高中数学教案：极限与导数极限的概念

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高中数学教案：《微积分入门：极限与导数》

高中数学教案：《微积分入门：极限与导数》一、引言微积分是高中数学的重要内容之一，极限与导数作为微积分的基础概念，为后续学习打下了坚实的基础。

本教案旨在帮助高中数学老师设计一堂《微积分入门：极限与导数》的教学课程。

二、教学目标1. 理解极限的概念，并能够准确计算极限；2. 掌握求导数的方法，包括用定义法和直接法求导；3. 能够应用导数解决实际问题。

三、教学内容1. 极限1.1 极限的定义- 数列极限的定义及其性质- 函数极限的定义及其性质1.2 求极限的方法- 英文数列求极限及其应用- 利用函数极限计算复杂表达式1.3 极限存在条件- 单调有界原理及其应用2. 导数2.1 导数的概念和定义- 导数与切线之间的关系- 左右导数及其性质- 高阶导数和对称性质2.2 求导数的方法- 用定义法求导数- 直接求导法* 基本函数的导数公式及其应用* 复合函数和反函数的导数计算* 隐函数和参数方程的导数求解四、教学过程1. 导入环节（5分钟）在开展新课之前，可以通过以往所学的内容作为铺垫，例如引入极限与导数的概念，并与实际问题相结合，唤起学生对微积分初步认知的兴趣。

2. 知识讲解（25分钟）2.1 极限的定义：通过例子生动直观地介绍极限的概念，并阐述极限存在条件。

2.2 极限的计算方法：以常见的英文数列为例，演示如何计算极限；然后介绍利用函数极限计算复杂表达式的方法。

2.3 导数的概念和定义：结合图像和实际问题，引出导数与切线之间关系，并介绍左右导数、高阶导数等概念。

2.4 求导数的方法：先通过定义法演示如何求导；随后介绍直接求导法，包括基本函数、复合函数、反函数、隐函数和参数方程的导数计算方法。

3. 练习与巩固（30分钟）通过一些例题和实际问题，带领学生进行练习，加深对极限和导数的理解。

教师可以根据学生水平适当调整难度，提供不同层次的练习题目。

4. 拓展应用（10分钟）引导学生将所学的知识应用到实际问题中，例如求斜率、速率、最值等问题，并让学生能够独立思考并解决这些问题。

高中数学中的极限与函数的导数的关系

高中数学中的极限与函数的导数的关系在高中数学中，极限和函数的导数是两个非常重要且关联紧密的概念。

本文将探讨极限和函数的导数之间的关系，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。

一、极限的定义及基本性质极限是数学中描述函数逐渐趋近于某一值的概念。

具体而言，设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义。

如果存在常数L，对于任意给定的正数ε，都存在对应的正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)在x=a处的极限为L。

我们用lim┬(x→a)⁡〖f(x)=L〗或f(x)→L(x→a)来表示极限的存在。

极限具有一些基本的性质，包括唯一性、局部性、有界性等。

其中，唯一性表示函数在某一点的极限是唯一确定的；局部性表示函数在某一点的极限存在，则函数在该点的某个邻域内也存在；有界性表示如果函数在某一点存在极限，则函数在该点附近是有界的。

二、导数的定义及基本性质函数的导数描述了函数在某一点附近的变化率，是微积分中的重要概念之一。

设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义。

若极限lim┬{h→0}⁡〖(f(a+h)-f(a))/h=A 〗存在，其中A为常数，则称函数f(x)在x=a处可导，并将此极限值A称为函数f(x)在x=a处的导数。

我们用f'(a)或 df(x)/dx|_(x=a)来表示函数f(x)在x=a处的导数。

导数具有一些基本的性质，包括可导的函数必定连续、导函数具有局部性、可加性和乘法常数性等。

这些性质使得导数成为了研究函数变化的有力工具。

三、极限与导数的关系极限和导数之间存在着紧密的联系，在某些情况下两者可以互相推导。

1. 极限与函数连续性的关系根据导数的定义，可知如果函数在某一点可导，则在该点必然连续。

而连续函数的定义也可以用极限来表达。

因此，对于某个区间上的函数，如果它的导数在该区间上存在，则该函数在该区间上一定连续。

2. 导数与函数的极值点的关系函数在某一点处的导数为零，被称为该点的导数为零点。

高等数学电子教案

高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。

函数的性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。

1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理等。

1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代入法、因式分解法、有理化法等。

无穷小与无穷大的概念：无穷小是指绝对值趋近于0的量，无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。

1.4 极限的应用函数的连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，称该函数在这一点连续。

导数的概念：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。

第二章：微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率，记作f'(x)。

导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算法则等。

2.2 微分的概念与计算微分的定义：微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值，记作df(x)。

微分的计算：微分的基本公式、微分的四则运算法则等。

2.3 积分的概念与计算积分的定义：积分表示函数图像与x轴之间区域的面积，记作∫f(x)dx。

积分的计算：基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。

2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义：微积分基本定理是微分与积分之间的关系，即导数的不定积分是原函数，积分的反函数是原函数的导数。

第三章：微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义：微分方程是含有未知函数及其导数的等式。

微分方程的分类：常微分方程、偏微分方程等。

3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法：分离变量法、积分因子法、变量替换法等。

3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用，例如描述物体运动、电路方程等。

第四章：级数4.1 级数的概念与性质级数的定义：级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列，记作∑an。

高中数学《导数》教案

导数一、极限的概念1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数A （即A a n -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作A a n n =∞→lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。

“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。

A a n n =∞→lim 有时也记作当n →∞时，n a →A②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1+n n ，…；（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n)1.0(-，…；（5）－1,1，－1，…，n)1(-，…；注：几个重要极限：（1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0，即：)1(0lim <=∞→q q nn2、当∞→x 时函数的极限（1）画出函数xy 1=的图像，观察当自变量x 取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于正无穷大时，的极限是0，记作：01lim =+∞→xx一般地，当自变量x 取正值且无限增大时，如果函数 )(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =+∞→)(lim也可以记作，当x +∞→时，A x f →)(（2）从图中还可以看出，当自变量x 取负值而x 无限增大时，函数xy 1=的值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于负无穷大时，函数xy 1=的极限是0，记作：01lim =-∞→x x 一般地，当自变量x 取负值而x 无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =-∞→)(lim也可以记作，当x -∞→时，A x f →)(（3）从上面的讨论可以知道，当自变量x 的绝对值无限增大时，函数x y 1=的值都无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于无穷大时，函数xy 1=的极限是0，记作01lim =∞→x x一般地，当自变量x 的绝对值无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =∞→)(lim也可以记作，当x ∞→时，A x f →)(特例：对于函数C x f =)(（C 是常数），当自变量x 的绝对值无限增大时，函数C x f =)(的值保持不变，所以当x 趋向于无穷大时，函数C x f =)(的极限就是C ，即C C x =∞→lim例2：判断下列函数的极限：（1）x x )21(lim +∞→ （2）xx 10lim -∞→（3）21lim x x ∞→ （4）4lim ∞→x练习与作业1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限（1）1，41，91， (21)，… ；（2）7，7，7，…，7，…；（3） ,2)1(,,81,41,21nn---；（4）2，4，6，8，…，2n ，…；（5）0.1，0.01，0.001，…，n101，…；（6）0，,32,21--…，11-n ，…；（7）,41,31,21-…，11)1(1+-+n n ，…；（8）,51,59,54…，52n ，…；（9）－2, 0，－2，…，1)1(--n,…，2、判断下列函数的极限：（1）xx 4.0lim +∞→ （2）xx 2.1lim -∞→（3）)1lim(-∞→x （4）41limxx ∞→ （5）x x )101(lim +∞→ （6）xx )45(lim -∞→（7）11lim2+∞→x x （8）5lim ∞→x二、函数的极限函数2x y =当x 无限趋近于2时的变化趋势当x 从左侧趋近于2时（-→2x ）当x 从右侧趋近于2时（+→2x ）函数的极限有概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0。

高中数学极限与导数【讲义】

高中数学极限与导数【讲义】极限与导数一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|< ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。

类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。

2．极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b ，那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, 0lim x x →[f(x)?g(x)]=ab,limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0lim x x →f(x)存在，并且0lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。

4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。

5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ??→?0lim存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy，即000)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。

由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。

若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。

极限的概念教案

极限的概念教案教案：极限的概念【教案目标】了解极限的概念、性质和计算方法；掌握极限的几个常用计算规则；能够解决与极限有关的简单问题。

【教学重难点】极限的概念与性质，极限计算的方法，极限的计算规则。

【教学内容与教学步骤】一、引入（5分钟）1. 引导学生思考：什么是极限？为什么要研究极限？2. 引用实际生活中的例子：比如一辆车在某段时间内的速度是如何变化的，我们如何用数学的方法来描述这种变化？3. 引导学生认识到极限存在的必要性，为进一步介绍极限的概念做好准备。

二、讲解与讨论（30分钟）1. 介绍极限的概念与性质：a) 极限的定义：设函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数A，使得对于任意给定的ε> 0，总存在对应的δ> 0，使得当0 < x - x0< δ时，有f(x) - A < ε，那么称函数f(x)当x趋向于x0时的极限为A。

b) 极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性等。

2. 讲解极限计算的方法和常用计算规则：a) 直接代入法；b) 夹逼定理；c) 极限的四则运算规则；d) 极限的乘法规则、除法规则和幂函数规则等。

3. 进行一些例题的讲解与讨论，引导学生掌握极限计算的方法和常用规则。

三、练习与巩固（20分钟）1. 给学生发放练习册，让学生进行练习，巩固掌握极限计算的方法和规则。

2. 老师巡回辅导和答疑，帮助学生解决遇到的问题。

3. 鼓励学生积极互助，相互讨论解题思路，提高解题能力。

四、拓展与应用（20分钟）1. 给学生提供一些拓展题，让学生运用所学的极限概念和计算方法解决复杂的问题。

2. 鼓励学生进行数学建模，将所学的极限概念应用到实际问题中，提高数学思维能力和创新能力。

3. 老师对解题过程和答案进行点评和纠错，让学生更好地理解和运用极限概念。

五、总结与展望（10分钟）1. 学生进行小结，总结本节课所学的极限概念、性质和计算方法；回顾解题过程中的困难和思考方法。

《函数的极值与导数》教案完美版

《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与性质1.1 极值的定义引入极值的概念，解释函数在某一点的局部性质。

通过图形和实例直观展示极值的存在。

1.2 极值的判定条件介绍函数的导数与极值的关系，讲解导数为零的必要性和充分性。

分析导数为正和导数为负时函数的单调性，得出极值的判定条件。

1.3 极值的判定定理介绍罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理在极值判定中的应用。

证明极值的判定定理，并通过实例进行验证。

第二章：导数与函数的单调性2.1 导数的定义与计算引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

讲解导数的计算规则，包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数。

2.2 导数与函数的单调性分析导数正负与函数单调性的关系，得出单调递增和单调递减的定义。

通过实例和图形展示导数与函数单调性的联系。

2.3 单调性的应用讲解利用单调性解决函数极值问题的方法。

分析函数的单调区间和极值点，得出函数的单调性对极值的影响。

第三章：函数的极值点与导数3.1 极值点的定义与判定引入极值点的概念，解释极值点是函数导数为零或不存在的点。

讲解极值点的判定方法，包括导数为零和导数不存在的条件。

3.2 极值点的求解方法介绍求解极值点的方法，包括解析法和数值法。

讲解如何利用导数和图形求解函数的极值点。

3.3 极值点的应用分析极值点在实际问题中的应用，如最优化问题。

举例说明如何利用极值点解决实际问题。

第四章：函数的拐点与导数4.1 拐点的定义与判定引入拐点的概念，解释拐点是函数导数由正变负或由负变正的点。

讲解拐点的判定方法，包括导数的正负变化和二阶导数的符号。

4.2 拐点的求解方法介绍求解拐点的方法，包括解析法和数值法。

讲解如何利用导数和图形求解函数的拐点。

4.3 拐点的应用分析拐点在实际问题中的应用，如曲线拟合和物体的运动。

举例说明如何利用拐点解决实际问题。

第五章：函数的极值与图像5.1 极值与函数图像的关系分析极值点在函数图像中的位置和特征。

高中数学学习中的极限与导数概念解析

高中数学学习中的极限与导数概念解析在高中数学中，极限和导数都是重要的概念，它们是微积分的基础，也是后续学习数学的关键。

本文将分别对极限和导数进行解析，帮助同学们更好地理解和掌握这两个概念。

首先，我们来探讨一下极限的概念。

极限是一种数学概念，用来描述一个函数或数列在某一点附近的变化情况。

具体来说，当自变量逐渐靠近某个确定的数值时，函数值或数列的值也趋近于某个确定的数。

在数学符号中，我们用lim来表示极限。

例如，lim (n→∞) (1/n) = 0，表示当n无限趋近于正无穷时，1/n的极限是0。

极限在高中数学中的应用非常广泛。

它被用来证明和推导各种数学定理，例如求导和积分等。

同时，在几何学中，极限也被用来描述函数的图像在某一点的切线斜率。

因此，理解和掌握极限的概念对进一步学习数学非常重要。

接下来，我们来讨论导数的概念。

在数学中，导数被定义为函数在某一点的变化速率。

它描述了函数在某一点的附近的变化趋势。

导数常用f'(x)或df(x)/dx来表示，表示函数f(x)对自变量x的变化率。

导数可以帮助我们找出函数的极值点、确定切线斜率以及解决最优化问题等。

导数的计算通常使用导数公式和导数法则。

常见的函数求导公式包括常数函数求导公式、幂函数求导公式、指数函数求导公式、对数函数求导公式和三角函数求导公式等。

通过运用这些公式和法则，我们可以求得各种复杂函数的导数。

了解导数的概念对于数学的深入学习和应用具有重要意义。

在物理学中，导数被广泛应用于描述速度、加速度等物理量的变化。

在经济学和金融学领域，导数被用来描述成本、收益、市场需求曲线等的变化关系。

在生物学和医学领域，导数被应用于描述生长速率、变化趋势和药物浓度的变化等。

在学习极限和导数的过程中，我们还需要注意一些重要的性质和定理。

例如，极限有唯一性和保序性的性质，导数具有线性性、乘积法则、链式法则等等。

了解这些性质和定理可以帮助我们更好地理解和运用极限与导数。

高中数学教案：《微积分入门：极限与导数》

高中数学教案：《微积分入门：极限与导数》一、引言微积分是数学中非常重要的一个分支，它研究的是函数的变化以及极限与导数的概念。

本教案主要针对高中数学的微积分入门，重点介绍极限与导数的基本概念和性质。

通过对极限和导数的学习，学生可以更好地理解函数的变化规律，为以后更深入的微积分学习打下基础。

二、极限的概念与性质A. 极限的引入1. 引入函数逼近的思想在日常生活中，我们经常会遇到一些无法精确求解的问题，例如计算圆周率π的值。

而函数逼近的思想正是通过将一个问题转化为求解一系列逼近值来解决这类问题。

2. 极限的定义与解释极限是函数逼近中非常关键的概念，它描述了函数在某一点附近的变化规律。

通过适当选择趋近的过程，能够找到函数在该点附近的极限值。

B. 极限的性质与计算1. 极限的唯一性和局部性极限具有唯一性和局部性的特点，这意味着当函数在一点的极限存在时，它的极限值是唯一的，并且可以通过该点附近的情况来确定。

2. 极限的四则运算法则根据极限的性质，我们可以进行一些基本的四则运算。

例如，两个函数的极限之和等于两个函数极限的和，两个函数的极限之积等于两个函数极限的积等等。

C. 极限的图像与实例分析通过绘制函数的图像，我们可以更清晰地理解极限的含义和性质。

例如，在极限为无穷大时，函数的图像会趋于无穷远；在极限为负无穷大时，函数的图像会趋于负无穷远。

通过实例分析，学生可以更好地掌握极限的应用方法和注意事项。

三、导数的概念与计算A. 导数的引入与定义1. 函数的变化率导数是描述函数变化率的重要工具，它表示函数在某一点的瞬时变化率。

通过导数，我们可以了解函数在某一点附近的变化情况。

2. 导数的几何意义导数在图像上表示为函数曲线上一点处的切线斜率，它可以帮助我们更好地理解函数在该点的变化特征。

B. 导数的性质与计算1. 导数存在的条件函数在某点处的导数存在的条件是函数在该点处连续，并且在该点的两侧导数存在且相等。

2. 导数的四则运算法则与极限类似，导数也具有四则运算法则，可以通过基本函数的导数来求解复合函数的导数。

高中数学备课教案函数的极限与导数

高中数学备课教案函数的极限与导数高中数学备课教案：函数的极限与导数一、引言函数的极限与导数是高中数学中重要的概念和工具之一。

正确理解和掌握这些内容，对于学生的数学学习和未来的应用都有着重要的影响。

本教案旨在通过适当的教学方法和案例分析，帮助学生深入了解函数的极限与导数的概念、性质和应用。

二、函数的极限1. 极限的概念函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。

引入极限的概念可以更准确地描述函数的性质和行为。

2. 极限的计算通过借助极限的定义和相关性质，可以计算各种类型函数的极限，包括多项式函数、分式函数、指数函数和三角函数等。

在计算极限时，可以运用基本的极限性质和极限运算法则，灵活使用代换法、夹逼准则等方法。

3. 极限存在与不存在有些函数在某些自变量取值下可能存在极限，而在其他自变量取值下则不存在极限。

教师应通过案例引导学生思考极限存在与不存在的条件，并帮助学生理解这一概念的实际意义。

三、导数的概念与性质1. 导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，用来衡量函数在该点的瞬时变化程度。

导数的定义基于极限的思想，通过极限的计算可以得到函数的导数。

2. 导数的几何意义导数可以理解为函数图像上某点处的切线斜率，其正负表示函数在该点的增减性。

教师可以通过几何图像和实际问题建立导数与函数变化的直观联系。

3. 导数的性质和运算法则导数具有一系列的性质和运算法则，包括常数导数、幂函数导数、和差法则、乘积法则和商法则等。

了解这些性质和法则有助于简化导数的计算过程。

四、函数的极限与导数的应用1. 极值与最值问题通过极值定理和导数的概念，可以分析函数的极值点和临界点，并通过判定导数的正负来确定函数的极大值和极小值。

2. 函数的单调性通过导数的正负可以判断函数在某一区间上的单调性，例如递增和递减区间。

这对于函数图像的绘制和函数性质的分析都具有重要意义。

3. 函数的凸凹性与拐点利用导数的二阶导数可以判断函数在某一区间上的凹凸性，并确定函数的拐点。

极限与导数的基础知识与运用

极限与导数的基础知识与运用极限和导数是高等数学中重要的概念，也是计算机科学、物理学等多个领域中必不可少的数学工具。

本文旨在系统地介绍极限和导数的概念，以及它们的应用。

一、极限1.1 极限的定义极限是研究函数变化趋势的一种方法。

给定一个函数 $f(x)$，当自变量 $x$ 越来越接近某个特定的值 $a$ 时，如果函数值 $f(x)$ 也越来越接近某个常数 $L$，则称 $L$ 是函数 $f(x)$ 当 $x$ 趋近于 $a$ 时的极限，记作$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$$其中，$x$ 可以从左侧或右侧趋近于 $a$。

1.2 夹逼定理夹逼定理是极限的一个重要定理，它有助于我们判断一些函数的极限是否存在。

设 $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$，当 $x\rightarrow a$ 时，$f(x)$ 和 $h(x)$ 的极限都等于 $L$，则 $g(x)$ 的极限也等于 $L$。

即$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L=\lim_{x\rightarrow a}h(x)\Rightarrow \lim_{x\rightarrow a}g(x)=L$$1.3 极限的计算计算极限的方法有很多，以下是一些典型的极限计算方法：1.3.1 基本极限$$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$$$ \lim_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e $$1.3.2 无穷小与无穷大当 $x\rightarrow 0$ 时，如果 $f(x)$ 满足 $\lim_{x\rightarrow0}f(x)=0$，则称 $f(x)$ 是一个无穷小。

当 $x\rightarrow \infty$ 时，如果 $f(x)$ 满足 $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty$，则称 $f(x)$ 是一个无穷大。

高中数学函数极限的教案

高中数学函数极限的教案
一、教学目标：
1. 了解数学函数极限的概念及性质；
2. 掌握计算函数极限的方法；
3. 能够运用函数极限解决实际问题；
4. 培养学生的数学思维和分析能力。

二、教学重点与难点：
重点：函数极限的定义和性质，计算函数极限的方法；
难点：理解并运用函数极限解决实际问题。

三、教学内容：
1. 函数极限的定义与性质；
2. 常见函数的极限计算方法；
3. 函数极限在实际问题中的应用。

四、教学过程：
1. 导入：通过一个简单的例子引入函数极限的概念；
2. 讲解：介绍函数极限的定义和性质，讲解常见函数的极限计算方法；
3. 演练：组织学生做一些练习题巩固所学内容；
4. 应用：通过一些实际问题引导学生运用函数极限解决问题；
5. 总结：对本节课的内容进行总结，并提醒学生需要多加练习。

五、教学资源：
1. 教科书；
2. 手册和笔记。

六、作业布置：
1. 完成教材上的相关习题；
2. 自主查找一些函数极限的应用题并做一些解答。

七、教学反思：
通过本节课的教学，学生对函数极限的概念、性质和计算方法有了更加清晰的认识，提高了解决实际问题的能力。

同时，也发现学生在理解函数极限的过程中可能存在一些困难，需要更多的练习和巩固。

在后续教学过程中，需要继续帮助学生理解和掌握函数极限的知识。

第64讲极限和导数教案

极限和导数相关知识1.导数的有关概念。

(1)定义：函数y=f(x)的导数f /(x)，就是当0→∆x 时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比xy ∆∆的极限，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim)(00/。

(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。

(3)几何意义：函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率。

2．求导的方法： (1)常用的导数公式：C /=0（C 为常数）； (x m )/=mx m-1(m ∈Q); (sinx)/=cosx; (cosx)/= -sinx ; (e x )/=e x ; (a x )/=a xlnax x 1)(ln /=; e xx a a log 1)(log /=.(2)两个函数的四则运算的导数：).0(;)(;)(2/////////≠-=⎪⎭⎫⎝⎛+=±=±v v uv v u v u uv v u uv v u v u(3)复合函数的导数：x u xu y y ///⋅=3.导数的运用： (1)判断函数的单调性。

当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f /(x)>0，则f(x)为增函数；如果f /(x)<0，则f(x)为减函数。

(2)极大值和极小值。

设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近所有的点，都有f(x)<f(x 0)（或f(x)>f(x 0)）,我们就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。

(3)函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。

A 类例题例1求函数的导数)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx xy ω22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+-解 2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+(2)解 y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′=3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′)=3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x=f ′(12+x )·21112+x ·2x=),1(122+'+x f x x解法二 y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′=f ′(12+x )·21(x 2+1) 21-·2x=12+x x f ′(12+x )说明本题3个小题分别涉及了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法这是导数中比较典型的求导类型解答本题的关键点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错例2．观察1)(-='n n nx x ，x x cos )(sin ='，x x sin )(cos -='，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。

高中数学极限、导数精华教案,家教教学专用

高中数学-极限1.极限主要分为数列极限和函数极限2. ⑴数列极限的表示方法：①a a n n =∞→lim ②当∞→n 时，a a n →.⑵几个常用极限：①C C n =∞→lim （C 为常数） ②),(01lim 是常数k N k n k n ∈=∞→③对于任意实常数，当1|| a 时，0lim =∞→n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞→∞→不存在当1 a 时，n n a ∞→lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则：如果b b a a b n n n ==∞→∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞→)(lim ②b a b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim ③)0(lim ≠=∞→b ba b a n n n 特别地，如果C 是常数，那么Ca a C a C n n n n n =⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim . ⑷数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当1 q 时，无穷等比数列的各项和为)1(11 q qa S -=. （化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.3. 函数极限；⑴当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a .记作a x f x x =→)(lim 0或当0x x →时，a x f →)(. 注：当0x x →时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否定义，因为0x x →并不要求0x x =.（)(x f 在0x 是否有定义与)(x f 在0x 处是否存在极限 ⇒函数)(x f 在0x 有定义是)(l i m 0x f x x →存在的条件）如⎩⎨⎧+--=1111)( x x x x x P 在1=x 处无定义，但)(lim 1x P x → ⑵函数极限的四则运算法则：如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 00，那么 ①b a x g x f x x ±=±→))()((lim 0②b a x g x f x x ⋅=⋅→))()((lim 0③)0()()(lim 0≠=→b ba x g x f x x 特别地，如果C 是常数，那么)(lim ))((lim 00x f C x f C x x x x →→=⋅. n x x n x x x f x f )](lim [)]([lim 00→→=（+∈N n ）注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 举个例子?⑶几个常用极限： ①01lim =∞→xn ②0lim =+∞→x x a （0＜a ＜1）；0lim =-∞→x x a （a ＞1） ③1sin lim 0=→x x x 1sin lim 0=⇒→xx x ④e xx x =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim （71828183.2=e ） 4. 函数的连续性：⑴如果函数f （x ），g （x ）在某一点0x x =连续，那么函数)0)(()()(),()(),()(≠⋅±x g x g x f x g x f x g x f 在点0x x =处都连续.⑵函数f （x ）在点0x x =处连续必须满足三个条件：① 数f （x ）在点0x x =处；②)(lim 0x f x x → ； ③函数f （x ）在点0x x =处的极限值该点的函数值，即表达式为⑶函数f （x ）在点0x x =处不连续（间断）的判定：如果函数f （x ）在点0x x =处有下列三种情况之一时，则称0x 为函数f （x ）的不连续点. ①f （x ）在点0x x =处没有定义，即)(0x f 不存在；②)(lim 0x f x x →不存在； ③)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→. 5. 零点定理，介值定理，夹逼定理(主要是压轴题会用到，暂时初步了解)：⑴零点定理：设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)()( b f a f ⋅.那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf .⑵介值定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，B b f A a f ==)(,)(，那么对于B A ,之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）.⑶夹逼定理：设当δ ||00x x -时，有)(x g ≤)(x f ≤)(x h ，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 00，则必有.)(lim 0A x f x x =→ 注：||0x x -：表示以0x 为的极限，则||0x x -就无限趋近于零.（ξ为最小整数）6. 几个常用极限： ①1,0lim q q n n =+∞→ ②)0(0!lim a n a nn =+∞→ ③k a a n n kn ,1(0lim =+∞→为常数） ④0ln lim=+∞→n n n ⑤k n n kn ,0(0)(ln lim εε=+∞→为常数）高中数学导数1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇.2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件.可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续.事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的.例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的（）也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：---''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x fx x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅=复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：⑵常数的判定方法:7. 极值的判别方法：极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9. 几种常见的函数导数：III. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y x x x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.。

极限的概念说课稿

收敛于1。
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3
二、授课
n （ 1） ; n 1
n （ 2） 2 ;
数学理论篇
单调增加趋近于1 单调增加但无极限单调增加趋近于0
单调数列不一定有极限
1 （ 3） ;
（4） ( 1) n 1 ；
n (1) （ 5） n
n 1

n
数学文化篇
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不割，则与圆周合体而无所失矣”
它包含了 ―用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”
的重要极限思想
2
二、授课
1、割圆术：
数学文化篇
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽
播放
2
二、授课
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
x1 x1
x2 1 lim( x 1) 2 lim g ( x) lim x1 x1 x1 x 1
y f(x)=x+1
y f(x)=x+1 (1,2)
极限与有无定义无关
x
(1,2)
-1 O
1
-1 O
1
x
图１
图2
3
二、授课
数学理论篇
定义4 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某一去心领域内有定义. 如果当 x x0 ( x x0 ) 时,函数 f ( x ) 无限接近于常数 A, 则称常数 A 为函数 f ( x ) 当 x x0
3
二、授课
（一）数列的极限
定义1 按一定次序排列的一列数
数学理论篇
这一列有序的数就叫数列. 记为x n .其中的每个数称为数列的项, x n 称为通项(一般项).

高中数学备课教案函数的极限与导数的应用

高中数学备课教案函数的极限与导数的应用高中数学备课教案：函数的极限与导数的应用导言高中数学备课教案的主题是函数的极限与导数的应用。

通过本教案的学习，学生将了解函数的极限和导数的概念，并能够运用它们解决实际问题。

本教案主要包括函数的极限概念、函数的极限性质、极限的运算法则、导数的概念与性质以及导数的应用等内容。

通过教学设计，学生将发展数学思维，培养解决问题的能力，提高数学应用能力。

一、函数的极限函数的极限是函数与自变量趋近于某一点时的取值趋势。

学生需要了解极限的定义以及相关的概念和性质。

1.1 极限的定义学生首先需了解函数在某一点处的极限定义，即当自变量趋近于某一点时，函数的取值是否趋近于某一确定值。

以数列极限的概念作为引入，引导学生理解函数极限的概念和含义。

1.2 极限的性质在了解了极限的定义后，学生还需掌握极限的性质。

例如，两个函数的和（差）、积、商的极限等，以及函数与常数的乘积的极限等。

通过数学推理和例题练习，巩固学生对极限性质的理解和掌握。

二、函数的导数函数的导数是函数在某一点上的变化率。

学生需要了解导数的定义、性质以及导数的计算方法。

2.1 导数的概念学生需了解导数的概念，即函数在某一点上的变化率。

通过引入切线的概念，引导学生理解导数的几何意义和物理意义。

2.2 导数的性质在了解了导数的定义后，学生还需学习导数的性质。

例如，导数与函数的连续性、导数与函数的单调性等。

通过理论证明和实例分析，帮助学生掌握导数性质的应用。

2.3 导数的计算学生还需要掌握导数的计算方法，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数等函数的导数计算。

通过规律总结和实例演练，提高学生的导数计算技能。

三、函数极限与导数的应用根据函数的极限与导数的理论基础，学生需要掌握如何将其应用于实际问题的解决过程。

3.1 极值问题学生需通过实际问题分析，了解如何通过极限和导数的概念求解函数的极值问题。

例如，求解函数的最大值和最小值，以及函数图像上的拐点等。

高中数学教案：极限与导数极限的概念

高中数学教案：极限与导数极限的概念极限的概念（4月27日）教学目的：理解数列和函数极限的概念；教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；教学难点：数列和函数极限的理解教学过程：一、实例引入：例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。

（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。

观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。

n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。

”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。

二、新课讲授1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数A （即A a n -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作A a n n =∞→lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。

“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。

A a n n =∞→lim 有时也记作当n →∞时，n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1+n n ，…；（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n )1.0(-，…；（5）－1,1，－1，…，n )1(-，…；注：几个重要极限：（1）01lim =∞→nn （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）无穷等比数列}{n q （1<="∞→q" n<="" p="" q="" ）的极限是0，即="" ：)1(0lim=""> n2、当∞→x 时函数的极限（1）画出函数xy 1=的图像，观察当自变量x 取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于正无穷大时，的极限是0，记作：01lim =+∞→xx 一般地，当自变量x 取正值且无限增大时，如果函数 )(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =+∞→)(lim 也可以记作，当x +∞→时，A x f →)(（2）从图中还可以看出，当自变量x 取负值而x 无限增大时，函数xy 1=的值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于负无穷大时，函数x y 1=的极限是0，记作：01lim =-∞→x x 一般地，当自变量x 取负值而x 无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =-∞→)(lim也可以记作，当x -∞→时，A x f →)(（3）从上面的讨论可以知道，当自变量x 的绝对值无限增大时，函数xy 1=的值都无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于无穷大时，函数x y 1=的极限是0，记作01lim =∞→x x 一般地，当自变量x 的绝对值无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =∞→)(lim 也可以记作，当x ∞→时，A x f →)(特例：对于函数C x f =)(（C 是常数），当自变量x 的绝对值无限增大时，函数C x f =)(的值保持不变，所以当x 趋向于无穷大时，函数C x f =)(的极限就是C ，即C C x =∞→lim 例2：判断下列函数的极限：（1）x x )21(lim +∞→ （2）xx 10lim -∞→ （3）21lim xx ∞→ （4）4lim ∞→x三、课堂小结1、数列的极限2、当x ∞→时函数的极限四、练习与作业1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限（1）1，41，91， (21)，… ；（2）7，7，7，…，7，…；（3） ,2)1(,,81,41,21n n---；（4）2，4，6，8，…，2n ，…；（5）0.1，0.01，0.001，…，n 101，…；PMNA B C D （6）0，,32,21--…，11-n，…；（7）,41,31,21-…，11)1(1+-+n n ，…；（8）,51,59,54…，52n ，…；（9）－2, 0，－2，…，1)1(--n ,…，2、判断下列函数的极限：（1）x x 4.0lim +∞→ （2）xx 2.1lim -∞→ （3）)1lim(-∞→x （4）41limx x ∞→ （5）x x )101(lim +∞→ （6）x x )45(lim -∞→ （7）11lim 2+∞→x x （8）5lim ∞→x 补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。

高中数学教案函数的极值和导数

高中数学教案——函数的极值和导数教案内容：一、教学目标1. 理解导数的概念，掌握导数的计算方法。

2. 掌握函数的单调性，能够判断函数的单调区间。

3. 理解函数的极值概念，能够求出函数的极值。

二、教学重点与难点1. 重点：导数的计算方法，函数的单调性，函数的极值。

2. 难点：导数的应用，函数的极值的求法。

三、教学方法采用讲解法、例题解析法、学生自主探究法。

四、教学准备1. 教学课件。

2. 相关例题及练习题。

五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考函数的增减性。

2. 讲解导数的概念：定义域内的函数在某一点的导数，即为该点的切线斜率。

引导学生理解导数的几何意义。

3. 导数的计算：讲解基本函数的导数公式，引导学生掌握导数的计算方法。

4. 函数的单调性：通过例题，讲解函数单调性的判断方法，引导学生掌握如何判断函数的单调区间。

5. 函数的极值：讲解函数极值的概念，通过例题，引导学生掌握求函数极值的方法。

6. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。

8. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。

注意：在教学过程中，要注重引导学生主动思考，培养学生的动手能力及解决问题的能力。

要及时解答学生的疑问，确保学生能够掌握所学知识。

六、教学内容与要求1. 理解曲线的切线与函数导数的关系。

2. 掌握基本函数的导数求解方法。

3. 能够运用导数判断函数的单调性。

七、教学过程1. 复习导入：通过回顾上节课的内容，引导学生复习导数的基本概念和计算方法。

2. 讲解导数的几何意义：通过图形演示，解释导数表示曲线在某点的切线斜率。

3. 导数的计算：详细讲解和练习基本函数的导数求解，包括幂函数、指数函数、对数函数等。

4. 函数单调性的判断：利用导数的概念，解释如何判断函数的单调性。

5. 例题解析：通过具体例题，演示如何运用导数判断函数的单调区间和求极值。

八、教学策略1. 采用互动式教学，鼓励学生提问和参与讨论。

高三数学教案——极限

高中三年级数学学案目录模块一极限（数学选1-1，高三上；高二新下）12．1 数学归纳法及其应用13．2 数列极限13．3 函数极限模块二导数（数学选1-1，高三上；高二新下）13．1 导数的概念、公式及其运算法则13．2 导数的应用（一）13．3 导数的应用（二）模块三复数（数学选1-2，高三上；高二新下）14．1 复数的相关概念和几何意义14．2 复数的代数形式及其运算模块一极限【知识网络】1．1 数学归纳法及其应用【考点透视】一、考纲指要1．了解数学归纳法的原理，理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质．2．能用数学归纳法证明一些简单的问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列的通项与和问题、几何问题、整除性问题等等．3．掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质．二、命题落点1．客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，如例1．2．解答题大多以考查数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目。

和例3，例4．3．“观察→归纳→猜想→证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现结论，又能证明结论的正确性．这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年高考的一个考查重点，如例24．数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法. 在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧。

【典例精析】例1：（1994·上海）. 某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N+）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时该命题不成立B．当n=6时该命题成立C．当n=4时该命题不成立D．当n=4时该命题成立解析：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立．因为当n=k时，命题成立可推出n=k+1时成立，所以n=5时命题不成立，则n=4时，命题也一定不成立，故应当选C．答案：C例2：（1993·全国理）已知数列811322··，…，8212122··nn n()()-+，…。

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