函数极限概念

2.几何解释:
当
x
在
x
的去心
0
邻
域时 ,函数 y = f ( x )
图形完全落在以直
y
A
A
A
y=f(x)
线 y = A 为中心线 ,
宽为 2 的带形区域内 .
o
x0 x 0 x0
x
显,找 然到 后 一 ,越 个 小 . 越好
3 . 定 义 2 中 的 不 等 式 0 x x 0 等 价 于 x U 0 ( x 0 ;) ,
一、x趋于 时函数的极限
设函数f 定义在 [a,)上，类似于数列情形， 研究当自变量x趋于时，
对应的函数值能否无限地接近于某个定数 A.例如, 对于函数 f (x)= 1
x
0.2
我们画出它的 图像
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
当x无限增大 时，函数值无
0.06
0.04
限地接近于 0 ；
直 线 y = A 为 中 心 线 ,宽 为 2 的 带 形 区 域 内 .
不 难 证 明 : 若 f 为 定 义 在 U ( ) 上 的 函 数 , 则
lim f( x )= A lim f( x )= lim f( x )= A .
x
x
x
例 1 证明lim 1 = 0.
x x
x l x 0 f ( x ) = i A 或 f ( m >x ) 0 $A ( >x 0 当x 0 ) 。 0<|xx0|< 有|f(x)A|<
下面我们举例说明如何应用ε－δ定义来验 证这种类型的函数极限.请注意以下各例中δ是 怎样确定的.
x l x 0 f ( x ) = i A 或 f ( m >x ) 0 $A ( >x 0 当x 0 ) 0。 <|xx0|< 有|f(x)A|<
2.几何解释:
当
x
在
x
的去心
0
邻
域时 ,函数 y = f ( x )
图形完全落在以直
y
A
A
A
y=f(x)
线 y = A 为中心线 ,
宽为 2 的带形区域内 .
o x0 x 0 x0
x
显,找 然到 后 一 ,越 个 小 . 越好
③δ＞0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于ε， 对一固定的ε而言，合乎定义要求的δ并不是唯 一的。δ由不等式 |f(x) －A|＜ε 来选定， 一般地，ε越小，δ越小
x l x 0 f ( x ) = i A 或 f ( m >x ) 0 $A ( >x 0 当x 0 ) 。 0<|xx0|< 有|f(x)A|<
如何正面表述 lim f (x) A xx0
lim f (x) A
xx0
$ 0 0 , 0 , $ x 1 , 尽 管 0 x 1 x 0 , 但 f ( x 1 ) A 0
x
lim f (x) = A 或 f(x) A ( x )
x
这 两种函数极限的精确定义与定义 1相仿,只须把定义1 中的“x M”分别改为“xM”或“x M”即可。
" M"定义
x 情形 : lim f(x)=A x
0, $M 0, 使当 x M时, 恒有 f ( x ) A .
证 x11=3 1 2x1 2 2|2x1|
x 故不妨设|x|＞1， 而当|x|＞1时
|2 x 1 | 2 |x | 1 |x |
x11=3 1 3 1 3 2x1 2 2|2x1| 2| x | | x |
0 要使 x11
2x1 2
只须 |x|1和|x|3同时成立
令M =max{1, 3} 则 当 |x|M 时 ， 便 有
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
问题:函数 y = f ( x)在 x 的过程中 ,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
通过上面演示实验的观察: 当 x无限,增 f(x)大 =six 时 n无限接 0. 近
x 问题: 如何用数学语言刻划函数f(x)“无限接近”某数A?
f(x )A 表f(示 x )A 任;意小
M 0 ,x M 表 示 x 的 过 程 .
一般地,当 x趋于时函数极限的精确定义如下：
定义1 设 f 定义在[ a,)上的函数，A为定数.若对任给的 0,存在 正数M( a) ,使得当 xM 时有 f (x)A , 则 称函数 f 当 x 趋
xx0
0,$0,使0 当 xx0时 ,
恒f有 (x)A.
x l x 0 f ( x ) = i A 或 f ( m >x ) 0 $A ( >x 0 当x 0 ) 。 0<|xx0|< 有|f(x)A|<
注 ①定义习惯上称为极限的ε—δ定义其三个要素：
10。正数ε，20。正数δ，30。不等式 |f ( x ) A | ( 0 |x x 0 | )
而 不 等 式 f( x ) A 等 价 于 f( x ) U ( A ;) .
于 是 , 定 义 又 可 写 成 :
0 , $ 0 , 使 得 对 一 切 x U 0 ( x 0 ;) , 有 f ( x ) U ( A ;)
或 更 简 单 地 表 为 :
0 , $ 0 , 使 得 f( U 0 ( x 0 ;) ) U ( A ;) .
第三章 函数极限
函数极限概念
函数极限的性质及存在条件
两个重要极限
无穷小量与无穷大量
第三章 函数极限
教学要求 1 理解函数极限的“ε-δ”，“ε-M”定义及 单侧极限概念； 2 掌握函数极限的基本性质及两个重要极 限； 3 理解广义极限、无穷大量及无穷小量等 概念。
第三章 函数极限
一 函数极限概念
定 义 2 ( 函 数 极 限 的 定 义 )
设函数f 在点x0的某空心邻域U0(x0;/)内有定义,
A为定数.若对任给的 0,存在正数(/),使得当
0 xx0 时有 f (x)A ,
则称函数f当x趋于x0以A为极限,记作
lim
xx0
f
(x)
=
A或
f
(x)
A(x
x0).
""定义
lim f (x) = A
f(x)
A+ε A
A-ε
O
x M
如果正数 给 的小一点,即当带形区域更窄一点,那么
直 线 x= M 一般要往右平移;但无论带形区域如何窄,总存在 这样 的正数M ,使得曲线y = f(x) 在直线 x=M 的右边部分全部 落在这更窄的带形区域内。
现设 f 为定义在U()或U( )上的函数,当 x 或x时,若函数 值 f(x)能无限地接近某定数A ，则称 f 当x 或 x 时以 A为 极限,分 别记作 limf( x) = A 或 f (x) A ( x)
证 0, 取 M = 1 ,
则当xM时有
1 0 = 1 1 = ,
x
xM
y
O
x
所以lim 1 = 0. x x
p p 例 2 证 明 :1 )lim a r c ta n x = ;2 )lim a r c ta n x =.
x
2 x
2
证 任 给 0 ,由于
arctanxp2
x11=3 1 2x1 2 2|2x1|
|
3 x
|
limx1 =1 n2x1 2
定:义 如l果 im f(x)=c,则直 y=c线 是函 y=f数 (x) x
的图形的. 水平渐近线
二、自变量趋于有限值时函数的极限
先看一个例子 考x察 1时 ,函f数 (x)=2(x21)的变化趋
x1
这个函数虽在x=1处
无定义，但从它的图
y
形上可见，当点从1的
4
左侧或右侧无限地接
近于1时， f(x)的值无
限地接近于4，我们称
常数4为f(x)当x→1 时
o1
x
f(x)的极限。
问题:函数 y = f ( x)在 x x0的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A. 如何表示?
0 ,f( x ) A 表 示 f( x ) A 任 意 小 ;
$ 0 ,当 0 x x 0 表 示 x x 0 的 过 程 .
x0
x0
x0 x
点 x0的去 邻 心 ,域 体x接 现x0 近 程.度
二 x 趋 于 x 0 函 数 的 极 限 定 义
设 f为 定 义 在 点 x0的 某 空 心 邻 域 U0(x0)内 的 函 数 . 现 讨 论 当 x趋 于 x0(xx0)时 ,对 应 的 函 数 值 能 否 趋 于 某 个 定 数 A .这 类 函 数 极 限 的 精 确 定 义 如 下 :
定义1的几何意义如下图所示，
f(x)
A+ε A A-ε
O
M
x
对任给的 0,在坐标平面上平行于 x 轴的两条直线y =A与y = A ，
围成以直线y =A为中心线、宽为2 的带形区域;定 义中的“当x M 时有
f(x)A ”表示:在直线x=M 的右方,曲 线 y = f(x) 全部落在这个带
形区域之内.
x 情形 :
lim f(x)=A
x
0, $M 0, 使当 x M时, 恒有 f ( x) A .
x 情形 : lim f(x)=A x
0, $M 0,使当 x M时, 恒有 f ( x) A .
几何解释:
y = sin x x
A
M M
当 x M 或 x M 时 ,函 数 y = f(x ) 图 形 完 全 落 在 以
例 例4 证 明 l x 1 x x 2 1 1 = i 2 m
证明 因为 >0 $ = 当0|x1| 时 有
f ( x ) A | = | x 2 1 2 | = | x 1 | x 1
所 以 l x 2 1 = 2 i m x 1 x 1
分否析有当 极注限意>x 0并函1 要时 无数使 关在| f |系xf( (=x x) 1) 是A A| 没|= <| x 有x 2 只定1 1 要义 2 |的| x= 1| x |但 1 这| 与函数在该点是
0.02
0
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10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
而对于函数 g (x)=arctan x，
则当
x
趋于
时函数值
无限地接近于
p
2
我们 称 这 两个函数当 x 时有极限。
1.6 1.4 1.2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
5
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一、自变量趋向无穷大时函数的极限
②定义中 0|xx0|表x示 x0
所以x →x0时，f(x) 有无极限与 f(x)在x0处的状态
并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在x0附近
的变化趋势,即 x →x0时f(x) 变化有无终极目标，
而不是f(x) 在x0这一孤立点的情况 。
约定x →x0但 x≠x0
③δ＞0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于ε， 对一固定的ε而言，合乎定义要求的δ并不是唯 一的。δ由不等式 |f(x) －A|＜ε 来选定， 一般地，ε越小，δ越小
于 时以A为极限,记作 lim f (x ) = A 或 f (x)A(x)。 x
在定义 1中正数M 的作用与数列极限定义中N的相类似,表明 x 充分大的程度;但这里所考虑的是比M大的所有实数 x ,而不仅仅 是正整数 n.因此,当x趋于 时函数 f 以A为极限意味着：A的任意小 邻域内必含有f 在 的某邻域内的全部函数值 。
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
2.几何解释:
当
x
在
x
的去心
0
邻
域时 ,函数 y = f ( x )
图形完全落在以直
y
A
A
A
y=f(x)
线 y = A 为中心线 ,
宽为 2 的带形区域内 .
o x0 x 0 x0
x
显,找 然到 后 一 ,越 个 小 . 越好
③δ＞0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于ε， 对一固定的ε而言，合乎定义要求的δ并不是唯 一的。δ由不等式 |f(x) －A|＜ε 来选定， 一般地，ε越小，δ越小
等价于 --parctanxp,
2
2
而此不等式的左半部分对 任何 x
x都的成变立化,所范以围只。要为考此察,先其限右制半部分p 2
则有
x
tan
p
2
=
tan
p
2
.
故对 0( p),
2 arctanxp2
只须取M=tanp2, 则 当 x M 时 便 有
这就证明了1),类似地可证2).
例
证明
limx1 =1 x2x1 2