初等数论教案9

第六节 孙子定理及其应用举例

教学目的：1、熟练掌握孙子定理内容及证明； 2、会用孙子定理求解一次同余方程式组. 教学重点：用孙子定理求解一次同余方程式组. 教学课时：4课时 教学过程

在我国古代《孙子算经》中有：

今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问：物有几何？

对于“物不知其数”问题，程大位在《直指算法统宗》(《算法统宗》1593年)一书中给出了如下的求解歌诀： 三人同行七十稀， 五树梅花卄一枝， 七子团圆正半月， 除百零五便得知.

如果我们设所求的物为x 个，则“物不知其数”等价于求解下面的同余式组

⎪⎩

⎪

⎨⎧≡≡≡)7(mod 2)

5(mod 3)3(mod 2x x x .

将上面的同余式组推广，我们可得

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≡≡≡)

(mod )(mod )(mod 2211k k m a x m a x m a x

(1)

本节主要讨论同余方程组(1)的解问题. 定理1(孙子定理) 设m 1, m 2, , m k 是正整数，

(m i , m j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j . (2)

记

m = m 1m 2 m k ，M i =

i

m m ，1 ≤ i ≤ k ，

则存在整数M i '（1 ≤ i ≤ k ），使得

M i M i ' ≡ 1 (mod m i )， (3)

M i M i ' ≡ 0 (mod m j )，1 ≤ j ≤ k ，i ≠ j ， (4)

并且

i k

i i i M M a x '≡

∑=1

0(mod m ) (5)

是同余方程组(1)对模m 的唯一解，即若有任意的x 使方程组(1)成立，则

x ≡ x 0 (mod m ). (6)

继《孙子算经》之后，南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数”的问题. 德国数学家高斯﹝K.F. Gauss.公元1777-1855年﹞于公元1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理. 公元1852年，英国基督教士伟烈亚士﹝Alexander Wylie 公元1815-1887年﹞将《孙子

算经》“物不知数”问题的解法传到欧洲，公元1874年马蒂生﹝L.Mathiesen﹞指出孙子的解法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一个定理也称为“中国的剩余定理”﹝Chinese remainder theorem﹞.

证明由式(2)，有(M i, m i) = 1，因此利用辗转相除法可以求出M i'与y i ，使得

M i M i'+y i m i = 1，

即M i'满足式(3)和式(4). 由式(3)与式(4)，对于1 ≤i≤k，有

x0≡a i M i M i'≡a i (mod m i)，1 ≤i≤k.

若x也使式(1)成立，则

x≡x0(mod m i)，1 ≤i≤k，

因此

x≡x0(mod [m1, m2, , m k]).

但是，由式(2)可知[m1, m2, , m k] = m，这就证明了式(6).证毕.

定理2在定理1的条件下，若式(1)中的a1, a2, , a k分别通过模m1, m2, , m k的完全剩余系，则式(5)中的x0通过模m1m2 m k的完全剩余系.

证明略.

定理3同余方程组(1)有解的充要条件是

a i≡a j (mod (m i, m j))，1 ≤i, j ≤n. (7)

证明必要性是显然的.下面证明充分性.

当n = 2时，由前一节例8可知充分性成立.

假设充分性当n = k 时成立.

假设式(7)当n = k + 1时成立.我们来考虑同余方程组

x ≡ a i (mod m i )，1 ≤ i ≤ k + 1.

由前一节例8，存在b k ，使得x ≡ b k (mod [m k ，m k +1])满足同余方程组

x ≡ a k (mod m k )，x ≡ a k + 1 (mod m k + 1).

在同余方程组

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≡≡≡+--])

,[(mod )(mod )(mod 1k 1111k k k k m m b x m a x m a x

中，由式(7)有

a i ≡ a j (mod (m i , m j ))，1 ≤ i , j ≤ k - 1，

因此，若能证明

a i ≡

b k (mod (m i , [m k , m k +1]))，1 ≤ i ≤ k - 1. (8)

则由归纳假设就可以证明充分性. 由b k 的定义，有

a k ≡

b k (mod m k )，a k + 1 ≡ b k (mod m k + 1) (9)

而且，由于假设式(7)当n = k + 1时成立，所以，对于1 ≤ i ≤ k - 1有

a i ≡ a k (mod (m i , m k ))，a i ≡ a k + 1 (mod (m i , m k + 1))，

由此及式(9)得到，对于1 ≤ i ≤ k - 1，有

a i ≡

b k (mod (m i , m k ))，a i ≡ b k (mod (m i , m k + 1)).

因此

a i ≡

b k (mod [(m i , m k ), (m i , m k + 1)]).

由上式及第一章的例题，就得到式(8). 证毕.

定理4 设m = m 1m 2 m k ，其中m 1, m 2, , m k 是两两互素的正整数，f (x )是整系数多项式，以T 与T i （1 ≤ i ≤ k ）分别表示同余方程

f (x ) ≡ 0 (mod m ) (10)

与

f (x ) ≡ 0 (mod m i ) (11)

的解的个数，则T = T 1T 2…T k .

证明 因为同余方程(10)等价于同余方程组

f (x ) ≡ 0 (mod m i )，1 ≤ i ≤ k . (12)

对于每i （1 ≤ i ≤ k ），设同余方程(11)的全部解是

)

()

(2)

(1,,,i T

i i i

x x x x ≡(mod m i )， (13)

则同余方程组(12)等价于下面的T 1T 2…T k 个方程组：

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≡≡≡)

(mod )

(mod )

(mod )

(2)

2(1)

1(2

1

k k j j j m x x m x x m x x

k

， (14)

其中)(i j i

x 通过式(13)中的数值，即通过同余方程(11)的全部解.

由孙子定理，对于选定的每一组{)()2()1(,,,2

1

k j j j k

x x x }，同余方程组(14)

对模m 有唯一解，而且，由定理2，当每个)(i j i

x 通过(13)式中的值时，

所得到的T 1T 2…T k 个同余方程组(14)的解对于模m 都是两两不同余的.证毕.