第二节 函数极限的定义

要使 f ( x ) − A < ε ,
只要取 δ = ε ,
x −1 ∴ lim = 2. x →1 x − 1
2
x2 − 1 当0 < x − x 0 < δ时, 就有 − 2 < ε, x −1
10
例4
证明 : 当x0 > 0时, lim
x → x0
x=
x0 .
证 Q f ( x) − A =
18
在上面例题中 需要注意以下几点： 在上面例题中, 需要注意以下几点： 题中 1. 对于 δ , 我们强调其存在性 换句话说 对于固定 我们强调其存在性. 换句话说, 对于固定 的 ε , 不同的方法会得出不同的δ , 不存在哪一个更 好的问题. 好的问题 那么比它更小的正 是不惟一的, 2. δ 是不惟一的 一旦求出了δ , 那么比它更小的正 数都可以充当这个角色. 都可以充当这个角色 是任意的,一旦给出 它就是确定的常数. 一旦给出,它就是确定的常数 3. 正数 ε 是任意的 一旦给出 它就是确定的常数
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有时为了方便, 小于某个正数. 有时为了方便,需要让 ε 小于某个正数 一旦对这 样的 ε 能找到相应的 δ , 那么比它大的 ε , 这个 δ 当然也能满足要求. 所以我们有时戏称 ε “ 以小 当然也能满足要求 为贵” 为贵”.
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2.单侧极限 单侧极限: 单侧极限
1 − x, 设 f ( x) = 2 x + 1, 证明 lim f ( x ) = 1.
5
1、x→x0时, f(x)的极限 的极限
⑴引例 x2 −1 g . 考察 ( x) = x + 1与 f ( x) = 当 x →1时的变化趋势 x −1 问题1 函数y=f(x)在x → x0的过程中， y g( x) = x + 1 的过程中， 问题1：函数 在 对应函数值f(x)无限接近于确定值 。 2 无限接近于确定值A。 对应函数值 无限接近于确定值 x2 −1 有定义， 无定义， 在x=1时， g(x)有定义，f(x)无定义， 1 f ( x) = x −1 时 有定义 无定义 如图可知， 从左从右无限趋近于 从左从右无限趋近于1 如图可知，当x从左从右无限趋近于 都无限接近于2。 时， g(x)与 f(x)都无限接近于 。 与 都无限接近于
x − x0 =
任给 ε > 0, 要使 f ( x ) − A < ε ,
只要 x − x 0 <
x − x0 x − x0 , ≤ x0 x + x0
x 0 ε 且不取负值 . 取δ = min{ x 0 , x 0 ε },
当0 < x − x 0 < δ时,
δ = x0
o o
x0
δ = x0ε
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[注意] 注意] 求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的 求分段函数的极限的方法就是 计算它在指定点的 左极限和右极限是否存在并且是否相等。 左极限和右极限是否存在并且是否相等。 例如： 例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限
x +1, x > 2 x → 2 ⑵ sin x, x < 0 x → 0 ⑴ y = 1 y = 3 x, x > 0 解： x, x < 2 3 ⑴ ∵ lim− y = 2 , lim+ y = 3 ，lim y ≠ lim y
当0 < x − x 0 < δ = ε时,
f ( x ) − A = x − x 0 < ε成立,
∴ lim x = x 0 .
x → x0
9
x −1 例3 证明 lim = 2. x →1 x − 1
2
证
函数在点x=1处没有定义 处没有定义. 函数在点 处没有定义
任给ε > 0,
x2 − 1 Q f ( x) − A = − 2= x −1 x −1
< 1+ 2
x0 ,
2 2 所以 x − x0 ≤ ( 1 + 2 x0 ) x − x0 , 故只要
x − x0 <
ε
1 + 2 x0
.
12
ε 证 ∀ε > 0 , 取δ = min 1, , 当 0 < x − x0 < δ 1 + 2 x0 时, 有 2 2 x − x0 < ε .
x
就有 x − x 0 < ε ,
∴ lim
x → x0
Байду номын сангаас
x=
x0 .
x0
x
11
2 lim x 2 = x0 . 例5 证明 x → x
0
分析 要使
2 x 2 − x0 = x − x0
x + x0 < ε ,
因为此时有 可以先限制 x − x0 < 1, 因为此时有
x + x 0 = x − x 0 + 2 x0 ≤ x − x0 + 2 x0
O
1
x
问题2: 如何用数学语言刻划函数“无限接近” 问题2: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x) − A < ε 表 f ( x) − A任意小 ;
0 < x − x0 < δ表 → x0的过程 x .
6
⑵定义 ①设f (x)在点 0的某一去心邻域内有定义，如果对于 在点x 的某一去心邻域内有定义， 在点 任意给定的ε >0, >0, 使得当0<| δ 任意给定的ε >0, 总存在 δ >0, 使得当 |x-x0 |<δ , 恒有| |<ε 时函数f 以常数 恒有|f (x) -A|<ε成立，则称 |< 成立，则称x→ x0时函数 (x)以常数 A为极限，记为 lim f ( x) =A 或 f ( x) → A( x → x0 ). 为极限， 为极限 ② “ε −δ”定义 定义
b)δ与任意给定的正数有关 . ε
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⑶几何意义
A+ε A A−ε
y
y = f (x )
o
x0 − δ
δ
δ
x0
x0 + δ
x
x x δ , 当 在 0的去心 邻域时 y = f ( x)图形完全落在 y , 2 . 以直线 = A为中心线宽为 ε的带形区域内
, δ , . 显然 找到一个 后 δ越小越好
x→x0
x0 x0 + δ x0 − δ x x . x , 点 0的去心 邻域 δ体现 接近 0程度 δ
δ
δ
x
x→x0
lim f ( x) = A ⇔∀ε > 0, ∃δ > 0,当 <| x −x0|< δ时有| f ( x) − A|< ε . 0
注： )函数极限与 ( x)在点 0是否有定义无关 a f x ;
sin x ≤ x , x ∈ R.
上式中的等号仅在 x = 0 时成立 .
对于任意正数 ε , 取δ = ε , 当 0 < x − x0 < δ 时 ,
sin x − sin x0
x + x0 = 2 cos 2 x − x0 sin 2
≤ x − x0 < ε ,
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所以
x → x0
lim sin x = sin x0 .
x→0
例如, 例如
x<0 x≥0
y = 1− x
y
1
y = x2 + 1
o
x
分x > 0和x < 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近 x 0 , 记作x → x 0 − 0; 从左侧无限趋近 x从右侧无限趋近 x 0 , 记作x → x 0 + 0; 从右侧无限趋近
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左极限
∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当x 0 − δ < x < x 0时,
高等数学
北邮世纪学院基础部 华卫兵 1
2.2 函数的极限
2
(复习) 复习)
数列{x 可看成自变量为 的函数,定义域为 数列 n = f (n)}可看成自变量为 的函数 定义域为 +. 可看成自变量为n的函数 定义域为N 数列x 极限为a即当 即当n→ 时 对应函数值f 无 数列 n的极限为 即当 →∞时，对应函数值 (n)无 限接近于确定的数a 限接近于确定的数 。
4
[人影长度 ]
考虑一个人沿直线走向路灯 的正下方时其影子的长度． 的正下方时其影子的长度．若目 标总是灯的正下方那一点， 标总是灯的正下方那一点，灯与 地面的垂直高度为 H。由日常生 。 活知识知道，当此人直向目标时， 活知识知道，当此人直向目标时， 其影子长度越短， 其影子长度越短，当人越来越接 近终点（数学上如何描述） 近终点（数学上如何描述）时， 其影子的长度逐渐趋于0（ 其影子的长度逐渐趋于 （ 数学 上如何描述 ）。
函数的极限：在自变量的某个变化过程中， 函数的极限：在自变量的某个变化过程中，若对应 的函数值无限接近于某个确定的数，称这个确定的 的函数值无限接近于某个确定的数， 数就叫在这一变化过程中函数的极限 函数的极限。 数就叫在这一变化过程中函数的极限。
3
三种情形时函数的极限： 三种情形时函数的极限：
⑴自变量趋于有限值(x→x0)时, 对应函数值的变化 自变量趋于有限值 → 时 情形； 情形； (2)自变量从单侧趋于有限值 自变量从单侧趋于有限值(x→x0)时, 对应函数 自变量从单侧趋于有限值 时 值的变化情形； 值的变化情形； ⑵自变量的绝对值无限增大(x→∞) 时, 对应函数 自变量的绝对值无限增大 → 值的变化情形。 值的变化情形。
这就证明了
x → x0 2 lim x 2 = x0 .
13
在例4、 注 在例 、例5中, 我们将所考虑的式子适当放大 中 我们将所考虑的式子适当放大, 其目的就是为了更简洁地求出 δ , 或许所求出的 δ 不是“最佳” 但这不影响我们解题的有效性. 不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性 求证： 例6 求证：
x → x0
x 例8 验证 lim 不存在. x→0 x
x −x lim lim 证 x → −0 = x → −0 x x
= lim ( −1) = −1
x → −0
y
1
o
−1
x
x x lim = lim = lim 1 = 1 x → +0 x → +0 x x+0 x
左右极限存在但不相等, 左右极限存在但不相等 ∴ lim f ( x ) 不存在. x →0
同理可证: 同理可证
x → x0
lim cos x = cos x0 .
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2 2 例7 证明： 证明： lim 1 − x = 1 − x0 ( | x0 | < 1 ). x → x0
证 因为 | x − x0 || x + x0 | 2 2 1 − x − 1 − x0 = 1 − x 2 + 1 − x0 2 2 | x − x0 | , ≤ 2 1 − x0 2 ε 1 − x0 则 ∀ ε > 0, 取 δ = 时， , 当 0 < | x − x0 | < δ 时 ， 2 2 | x − x0 | 2 2 | 1 − x − 1 − x0 | ≤ < ε. 2 1 − x0 这就证明了所需的结论. 这就证明了所需的结论
恒有 f ( x ) − A < ε. 记作 lim f ( x ) = A 或 f ( x 0 − 0) = A.
x → x0 − 0 − ( x → x0 )
右极限
∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当x 0 < x < x 0 + δ时,
恒有 f ( x ) − A < ε. 记作 lim f ( x ) = A 或 f ( x 0 + 0) = A.
A
x
1 1 1 sin x < x < tan x , 2 2 2
π 故 sin x < x < tan x 0 < x < . 2
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π 因为当 x ≥ 时, 2
sin x ≤ 1 < x , 故对一切 x > 0 ,
有 sin x < x . 又因为 sin x , x 均是奇函数 , 故
8
例1 证明 lim C = C , (C为常数 ).
x → x0
证 任给 ε > 0, 任取 δ > 0, 当0 < x − x 0 < δ时,
f ( x ) − A = C − C = 0 < ε成立, ∴ lim C = C . x→ x
0
例2
证明 lim x = x 0 .
x → x0
证 Q f ( x ) − A = x − x 0 , 任给 ε > 0, 取δ = ε ,
(1) lim sin x = sin x0 ;
x → x0
(2) lim cos x = cos x0 .
x → x0
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证 首先，在右图所示的单位圆内 首先， 右图所示的单位圆内, π 当0 < x < 时, 显然有 2
y B D x C
S ∆OAD < S扇形OAD < S ∆OAB ,
即 O
注意 : { x 0 < x − x 0 < δ } = { x 0 < x − x 0 < δ } U { x − δ < x − x 0 < 0}
22
x → x0 + 0 + ( x → x0 )
定理 : lim f ( x ) = A ⇔ f ( x 0 − 0) = f ( x 0 + 0) = A.