极限定义教案

§2.1 数列极限的概念

教学目标：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题.

教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念.会应用数列极限

的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述.

教学重点：数列极限的概念.

教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学过程：

一、组织教学 二、复习引入新课 三、新课讲授

数列极限

对于这个问题，先看两个个例子： 1.割圆术：求圆面积

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”

-----------刘徽

2.古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：

“一尺之棰，日

A

取其半，万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）:

第1天截下

12

， 第2天截下2111

222

⋅=，

第3天截下23111

222⋅=，

第n 天截下1111

222n n -⋅=，

得到一个数列： 231111

,,,,,2222

n

不难看出，数列12n ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零.

普通定义：一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列.

据此可以说，数列12n ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是收敛数列，0是它的极限.

数列{}{}21,1(1)n n ++-都是发散的数列.

需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分析.

以11n ⎧⎫

+⎨⎬⎩⎭

为例，可观察出该数列具以下特性： 随着n 的无限增大，1

1n a n

=+

无限地接近于1→随着n 的无限增大，11n +与

1的距离无限减少→随着n 的无限增大，1|11|n +-无限减少→1

|11|n

+-会任意小，只要n 充分大.

如：要使1

|11|0.1n

+

-<，只要10n >即可；

要使1

|11|0.01n

+

-<，只要100n >即可；

任给无论多么小的正数ε，都会存在数列的一项N a ，从该项之后()n N >，

1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭.即0,N ε∀>∃，当n N >时，1|11|n ε⎛⎫

+-< ⎪⎝⎭

. 综上所述，数列11n ⎧⎫

+⎨⎬⎩⎭

的通项11n +随n 的无限增大，11n +无限接近于1，

即是对任意给定正数ε，总存在正整数Ｎ，当n N >时，有1|11|n ε⎛⎫

+-< ⎪⎝⎭

.此即

11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭以1为极限的，记作1lim 11n n →∞⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

或1,11n n →∞+→. (二) 数列极限的定义

定义 设{}n a 为数列,a 为实数,若对任给的正数ε,总存在正整数N,使得当

n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a,实数a 称为数列{}n a 的极限,并

记作lim n n a a →∞

=或()n a a n →→∞.

读作:当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a 趋于a).由于n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a →∞

=或()n a a n →→∞.

1、关于ε：① ε的任意性.定义1中的正数ε的作用在于衡量数列通项n a 与常数a 的接近程度，ε越小，表示接近得越好；而正数ε可以任意小，说明n a 与常数a 可以接近到任何程度；②ε的暂时固定性.尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出Ｎ；③ε的多值性.ε既是任意小

的正数，那么2,3,2

ε

εε等等，同样也是任意小的正数，因此定义1中的不等式

||n a a ε-<中的ε可用2,3,2ε

εε等来代替.从而“||n a a ε-<”可用“||n a a ε-≤”

代替；④正由于ε是任意小正数，我们可以限定ε小于一个确定的正数.

2、关于Ｎ：① 相应性，一般地，Ｎ随ε的变小而变大，因此常把Ｎ定作()N ε，来强调Ｎ是依赖于ε的；ε一经给定，就可以找到一个Ｎ；如何找Ｎ？（或Ｎ存

在吗？）解上面的数学式子即得：1

n ε>

，取1

[]1N ε

=+

即可.这样0,ε∀>当n N >时，111|11|n n N ε⎛⎫

+-=<< ⎪⎝⎭

.

②Ｎ多值性.Ｎ的相应性并不意味着Ｎ是由ε唯一确定的，因为对给定的ε，若时能使得当n N >时,有||n a a ε-<,则101N =或更大的数时此不等式自然成立.所以Ｎ不是唯一的.事实上，在许多场合下，最重要的是Ｎ的存在性，而不是

100N =它的值有多大.基于此，在实际使用中的Ｎ也不必限于自然数，只要Ｎ是

正数即可；而且把“n N >”改为“n N ≥”也无妨.

3、数列极限的几何理解：在定义1中，“当n N >时有||n a a ε-<”⇔“当n N >时有n a a a εε-<<+” ⇔“当n N >时有(),(;)n a a a U a εεε∈-+=”⇔所有下标大于Ｎ的项n a 都落在邻域(;)U a ε内；而在(;)U a ε之外，数列{}n a 中的项至多只有Ｎ个（有限个）

若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列. 问题 如何表述{}n a 没有极限？ 三、例题讲解

四、课堂练习

23

123lim 22=-+∞→n n n n

五、小结

六、布置作业 教材P27 课后练习 七、教学后记

用数列极限的 定义证明:

N -ε11

lim =+∞→n n

n