高中数学必修二选修2-1知识点归纳

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人教版高中数学必修2、选修2-1知识点

人教版高中数学必修2、选修2-1知识点a αa∩α=A a∥α面平行。

符号表示：符号表示：aβbβa∩b =Pβ∥αa∥αb 2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3条直线的两个平面平行。

2.2.3 —2.2.4直线与平面、则过这条直线的任一平面与此平面简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：a ∥αa β a∥bα∩β= b、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的那么它们的交线平符号表示：α∥βα∩γ= a a ∥bβ∩γ= b 2.3.1直线与平面垂直的判定个半平面所组成的图形A梭 l βBα位线定理、平行四边形的性质定理、梯形中位线定理、平行线分线段成比例定理的推论。

.直线与直线平行−−−→←−−−判定性质直线与平面平行−−−→←−−−判定性质平面与平面平2.证明线面垂直、面面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法有：等腰三角形三线合一的性质、勾股定理的逆定理等.直线与直线垂直−−−→←−−−判定性质直线与平面垂直−−−→←−−−判定性质平面与平面垂直第三章直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,角的取值范围是（2①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

即tan k α=。

当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 注意：一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.当[)90,0∈α时，0≥k ；当()180,90∈α时，0<k ；当90=α时，k 不存在。

②过两点P 1 (x 1,y 1), P 2 (x 2,y 2),x 1≠x 2的直线斜率公式：)(211212x x xx yyk ≠--= 注意：当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；（3）直线方程注意：○各式的适用范围 ○特殊的方程如：倾斜角0°，倾斜角 90°时，直线的斜率不存在，它的方程（4）两直线平行与垂直注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

高二数学选修2-1知识点总结(完整版)

高二数学选修2－1知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”． 10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．11、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B轴长短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率 )22101c b e e a a==-<<准线方程2a x c=±2a y c=±13、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．14、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A()10,a A -、()20,a A轴长虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率)2211c b e e a a==+>准线方程2a x c =± 2a y c =± 渐近线方程b y x a =± a y x b=± 16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．17、设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．18、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 20、焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02pF x P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02pF x P =-+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02pF y P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02pF y P =-+．标准方程22y px =()0p > 22y px =- ()0p >22x py = ()0p >22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率 1e =范围 0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤22、空间向量的概念：()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．()3向量AB u u u r的大小称为向量的模（或长度），记作AB u u u r ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ()5与向量a r 长度相等且方向相反的向量称为a r 的相反向量，记作a -r． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．23、空间向量的加法和减法：()1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a r 、b r为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O u u u r 就是a r与b r 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =u u u r r ，b OB =u u u r r ，则a b BA =-u u u r r r ．24、实数λ与空间向量a r 的乘积a λr是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λr 与a r 方向相同；当0λ<时，a λr 与a r 方向相反；当0λ=时，a λr为零向量，记为0r ．a λr 的长度是a r的长度的λ倍．25、设λ，μ为实数，a r ，b r是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+r r r r ；结合律：()()a a λμλμ=r r．26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a r ，()0b b ≠r r，//a b r r 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=r r．28、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 29、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB +A u u u r u u u r u u u r ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A u u u r u u u r u u u r u u u r；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=u u u r u u u r u u u r u u u r．30、已知两个非零向量a r 和b r，在空间任取一点O ，作a OA =u u u r r ，b OB =u u u r r ，则∠AOB 称为向量a r ，b r的夹角，记作,a b 〈〉r r ．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈r r ．31、对于两个非零向量a r 和b r ，若,2a b π〈〉=r r ，则向量a r ，b r 互相垂直，记作a b ⊥r r ．32、已知两个非零向量a r 和b r ，则cos ,a b a b 〈〉r r r r 称为a r ，b r的数量积，记作a b ⋅r r ．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉r r rr r r ．零向量与任何向量的数量积为0．33、a b ⋅r r 等于a r 的长度a r 与b r 在a r的方向上的投影cos ,b a b 〈〉r r r 的乘积． 34、若a r ，b r 为非零向量，e r为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉r r r r r r r ；()20a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩r r r r r r r rr r 与同向与反向，2a a a ⋅=r r r，a =r ； ()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=r r r r r r ；()5a b a b ⋅≤r rr r ．35、向量数乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅r r r r ；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r ．36、若i r ，j r ，k r 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p r，存在有序实数组{},,x y z ，使得p xi yj zk =++r r r r ，称xi r ，yj r ，zk r 为向量p r在i r ，j r ，k r 上的分量．37、空间向量基本定理：若三个向量a r ，b r ，c r不共面，则对空间任一向量p r ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++r r r r．38、若三个向量a r ，b r ，c r不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈r r r r r ．这个集合可看作是由向量a r ，b r ，c r生成的，{},,a b c r r r 称为空间的一个基底，a r ，b r ，c r称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．39、设1e u r ，2e u u r ，3e u r为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e u r ，2e u u r ，3e u r 的公共起点O 为原点，分别以1e u r ，2e u u r ，3e u r的方向为x轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p r ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =u u u r r．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++u r u u r u r r．把x ，y ，z 称作向量p r 在单位正交基底1e u r ，2e u u r ，3e u r 下的坐标，记作(),,p x y z =r ．此时，向量p r的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．40、设()111,,a x y z =r ，()222,,b x y z =r ，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++rr ． ()2()121212,,a b x x y y z z -=---rr ．()3()111,,a x y z λλλλ=r．()4121212a b x x y y z z ⋅=++rr ．()5若a r 、b r为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=r r r r ．()6若0b ≠r r ，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===r r r r．()7a ==r()8cos ,a b a b a b ⋅〈〉==r r rr r()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则d AB =AB =u u u r41、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP u u u r 来表示．向量OP u u u r称为点P 的位置向量．42、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a r表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =u u u r r ，这样点A 和向量a r不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点．43、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a r ，b r．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+u u u r r r ，这样点O 与向量a r ，b r就确定了平面α的位置．44、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a r ，则向量a r称为平面α的法向量．45、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a r ，b r，则////a b a b ⇔⇔r r()a b R λλ=∈r r，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=r r r r ．46、若直线a 的方向向量为a r ，平面α的法向量为n r ，且a α⊄，则////a a αα⇔r0a n a n ⇔⊥⇔⋅=r r r r ，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=r r r r r ．47、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a r ，b r，则////a b αβ⇔⇔r ra b λ=r r ，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=r rr r ．48、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a r ，b r，其夹角为ϕ，则有cos cos a ba bθϕ⋅==r r r r ．49、设直线l 的方向向量为l r ，平面α的法向量为n r ，l 与α所成的角为θ，l r 与nr的夹角为ϕ，则有sin cos l nl nθϕ⋅==r r r r ．50、设1n u r ，2n u u r 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n u r ，2n u u r的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=u r u u r u r u u r ．51、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB u u u r的模AB u u u r 计算．52、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n r，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=u u u r r u u u r u u u r rr ．53、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n r为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=u u u r r u u u r u u u r rr ．。

高中数学选修2-1知识点总结

高二数学选修2－1知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.6、四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”． 10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．11、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210x ya b a b+=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围 a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B 轴长短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率 ()22101c b e e a a==-<<准线方程2a x c=±2a y c=±13、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．14、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．15、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>准线方程 a x c =± a y c =±渐近线方程b y x a =± a y x b=± 16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．17、设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．18、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 20、焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02pF x P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02pF x P =-+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02pF y P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02pF y P =-+．21、抛物线的几何性质：标准方程22y px =()0p > 22y px =- ()0p >22x py = ()0p >22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴 x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率 1e =范围 0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤22、空间向量的概念：()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．()3向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作AB ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ()5与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．23、空间向量的加法和减法：()1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线CO 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．24、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．25、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．28、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 29、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB +A ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=．30、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈． 31、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．32、已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．33、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 34、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．35、向量数乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．36、若i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得p xi yj zk =++，称xi ，yj ，zk 为向量p 在i ，j ，k 上的分量．37、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．38、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．39、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．40、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---．()3()111,,a x y z λλλλ=． ()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===． ()721a a a x =⋅=+()821cos ,x a b a b a bx ⋅〈〉==+．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =41、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．42、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点． 43、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置． 44、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． 45、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．46、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔ 0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．47、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．48、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．49、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．50、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．51、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算． 52、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．53、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．。

高中数学选修2-1知识点总结

高二数学选修2－1知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．若p q，则p是q的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q．当p、q都是真命题时，p q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p q是假命题．用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q．当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p q是假命题．对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p．若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对中任意一个x，有p x成立”，记作“x，p x”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在中的一个x ，使p x 成立”，记作“x，p x ”．10、全称命题p ：x，p x ，它的否定p ：x，p x ．全称命题的否定是特称命题．11、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程222210xya b ab222210y xa b a b范围ax a 且bybbx b 且aya顶点1,0a 、2,0a 10,b 、20,b10,a 、20,a 1,0b 、2,0b 轴长短轴的长2b长轴的长2a焦点1,0F c 、2,0F c 10,F c 、20,F c焦距222122F F c cab对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率22101c b ee a a准线方程2axc 2ayc13、设是椭圆上任一点，点到1F 对应准线的距离为1d ，点到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d ．14、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．15、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程222210,0x ya b ab222210,0y xa b a b范围xa 或xa ，yRya 或ya ，xR顶点1,0a 、2,0a 10,a 、20,a轴长虚轴的长2b实轴的长2a焦点1,0F c 、2,0F c 10,F c 、20,F c焦距222122F F c cab对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率2211c b ee aa准线方程2a x c 2a y c 渐近线方程b yxaa yxb16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．17、设是双曲线上任一点，点到1F 对应准线的距离为1d ，点到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d ．18、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p ．20、焦半径公式：若点00,x y 在抛物线220y px p 上，焦点为F ，则02p F x ；若点00,x y 在抛物线220y px p 上，焦点为F ，则02p F x ；若点00,x y 在抛物线220x py p 上，焦点为F ，则02p F y ；若点00,x y 在抛物线220xpy p上，焦点为F ，则2p Fy ．21、抛物线的几何性质：标准方程22ypx 0p22ypx 0p22xpy 0p22xpy 0p图形顶点0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F,02p F0,2p F0,2p F准线方程2p x2p x2p y 2p y离心率1e 范围0x 0x 0y 0y 22、空间向量的概念：1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．3向量的大小称为向量的模（或长度），记作．4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．5与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a ．6方向相同且模相等的向量称为相等向量．23、空间向量的加法和减法：1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作a，b，则a b．24、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0．a的长度是a的长度的倍．25、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：a b a b；结合律：a a．26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，0a b的充要条b b，//件是存在实数，使a b．28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．29、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使x y C；或对空间任一定点，有x y C；或x y z C x y z．若四点，，，C共面，则130、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b的夹角，记作,a b．两个向量夹角的取值范围是：,0,a b．31、对于两个非零向量a和b，若,a b，则向量a，b互相垂直，记作a b．2a b ab称为a，b的数量积，记作a b．即32、已知两个非零向量a和b，则c o s,a b a b ab．零向量与任何向量的数量积为0．c o s,b a b的乘积．33、a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影cos,e a a e a a e；34、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1cos,20a b a b；3a b a b a ba b a b 与同向与反向，2a aa ，aa a ；4cos ,a b a ba b；5a ba b ．35、向量数乘积的运算律：1a b b a ；2a b a b ab ；3abca cb c ．36、若i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p ，存在有序实数组,,x y z ，使得p xiyjzk ，称xi ，yj ，zk 为向量p 在i ，j ，k 上的分量．37、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组,,x y z ，使得pxa yb zc ．38、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是,,,p pxaybzc x y zR ．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，,,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．39、设1e ，2e ，3e 为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p ．存在有序实数组,,x y z ，使得123pxe ye ze ．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作,,p x y z ．此时，向量p 的坐标是点在空间直角坐标系xyz 中的坐标,,x y z ．40、设111,,a x y z ，222,,b x y z ，则1121212,,a b x x y y z z ．2121212,,a bx x y y z z ．3111,,ax y z ．4121212a bx x y y z z ．5若a 、b 为非零向量，则1212120a b a bx x y y z z ．6若0b ，则121212//,,a babx x y y z z ．7222111aa ax yz ．8121212222222111222cos ,x x y y z z a b a ba bxyzxyz．9111,,x y z ，222,,x y z ，则222212121dx x y yz z．41、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向量称为点的位置向量．42、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点以及一个定方向确定．点是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点，有ta ，这样点和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点．43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为a ，b ．为平面上任意一点，存在有序实数对,x y ，使得xayb ，这样点与向量a ，b 就确定了平面的位置．44、直线l 垂直，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面的法向量．45、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a babR ，0ababa b．46、若直线a 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，且a，则////a a 0a n a n ，//a a a n a n ．47、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a ，b ，则////a bab ，0aba b．48、设异面直线a ，b 的夹角为，方向向量为a ，b ，其夹角为，则有coscosa b a b．49、设直线l 的方向向量为l ，平面的法向量为n ，l 与所成的角为，l 与n的夹角为，则有sincosl n l n．50、设1n ，2n 是二面角l的两个面，的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角为，则1212cos n n n n ．51、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．52、在直线l 上找一点，过定点且垂直于直线l 的向量为n ，则定点到直线l 的距离为cos,n dnn．53、点是平面外一点，是平面内的一定点，n 为平面的一个法向量，则点到平面的距离为cos,n dnn．。

高中二年级数学选修2-1知识点总结(精华版)

高二数学选修2－1知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题（一假必假）．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题（一真必真）；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”． 10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．11、平面与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210x ya b a b+=>> ()222210y x a b a b+=>> 围 a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率 )22101c b e e a a==-<<准线方程2a x c=±2a y c=±13、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．14、平面与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．15、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210,0x y a b a b-=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A()10,a A -、()20,a A轴长虚轴的长2b =实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率 )2211c b e e a a==+>准线方程 2a x c =±2a y c =±渐近线方程b y x a=±a y x b=±16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．17、设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．18、平面与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 20、焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02pF x P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02pF x P =-+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02pF y P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02pF y P =-+．21、抛物线的几何性质：标准方程 22y px =()0p > 22y px =-()0p > 22x py =()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴 x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率1e =围0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤22、空间向量的概念：()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．()3向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作AB ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ()5与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．23、空间向量的加法和减法：()1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．24、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．25、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．29、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB +A ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=．30、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值围是：[],0,a b π〈〉∈． 31、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．32、已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．33、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 34、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．35、向量数乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．36、若i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得p xi yj zk =++，称xi ，yj ，zk 为向量p 在i ，j ，k 上的分量．37、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．38、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．39、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．40、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=． ()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===． ()721a a a x =⋅=+()821cos ,a b a b a bx ⋅〈〉==+()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =41、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．42、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点．43、空间中平面α的位置可以由α的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置． 44、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． 45、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．46、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．47、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．48、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．49、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．50、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．51、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算． 52、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．53、点P 是平面α外一点，A 是平面α的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为。

人教版高中数学的必修2、选修2-1知识点

必修 2知识点第一章空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图1 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 2直观图：斜二测画法. 步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。

1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2r rl S ππ+=4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积24R S π= （二）空间几何体的体积1柱体的体积 h S V ⨯=底 2锥体的体积 h S V ⨯=底313台体的体积 h S S S S V ⨯++=)31下下上上（ 4球体的体积 334R V π=第二章直线与平面的位置关系2.1（1符号表示为 A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理（2符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B∈α、C ∈α。

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， ]；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

L A·αC · B·A · α2π222r rl S ππ+=2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a α a∩α=A a∥αab符号表示：a βb βa∩b = P β∥αa∥αb∥α2（1）用定义；（2）判定定理；（3线面平行则线线平行。

高中数学必修二选修2-1知识点归纳

必修二知识点归纳：第一章空间几何体1. 棱柱直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。

（正棱柱: 底面为正多边形的直棱柱。

）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。

（平行六面体：底面为平行四边形的斜棱柱。

）棱锥正棱锥：底面为正多边形，顶点在底面的投影为底面的中心的棱锥。

斜棱锥：以上条件之一不满足的棱锥。

棱台正棱台：由平行于底面的平面截正棱锥得到的棱台。

斜棱台：由平行于底面的平面截斜棱锥得到的棱台。

四面体：三棱锥正四面体：六条棱均相等的三棱锥。

空间四边形ABCD ：三棱锥，其中有四条边：AB 、BC 、CD 、DA ；两条对角线：AC 、BD 。

2. 三视图（会识别，会画图）3. 斜二测画法画直观图：见《名师面对面》P10：3题；P12：6、7题4. S 圆柱侧=2πrl S 圆柱表=2πrl+2πr 2S 圆锥侧=πrl S 圆锥表=πrl+πr 2S 圆台侧=π(r +r ′)l S 圆台表=π(r +r ′)l +πr 2+πr′2 其中r 为底面半径，l 为母线长 5. V 柱体=Sh V 锥体=13Sh V 台体=13(S+√SS′+S’)h 其中S ，S’为底面积，h 为高 6. S 球表=4πR 2 V 球=43πR 37. 球内接正方体棱长a 与球半径R 关系：2R=√3a 注意：将《名师面对面》P12-21重做一遍。

第二章：点、直线、平面之间的位置关系１．平面的概念，画法，与点的属于关系，与直线的包含关系。

２．三个公理：（１）如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内。

（２）不共线三点确定一个平面。

推论：①一条直线与直线外一点确定一个平面。

②两条平行直线确定一个平面。

③两条相交直线确定一个平面。

（３）如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。

注意：将《名师面对面》P22-24重做一遍。

３．空间两直线的位置关系：＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿。

高中数学选修2-1知识点总结(考前复习必备)

高二数学选修2－1知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.6、四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．11、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率 ()22101c b e e a a==-<<准线方程2a x c=±2a y c=±13、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假则1212F F e d d M M ==．14、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．15、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210,0x y a b a b-=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率 ()2211c b e e a a==+>准线方程2a x c=±2a y c=±渐近线方程b y x a=±a y x b=±16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．17、设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．18、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 20、焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02p F x P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02pF x P =-+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p F y P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02p F y P =-+．21、抛物线的几何性质：标准方程22y px = ()0p>22y px =-()0p >22x py =()0p >22x py =- ()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2px =2p y =-2p y =离心率1e =范围0x ≥ 0x ≤0y ≥0y ≤22、空间向量的概念：()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．()3向量AB的大小称为向量的模（或长度），记作AB ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ()5与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．23、空间向量的加法和减法：()1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a O A= ，b OB =，则a b BA =- ．24、实数λ与空间向量a 的乘积a λ 是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ 与a方向相同；当0λ<时，a λ 与a 方向相反；当0λ=时，a λ 为零向量，记为0 ．a λ 的长度是a的长度的λ倍．25、设λ，μ为实数，a ，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+ ；结合律：()()a a λμλμ=．26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠ ，//a b的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．29、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB +A ；或对空间任一定点O ，有x y C O P=O A+A B+A；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA +OB +O ++=．30、已知两个非零向量a 和b，在空间任取一点O ，作a OA = ，b OB = ，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈ ．31、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉= ，则向量a ，b互相垂直，记作a b ⊥．32、已知两个非零向量a 和b ，则cos,a b a b 〈〉 称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．33、a b ⋅ 等于a 的长度a 与b 在a的方向上的投影cos ,b a b 〈〉 的乘积． 34、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉 ；()20a b a b ⊥⇔⋅= ；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅= ，a a a =⋅ ； ()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤ ．35、向量数乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ；()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ ．36、若i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得p xi yj zk =++，称xi ，yj ，zk 为向量p 在i ，j ，k 上的分量．37、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．38、若三个向量a ，b ，c不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈ ．这个集合可看作是由向量a ，b ，c生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．39、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP = ．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z = ．此时，向量p的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．40、设()111,,a x y z = ，()222,,b x y z = ，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++． ()2()121212,,a b x x y y z z -=---．()3()111,,a x y z λλλλ=．()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．()6若0b ≠ ，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．()7222111a a a x y z =⋅=++ ． ()8121212222222111222cos ,x x y y z z a b a b a b x y z x y z ++⋅〈〉==++⋅++． ()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则()()()222212121d x x y y z z AB=AB =-+-+- ．41、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP来表示．向量OP称为点P 的位置向量．42、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP = ，这样点A 和向量a不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点．43、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置．44、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a称为平面α的法向量．45、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅= ．46、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔0a n a n ⇔⊥⇔⋅= ，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔= ．47、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ= ，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．48、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b，其夹角为ϕ，则有cos cos a ba bθϕ⋅== ．49、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l nl nθϕ⋅== ．50、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅= ．51、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB的模AB 计算．52、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．53、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．。

高二数学选修2-1 2-2 2-3 知识点(全面)

选修2-1、2-2、2-3知识点选修2-1第一章常用逻辑用语1.命题及其关系①四种命题相互间关系:②逆否命题同真同假2.充分条件与必要条件就是得充要条件:就是得充分不必要条件:就是得必要不充分条件:就是得既充分不必要条件:3.逻辑联结词“或”“且”“非”4.全称量词与存在量词注意命题得否定形式(联系反证法得反设),主要就是量词得变化、例:“a=1”就是“”得( )A.充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件第二章圆锥曲线与方程1.2.“回归定义”就是一种重要得解题策略。

如:(1)在求轨迹时,若所求得轨迹符合某种圆锥曲线得定义,则根据圆锥曲线得方程,写出所求得轨迹方程;(2)涉及椭圆、双曲线上得点与两个焦点构成得焦点三角形问题时,常用定义结合解三角形(一般就是余弦定理)得知识来解决;(3)在求有关抛物线得最值问题时,常利用定义把到焦点得距离转化为到准线得距离,结合几何图形利用几何意义去解决。

3.直线与圆锥曲线得位置关系(1)有关直线与圆锥曲线得公共点得个数问题,直线与圆锥曲线得位置关系有三种情况:相交、相切、相离、联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程(注意在与双曲线与抛物线方程联立时二次项系数就是否为0),直线与圆锥曲线相交、相切、相离得充分必要条件分别就是、、、应注意数形结合(例如双曲线中,利用直线斜率与渐近线得斜率之间得关系考查直线与双曲线得位置关系)常见方法:①联立直线与圆锥曲线方程,利用韦达定理等;②点差法(主要适用中点问题,设而不求,注意需检验,化简依据:)(2)有关弦长问题,应注意运用弦长公式及韦达定理来解决;(注意斜率就是否存在)① 直线具有斜率,两个交点坐标分别为1212AB x y =-==- ② 直线斜率不存在,则、(3)有关对称垂直问题,要注意运用斜率关系及韦达定理,设而不求,简化运算。

考查三个方面:A 存在性(相交);B 中点;C 垂直()注: 1、圆锥曲线,一要重视定义,这就是学好圆锥曲线最重要得思想方法,二要数形结合,既熟练掌握方程组理论,又关注图形得几何性质,以简化运算。

高中数学必修二选修2-1 知识点归纳

必修二知识点归纳：第一章空间几何体1. 棱柱直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。

（正棱柱: 底面为正多边形的直棱柱。

）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。

（平行六面体：底面为平行四边形的斜棱柱。

）棱锥正棱锥：底面为正多边形，顶点在底面的投影为底面的中心的棱锥。

斜棱锥：以上条件之一不满足的棱锥。

棱台正棱台：由平行于底面的平面截正棱锥得到的棱台。

斜棱台：由平行于底面的平面截斜棱锥得到的棱台。

四面体：三棱锥正四面体：六条棱均相等的三棱锥。

空间四边形ABCD ：三棱锥，其中有四条边：AB 、BC 、CD 、DA ；两条对角线：AC 、BD 。

第二章：点、直线、平面之间的位置关系１．平面的概念，画法，与点的属于关系，与直线的包含关系。

２．三个公理：（１）如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内。

（２）不共线三点确定一个平面。

推论：①一条直线与直线外一点确定一个平面。

②两条平行直线确定一个平面。

③两条相交直线确定一个平面。

（３）如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。

注意：将《名师面对面》P22-24重做一遍。

３．空间两直线的位置关系：＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿。

高中数学选修2-1知识点包括必修二要看的内容

高中数学选修2-1知识点包括必修二要看的内容修高二数学选修 2 －1 第一章：命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、若 p ，则 q 形式的命题中的 p 称为命题的条件， q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为若 p ，则 q ，它的逆命题为若 q ，则 p . 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为若 p ，则 q ，则它的否命题为若 p ，则 q . 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。

其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。

若原命题为若 p ，则 q ，则它的否命题为若 q ，则 p 。

6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真1/ 21假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：( ) 1 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ( ) 2 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若 p q ，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件．若的必要条件．若 p q ，则 p 是 q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词且把命题 p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作 p q ．当 p 、 q 都是真命题时， p q 是真命题；当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时， p q 是假命题．用联结词或把命题 p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作 p q ．当 p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时， p q 是真命题；当 p 、 q 两个命题都是假命题时， p q 是假命题．对一个命题 p 全盘否定，得到一个新命题，记作 p ．若 p 是真命题，则 p 必是假命题；若 p 是假命题，则 p 必是真命题． 9、短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题对中任意一个 x ，有 ( ) p x 成立，记作 x ， ( ) p x ．短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题存在中的一个 x ，使 ( ) p x 成立，记作 x ， ( ) p x ． 10、全称命题 p ：x ， ( ) p x ，它的否定 p ：x ， ( ) p x 。

高二上学期数学必修2与选修2-1知识点总结

必修2一、基础知识(1)空间几何体：典型多面体（棱柱、棱锥、棱台）与典型旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的结构特征以及表面积体积公式、球面距离、点面距离、中心投影与平行投影、三视图、直观图；(2)点、线、面的位置关系：平面的三个公理、平行的传递性、等角定理、异面直线的概念、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、线面平行的概念、判定定理、性质定理；面面平行的概念、判定定理、性质定理；线面垂直的概念、判定定理、性质定理；面面垂直的概念、判定定理与性质定理；异面垂直、异面直线所成角、线面角与二面角的概念（不同版本出现时间略有不同）．(3)直线与圆：直线的倾斜角与斜率、斜率公式、直线的方程（点斜式、斜截式、一般式、两点式、截距式）、直线与直线的位置关系（平行、垂直）、平面直角坐标系中的一些公式（两点间距离公式、中点坐标公式、点到直线的距离公式、平行线间的距离公式）；圆的标准方程与一般方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系．常用的拓展知识与结论有：截距坐标公式、面积坐标公式、圆上一点的切线方程；圆外一点的切点弦方程；直线系与圆系的相关知识等．想不起来，或者不太清楚这些概念与定理的，赶快翻翻教材和笔记吧．二、重难点与易错点重难点与易错点部分配合必考题型使用，做完必考题型后会对重难点与易错部分部分有更深入的理解．(1)多面体的体积转化及点面距离的求法；(2)较复杂的三视图；(3)球与其它几何体的组合；(4)平行与垂直的证明；(5)立体几何中的动态问题．(6)直线方程的选择与求解，特别要注意斜率不存在的直线；(7)直线与圆的位置关系问题；(8)直线系相关的问题．三、参考题型1．正四面体的棱长为，则它的外接球的表面积为（）A．B．C．D．2．平面与球体的表面相交于一个圆，圆上三个点构成一个等边三角形，边长为，球心到平面的距离等于球半径的，则球的半径是（）A．B．C．D．3．如图，网格纸上小正方形的边长为，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．B．C．D．4．有一个圆心角是，面积是的扇形围成一个圆锥，则圆锥的表面积是（）A．B．C．D．5．对于不同的直线和不同的平面，给出下列命题，其中正确的是（）A．B．C．与异面D．6．如图，已知四棱锥的底面是菱形，，点为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）设，求三棱锥的体积．7．如图，三棱锥中，平面平面，，点在线段上，且，，点在线段上，且．（1）证明：平面；（2）若四棱锥的体积为，求线段的长．8．设四面体的六条棱的长分别为和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（）A．B．C．D．9．个半径为的球两两外切，则这个球的外切正四面体的棱长为（）A．B．C．D．前三个答案都不对10．如图，平面与平面垂直，直线为两个平面的交线．是平面内不同的两点，是平面内不同的两点，且．分别是线段的中点．下列判断正确的是（）A．当时，、两点不可能重合B．、两点可能重合，但此时直线与直线不可能相交C．当与相交，直线平行于时，直线可以与相交D．当、是异面直线时，可能与平行11．如图所示，在正方体中，点是边的中点．点在直线（除两点）上运动的过程中，平面可能经过的该正方体的顶点是________．（写出满足条件的所有顶点）12．直线与直线的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．13．若直线与直线平行，则实数的值等于________．14．已知圆的图象如图，则直线与直线的交点在第________ 象限．15．直线被两条直线和截得的线段中点为，则直线的方程是________________．16．直线与圆相交于，两点，点是圆上一点，且的面积等于，这样的点有且仅有（）A．个B．个C．个D．个17．已知是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，那么四边形面积的最小值为________，此时点的坐标为________．18．点集在平面直角坐标系内所对应的区域面积等于________．19．已知圆和直线，下面四个命题：①对任意实数与，直线和圆相切；②对任意实数与，直线和圆有公共点；③对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切；④对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切．其中真命题的代号是________．（写出所有真命题的代号）20．已知圆和点．（1）过点向圆引切线，求直线的方程；（2）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为的圆的方程；（3）设为中圆上的任意一点，过点向圆引切线，切点为．试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？请说明理由．答案：1．D；2．C；3．C；4．B；5．B；6．（3）．7．（2）或．8．A；9．B；10．B；11．．12．A；13．；14．一；15．；16．D；17．，．18．．19．②④；20．（1）和；（2）；（3）存在定点或．选修2-1一、基础知识(1)常用逻辑用语：四种命题（原、逆、否、逆否）及其相互关系；充分条件与必要条件；简单的逻辑联结词（或、且、非）；全称量词与存在性量词，全称命题与特称命题的否定．(2)圆锥曲线：曲线与方程；求轨迹的常用步骤；椭圆的定义及其标准方程、椭圆的简单几何性质（注意离心率与形状的关系）；双曲线的定义及其标准方程、双曲线的简单几何性质（注意双曲线的渐近线）、等轴双曲线与共轭双曲线；抛物线的定义及其标准方程；抛物线的简单几何性质；直线与圆锥曲线的常用公式（弦长公式、两根差公式）．圆锥曲线的几何性质的常用拓展还有：焦半径公式、椭圆与双曲线的焦准定义、椭圆与双曲线的“垂径定理”、焦点三角形面积公式、圆锥曲线的光学性质等等．(3)空间向量与立体几何：空间向量的概念、表示与运算（加法、减法、数乘、数量积）；空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示；平面的法向量、用空间向量计算空间的角与距离的方法．二、重难点与易错点重难点与易错点部分配合必考题型使用，做完必考题型后会对重难点与易错部分部分有更深入的理解．(1)区分逆命题与命题的否定；(2)理解充分条件与必要条件；(3)椭圆、双曲线与抛物线的定义；(4)椭圆与双曲线的几何性质，特别是离心率问题；(5)直线与圆锥曲线的位置关系问题；(6)直线与圆锥曲线中的弦长与面积问题；(7)直线与圆锥曲线问题中的参数求解与性质证明；(8)轨迹与轨迹求法；(9)运用空间向量求空间中的角度与距离；(10)立体几何中的动态问题探究．三、参考题型1．命题“若，则或”的否命题是（）A．若，则且B．若，则或C．若，则且D．若，则或2．命题“，使得”的否定形式是（）A．，使得B．，使得C．，使得D．，使得3．“”是“曲线（）经过点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知为抛物线的焦点，点，是抛物线上的动点．当取最小值时，点的坐标为 ________．5．如图，已知为椭圆上的一点，分别为椭圆的两个焦点，为的内切圆圆心，直线交轴于，求的值．6．已知是双曲线上的一点，、是的两个焦点，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．7．过点作斜率为的直线与椭圆（）相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于________．8．离心率为的椭圆的焦点为和，点在椭圆上，若的中点在轴上，则是的（）倍．A．B．C．D．9．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点．若点的横坐标为，则的离心率为________．10．点到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么的值是________．11．在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记点的轨迹为曲线．（1）给出下列三个结论：①曲线关于原点对称；②曲线关于直线对称；③曲线与轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；其中，所有正确结论的序号是 ________．（2）曲线上的点到原点距离的最小值是 ________．12．已知椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程．13．已知椭圆（）过点，且离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设直线（）交椭圆于两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由．14．设椭圆的离心率为，斜率为的直线过点，且与椭圆相交于、两点．（1）求椭圆方程；（2）若直线与轴相交于点，且，求的值；（3）设为椭圆的下顶点，、分别为直线、的斜率，证明对任意的，恒有．15．如图，在正方体中，为的中点，则二面角的余弦值为（）A．B．C．D．16．点是棱长为的正方体的底面上一点，则的取值范围是________．17．正方体中，过顶点作直线和直线所成的角均为，则这样的直线的条数为（）A．B．C．D．大于18．如图，在直三棱柱中，，，点与分别为线段和的中点，点与分别为线段和上的动点．若，则线段长度的最小值是（）A．B．C．D．19．如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是（）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分20．设四棱锥中，底面是边长为的正方形，且平面．（1）求证：直线；（2）过直线且垂直于直线的平面交于点，如果三棱锥的体积取到最大值，求此时四棱锥的高．答案：1．A．2．D．3．A．4．．5．．6．A．7．．8．C．9．．10．．11．②③；．12．（1）；（2）．13．（1）；（2）点在以线段为直径的圆外．14．（1）；（2）；15．C．16．．17．C．18．C．19．A．20．（2）．▍。

高中数学必修二选修2-1知识点归纳

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