全等三角形基础练习

全等三角形基础练习.解答题(共24小题)3.如图，点 B , F , G E 在直线l 上( F , C 之间不能直接测量)，点A, D 在I AB=DE AC=DF BF=EC4.四边形 ABCD 中, AD=BC BE=DF AEl BD, CF 丄 BD,垂足分另U 为 E 、F . (1)求证：△ ADE^A CBF ;(2)若AC 与 BD 相交于点 O 求证：AO=CO5.如图，已知点 B , E , C, F 在一条直线上， AB=DF AC=DE / A=/ D. 1 如图，已知 AB 丄AC, AB=AC DE 过点A ，且CD! DE BE 丄DE 垂足分别为点 D E .求证:△ ADC^A BEA D2.如图，AB// ED,已知AC=BE 且点B 、C 、D 三点共线，若/ E=/ ACB 求证:BC=DE异侧，测得(1)求证：△ ABC^A DEF ; (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由.(1)求证：AC// DE6.已知△ ABN^n ^ ACM 位置如图所示， AB=AC AD=AE / 仁/ 2.在^ ABC 中, AD 平分/ BAC 且 BD=CD DEI AB 于点 E , DF ! AC 于点 F . (1)求证：AB=AC (2 )若 AD=^, / DAC=30，求 AC 的长.(1) 求证:BD=CE如图, 在^ ABCm CED 中,AB// CD AB=CE AC=CD 求证：/ B=/ E.BD 丄 AC 于点 D, CE! AB 于点 E , AD=AE 求证：BE=CD(1)求证: △ ACB^A BDA(2)若/ ABC=35，则/CAO=AC=FD 求证：AE=FBE , DE=FE FC// AB 求证：AE=CE14•如图, 求证: / M=/ N.C 是AE 的中点，/ 如图: 点 A=/ ECD AB=CD 求证：/ B=/ D.7. 如图, 9. AD BC 相交于点 10.如图, O AD=BC / C=/ D=90 . 题图EC=BD AF=DF13•如图, 点 D 是AB 上一点，DF 交AC 于点11.如图，点 A , B, C, D 在同一条直线上， CE// DF,15.如图，点 A 、C D B 四点共线，且 AC=BD / A=/ B,/ ADEN BCE 求证：DE=CF16.如图，已知/ CAB / DBA / CBD / DAC求证：BC=AD 求证：AB=ACAC 与 BD 交于 O AC=BD 求证：△ ABC^^ BAD四边形 ABCD 中, E 点在 AD 上,/ BAE=/ BCE=90，且 BC=CE AB=DE21.已知：如图，△ ABC 中，/ ABC=45 , CD!AB 于 D, BE !AC 于 E, BE 与 CD 相交于点 F.20.如图,题图1717.如图，BEX AC, CD! AB,垂足分别为 E , D, BE=CDs19.如图, 已知 AC! BC BD ! AD, 求证：△ ABC^A DEC22.如图，△ ABC 中，/ C=90 , / BAC=30，点 E 是AB 的中点.以△ ABC 的边AB 向外作23.已知：如图， C 是AB 上一点，点 D, E 分别在AB 两侧，AD// BE 且AD=BC BE=AC (1)求证：CD=CE(2)连接DE 交AB 于点F ,猜想△ BEF 的形状，并给予证明.ABCm DCE 中, AC=BC DC=EC / ACB 玄 DCE=45 ,点 B 、C 、(1)在不添加辅助线和字母的情况下，请在图中找出一对全等三角形(用“也”表示)加以证明;E 三点共线，且 BC: CE=2 1，连接 AE 、BD.，并AC=DE24.发现与探究: 如图，△(2)求 tan / BDC 的值.三点共线，若/ E=/ ACB 求证：BC=DE.解答题（共24小题）如图，已知 AB 丄AC AB=AC DE 过点A,且CD丄DE BEX DE 垂足分别为点 D, E.求证：△ ADC^A BEA【分析】由AB 与AC 垂直，CD 与 DE 垂直，B 与DE 垂直，利用同角的余角相等得 出/DCAM EAB 进而得出的一对角相等，一对直角相等，以及 AB=AC 利用AAS 即可得证.【解答】 证明：••• AB 丄AC, CDI DE BEX DE •••/ BAC # D=/ E=90° ,•••/ CAD # BAE=90，/ DCA # CAD=90， •••/ DCA # EAB在^ ADCffiA BEA 中,rZD=ZE=^0'」ZDCA=ZEA£ ,AC 二 BA•••△ ADC^A BEA( AAS.【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性 质是解本题的关键.2. （2017春？九龙坡区校级月考）如图， AB// ED,已知 AC=BE 且点B 、C 、D2017年04月 05日56的初中数学组卷参考答案与试题解析1.（ 2017春？高密市校级月考）【分析】只要证明^ ABC^A BDE （AAS 即可解决问题. 【解答】证明：••• AB// DE •••/ ABC=/ D, 在^ ABCfy BDE 中, rZACB=ZE 」ZABC=Zr,AC=BEI•••△ ABC^A BDE(AAS, ••• BC=DE【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形 的判定和性质，属于基础题，中考常考题型.3. （2016?河北）如图，点B , F , C, E 在直线I 上（F , C 之间不能直接测量）,点 A , D 在 I 异侧，测得 AB=DE AC=DF BF=EC(1)求证：△ ABC^A DEF（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.【分析】（1）先证明BC=EF 再根据SSS 即可证明.（2）结论AB// DE AC// DF,根据全等三角形的性质即可证明.【解答】（1）证明：••• BF=CE ••• BF+FC=FC+CEl 卩BC=EFD在^ ABCfy DEF 中,(AB 二DE f AC=DF ,I BC =EF•••△ ABC^A DEF(SSS. (2)结论：AB// DE AC// DF.理由:•: △ ABC^A DEF•••/ ABC=/ DEF / ACB2 DFE【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、 平行线的判定等知识，解题的关键 是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考 题型.4. (2016?连云港)四边形 ABCD 中 , AD=BC BE=DF AE±BD , CF 丄BD ,垂足分求证：△ ADE^A CBF若AC 与BD 相交于点O,求证：AO=CO【分析】（1）根据已知条件得到BF=DE 由垂直的定义得到/ AED2 CFB=90 , 根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）如图，连接AC 交BD 于 O,根据全等三角形的性质得到/ ADEM CBF 由平 行线的判定得到AD// BC,根据平行四边形的性质即可得到结论. 【解答】证明：（1）v BE=DF别为 E 、F.••• AB// DE AC// DF.••• BE— EF=DF EF,即 BF=DE ••• AEl BD, CF 丄 BD•••/ AED2 CFB=90 ,••• Rt △ AD 專 Rt △ CBF( HL );(2)如图，连接AC 交BD 于O,V Rt△ ADE^ Rt△ CBF •••/ ADE2 CBF ••• AD// BC,【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练 掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.5. (2016?曲靖)如图，已知点 B , E , C, F 在一条直线上，AB=DF AC=DE / A=/ D.(1)求证：AC// DE(2)若 BF=13 EC=5 求 BC 的长.【分析】（1）首先证明^ ABC^A DFE 可得/ ACEM DEF 进而可得AC// DE（2）根据△ ABC^ADFE 可得BC=EF 利用等式的性质可得 EB=CF 再由BF=13在 Rt △ ADE 与 Rt △ CBF 中,AD=BC DE 二BF•••四边形ABCD 是平行四边•••FEC=5进而可得EB的长，然后可得答案.rAB=DF【解答】（1）证明：在^ ABCffiA DFE中：Z嚴ZD，AC 二DE•••△ ABC^A DFE(SAS,•••/ ACE2 DEF ••• AC// DE(2)解：•••△ ABC^A DFE ••• BC=EF ••• CB- EC=EF- EC, ••• EB=CF •••BF=13 EC=5••• E呼4,CB=4+5=9【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具. 在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.6. （2016?南充）已知△ ABNffiAACM位置如图所示，AB=AC AD=AE/ 仁/2.(1)求证：BD=CE(2)求证：/ M=/ N.由SAS 证明^ ABD^A ACE 得出对应边相等即可（2）证出/ BANM CAM 由全等三角形的性质得出/ B=/ C,由AAS 证明△ ACM ◎△ ABN 得出对应角相等即可.AB=ACZ1=Z2AD 二 AE•••△ ABD^A ACE( SAS, ••• BD=CE(2)证明：•••/ 仁/ 2, •••/ 1+/ DAEM 2+/ DAE即/ BAN / CAM由(1)得：△ ABD^A ACE •••/ B=/ C,r zc=ZB在^ABN 中，：M 二ABZCAM=ZBAK•••△ ACIWA ABN( ASA, •••/ M=/ N.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质； 证明三角形全等是解决问题的关键.点 C 是 AE 的中点，/ A=/ ECD AB=CD 求证：/ B=/ D.【分析】根据全等三角形的判定方法 SAS 即可证明^ ABCWA CDE 根据全等三【解答】（1）证明：在^ ABD^n ^ ACE 中, J【分析】1角形的性质：得出结论.••• AC=CEM 弍EZA=ZECDAB 二 CD•••/ B=/ D.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法： SSS SAS ASA AAS 直角三角形还有HL8. （2016?重庆）如图,在^ ABC^n ^CED 中 , AB// CD AB=CE AC=CD 求证:【分析】根据两直线平行,内错角相等可得/ BACM ECD 再利用“边角边”证明^ ABCffiA CED 全等,然后根据全等三角形对应角相等证明即可.【解答】证明：••• AB// CD •••/ BACK ECD在^ ABCm CED 中 ,rAB=CE」Z BAC =Z ECD ,AC=CD•••△ ABC^A CED（SAS , •••/ B=/ E.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质， 平行线的性质，熟练掌握三角形 全等的判定方法并找出两边的夹角是解题的关键.9. （2016?孝感）如图,BDIAC 于点 D, CEIAB 于点 E , AD=AE 求证：BE=CD 【解答】证明：•••点 C 是AE 的中点,/ B=/ E.【分析】要证明BE=CD只要证明AB=AC即可，由条件可以求得△ AEC和^ ADB全等，从而可以证得结论.【解答】证明；••• BDIAC于点D, CEIAB于点E, •••/ ADB2 AEC=90 ,在^ ADBfy AEC中,rZAD 岀ZAK，AD=AEZ A=Z AI•••△ ADB^A AEC( ASA ••• AB=AC又••• AD=AE ••• BE=CD【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.10. (2016?镇江)如图，AD BC相交于点0, AD=BC/ C=/ D=90 .(1)求证：△ ACB^A BDA(2)若/ ABC=35，则/ CAO= 20 °5【分析】（1）根据HL证明Rt△ ABC^ Rt△ BAD（2）禾用全等三角形的性质证明即可.【解答】（1）证明：•••/ D=/ C=90 ,•••△ ABCfy BAD都是Rt△,在Rt △ ABC和Rt △ BAD中,〔AD二BC(AB二BA'••• Rt △ ABC^ Rt △ BAD( HL);(2)证明：••• Rt △ ABC^ Rt △ BAD •••/ ABC=/ BAD=35 ,V/ C=90 ,•••/ CAO/ CAB- / BAD=20 .故答案为：20.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS、“ SAS、“ ASA、“ AAS，“ HL';全等三角形的对应边相等.11.（2016?重庆）如图，点A, B，C, D在同一条直线上，CE// DF, EC=BDAC=FD求【分析】根据CE// DF,可得/ ACE/ D,再利用SAS证明^ ACE^A FDB得出对应边相等即可.【解答】证明：V CE// DF, •••/ ACE/ D,在^ ACEfy FDB中, rAC=?DZ ACE=Z D,EC=BDI•••△ ACE^A FDB(SAS, ••• AE=FB【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.12. （2016?十堰）如图，AB// CD E是CD上一点，BE交AD于点F, EF=BF求证：AF=DF【分析】欲证明AF=DF只要证明△ ABF^A DEF即可解决问题.【解答】证明：••• AB// CD，•••/ B=/ FED在^ AB^y DEF中, rZB=ZFED•••△ ABF^A DEF••• AF=DF【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判断和性质，熟练掌握平行线的性质，属于基础题，中考常考题型.13. （2016?昆明）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E, DE=FE FC// AB 求证：AE=CE【分析】根据平行线的性质得出/ A=/ ECF / ADEM CFE 再根据全等三角形的 判定定理AAS 得出^ ADE^A CFE 即可得出答案.【解答】证明：••• FC// AB, •••/ A=/ ECF / ADEM CFE在^ ADE^n ^ CFE 中,rZDAE=Zra■ ZADE=ZcrE,DE=?E•••△ ADE^A CFE(AAS , ••• AE=CE【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定定理SSS SAS ASA AAS HL 是解题的关键.14. （2016?湖北襄阳）如图，在△ ABC 中，AD 平分M BAC 且BD=CD DEI AB求证：AB=AC若 AD=^ , / DAC=30 ,求 AC 的长.（2）先证明ADI BC,再在RTA ADC 中，禾U 用30°角性质设CD=a AC=2a 根据 勾股定理列出方程即可解决问题.【解答】（1）证明：••• AD 平分M BAC DE1AB 于点E , DFIAC 于点F ,••• DE=DF / DEBM DFC=90 ,在 RTA DEB 和 RT ^ DFC 中 , rBD=DC于点 E , DF 丄AC 于点F.(1) (2)【解答】 证明：•••AC=BD •••/ B=/ C, ••• AB=AC（2）v AB=AC BD=DC• ADI BC,在 RTA ADC 中 , •••/ ADC=90 , AD 吨,/ DAC=30 ,• AC=2CD 设 CD=a J 则 AC=2a•/ A C=A D+C D,• 4a 2=a 2+ 聞）2, ••• a > 0,【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形 30°性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住直角三角形30°角所对的直 角边等于斜边的一半，属于中考常考题型.15. （2016?衡阳）如图，点 A CD B 四点共线，且 AC=BD / A=/ B ,/ ADE= 求出AD=BC 根据ASAlt 出^ AED^A BFC 根据全等三角形的性质得出••• AC+CD=BD+CD ••• AD=BC--/ BCF 求证：DE=CF【分即在^ AEDfy BFC中, rZA=ZB f AD=BC , I ZADE=Z BC?•••△ AED^A BFC(ASA, ••• DE=CF【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出^ AED^A BFC是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等.16. (2016?宜宾)如图，已知/ CAB2 DBA / CBDh DAC【分析】先根据题意得出/ DAB2 CBA再由ASA定理可得出^ ADB^A BCA由此可得出结论.【解答】解：•••/ CABM DBA / CBDM DAC •••/ DAB2 CBA在^ ADB与△ BCA中, rZCAB=ZDBA■ ,Z DAB=Z CM•••△ ADB^A BCA(ASA , ••• BC=AD【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键.17. （2016?恩施州）如图，BE1 AC, CDIAB,垂足分别为E, D, BE=CD求证:AB=AC【解答】证明：•••/仁/ 2,C【分析】通过全等三角形（Rt △ CB 專Rt △ BCD 的对应角相等得到/ ECB2 DBC贝U AB=AC【解答】 证明：••• BEL AC, CD! AB •••/ CEB2 BDC=90 .••• Rt △ CB 專 Rt △ BCD( HL ), •••/ ECB2 DBC ••• AB=AC【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定.在应用全等 三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构 造三角形.18. （2016?同安区一模）如图所示，CD=CA /仁/ 2, EC=BC 求证：△ ABC^【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证/ ACBM DCE 再根据SAS 可证△ ABC^A DEC•••/ ACB2 DCE在^ ABCm DEC 中,•••在 Rt △ CBE 与 Rt △ BCD 中, BE=CD BC 二CBCA=CDZACB=ZrCE,,BC=EC•••△ ABC^A DEC( SAS.【点评】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL注意：AAA SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.结合图形做题，由/ 仁/ 2得/ACB2 DCE是解决本题的关键.19.（2016?武汉校级四模）如图，已知ACIBC,BD丄ADAC与BD交于O,AC=BD求【分析】由垂直的定义可得到/ C=/ D,结合条件和公共边，可证得结论.【解答】证明：••• ACIBC, BDIAD •••/ C=/ D=90在Rt△ ACB和Rt△ BDA中, rAB=BA仏BBD，•••△ ACB^A BDA(HL).【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS SAS ASA AAS和HL20. （2016?重庆校级二模）如图，四边形ABCD中，E点在AD 上,/ BAE2BCE=90 , 且BC=CE AB=DE证：△ ABC^A BADB【解答】证明：••• CDXAB,【分析】 先根据四边形的内角和定理得到/ B+# AEC=180，而/ DEC #AEC=180，则# B 二# DEC 然后根据“ SAS 可得到△ ABC^A DEC【解答】 证明：•••/ BAEW BCE=90 ,•••/ B+/ AEC=180 ,而/ DEC # AEC=180 ,在^ ABCfy DEC 中,(AB 二DE」Z B =Z DEC ,BC=ECI•••△ ABC^A DEC( SAS.【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪 一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或 第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等， 且要是两角的夹 边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.21. （2016?大兴区一模）已知：如图，△ ABC 中,/ ABC=45，CDLAB 于 D, BEX AC 于 E ，BE 与CD 相交于点F .BE1 AC 求证/ ABE # ACD 再利用 AAS 判定 Rt △ DFB^ Rt △ DAC 从而得出 BF=AC•••# BDC # CDA=90 ;•••# ABC=45，【分析】由已知条件“/ ABC=45 ，CDXAB'可推知△ BCD 是等腰直角三角形, 根据等腰直角三角形的性质知：/DCB # ABC=45° DB=DC 然后由已知条件“V AB=BD 点E 是AB 的中点,•••/ DCBM ABC=45 （三角形的内角和定理）, ••• DB=D（等角对等边）;••• BEL AC, •••/ AEB=90 ,•••/ A+/ ABE=90 （直角三角形的两个锐角互为余角）V/ CDA=90 , •••/ A+/ ACD=90 ,•/ ABE / ACD （同角的余角相等）；在^ BDFm CDA 中,r ZBDC=ZCDA」DB 二DC ,ZABE=ZACDI•••△ BDF^A CDA（ASA, ••• BF=AC（全等三角形的对应边相等）.【点评】本题考查三角形全等的判定与性质.判定两个三角形全等的一般方法有: SSS SAS SSA HL 在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直 角三角形，要注意掌握并应用此点.22. （2016?常州一模）如图，△ ABC 中,/ C=90 , / BAC=30，点 E 是 AB 的 中点.以△ ABC 的边AB 向外作等边△ ABD 连接DE 求证：AC=DE【分析】根据等边三角形的性质就可以得出/ DAB=60 , / DAC=90 .就可以得 出^ ACB^A DEB 进而可以得出结论.【解答】证明：•••△ ABC 是等边三角形, • AB=BD/ABD=6D ,• DEI AB,• / DEB=90,【解答】（1）证明：如图,连接CE V/ C=90 , •••/ DEB / C,V/ BAC=30 ,•••/ AB(=60 ,•••/ ABD / ABC在^ ACB 与△ DEB 中 ,rZABD=ZABCAB=BDI•••△ ACB^A DEB(AAS , ••• AC=DE【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用, 解答时证明三角形全等是关键.23. （2016?河南模拟）已知：如图,C 是AB 上一点，点D, E 分别在AB 两侧, AD// BE 且 AD=BC BE=AC(1)求证：CD=CE（2）连接DE 交AB 于点F ,猜想△ BEF 的形状，并给予证明.连接CE 由平行线的性质，结合条件可证明△ ADC^^ BCE 可证明 CD=CE中的全等可得/ CDE / CED / ACD / BEC 可证明/ BFE=/ BEF可证明△ BEF 为等腰三角形.V AD// BE, •••/ A=/ B,(2)由(1) £【分析】1在^ ADCffiA BCE 中rAD=BCf Z A =ZBI AC =BE•••△ ADC^A BCE(SAS ， ••• CD=CE（2）解：△ BEF 为等腰三角形，证明如下:由（1）可知CD=CE•••/ CDEM CED由(1)可知△ ADC^A BEC •••/ ACDM BEC •••/ CDE # ACD=/ CED # BEC即/ BFE=/ BED【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是 解题的关键，即SSS SAS ASA AAS 和HL24.（2016?山西模拟）发现与探究：如图，△ ABCffiA DCE 中, AC=BC DC=EC / ACB / DCE=45，点 B C E 三点共线，且 BC CE=2 1,连接 AE 、BD（1）在不添加辅助线和字母的情况下，请在图中找出一对全等三角形（用“也” 表示），并加以证明;(2)求 tan / BDC 的值.•••3【分析】(1)根据SAS 证明^ BCD 与△ ACE 全等即可;(2)作AF 丄BE 利用三角函数进行解答即可.【解答】 解：(〔)△ BCD^AACEV/ ACB=/ DCE• / ACB / ACD / DCE / ACD 即/ BCD / ACE"BC=AC ZBCD=ZACE ,.DC=EC•••△ BCD^A ACE( SAS ；•••设 BC=2k CE=k在 Rt △ AFC 中，AC=BC=2Jk / ACF=45 ,与珂茲 EF=FC+CE=k+k=⑴ +1) k , 厶V/ FAC=45 ,• AF V2k,由(1)得^ BCD^A ACE• / BDC / AEC•在 Rt △ AFE 中，tan / BDXar ^ 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角函数等知识点的综合运用, 题目综合性比较强，有一定的难度，关键是根据 SAS 证明^ BCDt^ACE 全等. 在^ BCD W^ ACE 中••• FC=AC cos45° =2kx (2)作AF 丄BE 如图:V BC CE=2 1,。