函数极限的概念 课件
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函数极限教学课件
利用函数极限解决实际问题
总结词
利用函数极限解决实际问题是一种实用的方法，通过将实际问题转化为数学模型，利用 函数极限进行分析和求解。
详细描述
在解决实际问题时，我们可以将问题转化为数学模型，然后利用函数极限进行分析和求 解。这种方法可以帮助我们更好地理解问题的本质，并且可以提供更加精确和可靠的解 决方案。例如，在经济学、物理学和社会科学等领域中，可以利用函数极限解决一些实
极限存在准则
04
无穷小与无穷大
学生常见问题解答
问题
如何判断一个函数在某点的极限是否存在？
问题
如何求函数的极限？
解答
可以通过定义法、四则运算法或存在准则来判断 。如果函数在某点的左右极限相等，则该点处的 极限存在；如果函数在某点的左右极限不相等， 则该点处的极限不存在。
解答
可以通过直接代入法、四则运算法、无穷小代换 法、洛必达法则等方法来求函数的极限。具体方 法应根据不同情况进行选择。
lim (x→x₀) f(x) = L 表示当 x 趋近于 x₀ 时，f(x) 趋近于 L。
函数极限的性质
唯一性
一个函数的极限值是唯 一的。
有界性
有界函数的极限值必定 在函数的定义域内。
局部有界性
在某点的邻域内有界， 则该点的极限存在。
局部保号性
在某点的邻域内函数值 的符号保持不变，则该
点的极限存在。
下一步学习建议
01
02
03
04
学习下一章：连续函数 与间断点
掌握连续函数的定义、 性质和判断方法
学习间断点的分类和判 断方法
理解函数在间断点处的 极限和连续性的关系
THANKS
感谢观看
利用函数极限求函数的值
极限的定义PPT课件
1.无穷小量——在其变化过程中能以0为
极限的变量 2.关系定理
性质1．有限个无穷小的和或积为无穷小
性质2．有界变量与无穷小的积仍为无穷小
例: lim xsin 1
x0
x
第19页/共27页
3.无穷小的比较
定义 设 ( x), ( x)都是
同一变化过程中的无穷小 , 且 0
如果
则 : 是的
x x 1
x
π 2
x
第25页/共27页
高数作业 —— 第一章 习题一 P16
2、 4 — （3） 5 — （2）、 （4） 9 — （6）、 （10）、 （13）、 （14） 12 — （4） 15 、 18 — （3）
第26页/共27页
感谢您的观看。
第27页/共27页
1
推论 lim(1 x) x e
x0
第15页/共27页
1．求证 lim sin x 1 x0 x
证明:
SPOA
1 PA OA 2
1 tg x 2
S扇
1 2
OA AB
1 2
x
tg x x , 即 sin x x sin x cos x
cos x
x
故有
1 sin x 1 cos x x
第16页/共27页
(续) 1 sin x 1 cos x x
当x 0 , lim cos x 1 x0
即 1 cos x为无穷小 1 sin x 也是无穷小
x 即 lim sin x 1
x0 x
第 x
x 1
2
lim sin π x lim (1 x) lim sin π x lim (1 x)
其中 (x) 5x , (x) x2
极限的变量 2.关系定理
性质1．有限个无穷小的和或积为无穷小
性质2．有界变量与无穷小的积仍为无穷小
例: lim xsin 1
x0
x
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3.无穷小的比较
定义 设 ( x), ( x)都是
同一变化过程中的无穷小 , 且 0
如果
则 : 是的
x x 1
x
π 2
x
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高数作业 —— 第一章 习题一 P16
2、 4 — （3） 5 — （2）、 （4） 9 — （6）、 （10）、 （13）、 （14） 12 — （4） 15 、 18 — （3）
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1
推论 lim(1 x) x e
x0
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1．求证 lim sin x 1 x0 x
证明:
SPOA
1 PA OA 2
1 tg x 2
S扇
1 2
OA AB
1 2
x
tg x x , 即 sin x x sin x cos x
cos x
x
故有
1 sin x 1 cos x x
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(续) 1 sin x 1 cos x x
当x 0 , lim cos x 1 x0
即 1 cos x为无穷小 1 sin x 也是无穷小
x 即 lim sin x 1
x0 x
第 x
x 1
2
lim sin π x lim (1 x) lim sin π x lim (1 x)
其中 (x) 5x , (x) x2
函数的极限(高等数学课件
极限存在的充分条件
通过研究极限存在的充分条件，我们能够判断函数极限是否存在，从而分析函数的性质。
极限不存在的充分条件
极限不存在的充分条件揭示了函数在某一点无法达到收敛状态的原因，帮助我们理解函数的特性。
极限的计算方法
通过掌握极限的计算方法，我们能够简化复杂函数的分析，快速求得函数在某一点的极限值。
无穷远处的极限研究函数在无穷远处的行为，了解函数在无穷远的趋势和特征。
函数连续的定义
函数连续的定义是描述函数在一个区间内各点之间没有突变，平滑过渡的性质。
极限的性质
通过研究极限的性质，我们能够推导出一些重要的定理和计算方法，深入理解函数的行为。
夹逼定理
夹逼定理是一种重要的判断函数极限存在与计算的方法，让我们能够找到极限或证明其不存在。
极限的唯一性
极限的唯一性告诉我们，函数在某一点的极限只可能有一个确定的值，没有 歧义性。
极限的应用：导数和积分的概念
函数极限的应用非常广泛，例如在微积分中，导数和积分的概念都是基于极限的。
中值定理
中值定理是一组重要的定理，它揭示了函数在某一区间内的行为特点，是函 数研究的重要工具。
极值和最值的定义
极限与无的行为，探讨函数的无限增长和无限减小。
极限与无穷小
极限与无穷小研究函数在某一点附近的变化，帮助我们分析函数的微小变化 和趋势。
L'Hôpital法则
L'Hôpital法则是一种处理函数极限的重要方法，适用于特定的极限计算。
渐近线的定义与分类
渐近线研究函数在无穷远处的趋势，分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近 线三种。
函数的极限(高等数学课 件)
探索函数极限的奥秘，从基本的概念到应用、定理和计算方法，打开数学世 界的大门。
高等数学 函数的极限课件
函数极限的定义可以用数学符号表示为：lim f(x) = A，表示当x趋近 于某个值时，f(x)趋近于A。
函数极限的性质
01
唯一性
函数的极限是唯一的，即如果 lim f(x) = A和lim f(x) = B，则
A = B。
02
有界性
函数的极限是有界的，即存在 一个正数M，使得当x在某点附 近时，f(x)的绝对值小于M。
高等数学 函数的极限课件
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的运算性质 • 无穷小与无穷大 • 函数的连续性 • 极限的应用
01
函数极限的基本概念
函数极限的定义
01
02
函数极限的定义是高等数学中的基本概念，它描述了函数在某一点的 变化趋势。具体来说，如果当自变量趋近于某一值时，函数值无限接 近于一个确定的数，则称该数为函数的极限。
求复合函数极限的方法
通过将复合函数分解为基本初等函数或已知极限的函数，利用极限的四则运算性质和已知极限，求得 复合函数的极限。
反函数的极限
反函数极限的定义
设函数y=f(x)在点x0有定义且f'(x0)=1，其反函数为x=g[f(x)]，如果lim(y→y0) x=lim(y→y0) g[f(x)]，则称反函 数在点y0处存在极限。
03
局部保号性
如果lim f(x) = A且A > 0，则 在某点附近存在一个正数δ， 使得当x满足一定条件时，f(x)
> 0。
函数极限的存在性定理
函数极限的存在性定理是高等数学中一个重要的定理，它给出了函数极限存在的 充分条件。根据这个定理，如果函数在某点的左右极限存在且相等，则函数在该 点有极限。
连续性的几何意义
函数的极限课件
x 1
因此
lim x2 1 2 x1 x 1
时 , 必有
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例4. 证明: 当
时
证:
1 x0
x x0
0, 欲使
只要
且
而
可用
保证 . 故取
min x0 , x0 , 则当 0 x x0 时, 必有
因此
lim
x x0
x
x0
o x x0 x
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当 0 | x x0 | 时, 有
| f (x) A | 1 | f (x) || f (x) A | | A || A | 1,
取 M | A | 1, 则 定理得证.
定理3（函数极限的局部保号性）
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若
且 A > 0 ( < 0 )，则存在
f ( x) 0 ( 0).
lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
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例5. 设函数
f
(
x)
x 1, 0,
x 1 ,
x0 x0 x0
y
y x1
1
o 1
x
y x 1
讨论 x 0 时 f ( x) 的极限是否存在 .
解: 利用定理 1 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
第三节
第一章
函数的极限
一、函数极限的定义 1、自变量趋于有限值时函数的极限
2、自变量趋于无穷大时函数的极限
二、函数极限的性质
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一、函数极限的定义 1、自变量趋于有限值时函数的极限
因此
lim x2 1 2 x1 x 1
时 , 必有
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例4. 证明: 当
时
证:
1 x0
x x0
0, 欲使
只要
且
而
可用
保证 . 故取
min x0 , x0 , 则当 0 x x0 时, 必有
因此
lim
x x0
x
x0
o x x0 x
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当 0 | x x0 | 时, 有
| f (x) A | 1 | f (x) || f (x) A | | A || A | 1,
取 M | A | 1, 则 定理得证.
定理3（函数极限的局部保号性）
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若
且 A > 0 ( < 0 )，则存在
f ( x) 0 ( 0).
lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
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例5. 设函数
f
(
x)
x 1, 0,
x 1 ,
x0 x0 x0
y
y x1
1
o 1
x
y x 1
讨论 x 0 时 f ( x) 的极限是否存在 .
解: 利用定理 1 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
第三节
第一章
函数的极限
一、函数极限的定义 1、自变量趋于有限值时函数的极限
2、自变量趋于无穷大时函数的极限
二、函数极限的性质
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一、函数极限的定义 1、自变量趋于有限值时函数的极限
《函数的极限与连续》课件
示例
考虑函数$f(x) = x^2$，在区间 $[0, 1]$上连续且单调增加。如果 $f(0) < c < f(1)$，则可以证明$c < frac{f(0) + f(1)}{2}$。
利用连续性求函数的零点
要点一
总结词
利用函数的连续性可以找到函数的零 点。
要点二
详细描述
如果函数在某区间上连续，且在该区 间上从正变负或从负变正，则可以利 用函数的连续性找到函数的零点。这 是因为函数在这一点上从增加变为减 少或从减少变为增加，的定义
函数在某点连续的定义
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
函数在区间上连续的定义
如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续。
连续性的性质
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。
复合函数在复合点连续的定义：如果一个复合函数在某点的极限等于该点的函数值，则复合函数在该点 连续。
与其他数学知识的联系
探讨函数极限与连续性与中学数学、微积分等其他 数学知识的联系，理解其在数学体系中的地位。
理论严谨性
深入思考函数极限与连续性理论的严谨性和 完备性，理解数学严密性的重要性。
对后续学习的展望
导数与微分
预告后续将学习函数的导数与微分概念，了解它们与 极限和连续性的关系。
级数与积分
简要介绍级数和积分的基本概念，理解其在数学中的 重要性和应用。
01
和差运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)pm g(x)]=Apm B$。
02
03
乘积运算性质
幂运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)cdot g(x)]=Acdot B$。
高等数学(同济第六版)课件 第一章 3.函数的极限(一)
且a >b， (或a<b)
则正数X， 当x<－X时， 都有f(x) >b . (或f(x)<b) 当x>X时， 当|x|>X时，
(4) 充要条件：
lim lim lim f ( x ) A x f ( x ) A且 x f ( x ) A.
x
证： " " 0, X 1 0, 当x>X1 时，成立 f ( x ) A .
得 | x x0 |
x0
当 | x x0 | x0 时，才能使x>0， 取 min{ x0 , x0 } 当 0 x x0 时， 成立 | x x0 |
lim x
x x0
x0
" "定义
x x0
lim f ( x ) A
2 x2 x 1 3 lim x 1 x 1 2 x2 x 1 3 | 2 | x 1 | ( x 1) 0, | x 1 2 x2 x 1 3 | 当x与1多么接近时? | x 1 | x 1 | 2
2 x2 x 1 0, 当 0 | x 1 | 时， 成立 | 3 | 2 x 1
lim f ( x ) 0, 则 lim f ( x ) g( x ) 0
x x
1 x (7) 重要极限：lim (1 ) e x x
特点：（1）1 型 （2）底数减1等于指数的倒数 。
例2 求下列极限
2 x3 3 x2 5 (1) lim 3 2 x 7 x 4 x 1
二、 自变量趋向有限值时函数的极限 若当x无限接近于x0时，函数f(x)无限接近于常数A， 称常数A为当x趋于x0时，函数f(x)的极限。 记作 lim f ( x ) A
函数的极限【高等数学PPT课件】
A(或f
( x0
0)
A)
右极限: 定理1
lim
xx0
f (x)
A(或f (x0
0)
A)
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
x sin x, x 0
例1
试问函数f ( x)
10, x 0
(c) Sketch the graph of F.
例2 lim sin x不存在 x
lim sin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0
2. 设函数 f ( x) a x2, x 1 且 2x 1, x 1
lim f ( x)
x1
存在, 则 a 3 .
3.Let F (x) x 2 1 .
x 1
(a) Find (i) lim F (x) x 2 1 .
x1
x 1
(ii) lim x1
F(x)
x2 1 .
x 1
(b) Does lim F(x). exist?
x1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
二、函数极限的性质
1.惟一性
定理1 (极限的惟一性) 如果函数极限
存在，则极限值惟一.
2.有界性
定理2 (局部有界性)
如果极限 lim f (x) xx0
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定义1 设 f 为定义在 ?a,?? ?上的一个 . A 为
定数, 若对于任意正数 ? ? 0，存在 M (? a)，使得
当x ? M 时,
f ( x ) ? A ? ?,
则称函数 f ( x ) 当 x 趋于 ? ? 时以 A 为极限 . 记为
lim f ( x ) ? A 或者 f ( x ) ? A ( x ? ?? ).
当 x ? ln ? 时
ex ? 0 ? ex ? ?.
这就是说
lim ex ? 0.
x ? ??
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例4
求证
lim
x? ?
1
1 ?x
2
?
0.
证 对于任意正数 ? , 可取 M ? 1 , 当 x ? M 时, 有
?
1 1? x2
?
0
?
1 x2
?
?,
所以结论成立 .
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从定义1、2 、3 不难得到 : 定理 3.1 f ( x ) 定义在 ? 的一个邻域内， 则
x ? M时
f ( x ) ? A ? ?,
则称 f ( x ) 当 x ? ? 时以 A 为极 记为 lim f ( x ) ? A 或 f (x) ? A ( x ? ? ).
x? ?
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例3 求证 lim ex ? 0. x? ? ?
证 对于任意正数 ? (0 ? ? ? 1), 取 M ? ? ln ?,
f ( x ) ? A ? ?,
则称 f ( x ) 当 x ? ?? 时以 A 为极限 , 记为 lim f ( x ) ? A 或 f (x) ? A (x ? ?? ).
x? ??
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定义3 设 f ( x )定义在 ? 的某个邻域 U (? ) 内, A
为一个常数 . 若对于任意 ? ? 0, 存在 M ? 0，当
x? ??
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lim f ( xA) ? 的几何意义
x? ??
y
A?? A
A??
①任意给定
??0
④ 有 A ? ?? f (xA) ? ? ?
Oa
M
②存在 M ? a
x
x
③ 使当 x ? M 时
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lim f ( xA) ? 的几何意义
x? ??
y
A?? A
A??
①任意给定
x? 1 x ? 1
22
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例6
证明
lim
x? x0
§1 函数极限概念
在本章 ,我们将讨论函数极限的基本
概念和重要性质.作为数列极限的推广, 函数极限与数列极限之间有着密切的 联系,它们之间的纽带就是归结原理.
一、x趋于? 时的函数极限 二、x趋于x0 时的函数极限 三、单侧极限
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一、x趋于? 时的函数极限
设函数 f ( x )定义在 ?a, ? ? ? y
2 2( x ? 1 ? 2)2
只要 x ? 1 ? ?,( ?) 式就能成立 , 故取? ? ? 即可.
证 任给正数 ?, 取 ? ? ?, 当 0 ? x ? x0 ? ? 时,
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x ? 1 ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? ?,
x?1 2 2
这就证明了
lim x ? 1 ? 2 ? 1 .
??0
Oa
M
②存在 M ? a
④ 有 A ? ?? f (xA) ? ? ?
x
x
③ 使当 x ? M 时
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注 数列可视为定义在正整数集上的函数 . 请大家
比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点
与不同点 . 例1 证明 lim 1 ? 0.
x ? ?? x
证 任给? ? 0, 取 M ? 1 ,当 x ? M 时,
? 数? , 当 x ? U ?( x , ) ? U ?( x0 ) 时,
f ( x ) ? A ? ?,
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则称 f ( x ) 当 x ? x0 时以 A 为极限 . 记为
或者
lim f ( x ) ? A
x? x0
f ( x ) ? A ( x ? x0 ).
例5 证明 lim x ? 1 ? 2 ? 1 .
上,当 x 沿着 x 轴的正向 A
无限远离原点 时,函数f (x)
f (x)
也无限地接近 A,我们就称
f (x)当 x 趋于 ?? 时以A为
O
x
极限 .
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例如 函数 y ? arctan x , 当 x 趋于 ? ? 时, arctan x 以 π 为极限.
2
y
π 2
1 0.5
O
10 20 30 40 x
f ( x ) ? π ? π ? arctan x 22
?
π
?
π (
? ?) ?
?.
22
这就是说 lim ar ctan x ? π .
x? ??
2
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定义2 设 f ( x )定义在 ?? ? ,b?上 , A 是一个常数 .
若对于任意 ? ? 0 , 存在 M ? 0, 当 x ? ? M (? b) 时
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二、x趋于x0 时的函数极限
设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域 U ?( x0 ) 内有定义 .
下面我们直接给出函数 f (x)当 x ? x0 时以常数 A 为极限的定义 . 定义4 设 f ( x ) 在点 x0 的某空心邻域 U ?( x ) 内有
定义，A 是一个常数 . 如果对于任意正数 ? , 存在正
lim f ( x ) ? A 的充要条件是：
x? ?
lim f ( x ) ? lim f ( x ) ? A.
x? ??
x? ??
π
π
例如 lim ar ctan x ? ? , lim ar ctan x ? ,
x? ??
2 x? ??
2
则由定理 3.1，lim arctan x 不存在. x? ?
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x? 1 x ? 1
22
分析 对于任意正数 ? ,要找到 ? ? 0, 当 0 ? | x ? 1 | ? ?
时, 使
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x?1?
2 ?
1
?
1
1
?
x?1
22
x ? 1 ? 22 2
x?1? 2
?
?
2 2( x ? 1 ? 2) 2 2(
x?1 x?1?
2 )2 ? ? . (?)
因 x?1 ? x ? 1,
?
f (x)? 0 ? 1 ? ?,
x 所以(由定义 1),
lim 1 ? 0. x ? ?? x
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例2 证明 lim arctan x ? ? .
x ? ??
2
证 任给 ? ? 0 (? ? ? ), 取 M ? tan( ? ? ?).
2
2
因为 arctan x 严格增 当 x ? M 时，