初等数论教案9
初等数论教案
厦门大学教案__________ 学年度第—学期院(系)数学科学学院任课教师祝辉林课程名称初等数论授课章节: 第4.3节一次同余方程组和孙子定理授课教材: 《初等数论》,北京大学出版社授课对象: 数学类专业一年级本科生【教学要求】1. 了解孙子定理的历史背景和起源出处,理解用孙子定理求解一次同余方程组的思想方法和公式,掌握求解一次同余方程组的计算步骤;2. 掌握一次同余方程组的模两两不互素时,应当如何转化成模两两互素时的等价一次同余方程组,再用孙子定理求解;3. 理解一次同余方程组的意义,并能用孙子定理的方法解决一些实际应用问题。
【教学重点】1. 孙子定理的思想方法和计算步骤;2. 如何应用孙子定理解决实际应用问题。
【教学难点】理解孙子定理的思想方法。
【教学内容】第三节一次同余方程组和孙子定理本节主要讨论一次同余方程组的解法。
为了解决这类同余方程组,我们需要弄清楚剩余系的结构。
孙子定理(又称中国剩余定理)就是解决这类实际问题的有力工具。
一、“物不知其数”问题及其解法1.1问题的提出例1:(“物不知其数”问题)大约在公元四世纪,我国南北朝时期有一部著名的算术著作《孙子算经》,其中就有一个“物不知其数”问题:“今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?答曰:二十三”。
1.2问题的解法及理由明朝程大位编著的《算法统宗》里记载了此题的解法,他是用一首歌谣叙述出来的:三人同行七十稀,五树梅花廿一枝。
七子团圆正月半,除百零五便得知。
这首诗翻译成数学算式就是:70 2 21 3 15 2 =233,233 -105 2 =23。
解题步骤及理由如下:(1 )先在5和7的公倍数中找除以3余1的数,进而找到除3余2的数。
因为[5,7] =35,35, 3=11(余2),(35 2)“3=23(余1),而(70 2)“3=46(余2),所以140符合条件。
(2 )在3和7的公倍数中找除以5余1的数,进而找到除5余3的数。
初等数论教案
厦门大学教案学年度第学期院(系)数学科学学院任课教师祝辉林课程名称初等数论授课章节:第4.3节一次同余方程组和孙子定理授课教材:《初等数论》,北京大学出版社授课对象:数学类专业一年级本科生【教学要求】1. 了解孙子定理的历史背景和起源出处,理解用孙子定理求解一次同余方程组的思想方法和公式,掌握求解一次同余方程组的计算步骤;2. 掌握一次同余方程组的模两两不互素时,应当如何转化成模两两互素时的等价一次同余方程组,再用孙子定理求解;3. 理解一次同余方程组的意义,并能用孙子定理的方法解决一些实际应用问题。
【教学重点】1. 孙子定理的思想方法和计算步骤;2. 如何应用孙子定理解决实际应用问题。
【教学难点】理解孙子定理的思想方法。
【教学内容】第三节一次同余方程组和孙子定理本节主要讨论一次同余方程组的解法。
为了解决这类同余方程组,我们需要弄清楚剩余系的结构。
孙子定理(又称中国剩余定理)就是解决这类实际问题的有力工具。
一、“物不知其数”问题及其解法1.1问题的提出例1:(“物不知其数”问题)大约在公元四世纪,我国南北朝时期有一部著名的算术著作《孙子算经》,其中就有一个“物不知其数”问题:“今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?答曰:二十三”。
1.2 问题的解法及理由明朝程大位编著的《算法统宗》里记载了此题的解法,他是用一首歌谣叙述出来的:三人同行七十稀,五树梅花廿一枝。
七子团圆正月半,除百零五便得知。
这首诗翻译成数学算式就是:702213152233⨯+⨯+⨯=,233105223-⨯=。
解题步骤及理由如下:(1)先在5和7的公倍数中找除以3余1的数,进而找到除3余2的数。
因为[5,7]35=,35311÷=(余2),(352)323⨯÷=(余1),而(702)346⨯÷=(余2),所以140符合条件。
(2)在3和7的公倍数中找除以5余1的数,进而找到除5余3的数。
初等数论 教案
初等数论教案教案标题:初等数论教学目标:1. 了解数论的基本概念和原理;2. 掌握数论中常见的数学方法和技巧;3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力;4. 培养学生对数学的兴趣和探究精神。
教学内容:1. 数的整除性质与整数的性质;2. 最大公约数与最小公倍数;3. 质数与合数;4. 素因数分解;5. 同余与模运算;6. 一次同余方程;7. 基本定理与欧拉函数。
教学步骤:第一步:导入(5分钟)引入数论的基本概念,介绍数论在数学中的重要性和应用领域,激发学生的学习兴趣。
第二步:知识讲解与讨论(20分钟)1. 数的整除性质与整数的性质:介绍整数的基本性质,包括奇偶性、约数、倍数等概念。
2. 最大公约数与最小公倍数:讲解最大公约数和最小公倍数的定义、性质和计算方法,并通过例题进行实际操作和讨论。
3. 质数与合数:介绍质数和合数的定义,让学生了解它们的特征和性质。
4. 素因数分解:讲解素因数分解的概念和方法,并通过实例演示如何进行素因数分解。
第三步:案例分析与解决问题(25分钟)1. 同余与模运算:介绍同余的概念和性质,讲解模运算的基本规则和应用。
2. 一次同余方程:讲解一次同余方程的定义和解法,并通过例题引导学生进行练习和思考。
3. 基本定理与欧拉函数:讲解基本定理和欧拉函数的定义和性质,通过实例演示如何应用基本定理和欧拉函数解决问题。
第四步:练习与巩固(15分钟)布置一些练习题,让学生独立完成,并及时给予指导和解答。
第五步:总结与拓展(10分钟)对本节课所学内容进行总结,并提出一些拓展问题或思考题,鼓励学生进一步思考和探究。
教学资源:1. 教材:根据教学内容选择合适的初等数论教材;2. 板书:用于记录重要知识点和解题思路;3. 练习题:提供给学生进行巩固和拓展练习。
评估方式:1. 课堂表现:观察学生在课堂上的参与度和回答问题的能力;2. 练习题成绩:评估学生对所学知识的掌握程度;3. 拓展问题回答:评估学生对数论知识的理解和应用能力。
初等数论教学设计
初等数论教学设计引言:初等数论是数学的一个分支,研究自然数的性质及其关系。
初等数论不仅是数学的基础,也是许多领域的基础,如密码学、计算机科学和工程学等。
因此,在教学中,初等数论的教学设计非常重要。
本文旨在介绍一个初等数论教学设计,帮助教师有效地教授初等数论的相关内容。
一、教学目标本教学设计的目标如下:1. 学生能够理解和应用基本数论概念,如素数、互质数等。
2. 学生能够解决与初等数论相关的问题,如质因数分解、最大公约数和最小公倍数等。
3. 学生能够运用初等数论知识,解决实际问题,如应用数论中的知识来解决密码学中的问题。
二、教学内容本教学设计的主要内容包括以下几个方面:1. 数的分类与性质:介绍正整数、负整数、零及它们之间的关系。
重点介绍自然数、整数、有理数和无理数等的性质。
2. 素数与合数:详细解释素数和合数的概念,并引导学生找出一定范围内的素数和合数。
探索素数分布的规律。
3. 质因数分解:介绍将一个正整数表示为质数的乘积的方法,即质因数分解。
解释质因数分解在实际问题中的应用。
4. 最大公约数和最小公倍数:介绍最大公约数和最小公倍数的概念,并展示求解最大公约数和最小公倍数的方法。
应用最大公约数和最小公倍数解决实际问题。
5. 同余与模运算:引入同余和模运算的概念,解释同余关系及其性质。
介绍模运算的基本运算法则和应用。
三、教学方法1. 概念讲解与示例演示:教师通过直观的例子和图表,解释初等数论的基本概念,帮助学生理解相关概念的含义和应用。
2. 练习与应用:提供一定数量的练习题,让学生独立或协作完成。
通过实际应用问题的解答,帮助学生巩固所学知识并提高解决问题的能力。
3. 探究与发现:鼓励学生积极思考、自主探索,并提供相关素材和引导问题,引导学生从发现中学习初等数论的原理和方法。
4. 讨论与交流:组织小组或全班讨论,让学生分享思路、解决方法、应用案例等。
促进学生之间的交流与合作,增强团队合作和沟通能力。
初等数论教案
第一章 整除理论整除性理论是初等数论的基础。
本章要介绍带余数除法,辗转相除法,最大公约数,最小公倍数,算术基本定理以及它们的一些应用。
第一节 数的整除性定义1 设a ,b 是整数,b ≠ 0,如果存在整数c ,使得a = bc成立,则称a 被b 整除,a 是b 的倍数,b 是a 的约数(因数或除数),并且使用记号b ∣a ;如果不存在整数c 使得a = bc 成立,则称a 不被b 整除,记为b |/a 。
显然每个非零整数a 都有约数 ±1,±a ,称这四个数为a 的平凡约数,a 的另外的约数称为非平凡约数。
被2整除的整数称为偶数,不被2整除的整数称为奇数。
定理1 下面的结论成立:(ⅰ) a ∣b ⇔ ±a ∣±b ;(ⅱ) a ∣b ,b ∣c ⇒ a ∣c ;(ⅲ) b ∣a i ,i = 1, 2, , k ⇒ b ∣a 1x 1 + a 2x 2 + + a k x k ,此处x i (i = 1, 2, , k )是任意的整数; (ⅳ) b ∣a ⇒ bc ∣ac ,此处c 是任意的非零整数;(ⅴ) b ∣a ,a ≠ 0 ⇒ |b | ≤ |a |;b ∣a 且|a | < |b | ⇒ a = 0。
证明 留作习题。
定义2 若整数a ≠ 0,±1,并且只有约数 ±1和 ±a ,则称a 是素数(或质数);否则称a 为合数。
以后在本书中若无特别说明,素数总是指正素数。
定理2 任何大于1的整数a 都至少有一个素约数。
证明 若a 是素数,则定理是显然的。
若a 不是素数,那么它有两个以上的正的非平凡约数,设它们是d 1, d 2, , d k 。
不妨设d 1是其中最小的。
若d 1不是素数,则存在e 1 > 1,e 2 > 1,使得d 1 = e 1e 2,因此,e 1和e 2也是a 的正的非平凡约数。
这与d 1的最小性矛盾。
初等数论课程设计
初等数论课程设计一、教学目标本课程旨在通过数论的学习,使学生掌握数论的基本概念、性质和定理,培养学生解决实际问题的能力,提高学生的逻辑思维和数学素养。
具体的教学目标如下:1.知识目标:(1)了解数论的基本概念,如整数、素数、最大公约数等。
(2)掌握数论的基本性质和定理,如素数的分布、费马小定理等。
(3)学会运用数论知识解决实际问题,如密码学、计算机科学中的问题。
2.技能目标:(1)能够运用数论知识进行计算和证明。
(2)培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
(3)提高学生的数学写作和表达能力。
3.情感态度价值观目标:(1)培养学生对数学的兴趣和热情,提高学生的数学素养。
(2)培养学生团队合作和自主学习的能力。
(3)培养学生的创新精神和批判性思维。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括数论的基本概念、性质和定理。
具体安排如下:1.第一章:数论基础(1)整数和分数(2)素数和合数(3)最大公约数和最小公倍数2.第二章:素数的分布(1)素数定理(2)素数的计算(3)素数的存在性3.第三章:同余理论(1)同余的基本概念(2)费马小定理(3)欧拉定理4.第四章:数论应用(1)密码学中的应用(2)计算机科学中的应用(3)实际问题中的应用三、教学方法为了提高教学效果,本课程将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。
具体方法如下:1.讲授法:通过教师的讲解,使学生掌握数论的基本概念和定理。
2.讨论法:引导学生进行分组讨论,培养学生的团队合作和分析问题的能力。
3.案例分析法:通过分析实际问题,使学生学会将数论知识应用于解决实际问题。
4.实验法:引导学生进行数学实验,培养学生的动手能力和创新精神。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施,本课程将采用以下教学资源:1.教材:选用国内权威的数论教材,为学生提供系统的数论知识。
2.参考书:提供相关的数论参考书,丰富学生的学习资料。
3.多媒体资料:制作多媒体课件,提高课堂教学效果。
(完整版)初等数论教案
初等数论教案一、数论发展史数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支, 其初等部分是以整数的整除性为中心的,包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数(即整数)分布 以及数论函数等内容,统称初等数论(Elementary Number Theory )。
初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的《 几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个,他还给出求两个自然数的最大公约数的方法, 即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献,现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题,我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年,高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王,数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具,数论得到进一步的发展,从而开阔了新的研究领域,出现了代数数论、解析数论、几何数论等 新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛的应用,无疑同时间促进着数论的发展。
二 几个著名数论难题初等数论是研究整数性质的一门学科,历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂,容易引起人的兴趣,但是解决它们却非常困难。
其中,非常著名的问题有:哥德巴赫猜想 ;费尔马大定理 ;孪生素数问题 ;完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想:1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。
1742年6月7日,哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想:一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕,是筛法的光辉顶点,至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、费尔马大定理:费马是十七世纪最卓越的数学家之一,他在数学许多领域中都有极大的贡献,因为他的本行是专业的律师,世人冠以“业余王子”之美称。
初等数论教学大纲
初等数论教学大纲一、课程简介初等数论是数学中的重要分支之一,研究的是自然数的性质与关系。
本课程旨在培养学生的数论思维能力和逻辑思维能力,提高他们的问题解决能力和数学推理能力。
二、教学目标1. 掌握初等数论的基本概念,如素数、合数、互质等。
2. 熟悉常见数论问题的解决方法,如质因数分解、最大公因数与最小公倍数的求法等。
3. 理解和运用模运算的概念和性质,解决相关数论问题。
4. 掌握费马小定理和欧拉定理的应用,解决与其相关的数论问题。
5. 培养学生的数论证明能力,培养其逻辑思维和数学推理能力。
三、教学内容1. 自然数的性质与关系- 质数与合数- 整除性与约数- 互质关系与最大公因数2. 质因数与分解定理- 质因数分解- 最大公因数与最小公倍数 - 公因数与公倍数3. 模运算- 同余等价关系- 同余方程- 中国剩余定理4. 费马小定理与欧拉定理- 费马小定理的证明与应用 - 欧拉函数的定义与性质- 欧拉定理的证明与应用5. 整数的奇妙性质- 数字根与数位- 数字平方舞蹈- 数字阶梯问题- 尼科彻斯定理四、教学方法1. 讲述法:结合实例,详细解释数论概念和原理,引导学生理解与掌握。
2. 分组讨论:将学生分成小组,互相讨论和解决数论问题,促进合作学习和思维碰撞。
3. 课堂练习:布置一些基础练习题和拓展题,提高学生的问题解决能力和应用能力。
4. 数论证明:鼓励学生进行数论定理的证明,培养其逻辑思维和数学推理能力。
五、评估方式1. 平时成绩:包括课堂表现、作业完成情况等。
2. 期中考试:针对课程的基础知识进行测试。
3. 期末考试:综合考察学生对数论概念、原理和问题解决方法的理解与应用能力。
六、教材与参考书主教材:《初等数论》辅助教材:《数论引论》、《数论简史》七、教学进度安排根据教学计划,完成课程内容的讲解和练习,及时反馈学生学习情况,根据实际情况进行调整。
八、教学辅助手段使用黑板、白板等教学工具进行讲解和演示,辅助教学工具包括投影仪、计算器等。
初等数论教案
初等数论教案一、数论发展史数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支,其初等部分是以整数的整除性为中心的,包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数(即整数)分布以及数论函数等内容,统称初等数论(Elementary Number Theory)。
初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个,他还给出求两个自然数的最大公约数的方法,即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献,现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题,我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年,高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王,数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具,数论得到进一步的发展,从而开阔了新的研究领域,出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用,无疑同时间促进着数论的发展。
二几个著名数论难题初等数论是研究整数性质的一门学科,历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂,容易引起人的兴趣,但是解决它们却非常困难。
其中,非常著名的问题有:哥德巴赫猜想;费尔马大定理;孪生素数问题;完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想:1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。
1742年6月7日,哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想:一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕,是筛法的光辉顶点,至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、xx大定理:费马是十七世纪最卓越的数学家之一,他在数学许多领域中都有极大的贡献,因为他的本行是专业的律师,世人冠以“业余王子”之美称。
初等数论的教学设计
初等数论的教学设计一、引言初等数论是数学中的一门重要学科,主要研究正整数的性质和规律。
在初等数论的教学中,如何设计合适的教学方案是十分关键的。
本文将针对初等数论的教学设计进行探讨,并提出一种可行的教学方案。
二、教学目标通过本次教学,学生应该能够:1. 掌握正整数的基本概念和性质;2. 理解和证明初等数论中的基本定理和定律;3. 能够运用初等数论的方法解决实际问题。
三、教学内容本次教学的主要内容包括以下几个方面:1. 正整数的性质:质数、合数、约数、最大公约数和最小公倍数等;2. 同余与模运算:同余关系、同余方程、模反元素等;3. 算术基本定理和费马小定理;4. 数论函数:Euler函数和莫比乌斯函数等;5. 数论中的应用:素数分解、模运算在密码学中的应用等。
四、教学方法在初等数论的教学中,可以采用以下教学方法:1. 讲授与讨论相结合:老师通过讲解基本概念和重要定理,激发学生的兴趣,引发讨论,鼓励学生提出问题和解决问题。
2. 示例分析:通过一些具体的例子,帮助学生理解抽象的概念和定理,培养学生的逻辑思维能力。
3. 练习与实践结合:在教学过程中,设计一些练习题和实践活动,让学生应用所学的知识解决问题,提高实际应用能力。
4. 小组合作学习:鼓励学生进行小组合作学习,相互讨论和交流,共同解决问题,培养学生的团队合作精神和能力。
五、教学过程1. 导入:通过引入一个实际问题,如素数在密码学中的应用,引发学生的兴趣,激发他们对初等数论的学习热情。
2. 探究:引导学生通过观察和讨论,发现正整数的一些基本性质,如质数与合数的区别,约数与倍数的关系等。
3. 讲解:以幻灯片或板书的形式,讲解正整数的性质和初等数论中的基本定理和定律,同时让学生积极参与讨论,激发他们的思维。
4. 示例分析:通过一些具体的例子,解析和证明初等数论中的定理和公式,帮助学生理解和掌握相关知识。
5. 练习与实践:设计一些练习题和实践活动,让学生应用所学的知识进行解答和实践,巩固和扩展所学内容。
初等数论教案
初等数论教案一、引言初等数论是研究自然数的性质和关系的学科,属于数学的基础分支之一。
在教学中,我们需要引导学生了解数论的基本概念和方法,培养他们的数论思维和解题能力。
本教案将介绍如何系统地教授初等数论,以帮助学生建立坚实的数学基础。
二、教学目标1. 掌握数论的基本概念,包括质数、整除、最大公因数等。
2. 理解并运用数论的重要性质,如同余定理、欧拉定理等。
3. 培养学生的数论思维,能够独立解决数论问题。
4. 提高学生的数学证明能力,能够进行简单的数学推理和证明。
三、教学内容1. 质数与合数- 质数的定义与性质- 合数的定义与性质- 质因数分解的方法与应用2. 整除与倍数- 整除关系的定义与性质- 最大公因数与最小公倍数的计算方法- 用整除性质解决实际问题3. 同余- 同余关系的定义与性质- 同余定理的应用- 模运算的基本性质与运算规则4. 欧拉函数与欧拉定理- 欧拉函数的定义与性质- 欧拉定理的表述与证明- 欧拉定理在密码学中的应用5. 素数分布与素数定理- 素数的分布规律与猜想- 素数定理的表述与证明- 素数定理的应用与拓展四、教学方法1. 讲授与示范教师以简明的语言对数论的基本概念和性质进行讲解,辅以具体的例子进行示范。
2. 互动与讨论教师引导学生主动参与,提出问题并进行讨论,鼓励学生发表自己的观点和思考。
3. 实践与探究通过实际问题和实例的引导,鼓励学生灵活运用所学知识解决问题,并进行探究和发现。
4. 案例分析选取一些经典或有趣的数论问题进行案例分析,提高学生应用数论知识解决问题的能力。
五、教学评价1. 课堂表现评价考察学生对数论基本概念的理解、问题解决能力和参与互动的表现。
2. 作业评价布置适量的练习题和探究性的作业,评价学生对数论知识的掌握和应用能力。
3. 考试评价通过定期的小测验和期末考试评价学生的数论理论水平和解题能力。
六、教学资源1. 教材:根据教学内容选择合适的初等数论教材。
2. 多媒体:配备投影仪等多媒体设备,以便使用相关的课件和动态演示。
初三数学函数与初等数论优秀教案范本
初三数学函数与初等数论优秀教案范本教案一:函数的概念与基本性质一、教学目标:1. 理解函数的概念;2. 掌握函数的定义和表示方法;3. 理解函数的自变量、因变量、定义域和值域的概念;4. 掌握函数的基本性质。
二、教学重点与难点:1. 函数的概念与定义;2. 函数的自变量、因变量、定义域和值域的概念。
三、教学准备:1. 教学课件;2. 函数的相关练习题;3. 小黑板、彩色粉笔。
四、教学过程:Step 1 引入新知1. 引导学生回顾直角坐标系的相关知识,并让学生思考某个点在直角坐标系中的位置如何表示。
2. 引导学生思考现实生活中是否存在两个量之间的关系,并让学生举例说明。
Step 2 函数的概念1. 通过引导学生的思考,引出函数的概念:函数是指从一个集合到另一个集合的一种规则,用来表示两个变量之间的关系。
2. 引导学生理解函数的自变量和因变量的概念,并通过具体例子说明函数的定义域和值域的概念。
Step 3 函数的表示方法1. 介绍函数的表示方法:y=f(x)或者y=g(x),其中f(x)和g(x)表示函数的表达式。
2. 通过具体例子,让学生掌握函数的表示方法。
Step 4 函数的基本性质1. 引导学生思考函数的基本性质,包括奇偶性、单调性、周期性等,并通过图示和具体例子让学生理解和掌握这些性质。
2. 引导学生思考函数与方程的关系,并通过实例让学生理解函数方程与解的关系。
五、教学总结与拓展1. 总结本节课所学内容;2. 鼓励学生进行思考,提出相关问题并讨论;3. 布置相关练习题作业,扩展学生的应用能力。
教案二:初等数论的基本概念与性质一、教学目标:1. 理解初等数论的基本概念;2. 掌握正整数的因数、倍数和约数的概念;3. 掌握最大公约数和最小公倍数的计算方法;4. 理解素数与合数的概念。
二、教学重点与难点:1. 正整数的因数、倍数和约数的概念;2. 最大公约数和最小公倍数的计算方法。
三、教学准备:1. 教学课件;2. 初等数论的相关练习题;3. 小黑板、彩色粉笔。
初等数论教学大纲
初等数论教学大纲一、课程简介初等数论是数学的一门重要分支,主要研究整数的性质和结构。
通过对初等数论的学习,学生可以更深入地理解整数及其关系,培养数学逻辑思维和问题解决能力。
本教学大纲旨在提供一份全面的教学计划,帮助学生掌握初等数论的基本概念和方法。
二、教学目标1、理解整数的概念、性质和运算;2、掌握因数分解和质数判断的方法;3、理解最大公约数和最小公倍数的概念及其计算方法;4、掌握分数及其性质,了解分数分解的方法;5、理解代数方程及其解法,掌握二次方程的解法;6、培养学生对数学的兴趣和解决问题的能力。
三、教学内容1、整数的概念和性质a.整数的定义和分类b.整数的运算规则c.数的表示方法2、因数分解和质数判断a.因数分解的方法b.质数判断的方法3、最大公约数和最小公倍数a.最大公约数的定义和计算方法b.最小公倍数的定义和计算方法4、分数及其性质a.分数的定义和分类b.分数的运算规则c.分数的约分和通分5、二次方程及其解法a.二次方程的定义和分类b.二次方程的解法6、其他代数方程的解法介绍a.一元一次方程的解法b.一元二次方程的解法c.高次方程的解法简介7、数论在密码学中的应用介绍a. RSA算法简介b.其他密码学应用简介8、数论在其他领域的应用介绍a.数论在计算机科学中的应用b.数论在物理学中的应用等9、数论的历史和发展简介a.数论的起源和发展历程b.数论在现代数学中的应用及发展前景10、初等数论与中学数学的与区别分析。
在数学的学习中,数论是一个非常重要的分支,它研究的是数的性质和规律。
在大学数学中,初等数论是数论的基础课程,它主要包括了以下几个方面的内容:整除性理论:整除性理论是数论的基础,它主要研究的是整数之间的除法性质。
通过研究素数和分解定理,我们可以更好地理解整数的内部结构和性质。
同余理论:同余理论是数论的核心内容之一,它主要研究的是整数之间的同余关系。
通过研究同余方程和模逆元,我们可以解决许多与整数相关的问题。
初等数论教学大纲
初等数论教学大纲一、引言初等数论作为数学的一个分支,主要研究自然数的性质和整数运算的规律。
本教学大纲旨在帮助学生全面了解初等数论的基本概念,并培养他们解决数论问题的能力。
二、基础知识1. 自然数和整数的概念及性质:自然数和整数的集合,自然数的顺序关系,整数的正负性质等。
2. 素数和合数的概念:素数和合数的定义,素数的性质和判定方法。
3. 最大公约数和最小公倍数的概念:最大公约数和最小公倍数的定义,欧几里德算法等相关知识。
三、初等数论应用1. 同余关系:同余关系的定义和性质,同余关系在整数运算中的应用。
2. 费马小定理和欧拉定理:费马小定理和欧拉定理的表述和应用,与同余关系的关联。
3. 数论函数:数论函数的定义和性质,欧拉函数和莫比乌斯函数的应用。
四、数的表示与分解1. 奇数和偶数的性质:奇数和偶数的定义,奇数和偶数的性质和运算规律。
2. 因数分解:正整数的因数分解定理,质因数分解及其应用。
3. 有理数和不可约分数:有理数和不可约分数的定义和性质,分数的运算规律。
五、数论定理与证明1. 质数无穷性:证明质数有无穷多个的数论定理及其证明过程。
2. 正整数平方和定理:证明正整数可以表示为两个平方数之和的数论定理及其证明过程。
3. 费马大定理:费马大定理的表述和证明过程。
六、解决数论问题的方法和技巧1. 数论问题的特点:数论问题常见的特点和解题思路。
2. 数学归纳法:数论问题解决中常用的归纳法原理。
3. 递归思想:递归思想在数论问题中的应用。
七、实践与综合应用结合具体例子,综合运用前述的知识和技巧,解决实际数论问题。
八、教学评估和反馈通过课堂练习、小组讨论和个人作业等方式进行教学评估,并及时提供学生的学习反馈。
九、教学资源与参考书目推荐使用的教材和参考书目。
十、教学计划编排初等数论教学内容的时间安排和教学进度。
十一、教学方式采用多种教学方式,如讲授、讨论、实践等,激发学生的学习兴趣和参与度。
十二、总结通过初等数论的学习,学生将深入理解数学的本质和逻辑,增强数学思维和解决问题的能力。
(完整版)初等数论教案
初等数论教案一、数论发展史数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支, 其初等部分是以整数的整除性为中心的,包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数(即整数)分布 以及数论函数等内容,统称初等数论(Elementary Number Theory )。
初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的《 几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个,他还给出求两个自然数的最大公约数的方法, 即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献,现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题,我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年,高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王,数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具,数论得到进一步的发展,从而开阔了新的研究领域,出现了代数数论、解析数论、几何数论等 新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛的应用,无疑同时间促进着数论的发展。
二 几个著名数论难题初等数论是研究整数性质的一门学科,历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂,容易引起人的兴趣,但是解决它们却非常困难。
其中,非常著名的问题有:哥德巴赫猜想 ;费尔马大定理 ;孪生素数问题 ;完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想:1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。
1742年6月7日,哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想:一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕,是筛法的光辉顶点,至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、费尔马大定理:费马是十七世纪最卓越的数学家之一,他在数学许多领域中都有极大的贡献,因为他的本行是专业的律师,世人冠以“业余王子”之美称。
初等数论教案范文
初等数论教案范文一、教学内容初等数论二、教学目标1.了解什么是初等数论;2.掌握初等数论的基本概念、方法和应用;3.培养学生的数论思维能力和解决问题的能力。
三、教学重点1.初等数论的基本概念;2.初等数论的基本方法。
四、教学难点初等数论的应用。
五、教学准备教材、课件、黑板、彩色笔。
六、教学过程Step 1:导入用一道题目来导入本课内容:“小明把一栈数字卡片分成3堆,第一堆卡片叠成13层,第二堆卡片叠成14层,第三堆卡片叠成15层。
若小明把每堆卡片的每一层都数一遍,所有的数字卡片一共被数了多少次?”请同学们自己思考一下。
Step 2:引入初等数论的基本概念1.引导学生思考:(1)思考刚才那个问题,有什么规律可循?(2)如果有规律,我们能不能抽象出来?这样就可以对更复杂的问题进行研究了。
2.定义初等数论:初等数论是研究整数及其性质与规律的数学分支,它涉及于整数的划分、奇偶性、倍数关系、因子分解等问题。
Step 3:奇偶性的性质及应用1.引入奇偶性的概念:定义奇偶性:一个整数能被2整除,就称其为偶数,否则称其为奇数。
2.探究奇偶性的性质及应用:(1)证明正整数的平方只能是奇数。
(2)证明奇数与奇数相加或相乘仍然是奇数。
Step 4:因子分解的方法及应用1.引入因子的概念:定义因子:整数a和b中,如果存在整数c,使得a=bc,那么我们称a是b的倍数,b是a的因子。
2.通过实例引导学生使用质因数分解法进行因子分解。
3.运用因子分解法解决问题。
Step 5:找规律和归纳法1.引导学生找规律:(1)通过实例找规律。
(2)通过问题引导找规律。
2.运用归纳法验证规律的正确性。
Step 6:应用实例分析给出一些应用实例,分析解决问题的方法和思路。
七、课堂练习1.通过练习题巩固所学内容。
2.小组合作探究新的问题。
八、作业布置练习题。
九、课堂小结通过本节课的学习,我们了解了初等数论的基本概念、方法和应用,掌握了奇偶性的性质及应用,因子分解的方法及应用,找规律和使用归纳法的技巧。
数学教案初等数论
数学教案初等数论教案主题:初等数论一、引言数学中有许多分支,而初等数论是其中的重要分支之一。
本教案主要介绍初等数论的基础概念、性质及应用,以帮助学生深入理解数论,并能运用数论的方法解决实际问题。
二、整数及相关概念1. 整数的定义及性质:了解整数的概念、基本性质和运算规则。
2. 质数与合数:介绍质数与合数的概念及判断方法。
3. 最大公因数和最小公倍数:讲解最大公因数和最小公倍数的含义及计算方法。
4. 整数的除法:引导学生掌握整数带余除法的概念和计算方法。
三、整除与同余1. 整除的定义及性质:介绍整除的含义、性质、判断方法和应用。
2. 同余的概念与性质:讲解同余关系的定义、性质、判断方法以及同余关系的传递性和反对称性。
3. 同余方程的求解方法:培养学生解同余方程的能力。
四、素数及其性质1. 素数的定义与性质:介绍素数的概念及基本性质,包括无穷性、唯一性等。
2. 质数分布与素数定理:了解质数的分布规律和素数定理的基本内容。
3. 双胞胎素数和孪生素数:讨论双胞胎素数和孪生素数的概念及性质。
五、整数表示1. 十进制与其他进制:介绍十进制与其他进制之间的转换方法及应用。
2. 同余与模运算:引导学生理解同余的概念,了解模运算的基本性质和运算规则。
六、勾股数与费马定理1. 勾股数的概念与性质:介绍勾股数的定义及勾股定理的证明与应用。
2. 费马定理与欧拉定理:了解费马小定理和欧拉定理的基本内容及证明思路。
七、素因数分解与最简分数1. 素因数分解的概念与方法:培养学生进行素因数分解的能力。
2. 最简分数的概念与意义:讲解最简分数的定义与性质,培养学生解决最简分数相关问题的能力。
八、应用实例结合实际问题,引导学生运用初等数论知识解决实际应用问题,如解决最小公倍数问题、RSA加密算法等。
九、小结总结本节课所学的初等数论知识,强调数论在实际应用中的重要性,激发学生对数学的兴趣和学习的动力。
十、延伸拓展鼓励学生自主学习,拓展与初等数论相关的知识,如高数中的数列、群论等。
初等数论教案9
第六节孙子定理及其应用举例教学目的:1、熟练掌握孙子定理内容及证明;2、会用孙子定理求解一次同余方程式组.教学重点:用孙子定理求解一次同余方程式组.教学课时:4课时教学过程在我国古代《孙子算经》中有:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问:物有几何?对于“物不知其数”问题,程大位在《直指算法统宗》(《算法统宗》1593年)一书中给出了如下的求解歌诀:三人同行七十稀,五树梅花卄一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知.如果我们设所求的物为X个,则“物不知其数”等价于求解下面的同余式组x 三2(mod 3)x 三3(mod 5)(X 三2(mod 7)将上面的同余式组推广,我们可得x 三a〔(mod m1)x 三a2(mod m2)I (1)x 三a k(mod m k)本节主要讨论同余方程组(1)的解问题.定理1(孙子定理)设m i, m2, ■ - , m k是正整数,(mi, m j) = 1,1" 2 k, i 订⑵记m = m1m2 m k,M i =—,1 — i — k,m i则存在整数M「( 1 < H k),使得M i M i = 1 (mod m i),(3) M i M i = 0 (mod m j),1 - j k,i - j,⑷并且kX0八aiM iM i(mod m) (5)i吕是同余方程组(1)对模m的唯一解,即若有任意的x使方程组(1)成立,则x = x o (mod m). (6) 继《孙子算经》之后,南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作,推广物不知数”的问题•德国数学家高斯〔K.F. Gauss.公元1777-1855 年〕于公元1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理.公元1852年,英国基督教士伟烈亚士〔Alexander Wylie公元1815-1887 年〕将《孙子算经》物不知数”问题的解法传到欧洲,公元1874年马蒂生〔L.Mathiesen 〕指出孙子的解法符合高斯的定理,从而在西方的数学史里将这一个定理也称为中国的剩余定理”〔Chi nese rema in der theorem 〕.证明由式(2),有(M i, m i) = 1,因此利用辗转相除法可以求出M i 与y,使得M i M i ym = 1,即M i满足式(3)和式(4).由式⑶与式(4),对于仁汽k,有x b 三a i M i M i 三a i (mod m i), 1 H k.若x也使式(1)成立,则x 三x o (mod m i), 1 — i — k,因此x = x o(mod [m1, m2, , m k]).但是,由式⑵可知[m1, m2, ■" , m k] = m,这就证明了式(6).证毕.定理2在定理1的条件下,若式(1)中的a1, a2, , a k分别通过模m1,m2, ■" , m k的完全剩余系,则式(5)中的x o通过模m1m^ m k的完全剩余系.证明略.定理3同余方程组(1)有解的充要条件是a i = aj (mod (m i, m j)), 1 空i, j 乞n. (7)证明必要性是显然的.下面证明充分性.当n二2时,由前一节例8可知充分性成立.假设充分性当n二k时成立.假设式⑺当n二k 1时成立.我们来考虑同余方程组x 三a i (mod m), 1 < i 空 k 1.由前一节例8,存在b k,使得x三b k (mod [ m k, m k +1])满足同余方程组x 三a k (mod m k),x 三a k + 1 (mod m k + i).在同余方程组x = a1 (mod m1)x 三a k」(mod m k Jx =b k(mod [m k,m k1】)中,由式(7)有a j 三a j (mod (m i, m j)),1 - i, j - k - 1,因此,若能证明a i =b k (mod (m i, [m k, m k +1])),1 - 1. (8)则由归纳假设就可以证明充分性.由b k的定义,有a/b k (mod m k),a k + 1 三b k (mod m k + 1) (9) 而且,由于假设式⑺当n二k 1时成立,所以,对于1乞i乞k- 1有a^ a k (mod (m i, mQ),a^ a k + 1 (mod (m i, m k + 1)),由此及式(9)得到,对于1 - i - k - 1,有a i = bk (mod (m i, m k)),a^b k (mod (m i, m k + 1)).因此a\ =b k (mod [(m i, m k), (m i, m k + i)]).由上式及第一章的例题,就得到式(8).证毕.定理4设m二口仲2…m k ,其中m2,…,m k是两两互素的正整数,f(x)是整系数多项式,以T与T\( 1 < i < k)分别表示同余方程f(x)三 0 (mod(10)m)f(x) = 0 (mod m\) (11) 的解的个数,则T = T1T2, T k .证明因为同余方程(10)等价于同余方程组f(x)三0 (mod m\),1 兰i(12)k.对于每i (1 < i < k),设同余方程(11)的全部解是^x1(i),x2i) "\xT°(mod m i),(13) 则同余方程组(12)等价于下面的T1T2, T k个方程组:(1)x 三x 片(modm<,)(14)x = x J? (mod m2)x 三x(k)(mod m k)k其中x(i)通过式(13)中的数值,即通过同余方程(11)的全部解.由孙子定理,对于选定的每一组{x;1、;2〉,…,X:)},同余方程组(14)对模m有唯一解,而且,由定理2,当每个X(\)通过(13)式中的值时,所得到的T1T2, T k个同余方程组(14)的解对于模m都是两两不同余的证毕.I由定理4及算术基本定理,我们知道,解一般模的同余方程可以 转化为解模为素数幕的同余方程.例1求整数n ,它被3,5, 7除的余数分别是1,2, 3. 解n 是同余方程组n 三 1 (mod 3), n 三 2 (mod 5), n 三 3 (mod 7)的解.在孙子定理中,取m i = 3, m 2 = 5,m 3 = 7, m = 357 = 105,M i = 35, M 2 = 21, M 3 = 15, M i = -1, M 2 = 1, M 3 = 1,则n 二 1 35(-1) 2 211315 1 二 52 (mod 105),因此所求的整数n 二52 + 105t , t Z .例2解同余式组x 三 1(mod 5) x 三 2(mod 6) x 三—1(mod7 ). x = 2(mod 11)练习:解同余式组x = 1(mod 4) x 三 2(mod 7) x 三 1(mod15 ).x = 2(mod 13) 例3解同余式组x 三1(mod 15) x 三2(mod 8) x 三1 (mod25 )I练习:判别同余式组x 三1(mod 3)x 三1(mod 6)x = 1(mod15 )三2(mod 13)是否有解?若有解,求出其解.例4解同余式19x三556 (mod1155 ).例5解同余式组2x = 3(mod 15)I3x 三5(mod 8)4x 三13(mod25 )例6解同余方程5x2 6x 49 二0 (mod 60). (15) 解因为60 = 3 4 5,所以,同余方程(15)等价于同余方程组5x2+ 6x + 49 三0 (mod 3) (16)25x + 6x + 49 三0 (mod 4) (17)5x2+ 6x + 49 三0 (mod 5). (18) 分别解同余方程(16),(17),(18)得到解冷⑴三1,X2⑴三1 (mod 3),X i⑵三1, X2⑵三1 (mod 4),xi⑶-1 (mod 5),这样,同余方程(15)的解x可由下面的方程组决定:x = (mod 3), x = a2 (mod 4), x=a3 (mod 5),其中a1 = 1或-1, a2 = 1或-1, a3 = 1•利用孙子定理,取m1 = 3, m2 = 4, m3 = 5, m = 60,M1 = 20, M2 = 15, M3 = 12,M1 = 2, M2 = -1, M3 = 3,则x 三40a1 - 15a2 36a3 (mod 60).将a1, a2, a3所有可能的取值代入上式,得到方程(15)的全部解是x1三401 - 151 361 三1 (mod 60),计 40(-1)- 151 36 1 二-19 (mod 60),x s 二401 - 15(-1) 36 1 二31 (mod 60),x4 二40(-1) - 15(-1) 361 二11 (mod 60).7、小结8 作业P62:ex22。
初等数论教案 第九节 自然数的性质
第九节 自然数的性质教学目的:1、掌握第一、第二数学归纳法;2、掌握最小自然数原理;3、掌握并会应用抽屉原理.教学重点:应用最小自然数原理以及抽屉原理.教学课时:2课时教学过程1、归纳原理 设S 是N 的一个子集,满足条件:(1) S ∈1; (2) 如果S n ∈,则S n ∈+1. 那么N S =.2、数学归纳法 设)(n P 是关于自然数n 的一种性质或命题. 如果(1) 当1=n 时,)1(P 成立;(2) 由)(n P 成立必可推出)1(+n P 成立,那么,)(n P 对所有自然数n 都成立.证明:设使)(n P 成立的所有自然数n 所组成的集合是S ,则S 是N 的一个子集. 由条件(1) 知S ∈1;由条件 (2)知若S n ∈,则S n ∈+1,那么N S =.3、最小自然数原理 设T 是N 的一个非空子集. 那么,必有T t ∈0,使得对所有T t ∈,都有t t ≤0,即0t 是T 中的最小自然数.4、第二数学归纳法 设)(n P 是关于自然数n 的一种性质或命题.如果(1) 当1=n时,)1(P 成立; (2) 设1>n ,若对所有自然数n m <,)(m P 成立,必可推出)(n P 成立,那么,)(n P 对所有自然数n 都成立.5、抽屉原理 把1+n 件东西任意放入n 只抽屉里,那么至少有一个抽屉里有两件东西.把m 件东西放入n 个抽屉里,那么至少有一个抽屉里至少有][n m +1件东西.无穷件东西,把它们放在有限多个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含无穷件东西.例1、证明:若n p 表示第n 个素数,则n n p 22<.证明:略.例2、在边长为1的正方形内任意放置5个点,试证:其中必有两个点,它们之间的距离不大于22.证明:将边长为1的正方形划分成如图所示的四个边长为21的小正方形,则每个小正方形中任意两点间的距离不大于22,据抽屉原理:5个点放入四个正方形中,其中至少有一个正方形中至少有2个点,则这两个点间的距离不大于22. 例3、求证:任给五个整数,必能从中选出三个,使得它们的和能被3整除.证明:因为任意一个整数被3除的余数只能是0、1、2,若任给的5个整数被3除的余数中0、1、2都出现,则余数为0、1、2的三个整数之和能被3整除.若5个数被3除的余数只出现0、1、2中的两个,则据抽屉原理知:必有3个整数的余数相同,而余数相同的3个数之和能被3整除.故任给五个整数,必能从中选出三个,使得它们的和能被3整除.例4、证明:在全世界所有人中任选六个人,其中一定有三个人,他们之间或者互相认识,或者互相不认识.证明:略.例5、平面上有1987个点,任取三个点中都有两点的距离小于1. 求证:存在半径为1的圆,它至少盖住994个点.证明:在所给的1987个点中任选一点,记为A ,以A 为圆心作一个半径为1的圆,若其余的1986个点都在圆A 内,则结论成立.否则,在圆A 外的点中任一点,记为B ,以B 为圆心作一个半径为1的圆,则除去A 、B 之外的其余1985个点必在圆A 或圆B 内,否则,至少存在一点C 在圆A 或圆B 的外部,则A 、B 、C 三点任两点间的距离均大于1,与条件矛盾,所以除去A 、B 之外的其余1985个点必在圆A 或圆B 内.据抽屉原理:必有一个圆内至少有9931]211985[=+-个点,加上圆心共994个点. 知结论成立.6、小结7、作业。
第九讲 初等数论
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1 第九讲.初等数论
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第六节 孙子定理及其应用举例教学目的:1、熟练掌握孙子定理内容及证明; 2、会用孙子定理求解一次同余方程式组. 教学重点:用孙子定理求解一次同余方程式组. 教学课时:4课时 教学过程在我国古代《孙子算经》中有:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问:物有几何?对于“物不知其数”问题,程大位在《直指算法统宗》(《算法统宗》1593年)一书中给出了如下的求解歌诀: 三人同行七十稀, 五树梅花卄一枝, 七子团圆正半月, 除百零五便得知.如果我们设所求的物为x 个,则“物不知其数”等价于求解下面的同余式组⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2x x x .将上面的同余式组推广,我们可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡)(mod )(mod )(mod 2211k k m a x m a x m a x(1)本节主要讨论同余方程组(1)的解问题. 定理1(孙子定理) 设m 1, m 2, , m k 是正整数,(m i , m j ) = 1,1 ≤ i , j ≤ k ,i ≠ j . (2)记m = m 1m 2 m k ,M i =im m ,1 ≤ i ≤ k ,则存在整数M i '(1 ≤ i ≤ k ),使得M i M i ' ≡ 1 (mod m i ), (3)M i M i ' ≡ 0 (mod m j ),1 ≤ j ≤ k ,i ≠ j , (4)并且i ki i i M M a x '≡∑=10(mod m ) (5)是同余方程组(1)对模m 的唯一解,即若有任意的x 使方程组(1)成立,则x ≡ x 0 (mod m ). (6)继《孙子算经》之后,南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作,推广“物不知数”的问题. 德国数学家高斯﹝K.F. Gauss.公元1777-1855年﹞于公元1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理. 公元1852年,英国基督教士伟烈亚士﹝Alexander Wylie 公元1815-1887年﹞将《孙子算经》“物不知数”问题的解法传到欧洲,公元1874年马蒂生﹝L.Mathiesen﹞指出孙子的解法符合高斯的定理,从而在西方的数学史里将这一个定理也称为“中国的剩余定理”﹝Chinese remainder theorem﹞.证明由式(2),有(M i, m i) = 1,因此利用辗转相除法可以求出M i'与y i ,使得M i M i'+y i m i = 1,即M i'满足式(3)和式(4). 由式(3)与式(4),对于1 ≤i≤k,有x0≡a i M i M i'≡a i (mod m i),1 ≤i≤k.若x也使式(1)成立,则x≡x0(mod m i),1 ≤i≤k,因此x≡x0(mod [m1, m2, , m k]).但是,由式(2)可知[m1, m2, , m k] = m,这就证明了式(6).证毕.定理2在定理1的条件下,若式(1)中的a1, a2, , a k分别通过模m1, m2, , m k的完全剩余系,则式(5)中的x0通过模m1m2 m k的完全剩余系.证明略.定理3同余方程组(1)有解的充要条件是a i≡a j (mod (m i, m j)),1 ≤i, j ≤n. (7)证明必要性是显然的.下面证明充分性.当n = 2时,由前一节例8可知充分性成立.假设充分性当n = k 时成立.假设式(7)当n = k + 1时成立.我们来考虑同余方程组x ≡ a i (mod m i ),1 ≤ i ≤ k + 1.由前一节例8,存在b k ,使得x ≡ b k (mod [m k ,m k +1])满足同余方程组x ≡ a k (mod m k ),x ≡ a k + 1 (mod m k + 1).在同余方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡+--]),[(mod )(mod )(mod 1k 1111k k k k m m b x m a x m a x中,由式(7)有a i ≡ a j (mod (m i , m j )),1 ≤ i , j ≤ k - 1,因此,若能证明a i ≡b k (mod (m i , [m k , m k +1])),1 ≤ i ≤ k - 1. (8)则由归纳假设就可以证明充分性. 由b k 的定义,有a k ≡b k (mod m k ),a k + 1 ≡ b k (mod m k + 1) (9)而且,由于假设式(7)当n = k + 1时成立,所以,对于1 ≤ i ≤ k - 1有a i ≡ a k (mod (m i , m k )),a i ≡ a k + 1 (mod (m i , m k + 1)),由此及式(9)得到,对于1 ≤ i ≤ k - 1,有a i ≡b k (mod (m i , m k )),a i ≡ b k (mod (m i , m k + 1)).因此a i ≡b k (mod [(m i , m k ), (m i , m k + 1)]).由上式及第一章的例题,就得到式(8). 证毕.定理4 设m = m 1m 2 m k ,其中m 1, m 2, , m k 是两两互素的正整数,f (x )是整系数多项式,以T 与T i (1 ≤ i ≤ k )分别表示同余方程f (x ) ≡ 0 (mod m ) (10)与f (x ) ≡ 0 (mod m i ) (11)的解的个数,则T = T 1T 2…T k .证明 因为同余方程(10)等价于同余方程组f (x ) ≡ 0 (mod m i ),1 ≤ i ≤ k . (12)对于每i (1 ≤ i ≤ k ),设同余方程(11)的全部解是)()(2)(1,,,i Ti i ix x x x ≡(mod m i ), (13)则同余方程组(12)等价于下面的T 1T 2…T k 个方程组:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≡≡≡)(mod )(mod )(mod )(2)2(1)1(21k k j j j m x x m x x m x xk, (14)其中)(i j ix 通过式(13)中的数值,即通过同余方程(11)的全部解.由孙子定理,对于选定的每一组{)()2()1(,,,21k j j j kx x x },同余方程组(14)对模m 有唯一解,而且,由定理2,当每个)(i j ix 通过(13)式中的值时,所得到的T 1T 2…T k 个同余方程组(14)的解对于模m 都是两两不同余的.证毕.由定理4及算术基本定理,我们知道,解一般模的同余方程可以转化为解模为素数幂的同余方程.例1 求整数n ,它被3,5,7除的余数分别是1,2,3. 解 n 是同余方程组n ≡ 1 (mod 3),n ≡ 2 (mod 5),n ≡ 3 (mod 7)的解.在孙子定理中,取m 1 = 3,m 2 = 5,m 3 = 7,m = 3⋅5⋅7 = 105,M 1 = 35,M 2 = 21,M 3 = 15, M 1' = -1,M 2' = 1,M 3' = 1,则n ≡ 1⋅35⋅(-1) + 2⋅21⋅1 + 3⋅15⋅1 ≡ 52 (mod 105),因此所求的整数n = 52 + 105t ,t ∈Z . 例2 解同余式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡-≡≡≡)11(mod 2)mod7(1x)6(mod 2)5(mod 1x x x . 练习:解同余式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)13(mod 2)mod15(1x)7(mod 2)4(mod 1x x x . 例3 解同余式组⎪⎩⎪⎨⎧-≡≡≡)mod25(1x )8(mod 2)15(mod 1x x .练习:判别同余式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)13(mod 2)mod15(1x)6(mod 1)3(mod 1x x x 是否有解?若有解,求出其解.例4 解同余式)mod1155(55619x ≡.例5 解同余式组⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)mod25(134x )8(mod 53)15(mod 32x x .例6 解同余方程5x 2 + 6x + 49 ≡ 0 (mod 60). (15)解 因为60 = 3⋅4⋅5,所以,同余方程(15)等价于同余方程组5x 2 + 6x + 49 ≡ 0 (mod 3) (16) 5x 2 + 6x + 49 ≡ 0 (mod 4) (17) 5x 2 + 6x + 49 ≡ 0 (mod 5). (18)分别解同余方程(16),(17),(18)得到解x 1(1) ≡ 1,x 2(1) ≡ -1 (mod 3),x1(2)≡ 1,x2(2)≡-1 (mod 4),x1(3)≡ 1 (mod 5),这样,同余方程(15)的解x可由下面的方程组决定:x≡a1 (mod 3),x≡a2 (mod 4),x≡a3 (mod 5),其中a1 = 1或-1,a2 = 1或-1,a3 = 1.利用孙子定理,取m1 = 3,m2 = 4,m3 = 5,m = 60,M1 = 20,M2 = 15,M3 = 12,M1' = 2,M2' =-1,M3' = 3,则x≡ 40a1- 15a2+ 36a3 (mod 60).将a1,a2,a3所有可能的取值代入上式,得到方程(15)的全部解是x1≡ 40⋅1- 15⋅1 + 36⋅1 ≡ 1 (mod 60),x2≡ 40⋅(-1)- 15⋅1 + 36⋅1 ≡-19 (mod 60),x3≡ 40⋅1- 15⋅(-1) + 36⋅1 ≡ 31 (mod 60),x4≡ 40⋅(-1)- 15⋅(-1) + 36⋅1 ≡ 11 (mod 60).7、小结8、作业P62:ex22。