整数的整除性与同余(教案)

整数的整除性与同余（教案）

教学内容 整除与同余

教学目标 1 让学生初步学习整除与同余的概念及基本性质;

2 能够简单的应用整除与同余的知识处理一些初等数论问题.

教学过程

一、整数的整除性

1、整除的定义：

对于两个整数a 、b （b ≠0），若存在一个整数m ，使得b m a ⋅=成立，则称b 整除a ，或a 被b 整除，记作b|a.

2、整除的性质

1）若b|a,则对于任意非0整数m 有bm|am;

2) 若b|a ，c|b ，则c|a

3) 若b|ac ，而（a ，b ）=1（（a ，b ）=1表示a 、b 互质，则b|c ；

4) 若b|ac ，而b 为质数，则b|a ，或b|c ；

5) 若c|a ，c|b ，则c|（ma+nb ），其中m 、n 为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）

6）连续整数之积的性质

任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除；任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除

例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）。

证明∵4(3x -7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)

而 11｜11(3x-2y+3z),且 11｜(7x+2y-5z),∴ 11｜4(3x-7y+12z)又 (11,4)=1 ∴ 11｜(3x-7y+12z)

例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜b 679a 试求a,b 的值。

解：∵72=8×9，且（8，9）=1，∴只需讨论8、9都整除b 679a 时a,b 的值。若8｜b 679a ，则8｜b 79，由除法可得ｂ＝２若9｜b 679a ，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3

例3（1956年北京竞赛题）证明：1n 2

1n 23n 23-++对任何整数n 都为整数，且用3除时余2。

证明：)1n 2)(1n (n 2

1n 21n 23n 23++=++ ∵)1n (n +为连续二整数的积,必可被2整除.∴)1n (n 2

1+对任何整数n 均为整数, ∴1n 2

1n 23n 23-++为整数,即原式为整数.

又∵8)2n 2)(1n 2(n 28)1n 2)(1n (n 42)1n 2)(1n (n ++=++=++;

2n 、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质，

∴是能被3整除的整数. 故1n 2

1n 23n 23-++被3除时余2. 例4 一整数a 若不能被2和3整除，则a 2+23必能被24整除.

证明 ∵a 2+23=（a 2-1）+24，只需证a 2-1可以被24整除即可.

∵2|/ .∴a 为奇数.设a=2k+1(k 为整数),则a 2-1=(2k+1)2-1=4k 2+4k=4k(k+1).

∵k、k+1为二个连续整数，故k （k+1）必能被2整除，∴8|4k（k+1），即8|（a 2-1）. 又∵（a-1），a ，（a+1）为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a （a-1）（a+1）=a （a 2-1），∵3|/ a ，∴3|（a 2-1）.3与8互质, ∴24|(a 2-1),即a 2+23能被24整除.

二、同余及其性质

1、同余的概念

同余定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为:a ≡b （modm ）. （*）上式可读作：a 同余于b ，模m.

同余式（*）意味着（我们假设a ≥b ）：a-b=mk ，k 是整数，即m ｜（a-b ）.

补充定义：若m （a-b ），就说a 、b 对模m 不同余，用式子表示是：a b （modm ）

2、同余的性质

同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a 、b 、c 、d 是整数，而m 是自然数）

性质1：a ≡a （mod m ），（反身性） 这个性质很显然.因为a-a=0=m ·0。

性质2：若a ≡b （mod m ），那么b ≡a （mod m ），（对称性）。

性质3：若a ≡b （mod m ），b ≡c （mod m ），那么a ≡c （mod m ），（传递性）。

性质4：若a ≡b （mod m ），c ≡d （mod m ），那么a ±c ≡b ±d （mod m ），（可加减性）。 性质5：若a ≡b （mod m ），c ≡d （mod m ），那么ac ≡bd （mod m ）（可乘性）。 性质6：若a ≡b （mod m ），那么a n ≡b n （mod m ），（其中n 为自然数）。

性质7：若ac ≡bc （mod m ），（c ，m ）=1，那么a ≡b （mod m ），（记号（c ，m ）表示c 与m 的最大公约数）。

注意同余式性质7的条件（c ，m ）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。 例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？

解：∵288-214=74=37×2，∴288≡214（mod37），∵74-20=54，而3754，∴7420（mod37）。 例2 求14389除以7的余数。

分析 同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。 解：∵143≡3（mod7） ∴14389≡389（mod 7）

∵89＝64+16+8+1 而32≡2（mod 7）， 34≡4（mod7）， 38≡16≡2（mod 7）， 316≡4（mod 7）， 332≡16≡2（mod 7）， 364≡4（mod 7）。

∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod 7）， ∴14389≡5（mod 7）。

答：14389除以7的余数是5。

例3 证明方程2x 2-5y 2=7无整数解.

证明 ∵2x 2=5y 2+7，显然y 为奇数.

① 若x 为偶数，则1)1n (n 4)1n 2(y ),8(mod 0x 2222++=+=≡