事件的相互独立性 课件
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高一下学期数学人教A版必修第二册10.2事件的相互独立性课件
1 2
,
3 4
,
3 4
，将它们中某两个元件并联后再和第三个
元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率
是_______.
解：记 A “T1 正常工作”， B “T2 正常工作”， C “ T3 正常工作”，
则 P(A) 1 , P(B) P(C) 3 ，
23 60
5 12
9 10
.
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响． （1）求 3 人同时被选中的概率；
（2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法二：“3 人中至少有 1 人被选中”的对立事件是“3 人都没有被选中”， 所以 3 人中至少有 1 人被选中的概率为
1 3
1 10
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响． （1）求 3 人同时被选中的概率； （2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法一：3 人中有 2 人被选中的概率为
P2 P(ABC ABC ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC) 2 3 (1 1) 2 (1 3) 1 (1 2) 3 1 23 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60
（1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶. （4）至少有一人中靶.
解：（3）事件“两人都脱靶” AB ，所以 P( AB) P( A)P(B) 0.2 0.1 0.02
（4）方法 1：事件“至少有一人中靶” AB AB AB ，且 AB, AB 与 AB 两两互斥，
人教A版10.2事件的相互独立性课件(共16张)
P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝ P(AC)＝P(“正正”)=0.25=P(A)P(C) P(BC)＝P(“正正”)=0.25=P(B)P(C)
巩固：事件相互独立性的判断
【2021年·新高考Ⅰ卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有
放回的随机取两次，每次取1个球. 甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，
P(丁) 1 6
C.乙与丙相互独立
P(乙丙) 1 36
P(丙丁) 0
巩固：相互独立事件的概率计算
P248-例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；
(4)至少有一人中靶.
析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”. 由于两个人射击的结果互不影响，∴A与B相互独立， 且A与B，A与B，A与B都相互独立.
= P(J1)P(Y2)＋P(J2)P(Y1)
巩固：互斥与相互独立的区分
判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M: “出现的点数为奇数”；事件N: “出现的点数为偶数”.
M＝{1,3,5}，N＝{2,4,6}，MN＝ϕ P(MN)≠P(M)P(N)
M、N 互斥但不相互独立
－－
(3)至少一个地方降雨的概率. (对立事件)P(M)=1－P(AB) =1－0.
事件M
(拆分事件)P(M)=________________________ =
(并事件)P(M)=P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB) =－
[变式1]甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为，乙被录取的概率为，两 人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为________
巩固：事件相互独立性的判断
【2021年·新高考Ⅰ卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有
放回的随机取两次，每次取1个球. 甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，
P(丁) 1 6
C.乙与丙相互独立
P(乙丙) 1 36
P(丙丁) 0
巩固：相互独立事件的概率计算
P248-例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8， 乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶；
(3)两人都脱靶；
(4)至少有一人中靶.
析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”. 由于两个人射击的结果互不影响，∴A与B相互独立， 且A与B，A与B，A与B都相互独立.
= P(J1)P(Y2)＋P(J2)P(Y1)
巩固：互斥与相互独立的区分
判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M: “出现的点数为奇数”；事件N: “出现的点数为偶数”.
M＝{1,3,5}，N＝{2,4,6}，MN＝ϕ P(MN)≠P(M)P(N)
M、N 互斥但不相互独立
－－
(3)至少一个地方降雨的概率. (对立事件)P(M)=1－P(AB) =1－0.
事件M
(拆分事件)P(M)=________________________ =
(并事件)P(M)=P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB) =－
[变式1]甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为，乙被录取的概率为，两 人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为________
事件的相互独立性-PPT
27
系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解ห้องสมุดไป่ตู้
设Ai
{第i个 元 件 正
(i 1 ,2 , ,n )
常},工 则P作 (Ai)r
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
28
B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ：
设 C ={ 通路①正常工作 }，D={ 通路②正常工作 }
17
例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女 孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形讨论A与B的独立性； （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。 解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件,
其概率各为1/4,此时
22
结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1,A2,…,An相互独立,则
P (A 1 A 2 A n )1P (A 1 A 2 … A n ）
1P(A 1A 2… A n) 1P (A 1)P (A 2)… P (A n ) A1,A2,…,An
也相互独立
即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积.
16
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P (A iA j) P (A i)P (A j)
共
C
2 n
Cn3
Cnn
则A 称 1， A2， An两
系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解ห้องสมุดไป่ตู้
设Ai
{第i个 元 件 正
(i 1 ,2 , ,n )
常},工 则P作 (Ai)r
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
28
B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ：
设 C ={ 通路①正常工作 }，D={ 通路②正常工作 }
17
例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女 孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形讨论A与B的独立性； （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。 解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件,
其概率各为1/4,此时
22
结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1,A2,…,An相互独立,则
P (A 1 A 2 A n )1P (A 1 A 2 … A n ）
1P(A 1A 2… A n) 1P (A 1)P (A 2)… P (A n ) A1,A2,…,An
也相互独立
即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积.
16
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P (A iA j) P (A i)P (A j)
共
C
2 n
Cn3
Cnn
则A 称 1， A2， An两
10.2事件的相互独立性课件高一下学期数学人教A版必修第二册
P()=0.1.
（1）AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（2）恰好有一人中靶；
解 ：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，
（2,1） （2,2）（2,3） （2,4）
（3,1） （3,2）（3,3） （3,4）
（4,1） （4,2）（4,3） （4,4）
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
分析：样本空间 ={(m,n)| m,n ∈{1,2,3,4}},
A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} ，
所以, P(AB)≠ P(A)P(B)，因此，事件A与事件B不独立.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先
（1）AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（2）恰好有一人中靶；
解 ：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，
（2,1） （2,2）（2,3） （2,4）
（3,1） （3,2）（3,3） （3,4）
（4,1） （4,2）（4,3） （4,4）
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
分析：样本空间 ={(m,n)| m,n ∈{1,2,3,4}},
A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} ，
所以, P(AB)≠ P(A)P(B)，因此，事件A与事件B不独立.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先
高中数学必修二课件：事件的相互独立性
3．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别是什么？ 答：对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，那么称A，B 互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，那么称 A，B对立，显然A＋B为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但可能同时 不发生．如掷一枚均匀的骰子，“点数为1”为事件A，“点数为2”为事件B， 则A，B可能都不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发 生的概率没有影响． A，B互斥，则P(AB)＝0；A，B对立，则P(A)＋P(B)＝1. A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)，可见这是不相同的概率．
1．对相互独立事件定义的理解
答：对于事件A，B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响，那么称这两个事件为相互独立事件．例如甲袋中装有3个白球，2个黑 球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲 袋摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记 为事件B，显然A与B相互独立．
思考题1 袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第
一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，“第二次摸得黑球”记为 C，那么事件A与B，A与C间的关系是( A )
A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立
课时学案
题型一 相互独立事件的判断
例1 (1)把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独 立事件．
①A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}； ②A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3点}； ③A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}； ④A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}．
高一数学(人教A版)-事件的相互独立性课件
(1,1)
根据独立性假定，得
P( A1)
3 4
1 4
+
1 4
3 4
3 8
分析：设 A2 表示甲两轮猜对2个成语的事件，
甲
根据独立性假定，得
(0,0)
(0,1)
P( A2 )
3 4
3 4
9 16
(1,0)
(1,1)
33 44
设 B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，
P( B1 )
2 3
因为A C ，且 A C ，所以
事件 A 与事件 C互为
．
2.如果事件 A 与事件 B 互斥，和事件 A B的概率与事件 A ， B 的概率之间的关系是
P( A B) P( A) P(B).
3.设 A ，B 是一个随机实验的两个事件，和事件 A B 的概 率与事件 A ，B 的概率之间的关系是
事件的相互独立性
高一年级 数学
1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球 （标号为1和2 ），1个绿色球（标号为3 ），1个黄色球 （标号为4 ），从袋中随机摸出1个球．设事件A “摸到
红球”，B “摸到绿球”，C “摸到绿球或黄球”．
样本空间为 {1,2,3,4}
A {1,2} B {3} C {3,4} 因为A B ，所以事件 A 与事件 B ；
AB={(1,2),(2,1)} ，n( AB) 2 ．
所以
P( A)
n( A)
n( )
1 2
，P(B)
n(B)
n( )
1 2
，
P( AB)
n( AB)
n( )
1 6
．
此时 P( AB) P( A) P(B) ，
根据独立性假定，得
P( A1)
3 4
1 4
+
1 4
3 4
3 8
分析：设 A2 表示甲两轮猜对2个成语的事件，
甲
根据独立性假定，得
(0,0)
(0,1)
P( A2 )
3 4
3 4
9 16
(1,0)
(1,1)
33 44
设 B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，
P( B1 )
2 3
因为A C ，且 A C ，所以
事件 A 与事件 C互为
．
2.如果事件 A 与事件 B 互斥，和事件 A B的概率与事件 A ， B 的概率之间的关系是
P( A B) P( A) P(B).
3.设 A ，B 是一个随机实验的两个事件，和事件 A B 的概 率与事件 A ，B 的概率之间的关系是
事件的相互独立性
高一年级 数学
1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球 （标号为1和2 ），1个绿色球（标号为3 ），1个黄色球 （标号为4 ），从袋中随机摸出1个球．设事件A “摸到
红球”，B “摸到绿球”，C “摸到绿球或黄球”．
样本空间为 {1,2,3,4}
A {1,2} B {3} C {3,4} 因为A B ，所以事件 A 与事件 B ；
AB={(1,2),(2,1)} ，n( AB) 2 ．
所以
P( A)
n( A)
n( )
1 2
，P(B)
n(B)
n( )
1 2
，
P( AB)
n( AB)
n( )
1 6
．
此时 P( AB) P( A) P(B) ，
10.2事件的相互独立性课件(人教版)
所以AB={(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}．
所以 P( A) P(B)= 1 , P( AB) 1 .
2
4
于是 P(AB)=P(A)P(B)．
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
从上述两个实验的共性中得到启示，我们引入这种事件关系的一般 定义：
对任意两个事件A与B , 如果 P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称事件A与 事件B相互独立,简称为独立.
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙 的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”.解题的关键是利用 A, B, A, B 来 表示相关事件.可以借助树状图来分析.如图所示：
B=“第二次摸出球的标号小于3”
B={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}，共6个样本点.
所以AB={(1，2)，(2，1)}．所以 P( A) P(B) 6 1 , P( AB) 2 1 .
12 2
12 6
此时P(AB)≠P(A)P(B)，因此事件A与事件B不独立．
1 P( AB) 1 0.02 0.98．
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙 的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶．
（4）方法3：事件“至少有一人中靶”可以看成“甲中靶”和“乙中靶”这两个 事件的并事件，根据性质6，可得事件“至少有一人中靶”的概率为
解：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”， A “甲脱靶”， B “乙脱靶”
事件的相互独立性课件
【思路启迪】 如果A、B是，所以利用独立事件的概率公 式来解题即可．
【解】 设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件 B，则A、B相互独立，从而A与 B 、 A 与B、 A 与 B 均相互独 立．
(1)“两个都能破译”为事件AB，则 P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112.
要点二 求相互独立事件的概率
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤是 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌 握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同 时发生．
一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中 任取2个球，取出后再放回，求：
(1)一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和 生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}， B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．已知家庭中有三个小孩， 判断A与B的独立性；
(2)判断下列各对事件是否是相互独立事件： 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从 甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1 名男生”与“从乙组中选出1名女生”．
2．熟记部分符号语言含义：如A，B至少有一个发生的 事件记为A∪B；都发生记为AB；恰有一个发生的事件记为 (A B )∪( A B)；至多有一个发生的事件记为(A B )∪( A B)∪( A B )．
甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率 分别为13和14.
求(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能破译的概率．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝CC2325·CC2225＝130·110＝1300. 故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是 红球的概率是1300.
10.2 事件的相互独立性课件ppt
=0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9
=0.092.
变式训练3某机械厂制造一种汽车零件,已知甲机床的正品率是0.96,乙机
床的次品率是0.05,现从它们制造的产品中各任意抽取一件,试求:
(1)两件产品都是正品的概率;
(2)恰有一件是正品的概率;
(3)至少有一件是正品的概率.
(2)求甲、乙、丙三人的租车费用和为10元的概率.
解 (1)由题意可得,甲、乙、丙 30 分钟以上且不超过 40 分钟还车的概率分
1 1 1
别为 , , ,
4 2 4
1 1 1 1 1 1 1
甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率为 P=2 × 4 × 4 + 4 × 4 × 2 + 4 ×
1 1
生,不会受任何事件是否发生的影响,不可能事件⌀总不会发生,也不受任何
事件是否发生的影响.当然,它们也不影响其他事件是否发生.(3)对于n个事
件A1,A2,…,An,如果其中任意一个事件发生的概率不受其他事件是否发生
的影响,则称n个事件A1,A2,…,An相互独立.
微思考
分别抛掷两枚质地均匀的硬币,事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第
单的相关概率计算问题.(数学运算)
4.培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生数学转化与
化归的能力.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇 自主预习
激趣诱思
常言道:“三个臭皮匠顶个诸葛亮.”怎样从数学上来解释呢?将问题具体化:
假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为0.88,三个臭皮匠甲、乙、丙想出
计谋的概率各为0.6,0.5,0.5.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗?
事件的相互独立性 课件
解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为 Ω＝{(男， 男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 它有 4 个基本事件，由等可能性知概率都为14. 这时 A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是 P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12. 由此可知 P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件 A，B 不相互独立．
事件的相互独立性
1．相互独立的概念 设 A，B 为两个事件，若 P(AB)＝ 件 A 与事件 B 相互独立． 2．相互独立的性质
P(A)P(B)么 A 与 B， A 与 B， A 与 B 也都
相互独立．
[注意] 事件 A，B 相互独立的充要条件是 P(AB)＝P(A)·P(B)． (1)充分性：由定义知 P(AB)＝P(A)·P(B)时，事件 A，B 相互独 立． (2)必要性：由 A，B 相互独立得 P(B|A)＝P(B)，所以 P(AB)＝ P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 Ω ＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)， (女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}． 由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为18，这时 A 中含有 6 个基本事件，B 中含有 4 个基本事件，AB 中含有 3 个基本事 件． 于是 P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38， 显然有 P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立． 从而事件 A 与 B 是相互独立的．
(2)“至少 1 个人译出密码”的对立事件为“2 个人都未译出密 码”， 所以至少 1 个人译出密码的概率为： 1－P(－A －B )＝1－P(－A )P(－B )＝1－23×34＝12.
事件的相互独立性-PPT课件
8
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
解（2：）(1其) 中记恰“由甲1射人击击1中次目,击标中的目概标率”为事件A.“乙射 击（31）次至,击少中有目一标人”击为中事目件标B的.且概A率与B相互独立， 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同
A
B
C
.在100件产品中有4件次品.
C42
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为__C_1002
C41·C31 C1001·C991
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C102011
（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An） 6
试一试 判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”,
事件1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”,
事件B表示 “第2球罚中”.
P( A • B) P( A) • P(B)
96 • 97 582 100 100 625
答：抽到合格品的概率是 582
13
625
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)
0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
解（2：）(1其) 中记恰“由甲1射人击击1中次目,击标中的目概标率”为事件A.“乙射 击（31）次至,击少中有目一标人”击为中事目件标B的.且概A率与B相互独立， 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同
A
B
C
.在100件产品中有4件次品.
C42
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为__C_1002
C41·C31 C1001·C991
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C102011
（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An） 6
试一试 判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”,
事件1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”,
事件B表示 “第2球罚中”.
P( A • B) P( A) • P(B)
96 • 97 582 100 100 625
答：抽到合格品的概率是 582
13
625
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)
0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973
课件7：2.2.2 事件的相互独立性
方法归纳 解决此类问题应注意什么？ (1)恰当用事件的“并”“交”表示所求事件． (2)“串联”时系统无故障易求概率，“并联”时系统有故障 易求概率，求解时注意对立事件概率之间的转化．
学以致用 3．在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要 其中 1 个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某 段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算在这段 时间内线路正常工作的概率．
() A．0.56 C．0.75
B．0.48 D．0.6
【解析】都击中目标的概率为 P＝0.8×0.7＝0.56. 【答案】A
3．一件产品要经过 2 道独立的加工程序，第一道工序的
次品率为 a，第二道工序的次品率为 b，则产品的正品率
为( )
A．1－a－b
B．1－ab
C．(1－a)(1－b)
D．1－(1－a)(1－b)
解：如图所示，记这段时间内开关 KA、KB、KC 能够闭合 分别为事件 A、B、C.
由题意知，这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间也 没有影响，根据相互独立事件的概率公式得，这段时间内 3 个开关都不能闭合的概率是 P( A B C )＝P( A )P( B )P( C ) ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.
探究二 相互独立事件同时发生的概率 典例 2 甲、乙两人独立破译密码的概率分别为13、14，求： (1)两个人都译出密码的概率； (2)两个人都译不出密码的概率； (3)恰有一人译出密码的概率； (4)至多一人译出密码的概率； (5)至少一人译出密码的概率．
解：记 A 为“甲独立地译出密码”，B 为“乙独立地译出密码”． 则 A 与 B， A 与 B 均相互独立． (1)两个人都译出密码的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝13×14＝112. (2)两个人都译不出密码的概率为 P( A B )＝P( A )P( B )＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－131－14＝12.
高二数学课件人教新课标：选修2-32.2.2事件的相互独立性
③A={掷出偶数点}；B={掷出3的倍数点}
独立性的判定：
若 P(AB) P(A) P(B)，则A、B独立。 若事件 A1, A2 An 相互独立，则有：
P( A1A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An )
有些事件不必通过计算就能判断独立性：
甲堆抽，乙堆抽；掷5次同一枚硬币；有放回的抽奖……
例： 事件A：从甲袋摸出一个球；事件B：从乙袋摸出一个球。
则A与B相互独立。
独立性的判定：
若 P(AB) P(A) P(B)，则A、B独立。
例2：把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下 列各组事件是否是独立事件？ ①A={掷出偶数点}；B={掷出奇数点} ②A={掷出偶数点}；B={掷出的点数小于4}
事件的相互独立性
复习巩固：
例1：一个口袋内装有3个白球和2个黑球，那么 （1）从口袋内不放回地摸出两个球，则摸出1个白 球和1个黑球的概率是多少？
（2）从口袋内不放回地摸出两个球，则第一次摸出 白球且第二次摸出黑球的概率是多少？
例1：一个口袋内装有3个白球和2个黑球，那么
（1）从口袋内不放回地摸出两个球，则摸出1个白 球和1个黑球的概率是多少？
• 对峙事件：A、B事件不能同时产生且必产生其一：
P(A) P(B) 1
• 相互独立事件：A事件是否产生对B事件无影响：
若A与B相互独立，则 A与B，A与 B ，A 与 B 都相互独立。
互斥事件、对峙事件、相互独立事件
证明：若A与B相ห้องสมุดไป่ตู้独立，则A与 B 相互独立。
P( AB) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( A) P(B) P( A)(1 P(B))
独立性的判定：
若 P(AB) P(A) P(B)，则A、B独立。 若事件 A1, A2 An 相互独立，则有：
P( A1A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An )
有些事件不必通过计算就能判断独立性：
甲堆抽，乙堆抽；掷5次同一枚硬币；有放回的抽奖……
例： 事件A：从甲袋摸出一个球；事件B：从乙袋摸出一个球。
则A与B相互独立。
独立性的判定：
若 P(AB) P(A) P(B)，则A、B独立。
例2：把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下 列各组事件是否是独立事件？ ①A={掷出偶数点}；B={掷出奇数点} ②A={掷出偶数点}；B={掷出的点数小于4}
事件的相互独立性
复习巩固：
例1：一个口袋内装有3个白球和2个黑球，那么 （1）从口袋内不放回地摸出两个球，则摸出1个白 球和1个黑球的概率是多少？
（2）从口袋内不放回地摸出两个球，则第一次摸出 白球且第二次摸出黑球的概率是多少？
例1：一个口袋内装有3个白球和2个黑球，那么
（1）从口袋内不放回地摸出两个球，则摸出1个白 球和1个黑球的概率是多少？
• 对峙事件：A、B事件不能同时产生且必产生其一：
P(A) P(B) 1
• 相互独立事件：A事件是否产生对B事件无影响：
若A与B相互独立，则 A与B，A与 B ，A 与 B 都相互独立。
互斥事件、对峙事件、相互独立事件
证明：若A与B相ห้องสมุดไป่ตู้独立，则A与 B 相互独立。
P( AB) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( A) P(B) P( A)(1 P(B))
事件的相互独立性 课件
相互独立事件同时发生的概率的计算
【例3】 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲 射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)两人都射中的概率； (2)两人中恰有一人射中的概率； (3)两人中至少有一人射中的概率； (4)两人中至多有一人射中的概率． 【解题探究】记“甲射击一次，击中”为事件 A，“乙射 击一次，击中”为事件 B，则 A 与 B 相互独立，进而 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立．
8
判断事件是否独立，可由事件本身的性质看是否相互影 响，从而得出相互独立与否，在不易直接判断各事件间是否相 互影响时，一般都采取计算概率的方法判断，此外，还应把相 互独立事件同互斥事件、对立事件区别开．
互斥事件、对立事件、相互独立事件的辨析
【例2】 从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A＝“抽得老 K”，B＝“抽得红牌”，C＝“抽到J”，判断下列每对事件 是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
(2)从一副牌(52 张)中任取一张，抽到老 K 就不可能抽到 J， 抽到 J 就不可能抽到老 K，故事件 C 与事件 A 不可能同时发生， A 与 C 互斥，因为抽不到老 K 不一定就抽到 J，故 A 与 C 不是 对立事件(A 与 C 不相互独立)．
8
解决相互独立问题关键在于找准并设出相互独立的事件， 若从正面比较难解答，可考虑其对立事件的概率，这样可减少 运算量，提高准确率．
事件相互独立性的判断
【例1】 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩 是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一 个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独 立性：
(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩． 【解题探究】可利用独立事件的意义以及独立事件概率公 式来判定．
高中数学必修二(人教版)《10.2事件的相互独立性》课件
[方法技巧] 事件间的独立性关系 已知两个事件 A，B 相互独立，它们的概率分别为 P(A)，P(B)，则有
事件
表示
概率
A，B 同时发生 A，B 都不发生
AB －A －B
P(A)P(B) P(－A )P(－B )
A，B 恰有一个发生
(A －B )∪(－A B)
P(A)P(－B )＋P(－A )·P(B)
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；
(2)至少有一个气象台预报准确的概率． 解：记“甲气象台预报天气准确”为事件 A，“乙气象台预报天气准确”为事 件 B. (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝45×34＝35. (2)至少有一个气象台预报准确的概率为 P＝1－P(－A －B )＝1－P(－A )P(－B )＝1－15×14＝1290.
(1)两个人都译出密码的概率为 P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112.
(2)两个人都译不出密码的概率为 P(－A －B )＝P(－A )·P(－B )＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－13×1－14＝12. (3)恰有 1 个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出 乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有 1 个人译出密码的概率为 P(A－B ∪－A B)＝P(A－B )＋P(－A B)＝P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)＝13×1－14＋ 1－13×14＝152.
对任意两个事件 A 与 B，如果 P(AB)＝___P_(A__)P__(B__) __成立，则称事件 A 与事 件 B 相互独立，简称为独立． 2．相互独立事件的性质：
当事件 A，B 相互独立时，事件__A_与事件_B__相互独立，事件__A_与事件 _B__相互独立，事件_A__与事件_B__相互独立．
课件3：10.2 事件的相互独立性
1 C.2
D．1
解析：设事件 A 表示“甲通过听力测试”， 事件 B 表示“乙通过听力测试”． 根据题意，知事件 A 和 B 相互独立，且 P(A)＝12，P(B)＝13. 记“有且只有一人通过听力测试”为事件 C， 则 C＝A－B ∪ A B，且 A－B 和 A B 互斥， 故 P(C)＝P(A－B ∪ A B)＝P(A－B )＋P( A B) ＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)＝12×1－13＋1－12×13＝12. 答案：C
4．两个相互独立的事件 A 和 B，若 P(A)＝12，P(B)＝14， 则 P(AB)＝________.
解析：∵A、B 是相互独立事件，P(A)＝12，P(B)＝14 ∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝12×14＝18. 答案：18
【课堂探究】
题型一 相互独立事件的判断[经典例题] 例 1 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设 A＝“抽 到 K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到 J”，那么下列每对 事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？ (1)A 与 B；(2)C 与 A.
解：甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率 分别为 1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为 0 元、2 元、4 元三种情 况．租车费都为 0 元的概率为 p1＝14×12＝18，租车费都为 2 元 的概率为 p2＝12×14＝18，租车费都为 4 元的概率为 p3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为 p＝p1＋p2＋p3＝156.
(3)“2 人至少有 1 人射中”包括“2 人都中”和“2 人有 1 人射中”2 种
情况，其概率为 P＝P(AB)十[P(A－B )＋P( A B)]＝0.72＋0.26＝0.98.
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事件的独立性
1．定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝P(A)P(B) ， 则称事件 A 与事件 B 相互独立．
2．如果 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ，A 与 B，A 与 B 也 都相互独立．
3．如果 A 与 B 相互独立，那么 P(B|A)＝P(B) ，P(A|B)＝ P(A)．
由于 A、B、C 面试是否合格互不影响，故为相互独立事件．
[解析] 用 A、B、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由
题意知 A、B、C 相互独立，
且 P(A)＝P(B)＝P(C)＝12.
(1)至少有 1 人面试合格的概率是
1－P(
—
A
—
B
C—)＝1－P( A )P( B )P( C )＝1－(12)3＝78.
[点评] 相互独立事件的特点是：其中一个事件的发生与 否对另一个事件发生的概率没有影响．
下面所给出的两个事件 A 与 B 相互独立吗？ ①抛掷一枚骰子，事件 A＝“出现 1 点”，事件 B＝“出 现 2 点”； ②先后抛掷两枚均匀硬币，事件 A＝“第一枚出现正面”， 事件 B＝“第二枚出现反面”； ③在含有 2 红 1 绿三个大小相同的小球的口袋中，任取一 个小球，观察颜色后放回袋中，事件 A＝“第一次取到绿球”， B＝“第二次取到绿球”．
[分析] 解本题的关键是正确地理解题意，两个事件 A，B， 只有 A 发生，即 A 发生且 B 不发生，即 A－B 发生．
[解析] 只有 A 发生，即 A B 发生；只有 B 发生，即 A B
发生．因为 A，B 相互独立，所以 A 与 B，B 与 A 也相互独立．所
以 P(A B )＝P(A)P( B )＝P(A)[1－P(B)]＝14，P( A B)＝P( A )P(B) ＝P(B)[1－P(A)]＝14，
—
B
—
C)
＝P(A)P( B )P(C)＋P(A)P(B)P( C )＋P(A)P( B )P( C )
＝(12)3＋(12)3＋(12)3＝38.
P(ξ＝2)＝P( A BC)＝P( A )P(B)P(C)＝18.
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝18.
所以，ξ 的分布列是
ξ0 1 2 3
[解析] ①事件 A 与 B 是互斥事件，故 A 与 B 不是相互独 立事件．
②第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反面没有影 响，∴A 与 B 相互独立．
③由于每次取球观察颜色后放回，故事件 A 的发生对事件 B 发生的概率没有影响，∴A 与 B 相互独立.
求相互独立事件的概率
设事件 A 与 B 相互独立，两个事件中只有 A 发 生的概率与只有 B 发生的概率都是14，求 P(A)，P(B)．
(2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝P(
—
AB
C—)＋P(
—
A
B—C)＋P(
—
A
—
B
—
C)
＝P( A )P(B)P( C )＋P( A )P( B )P(C)＋P( A )P( B )P( C )
＝(12)3＋(12)3＋(12)3＝38.
P(ξ＝1)＝P(A
B
C)＋P(AB
C
)＋P(A
若事件 E 与 F 相互独立，且 P(E)＝P(F)＝14，则 P(EF)的
值等于( )
A．0
B. 1
16
C.14
D.12
[答案] B
[解析] ∵E 与 F 相互独立，P(E)＝P(F)＝14， ∴P(EF)＝P(E)·P(F)＝116.
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试， 面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙 则约定：两人面试都合格就一同签约．否则两人都不签约．设 每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响，求：
即PPAB－ －PPAAPPBB＝ ＝1414，.
解得PPAB＝ ＝1212.，
[点评] (1)求相互独立事件的概率一般采用以下解题步 骤：①判定各事件是否相互独立；②先求每个事件发生的概率， 再求相互独立事件同时发生的概率．
(2)在解此类题时，要明确事件中的“至少有一个发生”、 “至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都 不发生”、“不都发生”等词语的含义，以免混淆．
P
3 8
3 8
1 8
1 8
[点评] 本题主要考查了相互独立事件、互斥事件等概率 的计算，以及离散型随机变量的分布列，解题的关键是能正确 领会、把握事件间的关系．解答本题时易错点是(2)中 ξ＝0、1 时的三种情况考虑不全或计算错误．
(1)至少有 1 人面试合格的概率； (2)签约人数 ξ 的分布列．
[分析] (1)“至少有一人面试合格”的对立事件是“三人 面试都不合格”，故可用对立事件概率公式计算．(2)随机变量 ξ 的含义是签约人数，因此 ξ 可能的取值为 0,1,2,3，其中 ξ＝0 的含义是甲面试不合格，乙丙中恰有一人合格或两人都不合 格；ξ＝1 的含义是 B 与 C 至少有一个不合格且 A 合格，ξ＝2 的含义是 B 与 C 都面试合格且 A 不合格．
[分析] 解答本题可先看两个事件中其中一个事件发生与 否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两事件是否相 互独立．
[解析] (1)“从甲组选出 1 名男生”这一事件是否发生， 对“从乙组选出 1 名女生”这一事件发生的概率没有影响，所 以它们是相互独立事件．
(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为 58，若这一事件发生了，则“从剩下பைடு நூலகம் 7 个球中任意取出 1 个， 取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一 事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件 发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
4．互斥事件是不可能 同时发生 的两个事件，而相互 独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率 没有影响 ，二者不能混淆．
相互独立事件的判断
判断下列各对事件是否是相互独立事件： (1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生、3 名女生，今 从甲、乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”； (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球 中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意 取出 1 个，取出的还是白球”．
1．定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝P(A)P(B) ， 则称事件 A 与事件 B 相互独立．
2．如果 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ，A 与 B，A 与 B 也 都相互独立．
3．如果 A 与 B 相互独立，那么 P(B|A)＝P(B) ，P(A|B)＝ P(A)．
由于 A、B、C 面试是否合格互不影响，故为相互独立事件．
[解析] 用 A、B、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由
题意知 A、B、C 相互独立，
且 P(A)＝P(B)＝P(C)＝12.
(1)至少有 1 人面试合格的概率是
1－P(
—
A
—
B
C—)＝1－P( A )P( B )P( C )＝1－(12)3＝78.
[点评] 相互独立事件的特点是：其中一个事件的发生与 否对另一个事件发生的概率没有影响．
下面所给出的两个事件 A 与 B 相互独立吗？ ①抛掷一枚骰子，事件 A＝“出现 1 点”，事件 B＝“出 现 2 点”； ②先后抛掷两枚均匀硬币，事件 A＝“第一枚出现正面”， 事件 B＝“第二枚出现反面”； ③在含有 2 红 1 绿三个大小相同的小球的口袋中，任取一 个小球，观察颜色后放回袋中，事件 A＝“第一次取到绿球”， B＝“第二次取到绿球”．
[分析] 解本题的关键是正确地理解题意，两个事件 A，B， 只有 A 发生，即 A 发生且 B 不发生，即 A－B 发生．
[解析] 只有 A 发生，即 A B 发生；只有 B 发生，即 A B
发生．因为 A，B 相互独立，所以 A 与 B，B 与 A 也相互独立．所
以 P(A B )＝P(A)P( B )＝P(A)[1－P(B)]＝14，P( A B)＝P( A )P(B) ＝P(B)[1－P(A)]＝14，
—
B
—
C)
＝P(A)P( B )P(C)＋P(A)P(B)P( C )＋P(A)P( B )P( C )
＝(12)3＋(12)3＋(12)3＝38.
P(ξ＝2)＝P( A BC)＝P( A )P(B)P(C)＝18.
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝18.
所以，ξ 的分布列是
ξ0 1 2 3
[解析] ①事件 A 与 B 是互斥事件，故 A 与 B 不是相互独 立事件．
②第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反面没有影 响，∴A 与 B 相互独立．
③由于每次取球观察颜色后放回，故事件 A 的发生对事件 B 发生的概率没有影响，∴A 与 B 相互独立.
求相互独立事件的概率
设事件 A 与 B 相互独立，两个事件中只有 A 发 生的概率与只有 B 发生的概率都是14，求 P(A)，P(B)．
(2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝P(
—
AB
C—)＋P(
—
A
B—C)＋P(
—
A
—
B
—
C)
＝P( A )P(B)P( C )＋P( A )P( B )P(C)＋P( A )P( B )P( C )
＝(12)3＋(12)3＋(12)3＝38.
P(ξ＝1)＝P(A
B
C)＋P(AB
C
)＋P(A
若事件 E 与 F 相互独立，且 P(E)＝P(F)＝14，则 P(EF)的
值等于( )
A．0
B. 1
16
C.14
D.12
[答案] B
[解析] ∵E 与 F 相互独立，P(E)＝P(F)＝14， ∴P(EF)＝P(E)·P(F)＝116.
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试， 面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙 则约定：两人面试都合格就一同签约．否则两人都不签约．设 每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响，求：
即PPAB－ －PPAAPPBB＝ ＝1414，.
解得PPAB＝ ＝1212.，
[点评] (1)求相互独立事件的概率一般采用以下解题步 骤：①判定各事件是否相互独立；②先求每个事件发生的概率， 再求相互独立事件同时发生的概率．
(2)在解此类题时，要明确事件中的“至少有一个发生”、 “至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都 不发生”、“不都发生”等词语的含义，以免混淆．
P
3 8
3 8
1 8
1 8
[点评] 本题主要考查了相互独立事件、互斥事件等概率 的计算，以及离散型随机变量的分布列，解题的关键是能正确 领会、把握事件间的关系．解答本题时易错点是(2)中 ξ＝0、1 时的三种情况考虑不全或计算错误．
(1)至少有 1 人面试合格的概率； (2)签约人数 ξ 的分布列．
[分析] (1)“至少有一人面试合格”的对立事件是“三人 面试都不合格”，故可用对立事件概率公式计算．(2)随机变量 ξ 的含义是签约人数，因此 ξ 可能的取值为 0,1,2,3，其中 ξ＝0 的含义是甲面试不合格，乙丙中恰有一人合格或两人都不合 格；ξ＝1 的含义是 B 与 C 至少有一个不合格且 A 合格，ξ＝2 的含义是 B 与 C 都面试合格且 A 不合格．
[分析] 解答本题可先看两个事件中其中一个事件发生与 否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两事件是否相 互独立．
[解析] (1)“从甲组选出 1 名男生”这一事件是否发生， 对“从乙组选出 1 名女生”这一事件发生的概率没有影响，所 以它们是相互独立事件．
(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为 58，若这一事件发生了，则“从剩下பைடு நூலகம் 7 个球中任意取出 1 个， 取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一 事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件 发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
4．互斥事件是不可能 同时发生 的两个事件，而相互 独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率 没有影响 ，二者不能混淆．
相互独立事件的判断
判断下列各对事件是否是相互独立事件： (1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生、3 名女生，今 从甲、乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”； (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球 中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意 取出 1 个，取出的还是白球”．