相交线平行线及三角形

平行线与相交线

知识要点

一．余角、补角、对顶角

1，余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角.

2，补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角.

3，对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.

4，互为余角的有关性质：

①∠1＋∠2＝90°，则∠1、∠2互余；反过来，若∠1，∠2互余，则∠1+∠2

＝90°；

②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，则∠2＝∠

3.

5，互为补角的有关性质：

①若∠A+∠B＝180°，则∠A、∠B互补；反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B ＝180°.

②同角或等角的补角相等.如果∠A+∠C＝180°，∠A+∠B＝180°，则∠B＝∠C. 6，对顶角的性质：对顶角相等.

二．同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质

7，同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行.

8，“三线八角”的识别：

三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角.

正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；

内错角要抓住“内部，两旁”；

同旁内角要抓住“内部、同旁”.

三．平行线的性质与判定

9，平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线.

10，平行线的性质：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.

11，过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.

12，两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.

13，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.

14，平行线的判定：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；

如果内错角相等．那么这两条直线平行；

如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角. 15，常见的几种两条直线平行的结论：

（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；

（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行.

四．尺规作图

16，只用没有刻度的直尺和圆规的作图的方法称为尺规作图.用尺规可以作一条线段等于已

知线段，也可以作一个角等于已知角.利用这两种两种基本作图可以作出两条线段的和或差，也可以作出两个角的和或差.

考点例析：

题型一 互余与互补

例1（内江市）一个角的余角比它的补角的1

2少20°.则这个角为（ ）

A.30°

B.40°

C.60°

D.75°

分析 若设这个角为x ，则这个角的余角是90°－x ，补角是180°－x ，于是构造出方程即可求解.

解 设这个角为x ，则这个角的余角是90°－x ，补角是180°－x . 则根据题意，得1

2(180°－x )－(90°－x )＝20°.解得：x ＝40°.故应选B .

说明 处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下不要引进未知数，构造方程求解.

题型二 平行线的性质与判定

例2（盐城市）已知：如图1，l 1∥l 2，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）

A.135°

B.130°

C.50°

D.40°

分析 要求∠2的度数，由l 1∥l 2可知∠1+∠2＝180°，于是由∠1＝50°，即可求解. 解 因为l 1∥l 2，所以∠1+∠2＝180°，

又因为∠1＝50°，所以∠2＝180°－∠1＝180°－50°＝130°.故应选B .

说明 本题是运用两条直线平行，同旁内角互补求解.

例3（重庆市）如图2，已知直线l 1∥l 2，∠1＝40°，那么∠2＝ 度.

分析 如图2，要求∠2的大小，只要能求出∠3，此时由直线l 1∥l 2，得∠3＝∠1即可求解. 解 因为l 1∥l 2，∠1＝40°，所以∠1＝∠3＝40°.

又因为∠2＝∠3，所以∠2＝40°.故应填上40°.

说明 本题在求解过程中运用了两条直线平行，同位角相等求解.

例4（烟台市）如图3，已知AB ∥CD ，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等于（ ）

A.60°

B.50°

C.40°

D.30°

分析 要求∠3的大小，为了能充分运用已知条件，可以过∠2的顶点作EF ∥AB ，由有∠1＝∠AEF ，∠3＝∠CEF ，再由∠1＝30°，∠2＝90°求解.

解 如图3，过∠2的顶点作EF ∥AB .所以∠1＝∠AEF ，

图

2 图 1 E

又因为AB ∥CD ，所以EF ∥CD ，所以∠3＝∠CEF ，

而∠1＝30°，∠2＝90°，所以∠3＝90°－30°＝60°.故应选A .

说明 本题在求解时连续两次运用了两条直线平行，内错角相等求解.

例5（南通市）如图4，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于E ，F 两点，∠BEF 的平分线交CD 于点G ，若∠EFG ＝72°，则∠EGF 等于（ ）

A.36°

B.54°

C.72°

D.108°

分析 要求∠EGF 的大小，由于AB ∥CD ，则有∠BEF +∠EFG ＝180°，∠EGF ＝∠BEG ，而EG 平分∠BEF ，∠EFG ＝72°，所以可以求得∠EGF ＝54°.

解 因为AB ∥CD ，所以∠BEF +∠EFG ＝180°，∠EGF ＝∠BEG ，

又因为EG 平分∠BEF ，∠EFG ＝72°，所以∠BEG ＝∠FEG ＝54°.故应选B .

说明 求解有关平行线中的角度问题，只要能熟练掌握平行线的有关知识，灵活运用对顶角、角平分线等知识就能简洁获解.

题型三 尺规作图

例6（杭州市）已知角α和线段c 如图5所示，求作等腰三角形ABC ，使其底角∠B ＝α，腰长AB ＝c ，要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹.

分析 要作等腰三角形ABC ，使其底角∠B ＝α，腰长AB ＝c ，可以先作出底角∠B ＝α，再在底角的一边截取BA ＝c ，然后以点A 为圆心，线段c 为半径作弧交BP 于点C ，即得.

作法（1）作射线BP ，再作∠PBQ ＝∠α；

（2）在射线BQ 上截取BA ＝c ；

（3）以点A 为圆心，线段c 为半径作弧交BP 于点C ；

（4）连接AC .则△ABC 为所求.如图6.

例7（长沙市）如图7，已知∠AOB 和射线O ′B ′，用尺规作图法作∠A ′O ′B ′＝∠AOB （要

求保留作图痕迹）.

分析 只要再过点O ′作一条射线O ′A ′，使得∠A ′O ′B ′＝∠AOB 即可.

图4

B

D G

F C A E A O B B ′ O ′ 图7 A ′ D ′ C ′

D C 图5 c α A

图6 c α c B C P