函数极限概念

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函数的极限(高等数学课件

极限存在的充分条件
通过研究极限存在的充分条件，我们能够判断函数极限是否存在，从而分析函数的性质。
极限不存在的充分条件
极限不存在的充分条件揭示了函数在某一点无法达到收敛状态的原因，帮助我们理解函数的特性。
极限的计算方法
通过掌握极限的计算方法，我们能够简化复杂函数的分析，快速求得函数在某一点的极限值。
无穷远处的极限研究函数在无穷远处的行为，了解函数在无穷远的趋势和特征。
函数连续的定义
函数连续的定义是描述函数在一个区间内各点之间没有突变，平滑过渡的性质。
极限的性质
通过研究极限的性质，我们能够推导出一些重要的定理和计算方法，深入理解函数的行为。
夹逼定理
夹逼定理是一种重要的判断函数极限存在与计算的方法，让我们能够找到极限或证明其不存在。
极限的唯一性
极限的唯一性告诉我们，函数在某一点的极限只可能有一个确定的值，没有歧义性。
极限的应用：导数和积分的概念
函数极限的应用非常广泛，例如在微积分中，导数和积分的概念都是基于极限的。
中值定理
中值定理是一组重要的定理，它揭示了函数在某一区间内的行为特点，是函数研究的重要工具。
极值和最值的定义
极限与无的行为，探讨函数的无限增长和无限减小。
极限与无穷小
极限与无穷小研究函数在某一点附近的变化，帮助我们分析函数的微小变化和趋势。
L'Hôpital法则
L'Hôpital法则是一种处理函数极限的重要方法，适用于特定的极限计算。
渐近线的定义与分类
渐近线研究函数在无穷远处的趋势，分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线三种。
函数的极限(高等数学课件)
探索函数极限的奥秘，从基本的概念到应用、定理和计算方法，打开数学世界的大门。

函数极限相关知识点总结

函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。

具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。

换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。

这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。

2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。

左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。

当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。

3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。

具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。

类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。

4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。

比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。

因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。

二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。

高考数学中的极限及相关概念

高考数学中的极限及相关概念在高考数学中，极限是一项非常重要的概念。

极限的定义是指当自变量无限接近某一固定值时，函数的取值趋近于某一固定值，这个固定值即为极限。

为了更好地理解极限及其相关概念，本文将从以下几个方面进行分析。

一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值趋近于某一特定值。

例如，当x趋近于1时，y趋近于2。

在高考数学中，函数的极限是非常重要的，因为它可以帮助我们确定函数的性质，从而更好地处理一些复杂的问题。

二、左极限和右极限左极限和右极限是指在函数存在极限的情况下，自变量趋近于这个极限时，函数的取值分别从左侧和右侧趋近于极限。

例如，当x趋近于2时，y趋近于3，此时左极限为3，右极限也为3。

在实际问题中，左极限和右极限的概念经常被用来描述物理或经济现象中的变化规律。

三、连续性连续性是指当自变量在某一固定点上发生微小变化时，函数的取值也随之发生微小变化。

具体来说，如果函数在某一固定点上的极限存在，并且等于函数在这一点上的取值，那么这个函数就是连续的。

连续性是数学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们更好地研究函数的变化规律。

四、无穷大与无穷小无穷大与无穷小是指当自变量趋近于某一固定值时，函数的取值趋近于无穷大或无穷小。

在实际问题中，我们经常需要讨论物理或经济现象中的最大值或最小值，因此无穷大与无穷小的概念也是非常重要的。

结语本文从四个方面论述了高考数学中的极限及其相关概念。

在实际应用中，极限与微积分、微分方程等数学学科密切相关，掌握极限及其相关概念是现代数学研究的基础。

希望读者在阅读本文后能够更好地理解极限及其相关概念，从而更好地应对高考数学考试。

函数与极限知识总结

函数与极限知识总结1、定义极限（Limit）又称微积分的基本概念，它是指当函数f(x)的一些变量x逐渐靠近但又不等于一些特定的常数a时，函数f(x)的值一定要逐渐接近于一个特定的实数L，而接近的程度可以任意接近，即变量x靠近常数a时，函数f(x)的值即靠近常数L，记作$$\lim_{x \to a}f(x)=L$$这就是极限的定义，a称作极限点，L称作极限值。

2、性质（1）不等式极限性质若$f(x)≥0,a>0$,当x靠近$a^{+}$时，则有$$f(x)≥\lim_{x \to a^{+}}f(x)≥0$$当x靠近$a^{-}$时，则有$$f(x)≤\lim_{x \to a^{-}}f(x)≤0$$（2）加法极限性质设$\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x \to a}g(x)=B$当x靠近a时，有$$\lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=A+B$$（3）乘法极限性质设$\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x \to a}g(x)=B$,当x靠近a时，有$$\lim_{x \to a}[f(x)g(x)]=AB$$（4）恒等式极限性质设$\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x \to a}g(x)=B,f(a)=B,g(a)=A $当x靠近a时，有$$\lim_{x \to a}[f(x)=g(x)]=A=B$$（5）极限连续性设$\lim_{x \to a}f(x)=L$当x靠近a时，有$$f(a)=L$$这就是极限连续性性质。

3、极限的计算（1）无穷小除以无穷大当$\frac{1}{x}\to 0$时，有$$\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x}=0$$（2）无穷大除以无穷大当$\frac{x}{y}\to 0$时，有。

函数的极限

1.4 函数的极限 (limit of function)
1. x x0时函数极限的直观描述
考虑x无限逼近1时，f (x) x 1的变化趋势。
2
记为 lim(x 1) 2.
1
x1
0
1
考虑x无限逼近1时，f ( x) x2 1的变化趋势。 x1
记为
x2 1
lim
2.
x1 x 1
2
1 0
2. 自变量趋向无穷大时函数的极限定义描述性极限定义
设对给定的常数A，当x无限逼近时，函数f (x)无限逼近A,则称A为x 时f (x)的极限，记为
易知：
几何意义
若极限lim f ( x) A存在，则称直线y A为 x
曲线y f (x)的水平渐近线。
说明
函数在无穷远处存在极限的几何意义就是它的图像有水平渐近线.
lim
x x0
f (x)
A或f
(x)
A( x
x0 )
ε 0,δ 0,使当0 x x0 δ时, 恒有 f (x) A ε .
注意
1.函数极限与f (x)在点x0是否有定义或取值都无关;
2.正数的任意性与给定性.
3.的相应性与不唯一性
4. 几何解释:
y
当x在x
的去
0
心邻
A
域时,函数y f ( x) A
思考与总结: 在一点处极限与函数值的关系?
二、函数在无穷远处的极限
1. 自变量趋向无穷大时函数的变化趋势
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
二、函数在无穷远处的极限
1. 自变量趋向无穷大时函数的变化趋势
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x

函数极限连续重要概念公式定理

函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。

它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。

下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。

一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。

极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。

函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。

常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。

- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。

- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。

- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。

2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。

常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。

3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。

常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。

函数极限的定义

第三节函数极限的定义本节要点一、函数在有限点处的极限二、函数在无穷大处的极限三、有极限函数的基本性质一、函数在有限点处的极限函数在有限点处的极限的描述性定义211()x f x x 例如函数-=-x12yo21()1x f x x -=- 从图形中可以看出：尽管函数在点处没有定义，但当不等于1而无限趋近于1时，相应的函数值无限接近于2.1x =x设函数在点的某个去心邻域内有定义，如果在变量 ( ) 的过程中，对应的函数值无限接近于确定的常数，就说当时函数的极限为，并记作 .这种类型的极限称为函数在有限点处的极限.() y f x =0x A A 0lim ()→=x x f x A 0x x ≠0x x →()f x 0x x →“不论你要求f x ()与A 多么接近，只要x 与x 0充分靠近以后(但x x ≠0)，就能使f x ()与A 变得那么接近”，换句话说，就是“不论你要求f x A ()-多么小，只要x x -0足够小以后(但x x ≠0)，f x A ()-就能变得那么小”. 这最后一句话是可以用数学式子来精确刻划的.这个描述性定义是说：于是就得到函数在有限点处极限的精确定义（语言）.δε-(),f x A ε-<()f x 0x ε00x x δ<-<定义设函数在点的某个去心邻域中有定义，如果存在常数，使得对于任意给定的正数，总存在正数，只要当满足时，都有 A δx 0lim ().x xf x A →=或 ()0 ().f x A x x →→那么常数就称作函数当时的极限，记为 A ()f x 0x x →().,||,,εδδε<-<-<>∃>∀A x f x x 有时当0000即()defx x A x f ⇔=→0lim 函数的极限定义也称函数极限的ε —δ 定义xyf (x )x A的几何解释 )(lim A x f x x =0→δ-0x δ+0x ,0>∀ε,0>∃δ时,||00δx x <-<当.)(ε<-A x f 恒有该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域内，即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.函数的极限∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域, A +εA –εAxyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域内，即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx δ-0x δ+0x ε+A ε-A ε+A ε-A ε+A ε-A ε+A ε-A ε函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域内，即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时, ||00δx x <-<A xyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域内，即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的空心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<A xyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x δ-0x δ+0x δ-0x δ+0x δδ-0xδ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域内，即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的空心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx ε+A ε-A δεδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域内，即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当∃ x 0的去心δ 邻域, 时,||00δx x <-<Axyx δε+A ε-A εε-A εεεδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域内，即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当∃ x 0的去心δ 邻域, 时,||00δx x <-<Axyx εεδδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域内，即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx εεδ-0x δ+0x δ-x δ+x δ函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 对应的 f (x )落在 A 的 ε 邻域内，即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<例如设函数211().1 0 1x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩x1 2yo 21()1x f x x -=-1δ-1δ+注：函数在点处的极限与函数在这一点是否有定义没有关系，它所反映的是在该点附近的变化趋势. ()f x 0x 则，()1lim 2,x f x →=()f x 可见，极限与的取值没有关系. ()10f =(1) lim x x C→0(2) lim x x x→0(4) lim cos x x x→2(3) lim(21)x x →+0(6) lim x x x →0(7) lim xx x e→12214(5) lim 21x x x →--+练习：写出下列函数在指定点处的极限。

函数极限的知识点总结

函数极限的知识点总结一、函数极限的定义在介绍函数极限的定义之前，我们先来了解一下“极限”的概念。

在数学中，极限是指当自变量趋于某一特定的值时，函数的取值趋于的值。

如果函数f(x)在x趋于a的过程中，它的取值趋于一个确定的常数L，那么我们就称L是函数f(x)在点x=a处的极限，记作lim （x→a）f(x)=L。

这个定义可以用符号来表示为：对于任意的ε>0，存在一个δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么我们就称lim（x→a）f(x)=L。

根据极限的定义，我们可以得到一些结论：1. 如果一个函数在点x=a处的极限存在，那么它只有一个极限值。

2. 如果一个函数在点x=a处的极限不存在，那么它没有极限值。

3. 如果一个函数在点x=a处的极限存在且等于L，那么在点x=a的邻域内，函数的取值都趋于L。

函数极限的定义为我们提供了计算函数在某一点处的极限的依据，下面我们将介绍一些常见的计算方法。

二、函数极限的计算方法1. 代入法代入法是最直接的计算函数极限的方法，当函数的极限存在时，我们可以直接将自变量的值代入函数中计算即可。

例如，计算lim（x→2）（3x+1），我们只需要将x=2代入函数中得到lim（x→2）（3x+1）=3*2+1=7。

2. 分式的极限对于分式函数的极限计算，我们通常采用有理化或者分子分母同除等方法，将分式转化为更简单的形式进行计算。

例如，计算lim（x→1）（x^2-1）/（x+1），我们可以将分式有理化为（x-1）（x+1）/（x+1），然后可以进行约分化简得到lim（x→1）（x-1）=0。

3. 夹逼定理夹逼定理也是一种常见的计算函数极限的方法，它适用于一些复杂函数的极限计算。

夹逼定理的原理是，如果函数f(x)在x=a的邻域内被另外两个函数g(x)和h(x)夹在中间，并且lim（x→a）g(x)=lim（x→a）h(x)=L，那么函数f(x)在x=a处的极限也存在且等于L。

微积分(6)函数极限的概念

x x0 ；
5.自变量 x 从有限值 x0 的左侧无限地接近于 x0 ，或者说自变量 x 从有限值 x0 的左侧趋于 x0 ，记作 x x0 ； 6.自变量 x 从有限值 x0 的右侧无限地接近于 x0 ，或者说自变量 x 从有限值 x0 的右侧趋于 x0 ，记作 x x0 。
f ( x) A 来表示，其中是事先任意给定的一个正数。由于函数值 f ( x) 无限
地接近于 A 是在 x 这一过程中实现的，于是，对于任意给定的正数，只要求充分接近于的 x 所对应的函数值 f ( x) 满足不等式 f ( x) A 。与数列中的 n 类似，充分接近于的 x 可“翻译”为 x X ，其中 X 是某个充分大的正数。显然， X 刻画了 x 接近的程度。
x x
lim f ( x) A 0 ， X 0 ，当 x X 时，有 f ( x) A 。
x
类似地，我们也可以写出函数极限 lim f ( x) A 的否定形式：
x
lim f ( x) A 0 0 ， X 0 ， x0 X 时，使得 f ( x0 ) A 0 。
y f ( x) 的图像位于这两条直线之间；
5
（3）函数极限 lim f ( x) A 的的几何意义：不论给定的正数有多小，作两
x
条直线 y A 与 y A ，总可以找到某个正数 X ，使得当 x X 或 x X 时，函数 y f ( x) 的图像位于这两条直线之间（如图）。
根据上述三个定义，注意到 x X x X 或 x X ，我们即可得到以下结论：定理：函数 f ( x) 当 x 时极限存在的充分必要条件是函数 f ( x) 当 x 时以及当 x 时极限都存在，并且相等，即

函数极限的定义24种

函数极限的定义24种函数极限是指计算函数值时，这个函数接近某个值的情况。

它的定义有24种，如下：1. 左极限：当x趋近于a时，f(x)趋近于L。

2. 右极限：当x趋近于a时，f(x)趋近于M。

3. 对称的极限：当x趋近于a时，f(x)趋近于N。

4. 在点a上的极限：如果存在L使得对于任意δ>0，当0 < |x- a | < δ时，f(x)都 > L，那么，f在点a处的极限就是L。

5. 在点a上的右极限：如果存在M使得对于任意δ>0，当0 < |x- a | < δ 当x→a右时，f(x)都 < M，那么，f在点a处的右极限就是M。

6. 在点a上的对称极限：如果存在N使得对于任意δ>0，当0< |x-a | <δ时，当x→a时，f(x) → N，那么，f在点a处的对称极限就是N。

7. 内极限：当x在a处时，f(x)趋近于L，此时，f(x)的极限就是L。

8. 内右极限：当x在a处时，f(x)趋近于M，此时，f(x)的极限就是M。

9. 内对称极限：当x在a处时，f(x)趋近于N，此时，f(x)的极限就是N。

10. 外极限：当x在a处时，f(x)趋近于L，此时，f(x)的极限就是L。

11. 外右极限：当x在a处时，f(x)趋近于M，此时，f(x)的极限就是M。

12. 外对称极限：当x在a处时，f(x)趋近于N，此时，f(x)的极限就是N。

13. 下无穷极限：当x→-∞ 时，f(x)趋近于L。

14. 上无穷极限：当x→+∞ 时，f(x)趋近于M。

15. 无穷极限：当x→ ± ∞时，f(x)趋近于N。

16. 上渐近极限：当x趋近于a时，f(x)逐渐趋近于L。

17. 下渐近极限：当x取越大值时，f(x) 逐渐趋近于M。

18. 上唯一极限：当x趋近于a时，f(x)只能趋近于唯一的L。

19. 下唯一极限：当x趋近于a时，f(x)只能趋近于唯一的M。

高中常见极限知识点总结

高中常见极限知识点总结极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究函数和数列的性质的基础。

在高中数学课程中，极限是一个重要的内容，学生需要深入理解和掌握它，因为它不仅是数学的基础，还在物理、工程、经济学等其他学科中有着广泛的应用。

本文将对高中常见的极限知识点进行总结，希望可以帮助学生更好地理解和掌握这一重要的数学概念。

一、极限的概念1. 定义：对于函数f(x)，当x趋于某一数a时，如果当x充分靠近a时，函数值f(x)无限接近于一个定值L，则称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。

2. 极限存在的条件：极限存在的条件是当x充分靠近a时，函数值能够无限接近于一个定值L。

也就是说，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0＜|x－a|＜δ时，都有|f(x)－L|＜ε成立。

3. 极限的表示：极限可以用符号lim表示，写成lim(x→a)f(x)=L，其中x→a表示x趋于a的过程，f(x)表示函数值，L表示极限的定值。

可以理解为，当x趋于a时，函数值f(x)趋于L。

二、极限的性质1. 唯一性：如果函数f(x)当x趋于a的时候极限存在，那么这个极限是唯一的。

2. 有界性：如果函数f(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)在x趋于a的邻域内有界。

3. 保序性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，且有f(x)≤g(x)，那么极限也有lim(x→a)f(x)≤lim(x→a)g(x)。

4. 乘法性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)g(x)当x趋于a 的时候极限也存在，且有lim(x→a)f(x)g(x)=lim(x→a)f(x)·lim(x→a)g(x)。

5. 加法性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)+g(x)当x趋于a的时候极限也存在，且有lim(x→a)(f(x)+g(x))=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)。

07-第7讲函数极限概念

3
函数 f ( x ) 在点 x0= 1 处没有定义.
1. x x0 时, 函数 f ( x) 的极限
定义
0, 若 0, 当 0 | x x0 | 时,
| f ( x) a |
成立 , 则称 a 为函数 f ( x) 当 x x0 时的极限 ,
成立, 则称 a 为 f ( x) 当 x x0 时的右极限 , 记为
x x0
lim f ( x) a
0
或 f ( x) a ( x x ) , 也可记为 f ( x0 0) a .
定义
0, 若 0, 当0 x0 x 时,
| f ( x) a |
例10
x 1, 设 f ( x) x 1,
2
x 1 , 求 lim f ( x) 。 x1 x 1
2
解

x 1
lim f ( x) lim ( x 1) 2
x 1
x 1
lim f ( x) lim ( x 1) 2
x 1
1. x 时, 函数 f ( x) 的极限
定义
0, 若 X 0, 使当 x X 时, 有
| f ( x) a |
成立, 则称函数 f ( x) 当 x 时, 极限存在 ,
常数 a 为其极限值 , 记为
x
lim f ( x) a ,
或记为 f ( x) a ( x ) .

lim f ( x ) 2
x 1
例11
求
x lim . x0 | x |
解

x x lim lim lim 1 1 x 0 | x | x 0 x x0

函数极限概念

引言在数学分析中，极限的概念占有主要的低位并以各种形式出现而贯穿全部内容,同时极限概念与方法是近代微积分的基础. 因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法进行了归纳总结,并在具体求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明, 以便于我们了解函数的各种极限以及对各种极限进行计算.求函数极限的方法较多,但每种方法都有其局限性, 都不是万能的, 对某个具体求极限的问题,我们应该选择合适的方法.一、函数极限概念定义1[]1设f 为定义在[)+∞,a 上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0，存在正数M （a ≥），使得当M x >时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作lim ()x f x A →+∞= 或()().f x A x →→+∞定义2[]1（函数极限的ε-δ定义）设函数f 在点 0x 的某个空心邻域0U （0x ；'δ）内有定义，A 为定数。

若对任给的ε>0，存在正数δ（<'δ），使得当0<0x x δ-<时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作lim ()x f x A →∞=或0()()f x A x x →→.定理1[]1设函数f 在0'0(,)U x δ+（或00(;')U x δ-）内有定义，A 为实数。

若对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）时有()f x A ε-<，则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限，记作lim ()(lim ())x x x x f x A f x A +-→→==或00()()(()())f x A x x f x A x x +-→→→→.定理2[]1（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则此极限是唯一的.定理3[]1（局部有界性）若0lim ()x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域00()U x 内有界.定理4[]1（局部保号性）0lim ()0x x f x A →=>若（或<0），则对任何正数r <A （或r <-A ）,存在00()U x ，使得对一切00()x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）.定理5[]1（保不等式性）0lim ()x x f x →设与0lim ()x x g x →都存在，且在某邻域0'0(;)U x δ内有()()f x g x ≤，则lim ()lim ().x x x x f x g x →→≤二、函数极限的求解与应用极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对函数极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法.求解函数极限的最基本的方法还是利用函数极限的定义，同时也要注意运用两个重要极限，其中可以利用等量代换，展开、约分等方法化成比较好求的数列，也可以利用函数极限的四则运算法则计算.夹逼性定理和拉格朗日中值定理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用. 洛必达法则是针对某些特殊的函数而言的，还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了.1、利用函数极限的定义根据函数极限的定义，是求极限的最基本的方法之一.例1 证明 1lim0x x→∞=. 证明 ε∀>0，∃M =1ε，则当x >M 时有，10x -=1x <1M =ε.所以有1lim0x x→∞=. 例2 用极限的定义证明20211lim 0x x x x -=-→ 0(||1)x <.证明由于||1x ≤, 0||1x <, 因此22=≤≤于是, 对任给的)10(0<<>εε不妨设, 取,212εδx -=则当00||x x δ<-<时, 有 .11202ε<---x x注用极限的定义时, 只需要证明存在)(δ或N , 故求解的关键在于不等式的建立. 在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧, 但不能把含有n 的因子移到不等式的另一边再放大, 而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大, 有时还需加入一些限制条件, 限制条件必须和所求的N (或δ)一致, 最后结合在一起考虑.2．利用极限的运算法则定理6[]1（四则运算法则）若极限0lim ()lim ()x x x x f x g x →→与都存在，则函数f g ±，.f g 当0x x →时极限也存在，且[]0lim ()()lim ()lim ();x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±[]0lim ()()lim ().lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→=；lim ()x x g x →又若00,f g x x ≠→则当时极限存在，且有0()limlim ()/lim ().()x x x x x x f x f x g x g x →→→=例3 求221lim1nnn a a a b b b →∞++++++++, 其中1,1<<b a . 解分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限bb b b b a a a a a n nn n--=++++--=++++++111,1111212,原式= 1111lim111111lim11n n n n a b a a b abb +→∞+→∞----==----例4 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++→20211lim x x x x . 解原式⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++--+-++=→)211(41121lim 220x x x x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-++--=→)11)(211()11(2lim2220x x x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-++-=→)11)(211(2lim20x x x x 41-=.注1 对于和、差、积、商形式的函数求极限, 可以采用极限运算法则, 使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简, 变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等.注2 运用极限法则时, 必须注意只有各项极限都存在(对商, 还要分母极限不为零)时才能适用.3．利用迫敛性（夹逼准则）定理7[]1 （迫敛性）0lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==设，且在某0'0(;)U x δ内有()()()f x h x g x ≤≤，则 0lim ().x x h x A →=例5 求下列函数的极限.(1)cos lim x x xx→-∞-；(2)2sin lim 4x x xx →+∞-.解 (1)因为-1≤cos 1x ≤，所以当0x <时，1cos 1x x x x-≤≤-，于是 1cos 111x x x x x-+≤≤-,又因为 11lim (1)lim (1)1x x x x→-∞→-∞+=-=，由迫敛性得 cos lim1.x x xx →-∞-= （2）因为1sin 1,x -≤≤2-24x x x >≤-所以当时，22sin 44x x xx x ≤--，又因为 2221lim lim 0,lim 04441x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞--===---，又迫敛性得 2sin lim 4x x xx →+∞-=0.例6 求⎪⎭⎫⎝⎛→x x x x 1sin sin 1lim 20.解当0≠x 时, 有 222111|sin sin ||sin |x x x x x x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭,从而 2110|sin sin |||x x x x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭,由夹逼准则得 2011lim |sin sin |0x x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭, 所以 01sin sin 1lim 20=⎪⎭⎫⎝⎛→x x x x .注1 迫敛性（夹逼准则）多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小, 而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限. 基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限.注2 利用夹逼准则求函数极限的关键：（1）构造函数)(x f , )(x h , 使)(x f ≤)(x g ≤)(x h ；（2）A x h x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0, 由此可得A x g x x =→)(lim 0.4．利用两个重要极限两个重要极限:（1)1sin lim0=→xxx ；(2)e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .根据复合函数的极限运算法则, 可将以上两个公式进行推广: (1)1)()(sin lim0=→x f x f x x ()(,sin ,0)(lim 0x f u u u y x f x x ===→)； (2)e x g x g x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→)()(11lim 0 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞=→)(,11,)(lim 0x g u u y x g ux x . 例7 求下列函数的极限（1）1lim sin ;x x x→+∞（2）30tan sin lim x x xx→- . 解（1）令1t x=， 0t 0.1sin lim sin lim 1.x t x tx x t++→+∞→→+∞→==则当时，于是 (2)23330002sin sin tan sin sin (1cos )2limlim lim cos cos x x x xx x x x x x x xx x→→→--==220sinsin 12lim ..2cos 211.1.21.2x x x x x x →⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦==例8 求下列函数的极限（1）02lim(1);x x x-→-（2）101lim()1x x x x→+- . 解（1）22221lim(1)=lim 1+-2xx x x e x x --→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥-= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）11122100122lim()lim(1)lim(1)111x x x x x x n x x x x x x x--→→∞→+=+=+--- =2112202lim 11x xxx x e x --→⎡⎤⎛⎫⎢⎥+= ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦.5．利用无穷小的性质和等价无穷小代换定理8[]1 设函数(),(),()f x g x h x 在0(,)U x δ'内有定义, 且有 )(~)(x g x f )(0x x →. (1) 若A x h x f x x =→)()(lim 0, 则A x h x g x x =→)()(lim 0；(2) 若B x f x h x x =→)()(lim, 则B x g x h x x =→)()(lim 0.性质1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量；性质2 有限个无穷小量的乘积为无穷小量；性质3 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.定理9[]1 设α,β均为无穷小, 且~,~ααββ'', 且αβ''lim 存在,则 αβαβ''=lim lim .例9 求极限22201cos lim sin x x x x →- .解因为 222()1cos ~;2x x -所以 2220sin cos 1lim x x x x -→=212)(2222=x x x .例10 计算30sin sin tan limxx x x -→. 解由于 )cos 1(cos sin sin tan x xxx x -=-, 而 )0(~sin →x x x , )0(2~cos 12→-x x x , )0(~sin 33→x x x ,故有 212cos 1lim sin sin tan lim 32030=⋅⋅=-→→x x x x x x x x x .例[]611 计算0x →.解因为 211cos (0),2xx x -→ 且 22000222sin sin 1cos 22lim lim lim 111222x x x x x x x x x→→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪⎪⎝⎭. 由定理得，0x→()200022lim 11122x x x x x x →→→====.注1 对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小代换.注2[]7常用等价代换公式: 当0→x 时, x x ~sin , x x ~arcsin , x x ~tan ,x x ~arctan , x e x ~1-, a x a x ln ~1-等.在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题.6.利用恒等变形法在求函数极限时，利用简单的恒等变形可使极限易于计算，恒等变形的手段有约分法有和有理化法. （1）约分法适用于计算00型函数极限，如果所求函数的分子分母都是整式且有公因子（特别是零因子）时，可通过约简式计算极限值.例12[]3 计算21lim 1n x x x x nx →+++--的值（n 为正整数）.解原式=21(1)(1)(1)lim1n x x x x x →-+-++--= 121lim 1(1)(1)n n x x x x x --→⎡⎤++++++++⎣⎦12n =+++=(1)2n n+. 注要首先将分子分母因式分解，找到公因子（特别是零因子），接着即可约去公因子，求函数极限. （2）有理化法在求解存在根号的函数极限时，通过选择分子或分母，或分子分母同时有理化约去零因子，即可转化为一般的极限问题.例13[]4 计算：0x ax→ （其中0a >）.解原式=0x → =22x →=x →=12a注此题是通过分子有理化来简化运算，在具体解题时根据简便原则进行选择何种方式的有理化.7.利用洛必达法则（1）0型不定式极限定理10[]1 若函数)(x f 和)(x g 满足： (i ) 0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x ；(ii ) 在点0x 的某空心邻域00(,)U x δ'内两者都可导, 且0)(≠'x g ；(iii ) A x g x f x x =''→)()(lim(A 可为实数, 也可为∞), 则=→)()(limx g x f x x A x g x f x x =''→)()(lim 0. （2）∞∞型不定式极限定理 11[]1 若函数f 和g 满足： (i ) ∞==→→)(lim )(lim 0x g x f x x x x ；(ii ) 在点0x 的某空心邻域00(,)U x δ内两者都可导, 且0)(≠'x g ； (iii ) A x g x f x x =''→)()(lim(A 可为实数,也可为∞), 则=→)()(limx g x f x x A x g x f x x =''→)()(lim 0. 注[]8洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的, 在同一运算过程中可连续使用, 直到求出所求极限. 但是, 对于其他不定式的极限（如,0∞⋅ 001,0,,∞∞∞-∞等类型）如果无法判断其极限状态, 则洛必达法则失败, 但只需经过简单变换, 它们一般可以化为00型和∞∞型的极限. 例 12[]3 计算：（1） 3arcsin lim;(arcsin )x x x x →- （2） 0lim ln x x x +→; （3） ()1ln lim xx x →+∞+.解（1）这是一个型的不定式极限, 直接应用洛必达法则得:3000arcsin lim x x x x xx →→→-== )11(13lim2222+---=→x x x x x 61-=.（2）这是一个∞⋅0型的不定式极限, 用恒等变形xxx x 1ln ln =将它转化为∞∞型不定式极限, 并应用洛必达法则得到 x x x ln lim 0+→0)(lim 11lim1ln lim 0200=-=-==+++→→→x xx x x x x x . （3）这是个0∞型不定式极限.类似地先求其对数的极限（∞∞型）：(+ln limlim1ln x x x xx→∞→+∞== 于是有(1ln lim xx x →+∞=e .注1 要注意条件，也即是说，在没有化为0,0∞∞时不可求导.注2 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数.注3 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误.8.利用泰勒展开式泰勒展开式[]9：若()f x 在0x =点有直到1n +阶连续导数,那么,,()2(0)(0)()(0)(0)...()2!n nn f f f x f f x x x o x n =+++++，对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便，下列为常用的展开式：(1)21()2!!nxn x x e x o x n =+++++ (2) 352112sin (1)()3!5!(21)!n n n x x x x x o x n --=-+++-+-(3)24221cos 1(1)()2!4!(2)!nnn x x x x o x n +=-+++-+(4)21ln(1)(1)()2nn n x x x x o x n -+=-++-+ (5)2(1)(1)(1)(1)1()2!!nn n x x x x o x n ααααααα---++=+++++(6)211x x ()1n n x o x x=+++++-上述展开式中的符号)(n x o 都有:0)(lim 0=→n n x xx o 例13[]1 计算 2240cos limx x x e x -→- .解利用泰勒公式求解 245cos 1()224x x x o x =-++22521()28x x xeo x -=-++2452cos ()12x x x e o x --=-+ 因而求得2452440010()cos 112limlim 12x x x x x x e x x -→→-+-==-.9.利用拉格朗日中值定理定理12[]1 若函数f 满足如下条件： (1)f 在闭区间上连续;(2)f 在(,)a b 内可导;则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()()().f b f a f b aξ-=-此式变形可为:)10( ))(()()('<<-+=--θθa b a f ab a f b f例14[]10 求x x e e xx x sin lim sin 0--→.解令x e x f =)( 对它应用中值定理得sin '()(sin )(sin )(sin (sin )) (01).x x e e f x f x x x f x x x θθ-=-=-+-<< 即sin '(sin (sin )) (01).sin x xe ef x x x x xθθ-=+-<<-xe xf =)(' 连续, ''0lim (sin (sin ))(0) 1.x f x x x f θ→∴+-==从而有 sin 0lim1.sin x xx e e x x →-=-结论求解函数极限时，不同的函数类型所采用的技巧是各不相同的.对同一题也可能有多种求法，有难有易，有时甚至需要结合上述各种方法，所以我们必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法.这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果.这就要求我们要吃透其精髓，明了其中的道理，体会出做题的窍门.达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时才可能得心应手.从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析,不能机械地用某种方法，对具体题目要具体分析，有时解题时可多种方法相结合，要学会灵活运用.参考文献：[1] 华东师范大学数学系. 数学分析[M].第三版. 北京: 高等教育出版社, 2001.[2] 彭辉. 高等数学辅导[M].北京: 高等教育出版社, 2003.[3] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 高等教育出版社, 1995.[4] 丁家泰. 微积分解题方法[M]. 北京: 北京师范大学出版社, 1981.[5] 刘三阳. 高等数学典型题解[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2003.[6] 吉米多维奇. 数学分析习题集解题[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 1999.[7] 钱志良. 谈极限的求法[J]. 常州信息职业技术学院学报，2003, 4(17):24-26.[8] 张敏捷. 函数极限的几种特殊求法[J]. 黄石理工学院学报, 2008, 4(24):56-58.[9] 程鹏, 张洪瑞, 李占现. 求函数极限的方法[J]. 河南科技学院学报, 2008,9(36):133-134.[10] Rudin W. Principle of Mathematical Analysis[M]. New York: John Pearson Edution, 1990.致谢在本次论文的撰写中，我得到了崇金凤老师的精心指导，不管是从开始定方向还是在查资料准备的过程中，一直都耐心地给予我指导和意见，使我在总结学业及撰写论文方面都有了较大提高；同时也显示了老师高度的敬业精神和责任感.在此，我对崇金凤教授表示诚挚的感谢以及真心的祝福.四年大学生活即将结束，回顾几年的历程，老师们给了我们很多指导和帮助。

函数极限概念

x 情形 :
lim f ( x) = A
x
0, $M 0, 使当 x M时, 恒有 f ( x) A .
x 情形 : lim f ( x) = A x
0, $M 0,使当 x M时, 恒有 f ( x) A .
x
x
x
例1 证明lim 1 = 0.
x x
证 0, 取M = 1 ,

则当 x M时有
1 0 = 1 1 =,
x
xM
y
O
x
所以lim 1 = 0. x x
例2 证明:1) lim arctan x = p ; 2) lim arctan x = p .
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
M 0, x M 表示x 的过程.
一般地,当 x趋于时函数极限的精确定义如下：
定义1 设 f 定义在[ a,)上的函数，A为定数.若对任给的 0,存在正数M( a) ,使得当 xM 时有 f (x)A , 则称函数 f 当 x 趋
x
2
x
2
证任给 0 ,由于
arctan
x

p
2

等价于 - - p arctan x p ,
2
2
而此不等式的左半部分对任何 x
x都的成变立化,所范以围只。要为考此察,先其限右制半部分p
2
则有
x

tan

p
2

=

tan
第三章函数极限

函数极限概念

极限的概念和计算方法

极限的概念和计算方法极限是微积分中的核心概念之一，它可以描述一个函数在某一点附近的行为特征。

本文将介绍极限的基本概念，并探讨一些常见的计算方法。

一、极限的概念在数学中，极限可以理解为一个函数在某一点趋于某个值（通常为无穷大或无穷小）。

为了准确定义极限，我们引入以下定义：设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)当x趋于a时的极限为L，记作：lim(x→a) f(x) = L这个定义可以形象地理解为：当自变量x足够靠近a时，函数f(x)的取值趋近于L。

二、极限的计算方法1. 代入法最简单的计算极限的方法就是利用代入法。

当函数在某一点a的确有定义时，我们可以直接将a带入表达式中计算函数的值。

例如，要计算函数f(x)=2x^2+3x-1在x=2处的极限，我们可以代入x=2，得到：f(2) = 2(2)^2 +3(2)-1 = 15因此，lim(x→2) f(x) = 15。

2. 分解因式法有时候我们可以通过分解因式的方法来简化极限的计算。

例如，要计算函数f(x)=(x^2-4)/(x-2)，我们可以将分子因式分解得到：f(x) = (x+2)(x-2)/(x-2)若x≠2，则可以化简为：f(x) = (x+2)因此，lim(x→2) f(x) = 4。

3. 极限的性质极限满足一些基本的性质，利用这些性质可以简化计算过程。

以下是一些常见的性质：a) 常数性质：lim(x→a) c = c，其中c为常数。

b) 乘法性质：lim(x→a) cf(x) = c·lim(x→a) f(x)，其中c为常数。

c) 和差性质：lim(x→a) [f(x)±g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a)g(x)。

d) 乘积性质：lim(x→a) [f(x)·g(x)] = lim(x→a) f(x) · lim(x→a)g(x)。

函数的极限与连续性的定义

函数的极限与连续性的定义函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。

而函数的极限和连续性则是深入理解函数性质的基础。

本文将会介绍函数的极限和连续性的定义，帮助读者更好地理解这两个概念的数学含义。

一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近某一特定值时，函数输出值的趋势。

具体而言，对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一实数a时，函数的极限表示为：lim(x→a) f(x) = L其中L为函数f(x)在自变量趋近a时的极限值。

这个定义可以用下面的方式来解释：无论自变量x在a的哪一侧无限接近，只要自变量趋近a的时候函数值都无限接近L，那么函数f(x)在x趋近a时就具有极限L。

需要注意的是，函数对于自变量趋近a的极限可能存在或者不存在。

当极限存在时，我们可以通过一些特定的定理来计算极限值。

常用的计算极限的方法有代数运算法则、夹逼定理、拉'Hospital法则等。

二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点或某个区间内没有突变或跳跃，它的图像没有断裂。

具体而言，对于函数f(x)，如果满足以下条件就称为连续函数：1. 函数f(x)在某一点x=a处有定义；2. 函数f(x)在x=a处的极限lim(x→a) f(x)存在；3. 函数f(x)在x=a处的极限等于函数f(x)在x=a处的值，即lim(x→a) f(x) = f(a)。

换言之，连续函数的图像是一条连续的曲线，没有断点或跳跃。

我们可以通过连续函数的性质来进行函数的运算、计算其极限以及求解方程等。

需要注意的是，连续函数是极限存在的一个特殊情况。

如果函数在某一点的极限不存在，则该函数在该点不连续。

三、函数极限与连续性的关系函数的极限与连续性是密切相关的。

事实上，连续函数是极限存在的函数，也就是说，连续函数的每一个点都有极限。

具体而言，当函数f(x)在某一点x=a处连续时，它必然满足函数在该点的极限存在，并且极限值与函数的输出值相等。

极限的基本概念

极限的基本概念在数学中，极限是一个基本概念，它在微积分以及其他许多数学领域中扮演着重要的角色。

极限使我们能够研究函数的性质和行为，并解决实际问题。

本文将介绍极限的基本概念及其应用。

一、极限的定义在数学中，极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的值的趋势。

常用的极限符号是lim。

具体来说，对于一个函数f(x)，当自变量x无限接近于某个实数c时，如果函数f(x)的值无限接近于一个常数L，我们就将L称为函数f(x)在x趋于c时的极限。

用符号表示为：lim (x→c) f(x) = L其中，lim表示极限，x→c表示x趋向于c，f(x)表示函数f关于x的取值，L表示极限的值。

二、极限的性质极限有一些基本的性质，我们可以利用这些性质来求解极限。

1. 极限的唯一性定理：如果函数f(x)在x趋于c时的极限存在，那么它是唯一的。

2. 极限的四则运算法则：- 两个函数的极限之和等于极限的和：lim (x→c) [f(x) + g(x)] = lim (x→c) f(x) + lim (x→c) g(x)- 两个函数的极限之差等于极限的差：lim (x→c) [f(x) - g(x)] = lim (x→c) f(x) - lim (x→c) g(x)- 两个函数的极限之积等于极限的积：lim (x→c) [f(x) * g(x)] = lim (x→c) f(x) * lim (x→c) g(x)- 两个函数的极限之商等于极限的商（假设除数不为0）：lim(x→c) [f(x) / g(x)] = lim (x→c) f(x) / lim (x→c) g(x)3. 极限的复合运算法则：如果g(x)在x趋于c时的极限存在且lim (x→c) g(x) = L，而f(x)在x趋于L时的极限存在，则复合函数f(g(x))在x趋于c时的极限也存在，且lim (x→c) f(g(x)) = lim (x→L) f(x)。

三、极限的应用极限在微积分中具有广泛的应用。

函数的极限与连续性

函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中非常重要的概念。

极限描述了函数在某一点或在无穷远处的趋势，而连续性则描述了函数在定义域内没有断裂或间断的性质。

本文将深入探讨函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。

一、函数的极限函数的极限是指当自变量无限靠近某一点时，函数的取值是否趋近于某个特定的值。

用数学语言来描述，则函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。

从定义可以看出，函数的极限与函数在该点的实际取值可能不同。

例如，函数f(x) = 1/x，在x趋近于0时，其极限是正无穷或负无穷，但在0点本身的取值却是无定义的。

函数的极限具有一些基本性质：1. 唯一性性质：若极限存在，那么它是唯一的。

2. 局部性质：如果函数在某一点存在极限，那么它在该点的任意一个足够小的领域内也存在极限。

3. 保号性质：如果极限存在且为正数，那么函数在该点附近的取值均为正数。

同理，如果极限存在且为负数，那么函数在该点附近的取值均为负数。

二、函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内没有断裂或间断的性质。

具体来说，函数f(x)在某一点x=a处连续，需满足以下三个条件：1. 函数在a点存在定义。

2. 函数在a点的极限存在。

3. 函数在a点的极限等于a点的函数值，即lim(x→a) f(x) = f(a)。

函数的连续性可以分为三种类型：1. 间断点：函数在某一点处不连续。

常见的间断点包括可去间断、跳跃间断和无穷间断。

2. 第一类间断点：在该点两边的极限存在，但不相等。

3. 第二类间断点：在该点的至少一边的极限不存在。

三、函数极限与连续性的应用函数的极限和连续性在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 函数的极限可以用来描述物体运动的速度和加速度。

例如，函数f(t)表示某物体在时刻t的位置，通过求解f(t)的导数可以得到物体在该时刻的速度和加速度。

2. 函数的连续性可以用来求解函数的最值。

数学分析3.1函数极限概念

第三章函数极限 1 函数极限概念一、x 趋于∞时的函数极限定义1：设f 为定义在[a,+∞)上的函数，A 为定数。

若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x>M 时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作：lim x→+∞f (x )=A 或f(x)→A(x →+∞).定义1的几何意义如右上图：正数ε越小时，一般x=M 越大；f(x)的图象右边落在x=M 与y=A+ε和y=A-ε围成的带形区域里。

设f 为定义在U(-∞)或U(∞)上的函数，A 为定数。

若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x<-M 或|x|>M 时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f 当x 趋于-∞或∞时以A 为极限，记作：lim x→−∞f (x )=A 或f(x)→A(x →-∞)；lim x→∞f (x )=A 或f(x)→A(x →∞).lim x→∞f (x )=A lim x→+∞f (x )=lim x→−∞f (x )=A.例1：证明limx→∞1x=0.证：任给ε>0，取M =1ε，则当|x|>M 时，有|1x −0|=1|x|<1M =ε，∴lim x→∞1x=0.例2：证明(1)lim x→−∞arctan x =−π2；(2)lim x→+∞arctan x =π2.证：(1)任给ε>0，要使|arctan x −(−π2)|<ε，即-ε−π2<arctan x<ε−π2， ∵arctan x ≥−π2>-ε−π2，∴只须使arctan x<ε−π2，即x<tan (ε−π2)= -tan (π2−ε)， ∴对任给正数ε<π2，只要取M= tan (π2−ε)，则当x<-M 时，便有|arctan x −(−π2)|<ε，∴lim x→−∞arctan x =−π2.(2)任给ε>0，要使|arctan x −π2|<ε，即π2−ε<arctan x<ε+π2， ∵arctan x ≤π2<ε+π2，∴只须使arctan x>π2−ε，即x>tan (π2−ε)， ∴对任给正数ε<π2，只要取M= tan (π2−ε)，则当x>M 时，便有|arctan x −π2|<ε，∴lim x→+∞arctan x =π2.注：∵lim x→−∞arctan x =−π2≠π2=lim x→+∞arctan x ，∴lim x→∞arctan x 不存在。

数学函数极限知识点总结

数学函数极限知识点总结一、基本概念1.1 函数极限的概念函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。

具体地说，设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-A|<ε成立，那么称函数f(x)当x趋于a时的极限为A，记为lim(x→a)f(x)=A。

1.2 函数极限的图像解释在图像上，函数f(x)在点x=a处的极限为A，就是指当x趋于a时，函数曲线逐渐接近点(x，A)。

特别地，如果对于任意给定的ε，总存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，函数曲线都在点(x，A)的ε-邻域内，那么称函数f(x)在点x=a处的极限存在，并且等于A。

1.3 函数极限的表达方式函数极限通常有三种表达方式，分别是极限右侧、极限左侧和双侧极限。

其中，当x趋于a时，如果函数f(x)的极限只依赖于x大于a时的情况，那么记为lim(x→a+)f(x)=A；如果函数f(x)的极限只依赖于x小于a时的情况，那么记为lim(x→a-)f(x)=A；如果函数f(x)的极限既依赖于x大于a时的情况，又依赖于x小于a时的情况，那么记为lim(x→a)f(x)=A。

1.4 无穷大与无穷小当函数f(x)在点x=a处的极限为无穷大时，即lim(x→a)f(x)=∞或lim(x→a)f(x)=-∞，就称函数f(x)在点x=a处的极限为无穷大；当函数f(x)在点x=a处的极限为0时，即lim(x→a)f(x)=0，就称函数f(x)在点x=a处的极限为无穷小。

二、求解方法2.1 用极限定义求解对于一般的函数极限问题，可以使用极限的定义求解。

具体地说，通过设定ε-δ的方式，利用函数的性质和运算规则，逐步推导出函数在特定点的极限。

通常包括利用夹挤定理、利用三角不等式、利用数列极限等方法来求解函数极限。

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