下列命题正确的是( C ) A．画一个平面，使它的长为 14 cm，宽为 5 cm B．一个平面的面积可以是 16 m2 C．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把 空间分成两部分 D．10 个平面重叠起来，要比 2 个平面重叠起来厚
高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面aa高一数学
2.点、直线、平面之间的位置(wèi zhi)关系及语言表达
文字语言表达
图形语言表达
点A在直线l上
点A在直线l外
点A在平面α内
2021/12/12
第十一页，共四十二页。
符号语言表达
A∈l .
A∉l
.
A∈α .
点 A 在平面α外 直线 l 在平面α内
直线 l 在平面α外
平面α,β相交于 l
2021/12/12
解:(1)点A在平面α内,点B不在平面α内. (2)直线(zhíxiàn)l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上. (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q. 图形分别如图(1),(2),(3)所示.
2021/12/12
第二十四页，共四十二页。
题型二 点线共面
【思考】 过直线与直线外一点能否唯一确定一平面?两条相交直线能否唯一确定一平面?两条平 行直线呢? 提示(tíshì):由公理2,易证明上述三个问题中,均能唯一确定一平面.
2021/12/12
第三页，共四十二页。
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理
解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 通过直观感知、操作确认,归纳(guīnà)出以下判定定理.
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直.
学
知识(zhī shi)探
究
1.平面
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的
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a
b
α
a b 有且只有一个平面 , 使a , b
（3）经过两条平行直线, 有且只有一个平面
α
a
b
a b 有且只有一个平面 , 使a , b
知识探究（四）:平面的基本性质3
思考1:如图，把三角板的一个角立在课桌 面上，三角板所在的平面与桌面所在的平 面是否只相交于一点B？为什么？
a
α
A
α a P l
l
B β
b
β
①
（2）根据下列描述作图：
②
a α ，b α ，c α 且a∩b=A，b∩c=B，c∩a=C
练习1
(1)两个平面的公共点的个数可能有 ( A.0 B.1 C.2 ) D.０或无数 )
(2)三个平面两两相交,则它们交线的条数 (
A.最多4条最少3条 C.最多3条最少2条
思考2:如果两条不重合 的直线有公共点，则其 公共点只有一个。如果两个不重合的 平面有公共点，其公共点有多少个？ 这些公共点的位置关系如何？
B
思考3:根据上述分析可得什么结论？
P
l
公理3：如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线.
思考4:若两个平面有一条公共直线，则称这 两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平 面的交线.平面α 与平面β 相交于直线l，可 记作 l ，那么公理3用符号语言可怎 样表述?
M
a
（1）三条直线两两平行，可以确定几个平面？
（2）三条直线交于一点，可以确定几个平面？
B.最多3条最少1条 D.最多2条最少1条
（3）已知空间四点中，无三点共线，则可确定 A．一个平面 C．一个或四个平面 B．四个平面 D．无法确定平面的个数
例题选讲
例2.在长方体ABC D－A1B1C 1D1中，画出下列 两平面的交线： （1）平面A1C 1D与平面B1D1D； （2）平面A1C 1B与平面AB1D1。
P , 且P l , 且P l
如果两个不重合 的平面有一个公 共点，那么它们 有且只有一条过 该点的公共直线 思考5:公理3有哪些理论 作用吗？
确定两平面相交的依据， 判断多点共线的依据.
例题选讲
例1、（1）如图，用符号表示下列图形中点、 直线、平面之间的位置关系.
b 有唯一平面 , 使a , b
公理3. P , 且P l , 且P l
作业
1、课本P51 A组5：
已知 : a b, a c M , b c N , 求证:直线a,b,c共面.
N c
b
α
2、课本P52 A组7改编：
公理2.过不在同一直线上的三点， 有且只有一个平面.
图形表示：
符号表示：
α A
B C
A, B, C三点不共线 有且只有一个平面 使A , B , C
作用：（1）确定一个平面的依据和方法。
（2）证明点线共面的方法。
公理2：不共线的三点确定一个平面
思考5:一条直线和直线外一点能点确定一个平面吗？ 两条相交直线能确定一个平面吗？
D1
O
A1
C1
A1
D1 F B1 D E B
C1
B1 D
C
C
A
A
B
例题选讲
例3、求证：两两相交 且不过同一点的三条直 线必在同一个平面内.
B A
C
证明： 因为A，B，C三点不在一条直线上， 所以过A，B，C三点可以确定平面.（公理2） 因为A∈，B∈，所以AB .（公理1） 同理BC ，AC ，
2.1 空间点、直线、平面之间的 位置关系
2.1.1 平 面
复习回顾
公理1.如果一条直线上两点在一个平面 内，那么这条直线上的所有的点都在这 个平面内（即直线在平面内）。
图形表示： 符号表示：
α l B
A
A l , B l , 且A , B , l
作用：判定直线在平面内的依据，同时说明 了平面的无限延展性。
所以AB，BC，CA三直线共面.
要证多线共面，先确定一个平面， 再证明其他直线也在这个平面内.
例题选讲
例4、已知三角形ABC的 三条边AB、BC、AC与平 面α 分别交于P、Q、R. 求证：P、Q、R共线.
A B C R Q
P
证明： P AB 平面ABC P 平面ABC.
又 P P 平面ABC.
要证明多点共线，只要证明他们 是两个平面的公共点.
同理Q、R也为公共点，所以P、Q、R共线.
练习2
已知 : A, B, C l , D l ,
求证:直线AD,BD,CD共面.
D
证明: D l.
l
A
B
C
l与D确定平面 .
又 A, B, C l ,
l
A, B, C . 又 D , BD, CD, AD ,
即AD, BD, CD共面.
小 结
1.平面的概念； 2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法； 3.三条公理
公理1. A 且B 直线AB
使A , B , C
公理2. A, B, C不共线 有且只有一平面 ,
推论1、 A l 有唯一平面 , 使A , l 推论2、a b 有唯一平面 , 使a , b 推论3、 a
两条平行直线能确定一个平面吗？
推论:1、一条直线和直线外 一点能确定一个平面； 2、两条相交直线能确定 一个平面； 3、两条平行直线能确定 一个平面。
B
．
． A ． C
公理2的Байду номын сангаас条推论:
（1）经过一条直线和这条直线 外一点,有且只有一个平面
l α
A
A l 有且只有一个平面 , 使A , l