服从正态分布的随机误差的概率密度函数
1.正态分布的概率密度与分布函数
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
1
(
t) et2
2dt
2 π
e t2 2dt
t
e t 2
2dt.
2 π
2 π
因为 e t2 2dt 2 π , t et2 2dt 0 ,所以
E(X ) .
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
D(X ) 1
(x
)2
e(
x )2 2 2
dx
2 π
2 t 2 et2 2dt . 2 π
当 y 0 时,
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时,
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以,Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N(0 ,1)的概率密度与分布函数:
(x) Φ(x)
1
x2
e 2,
2π
x
.
1
x t2
e 2 dt.
2 π
概率论与数理统计
正态分布的概率密度与分布函数
方差的定义与计算
方差的定义
方差是用来衡量随机变量取值分散程度的数学概念,它是每个取值与期望的差的平方的 期望。对于离散随机变量,方差计算公式为 $Var(X) = sum (x_i - mu)^2 p(x_i)$,其 中 $mu$ 是期望;对于连续随机变量,方差计算公式为 $Var(X) = int (x - mu)^2 f(x)
对称性
正态分布的曲线关于均值μ对称, 即如果一个数据值在均值μ的左侧, 那么在均值μ的右侧将有一个相同 距离的数据值与之对称。
渐进性
当数据量足够大时,无论数据的 来源和分布情况如何,只要符合 中心极限定理的条件,数据都可 以近似地表示为正态分布。
正态分布在生活中的应用
01
02
03
金融领域
许多金融指标和随机变量 都服从正态分布,如股票 价格波动、收益率等。
自然科学领域
许多自然现象和随机误差 都可以用正态分布来描述, 如测量误差、实验误差等。
社会学领域
人类的许多特征和行为也 可以用正态分布来描述, 如智力、身高、考试成绩 等。
02
正态分布的概率密度函数
概率密度函数的定义
概率密度函数
描述随机变量取值概率分布的函数,其值表示在某个区间内取值的概率。
正态分布的概率密度函数
dx$。
方差的计算
在实际应用中,通常使用样本方差来估计总体方差。样本方差的计算公式为 $s^2 = frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} (x_i - bar{x})^2$,其中 $N$ 是样本大小,$x_i$ 是每个样
本值,$bar{x}$ 是样本均值。
误差的统计概率
误差的统计概念一.随机误差的正态分布1. 正态分布随机误差的规律服从正态分布规律,可用正态分布曲线(高斯分布的正态概率密度函数)表示:(13)式中:y—概率密度;μ—总体平均值;σ—总体标准偏差。
正态分布曲线依赖于μ和σ两个基本参数,曲线随μ和σ的不同而不同。
为简便起见,使用一个新变数(u)来表达误差分布函数式:(14)u的涵义是:偏差值(x-μ)以标准偏差为单位来表示。
变换后的函数式为:(15)由此绘制的曲线称为“标准正态分布曲线”。
因为标准正态分布曲线横坐标是以σ为单位,所以对于不同的测定值μ及σ,都是适用的。
图1:两组精密度不同的测定值图2:标准正态分布曲线的正态分布曲线“标准正态分布曲线”清楚地反映了随机误差的分布性质:(1)集中趋势当x=μ时(u=0),,y此时最大,说明测定值x集中在μ附近,或者说,μ是最可信赖值。
(2)对称趋势曲线以x=μ这一直线为对称轴,表明:正负误差出现的概率相等。
大误差出现的概率小,小误差出现的概率大;很大误差出现的概率极小。
在无限多次测定时,误差的算术平均值极限为0 。
(3)总概率曲线与横坐标从-∝到+∝在之间所包围的面积代表具有各种大小误差的测定值出现的概率的总和,其值为1(100%)(16)用数理统计方法可以证明并求出测定值x出现在不同u区间的概率(不同u值时所占的面积)即x落在μ±uσ区间的概率:置信区间置信概率u= ± 1.00 x= μ± 1.00σ68.3%u= ± 1.96 x= μ± 1.96σ95.0%u= ± 3.00 x= μ± 3.00σ99.7%二. 有限数据随机误差的t分布在实际测定中,测定次数是有限的,只有和S,此时则用能合理地处理少量实验数据的方法—t分布1. t分布曲线(实际测定中,用、S代替μ、σ)t分布曲线与标准正态分布曲线相似,纵坐标仍为概率密度,纵坐标则是新的统计量t(17)无限次测定,u一定→P 就一定;有限次测定:t一定→P 随ν(自由度)不同而不同。
满足置信度的计算修改版
随机测量数据的置信度
1、关于置信度的计算方法
置信度是表征测量结果可信赖程度的一个参数,用置信区间和置信概率来表示。
置信区间[-a ,+a] 是鉴定测量系统的设计误差指标,对于已有的检测系统,随机误差δ服从正态分布,标准误差σ已知。
区间[- a ~ +a]与P(δ)曲线构成的面积就是测量误差在[-a ~ +a] 区间出现的置信概率。
如下图所示:
置信概率计算
置信概率等于在置信区间对概率密度函数的定积分;随机误差出现的概率就是测量数据出现的概率;
由于服从正态分布的概率密度函数具有对称性,随机误差概率公式为:
置信区间可用标准偏差的倍数K 来表示,K 称为置信因子,即:
可以推出:
0()()()(||)2()a a a a a p a a p d p X dX p a p d μμδδδδδδ
++---≤≤+===≤=
⎰⎰⎰a K σ
=2222200202()22()a a a p d e d e d δσδσδδδδσ
-+-==⎰⎰⎰
令 ,因 ,积分由0 到a 变为由0 到K :
上式是一个计算比较复杂的积分,可以通过查表获得积分值。
2、按题目要求计算得出标准差
题目要求置信概率在97%以上,误差在1cm 以内,即a=1cm ,要使置信概率在97%以上,则根据正态分布概率表可以差得K=2.17,从而σ=a/K=0.460。
即设计的系统的标准差应该在0.460以下。
t δσ=a K σ=()()()22
0||||t K p a p t K e dt K δϕ-≤=≤==⎰。
4-1 正态分布的概率密度与分布函数
0.7580 (1 0.9032) 0.6612.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例3] 设随机变量X 服从正态分布N ( , 2 ) , 求 X 落 在区间 ( k , k ) 内的概率,这里 k 1 ,2 ,3 ,.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
P( X 30) P(30 X 30)
(30 20) ( 30 20)
40
40
(0.25) (1.25)
(0.25) [1 (1.25)]
0.5987 (1 0.8944) 0.4931.
其形状.
f (x)
6. 固定 , 改变 ,
1
则当 很小时,
1.5
曲线的形状与一尖塔相似;
3
当 值增大时,
7.5
O
x
曲线将趋于平坦.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布 N ( , 2 )的分布函数为
F(x) 1
P( X 100 1.2) 1 P( X 100 1.2) 1 P( X 100 2) 0.6
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
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所以,在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过
matlab 正态分布概率计算
正态分布是概率论和统计学中非常重要的分布之一。
在实际的科学研究和工程应用中,经常需要对正态分布进行概率计算。
Matlab作为一种功能强大的科学计算软件,提供了丰富的工具和函数用于正态分布的概率计算。
本文将介绍在Matlab中进行正态分布概率计算的方法和步骤。
一、正态分布概率密度函数正态分布的概率密度函数是$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^2}}$$其中,$\mu$是均值,$\sigma$是标准差。
二、Matlab中生成正态分布随机数在Matlab中,可以使用`randn`函数生成符合标准正态分布(均值为0,标准差为1)的随机数,也可以使用`normrnd`函数生成符合指定均值和标准差的正态分布随机数。
生成均值为2,标准差为3的100个正态分布随机数的代码如下:```matlabdata = normrnd(2, 3, 100, 1);```三、Matlab中计算正态分布的累积概率在Matlab中,可以使用`normcdf`函数计算正态分布的累积概率。
计算正态分布随机变量小于2的概率的代码如下:```matlabp = normcdf(2, 0, 1);```这将得到随机变量小于2的概率,即标准正态分布的累积概率。
四、Matlab中计算正态分布的百分位点在Matlab中,可以使用`norminv`函数计算正态分布的百分位点。
计算标准正态分布上侧5分位点的代码如下:```matlabx = norminv(0.95, 0, 1);```这将得到标准正态分布上侧5分位点的值。
五、Matlab中绘制正态分布概率密度函数图和累积概率图在Matlab中,可以使用`normpdf`函数绘制正态分布的概率密度函数图,使用`normcdf`函数绘制正态分布的累积概率图。
绘制均值为1,标准差为2的正态分布的概率密度函数图和累积概率图的代码如下:```matlabx = -5:0.1:7;y_pdf = normpdf(x, 1, 2);y_cdf = normcdf(x, 1, 2);figure;subplot(2,1,1);plot(x, y_pdf);title('Normal Distribution Probability Density Function'); xlabel('x');ylabel('Probability Density');subplot(2,1,2);plot(x, y_cdf);title('Normal Distribution Cumulative Probability Function'); xlabel('x');ylabel('Cumulative Probability');```六、总结本文介绍了在Matlab中进行正态分布概率计算的方法和步骤,包括生成正态分布随机数、计算正态分布的累积概率、计算正态分布的百分位点、绘制正态分布概率密度函数图和累积概率图等内容。
第二章随机误差
特征量为:
2
2
2
六、t分布
316
设随机变量X与Y相互独立,X服从标准正态分布
N(0,1),Y服从自由度为的χ2分布,则随机变 X t 量 Y / 的概率密度
f x
(
1
2
(2-32) (2-33)
)
( )
2
(1
x
2
15
设随机变量X1,X2,…,Xυ相互独立,且都服从
标准正态分布N(0,1),则随机变量 2 2 的概率密度为 2 X 12 X 2 X
x 1 1 2 2 x e f x 2 2 ( ) 2 0
x0 x0
第一节 随机误差概述
二、随机误差产生的原因
随机误差是由人们不能掌握,不能控制,不 能调节,更不能消除的微小因素造成。这些因素 中,有的是尚未掌握其影响测量准确的规律;有 的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化, 而这些微小变化又给测量带来误差。
例
题
举例:用测长机测量1m长的钢杆制件,测量温度的允 许范围为(20±2)℃。为此,测量在恒温室内进行, 恒温室温度控制能力达到(20±0.5)℃,满足测量要 求。但在测量时,恒温室的温度必然处在不断地变化 中,围绕平均温度20℃有微小的波动,温度时高时低, 变化速度时快时慢。温度的微小变化引起钢杆制件长 度和测量仪器示值的微小变化,且它们受温度的影响 又不一致,有快慢之别,大小之分。这种影响又无法 确定,因此造成随机误差。
误差的分布;正确求解极限误差。
重点和难点
3- 3
随机 误差 产生 的原 因
随机误差概率密度正态分布
ƒ(0)
置信概率
1/2α
P= φ(z)=1-α
1/2α
置信区间 ±(L) 图1—5 置信区间与置信概率
δ
Z
0
φ(Z)
0.00000 0.07966 0.15852
Z
0.9 1.0 1.1
φ(Z)
0.63188 0.68269 0.72867
Z
1.9 1.96 2.0
φ(Z)
0.94257 0.95000 0.95450
拐点坐标:
1 f (0) f max ( ) σ 2 1 f g ( ) f ( ) 2e
概率:
P{,}
f ( )d 1
一、算是平均值与数学期望值 1. 算是平均值:
x
x
i 1
n
i
n
2. 随机变量的数学期望定义为随机变量的一阶 原点距,记为:
h
1
2
ƒ(δ)
ƒ(δ) σ<σ´<σ´´ h>h´>h´´ ƒ(δ)dδ
拐点
ƒ´(δ)
ƒ´´(δ)
1/(σ√2πe)
1/(σ√2π)
- σ´´- σ´
-σ
σ
σ´
σ´´
δ
随机误差正态分布曲线图
3、σ(曲线的拐点)的大小说明了测量值的 离散性, 故等精度测量是一种σ值相同的测 量。 4、正态分布曲线的关键点 峰点坐标: 0( xi x0 )
( x x0 ) 2 1 Dx ( x x0 ) f ( x)dx exp[ ( x x0 ) 2 ]dxlim
服从正态分布的随机变量的绝对值
服从正态分布的随机变量的绝对值在日常生活中,我们经常会遇到一些现象或数据呈现出一种特殊的表现形式,那就是正态分布。
正态分布是一种非常重要的概率分布,它的应用领域非常广泛,如自然科学、社会科学、经济学等。
今天,我们就来探讨一下服从正态分布的随机变量的绝对值。
首先,我们来了解一下服从正态分布的概念。
正态分布,又称为高斯分布,是一种连续型概率分布。
它描述了一组数据大致上呈钟形曲线的分布规律,其中的参数μ表示均值,σ表示标准差。
正态分布的概率密度函数为:f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)^2 / 2σ^2)。
接下来,我们来讨论一下随机变量绝对值的概念。
在概率论中,随机变量绝对值是指随机变量取值的非负版本。
对于服从正态分布的随机变量X,其绝对值|X|也服从正态分布。
这是因为X和-X具有相同的概率分布,所以它们的绝对值也具有相同的分布。
那么,服从正态分布的随机变量绝对值有哪些特点呢?首先,绝对值随机变量也具有正态分布的钟形曲线特点,但峰值出现在μ处,而不是0处。
其次,绝对值随机变量的分布区间为[0, +∞),意味着它总是非负的。
此外,我们可以通过计算得到绝对值随机变量的期望值为E(|X|) = 2μ + σ^2 / π * arcsin(μ / σ)。
在实际问题中,服从正态分布的随机变量绝对值有很多应用场景。
例如,在金融领域,资产价格的波动可以近似看作服从正态分布;在工程领域,产品的尺寸偏差、测量误差等也可以用正态分布来描述。
以下是一个实例:假设某企业生产的产品长度服从正态分布,均值μ为100mm,标准差σ为5mm。
那么,产品长度的绝对值也服从正态分布,我们可以根据正态分布的性质来评估产品的质量合格率。
总之,服从正态分布的随机变量绝对值是一个具有实际意义和应用价值的概率分布。
了解其特点和应用场景,可以帮助我们更好地分析和解决实际问题。
误差函数 正态分布
误差函数正态分布一、引言在机器学习和统计学中,误差函数(error function)是用来衡量模型的预测值与真实值之间的差异的一种指标。
误差函数的选择对模型的训练和优化至关重要。
正态分布(normal distribution)又被称为高斯分布(Gaussian distribution),是一种常见的概率分布模型。
本文将深入探讨误差函数与正态分布的关系,以及它们之间的应用。
二、误差函数概述误差函数是用来度量预测值与真实值之间差异的函数。
在机器学习中,我们希望通过最小化误差函数来找到一个最佳的模型参数集合。
常见的误差函数包括均方误差(Mean Squared Error,简称MSE)、交叉熵(Cross Entropy)等。
2.1 均方误差均方误差是误差函数中最常用的一种,它衡量了模型预测值与真实值之间的平均差异的平方值。
均方误差的计算公式如下所示:MSE=1n∑(y i−y î)2ni=1其中,y i为真实值,y î为模型的预测值,n为样本数量。
均方误差广泛应用于回归问题的模型评估和参数优化。
2.2 交叉熵交叉熵常用于分类问题的模型评估和优化。
它衡量了模型预测值与真实类别之间的差异。
交叉熵的计算公式如下所示:CE=−∑y ini=1log(y î)其中,y i表示真实类别的概率分布,y î表示模型预测的类别概率分布,n表示类别数量。
交叉熵越小,模型的预测结果与真实结果越接近。
三、正态分布概述正态分布是一种连续型概率分布,它的概率密度函数呈钟形曲线。
正态分布的特点是其均值和方差完全决定了整个分布的形状。
正态分布的概率密度函数公式如下所示:f(x|μ,σ2)=1√2πσ2−(x−μ)22σ2其中,μ表示均值,σ2表示方差。
正态分布在统计学和概率论中广泛应用,因为许多自然现象都服从正态分布。
3.1 正态分布的特性正态分布有若干重要的特性,包括:1.对称性:正态分布的概率密度函数在均值处具有对称性,呈钟形曲线。
正态分布的概率密度与分布函数(修)
正态分布的概率密度函数表达式为:$f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(xmu)^2}{2sigma^2}}$,其中$mu$是均值, $sigma$是标准差。
正态分布在实数轴上对称分布,其 概率密度函数关于均值$mu$对称。
参数解释
1 2
均值($mu$) 正态分布的对称轴,决定了分布的位置。
正态分布在统计学中的应用
在回归分析中的应用
线性回归分析
正态分布是线性回归分析中误差分布的常用假设,它有助于估计未知参数和预测 未来观测值。
逻辑回归分析
在逻辑回归分析中,正态分布用于解释分类变量与连续变量之间的关系,通过概 率转换实现分类目的。
在质量管理中的应用
控制图
正态分布用于制作均值和标准差控制 图,监控生产过程中的产品质量波动。
与t分布的关系
01
t分布是正态分布在样本量较小或数据变异较大时的
近似分布。
02
t分布的形状由自由度决定,当自由度逐渐增大时,t
分布趋近于正态分布。
03
在统计推断中,t检验和t分布经常用于分析小样本数
据或异常值较多的数据集。
与F分布的关系
1
F分布是两个正态分布的比值的分布,常用于方 差卡尔·弗里德里希·高斯 (Carl Friedrich Gauss)在1809 年首次对正态分布进行了系统研究, 并将其应用于误差分析。
后续发展
随着统计学和概率论的不断发展, 正态分布在各个领域得到广泛应用, 成为概率论和统计学中的基础分布 之一。
定义
正态分布是一种连续概率分布,其概率 密度函数(pdf)呈钟形曲线。
正态分布的分布函数形式为:$F(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} int_{-infty}^{x} e^{-frac{(tmu)^2}{2sigma^2}} dt$,其中$mu$和$sigma$分别为均值 和标准差。
正态分布(高斯分布)、Q函数、误差函数、互补误差函数
正态分布(⾼斯分布)、Q函数、误差函数、互补误差函数1.正态分布(⾼斯分布)若随机变量X服从⼀个位置参数为\mu、尺度参数为\sigma的概率分布,且其概率密度函数为f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 {\sigma} ^2}}则这个随机变量就称为正态随机变量,正态随机变量服从的分布就称为正态分布,记作X \thicksim N(\mu , \sigma ^2)。
当\mu = 0, \sigma = 1时,称为标准正态分布。
X \thicksim N(0 , 1)f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2 }}如下图是⼀般正态分布如下图是标准整体分布⼀般正态分布的分布函数F(x)F(x)=P(X \leqslant x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}\int_{-\infty}^{x}e^{-\tfrac{(t-\mu)^2}{2{\sigma}^2}}dt标准正态分布的分布函数\Phi(x):\Phi(x)=P(X \leqslant x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^{x}e^{-\tfrac{t^2}{2}}dt2.Q函数Q函数⼜称标准正态分布的右尾函数。
Q(x)=\int_x^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ e^{-\tfrac{t^2}{2}}dt = 1-\Phi(x)3.误差函数erf(x)=\frac{2}{\sqrt{ \pi}}\int_0^{x}e^{-t^2}dt4.互补误差函数erfc(x)=\frac{2}{\sqrt{ \pi}}\int_x^{\infty}e^{-t^2}dt = 1-erf(x)5.它们之间的关系Q(x) = 1-\Phi(x)Q(x) = \frac{1}{2} erfc(x/ \sqrt 2)erfc(x) = 2Q(\sqrt 2 x)erf(x) = 1-2Q(\sqrt 2 x)erf(x) + erfc(x) = 1注:由正态分布密度函数的总积分为1(即概率 P(X<∞) = 1)得:Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js。
正态分布概率分布函数
正态分布概率分布函数正态分布概率分布函数是统计学中非常重要的一种概率分布函数,也被称为高斯分布。
它描述了大量具有连续变量的现象的分布情况,如身高、体重、 IQ 等。
正态分布的概率密度函数是钟形曲线,两侧呈对称关系,因此也被称为“钟形曲线分布”。
正态分布是一个连续的概率分布,它的概率密度函数为:$$f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$$\mu$ 是分布的均值,$\sigma$ 是分布的标准差。
这个函数的图像与 $\mu$ 和$\sigma$ 的值有关,如果 $\mu$ 值增大,曲线向右移动;如果 $\sigma$ 值增大,曲线变得更平缓,同时顶点也变得更加圆。
正态分布的概率密度函数可以解释为:一个连续型的变量以 $\mu$ 为中心,以$\sigma$ 为半径的范围内的数值出现的概率。
对于身高这个变量,我们可以用 $\mu$ 来表示平均身高,$\sigma$ 表示身高的标准差。
在这种情况下,正态分布的概率密度函数描述了一个人身高在某个区间内的可能性大小。
正态分布的概率密度函数在很多情况下都有着重要的应用。
在实际应用中,我们经常需要计算区间内的概率,也就是计算正态分布函数在特定区间内的面积。
这个过程需要通过积分来实现,但是由于正态分布曲线的对称性,我们可以利用一些规律来求解。
我们可以使用正态分布表来找到某个区间的概率,这些表通常被列成两个部分,第一部分列出了 Z 分数(标准正态分布对应的值),第二部分列出了面积。
如果要计算 $Z \leq 0.5$ 的概率,我们可以查表得到 $0.6915$。
如果我们要计算 $Z > 0.5$ 的概率,可以是用对称性 $P(Z > 0.5) = P(Z < -0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085$。
在实际应用过程中,有时候我们需要计算两个正态分布之间的概率,这个情况下又需要使用一些特定的公式来计算。
误差的基本性质-随机误差
在正态分布条件下,满足最大似然原理:
该测量事件发生的概率最大
二、残余误差 由算术平均值原理可知,算术平均值是真 值的最佳估计值,用算术平均值代替真值计 算得到的误差称为残余误差。 在规定测量条件下,同一被测量的测量列 x1,x2,…,xn有算术平均值: 1 n x xi n i 1 则称:
50
40
30
20
10
0 0.114 0.116 0.118
0.12
0.122 0.124 0.126 0.128
对于测量状态不完好的光电类测量仪 器,特别是对传动机械部件磨损较严重 而规律尚未掌握的仪器,其测量随机误 差可能就呈现其他分布的特征。
激光数字波面干涉仪的随机误差主要来源
氦氖激光源辐 射激光束的频 率不够稳定造 成激光波长的 漂移 放置测量主机和被 测试样的隔震台不 能很好消除外界的 低频震动 操作人员的装夹 调整不当引起被 采集的测量干涉 图像质量低、条 纹疏密不当 离散化采样误差、 各次装夹定位不 一致 CCD光电探测器 采集信号及其电 信号处理电路造 成干涉图像信号 的随机噪声
六、t 分布
设随机变量 X与 Y相互独立, X服从标准正态分布 N (0,1),Y服从自由度为υ的χ2分布,则随机变量
t X Y /
(
服从自由度为的t 学生氏 分布
其概率密度函数为:
1
2 f x )
( )
2
(1
x2
)
1
2
其特征量分别为: E[ ] 0;
如果这组数据是来自于某测量总体的一个 样本,则该组数据的标准差是对该测量总体标 准差的一个估计,称其为样本标准差,又称为 实验标准差。
erf公式
erf公式erf公式,即误差函数公式,是数学中常用的一个函数,用来描述正态分布的累积概率密度函数。
它在概率统计、信号处理、机器学习等领域被广泛应用。
误差函数公式可以表示为:erf(x) = (2/√π) ∫[0,x] e^(-t^2) dt其中,erf(x)表示误差函数,x为自变量,e为自然对数的底数,√π为π的平方根,∫表示积分符号。
误差函数公式的主要作用是计算正态分布的累积概率。
在统计学中,正态分布是一种常见的概率分布,它的概率密度函数呈钟形曲线,对称分布在均值周围。
误差函数可以帮助我们计算出正态分布中随机变量落在某个区间内的概率。
误差函数的积分形式给出了误差函数的定义,通过对指数函数进行积分求解,可以得到误差函数的数值。
由于误差函数没有一个简单的表达式,所以通常需要使用数值积分或近似方法来计算误差函数的值。
误差函数的性质使得它在实际问题中具有广泛的应用价值。
首先,误差函数是一个奇函数,即满足erf(-x)=-erf(x),这意味着误差函数关于原点对称。
其次,误差函数的定义域为实数集,值域为[-1,1],且在x趋近于正无穷和负无穷时分别趋近于1和-1。
这些性质使得误差函数在统计学中可以用来计算正态分布的上尾概率和下尾概率。
除了统计学领域,误差函数还在信号处理和机器学习中起着重要作用。
在信号处理中,误差函数可以用来计算信号的功率谱密度和相关函数。
在机器学习中,误差函数常被用作损失函数,用来衡量模型预测结果与真实值之间的差距,进而优化模型的参数。
误差函数公式是描述正态分布累积概率的重要数学工具。
它在统计学、信号处理和机器学习等领域发挥着重要作用。
通过误差函数的计算,我们可以更好地理解和分析随机变量的分布规律,从而为实际问题的解决提供有力支持。
在实际应用中,我们可以利用现有的数值计算方法来计算误差函数的值,进一步推动相关领域的发展和应用。
随机误差
(x)
(b
1 a)B(g,
h)
x b
a a
g 1
1
x b
a a
h1
数学期望 bg ah
gh
标准方差 (b a) gh
(g h) g h 1
贝塔分布的性质与密度函数图
在给定分布界限a,b 下通
过参数g,h 取不同值,贝塔
0
1 a2 x2
a xa 其他
数学期望 E 0
f (x )
标准方差
a
2
置信因子 k a 2
服从反正弦分布的可能情形
度盘偏心引起的测角误差;
正弦(或余弦)振动引起的位移误差; -a
o
无线电中失配引起的误差。
a
x
瑞利分布
概率密度函数
f (x)
2、类型
▪正态分布统计检验
❖夏皮罗-威尔克检验 ❖偏态系数检验 ❖峰态系数检验
▪一般分布检验
❖皮尔逊检验
皮尔逊 2
检验( n 50
)
1、提出原假设
H0 : F (x) F0 (x)
▪把整个数轴分成m个区间
(, a1], (a1, a2 ],L L , (am1, )
▪总体X 的分布函数 F(x)未知 ▪ fi 频数,样本的观察值落
在区间 [3 ,3 ] 内的概率P 3
P 3 2(3) 1 20.9987 1 0.9974
随机误差服从正态分布,且标准偏差为 ,则 在该条件下,进行100次测量,可能有99次的随 机误差落在区间内[3 , 3 ]
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(II)对于相同的被测量,绝对误差可以评定其测量精度的高 低,对于不同被测量以及不同的物理量,采用相对误差来 评定较为确切。
(III)绝对误差和相对误差通常适用于单值点测量误差的表示。
• 例:用电压表分别对A、B两电压进行测量,测量结果如下:
•
xA 100.0V δA 1.0V
xB 5.0V δB 0.2V
是无意义的。 例:机加工中,制造与某个孔相配合的轴。
(2)、误差理论是保证和提高测量准确性必要的理论依据。
生产中大量的测量是为了检验产品是否合格,因此要求检 验手段即所用的测量仪器和测量方法有一定的准确性。
科学研究中要求尽量减小误差。 (3)、误差理论是合理选用、设计仪器的必要理论基 础。合理选用仪器要求在满足准确度的前提下,尽量使测量过 程简单、经济、高效。
(a)、定义:被测量的测量值与其真值之差;或者为用 绝对大小给出的误差为该量的绝对误差。简称误差。
绝对误差=测量值-真值
Δx x A0
其中 Δx为绝对误差;x为测得值;A0为被测量的真值。
(b)、关于绝对误差
(I)一般所说的误差就是绝对误差; ( II)绝对误差具有确定的大小、计量单位和“+”、“-”号。
例:用台式血压计测量人体血压。
测量仪器、测量方法、测量人员、测量环境、 测量对象等都会产生误差。
二、 测量过程与误差的基本概念
1、测量过程与标准
(1)测量:借助于专门设备,以确定被测对象的量值为目的所 进行的操作。它是一个比较过程,即通过一定的实验方法将被 测量与一个作为比较单位的标准量相比较的过程。 测量包括测量过程和测量结果。
A
• (a)真值A0:某一物理量在一定条件下(某一时刻、某一 位置或状态下)所具有的客观的、不随测量方法改变的真 实数(量)值。真值是一个理想的概念,一般无法得到。
一般来说,真值是未知的,但绝不意味着真值一定不知道。
理论真值,通过理论方法获得的真值。 例如:三角形内角之和为180o;平面直角理论值为90o, 理想电容或电感构成的电路,电压与电流的相位差为90o。
试比较两电压测量结果准确度的高低。
解:A、B两电压测量结果的相对误差分别为:
rA
A
xA
2、误差的产生及分类
(1)、误差的来源
误差的来源应从测量的共性中去寻找。
在测量过程中,误差产生的原因主要可归纳为:测量装置、 测量方法、测量环境、测量人员和被测量自身等几个方面的来 源。
(2)、误差的表示方法
常用的误差表示方法有绝对误差法、相对误 差法和引用误差法,分贝误差。 a、绝对误差( Absolute error )
设计仪器时,应用误差理论来分析并适当的控制这些误差 因素,使仪器的测量准确度达到设计要求。
(4)、合理进行不确定度的评定和表示是现代科技 交流和国际贸易的迫切需要。
经济全球化、国际贸易日益频繁,要求统一测量不确 定度的评定和表示方法,从而可以相互比对,达成共识。
对于从事各种实验和研究的科技工作者,特别是从事计 量科学、产品质量检定、质量管理和精密测试的人员,这 都是一门必不可少、十分重要的课程。
反映测量值偏离真值的大小与方向,通常用于同一量级的 同种量的测量结果的误差比较。 (III)绝对误差数值大小与所取单位有关。 例:某加工车间加工一批直径为50mm的轴,抽检两根轴的 直径分别为49.9mm和49.8mm,两根轴的绝对误差为
x1 49.9 50 0.1mm x2 49.8 50 0.2mm
(c)、修正值(Correction )
修正值=-绝对误差=真值-测量值
例:一个10g的三等标准砝码,经二来自砝码计量检定 得到误差为-0.002g,砝码的实际值(真值)为
误差=测量值-真值=测量值+修正值 真值=测量值-误差
10g+0.002g=10.002g
例:用某电压表测量电压,电压表的示值为226V, 查该表的检定证书,得知该电压表在220V附近的误差 为5V,则修正后的结果为:
(b)指定值(计量学约定值):国际计量机构内部约定的 真值(例如:七个国际基本单位量的确定等。长度 m 质量 kg 时间 s 电 流 A 热力学温度 K 发光强度 cd 物质的量 mol ) 和国家设立的尽可 能维持不变的实物基准或标准原器所规定的值。 (c)实用值:实际检测过程不可能与国家基准进行比较测 量。因此采用剂量标准传递的方法将指定值、基准值传递给 各级计量站。
测量过程包括执行测量所需要的一切操作。包括建立单 位、选择测量工具、设计测量方法、研究分析测量结果、分 析产生误差的原因及如何消除误差。例:测量一电阻的阻值。
测量结果包括比值、测量单位和精度评定。 例:测量一工件的长度为90.2mm,不确定度为0.1mm。
(a)、测量的比较标准有以下三类:真值A0,指定值As, 实用值
光电检测技术基础
2.1 检测量的误差与数据处理 2.2 辐射度量和光度量基础 2.3 光电检测器件的特性参数
2.1 检测量的误差及数据处理
一、 前言 二、 测量过程与误差的基本概念 三、 随机误差 四、 系统误差
一、前言
1、研究误差的意义
(1)、 确定测量误差是整个测量过程不可缺少的重要环 节。对于不知其测量误差的测量结果,往往是无法应用从而也
226+(-5)=221V
b、相对误差 (Relative error)
(a)、 定义: 绝对误差与被测量真值的比值。 相对误差=绝对误差/真值
r Δx 100% A
因为测量值与真值比较接近,故也可近似用绝对误差 与测量值的比值作为相对误差。
相对误差≈绝对误差/测量值
(b)、关于相对误差 (I)相对误差是一个比值,其数值与被测量所取单位无关, 因而是无名数(即无量纲数),通常用百分数“%”表示。
2、测量是误差与数据处理理论的前提
(1)、测量是人类认识、改造物质世界的重要 手段之一。
门捷列夫(俄):“科学自测量开始,没有测量,便 没有精密的科学。
(2)、现代社会中,测量对促科学技术的发展起到 重要作用。
库克(英):“测量是技术生命的神经网络”。
3、误差公理
误差公理:测量结果都有误差,误差自始至终 存在于一切科学实验和测量过程中。