高中数学必修2第二章知识点总结.
高中数学人教A版必修2第二章2.2.2平面与平面平行的判定课件
④两个平面分别经过两条平行直线,则
这两个平面平行.
(×)
⑤过已知平面外一条直线,必能作出与已知
平面平行的平面.
(×)
练习：已知两个全等的矩形ABCD和 ABEF相交于AB， P，Q，R分别是AE，BD，AB的中点。
求证：平面PQR∥平面BCE。
D
C Q
A F
R
B
P
E
（E)平面 内不共线的三点到 的距离相等
（F) // r ， // r.
(G) α⊥AA’，β⊥AA’
例1.如图,在长方体 ABCD A'B'C'D' 中, 求证: 平面C'DB // 平面AB'D' .
分析：只要证一个平面内有
两条相交直线和另一个平面平 行即可．
D' A'
C' B'
D A
C B
2.2.2 平面与平面平行的判定
回顾：两个平面的位置关系
位置关系 公共点 符号表示
两平面平行 没有公共点
α∥β
两平面相交 有一条公共直线
α∩β=a
图形表示
提问1:平面 内有一条直线与平面 平行， 则 和 平行吗？
提问2:平面 内有两条平行直线与平面 平行，则 和 平行吗？
提问3:平面 内有两条相交直线与平面
（1）已知平面 , 和直线m, n ，
若 m , n , m // , n // ，则 // 错误
（2）一个平面 内两条不平行的直线都平行于另
一平面 ，则 //
正确
b
a
m n
P
2、平面和平面平行的条件可以是（D,F,G）
（A） 内有无数多条直线都与 平行 （B）直线 a //, a // , （C）直线 a ，直线 b ，且a // ,b // （D） 内的任何一条直线都与 平行
新教材北师大版高中数学必修第二册第二章平面向量及其应用 学案(知识点考点汇总及配套习题)
第二章平面向量及其应用1从位移、速度、力到向量........................................................................................ - 1 - 2从位移的合成到向量的加减法................................................................................ - 8 - 3从速度的倍数到向量的数乘.................................................................................. - 23 - 4平面向量基本定理及坐标表示.............................................................................. - 35 - 5从力的做功到向量的数量积.................................................................................. - 52 - 6平面向量的应用...................................................................................................... - 67 -1从位移、速度、力到向量学习任务核心素养1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)通过向量的有关概念的学习，培养数学抽象素养．(1)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．(2)民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．民航客机飞行一次，位移变化一次，由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：上述情境涉及哪些物理量？其特点是什么？ 问题2：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？ 问题3：平行向量一定是相等向量吗？ 知识点1 向量的概念数学中，我们把既有大小又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、身高、体积等).两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ [提示] 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 知识点2 向量的表示方法(1)具有方向和长度的线段，叫作有向线段．以A 为起点，B 为终点的有向线段，记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作⎪⎪⎪⎪AB →.(2)向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)，记作|a |.箭头所指的方向表示向量的方向．知识点3 零向量与单位向量(1)长度为0的向量称为零向量，记作0或0→； (2)模等于1个单位长度的向量，叫作单位向量．1.把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是________．[答案] 一条直线 两个点 知识点4 向量的基本关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量，记作a ＝b . (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a 平行于b ，记作a ∥b ；规定零向量与任一向量共线．(3)相反向量：长度相等且方向相反的向量，叫作相反向量，a 的相反向量记作－a ；规定零向量的相反向量是零向量．2.下列说法错误的是( ) A ．若a ＝0，则||a ＝0 B ．零向量是没有方向的C ．零向量与任意向量平行D ．零向量与任意向量垂直B [零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行、垂直，所以B 是错误的．]知识点5 向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，在平面内选一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角；(2)夹角的大小与向量共线、垂直的关系：θ＝0°⇔a 与b 同向；θ＝180°⇔a 与b 反向；θ＝90°⇔a ⊥b ，规定：零向量与任一向量垂直．3.等边△ABC 中，AB→与AC →的夹角是________，AB →与BC →的夹角是________．[答案] 60° 120°类型1 向量的有关概念【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；(2)若AB→＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； (3)在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(4)若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0.[解] (1)当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件，故(1)不正确．(2)AB→＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故(2)不正确． (3)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，(3)正确．(4)零向量的方向是任意的，与任一向量平行，(4)正确．1.向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行．2.熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础．[跟进训练]1．已知O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．平行向量 C ．模相等的向量 D ．起点相同的向量C [⎪⎪⎪⎪AO →＝⎪⎪⎪⎪BO →＝⎪⎪⎪⎪CO →＝r .] 类型2 向量的表示【例2】 (教材北师版P 75例1改编)一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B 地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位置向量．[解] (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →，如图所示． (2)由题意知AD →＝BC →， ∴AD 与BC 平行且相等， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB →＝DC →，∴B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．[跟进训练]2．在如图的方格纸中，画出下列向量．(每个小正方形的边长为1).(1)|OA →|＝4，点A 在点O 正北方向；(2)|OB →|＝22，点B 在点O 东偏南45°方向；(3)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么？ [解] (1)(2)(3)的图象如图所示．(3)c 的终点轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆． 类型3 共线向量与夹角【例3】 (教材北师版P 76例2改编)如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，(1)分别写出图中所示与OA →，OB →，OC →相等的向量； (2)分别求出AB →与OB →，AB →与FE →的夹角的大小．[解] (1)OA →＝CB →＝DO →；OB →＝DC →＝EO →；OC →＝AB →＝ED →＝FO →. (2)AB →与OB →的夹角的大小为60°，AB →与FE →的夹角的大小为60°.1．例3中与OA →模相等的向量有多少？ [解] 由图知与OA →的模相等的向量有23个． 2．例3中向量OA →的相反向量有哪些？[解] 与向量OA →长度相等方向相反的向量有OD →，BC →，FE →，AO →. 3．例3中与向量OA →共线的向量有哪些？[解] 与向量OA →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →. 4．求出例3中AB →与OA →的夹角的大小 [解] AB →与OA →的夹角的大小为120°.判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．[跟进训练]3.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中． (1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量； (3)求AE →与CD →夹角的度数． [解] (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →. (2)DA →，CF →，FC →.(3)因为CD →＝AF →，所以AE →与CD →夹角为∠EAF ＝45°.当堂达标1．下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ③若|a |＞|b |，则a ＞b .A ．0B ．1C ．2D ．3B [①温度没有方向，所以不是向量，故①错；③向量不可以比较大小，故③错；②若a ，b 中有一个为零向量，则a 与b 必共线，故a 与b 不共线，则应均为非零向量，故②对．]2．(多选题)下列说法错误的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝±bB ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量称为相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量ACD [对A ，当|a |＝|b |时，由于a ，b 方向不一定相同，a ＝±b 未必成立，所以A 错误；对B ，零向量的长度是0，正确；对C ，长度相等的向量方向不一定相同，故C 错误；对D ，共线向量不一定在同一条直线上，故D 错误．故选ACD.]3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AD →|＝|AB →|，则这个四边形是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形 D [由AB →＝DC →可知AB ∥DC ，且|AB →|＝|DC →|， 所以四边形ABCD 为平行四边形． 又|AD →|＝|AB →|，所以平行四边形ABCD 为菱形．故选D.]4．设O 是正方形ABCD 的中心，则OA →，BO →，AC →，BD →中，模相等的向量是________．[答案] OA →与BO →，AC →与BD →5.如图所示的菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠DAB ＝60°，则DA →与CA →的夹角为________；DA →与BC →的夹角为________．30° 180° [由图知，DA →与CA →的夹角与∠DAO 是对顶角，又因∠DAB ＝60°，根据菱形的几何性质，知∠DAO ＝30°，故DA →与CA →的夹角为30°，DA →与BC →为相反向量，故DA →与BC →的夹角为180°.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.向量与有向线段有怎样的联系与区别？[提示]用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段还是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关．2.向量的“平行”与平面几何中的“平行”含义是否相同？[提示]共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义．2从位移的合成到向量的加减法2．1向量的加法学习任务核心素养1．掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量．(重点) 2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算．(难点)1．通过向量加法的概念及向量加法法则的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量加法法则的应用，培养数学运算素养．有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力F1，F2的大小分别是|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条牵引力为F3的拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 问题1：上述体现了向量的什么运算？ 问题2：向量加法运算常用什么法则？ 问题3：向量的加法运算结果还是向量吗？ 知识点 向量求和法则及运算律 类别 图示几何意义向量求和的法则三角形法则已知不共线向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，再作向量AC →，则向量AC →叫作a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →平行四边形法则已知不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，再作平行AD →的BC →＝b ，连接DC ，则四边形ABCD 为平行四边形，向量AC →叫作向量a 与b 的和，表示为AC →＝a ＋b向量加法的运算律 交换律 a ＋b ＝b ＋a结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )1.根据图中的平行四边形ABCD ，验证向量加法是否满足交换律．(注：AB →＝a ，AD →＝b )[提示] ∵AC →＝AB →＋BC →，∴AC →＝a ＋b . ∵AC →＝AD →＋DC →，∴AC →＝b ＋a .∴a ＋b ＝b ＋a .2.根据图中的四边形ABCD ，验证向量加法是否满足结合律．(注：AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c )[提示] ∵AD →＝AC →＋CD →＝(AB →＋BC →)＋CD →，∴AD →＝(a ＋b )＋c ， 又∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋(BC →＋CD →)， ∴AD →＝a ＋(b ＋c )， ∴(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)0＋a ＝a ＋0＝a ；( ) (2)AB →＋BC →＝AC →；( ) (3)AB →＋BA →＝0；( )(4)在平行四边形ABCD 中，BA →＋BC →＝BD →；( ) (5)|AB →|＋|BC →|＝|AC →|.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×类型1 向量加法法则的应用【例1】 (教材北师版P 81例1改编)(1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a ＋b ；(2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a ＋b .[解] (1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，再作向量OB →，则OB →＝a ＋b .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，再作平行OB →的AC →＝b ，连接BC ，则四边形OACB 为平行四边形，OC →＝a ＋b .用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．[跟进训练]1．已知向量a ，b ，c ，如图，求作a ＋b ＋c .[解] 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，如图，则由向量加法的三角形法则，得OB →＝a ＋b ，OC →＝a ＋b ＋c .类型2 向量加法及其运算律 【例2】 化简下列各式： (1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →；(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.所给各式均为向量和的形式，因此可利用三角形法则和向量加法的运算律求解．[解] (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →.(2)DB →＋CD →＋BC →＝(DB →＋BC →)＋CD →＝DC →＋CD →＝0或DB →＋CD →＋BC →＝(DB →＋CD →)＋BC →＝(CD →＋DB →)＋BC →＝CB →＋BC →＝0.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.向量运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．[跟进训练]2.如图，在平行四边形ABCD 中(1)AB →＋AD →＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →＝________； (3)AB →＋AD →＋CD →＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →＝________．(1)AC → (2)AO → (3)AD → (4)0 [(1)由平行四边形法则知，AB →＋AD →＝AC →.(2)AC →＋CD →＋DO →＝AD →＋DO →＝AO →. (3)AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(4)∵BA →＝CD →，∴AC →＋BA →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0.] 类型3 向量加法的实际应用【例3】 (教材北师版P 81例2改编)在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．速度是向量，因此需要作出船的速度与水流速度的示意图，把实际问题转化为三角形中求角度问题．[解] 作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形， 在Rt △ACD 中，|CD →|＝|AB →|＝v 水＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ， ∴cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． 故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向．1．若例3条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少？ [解] 由题意可知|AC →|＝32|AD →|＝32×20＝103(m/min)＝335(km/h)， 则经过3小时，该船的实际航程是3×335＝935(km).2．若例3的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角).[解] 如图所示，|AD →|＝|BC →|＝|v 船|＝20 m/min ， |AB →|＝|v 水|＝10 m/min ，则tan ∠BAC ＝2，即为所求．应用向量解决平面几何问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．[跟进训练]3．作用在同一物体上的两个力F 1＝60 N ，F 2＝60 N ，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为( )A ．30 NB ．60 NC ．90 ND ．120 N [答案] B当堂达标1．已知四边形ABCD 是菱形，则下列等式中成立的是( ) A ．AB →＋BC →＝CA →B ．AB →＋AC →＝BC → C ．AC →＋BA →＝AD →D ．AC →＋AD →＝DC →C [由加法的平行四边形法则可知AB →＋AD →＝AC →，即(－BA →)＋AD →＝AC →，所以AC →＋BA →＝AD →.]2．(多选题)如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中正确的是( )A ．FD →＋DA →＋DE →＝0B ．AD →＋BE →＋CF →＝0C ．FD →＋DE →＋AD →＝AB →D ．AD →＋EC →＋FD →＝BD →ABC [FD →＋DA →＋DE →＝F A →＋DE →＝0， AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋F A →＝0， FD →＋DE →＋AD →＝FE →＋AD →＝AD →＋DB →＝AB →， AD →＋EC →＋FD →＝AD →＋0＝AD →＝DB →≠BD →.故选ABC.]3．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →的模等于________. 213 [|AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝213.] 4.根据图填空，其中a ＝DC →，b ＝CO →，c ＝OB →，d ＝BA →.(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)b ＋d ＋c ＝________．(1)DB → (2)CA → [(1)a ＋b ＋c ＝DC →＋CO →＋OB →＝DB →. (2)b ＋d ＋c ＝CO →＋BA →＋OB →＝CA →.]5．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，则： (1)|a ＋b |＝________；(2)向量a ＋b 的方向是________.(1)82 (2)北偏东45°(或东北方向) [(1)如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →，所以|a ＋b |＝|OB →|＝82＋82＝8 2. (2)因为∠AOB ＝45°， 所以a ＋b 的方向是东北方向．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.如何灵活选择三角形法则或平行四边形法则求向量的和？[提示](1)三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．(2)向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．2.利用三角形法则求向量的加法时应注意什么问题？[提示]在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.2．2向量的减法学习任务核心素养1．掌握向量减法的定义，理解相反向量的意义．(重点)2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量．(难点)1．通过向量减法的概念及减法法则的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量减法法则的应用，培养数学运算素养．小明的父亲在台北工作，他经常乘飞机从台北到香港开会，再从香港到上海洽谈业务．若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示．阅读教材，综合上述情境回答下列问题： 问题1：上述问题中，b 能用a ，c 表示吗？问题2：方向相同且模相等的两个向量称为什么向量？方向相反且模相等的两个向量称为什么向量？问题3：零向量的相反向量是什么？ 问题4：向量减法是向量加法的逆运算吗？ 知识点1 相反向量定义把与向量a 长度相等、方向相反的向量，叫作向量a 的相反向量，记作－a规定：零向量的相反向量仍是零向量． 性质(1)－(－0)＝0；(2)a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0；(3)若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，b ＝－a ．知识点2 向量减法 (1)定义向量a 减向量b 等于向量a 加上向量b 的相反向量，即a －b ＝a ＋(－b )，求两个向量差的运算，叫作向量的减法．(2)几何意义如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．向量的减法可以转化为向量的加法来运算吗？[提示] 因为向量的减法是向量的加法的逆运算，所以向量的减法可以转化为向量的加法来运算．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)BA →＝OA →－OB →； ( ) (2)相反向量是共线向量； ( ) (3)a －b 的相反向量是b －a ； ( ) (4)|a －b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2.OP →－QP →＋PS →＋SP →＝( ) A ．QP → B ．OQ → C ．SP → D ．SQ → [答案] B类型1 向量减法的几何作图【例1】 (教材北师版P 84例4改编)如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .[解] 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .若本例条件不变，则a －b －c 如何作？[解] 如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .再作CA →＝c ，则BC →＝a －b －c .利用向量减法进行几何作图的方法(1)已知向量a ，b ，如图①所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .,(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a －b .如图②所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，AC →＝－b ，则OC →＝a ＋(－b )，即BA →＝a －b .[跟进训练]1.如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作：(1)向量b ＋c －a ； (2)向量a －b －c .[解] (1)以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，如图，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .(2)由a －b －c ＝a －(b ＋c )，如图，作▱OBEC ，连接OE ，则OE →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，连接AE ，则EA →＝a －(b ＋c )＝a －b －c .类型2 向量减法的运算 【例2】 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →).[解] (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0.(2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.化简向量的和差的方法(1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号． (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简．(3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点． 提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧．[跟进训练]2．化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).[解] (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝CA →－CD →＝DA →. (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋DB → ＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB →＝BC →＋CB →＝0. 类型3 向量加减法的综合应用【例3】 (1)已知|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝5，则|a －b |＝________． (2)(教材北师版P 85例6改编)已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OD →.(1)5 [(1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝a ＋b ，则四边形ABCD 是平行四边形． 又∵(5)2＝12＋22，∴平行四边形ABCD 为矩形， ∴|a －b |＝⎪⎪⎪⎪DB →＝|AC →|＝ 5.] (2)[解]如图所示：OD →＝OA →＋AD →＝a ＋BC →＝a ＋(OC →－OB →)＝a ＋c －b .用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可．[跟进训练]3．设平面内四边形ABCD 及任一点O ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d 且|a －b |＝|a －d |.试判断四边形ABCD 的形状．[解] 由a ＋c ＝b ＋d 得a －b ＝d －c ，即OA →－OB →＝OD →－OC →， ∴BA →＝CD →，于是AB 与CD 平行且相等， ∴四边形ABCD 为平行四边形．又|a －b |＝|a －d |，从而|OA →－OB →|＝|OA →－OD →|， ∴|BA →|＝|DA →|，∴四边形ABCD 为菱形．当堂达标1．在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则BC →＝( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．b －aD ．－a －bC [BC →＝AC →－AB →＝b －a .]2．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c [答案] A3．(多选题)下列四个式子中可以化简为AB →的是( ) A ．AC →＋CD →－BD → B ．AC →－CB → C ．OA →＋OB →D ．OB →－OA →.AD [因为AC →＋CD →－BD →＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →，所以A 正确；因为OB →－OA →＝AB →，所以D 正确，故选AD.]4．设正方形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋AD →－CD →|＝________． 42 [如图，原式＝|(AB →＋AD →)－(CB →＋CD →)|＝|AC →－CA →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →|， ∵正方形边长为2， ∴2|AC →|＝4 2.]5．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b 的位置关系为________．(填“平行”或“垂直”)垂直 [如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形， 则|a ＋b |＝|OC →|， |a －b |＝|BA →|， 又|a ＋b |＝|a －b |， 则|OC →|＝|BA →|，即平行四边形OACB 的对角线相等， ∴平行四边形OACB 是矩形， ∴a ⊥b .]回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.向量减法的实质是什么？[提示]向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．2.在用三角形法则作向量减法时，应注意什么问题？[提示]在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，区分a－b与b－a.3从速度的倍数到向量的数乘3．1向量的数乘运算学习任务核心素养1．掌握向量数乘的运算及其运算律．(重点)2．理解数乘向量的几何意义．(重点)1．通过向量数乘概念的学习，培养数学抽象素养；2．通过向量数乘的运算及其运算律的应用，培养数学运算素养．夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：若设光速为v1，声速为v2，将向量类比于数，则v1与v2有何关系？问题2：实数与向量相乘结果是实数还是向量？(1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa.(2)|λa|＝|λ||a|.(3)方向：λa 的方向⎩⎨⎧当λ>0时，与a 的方向相同；当λ<0时，与a 的方向相反；当λ＝0时，0a ＝0.(4)几何意义：当λ>0时，表示向量a 的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍；当λ<0时，表示向量a 的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍．若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？[提示] 不一定，若b ＝0，此时必有a ∥b ，b ∥c 成立，但a 与c 不一定共线．1.已知|a |＝2，|b |＝3，若两向量方向相同，则向量a 与向量b 的关系为b＝________a .32 [由于|a |＝2，|b |＝3，则|b |＝32|a |，又两向量同向，故b ＝32a .] 知识点2 数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a ，b 为向量，则 (1)(λ＋μ)a ＝λ a ＋μ a ； (2)λ(μa )＝(λμ)a ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合).2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若λa ＝0则λ＝0.( ) (2)对于非零向量a ，向量－2a 与向量a 方向相反． ( ) (3)当a 是非零向量，－1||a a 是与向量a 反向的单位向量．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√类型1 向量数乘运算的定义【例1】 已知a 、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)2a 的方向与a 的方向相同； (2)|－2a |＝32|3a |；(3)1||a a 是单位向量； (4)a ＋b 与－a －b 是一对相反向量． [解] (1)真命题．∵2>0， ∴2a 的方向与a 的方向相同． (2)假命题．|－2a |＝||－2|a |＝2|a |＝23|3a |. (3)真命题．⎪⎪⎪⎪⎪⎪1||a a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1||a ||a ＝1||a ||a ＝1.(4)真命题．∵a ＋b 与－a －b 是一对相反向量，且－(a ＋b )＝－a －b ， ∴a ＋b 与－a －b 是一对相反向量．对数乘向量的三点说明(1)向量数乘运算的几何意义是把a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小． (2)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.反之，也成立， (3)数乘向量的运算不满足消去律．[跟进训练]1．已知λ∈R ，a ≠0，则在下列各命题中，正确的命题有( ) ①当λ＞0时，λa 与a 的方向一定相同； ②当λ＜0时，λa 与a 的方向一定相反； ③当λa 与a 的方向相同时，λ＞0； ④当λa 与a 的方向相反时，λ＜0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [由λ与向量a 的乘积λa 的方向规定，易知①②③④正确．] 类型2 向量的线性运算【例2】 (教材北师版P 88例1改编)计算下列各式： (1)2(a ＋b )－3(a －b )； (2)3(a －2b ＋c )－(2a ＋b －3c )； (3)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋2b ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b .[解] (1)原式＝2a －3a ＋2b ＋3b ＝－a ＋5b ； (2)原式＝3a －6b ＋3c －2a －b ＋3c ＝a －7b ＋6c ； (3)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.1.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”，但这里的“同类项”指向量，实数看作是向量的系数．2.对于线性运算，把握运算顺序为：正用分配律去括号→逆用分配律合并．[跟进训练]2．(1)化简23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）；(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a ). [解] (1)原式＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋13＋74b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b ；(2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j .类型3 向量线性运算的应用【例3】 已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF →＝12(AB →＋DC →).1．若D 是△ABC 的边BC 的中点，如何用AB →，AC →表示AD →？ [提示] 由三角形法则知， AD →＝AB →＋BD →， AD →＝AC →＋CD →，两式相加得2AD →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋BD →＋⎝⎛⎭⎫AC →＋CD →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →＋⎝⎛⎭⎫BD →＋CD →＝AB →＋AC →，所以AD →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →.2．在△ABC 中，若AD →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →，则D 是否是△ABC 的边BC 的中点？ [提示] 设D ′是边BC 的中点，则AD ′→＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →，又AD →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →， 则AD ′→＝AD →， 所以D 与D ′重合， 所以D 是边BC 的中点．[证明] 取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图． ∵E 为AD 的中点， ∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →). 又∵AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →. ∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD →＝12(AB →＋DC →).用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．[跟进训练]3．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点．求证：DE →＝12BC →. [证明] ∵D 为AB 的中点， ∴AD →＝12AB →.∵E 是AC 的中点，∴AE →＝12AC →.∴DE →＝AE →－AD →＝12AC →－12AB →＝12⎝⎛⎭⎫AC →－AB →＝12BC →.当堂达标1．(多选题)已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) A ．m (a －b )＝m a －m b B ．(m －n )a ＝m a －n a C ．若m a ＝m b ，则a ＝bD ．若m a ＝n a ，则m ＝n .AB [A 和B 属于数乘运算对向量与实数的分配律，正确；C 中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；D 中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．]2. 在△ABC 中，如果AD ，BE 分别为BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，那么BC →等于( )A ．23a ＋43bB ．23a －23bC ．23a －43bD ．－23a ＋43bA [由题意，得BC →＝BE →＋EC →＝b ＋12AC →＝b ＋12(AD →＋DC →)＝b ＋12a ＋14BC →，即BC →＝b ＋12a ＋14BC →，解得BC →＝23a ＋43b .]3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A ．BC → B ．12AD → C ．AD →D ．12BC →C [EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →.] 4．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(c ＋b －3x )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量x ＝________．421a －17b ＋17c [据向量的加法、减法整理、运算可得x ＝421a －17b ＋17c .] 5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.则OP →＝________．－13OA →＋43OB → [OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.]回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.数乘向量的运算中应注意什么问题？[提示] 实数λ与向量a 可作数乘，但实数λ不能与向量a 进行加、减运算，如λ＋a ，λ－a 都是无意义的．还必须明确λa 是一个向量，λ的符号与λa 的方向相关，|λ|的大小与λa 的模有关．2.利用数乘运算的几何意义时应注意什么问题？[提示] 利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题．。
(完整word版)人教A版高中数学必修2知识点
必修2知识点归纳第一章 空间几何体1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体； 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
1、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
（1）定义：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''xOy∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；一般地，原图的面积是其直观图面积的22倍，即22S S 原图直观＝4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积：l R lr S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面⑷体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体；()13V h S S S S =+⋅+下下台体上上⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。
高中数学必修二知识点总结及公式大全
高中数学必修二知识点总结及公式大全高中数学是培养学生逻辑思维和抽象能力的重要学科。
《必修二》作为高中数学课程的重要组成部分，涉及了许多核心知识点和基础公式。
本文将为您详细总结《必修二》的知识点，并整理出一份公式大全，帮助您更好地掌握这门学科。
一、高中数学必修二知识点总结1.函数概念与性质- 函数的定义、表示方法、分类- 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性等）- 反函数及其求法2.指数函数与对数函数- 指数函数的定义、性质、图像- 对数函数的定义、性质、图像- 指数方程与对数方程的解法3.三角函数- 角度制与弧度制互换- 三角函数的定义、图像、性质- 三角恒等变换- 三角方程与不等式的解法4.数列- 等差数列与等比数列的定义、性质、求和公式- 数列的通项公式与求和公式- 数列的极限5.平面向量- 向量的定义、表示、线性运算- 向量的坐标表示与几何表示- 向量的数量积与垂直关系- 向量的平行四边形法则与三角形法则6.解析几何- 直线方程的求法（点斜式、截距式、一般式等）- 圆的方程与性质- 常见图形的面积、周长、体积计算二、高中数学必修二公式大全1.函数类- y=f(x) 的反函数：y=f^(-1)(x)- 幂函数：y=x^a（a 为常数）- 指数函数：y=a^x（a>0 且a≠1）- 对数函数：y=log_a(x)（a>0 且a≠1）2.三角函数类- 正弦函数：y=sin(x)- 余弦函数：y=cos(x)- 正切函数：y=tan(x)- 三角恒等变换公式（和差公式、倍角公式、半角公式等）3.数列类- 等差数列通项公式：a_n=a_1+(n-1)d- 等差数列求和公式：S_n=n/2(a_1+a_n)- 等比数列通项公式：a_n=a_1q^(n-1)- 等比数列求和公式：S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）4.向量类- 向量加法：A+B=(a_x+b_x, a_y+b_y)- 向量减法：A-B=(a_x-b_x, a_y-b_y)- 向量数量积：A·B=a_xb_x+a_yb_y- 向量模长：|A|=√(a_x^2+a_y^2)5.解析几何类- 点斜式直线方程：y-y_1=k(x-x_1)- 截距式直线方程：x/a+y/b=1- 圆的标准方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2总结：本文为您详细总结了高中数学必修二的知识点，并整理了一份公式大全。
高中数学第二章解析几何初步优化总结北师大版必修2
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2，0)为圆心，
3为半径的圆．
(1)设xy＝k，即 y＝kx，当直线 y＝kx 与圆相切时，斜率 k 取得
最大值和最小值，
此时有 |2k－0| ＝ k2＋1
3，解得 k＝± 3，
故xy的最大值是 3，最小值是－ 3.
(2)设 y－x＝b，即 y＝x＋b，当直线 y＝x＋b 与圆相切时 b 取
得最大值和最小值，此时|2－0＋b|＝ 3， 2
解得 b＝－2± 6，
故 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
(3)x2＋y2 表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何的知 识知，其在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最 大值和最小值，又知圆心到原点的距离为 2，故 x2＋y2 的最大 值为(2＋ 3)2＝7＋4 3，最小值为(2－ 3)2＝7－4 3.
2．求过圆外一点的圆的切线过程 求过圆外一点的圆的切线方程，一般设为点斜式，运用待定
系数法或判别式法求出斜率k，但用点斜式表示直线方程的前
提是斜率必须存在．过圆外一点可以作圆的两条切线，如果 只有一解，那么一定有一条切线斜率不存在，这时可用数形 结合的方法把“丢掉”的切线方程找回来． 3．已知斜率求圆的切线
如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：(x ＋3)2＋(y－1)2＝4 和圆 C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. (1)若直线 l 过点 A(4，0)， 且被圆 C1 截得的弦长为 2 3，求直线 l 的方程；
(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直
的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，试求所有满 足条件的点 P 的坐标．
高中数学必修1-必修2知识点总结
高中数学必修1-必修2知识点总结集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性3、集合的表示：{ } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。
非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是{x?R| x-32}或{x| x-32} 4、集合的分类：（1）．有限集含有有限个元素的集合（2）．无限集含有无限个元素的集合（3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系―子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B 的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B任何一个集合是它本身的子集。
A A②真子集:如果A B,且B A那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果A B, B C ,那么A C ④如果A B 同时B A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
高一数学必修二各章知识点总结
【导语】如果把⾼中三年去挑战⾼考看作⼀次越野长跑的话，那么⾼中⼆年级是这个长跑的中段。
与起点相⽐，它少了许多的⿎励、期待，与终点相⽐，它少了许多的掌声、加油声。
它是孤⾝奋⽃的阶段，是⼀个耐⼒、意志、⾃控⼒⽐拚的阶段。
但它同时是⼀个厚实庄重的阶段，这个时期形成的优势有实⼒。
⾼⼆频道为你整理了《⾼⼀数学必修⼆各章知识点总结》，学习路上，为你加油！ 【第⼀章空间⼏何体】 1.1空间⼏何体的结构 1.2空间⼏何体的三视图和直观图 阅读与思考画法⼏何与蒙⽇ 1.3空间⼏何体的表⾯积与体积 探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积 实习作业 ⼩结 复习参考题 【第⼆章点、直线、平⾯之间的位置关系】 2.1空间点、直线、平⾯之间的位置关系 2.2直线、平⾯平⾏的判定及其性质 2.3直线、平⾯垂直的判定及其性质 阅读与思考欧⼏⾥得《原本》与公理化⽅法 ⼩结 复习参考题 【第三章直线与⽅程】 3.1直线的倾斜⾓与斜率 探究与发现魔术师的地毯 3.2直线的⽅程 3.3直线的交点坐标与距离公式 阅读与思考笛卡⼉与解析⼏何 ⼩结 复习参考题 【第四章圆与⽅程】 4.1圆的⽅程 阅读与思考坐标法与机器证明 4.2直线、圆的位置关系 4.3空间直⾓坐标系 信息技术应⽤⽤《⼏何画板》探究点的轨迹：圆 ⼩结 复习参考题 【函数知识点】 ⼀、定义与定义式： ⾃变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的⼀次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正⽐例函数。
即：y=kx(k为常数，k≠0) ⼆、⼀次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正⽐例，⽐值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、⼀次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出⼀次函数的图像——⼀条直线。
因此，作⼀次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
高中数学必修2知识点总结归纳全
高中数学於修2知5点一、丸戏与方程HJ直戌的慎斜角定义：x朝正勺与直爱,上方•句之间所成的角制宜发的倾斜角.特别地,当宜爱与x轴平行式重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值闽是0° <a <180°〔2〕直钱的科率①定义：倾斜角不是90°的直爱,它的倾斜角的正切叫做这条立线的斜率.直爱的斜率常用k就示.即々 =tana.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当ae[〔r,90°〕时,AN0；当a e〔90° ,180°〕时,k<0；当a = 90°时,k不存在.②过两点的左线的斜率公式：k = > —〞〔2W x、〕为一匹'注意下面四点：⑴当西=々时,公式右边无意义,直发的斜率不存在,领斜角为90.；Q〕k与汽、E的顺序无关；〔3〕以后求斜率可不通过倾斜角而由直发上两点的生标宜林求得;⑷求在线的倾斜角可由直线上两皮的生标先求斜率得列.〔3〕女院方程①点号K: y-y =k〔x-X1〕直发斜率片且过点〔X],yj注意:当直戈的斜率为0°时,k=0,直发的方程是片必.当直发的斜率为90°时,直发的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,但因/上每一点的横生标都等于不,所以它的方程是4小.②寻&犬；y = kx+〃,直线斜率为片直发在y轴上的熊痘卫b③两点K: -—— = -—― 〔 x l^x2,y i *>', J直发两点〔演,四〕,〔方,以〕%一凹占一芯④就矩式：- + y = l a h其中成发/与X轴交于点〔a,o〕,与y轴交于点〔0⑼.即/与X轴.y轴的就足分别为a,b o⑤一般式：Ax+3y+C = 0 〔A, B不全为0〕注意：①各式的适.用国©特殊的方程如：平行于x轴的立线：y = h fb为常泰J；平行于V轴的立线：x = a fa为常数〕；⑸卢晓东方程：即具有某一具同性质的友然f-J平行直娱氽平行于立线A/ + 8°y + Co=.但凡不全为.的常数〕的女线条:-X + B o y + C = 0 〔 C 为常教Jr二〕过定点的直珑东〔〕斜率%々的直发余：>一〕’0=女〔无一玉〕〕,成线过定点〔八,九〕；()过两条立线J] ：4x + 8]〉+ G =0,,2 ：+ + =0的交点的直战条方程为(A l x+B l y + C l)+A(A2x + B2y + C2) = 0(2为参数人其中直线不在立战东中. (6)两直线平行与妻直当/1 : y = k i x + b l, 4 ： 4 = k?x + b?时,L 〃/2 <=>〃]= k?,b、W 与,i,,2 = k1k? = —1 当4 ： 4工+8]),+ £ =.,l2： A X+^2>? + C2 = 0 时/|/〃2 =察=导工9 |/J/2OAA + 8H =._______ A2 .2|注意:利用仰牟其新女戏的平行与垂支时,要注专舒卒的存在与否. (7)两条直送的支支4 :A{x+B1y + C[ =0 l2 :A2x + B2y + C2 = 0 和交 ,交点生标即方程组、4"+4y + G =°的一组斛.A2x + B2y + C2 = 0方程组无筹O/J〃2 ；方程组有无数解O,|与乙重合f8J两8间距喜公式：设AJ,y),以电,必)是平面直角生标条中的两个点,那么IA81= 丁5一3尸+⑵一凹尸J9)点灯友我J&害公式:一点凡飞,打)到直发/1 :Ax + By + C = O的痘毒<, _ I"'.+ B、.+q\A2 +B'no;两平行直战距*公式在任一直线上任取一A,再转化为A到直发的跑雷进行求二、团的才•程1、圆的定义：平面到一定点的距禽等于定长的点的集合例回,定点为回心,定长为回的半饯.2,回的方程HJ标准方程(X —4)2+()」〃『=〃,回心(4力),半及％r；(2)一般方程V+V+DX + EF + /7 = 0当O? +石？一4尸> 0时,方程表示回,此时回心为j ,半校为,=L X!D2+E2-4F2当.2+E? - 4尸=0时,表示一个皮；当£>2+石2—4尸 <.时,方程不就示任何图形.(3)求固4r做的方法：一般却采用柠走余数法：先设后求.确定一个回需要三个独立条件,假设利用回的标准方程,需求出a, b, r；假设利用一般方程,需要求出D, E, F；另外要过专多利用圆的几何枝质：七弦的中垂戡於^过原点,以凡泉碉定国心的枚五.3、女钱与圆的住置关东：直我与回的位置关未有和禽,粕切,粕交三种情况,根本上由以下两种方法判断：(1)设立线/: Ax+3y+C = 0,圆+(y-bp =户,囿7、C(a,b)到 / 的距南为,_\^Bb +C\ , 5,,j 有">/• =/与C相离；d = ro,与C 相切；"<,• = /与.相交(2)设立爱/: Ax+&y + C = O,回C:(x-a)2+(y-〃)2 =/,先将方程麟立曲元, 得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为△,那么有△ v 0 <=> /与C相离；△ = 0 o /与C相切；△ > 0 <=> /与C相交注：如果回心的核置在原点,可使用公式刀〞+ »o =都去解直发与回和切的问题,其中(小,为)表示切点生标,r表示半役.(3)过圆上一点的切然疗技：,①回/+)/=/,回上一点为(Xo,y0)>那么过此点的切发方程为xx()+ »o =,(课本命题).②回仅^^+付上了二*,回上一点为自,yo).那么过此点的切线方程为(x(ra)(x-a)-l-(y(rb)(y-b)= t2 (课本命题的推广).4,圆与圆的位JL关东：通过两回半发的和(爰人与囿心距(d)之间的大小比较来确定.1殳回C[ ： (x-％+(V —仇F = / , C, ： (x - u2 y + (y - b2 )2 = R2两圆的位置关系后通过两圆半法的和(爰人与囿心距(d)之间的大小比拟来确定.当d>R + r时两回外南,此时有公切珑四条；当4 = 7? +r时两回外切,连心爱过切点,有外公切珑两条,公切岗一条；当R-r<d<H + r时两回粕交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切珑;当"=7?一r时,两回切,连心战经过切点,只有一条公切珑；当c/vR-r时,两回含；当4=0时,为同心回.三、立体几何初步1,粒.底面flj极桂：定义：有两个面互相平行,其余各面都是刃边形,且每相邻两个囚边形的公共边都互相平行,由这些面所闺成的几何体.分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三核粒.四梗粒.五枚粒等.表示：用各顶点字母,如五极柱A8C.石一48 co E或用对角戏的满点字母, 如五根板A.几何将征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧极平行且相等；平行于底面的脱面是与底面令等的多边形.(2) «定义：有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所闽成的几何体分类：以底面多边形的边数作务分类的标准分为三极雄、四极/、五极椎苦袅示：用各顶点字母,如五根椎P — A B C D E几何特征：倒面、对狗面都是三角形；平行于底面的机面与底面相似,其粕仞比等于顶点到机面距禽与高的比的平方.(3J机台：定义：用一个平行于被碓底面的平面去截极般,截面和底面之间的局部分美：以底面多边形的边教作为分类的标准分为三极台.四极台.五极台等表示：用各顶点字母,如五极台P — ABC DE几何就征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形⑶侧长交于原校钺的顶A(4)圆桩：定义：以矩形的一边所在的直爱为轴旗转,其余三边施转所成的曲面所囱成的几何体几何特征：①底面是全等的回；②母线与轴平行；G)轴与底面回的半役垂直；© 侧面展开图是一个矩形. (5)圆靠：丈义：以直角三角形的一条直角边为旗转朝.夜特一周所成的曲面所囱成的几何体几何将征：①底面是一个回；②母线交于回推的顶点；⑶侧面展开图是一个扇形. (6)回台：定义：用一个平行于回碓底面的平面去也回钺,机面和底面之间的局部几何聘征：①上下底面是两个回；②例面母线交于原回雄的顶点；⑶侧面展开图是一个弓形.(7)冰体：定义：以半回的直彼所在直发为旅转轴,半回面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的机面是圆；②球面上任意一点到球7、的能害等于半投.2、空问几何体的三视图定义三视图：正视图(光线从几何体的的面曲后面正投影人侧视图(从左右右人俯视图(从上向下)注：正视图反映了物体上下.左右的位置关余,即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右.看后的位置关东,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的住匿关系,即反映了物体的高度和宽度.3、空间几何体妁直现圄——当二测量柒仰二洲面濡将点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行旦长度不变；②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半. 4,粒体、碓体、台体的森面积与体软H)几何体的薮面收为几何体各个面的面稹的新.(2)特珠几何体袅面余公式化处底面周长,h为高,力为号高,I 为母钱)〔3〕壮体.碓体.台体的体积公式<4J 球体的外表积新体新公式：V 球二〔汗R 、； S 球而二4乃太 4、空间点、直战、平面的秩JL 关东0〕平面① 平面的机念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的；②平面的袅示：通常用希腊字母a, 0, 丫就示,如平面a 〔通行写在一个锐 角〕;也可以用两个相对顶点的字母来就示,如平面BC .③ 点与平面的关东：点/在平面a ,记作A e 2 ；点A 不在平面a ,记作Aea 点与近端的关东：点4的直发/上,记作：/4 € /； 皮工在立线/外,记作4m我戡与平面的关东：成爱/在平面a,记作ya ；直发/不在平面a ,记作 /2 oc o〔2〕小以1：如枭一条直线的两点在一个平面,那么这条直戈是所有的点都在 这个平面.〔即直为在平面,或者平面经过直线J应用：检除案面是否平；判新直我是否在平面 用符号语言袅示公a1： Ae/,3w/,Aea,3ea = /ua〔3〕心理2：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论：一直我和直战外一点确定一平面；两相交直均确定一平面；两平行 我或确定一平面.公痉2及其推先作用：①它是空间确定平面的依据 ②它是证实平面重合的依 据〔4〕公痉3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直爱符号：平面a 科6粕交,交线是a,记作ar)6二a . 符号语言：PeaCl) = an4=,,Pe/ 公双3的作用：①它是判定两个平面相交的方生.S 宜极柱侧面积-ch Sgi 柱例=29力S 正梭惟侧面积=2.〞S|用锥侧面积=加S 正技台M 向枳=］〔G +c 2〕h'S 圜台〔M 面枳=〔r + R 〕就“锥表=•〔,. +,〕5阳台?■> =而'+ H + RI + R‘V 柱=Sh嗫柱=Sh = "h K. 3h雄3网惟3E. =1(S +V?S+S)/?匕帕=_L(S + 4^S + S)h = -7r(r 2+ rR + R 2)h33上联缩小上恢犷d 枝缩生J②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关余：文战必过公共方、.③它可以判新点在直线上,即证假设干个疝共线的重要依据.(5)公延4：平行于同一条直发的两条直发互相平行⑸空间直战与友然之河的信五关东①异面立端定义：不同在任何一个平面的两条我为②畀面近端性质：既不平行,又不相交.③畀面女族打走：过平面外一点与平面一皮的jt线与平面不过,该点的直爱是异面直发④畀时立端所成角：直爱狼b是界面直发,经过空问任意一点O,分别引直线,//a, b II b,叫把.玄线3'科〞所成的锐角(或直角)叫做界面直发d和b 所成的角.两条界面直战所成角的闺是(0° ,90° ],假设两条界面宜爱所成的角是直角,我们就说这两条弁面玄端互相妻女.说明：(1)判定•空间直珑是界面直发方法：①根据界而立线的定义；②弁面直发的判定定理(2)在界面成线所成角定义中,无间一点.是任取的,而和点.的位置无关. ②束弁面直我所成角步骤：A.利用定义构爱角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移列架个特殊的位置,顶点选在特殊的住置上.B.证实作出的角即为所求角C,利用三角形来求角(7)等角定理：的系一小角的西也/另一小角的西也分别平行,坪以这两食和等贰M补.⑻空间直战与平面之河的柱,关东直为在平面——有无数个公共点.直线不在平面内理交一一只有一个公共点.(或直线在平面外)(平行一一没有公共点.三种枚五关东的符号袅示：oua；aQa = A ； alia(9)平面与平面之间的桂丑关东：平行——没有公共点；allp相交----- 有一条公共立为.aC\P = b5、文词中的平行问题HJ直或与平面平行的州定及其性质端面平行的村定走M：平面外一条直戏与此平面一条直或平行,那么核克瑞与此平面平行.线线平行=> 版而平行然面平行的性质定理：如枭一条直发"一个平面平行,经过这条直爱的平面和这个平面相交,那么这条直线的父战平行.爱而平行=>为疑平行(2)平面与平面平行的打走及其性质两个平面平行的利走走双(V如果一个平面的两条和交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 (爱而平行一面面平行人(2)如果在两个平面,各有两组相交成线对应平行,邛么这两个平面平行.(发线平行一面面平行人(3)垂克于同一条我爱的两个平面平行,两个平面平行的性质定双(1)如果两个平面平行,那么某一个平面的直珑与另一个平面平行.(面面平行一线面平行)(2)如果两个平行平面都的第三个平面相交,那么它们的交战平行.(面面平行一线线平行)7、空间中的塞女问题fU族然、面面、然面妻友的定义①两条界面直线的垂直：如果两条界面立线所成的角是直角,就说这两条界面直线互粕垂直.②为面生直：如果一条直或和一个平面的任何一条在爱垂直,就说这条直戏打这个平面垂直.③平面和平面垂皮：如果两个平面相交,所成的二面角(从一条左发出发的两个率平面所组成的图形)是左二面角(平面角是衣角人就说这两个平面垂去.⑵垂女关东的划定利性质定理①婉面妻女利定定理R性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面的两条相交由线都垂直,那么这条直战垂直这个平面.性质定理：如果两条直发同垂直于一个平面,那么这两条直发平行.②面面妻女的利定定理R性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂珑,那么这两个平面互相垂直. 性质定理：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面垂直于他们的交爱的直爱垂直于另一个平面.9,空间角问题HJ直婉与女戡所成的角①两平行直发所成的角：规定为0,②两条相交直发所成的角：两条直线相交其中不大于五角的角,叫这两条直戏所成的角.③两条异面直发所成的角：过空间任意一点.,分别作与两条弁面在爱a, 5平行的直珑〃,〃',形成两条粕交直珑,这两条相交直爱所成的不大于五角的希叫做两条弁面直线所成的角.(2)女姚/平面所出的角①平面的平行或与平面所成的角：规定为0°. ②平面的垂发与平面所成的角：规定为90」③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条仰端和它在平面的射影所成的优角, 叫做这条直戈和这个平面所成的角.求仰武与聿面所成富的思路类效于求界面立线所成角：“一作.二证,三计算〞. 在“作角〞时依定义关缄作射影,由豺影定义知关使在于向爱上一点到面的垂战, 在斛题时,注意挖掘题设中两个主要信息：(1)斜珑上一点到面的垂发；(2)过斜戈上的一点或过斜戈的平面与面垂直,由面面垂直性质易径垂发.(3)二面角/二面角的平面角①二面角的定义：从一条在戏出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直均叫做二面角的枝,这两个半平面叫做二面角的面.②二面角的平面角：以二面角的极上任意一点为顶点,在两个面分别作垂直于极• • • •的两条射发,这两条封发所成的角叫二面角的平面角.③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.两粕交平面如果所组晟的二面角是直二面角,那么这两个平面垂加反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方决定义法：在枝上选择有关点,过这个点分别在两个面作垂直于极的射线得到平面角垂面头：二面角一点到两个面的垂线时,过两垂战作平面与两个面的交战所成的角为二面角的平面角_____ Q 7、空间直角生标东B1 Zj 71D,flj定义：如图,OBCD — DABC关隼伉正方体.以A为原点, 分别以ODQ A ,OB的方力为正方白,建立三条数轴x轴.y轴.z轴o. A……沙T 这时建立了一个空间直角生标条Oxyz. ^ 1J.叫做坐标点点2) x轴,y轴,z轴叫做生标轴.3)过每两个尘标轴的平面叫做生标面.(2)右手袅示法：令右孑大拇指、食指和中指粕互垂直时,可能形成的伉置. 大拇指指指为x轴正方白,食指指指为y轴正白,中指指右那么为2轴正白,这样也可以决定三轴间的粕位匿.C3)任意点生标嘉示：空间一点M的生标可以用有序实数组a,),,,z)来表示,有序实救组(x,y,z)叫做点M在此空间直角生标系中的生标,记作M(x,y,z) (x 叫做点M的横生标,y叫做点M的纵支标,z叫做点M 的竖坐标)(4)会间两点距禽生标公K：d = yl(X2 -Xj)2 +(% - Jl)2 +(句一句)2资资。
高中数学必修二知识点总结集合4篇
高中数学必修二知识点总结集合4篇第一篇：必修二集合知识点总结（一）一、集合的概念集合是由若干个元素所组成的整体，其中元素的数量可以是有限的，也可以是无限的。
二、集合的表示方法1. 列举法2. 描述法三、集合的基本运算1. 并集2. 交集3. 差集4. 补集四、集合的性质1. 互补律2. 结合律3. 分配律4. 对合律5. 交换律6. 吸收律第二篇：必修二集合知识点总结（二）五、集合的关系1. 包含关系2. 相等关系3. 子集关系六、集合的运算定律1. 并集运算2. 交集运算3. 差集运算4. 补集运算七、集合的常用符号1. ∈表示属于2. ∉表示不属于3. ⊂表示包含4. ⊃表示被包含5. ∪表示并集6. ∩ 表示交集7. \ 表示差集8. Ā 表示补集第三篇：必修二集合知识点总结（三）八、集合的应用1. 求解问题2. 确定范围3. 判断命题4. 解决问题九、集合的补集1. 定义2. 性质3. 应用4. 补集的运算及应用十、集合的运算律1. 并集运算律2. 交集运算律3. 差集运算律4. 补集运算律第四篇：必修二集合知识点总结（四）十一、集合的等价关系1. 定义2. 性质3. 应用4. 等价关系的判定十二、集合的有序对1. 定义2. 性质3. 应用4. 有序对的运算十三、集合的笛卡尔积1. 定义2. 性质3. 应用4. 笛卡尔积的运算十四、集合的映射1. 定义2. 性质3. 应用4. 映射的运算接下来，我将对每篇知识点进行详细解释和举例说明，帮助大家更好地理解和掌握这些高中数学必修二集合知识点。
第一篇：必修二集合知识点总结（一）一、集合的概念集合是数学中的一个基本概念，通常表示为一堆元素的集合。
例如，小于5的自然数的集合可以表示为 {1, 2, 3, 4}。
而集合内的元素数可以有限，也可以是无限的，比如所有正整数的集合。
二、集合的表示方法1. 列举法：通过列举元素来表示一个集合。
例如，所有偶数的集合可以表示为{2, 4, 6, 8, …}。
高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系课件2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
D
A
B
E
B1
C
等角定理2:如果一个角的两边和 另一个角的两边分别平行且方向 相同，那么这两个角相等
A1
D1 E1 C1
10
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异面直线
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3、判定方法： (1)、定义法：由定义判定两直线不可能在 同一平面内.(借助反证法) (2)、判定定理：过平面外一点与平面内一点 的直线，和平面内不经过该点的直线是异面 直线
b b
b
a
a
a
5
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如图所示：正方体的棱所在的 直线中，与直线A1B异面的有 哪些？ 答案 ： 1 1 D C
B1 D C B
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A1
D1C1、C1C、CD D1D、 AD、 B1C1
6
A
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平行公理
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例2、如图，在长方体中，已知AA1=AD=a, AB= 3 a，求AB1与BC1所成的角的余弦值
D1
A1 D A B
15
C1
B1
C
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空间两条直线的位置关系： 相交、平行、异面 ⑴空间两条直线的位置关系归纳为：
位置关系 是否共面 公共点情况 相交直线 在同一个平面内 有且只有一个公共点
两路相交
B
C
立交桥
立交桥中, 两条路线AB, CD 既不平行，又不相交
2
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定义 不同在任何一个平面内的两 条直线叫做异面直线。
位置关系
相交
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公共点个数
高中数学必修2(人教B版)第二章平面解析几何初步2.2知识点总结含同步练习题及答案
|a| = |b|
⋯⋯②
由 ①② 解得 a = b = 5 或 a = −1 ，b = 1 ，所以直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0． （ii）当 a = b = 0 时，直线过原点和 P (2, 3) ，所以直线方程为 3x − 2y = 0 ． 综上可知，所求直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0 或 3x − 2y = 0 ． 已知三角形的顶点是 A(−5, 0) ，B(3, −3) ，C (0, 2) ，求 AC 边所在直线的方程，以及该边上的 中线所在直线的方程． 解：过点 A(−5, 0) ，C (0, 2) 的两点式方程为
直线的基本量与方程 直线与直线的位置关系 直线的相关计算
三、知识讲解
1.直线的基本量与方程 描述： 直线的倾斜角 当直线l 与x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直 线l 的倾斜角（angle of inclination）．直线倾斜角α 的取值范围为0 ∘ ≤ α < 180 ∘ ．
2 y − (−3) x−3 由两点式得直线 BD 的方程为 ，整理可得 8x + 11y + 9 = 0 ，这就是 = 1 − (−3) −5 − 3 2 AC 边上的中线所在直线的方程．
⎪ ⎩
2.直线与直线的位置关系 描述： 直线 l 1 ：y = k1 x + b 1 ，l 2 ：y = k2 x + b 2 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 k1 = k2 且 b 1 ≠ b 2 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 k1 = k2 且 b 1 = b 2 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 k1 ≠ k2 ，特别地，若两直线垂直，则 k1 ⋅ k2 =#43; B 1 y + C1 = 0, A 2 1 + B 1 ≠ 0 ，l 2 ：A 2 x + B 2 y + C2 = 0, A 2 + B 2 ≠ 0 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 ≠ B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 = B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 A 1 B 2 ≠ A 2 B 1 ，特别地，若两直线垂直，则 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 ． 例题： 直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 解：两直线的斜率分别为 交． ）
高中数学人教版必修2知识点总结
高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即tank 。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当90,0时，0k ；当180,90时，0k ；当90时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k注意下面四点：(1)当21x x 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y 直线斜率k ，且过点11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y ，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x （1212,x x y y ）直线两点11,y x ，22,y x ④截矩式：1x y ab其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y（b 为常数）；平行于y 轴的直线：a x（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000C yB xA （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000CyB xA （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：00x xk y y，直线过定点00,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111C yB x A l ，0:2222C yB xA l 的交点的直线系方程为0222111C y B xA C yB xA （为参数），其中直线2l 不在直线系中。
高一数学必修2各章知识点总结
高一数学必修2各章知识点总结高一数学必修2各章知识点总结高一数学必修2各章知识点总结1、圆柱是由（）旋转得到，圆锥是由（）旋转得到，圆台是由（）旋转得到，球是由（）旋转得到.2、中心投影的投影线相交于（）点，平行投影的二维线互相（）.3、圆柱的正视图和侧视图都是（），俯视图是（）；圆锥的正视图和侧视图都是（），俯视图是圆和圆心；圆台的正视图和侧视图都是（），俯视图是两个（）；球的三视图都是（）4、空间几何体的表面积：（1）直棱柱的尾部侧面展开图是矩形；设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c，则直棱柱的侧面积（）；（2）正棱锥的侧面侧面展开图是四边形的等腰三角形；设正棱锥底面正多边形的底面为a，底面周长为c，斜高为h，则正n棱锥的侧面积（）；（3）亟需棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形；设正n棱台的上底面、下才底面边长分别为a、a，对应的周长分别为c、c，斜高为h，则正n棱台的侧面积（）；（4）圆柱的侧面展开图是矩形；设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的底面面积为（），侧面积为（），圆柱的表面积（）；（5）圆锥的侧面展开图是扇形；设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则锥形的侧面积为rl，表面积（）；（6）圆台的侧面陷入僵局图是扇环；设圆台分设的两正方形半径分别为r、r，母线长为l，则棱台的侧面积为（），表面积（）；（7）设球的半径为R，则球的表面积（）.5、空间二维的体积：（1）设柱体（棱柱、圆柱）的底面积为S，高为h，则柱体的体积（）；（2）设锥体（棱锥、圆锥）的底面积为S，高为h，则锥体的体积（）；（3）设台体（棱台、圆台）的上、下底面积分别为S、S，高为h，则台体的体积（）；（4）设圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的体积（）；（5）设圆锥的底面半径为r，高为h，则圆锥的体积（）；（6）设圆台的上、下让底面半径分别为r、r，高为h，则圆台的体积（）；（7）设球的半径为R，则球的体积（）6、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展.7、平面的基本性质：公理1、数学符号表示：公理2、.数学符号表示：公理3、数学符号表示：推论1、点儿经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个投影.推论2、经过两条连通直线，有且只有一个投影.推论3、经过两条路线平行直线，有且只有一个投影.公理4、数学符号表示：（）8、等角定理：推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.9、直线与平面平行的判定定理：（）数学符号表示：（）直线与平面平行的性质定理：（）数学符号表示：（）10、平面与平面平行的相连接确认方法（1）判断定理：一个平面内的投影两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.数学符号表示：（）（2）垂直于同一条平面直线的二个平面平行.数学符号表示：（）（3）平行于任一平面的两个平面平行.数学符号表示：（）平面与平面平行的性质：（1）性质定理：如果两个对角线平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面.数学符号表示：（）（2）如果两个平行平面相交处同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.数学符号表示：（）11、直线与平面垂直的判定方法：（1）判定定理：这条与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.数学符号表示：（）（2）如果两条平行线平行直线中一条垂直于一个平面，两条那么另数条也垂直于这个平面.数学符号表示：（）（3）如果一条直线垂直于两个平行中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.数学符号表示：（）直线与平面垂直的性质定理：垂直于每一平面的二个两条直线平行.数学符号表示：（）12、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面径向.数学符号表示：（）平面与平面垂直的属性定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另相交处一个平面垂直.数学符号表示：（）13、双曲线的倾斜角和斜率：直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，x轴（）与直线l（）的方向之间所成的角叫直线的倾斜角，范围是（）（1）新设直线的倾斜角为，斜率为k，则.当2时，斜率不存在.（2）当090时，k0；当90180时，k0.（3）过P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线斜率.14、两对角线的位置关系：两条直线l1:yk1xb1，l2:yk2xb2斜率都存在，则：（1）l1∥l2（）且b1b2或（2）l1l2k1k21（当l1的斜率存在l2的斜率不存在时l1l2）或（3）l1与l2重合（）且（）与直线l:xyC0垂直的直线方程为xyD022、圆的标准方程：（圆心Aa,b，半径长为r）圆心O0,0，半径长为r的圆的方程23、点与圆的位置父子关系：设圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0,y0)，则：15、直线方程的形式：（1）点斜式：（）（定点，斜率存在）（2）斜截式：（）（斜率存在，在y轴上的截距）（3）两点式：（）（两点）（4）截距式：（）（在x轴上的截距，在y轴上的截距）（5）一般式：（）16、直线的交点坐标：设l:Ac，则联立方程组A1xB1yC1011xB1y10,l2:A2xB2yc20A2xB2yC20（1）当方程组有惟一解时，两条直线相交，此解是交点的坐标；（2）当方程组无解时，两条直线平行；（3）当方程组有无数组解时，两条直线重合.设l1:A1xB1yc10,l2:A2xB2yc20，（系数不为零）则：（1）l1与l2相交；（2）l1∥l2；（3）l1与l2重合.17、两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)间的距离公式（）原点0,0与任一点x,y的距离（）18、点P0(x0,y0)到直线l:xyC0的距离（）19、两条平行直线xyC10与xyC20间的距离（d=20、过直线l1:A1xB1yc10与l2:A2xB2yc20交点的切线方程为(A1xB1yC1)(A2xB2yc2)0R21、与直线l:xyC0平行的直线方程为xyD0CD）（1）当点在圆上时，（）（2）当点在圆外时，（）；（3）当点在圆内时，（）.24、圆的一般方程：x2y2DxEyF0D2E24F0（1）当D2E24F0时，表示以（）为圆心，（）为半径的圆；（2）当D2E24F0时，表示一个点（）；（3）当D2E24F0时，不表示任何图形.25、直线与圆的位置关系：设直线l:xyC0与圆C:(xa)2(yb)2r2，圆心到直线的距离（方程组AxByC0，为方程组消去一元后得到的方程的判别式，则：(xa)2(yb)2r2（1）相交dr0方程组有两组实数解；（2）相切dr0方程组有一组实数解；（3）相离dr0方程组无实数解.26、圆与圆的位置关系：设圆C1的半径为r1，圆C2的半径为r2，则：（1）C1与C2相离（）；（2）C1与C2相切（（3）C1与C2相交（）；（4）C1与C2内切（（5）C1与C2内含（）.27、点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)间的距离（），点P1(0,0,0)，P2(x,y,z)间的距离（）.））；）；高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线倾斜角。
高等数学2知识点总结(优秀3篇)
高等数学2知识点总结（优秀3篇）高等数学2知识点总结篇一高考数学解答题部分主要考查七大主干知识：第一，函数与导数。
主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。
这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用。
这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式。
主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第五，概率和统计。
这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。
第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。
第七，解析几何。
是高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。
以不变应万变。
对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。
对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。
考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。
训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。
在临近高考的'数学复习中，考生们更应该从三个层面上整体把握，同步推进。
1.知识层面也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。
高中人教版必修2数学课件第二章2.1.2精选ppt课件
() A．2 对
B．3 对
C．6 对
D．12 对
解析：选 C.如图所示，在长方体 AC1 中，与对角线 AC1 成异面 直线位置关系的是：A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC，所以 组成 6 对异面直线．
3．如图，点 G、H、M、N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中 点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形是________．
(1)判断两直线平行仍是立体几何中的一个重要组成部分，除了 平面几何中常用的判断方法以外，公理 4 也是判断两直线平行的 重要依据． (2)证明角相等，利用空间等角定理是常用的思考方法；另外也 可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等．在应用等 角定理时，应注意说明这两个角同为锐角、直角或钝角．
(2)异面直线所成的角 两条异面直线所成的角是由两条相交直线所成的角扩充而成的， 由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后，它们所 成的角的大小也就随之确定了．
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
答案：D
2．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有
章 点、直线、面之间的位置关系
2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1.会判断空间两直线的位置关系． 2.理解两异面直线的 定义，会求两异面直线所成的角． 3．能用公理 4 解决一些简单的相关问题．
1．空间直线的位置关系 (1)异面直线 ①定义：把不同在_任__何__一__个__平面内的两条直线叫做异面直线． ②画法：(通常用平面衬托)
A．6 C．5 答案：B
B．4 D．8
3．若正方体 ABCD-A1B1C1D1 中∠BAE＝25°.
高中数学必修二目录
高中数学必修二目录高中数学必修二的目录如下：
第一章：不等式
1.1 一次不等式
知识点1：一次不等式的解集
知识点2：一次不等式的性质
知识点3：一次不等式的应用
1.2 二次不等式
知识点1：二次不等式的解集
知识点2：二次不等式的性质
知识点3：二次不等式的应用
第二章：函数概念与初等函数
2.1 函数的概念
知识点1：函数的定义和性质
知识点2：函数的表示方法
2.2 幂函数
知识点1：幂函数的概念与性质
知识点2：常用幂函数的图像与性质
2.3 指数函数
知识点1：指数函数的概念与性质
知识点2：常用指数函数的图像与性质
2.4 对数函数
知识点1：对数函数的概念与性质
知识点2：常用对数函数的图像与性质第三章：三角函数
3.1 弧度制与角度制
知识点1：弧度制与角度制的换算
知识点2：弧度的性质与应用
3.2 正弦函数与余弦函数
知识点1：正弦函数与余弦函数的定义
知识点2：正弦函数与余弦函数的性质与图像
3.3 正切函数与余切函数
知识点1：正切函数与余切函数的定义
知识点2：正切函数与余切函数的性质与图像第四章：平面向量
4.1 平面向量的表示与运算
知识点1：平面向量的定义与表示方法
知识点2：平面向量的运算法则
4.2 平面向量的数量积
知识点1：平面向量的数量积的定义与性质知识点2：平面向量的数量积的应用
4.3 平面向量的叉积
知识点1：平面向量的叉积的定义与性质
知识点2：平面向量的叉积的应用
以上是高中数学必修二的目录，涵盖了不等式、函数概念与初等函数、三角函数以及平面向量等内容。
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高中数学必修2知识点总结立体几何初步特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h为斜高，l 为母线）chS 直棱柱侧面积'21ch S 正棱锥侧面积')(2121h c c S 正棱台侧面积rhS 2圆柱侧l r r S 2圆柱表rlS 圆锥侧面积lr r S 圆锥表lR rS )(圆台侧面积22RRlrlrS 圆台表柱体、锥体、台体的体积公式V Sh 柱13V Sh锥''1()3V SS SS h台2V Sh r h圆柱hr V 231圆锥''2211()()33V S S SS hrrR R h圆台（4）球体的表面积和体积公式：V球=343R ；S 球面=24R第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的2 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为A ∈LB ∈L => L αA ∈αB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥bLA·α C ·B ·A·αP·αLβ共面直线=>a ∥c强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；2④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a α来表示a α a∩α=A a∥α2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：a αb β => a∥αa∥b2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：a βb βa∩b = P β∥αa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：a ∥αaβ a∥bα∩β= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：α∥βα∩γ= a a ∥bβ∩γ= b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面α互相垂直，记作L ⊥α，直线L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L 的垂面。
如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。
P a L2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 lβB α2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
第三章直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即tank。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.当90,0时，0k ；当180,90时，0k ；当90时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）注意下面四点：(1)当21x x 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y 直线斜率k ，且过点11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1。
②斜截式：b kxy，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x （1212,x x y y ）直线两点11,y x ，22,y x ④截矩式：1x y ab其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0CBy Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y（b 为常数）；平行于y 轴的直线：a x （a 为常数）；（6）两直线平行与垂直当111:b x k y l ，222:b xk y l 时，212121,//b b k k l l ；12121k k l l 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点0:1111C y B x A l 0:2222C yB xA l 相交交点坐标即方程组0222111C yB xA C yB x A 的一组解。
方程组无解21//l l ；方程组有无数解1l 与2l 重合（8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121||()()AB x x y y （9）点到直线距离公式：一点0,y x P 到直线0:1C By Axl 的距离22BACBy Ax d（10）两平行直线距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01C By Ax，2l ：02C By Ax，则1l 与2l 的距离为2221BAC C d第四章圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程（1）标准方程222rbyax ，圆心ba,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r的位置关系：。