您的位置：360文档中心› 中考数学平行线与三角形测试

中考数学平行线与三角形测试

合集下载

2012年中考数学精选------相交线 平行线 三角形

2012年中考数学精选------相交线 平行线 三角形

2012年中考数学精选------相交线 平行线 三角形（最后的巩固练习）1. 分别在下图的直线l 上找一点M,使MA+MB 最小;再分别在下图的直线l 上找一点M, 使MB MA 最小2.当下面这个图案被折起来组成一个正方体，数字_____会在与数字2所在的平面相对的平面上。

3. 用一个平面去截一个正方体，截面不可能是 A.梯形 B.五边形 C.六边形 D.圆4. 如图，在圆锥底面圆周B 点有一只蚂蚁，要从圆锥体侧面爬一圈后，再回到B 点，请你结合圆锥的展开图设计一条最短路径。

5.将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现在有一个长为4厘米，宽为3厘米的长方形，分别绕它的长、宽所在的直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的体积分别是多大 .6.已知a,b,c 是△ABC 的三条边，a=6,b=8,求边c 的取值范围 。

7.如果△ABC 的两边a=2,b=9，且它的周长为偶数，求c 边的长。

8. 时钟指向3时30分时，这时时针与分针所成的锐角是 .9. 如图④，AB ∥CD ，∠BAE = 120º，∠DCE = 30º，则∠AEC = 度.10.把一张长方形纸条按图⑤中，那样折叠后，若得到∠AOB ′= 70º，则∠B ′OG = .11.如图⑥中∠DAB 和∠B 是直线DE 和BC 被直线 所截而成的，称它们为 角.12.如图⑦，正方形ABCD 边长为8，M 在DC 上，且DM = 2，N 是AC 上一动点，则DN + MN 的最小值为 .如图已知在△ABC 中，BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，BE 和CF 相交于点O ，若∠A ＝70°，求∠BOC 的度数。

B E FC O13.14. 如图，ABCD是一块釉面砖，居室装修时需要一块梯形APCD的釉面砖，且使∠APC＝120º.请在长方形AB边上找一点P，使∠APC＝120º.然后把多余部分割下来，试着叙述怎样选取P点及其选取P点的理由.15.如图已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E = 140º，求∠BFD的度数.16.有五根长度分别为3cm，6cm，8cm，10cm，13cm的木棒，欲从中任选取三根木棒钉成一个三角形木架，试问共有多少种可能情况？请说明理由。

中考数学专题复习全等三角形之辅助线做平行线

中考数学专题复习全等三角形之辅助线做平行线

中考数学专题复习全等三角形（辅助线做平行线）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝P A，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．1B．1.8C．2D．2.52．如图，⊥ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝P A，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．0.5B．0.9C．1D．1.25评卷人得分二、填空题3．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD＝CD，点P 是⊥OCD角平分线的交点，点M是AB的中点，给出下列结论：⊥⊥CPD＝135°；⊥BA＝BP；⊥⊥P AC⊥⊥PDB；⊥S△ABP＝S△DCP；⊥PM＝12CD．其中正确的是___．（填序号）评卷人得分三、解答题4．如图，⊥ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，⊥CEF＝⊥A，连接DF．（1）在图1中找出与⊥ACE相等的角，并证明；（2）求证：⊥BDF＝⊥EFC；（3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求DG DF的值（用含k的代数式表示）．5．如图所示：ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD CE=，连接DE交BC于点M．求让：MD ME=6．P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）证明：PD＝DQ．（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．7．P为等边⊥ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC 边于D．（1）证明：PD＝DQ．（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．8．如图，点P为等边⊥ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，(1)求证：DP=DQ；(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．9．已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．10．读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且⊥BAE=⊥CDE,求证:AB=CD分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．图(1):延长DE到F使得EF=DE图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F图(3):过C点作CF⊥AB交DE的延长线于F.参考答案：1．C【解析】【分析】过P作BC的平行线交AC于F，通过AAS证明PFD⊥QCD，得FD CD=，再由APF 是等边三角形，即可得出12DE AC=．【详解】解：过P作BC的平行线交AC于F，Q FPD∴∠=∠，ABC是等边三角形，60APF B∴∠=∠=︒，60AFP ACB∠=∠=︒，APF∴△是等边三角形，AP PF∴=，⊥CQ＝P A，⊥PF CQ=在PFD中和QCD中，FPD QPDF QDCPF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PFD∴⊥()QCD AAS，FD CD∴=，PE AC⊥于E，APF是等边三角形，AE EF∴=，=AE DC EF FD ED∴+=+，12DE AC∴=，4AC=，2DE∴=，故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．C【解析】【分析】过P作BC的平行线交AC于F，通过AAS证明PFD≌QCD，得FD CD=，再由APF 是等边三角形，即可得出12DE AC=．【详解】解：过P作BC的平行线交AC于F，Q FPD∴∠=∠，ABC是等边三角形，60APF B∴∠=∠=︒，60AFP ACB∠=∠=︒，APF∴是等边三角形，AP PF∴=，在PFD中和QCD中，FPD QPDF QDCPF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PFD∴≌()QCD AAS，FD CD∴=，PE AC⊥于E，APF是等边三角形，AE EF ∴=，AE DC EF FD ∴+=+，12DE AC ∴=， 2AC =， 1DE ∴=，故选：C ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．⊥⊥⊥⊥ 【解析】 【分析】由角平分线的定义，可得⊥CDP +⊥DCP =12⊥CDO +12⊥DCO =45°，进而即可判断⊥；先证ACP DCP ≌，可得APD △是等腰直角三角形，进而得PAC PDB ≌，即可判断⊥；过点A 作AN ⊥BP 交PM 的延长线于点N ，可得AMN BMP ≌，再证明APN PDC ≌，从而得PM ＝12CD ，即可判断⊥；由ABP APM BMP APM AMN APN S S S S S S +=+==，即可判断⊥． 【详解】解：⊥AC ⊥BD ，点P 是⊥OCD 角平分线的交点，⊥⊥DOC =90°，⊥ODC +⊥OCD =90°，⊥CDP =12⊥CDO ，⊥DCP =12⊥DCO ， ⊥⊥CDP +⊥DCP =12⊥CDO +12⊥DCO =45°，⊥⊥CPD ＝180°-（⊥CDP +⊥DCP ）=135°，故⊥正确； ⊥CP ，DP 分别平分⊥DCO ，⊥CDO ， ⊥⊥DCP =⊥ACP ，⊥CDP =⊥BDP ， ⊥AC ＝CD ，PC =PC ， ⊥ACP DCP ≌，⊥AP =DP ，⊥CAP =⊥CDP =⊥BDP ，⊥APC =⊥DPC =135°， ⊥⊥DP A =360°-135°-135°=90°，⊥APD △是等腰直角三角形， 又⊥AC =BD ，⊥CAP =⊥BDP，AP =DP ， ⊥PAC PDB ≌，故⊥正确； ⊥⊥DPB =⊥APC=135°，PB =PC ， ⊥⊥BPC =360°-135°-135°=90°，⊥BPC △是等腰直角三角形，找不到证明BA =BP 的条件，故⊥错误； 过点A 作AN ⊥BP 交PM 的延长线于点N ，⊥⊥N =⊥BPM ，⊥P AN +⊥APB =180°， ⊥点M 是AB 的中点，即AM =BM ， 又⊥⊥AMN =⊥BMP ， ⊥AMN BMP ≌，⊥MN =PM =12PN ，AN =PB =PC ，AMNBMPSS=，⊥⊥DP A =⊥BPC =90°， ⊥⊥APB +⊥DPC =180°， 又⊥⊥P AN +⊥APB =180°， ⊥⊥P AN =⊥DPC ， 又⊥AP =DP ，AN =PC ， ⊥APN PDC ≌，⊥CD =PN =2PM ，即：PM ＝12CD ，故⊥正确； ⊥APNPDCSS=，AMNBMPSS=，⊥ABPAPMBMPAPMAMNAPNS SSSSS+=+==，⊥ABPDCPSS=，故⊥正确．故正确的是⊥⊥⊥⊥． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握中线倍长模型和旋转全等模型，是解题的关键． 4．（1）⊥DEF ＝⊥ACE ，证明见解析；（2）见解析；（3）k 【解析】 【分析】（1）由三角形外角的性质可得出答案；（2）连接CD ，过点E 作AC 的平行线与CD 交于点M ，证明⊥DEF ⊥⊥MEC （SAS ），由全等三角形的性质可得出⊥EDF ＝⊥EMC ，证出⊥EMD ＝⊥EFC ，则可得出结论；（3）连接CD ，过点E 作AC 的平行线与CD 交于点M ，证明⊥EFG ⊥⊥ECD （ASA ），由全等三角形的性质可得出GF ＝DC ，证出GD ＝DM ，则根据平行线分线段成比例即可得出答案． 【详解】解：（1）⊥DEF ＝⊥ACE ． 证明：⊥⊥DEC 是⊥ACE 的外角， ⊥⊥DEC ＝⊥A +⊥ACE ， ⊥⊥DEC ＝⊥DEF +⊥CEF ， ⊥⊥DEC +⊥CEF ＝⊥A +⊥ACE ， ⊥⊥CEF ＝⊥A ， ⊥⊥DEF ＝⊥ACE ；（2）证明：连接CD ，过点E作AC 的平行线与CD 交于点M ，⊥AD ＝AC ，⊥⊥ADC＝⊥ACD，⊥EM⊥AC，⊥⊥EMD＝⊥ACD，⊥CEM＝⊥ACE，⊥⊥EDM＝⊥EMD，⊥DEF＝⊥CEM，⊥ED＝EM，又⊥EF＝EC，⊥⊥DEF⊥⊥MEC（SAS），⊥⊥EDF＝⊥EMC，⊥⊥BDF+⊥EDF＝⊥EMD+⊥EMC＝180°，⊥⊥BDF＝⊥EMC，⊥EM⊥AC，⊥⊥DEM＝⊥A，⊥⊥A＝⊥CEF，⊥⊥DEM＝⊥CEF，⊥⊥DEM中，⊥EMD＝1802DEM︒-∠，⊥FEC中，⊥EFC＝1802CEF︒-∠，⊥⊥EMD＝⊥EFC，⊥⊥BDF＝⊥EFC；（3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，⊥EG＝AG，⊥⊥GAE＝⊥GEA，⊥⊥DAC+⊥GAE＝⊥GEA+⊥GED＝180°，⊥⊥DAC＝⊥GED，⊥⊥CEF＝⊥DAC，⊥⊥DEG＝⊥CEF，⊥⊥DEG+⊥DEF＝⊥CEF+⊥DEF，即⊥GEF＝⊥DEC，⊥⊥DEF⊥⊥MEC，⊥⊥EFG＝⊥ECD，DF＝MC，又⊥EF＝EC，⊥⊥EFG⊥⊥ECD（ASA），⊥GF＝DC，⊥DC﹣MC＝GF﹣DF，即GD＝DM，⊥EM⊥AC，⊥DM DEk MC AE==，⊥GD DMk DF MC==．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．5．见详解【解析】【分析】过点D作DE⊥AC，交BC于点E，根据等边三角形和平行线的性质得⊥MDE=⊥MEC，DE=CE，从而证明∆EMD≅∆CME，进而即可得到结论．【详解】过点D作DE⊥AC，交BC于点E，⊥ABC是等边三角形，⊥⊥B=⊥ACB=60°，⊥DE⊥AC，⊥⊥DEB=⊥ACB=60°，⊥MDE=⊥MEC，⊥BDE是等边三角形，⊥BD=DE，⊥DE=CE，又⊥⊥EMD=⊥CME，⊥∆EMD≅∆CME，⊥MDME =．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．6．（1）证明见解析；（2）DE＝3．【解析】【分析】（1）过点P作PF⊥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF⊥⊥QDC，得出对应边相等即可；（2）过P作PF⊥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD⊥⊥QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DE12=AC，即可得出结果．【详解】（1）如图1所示，点P作PF⊥BC交AC于点F．⊥⊥ABC是等边三角形，⊥⊥APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．⊥PF⊥BC，⊥⊥PFD=⊥DCQ．在△PDF和△QDC中，PDF QDCDFP QCDPF QC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥PDF⊥⊥QDC（AAS），（2）如图2所示，过P作PF⊥BC交AC于F．⊥PF⊥BC，△ABC是等边三角形，⊥⊥PFD=⊥QCD，△APF是等边三角形，⊥AP=PF=AF．⊥PE⊥AC，⊥AE=EF．⊥AP=PF，AP=CQ，⊥PF=CQ．在△PFD和△QCD中，PDF QDCDFP QCDPF QC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥PFD⊥⊥QCD（AAS），⊥FD=CD．⊥AE=EF，⊥EF+FD=AE+CD，⊥AE+CD=DE12=AC．⊥AC=6，⊥DE=3．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质．7．（1）证明见解析；（2）DE＝3．【解析】【分析】（1）过点P作PF⊥BC交AC于点F；证出⊥APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明⊥PDF⊥⊥QDC，得出对应边相等即可；（2）过P作PF⊥BC交AC于F．同（1）由AAS证明⊥PFD⊥⊥QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DE12=AC，即可得出结果．【详解】（1）如图1所示，点P作PF⊥BC交AC于点F．⊥⊥ABC是等边三角形，⊥⊥APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．⊥PF⊥BC，⊥⊥PFD=⊥DCQ．在⊥PDF和⊥QDC中，PDF QDCDFP QCDPF QC∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，⊥⊥PDF⊥⊥QDC（AAS），⊥PD=DQ；（2）如图2所示，过P作PF⊥BC交AC于F．⊥PF⊥BC，⊥ABC是等边三角形，⊥⊥PFD=⊥QCD，⊥APF是等边三角形，⊥AP=PF=AF．⊥PE⊥AC，⊥AE=EF．⊥AP=PF，AP=CQ，⊥PF=CQ．在⊥PFD和⊥QCD中，PDF QDCDFP QCDPF QC∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，⊥⊥PFD⊥⊥QCD（AAS），⊥FD=CD．⊥AE=EF，⊥EF+FD=AE+CD，⊥AE+CD=DE12=AC．⊥AC=6，⊥DE=3．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．8．(1)详见解析(2)ED＝2【解析】【分析】（1）过P作PF⊥BQ，可得△APF为等边三角形，所以AP＝PF，再证△DCQ⊥⊥DFP，即可得PD＝DQ；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝EF，根据全等三角形对应边相等可得FD ＝CD，然后求出2DE=AC，代入数据进行计算即可得解．(1)证明：如图，过点P作PF⊥BC，则⊥DPF=⊥Q，⊥⊥ABC为等边三角形，⊥⊥APF是等边三角形，⊥AP=PF，又⊥AP=CQ，⊥PF=CQ，在△DPF和△DQC中，DPF QPDF QDC PF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DPF⊥⊥DQC（AAS），⊥DP=DQ；(2)⊥⊥P AF为等边三角形，PE⊥AC，可得AE＝EF，由（1）知，⊥DPF⊥⊥DQC⊥FD＝CD，⊥AC＝AE＋EF＋FD＋CD，⊥AC＝2EF＋2FD＝2（EF＋FD）＝2ED，⊥AC＝BC＝4，⊥2ED＝4，⊥ED＝2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．9．(1)DM=EM．理由见详解；(2)成立，理由见详解；(3)MD=12ME．【解析】【分析】（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM⊥⊥EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；（2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM⊥⊥EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；（3）MD=12ME．过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到△DBM⊥⊥EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论；(1)解：DM=EM；证明：过点E作EF//AB交BC于点F，⊥AB=AC，⊥⊥ABC=⊥C；又⊥EF//AB，⊥⊥ABC=⊥EFC，⊥⊥EFC=⊥C，⊥EF=EC．又⊥BD=EC，⊥EF=BD．又⊥EF//AB，⊥⊥ADM=⊥MEF．在△DBM和△EFM中BDM FEMBMD FMEBD EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DBM⊥⊥EFM，⊥DM=EM．(2)解：成立；证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，⊥AB=AC，⊥⊥ABC=⊥C；又⊥EF//AB，⊥⊥ABC=⊥EFC，⊥⊥EFC=⊥C，⊥EF=EC．又⊥BD=EC，⊥EF=BD．又⊥EF//AB，⊥⊥ADM=⊥MEF．在△DBM和△EFM中BDE FEM BMD FME BD EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊥⊥DBM ⊥⊥EFM ；⊥DM =EM ；(3)解：过点E 作EF //AB 交CB 的延长线于点F ，⊥⊥DBM =⊥EFM ，⊥DMB =⊥EMF⊥⊥DBM ⊥⊥EFM ，⊥BD ：EF =DM ：ME ，⊥AB =AC ，⊥⊥ABC =⊥C ，⊥⊥F =⊥ABC ，⊥⊥F =⊥C ，⊥EF =EC ，⊥BD ：EC =DM ：ME =1：2，⊥MD =12ME ． 【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，利用平行构造全等三角形是解题关键．10．选择（1）（3）证明，证明见解析【解析】【分析】如图(1)延长DE 到F 使得EF=DE,证明△DCE⊥⊥FBE,得到⊥CDE=⊥F,BF=DC,结合题干条件即可得到结论;如图3,过C 点作CF⊥AB 交DE 的延长线于F,得到△ABE⊥⊥FCE,AB=FC,结合题干条件即可得到结论,【详解】如图(1)延长DE 到F 使得EF=DE在△DCE 和△FBE 中,EF DE DEC FEB BE EC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩⊥△DCE⊥⊥ FBE （SAS)⊥⊥CDE=⊥F,BF=DC⊥⊥BAE=⊥CDE⊥BF=AB⊥AB= CD如图3,过C 点作CF⊥AB 交DE 的延长线于F在△ABE 和△FCE 中B ECF BE ECBAE F ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩⊥△ABE⊥⊥ FCE(AAS),⊥AB=FC⊥⊥BAE=⊥CDE⊥⊥F=⊥CDE⊥CD=CF⊥AB=CD【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，解题关键在于利用三角形全等的性质证明。

2022年中考数学真题-专题11 平行线与三角形(1)(全国通用解析版)

2022年中考数学真题-专题11 平行线与三角形(1)(全国通用解析版)

专题11 平行线与三角形一．选择题（2022·湖北宜昌·中考真题）1. 如图，在ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若7AB =，12AC =，6BC =，则ABD △的周长为（ ）A. 25B. 22C. 19D. 18【答案】C【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可得BD ＝CD ，由△ABD 的周长＝AB ＋AD ＋BD ＝AB ＋AD ＋CD ＝AB ＋AC 得到答案．【详解】解：由作图的过程可知，DE 是BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD ，∵7AB =，12AC =，∴ △ABD 的周长＝AB ＋AD ＋BD＝AB ＋AD ＋CD＝AB ＋AC＝19．故选：C【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．（2022·浙江台州·中考真题）2. 如图，点D 在ABC 的边BC 上，点P 在射线AD 上（不与点A ，D 重合），连接PB ，PC ．下列命题中，假命题是（ ）A. 若AB AC =，AD BC ⊥，则PB PC =B. 若PB PC =，AD BC ⊥，则AB AC =C. 若AB AC =，12∠=∠，则PB PC =D. 若PB PC =，12∠=∠，则AB AC =【答案】D【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD 是否是BC 的垂直平分线，判断即可．【详解】因为AB=AC ，且AD ⊥BC ，得AP 是BC 的垂直平分线，所以PB=PC ，则A 是真命题；因为PB=PC ，且AD ⊥BC ，得AP 是BC 的垂直平分线，所以AB=AC ，则B 是真命题；因为AB=AC ，且∠1=∠2，得AP 是BC 的垂直平分线，所以PB=PC ，则C 是真命题；因为PB=PC ，△BCP 是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP 是BC 的垂直平分线，所以AB 和AC 不一定相等，则D 是假命题．故选：D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键． （2022·江苏宿迁·中考真题）3. 若等腰三角形的两边长分别是3cm 和5cm ，则这个等腰三角形的周长是（ ）A. 8cmB. 13cmC. 8cm 或13cmD. 11cm 或13cm 【答案】D【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．（2022·浙江杭州·中考真题）4. 如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A. 线段CD是ABC的AC边上的高线B. 线段CD是ABC的AB边上的高线C. 线段AD是ABC的BC边上的高线D. 线段AD是ABC的AC边上的高线【答案】B【解析】【分析】根据高线的定义注意判断即可．【详解】∵线段CD是ABC的AB边上的高线，∴A错误，不符合题意；∵线段CD是ABC的AB边上的高线，∴B正确，符合题意；∵线段AD是ACD的CD边上的高线，∴C错误，不符合题意；∵线段AD是ACD的CD边上的高线，∴D错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．（2022·湖南邵阳·中考真题）5. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A. 1cm，2cm，3cmB. 3cm，4cm，5cmC. 4cm，5cm，10cmD. 6cm，9cm，2cm【答案】B【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，知A、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；B、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意；C、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；D、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．（2022·云南·中考真题）6. 如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOE FOE，你认为要添加的那个条件是（）A. OD =OEB. OE =OFC. ∠ODE =∠OEDD. ∠ODE =∠OFE【答案】D【解析】【分析】根据OB 平分∠AOC 得∠AOB =∠BOC ，又因为OE 是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．【详解】解：∵OB 平分∠AOC∴∠AOB =∠BOC当△DOE ≌△FOE 时，可得以下结论：OD =OF ，DE =EF ，∠ODE =∠OFE ，∠OED =∠OEF ．A 答案中OD 与OE 不是△DOE ≌△FOE 的对应边，A 不正确；B 答案中OE 与OF 不是△DOE ≌△FOE 的对应边，B 不正确；C 答案中，∠ODE 与∠OED 不是△DOE ≌△FOE 的对应角，C 不正确； D 答案中，若∠ODE =∠OFE ，在△DOE 和△FOE 中， DOE FOE OE OEODE OFE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△DOE ≌△FOE （AAS ）∴D 答案正确．故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．（2022·浙江湖州·中考真题）7. 如图，已知在锐角△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，E 是AD 上一点，连结EB ，E C ．若∠EBC ＝45°，BC ＝6，则△EBC 的面积是（ ）A. 12B. 9C. 6D. 【答案】B【解析】【分析】根据三线合一可得ED BC ⊥，根据垂直平分线的性质可得EB EC =，进而根据∠EBC ＝45°，可得BEC △为等腰直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得132DE BC ==，然后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解： AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，,AD BD BD DC ∴⊥=，EB EC ∴=，∠EBC ＝45°，45ECB EBC ∠=∠=︒，∴BEC △为等腰直角三角形，6BC =， ∴132DE BC ==， 则△EBC 的面积是13692⨯⨯=．故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （2022·江苏扬州·中考真题）8. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为ABC ∆，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）A. ,,AB BC CAB. ,,AB BC B ∠C. ,,AB AC B ∠D. ,,∠∠A B BC【答案】C【解析】 【分析】根据SSS ，SAS ，ASA 逐一判定，其中SSA 不一定符合要求．【详解】A. ,,AB BC CA ．根据SSS 一定符合要求；B. ,,AB BC B ∠．根据SAS 一定符合要求；C. ,,AB AC B ∠．不一定符合要求；D. ,,∠∠A B BC ．根据ASA 一定符合要求．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS ，SAS ，ASA 三个判定定理．（2022·山东泰安·中考真题）9. 如图，30AOB ∠=︒，点M 、N 分别在边OA OB 、上，且3,5OM ON ==，点P 、Q 分别在边OB OA 、上，则MP PQ QN ++的最小值是（ ）A. 2- 2-【答案】A【解析】 【分析】作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值；证出△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，得出∠N ′OM ′=90°，由勾股定理求出M ′N ′即可．【详解】解：作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，如图所示：连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：5ON ON '==，3OM OM '==，∠N ′OQ =∠M ′OB =30°， ∴∠NON ′=60°，'60MOM ∠=︒，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′=90°，∴在Rt △M ′ON ′中，M ′N=故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．（2022·浙江金华·中考真题）10. 如图，AC 与BD 相交于点O ，,OA OD OB OC ==，不添加辅助线，判定ABO DCO △≌△的依据是（ ）A. SSSB. SASC. AASD. HL【答案】B【解析】 【分析】根据OA OD =，OB OC =，AOB COD ∠=∠正好是两边一夹角，即可得出答案．【详解】解：∵在△ABO 和△DCO 中，OA OD AOB COD OB OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABO DCO ≌△△，故B 正确． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．（2022·浙江金华·中考真题）11. 已知三角形的两边长分别为5cm 和8cm ，则第三边的长可以是（ ）A. 2cmB. 3cmC. 6cmD. 13cm【答案】C【解析】【分析】先确定第三边的取值范围，后根据选项计算选择．【详解】设第三边的长为x ，∵ 角形的两边长分别为5cm 和8cm ，∴3cm ＜x ＜13cm ,故选C ．【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，熟练确定第三边的范围是解题的关键． （2022·安徽·中考真题） 12. 已知点O 是边长为6的等边△ABC 的中心，点P 在△ABC 外，△ABC ，△P AB ，△PBC ，△PCA 的面积分别记为0S ，1S ，2S ，3S ．若12302S S S S ++=，则线段OP 长的最小值是（ ）A. 2C.【答案】B【解析】【分析】根据12302S S S S ++=，可得1012S S =，根据等边三角形的性质可求得△ABC 中AB 边上的高1h 和△P AB 中AB 边上的高2h 的值，当P 在CO 的延长线时，OP 取得最小值，OP =CP -OC ，过O 作OE ⊥BC ，求得OC =【详解】解：如图，2PDB BDC S S S ，3PDA ADC S S S ， ∴1231()()PDB BDC PDA ADC S S S S SS S S ++=++++ =1()()PDB PDA BDC ADC S SS S S ++++ =1PAB ABC S S S ++=110S S S ++=102S S +=02S ， ∴1012S S =， 设△ABC 中AB 边上的高为1h ，△P AB 中AB 边上的高为2h ， 则0111116322S AB h h h ，1222116322S AB h h h ， ∴211332h h ，∴122h h =，∵△ABC 是等边三角形， ∴22166()332h ， 2113322h h ，∴点P 在平行于AB ，且到AB ∴当点P 在CO 的延长线上时，OP 取得最小值，过O 作OE ⊥BC 于E ， ∴12932CP h h ， ∵O 是等边△ABC 的中心，OE ⊥BC ∴∠OCE =30°，CE =132BC = ∴OC =2OE∵222OE CE OC +=，∴2223(2)OE OE ，解得OE∴OC =∴OP =CP -OC 52332． 故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P 点的位置是解题的关键．（2022·四川南充·中考真题） 13. 如图，在Rt ABC 中，90,C BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点D ，DE //AB ，交AC 于点E ，DF AB ⊥于点F ，5,3DE DF ==，则下列结论错误的是（ ）A. 1BF =B. 3DC =C. 5AE =D. 9AC =【答案】A【解析】 【分析】根据角平分线的性质得到CD =DF =3，故B 正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE =DE =5，故C 正确；由此判断D 正确；再证明△BDF ≌△DEC ，求出BF =CD =3，故A 错误．【详解】解：在Rt ABC 中，90,C BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点D ，DF AB ⊥，∴CD =DF =3，故B 正确；∵DE =5，△CE =4，∵DE //AB ，∴∠ADE =∠DAF ，∵∠CAD =∠BAD ，∴∠CAD =∠ADE ，∴AE =DE =5，故C 正确；∴AC =AE +CE =9，故D 正确；∵∠B =∠CDE ，∠BFD =∠C =90°，CD =DF ，∴△BDF ≌△DEC ，∴BF =CD =3，故A 错误；故选：A ．【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键． （2022·四川德阳·中考真题）14. 八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km 和3km ．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能．．．是（ ） A. 1kmB. 2kmC. 3kmD. 8km【答案】A【解析】【分析】利用构成三角形的条件即可进行解答．【详解】以杨冲家、李锐家以及学校这三点来构造三角形，设杨冲家与李锐家的直线距离为a ，则根据题意有：5-353a +＜＜，即28a ＜＜，当杨冲家、李锐家以及学校这三点共线时，538a =+=或者532a =-=， 综上a 的取值范围为：28a ≤≤，据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是1km ，故选：A ．【点睛】本题考查了构成三角形的条件的知识，构成三角的条件：三角形中任意的两边之和大于第三边，任意的两边之差小于第三边．（2022·山东泰安·中考真题） 15. 如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（ ）A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°【答案】C【解析】 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠F AP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝2x °﹣（x °﹣40°）﹣（x °﹣40°）＝80°，∴∠CAF ＝100°，在Rt △PF A 和Rt △PMA 中，{PA PAPM PF ==，∴Rt △PF A ≌Rt △PMA （HL ），∴∠F AP ＝∠P AC ＝50°．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM ＝PN ＝PF 是解题的关键．（2022·浙江绍兴·中考真题）16. 如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，30C ∠=︒，AC ∥EF ，则1∠=（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°【答案】C【解析】【分析】根据三角板的角度，可得60A ∠=︒，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：30C ∠=︒，9060A C ∴∠=︒-∠=︒AC ∥EF ，160A ∴∠=∠=︒故选C【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （2022·安徽·中考真题）17. 两个矩形的位置如图所示，若1∠=α，则2∠=（ ）A. 90α-︒B. 45α-︒C. 180α︒-D. 270α︒-【答案】C【解析】 【分析】用三角形外角性质得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定义得到∠2=90°-∠3=180°-α．【详解】解：如图，∠3=∠1-90°=α-90°，∠2=90°-∠3=180°-α．故选：C ．【点睛】 本题主要考查了矩形，三角形外角，余角，解决问题的关键是熟练掌握矩形的角的性质，三角形的外角性质，互为余角的定义．（2022·浙江杭州·中考真题）18. 如图，已知AB CD ∥，点E 在线段AD 上（不与点A ，点D 重合），连接CE ．若∠C ＝20°，∠AEC ＝50°，则∠A ＝（ ）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°【答案】C【解析】 【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；【详解】解：∵∠C +∠D ＝∠AEC ，∴∠D =∠AEC -∠C ＝50°-20°=30°，∵AB CD ∥，∴∠A ＝∠D=30°，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．（2022·湖南娄底·中考真题）19. 一条古称在称物时的状态如图所示，已知180∠=︒，则2∠=（ ）A. 20︒B. 80︒C. 100︒D. 120︒【答案】C【解析】【分析】如图，由平行线的性质可得80,BCD ∠=︒ 从而可得答案．【详解】解：如图，由题意可得：,AB CD ∥ 180∠=︒，180,BCD218080100,故选C 【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，掌握“两直线平行，内错角相等”是解本题的关键．（2022·江苏苏州·中考真题）20. 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，75AOC ∠=︒，125∠=︒，则2∠的度数是（ ）A. 25°B. 30°C. 40°D. 50°【答案】D【解析】【分析】根据对顶角相等可得75BOD ∠=︒，之后根据125∠=︒，即可求出2∠．【详解】解：由题可知75BOD AOC ∠=∠=︒，125∠=︒∵，217525BOD ∴∠=∠-∠=︒-︒=50︒．故选：D ．【点睛】本题主要考查对顶角和角的和与差，掌握对顶角相等是解决问题的关键．二．填空题（2022·湖南株洲·中考真题）21. 如图所示，点O 在一块直角三角板ABC 上（其中30ABC ∠=︒），OM AB ⊥于点M ，ON BC ⊥于点N ，若OM ON =，则ABO ∠=_________度．【答案】15【解析】【分析】根据ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =判断OB 是ABC ∠的角平分线，即可求解．【详解】解：由题意，ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =，即点O 到BC 、AB 的距离相等，△ OB 是ABC ∠的角平分线，△ 30ABC ∠=︒， △1152ABO ABC ∠=∠=︒． 故答案为：15．【点睛】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．（2022·浙江嘉兴·中考真题）22. 小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件．【答案】60A ∠=︒（答案不唯一）【解析】【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解．【详解】解：添加60A ∠=︒，理由如下： ABC 为等腰三角形，180602A B C ︒-∠∴∠=∠==︒， ABC ∴为等边三角形，故答案为：60A ∠=︒（答案不唯一）．【点睛】本题考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握三角形的判断定理． （2022·浙江绍兴·中考真题）23. 如图，在ABC 中，40ABC ∠=︒，80BAC ∠=︒，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交射线BA 于点D ，连接CD ，则BCD ∠的度数是______．【答案】10°或100°【解析】【分析】分两种情况画图，由作图可知得AC AD =，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】解：如图，点D 即为所求；在ABC ∆中，40ABC ∠=︒，80BAC ∠=︒，180408060ACB ∴∠=︒-︒-︒=︒，由作图可知：AC AD =，1(18080)502ACD ADC ∴∠=∠=︒-︒=︒， 605010BCD ACB ACD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；由作图可知：AC AD ='，ACD AD C ∴∠'=∠'，80ACD AD C BAC ∠'+∠'=∠=︒，40AD C ∴∠'=︒，1801804040100BCD ABC AD C ∴∠'=︒-∠-∠'=︒-︒-︒=︒．综上所述：BCD ∠的度数是10︒或100︒．故答案为：10︒或100︒．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法．（2022·云南·中考真题）24. 已知△ABC 是等腰三角形．若∠A =40°，则△ABC 的顶角度数是____．【答案】40°或100°【解析】【分析】分∠A 为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解．【详解】解：当∠A 为三角形顶角时，则△ABC 的顶角度数是40°；当∠A 为三角形底角时，则△ABC 的顶角度数是180°-40°-40°=100°；故答案为：40°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论． （2022·山东滨州·中考真题）25. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB AC =，立柱AD BC ⊥，且顶角120BAC ∠=︒，则C ∠的大小为_______．【答案】30°##30度【解析】【分析】先由等边对等角得到B C ∠=∠，再根据三角形的内角和进行求解即可．【详解】AB AC =，B C ∴∠=∠，120BAC ∠=︒，180BAC B C ∠+∠+∠=︒，180120302C ︒-︒∴∠==︒， 故答案为：30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．（2022·山东泰安·中考真题）26. 如图，△ ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点 D 是 BC 的中点，将△ ABD 沿 AD 翻折得到△ AED ，连 CE ，则线段 CE 的长等于_____【答案】75【解析】【详解】如图，过点A 作AH △BC 于点H ，连接BE 交AD 于点O △△△ABC 中，△BAC =90°△AB =3△AC =4，点D 是BC 的中点，△BC 5=△AD =BD =2.5△ △12BC ·AH =12AC ·AB △即2.5AH =6△△AH =2.4△由折叠的性质可知，AE =AB △DE =DB =DC △△AD 是BE 的垂直平分线，△BCE 是直角三角形，△S △ADB =12AD ·OB =12BD ·AH △△OB =AH =2.4△△BE =4.8△△CE 75=． 故答案为△75． 【点睛】本题的解题要点有△△1△读懂题意，画出符合要求的图形；（2）作AH △BC 于点H ，连接BE 交AD 于点O ，利用面积法求出AH 和OB 的长；（3）一个三角形中，若一边上的中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角． （2022·湖北武汉·中考真题）27. 如图，沿AB 方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB 上湖的另一边的D 处同时施工．取150ABC ∠=︒，1600m BC =，105BCD ∠=︒，则C ，D 两点的距离是_________m ．【答案】【解析】【分析】如图所示：过点C 作CE BD ⊥于点E ，先求出800m CE =，再根据勾股定理即可求出CD 的长．【详解】如图所示：过点C 作CE BD ⊥于点E ，则∠BEC =∠DEC =90°， 150ABC ∠=︒，30CBD ∴∠=︒，∴∠BCE =90°-30°=60°，又105BCD ∠=︒，45CDB ∴∠=︒，∴∠ECD =45°=∠D ，∴CE DE =，1600m BC =，111600800m 22CE BC ∴==⨯=，22222CD CE DE CE ∴=+=，即CD ==．故答案为：【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关内容并能灵活运用．（2022·湖北黄冈·中考真题）28. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m （m ≥3，m 为正整数），则其弦是________（结果用含m 的式子表示）．【答案】m 2+1【解析】【分析】2m 为偶数，设其股是a ，则弦为a +2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】∵2m 为偶数，∴设其股是a ，则弦为a +2，根据勾股定理得，（2m ）2+a 2=（a +2）2，解得a =m 2-1，∴弦长为m 2+1，故答案为：m 2+1．【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （2022·江苏苏州·中考真题）29. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为______．【答案】6【解析】【分析】分类讨论：AB =AC =2BC 或BC =2AB =2AC ，然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：∵△ABC 是等腰三角形，底边BC =3∴AB =AC当AB =AC =2BC 时，△ABC 是“倍长三角形”；当BC =2AB =2AC 时，AB +AC =BC ，根据三角形三边关系，此时A 、B 、C 不构成三角形，不符合题意；所以当等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为6． 故答案为6．【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．（2022·江苏扬州·中考真题）30. 将一副直角三角板如图放置，已知60E ∠=︒，45C ∠=︒，EF BC ∥，则BND ∠=________°．【答案】105【解析】【分析】根据平行线的性质可得45FAN B ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．【详解】45B C ∠︒∠==，EF BC ∥，∴45FAN B ∠=∠=︒，△△E =60°△△△F =30°△180105BND ANF F BAF ∴∠=∠=︒-∠-∠=︒故答案为：105【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．（2022·湖北黄冈·中考真题）31. 如图，直线a ∥b ，直线c 与直线a ，b 相交，若∠1＝54°，则∠3＝________度．【答案】54【解析】【分析】根据对顶角相等和平行线的性质“两直线平行同位角相等”，通过等量代换求解．【详解】因为a△b ，所以23∠=∠，因为12∠∠，是对顶角，所以12∠=∠，所以31∠=∠，因为154∠=︒，所以354∠=︒，故答案为：54．【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等，两直线平行同位角相等、内错角相等，加以灵活运用求解相关角的度数是解题关键． （2022·四川达州·中考真题）32. 如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，20B ∠=︒，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则CAD ∠的度数为_____．【答案】50︒##50度【解析】【分析】根据作图可知DA DB =，20DAB B ∠=∠=︒，根据直角三角形两个锐角互余，可得70CAB ∠=︒，根据CAD CAB DAB ∠=∠-∠即可求解．【详解】解：∵在Rt ABC 中，90C ∠=︒，20B ∠=︒，∴70CAB ∠=︒，由作图可知MN 是AB 的垂直平分线，DA DB ∴=，∴20DAB B ∠=∠=︒，∴CAD CAB DAB∠=∠-∠702050︒-︒=︒，故答案为：50︒．【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，根据题意分析得出MN是AB的垂直平分线，是解题的关键．（2022·湖北黄冈·中考真题）33. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB=DE，请添加一个条件_____，使△ABC≌△DEF．【答案】∠A=∠D或BC=EF或BE=CF或∠ACB=∠F【解析】【分析】判定一般三角形全等一共有四种方法，根据这四种方法一一选择即可．【详解】解：添加BE=CF∵BE=CF，∴BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为：AB=DE（答案不唯一）．视频【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，根据判定的方法选择合适的方法，关键是要能熟练运用三角形的判定方法．三．解答题（2022·浙江温州·中考真题）∥，交AB于点E．34. 如图，BD是ABC的角平分线，DE BC（1）求证：EBD EDB ∠=∠．（2）当AB AC =时，请判断CD 与ED 的大小关系，并说明理由．【答案】（1）见解析 （2）相等，见解析【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；（2）利用平行线的性质可得ADE AED ∠=∠， 则AD= AE ，从而有CD = BE ，由(1) 得，EBD EDB ∠=∠，可知BE = DE ，等量代换即可．【小问1详解】证明：△BD 是ABC 的角平分线，△CBD EBD ∠=∠．△DE BC ∥，△CBD EDB ∠=∠，△EBD EDB ∠=∠．【小问2详解】CD ED =．理由如下：△AB AC =，△C ABC ∠=∠．△DE BC ∥，△,ADE C AED ABC ∠=∠∠=∠，△ADE AED ∠=∠，△AD AE =，△AC AD AB AE -=-，即CD BE =．由（1）得EBD EDB ∠=∠，△BE ED =，△CD ED =．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键． （2022·四川乐山·中考真题）35. 如图，B 是线段AC 的中点，,AD BE BD CE ∥∥，求证：ABD BCE △≌△．【答案】证明过程见详解【解析】【分析】运行平行线的性质可证△A =△EBC ，△DBA =△C ，结论即可得证．【详解】证明△B 是AC 中点，△AB =BC ，△AD BE ∥，△△A =△EBC ，△BD EC ∥，△△DBA =△C ，在△ABD 和△BCE 中，A EBC AB BC DBA C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△ABD ≌△BCE (ASA)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键．（2022·浙江杭州·中考真题）36. 如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，点M 为边AB 的中点，点E 在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．（1）求证：CE=CM．（2）若AB=4，求线段FC的长．【答案】（1）见解析（2【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB，根据外角的性质可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；（2）根据CE=CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长．【小问1详解】证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点，∴MC=MA=MB，∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，∵∠A=50°，∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，∵∠ACE=30°，∴∠MEC=∠A+∠ACE=50°，∴∠MEC=∠EMC，∴CE=CM；【小问2详解】解：∵AB=4，∴CE=CM=12AB=2，∵EF⊥AC，∠ACE=30°，∴FC=CE•cos30°=【点睛】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．（2022·陕西·中考真题）37. 如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD =AB ，DE ∥AB ，∠DCE =∠A ．求证：DE =BC ．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用角边角证明△CDE ≌△ABC ，即可证明DE =BC ．【详解】证明：∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠B ．又∵CD =AB ，∠DCE =∠A ，∴△CDE ≌△ABC (ASA)．∴DE =BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．（2022·湖南衡阳·中考真题）38. 如图，在ABC 中，AB AC =，D 、E 是BC 边上的点，且BD CE =，求证：AD AE =．【答案】见解析【解析】【分析】利用等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，再由SAS 证明ABD ACE △≌△，从而得AD AE =．【详解】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABD △和ACE 中，AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ACE SAS △≌△，∴AD AE =．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．（2022·湖南怀化·中考真题）39. 如图，在等边三角形ABC 中，点M 为AB 边上任意一点，延长BC 至点N ，使CN =AM ，连接MN 交AC 于点P ，MH ⊥AC 于点H ．（1）求证：MP =NP ；（2）若AB ＝a ，求线段PH 的长（结果用含a 的代数式表示）．【答案】（1）见详解；（2）0.5a ．【解析】【分析】（1）过点M 作MQ ∥CN ，证明MQP NCP ≅△△即可；（2）利用等边三角形的性质推出AH =HQ ，则PH =HQ +PQ =0.5（AQ +CQ ）．【小问1详解】如下图所示，过点M 作MQ ∥CN ，△ABC 为等边三角形，MQ ∥CN ， △1AM AB AQ AC==， 则AM =AQ ，且△A =60°，△AMQ △为等边三角形，则MQ =AM =CN ，又△MQ ∥CN ，△△QMP =△CNP ，在MQP NCP △与△中，MPQ NPC QMP CNP QM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MQP NCP ≅△△，则MP =NP ；【小问2详解】△AMQ △为等边三角形，且MH △AC ，△AH =HQ ，又由（1）得，MQP NCP ≅△△，则PQ =PC ，△PH =HQ +PQ =0.5（AQ +CQ ）=0.5AC =0.5a ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．（2022·浙江丽水·中考真题）40. 如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P 处，折痕为EF ．（1）求证：PDE CDF △≌△；（2）若4cm,5cm CD EF ==，求BC 的长．【答案】（1）证明见解析（2）163cm 【解析】【分析】（1）利用ASA 证明即可；（2）过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，求出FG 的长，设AE =x ，用x 表示出DE 的长，在Rt △PED 中，由勾股定理求得答案．【小问1详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠B =∠ADC =∠C =90°，由折叠知，AB =PD ，∠A =∠P ，∠B =∠PDF =90°，∴PD =CD ，∠P =∠C ，∠PDF =∠ADC ，∴∠PDF -∠EDF =∠ADC -∠EDF ,∴∠PDE =∠CDF ，在△PDE 和△CDF 中，P C PD CDPDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴PDE CDF △≌△（ASA ）；【小问2详解】如图，过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形,∴AB =CD =EG =4cm ，又∵EF =5cm ，∴3GF ==,设AE =x ，∴EP =x ，由PDE CDF △≌△知，EP =CF =x ，∴DE =GC =GF +FC =3+x ，在Rt △PED 中，222PE PD DE +=,即()22243x x +=+， 解得，76x =， ∴BC =BG +GC =77163663++=cm ． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键． （2022·四川自贡·中考真题）41. 如图，△ABC 是等边三角形，,D E 在直线BC 上，DB EC =．求证：D E ∠=∠ ．【答案】详见解析【解析】【分析】由等边三角形的性质以及题设条件，可证△ADB ≌△AEC ，由全等三角形的性质可得D E ∠=∠．【详解】证明：△△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABD =∠ACE ，在△ADB 和△AEC 中，AB AC ABD ACE DB EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ADB ≌△AEC (SAS )，∴D E ∠=∠．【点睛】本题考查等边三角形的性质、补角的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，但是整体难度不大．（2022·重庆·中考真题）42. 我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a ，高为h 的三角形的面积公式为12S ah =．想法是：以BC 为边作矩形BCFE ，点A 在边FE 上，再过点A 作BC 的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A 作BC 的垂线AD 交BC 于点D ．（只保留作图痕迹）在ADC 和CFA △中，∵AD BC ⊥，∴90ADC ∠=︒．∵90F ∠=︒，。

中考数学最新真题专项汇总—平行线与三角形(含解析)

中考数学最新真题专项汇总—平行线与三角形(含解析)

中考数学最新真题专项汇总—平行线与三角形（含解析）一．选择题1．（2022·内蒙古通辽）如图，一束光线AB 先后经平面镜OM ，ON 反射后，反射光线CD 与AB 平行，当35ABM ∠=︒时，DCN ∠的度数为（ ）A ．55︒B ．70︒C ．60︒D ．35︒【答案】A 【分析】根据题意得：∠ABM =∠OBC ， ∠BCO =∠DCN ，然后平行线的性质可得∠BCD =70°，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠ABM =∠OBC ， ∠BCO =∠DCN ，∠∠ABM =35°，∠∠OBC =35°，∠∠ABC =180°-∠ABM -∠OBC =180°-35°-35°=110°， ∠CD ∠AB ，∠∠ABC +∠BCD =180°，∠∠BCD =180°-∠ABC =70°，∠∠BCO +∠BCD +∠DCN =180°， ∠BCO =∠DCN ， ∠1(180)552DCN BCD ︒︒-∠=∠=．故选：A【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．2．（2022·河北）要得知作业纸上两相交直线AB ，CD 所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案∠、∠，说法正确的是（）A．∠可行、∠不可行B．∠不可行、∠可行C．∠、∠都可行D．∠、∠都不可行【答案】C【分析】用夹角可以划出来的两条线，证明方案∠和∠的结果是否等于夹角，即可判断正误【详解】方案∠：如下图，BPD∠即为所要测量的角∠HEN CFG∥∠AEM BPD∠=∠∠MN PD∠=∠故方案∠可行方案∠：如下图，BPD∠即为所要测量的角在EPF中：180∠+∠+∠=︒BPD PEF PFE则：180∠=︒-∠-∠故方案∠可行故选：CBPD AEH CFG【点睛】本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和；本题的突破点是用可画出夹角的情况进行证明3．（2022·河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO∠CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A．26°B．36°C．44°D．54°【答案】B【分析】根据垂直的定义可得90∠=︒，根据平角的定义即可求解．COE【详解】解：EO∠CD，90∴∠=︒，COE12180∠+∠+∠=︒，2180905436∴∠=︒-︒-︒=︒．故选：B ．COE【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．4．（2022·湖北鄂州）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°【答案】B 【分析】由作图得ABC ∆为等腰三角形，可求出15ABC ∠=︒，由l 1∥l 2得1ABC ∠=∠，从而可得结论．【详解】解：由作图得，CA CB =，∠ABC ∆为等腰三角形，∠ABC CAB ∠=∠ ∠∠BCA ＝150°，∠11(180)(180150)1522ABC ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒∠l 1∥l 2∠115ABC ∠=∠=︒故选B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，求出15ABC ∠=︒是解答本题的关键． 5．（2022·湖南郴州）如图，直线a b ∥，且直线a ，b 被直线c ，d 所截，则下列条件不能．．判定直线c d ∥的是（ ）A ．34∠=∠B ．15180∠+∠=︒C ．12∠=∠D ．14∠=∠【答案】C 【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果．【详解】解：A 、当34∠=∠时，c d ∥；故A 不符合题意；B 、当15180∠+∠=︒时，c d ∥；故B 不符合题意；C 、当12∠=∠时，a b ∥；故C 符合题意；D 、∠a b ∥，则12∠=∠，∠14∠=∠，则24∠∠=，∠c d ∥；故D 不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．6．（2022·山东潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB 与CD 平行，入射光线l 与出射光线m 平行．若入射光线l 与镜面AB 的夹角14010'∠=︒，则6∠的度数为（ ）A ．10040'︒B ．9980'︒C ．9940'︒D ．9920'︒【答案】C 【分析】由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，可求出∠5，由l //m 可得∠6=∠5【详解】解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，∠14010'∠=︒∠24010'∠=︒∠518012180401040109940'''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ∠l //m ∠659940'∠=∠=︒ 故选：C【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．7．（2022·北京）如图，利用工具测量角，则1∠的大小为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A 【分析】利用对顶角相等求解．【详解】解：量角器测量的度数为30°，由对顶角相等可得，130∠=︒．故选A ．【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．8．（2022·黑龙江）如图，ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠与BC 相交于点D ，点E 是AB 的中点，点F 是DC 的中点，连接EF 交AD 于点P ．若ABC 的面积是24， 1.5PD =，则PE 的长是（ ）A．2.5B．2C．3.5D．3【答案】A【分析】连接DE，取AD的中点G，连接EG，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD∠BC，BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出S∠EGD=3，然后证∠EGP∠∠FDP（AAS），得GP=CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长．【详解】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，∠AB=AC，AD平分BAC∠与BC相交于点D，∠AD∠BC，BD=CD，∠S∠ABD=112422ABCS=⨯=12，∠E是AB的中点，∠S∠AED=111222ABDS=⨯=6，∠G是AD的中点，∠S△EGD=11622AEDS=⨯=3，∠E是AB的中点，G是AD的中点，∠EG∥BC，EG=12BD=12CD，∠∠EGP=∠FDP=90°，∠F是CD的中点，∠DF=12CD，∠EG=DF，∠∠EPG=∠FPD，∠∠EGP∠∠FDP（AAS），∠GP=PD=1.5，∠GD=3，∠S△EGD=12GD EG⋅=3，即1332EG⨯=，∠EG=2，在Rt∠EGP中，由勾股定理，得PE=，故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．9．（2022·贵州遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若1AB BC==，30AOB∠=︒，则点B到OC的距离为（）A B C ．1 D ．2【答案】B【分析】根据题意求得2OB =，进而求得OC【详解】解：在Rt ,Rt ABO BOC 中，30AOB ∠=︒，1AB BC ==，2OB ∴=，OC ∴设B 到OC 的距离为h ，1122OC h BC BO ∴⋅=⋅，h ∴==， 故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．10．（2022·广西）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如己知∠ABC 中，∠A ＝30°， AC ＝3，∠A 所对的边为满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的∠ABC 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）A．B ．3C ．D ．3【答案】C 【分析】分情况讨论，当∠ABC 是一个直角三角形时，当∠AB 1C 是一个钝角三角形时，根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．【详解】如图，当∠ABC 是一个直角三角形时，即90C ∠=︒，30,A BC ∠=︒=2∴==AB BC如图，当∠AB 1C 是一个钝角三角形时，过点C 作CD ∠AB 1，90CDA CDB ∴∠=︒=∠，1CB CB =，1BD B D ∴=，30,3A AC ∠=︒=，1322CD AC ∴==， 3BC =1B D BD ∴===，1BB ∴11AB AB BB ∴=-综上，满足已知条件的三角形的第三边长为故选：C ． 【点睛】本题考查了根据已知条件作三角形，涉及含30°的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．11．（2022·山东烟台）如图，某海域中有A ，B ，C 三个小岛，其中A 在B 的南偏西40°方向，C 在B 的南偏东35°方向，且B ，C 到A 的距离相等，则小岛C 相对于小岛A 的方向是（ ）A ．北偏东70°B ．北偏东75°C ．南偏西70°D ．南偏西20°【答案】A 【分析】根据题意可得∠ABC ＝75°，AD ∠BE ，AB ＝AC ，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠C ＝75°，从而求出∠BAC 的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB ＝∠ABE ＝40°，从而求出∠DAC 的度数，即可解答．【详解】解：如图：由题意得：∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∠BE，AB＝AC，∠∠ABC＝∠C＝75°，∠∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，∠AD∠BE，∠∠DAB＝∠ABE＝40°，∠∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，∠小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°，故选：A．．【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．12．（2022·河北）如图，将∠ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是∠ABC的（）A．中线B．中位线C．高线D．角平分线【答案】D【分析】根据折叠的性质可得CAD BAD∠=∠，作出选择即可．【详解】解：如图，∠由折叠的性质可知CAD BAD∠=∠，∠AD是BAC∠的角平分线，故选：D．【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．13．（2022·广西贺州）如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（）A．34︒B．44︒C．124︒D．134︒【答案】A【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．【详解】解：∠Rt∠ABC中，∠C=90°，∠B=56°，∠∠A=90°-∠B=90°-56°=34°；故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．14．（2022·湖南永州）如图，在Rt ABC∠=°，点D为边AC∠=︒，60C△中，90ABC的中点，2BD=，则BC的长为（）B．C．2D．4A【答案】C【分析】根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∠∠ABC=90°，∠C=60°，∠∠A=30°，∠点D为边AC的中点，BD=2∠AC=2BD=4，∠BC=12AC=，2故选：C．【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．15．（2022·湖南永州）下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，故选D．【点睛】本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．16．（2022·广西玉林）请你量一量如图ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是()A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm【答案】D【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可．【详解】解：如图所示，过点A作AO∠BC，用刻度尺直接量得AO更接近2cm，故选：D．【点睛】题目主要考查利用刻度尺量取三角形高的长度，作出三角形的高是解题关键．17．（2022·黑龙江大庆）下列说法不正确．．．的是()A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C．有两个角互余的三角形是直角三角形D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形【答案】A【分析】利用等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，对各选项逐项分析可得出正确答案．【详解】解：A、设∠1、∠2为锐角，因为：∠1+∠2+∠3=180°，所以：∠3可以为锐角、直角、钝角，所以该三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形，故A选项不正确，符合题意；B、如图，在∠ABC中，BE∠AC，CD∠AB，且BE=CD．∠BE ∠AC ，CD ∠AB ，∠∠CDB =∠BEC =90°，在Rt ∠BCD 与Rt ∠CBE 中，CD BE BC CB=⎧⎨=⎩， ∠Rt ∠BCD ∠Rt ∠CBE （HL ），∠∠ABC =∠ACB ，∠AB =AC ，即∠ABC 是等腰三角形．，故B 选项正确，不符合题意；C 、根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，， 故C 选项正确，不符合题意；D 、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D 选项正确，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，要求学生在学习过程中掌握三角形的各种性质及推论，不断提升数学学习的能力．18．（2022·广西梧州）如图，在ABC 中，,AB AC AD =是ABC 的角平分线，过点D 分别作,DE AB DF AC ，垂足分别是点E ，F ，则下列结论错误．．的是（ ）A ．90ADC ∠=B ．DE DF =C ．AD BC = D ．BD CD =【答案】C【分析】根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即可判断求解．【详解】解：∠,AB AC AD =是ABC 的角平分线，∠,AD BC BD CD ， ∠90ADC ∠=，故选项A 、D 结论正确，不符合题意；又AD 是BAC ∠的角平分线，,DE AB DF AC ，∠DE DF =，故选项B 结论正确，不符合题意；由已知条件推不出AD BC =，故选项C 结论错误，符合题意；故选：C ．【点睛】本题考察了等腰三角形的性质及角平分线的性质，属于基础题，熟练掌握其性质即可．19．（2022·四川乐山）如图，等腰∠ABC 的面积为AB =AC ，BC =2．作AE ∠BC 且AE =12BC ．点P 是线段AB 上一动点，连接PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点．那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为（ ）AB ．3C ．D ．4【答案】D【分析】当P 与A 重合时，点F 与C 重合，此时点M 在N 处，当点P 与B 重合时，如图，点M 的运动轨迹是线段MN ．求出CF 的长即可解决问题．【详解】解：过点A 作AD ∠BC 于点D ，连接CE ，∠AB =AC ，∠BD =DC =12BC =1，∠AE =12BC ，∠AE =DC =1，∠AE ∠BC ，∠四边形AECD 是矩形，∠S ∠ABC =12BC ×AD =12×2×AD∠ADCE =AD当P 与A 重合时，点F 与C 重合，此时点M 在CE 的中点N 处，当点P 与B 重合时，如图，点M 的运动轨迹是线段MN ．∠BC =2，CE由勾股定理得BE =4，cos∠EBC =BC BE BE BF =，即244BF =， ∠BF =8，∠点N 是CE 的中点，点M 是EF 的中点，∠MN =12BF =4，∠点M 的运动路径长为4，故选：D ．【点睛】本题考查点的轨迹、矩形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点M 的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题．20．（2022·四川凉山）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．3，4，8B ．5，6，11C ．5，6，10D ．5，5，10 【答案】C【分析】根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得．【详解】解：A 、3478+=<，不能组成三角形，此项不符题意；B 、5611+=，不能组成三角形，此项不符题意；C 、561110+=>，能组成三角形，此项符合题意；D 、5510+=，不能组成三角形，此项不符题意；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．21．（2022·四川成都）如图，在ABC 和DEF 中，点A ，E ，B ，D 在同一直线上，AC DF ∥，AC DF =，只添加一个条件，能判定ABC DEF △≌△的是（ ）A ．BC DE =B ．AE DB =C ．A DEF ∠=∠D ．ABC D ∠=∠【答案】B 【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．【详解】A 、BC DE =，不能判断ABC DEF △≌△，选项不符合题意；B 、AE DB =，利用SAS 定理可以判断ABC DEF △≌△，选项符合题意； C 、A DEF ∠=∠，不能判断ABC DEF △≌△，选项不符合题意；D 、ABC D ∠=∠，不能判断ABC DEF △≌△，选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS 、SAS 、ASA 、AAS 判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．22．（2022·山东聊城）如图，ABC 中，若80BAC ∠=︒，70ACB ∠=︒，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）A ．40BAQ ∠=︒B ．12DE BD = C ．AF AC = D ．25EQF ∠=︒【答案】D【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．【详解】∠80BAC ∠=︒，70ACB ∠=︒，∠∠B =180°-∠BAC -∠ACB =30°，A ．由作图可知，AQ 平分BAC ∠，∠1402BAP CAP BAC ∠=∠=∠=︒，故选项A 正确，不符合题意；B ．由作图可知，MQ 是BC 的垂直平分线，∠90DEB ∠=︒，∠30B ∠=︒，∠12DE BD =，故选项B 正确，不符合题意；C ．∠30B ∠=︒，40BAP ∠=︒，∠70AFC ∠=︒，∠70C ∠=︒，∠AF AC =，故选项C 正确，不符合题意；D ．∠70EFQ AFC ∠=∠=︒，90QEF ∠=︒，∠20EQF ∠=︒；故选项D 错误，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．23．（2022·海南）如图，直线m n∥，ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若1140∠=︒，则2∠的度数是（）A．80︒B．100︒C．120︒D．140︒【答案】B【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=60°，再由三角形外角的性质可得∠AEF=∠1-∠A=80°，从而得到∠BEF=100°，然后根据平行线的性质，即可求解．【详解】解：∠ABC是等边三角形，∠∠A=60°，∠∠1=140°，∠∠AEF=∠1-∠A=80°，∠∠BEF=180°-∠AEF=100°，∠m n∥，∠∠2=∠BEF=100°．故选：B【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键．24．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图所示，直线a∠b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，则∠2的度数为（）A ．57°B ．63°C ．67°D ．73°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可求出30ABC ∠=︒，可得出+173ABC ∠∠=︒，再根据平行线的性质可得结论．【详解】解：∠AC =BC ，∠ABC ∆是等腰三角形，∠=120C ∠︒ ∠11(180)(180120)3022ABC C ∠=︒-∠=︒-︒=︒∠1304373ABC ∠+∠=︒+︒=︒∠a ∠b ，∠2173ABC ∠=∠+∠=︒ 故选：D【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，求出173ABC ∠+∠=︒是解答本题的关键． 25．（2022·湖北恩施）已知直线12l l ∥，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若1120∠=︒，则2∠=（ ）A．120°B．130°C．140°D．150°【答案】D【分析】根据平行线的性质可得∠3=∠1=120°，再由对顶角相等可得∠4=∠3=120°，然后根据三角形外角的性质，即可求解．【详解】解：如图，根据题意得：∠5=30°，∥，∠∠3=∠1=120°，∠∠4=∠3=120°，∠12l l∠∠2=∠4+∠5，∠∠2=120°+30°=150°．故选：D【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质是解题的关键．二．填空题26．（2022·辽宁锦州）如图，在ABC中，,30=∠=︒，点D为BC的中AB AC ABC点，将ABC绕点D逆时针旋转得到A B C'''，当点A的对应点A'落在边AB上时，点C'在BA的延长线上，连接BB'，若1AA'=，则BB D'△的面积是____________．【分析】先证明A AD ' 是等边三角形，再证明AO BC '⊥，再利用直角三角形30角对应的边是斜边的一般分别求出A B ''和A O '，再利用勾股定理求出OD ，从而求得BB D '△的面积．【详解】解：如下图所示，设A B ''与BD 交于点O ，连接A D '和AD ，∠点D 为BC 的中点，,30AB AC ABC =∠=︒，∠AD BC ⊥,A D B C '''⊥，A D '是B A C '''∠的角平分线，AD 是BAC ∠，∠120B A C ︒'''∠=，120BAC ︒∠=∠60BAD B A D ︒'∠'=∠=∠A D AD '=，∠A AD ' 是等边三角形，∠1A A AD A D ''===，∠18060BA B B A C ︒︒'''''∠=-∠=，∠BA B A AD '''∠=∠，∠//A B AD ''，∠AO BC '⊥， ∠1122A O A D ''==，∠OD ==∠22A B A D '''==∠30A BD A DO ︒''∠=∠=，∠BO OD = ∠13222OB '=-=，2BD OD ==∠113222BB D S BD B O ''=⨯⨯==． 【点睛】本题考查等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，证明A AD ' 是等边三角形是解本题的关键．27．（2022·湖南郴州）如图．在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =．以点A 为圆心，以任意长为半径作弧交AB ，AC 于D ，E 两点；分别以点D ，E 为圆心，以大于12DE 长为半径作弧，在BAC ∠内两弧相交于点P ；作射线AP 交BC 于点F ，过点F 作FG AB ⊥，垂足用G ．若8cm AB =，则BFG 的周长等于________cm ．【答案】8【分析】由角平分线的性质，得到CF GF=，然后求出BFG的周长即可．【详解】解：根据题意，在ABC中，90=，C∠=︒，AC BC由角平分线的性质，得CF GF=，∠BFG的周长为：()8++=-+=-+==；BG BF FG AB AG BC AB AC BC AB故答案为：8【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．28．（2022·江苏常州）如图，在ABC中，E是中线AD的中点．若AEC△的面积是1，则ABD△的面积是______．【答案】2【分析】根据ACE∆的面积DCE=∆的面积计算出各部=∆的面积，ABD∆的面积ACD分三角形的面积．【详解】解：AD是BC边上的中线，E为AD的中点，根据等底同高可知，ACE ∆的面积DCE =∆的面积1=，ABD ∆的面积ACD =∆的面积2AEC =∆的面积2=，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算．29．（2022·黑龙江哈尔滨）在ABC 中，AD 为边BC 上的高，30ABC ∠=︒，20CAD ∠=︒，则BAC ∠是___________度．【答案】40或80##80或40【分析】根据题意，由于ABC 类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：∠高在三角形内部，如图所示：在ABD ∆中，AD 为边BC 上的高，30ABC ∠=︒，90903060BAD ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，20CAD ∠=︒，602080BAC BAD CAD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；∠高在三角形边上，如图所示：可知0CAD ∠=︒，20CAD ∠=︒，故此种情况不存在，舍弃；∠高在三角形外部，如图所示：在ABD ∆中，AD 为边BC 上的高，30ABC ∠=︒，90903060BAD ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，20CAD ∠=︒，602040BAC BAD CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；综上所述：80BAC ∠=︒或40︒，故答案为：40或80．【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．30．（2022·四川成都）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：∠分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；∠作直线MN 交边AB 于点E ．若5AC =，4BE =，45B ∠=︒，则AB 的长为_________．【答案】7【分析】连接EC，依据垂直平分线的性质得EB EC=．由已知易得∠∠=︒＝，在Rt∠AEC中运用勾股定理求得AE，即可求得答案．BEC CEA90【详解】解：由已知作图方法可得，MN是线段BC的垂直平分线，连接EC，如图，所以BE CE=，所以45∠=∠=︒，ECB B所以∠BEC=∠CEA=90°，因为5AC=，4BE=，所以4CE=，在AEC△中，2222AE AC EC，543所以347AB AE BE=+=+=，因此AB的长为7．故答案为：7．【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，由勾股定理求得AE 即可． 31．（2022·内蒙古通辽）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，有一个锐角为60︒，6AB =，若点P 在直线．．AB 上（不与点A ，B 重合），且30PCB ∠=︒，则AP 的长为_______． 【答案】92或9或3【分析】分∠ABC =60、∠ABC =30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【详解】解：当∠ABC =60°时，则∠BAC =30°， ∠132BC AB ==，∠AC =，当点P 在线段AB 上时，如图，∠30PCB ∠=︒，∠∠BPC =90°，即PC ∠AB ，∠9cos 2AP AC BAC =⋅∠==； 当点P 在AB 的延长线上时，∠30PCB ∠=︒，∠PBC =∠PCB +∠CPB ，∠∠CPB =30°，∠∠CPB =∠PCB ，∠PB =BC =3，∠AP =AB +PB =9；当∠ABC =30°时，则∠BAC =60°，如图，∠132AC AB ==，∠30PCB ∠=︒，∠∠APC =60°，∠∠ACP =60°，∠∠APC =∠P AC =∠ACP ，∠∠APC 为等边三角形，∠P A =AC =3．综上所述，AP 的长为92或9或3． 故答案为：92或9或3【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键．32．（2022·湖南岳阳）如图，在ABC中，AB AC=，AD BCBC=，⊥于点D，若6则CD=______．【答案】3【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．【详解】解：∠AB AC=，AD BC⊥，∠CD BD=，∠6BC=，∠3CD=，故答案为：3．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．33．（2022·江苏无锡）∠ABC是边长为5的等边三角形，∠DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在∠ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将∠DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．【答案】804##4【分析】利用SAS证明∠BDC∠∠AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF 的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD∠BF时，∠FBC最大，则∠FBA 最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．【详解】解：∠∠ABC和∠DCE都是等边三角形，∠AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，∠∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB =∠ECA，在∠BCD和∠ACE中，CD CEBCD ACEBC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACE∠∠BCD（SAS），∠∠EAC=∠DBC，∠∠DBC=20°，∠∠EAC=20°，∠∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；设BF与AC相交于点H，如图：∠∠ACE ∠∠BCD∠AE =BD ，∠EAC =∠DBC ，且∠AHF =∠BHC ，∠∠AFB =∠ACB =60°，∠A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，∠点D 在以C 为圆心，3为半径的圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ∠BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，∠此时线段AF 长度有最小值，在Rt ∠BCD 中，BC =5，CD =3，∠BD=4，即AE =4，∠∠FDE =180°-90°-60°=30°，∠∠AFB =60°，∠∠FDE =∠FED =30°，∠FD =FE ，过点F 作FG ∠DE 于点G ，∠DG =GE =32，∠FE =DF =cos30DG ︒∠AF=AE-FE=4故答案为：80；4【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．34．（2022·湖南永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE=______．【答案】3【分析】根据题意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，设AF=DE=CH=BG=x，结合图形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出结果．【详解】解：∠大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∠AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，根据题意，设AF=DE=CH=BG=x，则AE=x-1，在Rt∆AED中，222+=，AE ED AD即()222-+=，x x15解得：x =4（负值已经舍去），∠x -1=3，故答案为：3．【点睛】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．35．（2022·黑龙江齐齐哈尔）在∠ABC 中，AB =6AC =，45B ∠=，则BC =______________．【答案】3或3【分析】画出图形，分∠ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．【详解】解：情况一：当∠ABC 为锐角三角形时，如图1所示：过A 点作AH ∠BC 于H ，∠∠B =45°，∠∠ABH 为等腰直角三角形， ∠363322ABAH BH ,在Rt∠ACH 中，由勾股定理可知：2236273CHAC AH ， ∠333BC BH CH ． 情况二：当∠ABC 为钝角三角形时，如图2所示：由情况一知：363322ABAH BH ，2236273CH AC AH ， ∠333BC BH CH ．故答案为：3或3．【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将∠ABC 分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．36．（2022·贵州遵义）如图，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，点M ，N分别为BC ，AC 上的动点，且AN CM =，AB 当AM BN +的值最小时，CM 的长为__________．【答案】2【分析】过点A 作AD BC ∥，且AD AC =，证明AND CMA ≌△△，可得AM DN =，当,,B N D 三点共线时，BN AM +取得最小值，证明AB BM =，即可求解．【详解】如图，过点A 作AD BC ∥，且AD AC =，连接DN ，如图1所示， DAN ACM ∴∠=∠，又AN CM =，AND CMA ∴≌，AM DN ∴=，BN AM BN DN BD ∴+=+≥，当,,B N D 三点共线时，BN AM +取得最小值，此时如图2所示，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB =2BC ∴==，AND CMA ≌△△，ADN CAM ∴∠=∠，AD AC AB ==，ADN ABN ∴∠=∠，AD BC ∥，ADN MBN ∴∠=∠，ABN MBN ∴∠=∠，设MAC α∠=，90BAM BAC αα∴∠=∠-=︒-，245ABM ABN NBM α∴∠=∠+∠==︒，22.5α∴=︒，180180904567.5AMB BAM ABM α∴∠=︒-∠-∠=︒-︒+-︒=︒，9022.567.5BAM ∠=︒-︒=︒，AB BM ∴==2CM BC BM ∴=-=即BN AM +取得最小值为2 故答案为：2图1 图2【点睛】本题考查了等腰直角三角的性质，勾股定理，两点之间线段最短，转化线段是解题的关键．37．（2022·广西）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC 的大小为______【答案】135°##135度【分析】根据三角板及其摆放位置可得180,45BAO BAC OAC OAC ∠=︒=∠+∠∠=︒，求解即可．【详解】180,45BAO BAC OAC OAC ∠=︒=∠+∠∠=︒，18045135BAC ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：135°．【点睛】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键．38．（2022·广西桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝_____cm．【答案】4【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．【详解】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，故答案为：4．【点睛】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．39．（2022·贵州遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度．小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；信息二：如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC OA∥，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：π3≈，sin280.47︒≈，︒≈，cos280.88︒≈）tan280.53根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为__________千米．【答案】33792【分析】根据平行线的性质可知28∠=∠=︒，在Rt BOD中，利用锐角三角B BOA函数求出BD ，即为以BC 为直径的圆的半径，求出周长即可．【详解】解：如图，过点O 作OD BC ，垂足为D ，根据题意6400OB OA ==，∠BC OA ∥，∠28B BOA ∠=∠=︒，∠在Rt BOD 中， 28B ∠=︒，∠cos28BD OB =︒，∠OD BC ，∠由垂径定理可知：12BD DC BC ==，∠以BC 为直径的圆的周长为22364000.8833792BD π⨯≈⨯⨯⨯=，故答案为：33792．【点睛】本题考查解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是熟练三角函数的含义与解直角三角形的方法．三．解答题40．（2022·广东）如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．【答案】见解析【分析】根据角平分线的性质得PD PE =，再用HL 证明OPD OPE ≌．【详解】证明：∠AOC BOC ∠=∠，∠OC 为AOB ∠的角平分线，又∠点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，∠PD PE =，90PDO PEO ∠=∠=︒，又∠PO PO =（公共边），∠()HL OPD OPE ≌．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键．41．（2022·广西）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD ，其中 AB ＝CD ＝2米，AD ＝BC ＝3米，∠B ＝30(1)求证：∠ABC ∠∠CDA ；(2)求草坪造型的面积．【答案】(1)见解析(2)草坪造型的面积为23m【分析】（1）根据“SSS ”直接证明三角形全等即可；（2）过点A 作AE ∠BC 于点E ，利用含30°的直角三角形的性质求出AE 的长度，继而求出ABC 的面积，再由全等三角形面积相等得出32ABC CDASS ==，即可求出草坪造型的面积．(1)在ABC 和CDA 中，AB CD AC CA BC AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABC CDA SSS ∴≅；(2)过点A 作AE ∠BC 于点E ，90AEB ∴∠=︒，30,2m B AB ∠=︒=，11m 2AE AB ∴==， 3m BC =，211331m 222ABCS BC AE ∴=⋅=⨯⨯=， ABC CDA ≅，23m 2ABC CDA S S ∴==， ∴草坪造型的面积23m ABC CDA S S =+=，所以，草坪造型的面积为23m ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，熟。

中考数学三角形试题归类(含答案)

中考数学三角形试题归类(含答案)

中考数学三角形试题归类(含答案) 以下是查字典数学网为您推荐的中考数学三角形试题归类(含答案)，希望本篇文章对您学习有所帮助。

中考数学三角形试题归类(含答案)选择题1. (天津3分)sin45的值等于(A) (B) (C) (D) 1【答案】B。

【考点】特殊角三角函数。

【分析】利用特殊角三角函数的定义，直接得出结果。

2.(河北省3分)如图，在△ABC 中，C=90，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为A、 B、2 C、3 D、4【答案】B。

【考点】翻折变换(折叠问题)，相似三角形的判定和性质。

【分析】∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，EDA=EDA=90，AE=AE，△ACB∽△AED。

又∵A为CE的中点，AE=AE=AC。

ED=2。

故选B。

3.(山西省2分)如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形.若DE=2cm，则AC的长为A. cmB.4cmC. cmD. cm【答案】D。

【考点】等腰三角形的性质，三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理。

【分析】根据三角形的中位线定理可得出BC=4，由AB=AC，可证明BG=CF=1，由勾股定理可求出CE= ，即可得出AC=2 。

故选D。

4.(内蒙古呼和浩特3分)如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是A、9cmB、12cmC、15cm或12cmD、15cm【答案】D。

【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。

【分析】求等腰三角形的周长，即要确定等腰三角形的腰与底的长，根据三角形三边关系知当6为腰，3为底时，6﹣36+3，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15;当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形。

故选D。

5.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图，△ACB≌△A1CB1, BCB1=30，则ACA1的度数为A. 20B. 30C. 35D. 40【答案】B。

2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷及答案

2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷及答案

2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A.85°B.75°C.65°D.60°（第1题图）（第2题图）2.如图，平行线AB，CD 被直线EF 所截，过点B 作BG⊥EF 于点G，已知∠1=50°，则∠B=（）A.20°B.30°C.40°D.50°3.如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB=2米，要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（）A．米B．2sin70°米C．米D． 2.2cos70°米（第3题图）（第5题图）4.在Rt△ABC 中，∠C=90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tanB 的值是（）A．B．3C．D．5.如图，每个小方格的边长为1，A，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且△ABC 是等腰三角形，那么点C 的个数为（）A.1B.2C.3D.46.已知三角形三边长分别为2，x，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（）A.2B.3C.5D.137.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A．2B．3C．4D．（第7题图）（第8题图）8.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D，DE 是BC 的垂直平分线，点E 是垂足．已知DC=5，AD=2，则图中长为的线段有（）A．4条B．3条C．2条D．1条9.如图，在△ABC 外任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，DF，得△DEF，则下列说法错误的是（）A．△ABC 与△DEF 是位似图形B．△ABC 与△DEF 是相似图形C．△ABC 与△DEF 的周长比为1∶2D．△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1（第9题图）（第10题图）10.如图，在数轴上有A，B，C，D 四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A，D 两点表示的数分别为-5和6，且AC 的中点为E，BD 的中点为M，BC 之间距点B 的距离为BC 的点为N，则该数轴的原点为（）A．点EB．点FC．点MD.点N 11.如图，将宽为1cm 的纸条沿BC 折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（）（第11题图）（第12题图）12.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠C，将△ABC 绕点B。

2022年浙江各地数学中考真题(杭州温州金华嘉兴等)按知识点汇编专题09 平行线与三角形(原卷版)

2022年浙江各地数学中考真题(杭州温州金华嘉兴等)按知识点汇编专题09 平行线与三角形(原卷版)

专题09平行线与三角形一、单选题1．（2022·台州）如图，已知190∠=︒，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）A ．290∠=︒B ．390∠=︒C ．490∠=︒D ．590∠=︒2．（2022·杭州）如图，已知AB CD ∥，点E 在线段AD 上（不与点A ，点D 重合），连接CE ．若∠C ＝20°，∠AEC ＝50°，则∠A ＝（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°3．（2022·绍兴）如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，30C ∠=︒，AC ∥EF ，则1∠=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°4．（2022·台州）如图，点D 在ABC 的边BC 上，点P 在射线AD 上（不与点A ，D 重合），连接PB ，PC ．下列命题中，假命题是（ ）A ．若AB AC =，AD BC ⊥，则PB PC = B ．若PB PC =，AD BC ⊥，则AB AC =C ．若AB AC =，12∠=∠，则PB PC =D ．若PB PC =，12∠=∠，则AB AC =5．（2022·杭州）如图，CD ⊥AB 于点D ，已知∠ABC 是钝角，则（ ）A ．线段CD 是ABC 的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC 的AB 边上的高线C ．线段AD 是ABC 的BC 边上的高线 D ．线段AD 是ABC 的AC 边上的高线6．（2022·湖州）如图，将△ABC 沿BC 方向平移1cm 得到对应的△A ′B ′C ′．若B ′C =2cm ，则BC ′的长是（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm7．（2022·湖州）如图，已知在锐角△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，E 是AD 上一点，连结EB ，E C ．若∠EBC ＝45°，BC ＝6，则△EBC 的面积是（ ）A ．12B ．9C ．6D ．32 8．（2022·宁波）如图，在Rt ABC 中，D 为斜边AC 的中点，E 为BD 上一点，F 为CE 中点．若AE AD =，2DF =，则BD 的长为（ ）A ．22B ．3C ．23D ．49．（2022·金华）如图，AC 与BD 相交于点O ，,OA OD OB OC ==，不添加辅助线，判定ABO DCO △≌△的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL10．（2022·金华·）已知三角形的两边长分别为5cm 和8cm ，则第三边的长可以是（ ）A ．2cmB ．3cmC ．6cmD ．13cm 二、填空题11．（2022·嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件．12．（2022·台州）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．若EF 的长为10，则CD 的长为________．13．（2022·杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB 的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC =8.72m ，EF =2.18m ．已知B ，C ，E ，F 在同一直线上，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，DE =2.47m ，则AB =_________m ．14．（2022·湖州）如图，已知在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE BC ∥，13AD AB =．若DE ＝2，则BC 的长是______．15．（2022·嘉兴）如图，在ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB ，AC 于点D ，E ．点B ，C ，D ，E 处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD 的长为_________．16．（2022·温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M 在旋转中心O 的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片,OA OB ，此时各叶片影子在点M 右侧成线段CD ，测得8.5m,13m MC CD ==，垂直于地面的木棒EF 与影子FG 的比为2∶3，则点O ，M 之间的距离等于___________米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________米．17．（2022·绍兴）如图，在ABC 中，40ABC ∠=︒，80BAC ∠=︒，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交射线BA 于点D ，连接CD ，则BCD ∠的度数是______．18．（2022·金华）如图，在Rt ABC 中，90,30,2cm ACB A BC ∠=︒∠=︒=．把ABC 沿AB 方向平移1cm ，得到A B C '''，连结CC '，则四边形AB C C ''的周长为_____cm ．19．（2022·丽水）一副三角板按图1放置，O 是边()BC DF 的中点，12cm BC =．如图2，将ABC 绕点O 顺时针旋转60︒，AC 与EF 相交于点G ，则FG 的长是___________cm ．三、解答题20．（2022·温州）如图，BD是ABC的角平分线，DE BC∥，交AB于点E．(1)求证：EBD EDB∠=∠．(2)当AB AC=时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．21．（2022·杭州）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，DE1 BC4=．(1)若8AB=，求线段AD的长．(2)若ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．22．（2022·杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．(1)求证：CE=CM．(2)若AB=4，求线段FC的长．23．（2022·绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．(1)如图，当P与E重合时，求α的度数．(2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．24．（2022·宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．(1)在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．（画出一个即可）(2)在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图25．（2022·丽水）如图，在66形．(1)如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；(2)如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；(3)如图3，作一个与ABC相似的三角形，相似比不等于1．。

中考数学模拟题汇总《平行线的证明》专项练习(附答案解析)

中考数学模拟题汇总《平行线的证明》专项练习(附答案解析)

中考数学模拟题汇总《平行线的证明》专项练习(附答案解析)一、综合题1．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．2．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC ，DF⊥AE，垂足为F，连接DE。

（1）求证：AB=DF；（2）若CE=1，AF=3，求DF的长。

3．如图，在△ABC和△DCE中，AC=DE，∠B=∠DCE=90°，点A，C，D在同一直线上，且AB∥DE，连接AE.（1）求证：△ABC≌△DCE.（2）当BC=5，AC=12时，求AE的长.4．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是.（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点E（如图4）.若在射线BA上存在点F，使SΔDCF=SΔFDE，请直接写出相应的BF的长.5．如图, ∠1+∠2=180° , ∠DEF=∠A , ∠BED=70° .（1）求证: EF//AB :（2）求∠ACB的度数.6．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．7．在△ABC中，点D在直线AB上，在直线BC上取一点E，连接AE，DE，使得 AE=DE，DE交AC于点G，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，∠EAC=∠DEF．（1）当点E在BC的延长线上，D为AB的中点时，如图1所示．①求证：∠EGC=∠AEC；②若DF=3，求BE的长度；（2）当点E在BC上，点D在AB的延长线上时，如图2所示，若CE=10，5EG=2DE，求AG的长度．8．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2√2，点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=12AB，连接DE .将△ADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为θ .（1）（问题发现）①当θ=0°时，BECD =；②当θ=180°时，BECD=；（2）（拓展研究）试判断：当0°≤θ<360°时，BECD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题解决）在旋转过程中，求出BE的最大值.9．如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝3，CE＝2，的值；①求BCAEEG最小值．②若点G为AE上一点，求OG+ 1210．如图，已知在菱形ABCD中，AB=5，cosB=3，点E、F分别在边BC、CD上，AF的延长5∠BAD．线交BC的延长线于点G，且∠EAF=12（1）求证：AE2=EC⋅EG；（2）如果点F是边CD的中点，求S△ABE的值；（3）延长AE、DC交于点H，联结GH、AC，如果△AGH与△ABC相似，求线段BE的长．11．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心的圆恰好经过A、B、C三点，⌢=CE⌢，连接OA、OF．⊙O交BD于E，交AD于F，且AE（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数．，过点C作CD∥AB，点E在边AC上，AE=CD，联结12．在△ABC中，AB=AC=10，sin∠BAC= 35AD，BE的延长线与射线CD、射线AD分别交于点F、G．设CD=x，△CEF的面积为y．（1）求证：∠ABE=∠CAD．（2）如图，当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式及定义域．（3）若△DFG是直角三角形，求△CEF的面积．13．在ΔABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点M，点N同时从点A出发，点M沿边AB以4cm/s的速度向点B运动，点N从点A出发，沿边AC以3cm/s 的速度向点C运动（点M不与A，B重合，点N不与A，C重合），设运动时间为xs .（1）求证：ΔAMN∽ΔABC；（2）当x为何值时，以MN为直径的⊙O与直线BC相切？（3）把ΔAMN沿直线MN折叠得到ΔMNP，若ΔMNP与梯形BCNM重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？14．如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作CD∥AB，且CD=OB .连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与⊙O交于点G，若∠ABC=45∘ .（1）求证：①△ABF∽△DCF；②CD是⊙O的切线.（2）求EF的值.FG15．小东在做九上课本123页习题：“1：√2也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：√2．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．16．在等腰△ABC中，AB=BC，点D，E在射线BA上，BD=DE，过点E作EF//BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE+BC=CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若DE=2AE=6，则CF=．参考答案与解析1．【答案】（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，∴OE=OC，OC=OF，∴OE=OF（2）解：当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，∵AO=CO，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECA+∠ACF= 12∠BCD，∴∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形2．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中∴BC=AD AD∥BC，∠B=∠C=90°∴∠DAF=∠AEB∵DF⊥AE，AE=BC，∴∠AFD=90°=∠B，AE=AD∴△ABE≌△DFA，∴AB=DF（2）解：由(1)可得△ABE≌△DFA，∴AF=BE=3，DF=AB=CD∴∠DFE=∠DCE∴△DFE≌△DCE，∴CE=EF=1，AE=4在Rt△ABE中，AB= √42−32 = √73．【答案】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠BAC=∠D.在△ABC和△DCE中，{∠B=∠DCE∠BAC=∠DAC=DE∴△ABC≌△DCE（AAS）（2）解：由（1）可得△ABC≌△DCE，∴CE=BC=5，在Rt△ACE中，AE=√AC2+CE2=√122+52=13.4．【答案】（1）DE∥AC；S1＝S2（2）解：如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，{∠ACN=∠DCM∠CMD=∠N=90°AC=CD，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2（3）解：如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD= 12∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB= 12×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，{DF1=DF2∠CDF1=∠CDF2CD=CD，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD= 12×60°=30°，又∵BD=4，∴BE= 12×4÷cos30°=2÷√32= 4√33，∴BF1= 4√33，BF2=BF1+F1F2= 4√33+ 4√33= 8√33，故BF的长为4√33或8√33．5．【答案】（1）解：∵∠1+∠DFE=180°，∴∠1+∠2=180°.∴∠DFE=∠2，∴EF//AB；（2）解：∵EF//AB ， ∴∠DEF=∠BDE. 又∵∠DEF=∠A ， ∴∠BDE=∠A ， ∴DE//AC ， ∴∠ACB=∠DEB. 又∵∠DEB=70°， ∴∠ACB=70°.6．【答案】（1）解：连接OF ；根据切线长定理得：BE=BF ，CF=CG ，∠OBF=∠OBE ，∠OCF=∠OCG ； ∵AB ∥CD ，∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴∠OBE+∠OCF=90°， ∴∠BOC=90°（2）解：由（1）知，∠BOC=90°．∵OB=6cm ，OC=8cm ，∴由勾股定理得到：BC= √OB 2+OC 2 =10cm ，∴BE+CG=BC=10cm（3）解：∵OF ⊥BC ，∴∠BFO=∠OFC=90°∵∠BOC=90°∴∠BOF+∠COF=90°，∠COF+∠FCO=90°。

中考数学复习专题11平行线与三角形

中考数学复习专题11平行线与三角形

平行线与三角形一、单选题1．（2021·山东临沂市）如图，在//AB CD 中，40AEC ∠=︒，CB 平分DCE ∠，则ABC ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到∠ABC =∠BCD ，再根据角平分线的定义得到∠ABC =∠BCD ，再利用三角形外角的性质计算即可．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴∠ABC =∠BCD ，∵CB 平分∠DCE ，∴∠BCE =∠BCD ，∴∠BCE =∠ABC ，∵∠AEC =∠BCE +∠ABC =40°，∴∠ABC =20°，故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和外角的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．2．（2021·四川眉山市）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若148∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．42°B ．48°C ．52°D ．60°【答案】A 【分析】先通过作辅助线，将∠1转化到∠BAC ，再利用直角三角形两锐角互余即可求出∠2．【详解】解：如图，延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点A ，由矩形对边平行，可得∠1=∠BAC ，因为BC ⊥AB ，∴∠BAC +∠2=90°，∴∠1+∠2=90°，因为∠1=48°，∴∠2=42°；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质等内容，要求学生能根据题意理解其中的隐含关系，解决本题的关键是对角进行的转化，因此需要牢记并能灵活应用相关性质等．3．（2021·四川乐山市）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆成的“叶问蹬”图．则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（）A．3 B．72C．2 D．52【答案】A【分析】根据由边长为4的正方形分割制作的七巧板，可得共5种图形，然后根据阴影部分的构成图形，计算阴影部分面积即可．【详解】解：如下图所示，由边长为4的正方形分割制作的七巧板，共有以下几种图形：○1腰长是2的等腰直角三角形，的正方形，⑤边长分别是245和135的平行四边形，根据图2可知，图中抬起的“腿”的等腰直角三角形，和一个边长分别是2，顶角分别是45和135的平行四边形组成，如下图示，根据平行四边形的性质可知，顶角分别是45和135的平行四边形的高是DB，且DB=，的等腰直角三角形的面积是：112=，顶角分别是45和135的平行四边形的面积是：2=，∴阴影部分的面积为：123+=，故选：A．【点睛】本题考查了七巧板中的图形的构成和面积计算，熟悉七巧板中图形的分类是解题的关键．4．（2021·湖南岳阳市）下列命题是真命题的是（）A．五边形的内角和是720︒B．三角形的任意两边之和大于第三边C．内错角相等D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点【答案】B【分析】根据相关概念逐项分析即可．【详解】A 、五边形的内角和是540︒，故原命题为假命题，不符合题意；B 、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；C 、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；D 、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．5．（2021·安徽）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为（ ）A ．60︒B ．67.5︒C ．75︒D ．82.5︒【答案】C【分析】根据//BC EF ，可得45FDB F ∠=∠=︒，再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得6045B F ∠=︒∠=︒，，∵//BC EF ，∴45FDB F ∠=∠=︒， ∴180180456075BMD FDB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．6．（2021·浙江金华市）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（ ）A ．两直线平行，内错角相等B ．内错角相等，两直线平行C ．两直线平行，同位角相等D ．两直线平行，同旁内角互补【答案】C 【分析】首先准确分析题目，已知12//l l ，结论是34∠=∠，所以应用的是平行线的性质定理，从图中得知∠3和∠4是同位角关系，即可选出答案．【详解】解：∵12//l l ，∴34∠=∠（两直线平行，同位角相等）．故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的应用，解题的关键是理解平行线之间内错角的位置，从而准确地选择出平行线的性质定理．7．（2021·云南）如图，直线c 与直线a 、b 都相交．若//a b ，155∠=︒，则2∠=（ ）A ．60︒B ．55︒C ．50︒D ．45︒【答案】B 【分析】直接利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可得出答案．【详解】解：如图，1=55∠︒， 3=55,∴∠︒ ∵a ∥b ，∠3=55°，∴∠2=∠3=55°．故选B ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确掌握平行线的基本性质是解题关键．8．（2021·山东）如图，AB ∥CD ∥EF ，若∠ABC ＝130°，∠BCE ＝55°，则∠CEF 的度数为（ ）A ．95°B ．105°C ．110°D ．115°【答案】B 【分析】由//AB CD 平行的性质可知ABC DCB ∠=∠，再结合//EF CD 即可求解．【详解】解：//AB CD 130ABC DCB ∴∠=∠=︒1305575ECD DCB BCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒//EF CD 180ECD CEF ∴∠+∠=︒18075105CEF ∴∠=︒-︒=︒故答案是：B ．【点睛】本题考查平行线的性质和角度求解，难度不大，属于基础题．解题的关键是掌握平行线的性质．9．（2021·山东泰安市）如图，直线//m n ，三角尺的直角顶点在直线m 上，且三角尺的直角被直线m 平分，若160∠=︒，则下列结论错误的是（ ）A ．275∠=︒B ．345∠=︒C ．4105∠=︒D ．5130∠=︒【答案】D 【分析】根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数．【详解】首先根据三角尺的直角被直线m 平分，∴∠6=∠7=45°；A 、∵∠1=60°，∠6=45°，∴∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m ∥n ，∴∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；B 、∵∠7=45°，m ∥n ，∴∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；C 、∵∠8=75°，∴∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；D 、∵∠7=45°，∴∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 10．（2021·四川资阳市）如图，已知直线//,140,230m n ∠=︒∠=︒，则3∠的度数为（ ）A ．80︒B ．70︒C ．60︒D ．50︒【答案】B 【分析】如图，由题意易得∠4=∠1=40°，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：如图，∵//,140m n ∠=︒，∴∠4=∠1=40°，∵230∠=︒，∴34270∠=∠+∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．11．（2021·四川广元市）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 是BC 边的中点，点P 是AC 边上一个动点，连接PD ，以PD 为边在PD 的下方作等边三角形PDQ ，连接CQ ．则CQ 的最小值是（ ）A ．2B ．1CD ．32【答案】B【分析】以CD 为边作等边三角形CDE ，连接EQ ，由题意易得∠PDC =∠QDE ，PD =QD ，进而可得△PCD ≌△QED ，则有∠PCD =∠QED =90°，然后可得点Q 是在QE 所在直线上运动，所以CQ 的最小值为CQ ⊥QE 时，最后问题可求解．【详解】解：以CD 为边作等边三角形CDE ，连接EQ ，如图所示：∵PDQ 是等边三角形，∴60,,CED PDQ CDE PD QD CD ED ∠=∠=∠=︒==，∵∠CDQ 是公共角，∴∠PDC =∠QDE ，∴△PCD ≌△QED （SAS ），∵90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 是BC 边的中点，∴∠PCD =∠QED =90°，122CD DE CE BC ====，∴点Q 是在QE 所在直线上运动， ∴当CQ ⊥QE 时，CQ 取的最小值，∴9030QEC CED ∠=︒-∠=︒，∴112CQ CE ==；故选B ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．12．（2021·河北）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，ACD ∠是ABC 的外角．求证：ACD A B ∠=∠+∠．下列说法正确的是（ ）A ．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B ．证法1用严谨的推理证明了该定理C ．证法2用特殊到一般法证明了该定理D ．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A 与B ，利用理论与实践相结合可判断C 与D ．【详解】解：A . 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A 不符合题意；B . 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B 符合题意；C . 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C 不符合题意；D . 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D 不符合题意．故选择：.B【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨．13．（2021·四川凉山州）如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（ ）A ．198B ．2C ．254D ．74【答案】D【分析】先在RtABC 中利用勾股定理计算出AB =10，再利用折叠的性质得到AE =BE ，AD =BD =5，设AE =x ，则CE =AC -AE =8-x ，BE =x ，在Rt △BCE 中根据勾股定理可得到x 2=62+（8-x ）2，解得x ，可得CE ．【详解】解：∵∠ACB =90°，AC =8，BC =6，∴AB ，∵△ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，∴AE =BE ，AD =BD =12AB =5， 设AE =x ，则CE =AC -AE =8-x ，BE =x ，在Rt △BCE 中∵BE 2=BC 2+CE 2，∴x 2=62+（8-x ）2，解得x =254，∴CE =2584-=74，故选：D ． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．14．（2021·陕西）如图，点D 、E 分别在线段BC 、AC 上，连接AD 、BE ．若35A ∠=︒，25B ∠=︒，50C ∠=︒，则1∠的大小为（ ）A ．60°B ．70°C ．75°D ．85°【答案】B 【分析】由题意易得105BEC ∠=︒，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：∵25B ∠=︒，50C ∠=︒，∴在Rt △BEC 中，由三角形内角和可得105BEC ∠=︒，∵35A ∠=︒，∴170BEC A ∠=∠-∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键．15．（2021·安徽）在△ABC 中，90ACB ∠=︒，分别过点B ，C 作BAC ∠平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是（ ） A ．2CD ME =B ．//ME ABC ．BD CD = D ．ME MD = 【答案】A【分析】设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．由题意易证△CAE ≌△FAE ，从而证明ME 为△CBF 中位线，即//ME AB ，故判断B 正确；又易证△AGD ≌△ABD ，从而证明D 为BG 中点．即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出CD BD =，故判断C 正确；由90HDM DHM ∠+∠=︒、90HCE CHE ∠+∠=︒和DHM CHE ∠=∠可证明HDM HCE ∠=∠．再由90HEM EHF ∠+∠=︒、EHC EHF ∠=∠和90EHC HCE ∠+∠=︒可推出 HCE HEM ∠=∠，即推出HDM HEM ∠=∠，即MD ME =，故判断D 正确；假设2CD ME =，可推出2CD MD =，即可推出30DCM ∠=︒．由于无法确定DCM ∠的大小，故2CD ME =不一定成立，故可判断A 错误．【详解】如图，设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．∵AD 是BAC ∠的平分线，HF AB ⊥，HC AC ⊥，∴HC =HF ，∴AF =AC ．∴在△CAE 和△FAE 中，AF AC CAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAE ≌△FAE ，∴CE FE =，∠AEC =∠AEF =90°，∴C 、E 、F 三点共线，∴点E 为CF 中点．∵M 为BC 中点，∴ME 为△CBF 中位线，∴//ME AB ，故B 正确，不符合题意；∵在AGD △和ABD △中，90GAD BAD AD AD ADG ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△AGD ≌△ABD ， ∴12GD BD BG ==，即D 为BG 中点．∵在BCG 中，90BCG ∠=︒，∴12CD BG =， ∴CD BD =，故C 正确，不符合题意；∵90HDM DHM ∠+∠=︒，90HCE CHE ∠+∠=︒，DHM CHE ∠=∠，∴HDM HCE ∠=∠． ∵HF AB ⊥，//ME AB ，∴HF ME ⊥，∴90HEM EHF ∠+∠=︒．∵AD 是BAC ∠的平分线，∴EHC EHF ∠=∠．∵90EHC HCE ∠+∠=︒， ∴HCE HEM ∠=∠，∴HDM HEM ∠=∠，∴MD ME =，故D 正确，不符合题意；∵假设2CD ME =，∴2CD MD =，∴在Rt △CDM 中，30DCM ∠=︒．∵无法确定DCM ∠的大小，故原假设不一定成立，故A 错误，符合题意．故选A ．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的判定和性质以及含30角的直角三角形的性质等知识，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键．16．（2021·重庆）如图，在△ABC 和△DCB 中，ACB DBC ∠=∠ ，添加一个条件，不能．．证明和△ABC 和△DCB 全等的是（ ）A ．ABC DCB ∠=∠ B ．AB DC = C ．AC DB =D ．A D ∠=∠【答案】B【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．【详解】选项A ，添加ABC DCB ∠=∠，在△ABC 和△DCB 中，ABC DCB BC CB ACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△DCB （ASA ）， 选项B ，添加AB DC =， 在△ABC 和△DCB 中，AB DC =，BC CB =，ACB DBC ∠=∠，无法证明△ABC ≌△DCB ； 选项C ，添加AC DB =，在ABC 和DCB 中，BC CB ACB DBC AC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DCB （SAS ）； 选项D ，添加A D ∠=∠，在ABC 和DCB 中，A D ACB DBC BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DCB （AAS ）； 综上，只有选项B 符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．17．（2021·浙江丽水市）如图，在Rt ABC △纸片中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，点,D E 分别在,AB AC 上，连结DE ，将△ADE 沿DE 翻折，使点A 的对应点F 落在BC 的延长线上，若FD 平分EFB ∠，则AD 的长为（ ）A ．259B ．258C ．157D ．207【答案】D【分析】先根据勾股定理求出AB ，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE ，AD=DF ，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE =∠DAE ，进而证得∠BDF=90°，证明Rt △ABC ∽Rt △FBD ，可求得AD 的长．【详解】解：∵90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，∴AB ==， 由折叠性质得：∠DAE=∠DFE ，AD=DF ，则BD =5﹣AD ，∵FD 平分EFB ∠，∴∠BFD =∠DFE=∠DAE ，∵∠DAE +∠B =90°，∴∠BDF +∠B =90°，即∠BDF =90°，∴Rt △ABC ∽Rt △FBD ，∴BD BC DF AC =即534AD AD -=，解得：AD =205，故选：D ． 【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．18．（2021·四川自贡市）如图，()8,0A ，()2,0C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（ ）A ．()0,5B ．()5,0C ．()6,0D ．()0,6【答案】D 【分析】先根据题意得出OA =8，OC =2，再根据勾股定理计算即可【详解】解：由题意可知：AC =AB ∵()8,0A ，()2,0C -∴OA =8，OC =2∴AC =AB =10在Rt △OAB 中，6OB ==∴B (0，6)故选：D【点睛】本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键19．（2021·重庆）如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B =∠E ，BF =EC ，添加一个条件，不等判断△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．AB =DEB ．∠A =∠DC ．AC =DFD ．AC ∥FD【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题． 【详解】解：BF =EC ，BC EF ∴=A. 添加一个条件AB =DE ，又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF SAS ∴△≌△ 故A 不符合题意；B. 添加一个条件∠A =∠D ，又,BC EF B E =∠=∠，∴△ABC ≌△DEF （AAS ），故B 不符合题意；C. 添加一个条件AC =DF ，不能判断△ABC ≌△DEF ，故C 符合题意；D. 添加一个条件AC ∥FD ， ACB EFD ∴∠=∠，又,BC EF B E =∠=∠，△ABC ≌△DEF （ASA ），故D 不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．20．（2021·江苏扬州市）如图，在44⨯的正方形网格中有两个格点A 、B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C ，使得ABC 是等腰直角．．．．三角形，满足条件的格点C 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB 为等腰直角△ABC 底边；②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB 为等腰直角△ABC 底边时，符合条件的C 点有0个； ②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰时，符合条件的C 点有3个．故共有3个点，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．21．（2021·浙江宁波市）如图，在△ABC 中，45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥于点D ，BD =若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）A B C ．1 D ．2【答案】C【分析】根据条件可知△ABD 为等腰直角三角形，则BD =AD ，△ADC 是30°、60°的直角三角形，可求出AC 长，再根据中位线定理可知EF =2AC . 【详解】解：因为AD 垂直BC ，则△ABD 和△ACD 都是直角三角形，又因为45,60,B C ∠=︒∠=︒所以AD =BD =sin ∠C =AD AC =AC =2， 因为EF 为△ABC 的中位线，所以EF =2AC =1，故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键．22．（2021·青海）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定【答案】A【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E．∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3．又∵BC=5，∴S△BCD=12BC•DE=12×5×3=7.5．故选A．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．二、填空题1．（2021·浙江）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是______．1【分析】据裁剪和拼接的线段关系可知CD =，1BD CE ==，在Rt ACD △中应用勾股定理即可求解．【详解】解：∵地毯平均分成了3=，∴CD =在Rt ACD △中，根据勾股定理可得AD =，根据裁剪可知1BD CE ==，∴1AB AD BD =-=1．【点睛】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键． 2．（2021·河北）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【答案】减少 10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF 与∠D 、∠E 、∠DCE 之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∵∠A +∠B =50°+60°=110°，∴∠ACB =180°-110°=70°，∴∠DCE =70°，如图，连接CF 并延长，∴∠DFM =∠D +∠DCF =20°+∠DCF ，∠EFM =∠E +∠ECF =30°+∠ECF ，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．3．（2021·青海）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是_____．【答案】40°【分析】由EF⊥BD，∠1=50°，结合三角形内角和为180°，即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．【详解】解：在△DEF中，∠1=50°，∠DEF=90°，∴∠D=180°-∠DEF-∠1=40°．∵AB∥CD，∴∠2=∠D=40°．故答案为40°．【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180°，解题关键是求出∠D=40°．解决该题型题目时，根据平行线的性质，找出相等或互补的角是解题技巧．4．（2021·山东聊城市）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD 与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF 值为____________．【答案】12:15:10【分析】由题意得：BF ⊥AC ，再根据三角形的面积公式，可得5432ABC SAD CE BF ===，进而即可得到答案．【详解】解：∵在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D 和点E ，AD 与CE 交于点O ，∴BF ⊥AC ，∵AB ＝5，BC ＝4，AC ＝6，∴111222ABC SBC AD AB CE AC BF =⋅=⋅=⋅， ∴5432ABC S AD CE BF ===，∴CE ：AD ：BF =12:15:10，故答案是：12:15:10． 【点睛】本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键． 5．（2021·江苏南京市）如图，在四边形ABCD 中，AB BC BD ==．设ABC α∠=，则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．【答案】11802α︒- 【分析】由等腰的性质可得：∠ADB =1902ABD ︒-∠，∠BDC =1902CBD ︒-∠，两角相加即可得到结论．【详解】解：在△ABD 中，AB =BD ∴∠A =∠ADB =11(180)9022ABD ABD ︒-∠=︒-∠ 在△BCD 中，BC =BD ∴∠C =∠BDC =11(180)9022CBD CBD ︒-∠=︒-∠ ∵ABC ABD CBD α∠=∠+∠= ∴ADC ADB CBD ∠=∠+∠ =11909022ABD CBD ︒-∠+︒-∠=1180()2ABD CBD ︒-∠+∠=11802ABC ︒-∠=11802α︒-故答案为：11802α︒-． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分别求出∠ADB=1902ABD ︒-∠，∠BDC=1902CBD ︒-∠是解答本题的关键． 6．（2021·江苏连云港市）如图，BE 是ABC 的中线，点F 在BE 上，延长AF 交BC 于点D ．若3BF FE =，则BD DC=______． 【答案】32【分析】连接ED ，由BE 是ABC 的中线，得到BE BCE S S =△A △，AED EDC S S =，由3BF FE =，得到3,3ABFBFDAFE FED S S S S ==，设=,AEF EFD S x S y =，由面积的等量关系解得53x y =，最后根据等高三角形的性质解得ABDADC S BD S DC =，据此解题即可． 【详解】解：连接EDBE 是ABC 的中线，ABE BCE S S ∴=，AED EDC S S = 3BF FE =3,3ABF BFD AFE FED S S S S ∴==设=,AEF EFD S x S y =，33ABF BFD S x S y ∴==， 4,4,4ABE BEC BED S x S x S y ∴===44EDC BECBED S S S x y ∴=-=-ADE EDC S S =44x y x y ∴+=-53x y ∴=ABD 与ADC 是等高三角形，53+33333833=516445325333ABD ADC y y SBD x y x y y S DC x y x y x y y y y ⨯++∴=====++--⨯-，故答案为：32． 【点睛】本题考查三角形的中线、三角形面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．7．（2021·浙江绍兴市）如图，在ABC 中，AB AC =，70B ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径作弧，交直线BC 于点P ，连结AP ，则BAP ∠的度数是_______．【答案】15︒或75︒【分析】分①点P 在BC 的延长线上，②点P 在CB 的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：①当点P 在BC 的延长线上时，如图∵AB AC =，70B ∠=︒，∴70B ACB ∠=∠=︒∴40CAB ∠=︒ ∵以点C 为圆心，CA 长为半径作弧，交直线BC 于点P ，∴AC =PC ∴∠=∠P CAP∵70∠=∠+∠=︒ACB B CAP ∴35∠=∠=P CAP ∴403575∠=∠+∠=+=BAP BAC CAP②当点P 在CB 的延长线上时，如图由①得70C ∠=︒，40CAB ∠=︒∵AC =PC ∴=55∠=∠P CAP∴-55-4015∠=∠∠==BAP CAP BAC 故答案为：15︒或75︒【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键．8．（2021·四川广安市）如图，将三角形纸片ABC 折叠，使点B 、C 都与点A 重合，折痕分别为DE 、FG .已知15ACB ∠=︒，AE EF =，DE =BC 的长为_______．【答案】4+【分析】由折叠的性质得出BE =AE ，AF =FC ，∠F AC =∠C =15°，得出∠AFE =30°，由等腰三角形的性质得出∠EAF =∠AFE =30°，证出△ABE 是等边三角形，得出∠BAE =60°，求出AE =BE =2，证出∠BAF =90°，利用勾股定理求出AF ，即CF ，可得BC ．【详解】解：∵把三角形纸片折叠，使点B 、点C 都与点A 重合，折痕分别为DE ，FG ， ∴BE =AE ，AF =FC ，∠F AC =∠C =15°，∴∠AFE =30°，又AE =EF ，∴∠EAF =∠AFE =30°，∴∠AEB =60°，∴△ABE 是等边三角形，∠AED =∠BED =30°，∴∠BAE =60°，∵DE =AE =BE =AB =cos30DE ︒=2，∴BF =BE +EF =4，∠BAF =60°+30°=90°，∴FC =AF =BC =BF +FC =4+，故答案为：4+．【点睛】此题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质；根据折叠的性质得出相等的边和角是解题关键．9．（2021·四川遂宁市）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是_____ ．【答案】12．=，根据三角形的周长公式计算即可．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB DC=，【详解】解：∵直线DE垂直平分BC，∴DB DC∴△ABD的周长5712=++=++=+=+=，故答案为：12．AB AD BD AB AD DC AB AC【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．10．（2021·江苏宿迁市）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为__尺．【答案】12【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．．【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB =AB '=x 尺，则水深AC =（x ﹣1）尺，因为B 'E =10尺，所以B 'C =5尺，在Rt △AB 'C 中，52+（x ﹣1）2=x 2，解之得x =13，即水深12尺，芦苇长13尺．故答案为：12．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．三、解答题1．（2021·湖北武汉市）如图，//AB CD ，B D ∠=∠，直线EF 与AD ，BC 的延长线分别交于点E ，F ．求证：DEF F ∠=∠．【答案】见解析【分析】根据已知条件//AB CD ，B D ∠=∠，得到DCF D ∠=∠，从而得到//AD BC ，即可证明DEF F ∠=∠．【详解】证明：∵//AB CD ，∴DCF B ∠=∠．∵B D ∠=∠，∴DCF D ∠=∠．∴//AD BC ．∴DEF F ∠=∠．【点睛】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．2．（2021·浙江温州市）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =． （1）求证：//DE BC ．（2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°【分析】（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出BED EBC ∠=∠，即可完成求证； （2）先求出∠ADE ，再利用平行线的性质求出∠ ABC ，最后利用角平分线的定义即可完成求解．【详解】解：（1）BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠．DB DE =，∴ABE BED ∠=∠，∴BED EBC ∠=∠，∴//DE BC ．（2）65A ∠=︒，45AED ∠=︒，∴18070ADE A AED ∠=︒-∠-∠=︒．//DE BC ．∴70ABC ADE ∠=∠=︒．BE 平分ABC ∠，∴1352EBC ABC ∠=∠=︒，即35EBC ∠=︒． 【点睛】本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．3．（2021·四川南充市）如图，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠内部一条射线，若AB AC =，BE AD⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ．求证：AF BE =．【答案】见详解【分析】根据AAS 证明△BAE ≌△ACF ，即可得AF BE =．【详解】证明：∵90BAC ∠=︒，∴∠BAE ＋∠CAF ＝90°，∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BEA ＝∠AFC ＝90°，∴∠BAE ＋∠EBA ＝90°，∴∠CAF ＝∠EBA ，∵AB ＝AC ，∴△BAE ≌△ACF ，∴AF BE =．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．4．（2021·浙江绍兴市）如图，在ABC 中，40A ∠=︒，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，BD BC CE ==，连结CD ，BE ．（1）若80ABC ∠=︒，求BDC ∠，ABE ∠的度数．（2）写出BEC ∠与BDC ∠之间的关系，并说明理由．【答案】（1）50BDC ∠=︒；20ABE ∠=︒；（2）110BEC BDC ∠+∠=︒，见解析【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出ACB ∠的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出BDC ∠，ABE ∠．（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含ABE ∠分别表示BEC ∠，BDC ∠，即可得到两角的关系．【详解】（1）80ABC ∠=︒，BD BC =，50BDC BCD ∴∠=∠=︒．在ABC 中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，40A ∠=︒，60ACB ∠=︒∴，CE BC =，60EBC ∴∠=︒．20ABE ABC EBC ∴∠=∠-∠=︒．（2）BEC ∠，BDC ∠的关系：110BEC BDC ∠+∠=︒．理由如下：设BEC α∠=，BDC β∠=．在ABE △中，40A ABE ABE α=∠+∠=︒+∠，CE BC =，CBE BEC α∴∠=∠=．2402ABC ABE CBE A ABE ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒+∠， 在BDC 中，BD BC =，2402180BDC BCD DBC ABE β∴∠+∠+∠=+︒+∠=︒．70ABE β︒∴=-∠．4070110ABE ABE αβ∴+=︒+∠+︒-∠=︒．110BEC BDC ∴∠+∠=︒．【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于180︒ ．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．5．（2021·陕西中考真题）如图，//BD AC ，BD BC =，点E 在BC 上，且BE AC =．求证：D ABC ∠=∠．【答案】见解析【分析】由题意易得EBD C ∠=∠，进而可证EDB ABC ≌△△，然后问题可求证． 【详解】证明：∵//BD AC ，∴EBD C ∠=∠．∵BD BC =，BE AC =，∴()EDB ABC SAS ≌．∴D ABC ∠=∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．6．（2021·湖南衡阳市）如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，,//,//AB DE AC DF BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．【答案】见解析【分析】根据//,//AC DF BC EF ，可以得到,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠，然后根据题目中的条件，利用ASA 证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：点A ，B ，C ，D ，E 在一条直线上∵//,//AC DF BC EF ∴,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠在△ABC 与△DEF 中CAB FDE AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABC DEF ASA △≌△ 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．7．（2021·浙江）已知在ACD △中，Р是CD 的中点，B 是AD 延长线上的一点，连结,BC AP ．（1）如图1，若90,60,,ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠===，求BC 的长．（2）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，如图2所示．若60,CAD BD AC ∠︒==，求证：2BC AP =．（3）如图3，若45CAD ∠=︒，是否存在实数m ，当BD mAC =时，2BC AP =？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）见解析；（3）存在，m =【分析】（1）先解直角三角形ABC 得出2AB AC =，从而得出△ADC 是等边三角形，再解直角三角形ACP 即可求出AC 的长，进而得出BC 的长；（2）连结BE ，先利用AAS 证出△CPA ≌△DPE ，得出AE =2PE ，AC =DE ，再得出△ADC 是等边三角形，然后由SAS 得出△CAB ≌△EBA ，得出AE =BC 即可得出结论；（3）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，连接BE ，过C 作CG ⊥AB 于G ，过E 作EN ⊥AB 于N ，由（2）得AE =2AP ，DE =AC ，再证明△AEN ≌△BCG ，从而得出△CAB ≌△EBA 得出DE =BE ，然后利用勾股定理即可得出m 的值．【详解】（1）解 90,60ACB CAD ∠=∠=︒︒，2cos60AC AB AC ︒==， BD AC =，AD AC =∴，∴△ADC 是等边三角形，60ACD ∴∠=︒Р是CD 的中点，AP CD ∴⊥，在Rt APC 中，AP =2sin 60AP AC ∴==︒，tan 60BC AC =︒=∴ （2）证明：连结BE ，//DE AC ，CAP DEP ∴∠=∠， ,CP DP CPA DPE =∠=∠，∴△CPA ≌△DPE ， 1,2AP EP AE DE AC ∴===， BD AC =，BD DE ∴=，又//DE AC ，60BDE CAD ∴∠=∠=︒，。

中考数学复习《角、相交线与平行线》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《角、相交线与平行线》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《角、相交线与平行线》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 线段【命题规律】主要考查：①两点之间线段最短；②两点确定一条直线这两个基本事实．【命题预测】与图形的变换中立体图形的侧面展开结合，求两点之间的最短距离，另外也会与对称性结合，考查两线段和的最小值．1. 如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( )A. 垂线段最短B. 经过一点有无数条直线C. 经过两点，有且仅有一条直线D. 两点之间，线段最短1. D第1题图第2题图2. 如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D.则图中能表示点到直线距离的线段共有( )A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条2. D【解析】AD是点A到直线BC的距离；BA是点B到直线AC的距离；BD是点B到直线AD的距离；CA是点C到直线AB的距离；CD是点C到直线AD的距离，共5条，故答案为D.命题点2 角、余角、补角及角平分线【命题规律】主要考查：①角度的计算(度分秒之间的互化)；②余角、补角的计算；③角平分线的性质．【命题预测】角、余角、补角及角平分线等基本概念是图形认识的基础，应给予重视．3. 下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( )3. B4. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为________．4. 3【解析】如解图，过点P作PD⊥OA于点D，∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，∴PD＝PC，∵PC＝3，∴PD＝3，即点P到点OA的距离为3.5. 1.45°＝________′.5. 87【解析】∵1°＝60′，∴0.45°＝27′，∴1.45°＝87′.6. 已知∠A＝100°，那么∠A的补角为________度．6. 80【解析】用180度减去已知角，就得这个角的补角．即∠A的补角为：180°－100°＝80°.命题点3 相交线与平行线【命题规律】考查形式：①三线八角中同位角、内错角、同旁内角的识别或计算，有时综合对顶角、邻补角求角度；②综合角平分线、垂线求角度；③综合三角形的相关知识求角度；④根据角的关系判断两直线的关系．【命题预测】平行线性质是认识图形的基础知识，也是全国命题的潮流和方向．7. 如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是( )A. 同位角B. 内错角C. 同旁内角D. 对顶角7. B【解析】根据相交线的性质及角的定义可知∠1与∠2的位置关系为内错角，故选B.第7题图第8题图第9题图8. 如图，已知a、b、c、d四条直线，a∥b，c∥d，∠1＝110°，则∠2等于( )A. 50°B. 70°C. 90°D. 110°8. B【解析】如解图，∵a∥b，∴∠3＋∠4＝180°，∵c∥d，∴∠2＝∠4，∵∠1＝∠3，∴∠2＝180°－∠1＝70°，故本题选B.9. 如图，在下列条件中，不能．．判定直线a与b平行的是( )A. ∠1＝∠2B. ∠2＝∠3C. ∠3＝∠5D. ∠3＋∠4＝180°9. C【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误A∵∠1＝∠2，即同位角相等，两直线平行，∴a∥b √B∵∠2＝∠3，即内错角相等，两直线平行，∴a∥b √∵∠3、∠5既不是a与b被第三直线所截的同位角，也不是内错角，×C∴∠3＝∠5，不能够判定a与b平行D∵∠3＋∠4＝180°，即同旁内角互补，两直线平行，∴a∥b √10. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝50°，那么∠2的度数是( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°10. B 【解析】如解图，∠1＋∠3＝90°，∴∠3＝90°－∠1＝90°－50°＝40°，由平行线性质得∠2＝∠3＝40°.11. 如图所示，AB ∥CD ，EF ⊥BD ，垂足为E ，∠1＝50°，则∠2的度数为( )A . 50°B . 40°C . 45°D . 25°11. B 【解析】∵EF ⊥BD ，∠1＝50°，∴∠D ＝90°－50°＝40°，∵AB ∥CD ，∴∠2＝∠D ＝40°.第10题图 第11题图 第12题图 第13题图12. 如图，AB ∥CD ，直线EF 与AB ，CD 分别交于点M ，N ，过点N 的直线GH 与AB 交于点P ，则下列结论错误的是( )A . ∠EMB ＝∠END B . ∠BMN ＝∠MNC C . ∠CNH ＝∠BPGD . ∠DNG ＝∠AME12. D 【解析】A.两直线平行，同位角相等，∴∠EMB ＝∠END ；B.两直线平行，内错角相等，∴∠BMN ＝∠MNC ；C.两直线平行，同位角相等，∴∠CNH ＝∠APH ，又∠BPG ＝∠APH ，∴∠CNH ＝∠BPG ；D.∠DNG 和∠AME 无法推导数量关系，故不一定相等，答案为D.13. 如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠P＝________°.13. 75 【解析】如解图，过点P 作PH ∥a ∥b ，∴∠FPH ＝∠1，∠EPH ＝∠2，又∵∠1＝45°，∠2＝30°，∴∠EPF ＝∠EPH ＋∠HPF ＝30°＋45°＝75°.命题点4 命 题【命题概况】命题考查的知识点比较多，一般几个知识点结合考查，考查形式有：①下面说法错误(正确)的是；②写出命题…的逆命题；③能说明…是假命题的反例．【命题趋势】命题为新课标新增内容，考查知识比较综合，是全国命题点之一．14. (2016宁波)能说明命题“对于任何实数a ，|a|＞－a”是假命题的一个反例可以是( )A . a ＝－2B . a ＝13C . a ＝1D . a ＝ 214. A 【解析】由于一个正数的绝对值是它本身，它的相反数是一个负数，所以当a ＝13，1，2时，|a |>－a 总是成立，当a ＝－2时，|－2|＝2＝－(－2)，此时|a |＝－a ，故本题选A.15. 写出命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b”的逆命题．．．：________________________． 15. 如果3a ＝3b ，那么a ＝b 【解析】命题由条件和结论构成，则其逆命题只需将原来命题的条件和结论互换即可，即将结论作为条件，将条件作为结论. ∵命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b ，”中条件为“如果a ＝b ”，结论为“那么3a ＝3b ”，∴其逆命题为“如果3a ＝3b ，那么a ＝b ”．中考冲刺集训一、选择题1. 如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC＝35°，则∠1的度数为( )A. 65°B. 55°C. 45°D. 35°第1题图第2题图第3题图2. 如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C＝50°，则∠AED＝( )A. 65°B. 115°C. 125°D. 130°3. 如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是( )A．75°36′B．75°12′C．74°36′D．74°12′二、填空题4. 如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝50°，则∠A＝________.第4题图第5题图第6题图5. 如图，直线CD∥EF，直线AB与CD、EF分别相交于点M、N，若∠1＝30°，则∠2＝________．6. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放．若∠EMB＝75°，则∠PNM等于________度．7. 如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD.若∠1＝54°，则∠2＝________°.第7题图第8题图第9题图8. 如图，AB∥CD∥EF，若∠A＝30°，∠AFC＝15°，则∠C＝________．9.如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝________．答案与解析：1. B【解析】∵DA⊥AC，∠ADC＝35°，∴∠ACD＝90°－∠ADC＝90°－35°＝55°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD＝55°，故选B.2. B【解析】∵AB∥CD，∴∠C＋∠CAB＝180°，∵∠C＝50°，∴∠CAB＝130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝12∠CAB＝65°.又∵AB∥CD，∴∠AED＋∠EAB＝180°，∴∠AED＝180°－∠EAB＝180°－65°＝115°.3. B【解析】根据平面镜反射原理可知，∠ADC＝∠ODE，∵DC∥OB，∴∠ADC＝∠AOE，∴∠ODE＝∠AOE＝37°36′，∴∠DEB＝∠ODE＋∠AOE＝37°36′＋37°36′＝75°12′，故选B.4. 50°5. 30°6. 307. 72【解析】∵CD∥AB，∴∠CBA＝∠1＝54°，∠ABD＋∠CDB＝180°，∵CB平分∠ABD，∴∠DBC＝∠CBA＝54°，∴∠CDB＝180°－54°－54°＝72°，∴∠2＝∠CDB＝72°.8. 15°【解析】由两直线平行，内错角相等，可得∠A＝∠AFE＝30°，∠C＝∠CFE，由∠AFC＝15°，可得∠CFE＝∠C＝∠AFE－∠AFC＝15°.第9题解图9. 2【解析】如解图，过点P作PE⊥OB于点E，∵OP平分∠AOB，∴PD＝PE，∠AOB＝2∠AOP＝30°，∵PC∥OA，∴∠ECP＝∠AOB＝30°，∴PE＝12PC＝2，∴PD＝PE＝2.。

中考数学模拟题汇总《平行线的判定》专项练习(附答案解析)

中考数学模拟题汇总《平行线的判定》专项练习(附答案解析)

中考数学模拟题汇总《平行线的判定》专项练习(附答案解析)一、综合题1．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠DAC=45°，OA=1，求OC的长．2．已知等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以A为顶点作等腰直角△ADE，其中AD＝DE．（1）如图1，点E在BA的延长线上，连接BD，若∠DBC＝30°，若AB＝6，求BD的值；（2）将等腰直角△ADE绕点A顺时针旋转至图2，连接BE，CE，过点D作DF⊥CE交CE的延长线于F，BE；交BE于M，求证：BM＝12（3）如图3，等腰直角△ADE的边长和位置发生变化的过程中，DE边始终经过BC的中点G，连接BE，N 为BE中点，连接AN，当AB＝6且AN最长时，连接NG并延长交AC于点K，请直接写出△ANK的面积．3．如图，一条抛物线经过原点和点C(8，0)，A、B是该抛物线上的两点，AB∥x轴，点A坐标为(3，4)，点E在线段OC上，点F在线段BC上，且满足∠BEF=∠AOC .（1）求抛物线的解析式；（2）若四边形OABE的面积为14，求S△ECF；（3）是否存在点E，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由. 4．如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图所示二次函数y1 = x2 + 2x + 2与y2 = x2 - 2x + 2是“关于y轴对称二次函数”．（1）二次函数y= 2（x + 2）2 + 1的“关于y轴对称二次函数”解析式为；二次函数y = a（x - h）2 + k的“关于y轴对称二次函数”解析式为；（2）如备用图，平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式．（3）在第（2）题的情况下，如果M是两个抛物线上的一点，以点A，O，C，M为顶点能否构成梯形. 若能，求出此时M坐标；若不能，说明理由.5．如图1，我们把一副两个三角板如图摆放在一起，其中OA，OD在一条直线上，∠B＝45°，∠C＝30°，固定三角板ODC，将三角板OAB绕点O按顺时针方向旋转，记旋转角∠AOA'＝α（0＜α＜180°）．（1）在旋转过程中，当α为度时，A'B'∥OC，当α为度时，A'B'⊥CD；（2）如图2，将图1中的△OAB以点O为旋转中心旋转到△OA'B'的位置，求当α为多少度时，OB'平分∠COD；（3）当90°＜α＜120°时，连接A'D，利用图3探究∠B'A'D+∠B'OC+∠A'DC值的大小变化情况，并说明理由．6．如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点(与点A不重合)，BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D。

中考数学专项练习三角形(含解析)

中考数学专项练习三角形(含解析)

中考数学专项练习三角形（含解析）一、单选题1.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△AB C绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，现在点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A.30，2B.60，2C.60，D.60，2.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点，过点D分别向AB、AC作垂线段，则能够说明△BDE≌△CDF的理由是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS3.如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于M，N两点；第二步，连结MN，分别交AB，AC于点E，F；第三步，连结D E，DF．若BD=6，AF=5，CD=3，则BE的长是（）A.7B.8C.9D.104.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A、C作直线L的垂线，垂足分别为E、F，若AE=1，CF=2，则AB的长为（）A.B.2C.3D.5.如图，工人师傅为了固定六边形木架ABCDEF，通常在AC，AD，D F处加三根木条，使其不变形，这种做法的依照是（）A.长方形的四个角差不多上直角B.长方形的对称性C.三角形的稳固性D.两点之间线段最短6.如图,AB∥EF,C是EF上一个动点,当点C的位置变化时,△ABC的面积将()A.变大B.变小 C.不变 D.变大变小要看点C 向左依旧向右移动7.如图，、分别是、的中点，则（）2B.1∶3C.1∶4D.2∶38.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A.1B.2C.3D.49.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ÐADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为A.9B.12C.15D.1810.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）个B.6个C.8个D.10个二、填空题11.如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△A PB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=________．12.已知实数x，y满足|x﹣8|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________13.已知是关于x的方程的一个根，同时等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是那个方程的两个根，则△ABC的周长为_____ ___．14.如图，P是正△ABC内一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是________．15.已知：如图，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E，延长AD交BC的延长线于F，连接DE，设BC=a，AC=b，AB=c，（a＜b＜c）给出以下结论正确的有_____ ___①CF=c﹣a；②AE=（a+b）；③DE=（a+b﹣c）；④DF=（b+c﹣a）16.已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么那个直角三角形斜边上的高为________cm．17.如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC边上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，则DE+DF=________．18.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=4，AC=3，AD⊥BC于点D，则△ACD与△ABC的面积比为________三、运算题19.依照问题进行运算：（1）运算：×﹣4××（1﹣）0；（2）已知三角形两边长为3，5，要使那个三角形是直角三角形，求出第三边的长．20.如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．21.在△ABC中，∠A=38°，∠B=70°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB，DP⊥CE于点P，求∠CDP的度数．四、解答题22.如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东7 5°方向上，在海岛上的观看所A测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向．若轮船行驶到C处，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？23.如图，ABCD为平行四边形，DFEC和BCGH为正方形．求证：AC ⊥EG．五、综合题24.请在方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，2 ，4 ，求：（1）画出△ABC并求出它的面积；（2）求出最长边上高．25.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．（1）判定直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】含30度角的直角三角形，专门角的三角函数值，解直角三角形，旋转的性质【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=3 0°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2 ，AB=2BC=4，∵△EDC是△ABC旋转而成，∴BC=CD=BD= AB=2，∵∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，∵BD= AB=2，∴DF是△ABC的中位线，∴DF= BC= ×2=1，CF= AC= ×2 = ，∴S阴影= DF×CF= ×= ．故答案为：C．【分析】先依照已知条件求出AC的长及∠B的度数，再依照图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判定出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判定出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论。

2022年全国中考数学试题真题汇编 相交线与平行线(一)

2022年全国中考数学试题真题汇编 相交线与平行线(一)

2022年全国中考数学试题真题汇编相交线与平行线（一）一、单选题1．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则1∠的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°【来源】贵州省毕节市2022年中考数学真题【答案】B【解析】【分析】利用三角形外角性质或者三角形内角和以及平行线的性质解题即可．【详解】解：如图，，∠=︒∠=︒360445∴∠=︒-︒-︒=︒，2180604575直尺上下两边互相平行，1=2=75∴∠∠︒，故选：B．【点睛】本题主要考查一副三角板多对应的角度以及平行线的性质，本题难度小，解法比较灵活．2．如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【来源】山东省潍坊市2022年中考数学真题【答案】B【解析】【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，根据EF⊥平面镜，可得CD//EF，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角α的度数．【详解】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，⊥EF⊥平面镜，⊥CD//EF，⊥⊥CDH＝⊥EFH＝α，根据题意可知：AG⊥DF，⊥⊥AGC＝⊥CDH＝α，⊥⊥AGC＝α，⊥⊥AGC12=∠AGB12=⨯60°＝30°，⊥α＝30°．故选：B．【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG 平分⊥AGB ． 3．如图，直线//,1130a b ∠=︒，则2∠等于（ ）A ．70︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒【来源】山东省淄博市2022年中考数学试题【答案】C【解析】【分析】如图，由题意易得⊥2+⊥3=180°，⊥1=⊥3，然后问题可求解．【详解】解：如图所示：⊥//a b ，⊥⊥2+⊥3=180°，⊥31130∠=∠=︒，⊥250∠=︒；故选C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质及对顶角的定义，熟练掌握平行线的性质及对顶角的定义是解题的关键．4．如图，//m n ，其中140∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．130︒B ．140︒C ．150︒D ．160︒【来源】重庆市数学试题【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行同旁内角互补，可求出2∠的对顶角即可．【详解】解：如图：//m n ，13180∠+∠=︒，3140∴∠=︒，2,3∠∠互为对顶角；23140∴∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角、解题的关键是：利用平行线的性质得出同旁内角互补，再利用对顶角相等即可求解．5．如图，直线12l l //，直线3l 交1l 于点A ，交2l 于点B ，过点B 的直线4l 交1l 于点C ．若350∠=︒，123240∠+∠+∠=︒，则4∠等于（ ）A ．80︒B ．70︒C ．60︒D ．50︒【来源】内蒙古包头市、巴彦淖尔市2022年中考数学真题【答案】B【解析】根据平行线性质计算角度即可．【详解】解：⊥12l l //，350∠=︒，⊥1=18050130∠︒-︒=︒，⊥123240∠+∠+∠=︒，⊥2=240-180=60∠︒︒，⊥4=1802180605070BAC ACB ∠∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线性质，熟练识别同位角、内错角，同旁内角是解决本题的关键． 6．如图，在ABC 中，50B ∠=︒，70C ∠=︒，直线DE 经过点A ，50DAB ∠=︒，则EAC ∠的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【来源】内蒙古呼和浩特市2022年中考数学真题【答案】D【解析】【分析】根据B DAB ∠=∠可判断//DE BC ，再利用两直线平行内错角相等即可得出结论．【详解】50,50B DAB ∠=︒∠=︒，直线DE 经过点A ，//DE BC ∴70C ∠=︒70C EAC ∴∠=∠=︒故选：D ．本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题关键．7．如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）A ．1∠与2∠B ．1∠与3∠C ．1∠与4∠D ．2∠与4∠【来源】广西贺州市2022年中考数学真题【答案】B【解析】【分析】根据同旁内角的概念求解即可．【详解】解：由图可知，⊥1与⊥3是同旁内角，⊥1与⊥2是内错角，⊥4与⊥2是同位角，故选：B ．【点睛】本题考查了同旁内角的概念，属于基础题，熟练掌握同位角，同旁内角，内错角的概念是解决本题的关键．8．如图，//AB CD ，EF CD ⊥于点F ，若150BEF ∠=︒，则ABE ∠=（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒【来源】山东省东营市2022年中考数学真题【解析】【分析】过点E 作EH ⊥CD ，由此求出90HEF ∠=︒，得到60BEH ∠=︒，根据平行线的推论得到AB ⊥EH ，利用平行线的性质求出答案．【详解】解：过点E 作EH ⊥CD ，如图，⊥180DFE HEF ∠+∠=︒，⊥EF CD ⊥，⊥90DFE ∠=︒，⊥90HEF ∠=︒，⊥150BEF ∠=︒，⊥60BEH ∠=︒，⊥EH ⊥CD ，//AB CD ，⊥AB ⊥EH ，⊥ABE ∠=60BEH ∠=︒，故选：D ．【点睛】此题考查平行线的推论，平行线的性质，正确引出辅助线、熟记定理是解题的关键． 9．如图，//a b ，M ，N 分别在a ，b 上，P 为两平行线间一点，那么123∠+∠+∠= （ ）A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒【来源】初中数学【答案】C【解析】【分析】 首先过点P 作P A ⊥a ，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．【详解】解：过点P 作P A ⊥a ，则a ⊥b ⊥P A ，⊥⊥1+⊥MP A =180°，⊥3+⊥NP A =180°，⊥⊥1+⊥MPN +⊥3=360°．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．10．如图，//a b ，160∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．90︒B ．100︒C ．110︒D ．120︒【来源】河南省2022年中考数学真题【答案】D【解析】【分析】先利用“两直线平行，同位角相等”求出⊥3，再利用邻补角互补求出⊥2．【详解】解：如图，⊥a ⊥b ，⊥⊥1=⊥3=60°，⊥⊥2=180°-⊥3=120°，【点睛】本题考查了平行线的性质和邻补角互补的性质，解决本题的关键是牢记相关概念，本题较基础，考查了学生的基本功．11．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若⊥1＝47°，则⊥2＝（）A．40°B．43°C．45°D．47°【来源】浙江省台州市2022年中考数学真题【答案】B【解析】【分析】过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质即可求解．【详解】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，⊥直尺的两边互相平行，∠=∠=︒，⊥3147∠=︒-∠=︒，⊥490343∠=∠=︒，⊥2443【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．12．如图，将一块含有60︒角的直角三角板放置在两条平行线上，若145∠=︒，则2∠为（ ）A ．15︒B ．25︒C ．35︒D ．45︒【来源】湖北省随州市2022年中考数学真题【答案】A【解析】【分析】过60°角顶点作直线平行于已知直线，然后根据平行线的性质推出⊥1+⊥2=60°，从而求出⊥2即可．【详解】如图，已知//a b ，作直线//c a ，则//c b ，则⊥1=⊥3，⊥2=⊥4，⊥⊥3+⊥4=60°，⊥⊥1+⊥2=60°，⊥⊥2=60°-⊥1=15°，故选：A ．【点睛】本题考查平行线的基本性质，理解平行线的性质定理是解题关键．13．一副三角板按如图方式放置，含45︒角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直∠的度数是（）角边平行，则αA．10︒B．15︒C．20︒D．25︒【来源】山东省菏泽市2022年中考数学真题【答案】B【解析】【分析】利用两直线平行，内错角相等传递等角后计算即可【详解】如图，⊥AB∥DE，⊥⊥BAE=⊥E=30°，∠=⊥CAB-⊥BAE= 45°-30°=15°，⊥α故选B【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的意义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．14．如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠的度数为（）∠=︒时，DCN40ABMA ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．80︒【来源】四川省达州市2022年中考数学真题【答案】B【解析】【分析】过点B 作BE OM ⊥，过点C 作CE ON ⊥，BE 与CE 相交于点E ；根据余角性质计算得CBE ∠；根据平行线性质，得BCD ∠，结合角平分线性质，计算得DCE ∠；再根据余角性质计算，即可得到答案．【详解】如下图，过点B 作BE OM ⊥，过点C 作CE ON ⊥，BE 与CE 相交于点E⊥40ABM ∠=︒，CBE ABE ∠=∠⊥9050CBE ABE ABM ∠=∠=︒-∠=︒⊥100ABC ABE CBE ∠=∠+∠=︒⊥CD 与AB 平行⊥18080BCD ABC ∠=︒-∠=︒⊥BCE DCE ∠=∠，BCE DCE BCD ∠+∠=∠ ⊥1402BCE DCE BCD ∠=∠=∠=︒ ⊥9050DCN DCE ∠=︒-∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了平行线、角平分线、垂线、余角的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的性质，从而完成求解．15．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线//a b ，则1∠的大小为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．75︒D ．105︒【来源】湖南省岳阳市2022年中考数学真题【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质解题．【详解】⊥a ⊥b⊥()1+45+60=180∠︒︒︒（两直线平行，同旁内角互补）⊥1=75︒∠．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的性质．两直线平行，同旁内角互补．16．如图，设点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，点T 是直线l 上的一个动点，连接PT ，则（ ）A ．PT PQ ≥2B ．PT PQ ≤2C ．PT PQ ≥D ．PT PQ ≤【来源】浙江省杭州市2022年中考数学真题【答案】C【解析】【分析】根据垂线段距离最短可以判断得出答案．【详解】解：根据点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，PQ ∴是垂线段，即连接直线外的点P 与直线上各点的所有线段中距离最短， 当点T 与点Q 重合时有PQ PT =，综上所述：PT PQ ≥，故选：C ．【点睛】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．17．如图，直线DE 过点A ，且//DE BC ．若60B ∠=︒，150∠=︒，则2∠的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【来源】新疆维吾尔自治区、生产建设兵团2022年中考数学试题【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行同旁内角互补求出⊥BAE ，即可求出⊥2．【详解】⊥//DE BC ，⊥180B BAE ∠+∠=︒，⊥180120BAE B ∠=︒-∠=︒，即：12120∠+∠=︒，⊥2120170∠=︒-∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查平行线的性质，熟记平行线的基本性质是解题关键．18．如图，//AB CD ，//BC DE ，若7228B '∠=︒，那么D ∠的度数是（ ）A ．7228'︒B ．10128'︒C ．10732'︒D ．12732'︒【来源】山东省济宁市2022年中考数学真题【答案】C【解析】【分析】先根据//AB CD 求出C ∠的度数，再由//BC DE 即可求出D ∠的度数．【详解】解：⊥//AB CD ，7228B '∠=︒，⊥7228C B '∠=∠=︒，⊥//BC DE ，⊥180D C ∠+∠=︒，⊥18010732D C '∠=︒-∠=︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质以及角度的计算，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 19．如图，直线c 与直线a 、b 都相交．若//a b ，155∠=︒，则2∠=（ ）A ．60︒B ．55︒C ．50︒D ．45︒【来源】云南省2022年中考数学真题【答案】B【解析】【分析】直接利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可得出答案．【详解】解：如图，1=55∠︒，3=55,∴∠︒⊥a ⊥b ，⊥3=55°，⊥⊥2=⊥3=55°．故选B ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确掌握平行线的基本性质是解题关键．20．如图，AB ⊥CD ⊥EF ，若⊥ABC ＝130°，⊥BCE ＝55°，则⊥CEF 的度数为（）A ．95°B ．105°C ．110°D ．115°【来源】2022年山东省聊城市中考数学真题试卷【答案】B【解析】【分析】由//AB CD 平行的性质可知ABC DCB ∠=∠，再结合//EF CD 即可求解．【详解】解：//AB CD130ABC DCB ∴∠=∠=︒1305575ECD DCB BCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒//EF CD180ECD CEF ∴∠+∠=︒18075105CEF ∴∠=︒-︒=︒故答案是：B ．【点睛】本题考查平行线的性质和角度求解，难度不大，属于基础题．解题的关键是掌握平行线的性质．21．如图，点O 在直线AB 上，OC OD ⊥．若120AOC ∠=︒，则BOD ∠的大小为（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒【来源】北京市2022年中考数学真题试题【答案】A【解析】【分析】由题意易得60COB ∠=︒，90COD ∠=︒，进而问题可求解．【详解】解：⊥点O 在直线AB 上，OC OD ⊥，⊥180AOC COB ∠+∠=︒，90COD ∠=︒，⊥120AOC ∠=︒，⊥60COB ∠=︒，⊥9030BOD COB ∠=︒-∠=︒；故选A ．【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键．22．如图，在⊥ABC 中，⊥A =70°，⊥C =30°，BD 平分⊥ABC 交AC 于点D ，DE ⊥AB ，交BC 于点E ，则⊥BDE 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【来源】江苏省宿迁市2022年中考数学真题【答案】B【解析】【分析】由三角形的内角和可求⊥ABC ，根据角平分线可以求得⊥ABD ，由DE //AB ，可得⊥BDE =⊥ABD 即可．【详解】解：⊥⊥A +⊥C =100°⊥⊥ABC =80°，⊥BD 平分⊥BAC ，⊥⊥ABD =40°，⊥DE ⊥AB ，⊥⊥BDE =⊥ABD =40°，故答案为B ．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的意义、平行线的性质，灵活应用所学知识是解答本题的关键．23．阅读下列材料，其⊥～⊥步中数学依据错误的是（ ） 如图：已知直线//b c ，a b ⊥，求证：a c ⊥．A ．⊥B ．⊥C ．⊥D ．⊥【来源】湖北省荆州市2022年中考数学真题【答案】C【解析】【分析】根据垂直的定义和平行线的性质进行判断即可【详解】解：证明：⊥⊥a b ⊥（已知）⊥190∠=︒（垂直的定义）⊥又⊥//b c （已知）⊥⊥12∠=∠（两直线平行，同位角相等）⊥2190∠=∠=︒（等量代换）⊥⊥a c ⊥（垂直的定义）．所以错在⊥故选：C【点睛】本题考查了垂直的定义和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 24．如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若148∠=︒，则2∠的度数为（）A ．42°B ．48°C ．52°D ．60°【来源】四川省眉山市2022年中考数学真题【答案】A【解析】【分析】先通过作辅助线，将⊥1转化到⊥BAC ，再利用直角三角形两锐角互余即可求出⊥2．【详解】解：如图，延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点A ，由矩形对边平行，可得⊥1=⊥BAC ，因为BC ⊥AB ，⊥⊥BAC +⊥2=90°，⊥⊥1+⊥2=90°，因为⊥1=48°，⊥⊥2=42°；故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质等内容，要求学生能根据题意理解其中的隐含关系，解决本题的关键是对角进行的转化，因此需要牢记并能灵活应用相关性质等．25．如图，//AB CD ，EF 分别与AB ，CD 交于点G ，H ，100AGE ∠=°，则DHF ∠的度数为（ ）A ．100︒B ．80︒C ．50︒D ．40︒【来源】湖南省长沙市2022年中考试数学真题【答案】A【解析】【分析】先根据平行线的性质可得100CHE AGE ∠=∠=︒，再根据对顶角相等即可得．【详解】解：//,100AB CD AGE ∠=︒，100CHE AGE ∴∠=∠=︒，100CHE DHF ∴∠=∠=︒（对顶角相等），故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 26．如图，直线//,DE BF Rt ABC 的顶点B 在BF 上，若20CBF ∠=︒，则ADE ∠=（）A ．70︒B ．60︒C ．75︒D ．80︒【来源】甘肃省武威市2022年中考数学试卷【答案】A【解析】【分析】先求出CBF ∠的余角⊥ABF ，利用平行线性质可求⊥ADE ．【详解】解：⊥Rt ABC ，20CBF ∠=︒⊥⊥ABC =90°，⊥ABF =90°-⊥CBF =90°-20°=70°，⊥//DE BF ，⊥⊥ADE =⊥ABF =70°．故选择A ．本题考查余角性质，平行线性质，掌握余角性质，平行线性质是解题关键． 27．某同学的作业如下框，其中⊥处填的依据是（ ）A ．两直线平行，内错角相等B ．内错角相等，两直线平行C ．两直线平行，同位角相等D ．两直线平行，同旁内角互补 【来源】浙江省金华市2022年中考数学真题【答案】C【解析】【分析】首先准确分析题目，已知12//l l ，结论是34∠=∠，所以应用的是平行线的性质定理，从图中得知⊥3和⊥4是同位角关系，即可选出答案．【详解】解：⊥12//l l ，⊥34∠=∠（两直线平行，同位角相等）．故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的应用，解题的关键是理解平行线之间内错角的位置，从而准确地选择出平行线的性质定理．28．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且4155b a c =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．4()a b b c -=- D ．5()a c a b -=-【来源】安徽省2022年中考数学真题【答案】D【解析】举反例可判断A 和B ，将式子整理可判断C 和D ．【详解】解：A ．当5a =，10c =，41655b ac =+=时，c b a >>，故A 错误； B ．当10a =，5c =，41955b ac =+=时，a b c >>，故B 错误； C ．4()a b b c -=-整理可得1455b a c =-，故C 错误；D ．5()a c a b -=-整理可得4155b ac =+，故D 正确； 故选：D ．【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．29．如图，直线a //b ，148∠︒＝，则2∠等于（ ）A ．24°B ．42°C ．48°D ．132°【来源】2022年广西贺州市中考数学试卷【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等求解即可．【详解】解：⊥直线a ⊥b ，⊥2148∠=∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等，解题关键是熟记平行线的性质，准确识图．二、填空题30．如图，直线l 1，l 2相交于点O ，⊥1＝70°，则⊥2＝_____°．【来源】2022年广西桂林市中考数学真题【答案】70【解析】【分析】根据对顶角的性质解答即可．【详解】解：⊥⊥1和⊥2是一对顶角，⊥⊥2＝⊥1＝70°，故答案为：70．【点睛】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解答本题的关键．31．如图，直线a⊥b，直线c与直线a，b相交，若⊥1＝54°，则⊥3＝________度．【来源】2022年湖北省孝感市中考数学试卷【答案】54【解析】【分析】根据对顶角相等和平行线的性质“两直线平行同位角相等”，通过等量代换求解．【详解】因为a⊥b，∠=∠，所以23所以31∠=∠，因为154∠=︒，所以354∠=︒，故答案为：54．【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等，两直线平行同位角相等、内错角相等，加以灵活运用求解相关角的度数是解题关键．32．请写出命题“如果a b >，那么0b a -<”的逆命题：________．【来源】2022年江苏省无锡市中考数学真题【答案】如果0b a -<，那么a b >【解析】【分析】根据逆命题的概念解答即可．【详解】解：命题“如果a b >，那么0b a -<”的逆命题是“如果0b a -<，那么a b >”， 故答案为：如果0b a -<，那么a b >．【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．33．如图，C 岛在A 岛的北偏东50︒方向，C 岛在B 岛的北偏西35︒方向，则ACB ∠的大小是_____．【来源】2022年湖北省宜昌市中考数学真题【答案】85︒##85度【分析】∥交AB于F，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．过C作CF DA【详解】解：C岛在A岛的北偏东50︒方向，DAC∴∠=︒，50C岛在B岛的北偏西35︒方向，∴∠=︒，35CBE∥交AB于F，如图所示：过C作CF DADA CF EB∴∥∥，∴∠=∠=︒∠=∠=︒，50,35FCA DAC FCB CBEACB FCA FCB∴∠=∠+∠=︒，85故答案为：85︒．【点睛】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．34．如图6，已知直线a⊥b，⊥BAC=90°，⊥1=50°，则⊥2=______．【来源】2022年四川省乐山市中考数学真题【答案】40°##40度根据平行线的性质可以得到⊥3的度数，进一步计算即可求得⊥2的度数．【详解】解：⊥a ⊥b ，⊥⊥1=⊥3=50°，⊥⊥BAC =90°，⊥⊥2+⊥3=90°，⊥⊥2=90°-⊥3=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 35．如图，已知a b ∥，1110∠=︒，则2∠的度数为________．【来源】2022年四川省眉山市中考数学真题【答案】110︒##110度【解析】【分析】根据题意，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可知3=1∠∠，再借助3∠与2∠为对顶角即可确定2∠的度数．【详解】解：如下图，⊥a b ∥，1110∠=︒，⊥3=1110∠∠=︒，⊥3∠与2∠为对顶角，⊥2=3110∠∠=︒．故答案为：110︒．【点睛】此题考查了对顶角的性质和平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．36．将一副三角板如图摆放，则______⊥______，理由是______．【来源】2022年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷）【答案】 BC DE 内错角相等，两直线平行【解析】【分析】根据三角板的角度可知90BCA DEF ∠=∠=︒，根据内错角相等，两直线平行判断即可．【详解】解：一副三角板如图摆放，⊥90BCA DEF ∠=∠=︒，⊥//BC DE （内错角相等，两直线平行），故答案为：BC ；DE ；内错角相等，两直线平行．本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解本题的关键．37．如图，直线//a b ，若128∠=︒，则2∠=____．【来源】2022年四川省绵阳市中考真题数学试卷【答案】152︒【解析】【分析】利用平行线的性质可得3128∠=∠=︒，再利用邻补角即可求2∠的度数．【详解】解：如图，//a b ，128∠=︒，3128∴∠=∠=︒，21803152∴∠=︒-∠=︒．故答案为：152︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 38．“如果a b =，那么a b =”的逆命题是___________．【来源】江苏省苏州市数学考试【答案】如果a b =，那么a b =【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而得出答案．【详解】解：“如果a b =，那么a b =”的逆命题是：“如果a b =，那么a b =”，故答案为：如果a b =，那么a b =．【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，掌握逆命题的定义．39．如图，⊥ABC 沿BC 所在直线向右平移得到⊥DEF ，若EC ＝2，BF ＝8，则BE ＝___．【来源】辽宁省大连市数学试题【答案】3【解析】【分析】利用平移的性质解决问题即可．【详解】解：由平移的性质可知，BE ＝CF ，⊥BF ＝8，EC ＝2，⊥BE +CF ＝8﹣2＝6，⊥BE ＝CF ＝3，⊥平移的距离为3，故答案为：3．【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 40．如图，直线a ，b 被直线c 所截，已知//a b ，1130∠=︒，则2∠为______度．【来源】湖南省湘潭市2022年中考数学真题【答案】50【解析】【详解】解：如图，⊥//a b ，1130∠=︒，⊥⊥3=130°，又⊥⊥2+⊥3=180°，⊥⊥2=180°-⊥3=180°-130°=50°．故答案为：50．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及邻补角，熟练掌握它们的性质是解答此题的关键． 41．如图，直线//AB CD ，一块含有30°角的直角三角尺顶点E 位于直线CD 上，EG 平分CEF ∠，则1∠的度数为_________°．【来源】辽宁省阜新市2022年中考数学试题【答案】60【解析】【分析】根据角平分线的定义可求出CEG ∠的度数，即可得到CEF ∠的度数，再利用平行线的性质即可解决问题．【详解】一块含有30°角的直角三角尺顶点E 位于直线CD 上，30FEG ∴∠=︒， EG 平分CEF ∠，30CEG FEG ∴∠=∠=︒，60∴∠=∠+∠=︒，CEF CEG FEGAB CD，//∴∠=∠=︒．CEF160故答案为：60．【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．42．如图，直线a，b被直线c所截，当⊥1 ___⊥2时，a//b．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）【来源】2022年广西桂林市中考数学真题【答案】=．【解析】【分析】由图形可知⊥1 与⊥2是同位角，利用直线平行判定定理可以确定⊥1 =⊥2，可判断a//b．【详解】解：⊥直线a，b被直线c所截，⊥1与⊥2是同位角，⊥当⊥1 =⊥2，a//b．故答案为=．【点睛】本题考查平行线判定，掌握平行线判定判定定理是解题关键．43．如图，AB⊥CD，CB平分⊥ECD，若⊥B＝26°，则⊥1的度数是________．【来源】广西贵港市2022年中考数学真题【答案】52︒【分析】根据平行线的性质得出26B BCD ∠=∠=︒，根据角平分线定义求出252ECD BCD ∠=∠=︒，再根据平行线的性质即可得解．【详解】解：//AB CD ，26B ∠=︒，26BCD B ∴∠=∠=︒， CB 平分ECD ∠，252ECD BCD ∴∠=∠=︒，//AB CD ，152ECD ∴∠=∠=︒，故答案为：52︒．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线定义的应用，能根据平行线的性质求出B BCD ∠=∠是解此题的关键．44．如图，直线//,160a b ∠=︒，则2∠的度数是______︒．【来源】广西柳州市2022年中考数学真题试卷【答案】60【解析】【分析】根据平行线的性质可得⊥1=⊥3，根据对顶角相等即可求得⊥2的度数．【详解】⊥a ⊥b ，如图⊥⊥3=⊥1=60゜⊥⊥2=⊥3故答案为：60【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质，掌握这两个性质并熟练运用是关键． 45．如图，已知//AB CD ，BC 是ABD ∠的平分线，若264∠=︒，则3∠=________．【来源】湖南省张家界市2022年中考数学真题试题【答案】58°【解析】【分析】先根据对顶角的性质可得⊥BDC =264∠=︒,然后根据平行线的性质求得⊥ABC ,最后根据角平分线的定义求解即可．【详解】解：⊥⊥BDC 和⊥2是对顶角⊥⊥BDC =264∠=︒⊥//AB CD⊥⊥BDC +⊥ABD =180°，即⊥ABD =116°⊥BC 是ABD ∠的平分线 ⊥⊥3=⊥1=12⊥ABD =58°．故填：58°．本题主要考查了平行线的性质、对顶角相等以及角平分线的相关知识，掌握平行线的性质成为解答本题的关键．46．如图，AB 与CD 相交于点O ，OE 是AOC ∠的平分线，且OC 恰好平分EOB ∠，则AOD ∠=_______度．【来源】湖南省益阳市2022年中考数学真题【答案】60【解析】【分析】先根据角平分线的定义、平角的定义可得60COB ∠=︒，再根据对顶角相等即可得．【详解】解：设2AOC x ∠=， OE 是AOC ∠的平分线，12AOE EOC AOC x ∴∠=∠=∠=， OC 平分EOB ∠，COB EOC x ∴∠=∠=，又180AOE EOC COB ∠+∠+∠=︒，180x x x ∴++=︒，解得60x =︒，即60COB ∠=︒，由对顶角相等得：60AOD COB ∠=∠=︒，故答案为：60．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．47．如图，点O ，C 在直线n 上，OB 平分AOC ∠，若//m n ，156∠=︒，则2∠=_______________．【来源】广西贵港市2022年中考数学真题【答案】62°【解析】【分析】根据//m n 和OB 平分AOC ∠，计算出BOC ∠的度数，便可求解．【详解】解：如图：∵//m n∴156AON ∠=∠=， 2BOC ∠=∠180124AOC AON ∴∠=-∠=∵OB 平分AOC ∠1622BOC AOC ∴∠=∠= 62BOC ∴∠=故答案为62°【点睛】本题考查平行线性质，以及角平分线性质，属于基础题．三、解答题48．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且ED BF =，连接AF ，CE ，AC ，EF ，且AC 与EF 相交于点O ．(1)求证：四边形AFCE 是平行四边形；(2)若AC 平分8FAE AC ∠=，，3tan 4DAC ∠=，求四边形AFCE 的面积． 【来源】2022年广西贺州市中考数学真题【答案】(1)详见解析；(2)24．【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；（2）由平行线的性质可得EAC ACF ∠=∠，再根据角平分线的性质解得EAC FAC ∠=∠，继而证明AF FC =，由此证明平行四边形AFCE 是菱形，根据菱形的性质得到14,2AO AC AC EF ==⊥，结合正切函数的定义解得3EO =，最后根据三角形面积公式解答．(1) 证明：四边形ABCD 是平行四边形AD BC AE FC ∴=，∥ED BF =AD ED BC BF -=-，即AE FC =．∴四边形AFCE 是平行四边形．(2)解：AE FC ∥，EAC ACF ∴∠=∠． AC 平分FAE ∠，EAC FAC ∠=∠∴．ACF FAC ∴∠=∠．AF FC ∴=，由（1）知四边形AFCE 是平行四边形，∴平行四边形AFCE 是菱形．14,2AO AC AC EF ∴==⊥，在 Rt AOE △中，34,tan 4AO DAC =∠=， 3EO ∴=． 11S 43622AOE AO EO ∴=⋅=⨯⨯=△ 424AOE AFCE S S ==菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、正切函数的定义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 49．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，80B ∠=︒．(1)求BAD ∠的度数；(2)AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，50BCD ∠=︒．求证：AE DC ∥．【来源】2022年湖北省武汉市中考数学真题【答案】(1)100BAD ∠=︒(2)详见解析【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；（2）根据AE 平分BAD ∠，可得50DAE ∠=︒．再由AD BC ∥，可得50AEB DAE ∠=∠=︒．即可求证．(1)解：⊥AD BC ∥，⊥180B BAD ∠+∠=°，⊥80B ∠=︒，⊥100BAD ∠=︒．(2)证明：⊥AE 平分BAD ∠，⊥50DAE ∠=︒．⊥AD BC ∥，⊥50AEB DAE ∠=∠=︒．⊥50BCD ∠=︒，⊥BCD AEB ∠=∠．⊥AE DC ∥．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键 50．如图，//AB CD ，B D ∠=∠，直线EF 与AD ，BC 的延长线分别交于点E ，F ．求证：DEF F ∠=∠．【来源】湖北省武汉市2022年中考数学真题【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件//AB CD ，B D ∠=∠，得到DCF D ∠=∠，从而得到//AD BC ，即可证明DEF F ∠=∠．【详解】证明：⊥//AB CD ，⊥DCF B ∠=∠．⊥B D ∠=∠，⊥DCF D ∠=∠．⊥//AD BC ．⊥DEF F ∠=∠．【点睛】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．。

2023年中考数学复习第一部分考点梳理第四章三角形微专题巧用平行线解决三角板中角的问题

2023年中考数学复习第一部分考点梳理第四章三角形微专题巧用平行线解决三角板中角的问题
-3-
微专题
中考中常以一副三角板为背景,考查不同摆放位置下某个 角的度数,或以一把直尺与一块三角板为背景,考查某个角的 度数.关键用三角形内角和等于180°、三角形的外角等于不 相邻的两个内角之和、平行线的判定与性质等进行求解,必 要时需添作辅助线解题,如平行线.
-4-
微专题
提分训练 1.(2022·山西)如图,Rt△ABC是一块直角三角板,其中∠C＝ 90°,∠BAC＝30°.直尺的一边DE经过顶点A.若DE∥CB,则 ∠DAB的度数为( B) A.100° B.120° C.135° D.150°
-5-
微专题
2.(2021·山东菏泽)一副三角板按如图方式放置,含45°角的三 角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边平行,则∠α的度 数是( D)
A.10° C.20°
B.25° ห้องสมุดไป่ตู้.15°
-6-
微专题
3.将直尺与三角板按如图所示放置.若∠1＝120°,则∠2＝ ( B) A.20° B.30° C.50° D.70°
-9-
-7-
微专题
4.一副直角三角板按如图所示位置摆放,其中∠DAE＝∠ABC ＝90°,∠D＝60°,∠C＝45°,AB与DE相交于点M.若M是DE 的中点,则∠MEB的大小为( )D
A.10° C.20°
B.15° D.30°
-8-
微专题
5.将一副直角三角板按如图方式摆放,若直线a∥b,则∠1的大 小为( C) A.45° B.60° C.75° D.105°
微专题
微专题
巧用平行线解决三角板中角的问题 (安徽中考链接:2017年第6题) 典例 如图,一副直角三角板的顶点B重合,当AC∥DE时, ∠ABD＝( A )

2024年中考数学常见几何模型(全国通用)三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型(解析版)

2024年中考数学常见几何模型(全国通用)三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型(解析版)

专题06三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。

平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。

本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型(M 型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

模型1：猪蹄模型（M 型）【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM ∥BN ，结论：∠APB =∠A +∠B ；②已知：∠APB =∠A +∠B ，结论：AM ∥BN .如图2，已知：AM ∥BN ，结论：∠P 1+∠P 3=∠A +∠B+∠P 2.如图3，已知：AM ∥BN ，结论：∠P 1+∠P 3+...+∠P 2n+1=∠A +∠B+∠P 2+...+∠P 2n .例1．（2022·河南洛阳·统考二模）如图，AB CD ，30ABM ，45CDM ，则BMD 的度数为（）A ．105B ．90C ．75D ．70【答案】C 【分析】过点M 作ME AB ∥，从而可得AB ME CD ∥∥，则有ABM BME ，CDM DME ，即可求BMD 的度数．【详解】解：过点M 作ME AB ∥，如图，∥∵AB CD ，AB ME CD ∥∥ ，30ABM BME ，45CDM DME ，75BMD BME DME ．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．例2．（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O 照射到抛物线上的光线OB ，OC 反射后沿着与PO 平行的方向射出，已知图中46ABO ，88OCD ，则BOC 的度数为（）A ．116B ．124C ．134D ．135【答案】C 【分析】由平行线的性质即可得出46BOP ，88COP ，再根据BOC BOP COP 即可求解．【详解】由题意知AB PO CD ∥∥∴46BOP ABO ，88COP OCD∴134BOC BOP COP 故选：C ．【点睛】题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，牢记性质是解决问题的关键．例3．（2023春·四川泸州·七年级校考期末）如图所示，若AB ∥EF ，用含 、 、 的式子表示x ，应为（）A ．B ．C ．180D ．180【答案】C 【分析】过C 作CD ∥AB ，过M 作MN ∥EF ，推出AB ∥CD ∥MN ∥EF ，根据平行线的性质得出 +∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN ，∠NMF= ，求出∠BCD=180°- ，∠DCM=∠CMN= - ，即可得【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．例4．（2023·广东深圳青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进A．60 B．45【答案】A【分析】延长AB交直线ED于点H∵根据题意得AF【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．例5．（2023春·河南驻马店例6．（2022·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知//AB CD ，请问B Ð，D ，E 有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知//AB CD ，请问B Ð，E ，D 又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知//AB CD ，请问E G ∠∠与B F D ∠∠∠有何关系并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：过点E作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D.（2）∠E+∠B+∠D=360°，理由如下：过点E作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°∴∠B+∠3+∠4+∠D=360°即∠E+∠B+∠D=360°.（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：过点E，F，G作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD，则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.模型2：铅笔头模型图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM ∥BN ，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM ∥BN ，结论：∠1+∠2+…+∠n =（n －1）180°.例1．（2023·广东·统考二模）如图所示，已知AB EF ∥，那么BAC ACE CEF （）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出180180BAC ACD DCE CEF ，，进而可得出结论．【详解】过点C 作CD EF ∥，∥Q AB EF ，AB CD EF \∥∥，∴180180BAC ACD DCE CEF ①，②，由①② 得，360BAC ACD DCE CEF ，即360BAC ACE CEF Ð+Ð+Ð=°．故选：C ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．例2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若132 ，262 ，则3 的度数为（）A ．118B ．148C ．150D ．162【答案】C 【分析】过点B 作BA ∥工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可．【详解】解：如图，过点B 作BA ∥工作篮底部，3180MBA ，∵工作篮底部与支撑平台平行，BA ∥工作篮底部BA ∥支撑平台，132ABN ，2ABN MBA ∵，262 ，30MBA ，3150 ，故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．例3．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知CD 垂直地面上的直线DF 于点D ，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC 段将绕点C 缓慢向上抬高，AB 段则一直保持水平状态上升（即AB 始终平行于DF ）．在该运动过程中，当112ABC 时，BCD 的度数是（）A ．112B ．138C ．158D ．128【答案】C 【分析】如图所示，过点C 作CM AB ∥，利用平行线的性质得到180180ABC BCM MCD CDF ∠∠，∠∠，进而求出6890BCM MCD ∠，∠，则158BCM D CD C B M ∠∠．【详解】解：如图所示，过点C 作CM AB ∥，∵DF AB ，∴CM AB DF ∥∥，∴180180ABC BCM MCD CDF ∠∠，∠∠，∵112ABC ，CD DF 即90CDF ，∴6890BCM MCD ∠，∠，∴158BCM D CD C B M ∠∠，故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．例4．（2023春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果【答案】540【分析】过点E 作EM 【详解】过点E 作EM ∵AB CD ∥，EM CD ∥∴∠B +∠BFN =180°，∠∵∠DEF =∠DEM +∠FEM【答案】360 /360度 1180n【分析】过点2A 向右作21A D A B ∥，过点3A 向右作31A E A B ∥，得到321n A E A D A B A C ∥∥∥∥，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．【详解】解：如图，过点2A 向右作21A D A B ∥，过点3A 向右作31A E A B ∥，∵1n A B A C ∥，∴321n A E A D A B A C ∥∥∥∥，∴112180A A A D ，2323180DA A A A E ，...，∴ 11231...1180n n A A A A A A C n ，当3n 时， 12313360180A A A 故答案为：360 ； 1180n ．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，根据题意作合适的辅助线是解题的关键．模型3：牛角模型图1图2如图1，已知：AB ∥DE ，结论： .如图2，已知：AB ∥DE ，结论：180 .例1．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若AB CD ，则（）【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．例2．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，若∵+180EFC EFD ， 132180 ；故答案为180°．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB ∥CD ，P 为直线AB ，CD 外一点，BF 平分∠ABP ，DE 平分∠CDP ，BF 的反向延长线交DE 于点E ，若∠FED ＝a ，试用a 表示∠P 为______．【答案】∠P ＝360°﹣2a【分析】根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行线的性质得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC ＝2∠3，进而根据三角形内角和得出∠5、∠FED ，再得到∠P 和a 的关系，然后即可用a 表示∠P ．【详解】解：延长AB 交PD 于点G ，延长FE 交CD 于点H ，∵BF 平分∠ABP ，DE 平分∠CDP ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC ＝2∠3，∵∠PBG ＝180°﹣2∠1，∴∠PBG ＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣12∠PBG ，∵∠FED ＝180°﹣∠HED ，∠5＝180°﹣∠EHD ，∠EHD ＋∠HED ＋∠3＝180°，∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED ＋∠3＝180°，∴∠FED ＝180°﹣∠5＋∠3，∴∠FED ＝180°﹣（90°﹣12∠PBG ）＋12∠6＝90°＋12（∠PBG ＋∠6）＝90°＋12（180°﹣∠P ）＝180°﹣12∠P ，∵∠FED ＝a ，∴a ＝180°﹣12∠P ∴∠P ＝360°﹣2a ．故答案为：∠P ＝360°﹣2a ．【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关系是关键．例4．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线AB CD ∥，点P 为直线AB ，CD 所确定的平面内的一点，(1)问题提出：如图1，120A ，130C ．求APC 的度数：E【答案】(1)110 (2)APC A C ，理由见解析(3)34【分析】（1）过点P 作PQ AB ∥，易得AB PQ CD ∥∥，由平行线的性质可得60APQ 即可求出APC ；（2）过点P 作PQ AB ∥，易得AB PQ CD ∥∥，根据平行线的性质可得（3）过点E 作EM AB ∥，过点H 作HN AB ∥，易得EM CD ，HN CD ∥，根据平行线的性质可得CEA BAE DCE ，CHA BAH DCH ，再由已知等量代换，即可求得H E的值．∵120A ， 180180120APQ A ，∵AB CD ∥， PQ ∵130C ， 180180130CPQ C ， APC APQ （2）解：APC A C ，理由如下：AB CD ， PQ CD ∥例5．（2023·余干县八年级期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=1n∠MBE，∠CDN=1n∠NDE，直线MB、ND交于点F，则FE=．【答案】(1)∠E=∠END﹣∠BME(2)∠E+2∠NPM=180°（3）1 1 n【分析】（1）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.（2）根据平行线的性质，三角形外角定理，角平分线的性质即可解答.（3）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.【详解】（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠END=∠EFB，∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，∴∠E+2∠NPM=180°；（3）如图3，延长AB 交DE 于G ，延长CD 交BF 于H ，∵AB ∥CD ，∴∠CDG=∠AGE ，∵∠ABE 是△BEG 的外角，∴∠E=∠ABE ﹣∠AGE=∠ABE ﹣∠CDE ，①∵∠ABM=1n ∠MBE ，∠CDN=1n ∠NDE ，∴∠ABM=11n ∠ABE=∠CHB ，∠CDN=11n ∠CDE=∠FDH ，∵∠CHB 是△DFH 的外角，∴∠F=∠CHB ﹣∠FDH=11n ∠ABE ﹣11n ∠CDE=11n （∠ABE ﹣∠CDE ），②由①代入②，可得∠F=11n ∠E ，即11F E n .点睛：本题考查了三角形外角定理，平行线的性质，角平分线的定义.模型4：羊角模型图1图2如图1，已知：AB ∥DE ，结论： .如图2，已知：AB ∥DE ，结论：180 .【详解】解：设AE、CD交于点F，∵∠E＝37°，∠C＝20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案为：57°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．例2．（2022·江苏七年级期中）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°【答案】B【分析】根据AB∥CD，∠A=50°，所以∠A=∠AOC．又因为∠C=∠E，∠AOC是外角，所以可求得∠C．【详解】解：∵AB∥CD，∠A=50°，∴∠A=∠AOC（内错角相等），又∵∠C=∠E，∠AOC是外角，∴∠C=50°÷2=25°．故选B．例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD，求证：∠B＝∠E＋∠D【答案】见解析【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论．【详解】证明：过点E 作EF ∥CD ，如图∵AB ∥CD ，∴∠B =∠BOD ，∵EF ∥CD （辅助线），∴∠BOD =∠BEF （两直线平行，同位角相等）；∠D =∠DEF （两直线平行，内错角相等）；∴∠BEF =∠BED +∠DEF =∠BED +∠D （等量代换），∴∠BOD=∠E +∠D （等量代换），即∠B =∠E +∠D ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．例4．（2023·河南·统考三模）如图，已知AB DE ∥，150ABC ，75CDE ，则BCD 的度数为（）A ．55B ．60C ．45D ．50【答案】C 【分析】过点C 作CF AB ∥，则AB DE CF ∥∥，根据平行线的性质可得到150BCF ABC ，180105DCF CDE ，即可求得45BCD BCF DCF ．【详解】如图，过点C 作CF AB ∥，180DCF CDE∵AB DE ∥，CF AB ∥，∴AB DE CF ∥∥．∴150BCF ABC ，．∵75CDE ，∴18075105DCF ．∴15010545BCD BCF DCF ．故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．例5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，58A ，122D ，132 ，225 ，点P 是BC 上【答案】75 /75度【分析】（1）根据平分线的判定可得（2）根据对顶角相等可得模型5：蛇形模型（“5”字模型）基本模型：如图，AB ∥CD ，结论：∠1+∠3－∠2=180°.图1图2如图1，已知：AB ∥DE ，结论：180 .如图2，已知：AB ∥DE ，结论：180 .例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B 、C 、D 三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若12080ABC BCD ，，则CDE 等于（）A ．50°B ．40°C ．30°D ．20°【答案】D 【分析】过点C 作CF AB ∥，根据平行线的性质即可求出CDE 的度数．【详解】解：过点C 作CF AB ∥，∴180ABC BCF ，∵120ABC ，∴180********BCF ABC ∠∠；∵80BCD ，∴80806020DCF BCF ∠∠；由题意DE AB ∥，∴CF DE ∥，∴20CDE DCF ．故选：D【点睛】本题考查平行线的判断和性质，作出辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键．例2．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若AB CD ∥，65 ，25 ，则 的度数是（）A ．115°B ．130°C ．140°D ．150°【答案】C 【分析】利用平行线的传递性作出辅助线EF ，再通过平行线的性质即可解决问题．【详解】解：过E 作AB 的平行线EF ，如图所示；180********AEF ，AB CD ∥∵∴EF CD ∥25FED y11525140AEF FED 故选C ．【点睛】本题考查了平行线的基本性质与平行的传递性，两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，根据传递性做出辅助线是解决问题的关键．例3．（2023·河南周口·校联考三模）如图，AB EF ∥，100B ，25CDE ，则BCD 的度数是（）A ．125B ．75C ．95D ．105【答案】D 【分析】作CG EF ∥，则CG AB EF ∥∥，根据平行线的性质分别求出GCD 和BCG ，则BCD 105GCD BCG ．【详解】解：如图，作CG EF ∥，则CG AB EF ∥∥，∵CG EF ∥， 25GCD CDE ，∵CG AB ∥， 180B BCG ，180********BCG B ，BCD 2580105GCD BCG 故选D ．【点睛】本题考查根据平行线的性质求角的度数，解题的关键是正确添加辅助线．例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，AB CD ，CD EF ∥，CE 平分BCD ，若58ABC ，则CEF 的度数为（）A ．131B ．141C ．151D ．161【答案】C【答案】25 /25度【分析】过点C 作CM 【详解】解：如图，过点∴ACM ACD ∴3510BAB 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．课后专项训练1．（2023·山东临沂·统考二模）如图，,145a b ∥，则2 的度数为（）A ．105B ．125C ．135D ．145【答案】C 【分析】先根据平行线的性质可得3145 ，再根据邻补角的定义即可得．【详解】解：如图，,145a b ∵∥，3145 ，21803135 ，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，已知：AB EF ∥，B E ，求证：BC DE ∥．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（）A ．延长BC 交FE 的延长线于点GB ．连接BEC ．分别作BCD ，CDE 的平分线CG ，DHD ．过点C 作CG AB ∥（点G 在点C 左侧），过点D 作DH EF ∥（点H 在点D 左侧）【答案】C【分析】根据平行线的性质与判定逐一判断即可．【详解】解：A 、如图，∵AB EF ∥，∴B G ，∵B DEF ，∴G DEF ∠∠，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意；B 、如图，∵AB EF ∥，∴ABE FEB ，∵ABC FED ，∴CBE DEB ，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意；C 、如图，由CG 平分BCD ，DH 平分CDE ，没有条件说明BCD 与CDE 相等，也没有条件说明CG 与DH 平行，∴此辅助线的作法不能说明BC 与DE 平行，故此选项符合题意；D 、如图，延长BC 交DH 于点M ，∵AB EF ∥，CG AB ∥，DH EF ∥，∴AB CG DH EF ∥∥∥，∴B BMD ，MDE E ，∵B E ，∴BMD MDE ，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论．掌握平行线的判定和性质是解题的关键．3．（2023·浙江台州·统考一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若130 ，250 ，则3 的度数为（）．A ．130B ．140C ．150D ．160【答案】D 【分析】过2 顶点作直线l 支撑平台，直线l 将2 分成两个角即4 、5 ，根据平行线的性质即可求解．【详解】如图所示，过2 顶点作直线l 支撑平台，直线l 将2 分成两个角即4 、5∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l 支撑平台∴直线l 支撑平台 工作篮底部∴1430 、53180∵45250 ∴550420 ∴31805160 故选D ．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线AB 、CD 平行，则123456 （）．A ．630B ．720C ．800D ．900【答案】D 【详解】分别过E 点,F 点,G 点,H 点作L 1,L 2,L 3,L 4平行于AB观察图形可知，图中有5组同旁内角，则123456 1805900. 故选D【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键5．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，若AB CD EF ∥∥，115260 ，，那么BCE （）A ．120B ．125C ．130D ．135【答案】D 【分析】根据平行线的性质分别求出BCD ECD ∠、∠的度数即可得到答案．【详解】解：∵AB CD EF ∥∥，115260 ，，∴1151802120BCD ECD ∠∠，∠∠，∴135BCE BCD ECD ∠∠，故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．6．（2022·安徽芜湖·七年级期中）如图，AB ∥CD ，BF ,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE ，BF ∥DE ，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为A ．30°B ．35°C ．36°D ．45°【答案】C 【分析】延长BG 交CD 于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.【详解】解：如图延长BG 交CD 于G∵BF ∥ED ∴∠F=∠EDF 又∵DF 平分∠CDE ，∴∠CDE =2∠F ，∵BF ∥ED ∴∠CGF=∠EDF=2∠F ，∵AB ∥CD ∴∠ABF=∠CGF=2∠F ，∵BF 平分∠ABE ∴∠ABE =2∠ABF=4∠F ，又∵∠F 与∠ABE 互补∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°，解得∠F=36°故答案选C.【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.7．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB CD ，124 ，3148 ，则2 的度数为（）A ．56B ．66C ．98D ．104【答案】A 【分析】如图，在2 处作∥∥EF AB CD ，根据平行线的性质可得180BHE HEF ，1FED ，由对顶角相等可得3BHE ，根据2HEF FED 计算求解即可．【详解】解：如图，在2 处作∥∥EF AB CD ，∵EF AB ∥，∴180BHE HEF ，∵EF CD ，∴1FED ，∵3BHE ，∴218011803156HEF FED BHE ，故选：A ．9．（2022·江苏七年级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠3－∠2的度数等于__________．【答案】180°.【解析】解：∵AB ∥CD ∴∠1=∠EFD∵∠2+∠EFC =∠3，∠EFD =180°－∠EFC ∴∠1+∠3－∠2=180°故答案为：180°.【答案】86【分析】过点C 作AB 的平行线【详解】解：如图，过点∵AB DE ∥，AB CF ∥∵1130 ，236 ，3BCF FCD 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，解题关键是在点11．（2022·四川成都·七年级期末）已知直线AB DE ∥，射线BF 、DG 分别平分ABC ，EDC ，两射线反向延长线交于点H ，请写出H ，C 之间的数量关系：________．【答案】2180H C【分析】分别过点C ，H 作∥MN AB ，PQ AB ∥，根据AB DE ∥，可得MN AB DE PQ ∥∥∥，根据平行线性质可得180ABC BCM ，ABF PHF ，根据角平分线定义可得2ABC ABF ，进而证出2180PHF BCM ，同理2180QHG DCN ，根据平角定义可得=180PHF QHG FHG ，180BCM DCN BCD ，由此证出 2+=360PHF QHG BCM DCN ，进而证出结论．【详解】分别过点C ，H 作∥MN AB ，PQ AB∥∵∥MN AB ，∴180ABC BCM ∵射线BF 平分ABC ∴2ABC ABF∵PQ AB ∥∴ABF PHF ∴2180PHF BCM∵AB DE ∥∴MN DE ∥∴180EDC DCN∵射线DG 平分EDC ∴2DEC DEG∵∥MN AB ，PQ AB ∥，∴MN PQ ∥∴DE PQ ∥∴DEG QHG∴2180QHG DCN ∴ 2+=360PHF QHG BCM DCN∵180PHF FHG QHG ∴=180PHF QHG FHG同理：180BCM DCN BCD ∴ 2180180360FHG BCD∴2180FHG BCD 故答案为：2180H C【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识点，能熟记平行线的性质是解本题的关键．12．（2022·黑龙江·七年级月考）如图，//AB CD ，E 是CD 上的点，过点E 作//EF DP ，若PEF PEH ，EG 平分DEH ，152B ，65PEG ，则BPD _______．【答案】22o【分析】延长AB 交HP 于点M ；根据EG 平分DEH ，得2PEH DEP DEG ；根据//EF DP ，得180PDE DEF ，从而推导得 1802PDE DEP DEG ；结合65PEG ，得PDE ；再根据//AB CD 以及152ABP ，结合三角形内角和性质，即可完成求解．【详解】如图，延长AB 交HP 于点M∵EG 平分DEH ∴12DEG HEG DEH ∴2PEH DEP DEH DEP DEG ∵PEF PEH ∴2PEF DEP DEG ∵//EF DP ∴180PDE DEF∴1801801802PDE DEF DEP PEF DEP DEG ∵65PEG ∴65PEG DEP DEG ∴ 180218026550PDE DEP DEG ∵//AB CD ∴50BMD PDE ∴180130BMP BMD∵152ABP ∴18028PBM ABP ∴1801802813022BPD PBM BMP 故答案为：22o ．【点睛】本题考查了三角形内角和、平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握了三角形内角和、平行线、角平分线的性质，从而完成求解．13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知AB DE ∥，30138BCD CDE ，，求ABC 的度数．【答案】72°【分析】如图所示，过点C 作CF AB ∥，则DE CF ∥，根据平行线的性质求出42DCF ，进而求出72BCF ，再由CF AB ∥，即可得到72ABC BCF ．【详解】解：如图所示，过点C 作CF AB ∥．∵AB DE CF AB ∥，∥，∴DE CF ∥．∴180********DCF CDE ．∴304272BCF BCD DCF ．又∵CF AB ∥，∴72ABC BCF ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．14．（2023春·重庆南岸·九年级校考期中）在数学课上老师提出了如下问题：如图，160B ，当A 与D 满足什么关系时，BC DE ∥?小明认为20D A 时BC DE ∥，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作．图．与填空．．：解：用直尺和圆规，在DA 的右侧找一点M ，使DAM D （只保留作图痕迹）．∵DAM D ，∴①_____________∵20D DAB∴BAM ②_________ ，∵160B ，∴B BAM ③__________ ，∴④_____________∴BC DE ∥．所以满足的关系为：当20D A 时，BC DE ∥．【答案】①DE AM ∥，②20，③180，④BC AM∥【分析】首先根据作一个角等于已知角进行尺规作图，然后再题目步骤的引导下，将空白处补充完整即可．【详解】解：如图，通过尺规作图得：DAM D ，∵DAM D ，∴①DE AM ∥，∵20D DAB ，∴BAM ②20 ，∵160B ，∴B BAM ③180 ，∴④BC AM ∥，∴BC DE ∥．所以满足的关系为：当20D A 时，BC DE ∥．故答案为：①DE AM ∥，②20，③180，④BC AM ∥．【点睛】本题考查了平行线的判定方法、尺规作图（作一个角等于已知角）等知识点，平行线判定方法的熟练掌握是解题关键．15．（2023春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）（1）如图（1）AB CD ，猜想BPD 与B D 、的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB CD ，猜想图中的BPD 与B D 、的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB CD ，猜想图中的BPD 与B D 、的关系，不需要说明理由．【答案】（1）360B BPD D ，理由见解析；（2）BPD B D ，理由见解析；（3）图（3）BPD D B ，图（4）BPD B D【分析】（1）过点P 作EF AB ∥，得到180B BPE ，由AB CD ，EF AB ∥，得到EF CD ，得到180EPD D ，由此得到360B BPD D ；（2）过点P 作PE AB ，由PE AB CD ∥∥，得到12B D ，，从而得到结论12BPD B D ；（3）由AB CD ，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得BPD 与B D 、的关系．【详解】（1）解：猜想360B BPD D ．理由：过点P 作EF AB ∥，∴180B BPE ，∵AB CD ，EF AB ∥，∴EF CD ，∴180EPD D ，∴360B BPE EPD D ，∴360B BPD D ；（2）BPD B D ．理由：如图，过点P 作PE AB ，∵AB CD ，∴PE AB CD ∥∥，∴12B D ，，∴12BPD B D ；（3）如图（3）：BPD D B ．理由：∵AB CD ，∴1D ，∵1B P ，∴D B P ，即BPD D B ；如图（4）：BPD B D ．理由：∵AB CD ，∴1B ，∵1D P ，∴B D P ，即BPD B D ．【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键．16．（2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）（1）如图①，如果AB CD ∥，求证：APC A C ．（2）如图②，AB CD ∥，根据上面的推理方法，直接写出A P Q C ___________．（3）如图③，AB CD ∥，若ABP x BPQ y PQC z QCD m ，，，，则m ___________（用x 、y 、z 表示）．【答案】（1）见解析；（2）540 ；（3）x z y【分析】（1）过P 作PM AB ∥，利用平行线的判定与性质证明即可；（2）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，根据平行线的性质即可求解；（3）过点P 作PN AB ∥，过点Q 作QM AB ∥，根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）证明：过P 作PM AB ∥，如图，∴A APM ，∵PM AB AB CD ∥，∥（已知），∴PM CD ∥，∴C CPM ，∵APC APM CPM ，∴APC A C ；（2）如图，过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴180A APE ，180EPQ PQF ，=180FQC QCD ，∴=540A APQ PQC C ，故答案为：540 ；（3）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴B BPE ，QPE PQF ，=FQC C ，∴=B PQC C BPQ ，即=x z m y ，∴=m x z y ，故答案为：x z y ．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键．17．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图，AB CD ∥，点E 为两直线之间的一点．【点睛】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系．18．（2022·湖南株洲市八年级期末）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B 分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．（1）如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；（提示：过点P作PM∥a）（2）当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明．②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．【答案】（1）见解析；（2）①∠2＝∠3-∠1；②∠2＝∠3-∠1.【解析】解：（1）证明：作PM∥a，则∠1＝∠APM，∵PM∥a，a∥b，∴PM∥b，∴∠MPB＝∠3，∴∠APB＝∠APM＋∠MPB＝∠1＋∠3，即∠1+∠3=∠2；（2）①结论：∠2＝∠3−∠1．理由：作PM∥a，则∠1＝∠APM，∵PM∥a，a∥b，∴PM∥b，∴∠MPB＝∠3，∴∠APB＝∠MPB−∠MPA＝∠3−∠1，即∠2＝∠3-∠1；②结论：∠2＝∠3−∠1.19．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中，AB CD．（1）分别．．说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．（2）请你从中任选一个．．．．加以说明理由．解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．【答案】(1)图1：∠1+∠2＝∠3；图2：∠1+∠2+∠3＝360 ；图3：∠1＝∠2+∠3；图4：∠1+∠3＝∠2；(2)见解析；(3)101°【分析】(1)图1：首先过点P作PE AB，由AB CD，即可得AB PE CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；图2：首先过点P作PE AB，由AB CD，即可得AB PE CD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案；图3：由AB CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案；图4：由AB CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案．（2）选图1，过点P作PE AB，由AB CD，即可得AB PE CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；（3）利用图1结论进行求解【详解】(1)图1：∠1+∠2＝∠3；图2：∠1+∠2+∠3＝360图3：∠1＝∠2+∠3；图4：∠1+∠3＝∠2；(2)选择图1，如图所示：过点P作EP//AB(1)求证：180B C A ：(2)如图②，AQ BQ 、分别为DAC EBC 、的平分线所在直线，试探究(3)如图③，在（2）的前提下，且有AC QB ∥，直线AQ BC 、=DAC ACB CBE ：：．【答案】(1)见解析(2)2=180AQB C ，理由见解析(3)122：：∵CF AD BE ∥∥，∴ACF A BCF B ，∴ACB B A BCF B A （2）在图2中，过点QM AD ∥，则QM ∥∵QM AD QM BE ∥，∥∴AQM NAD ，∵AQ 平分CAD ，BQ 平分CBE ，∴NAD【答案】（1）66 ；（2）2BED F ，理由见解析；（3）130【分析】（1）过点E 作EM AB ∥，可得ABE MEB ，CDE MED ，根据BED MEB MED 即可求解；（2）过点E 作EG AB ∥，可求出2(23)2(14)BED ，过点F 作FH AB ∥，可求出14BFD ，由此即可求解；（3）延长DE 交BF 于点P ，可得BED EBP BPD EBP BFD PDF ，BED EBG BPD EDG BGD EBG ，BF 平分ABE ，DF 平分CDE ，可得22BED EBP PDF BGD ，由此即可求解．【详解】解：（1）如图，过点E 作EM AB ∥，∵AB CD ，∴EM AB CD ∥∥，∴ABE MEB ，CDE MED ，∵=45ABE ，21CDE ，∴45MEB ，21MED ，∴452166BED MEB MED ．（2）2BED F ，理由如下：过点E 作EG AB ∥，∵AB CD ，∴EG AB CD ∥∥，∴512 ，634 ，∵BF 平分ABE ，DF 平分CDE ，∴12 ，3=4 ，∴2(23)2(14)BED ，同理，过点F 作FH AB ∥，∴FH AB CD ∥∥，∴1BFH ，4DFH ，∵BFD BFH DFH ，∴14BFD ，∴22(14)BFD ，∴2BED BFD ，即2BED F ．（3）如图，延长DE 交BF 于点P ，∴BED EBP BPD EBP BFD PDF ，BED EBG BPD EDG BGD EBG ，∵BF 平分ABE ，DF 平分CDE ，∴2EBG EBP ，2EDG PDF ，∴22BED EBP PDF BGD ，∴22EBP BFD PDF EBP PDF BGD ，∴952()60EBP PDF EBP PDF ，∴35EBP PDF ，∴953595130BED EBP PDF ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，理解平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．22．（2023春·福建三明·七年级校考期中）探索：小明在研究数学问题：已知//AB CD ，AB 和CD 都不经过点P ，探索P 与A 、C 的数量关系．发现：在图1中，APC A C ；如图5小明是这样证明的：过点Р作//PQ AB∴APQ A ___________∵//PQ AB ，//AB CD ．∴//PQ CD __________∴CPQ C∴APQ CPQ A C即APC A C（1）为小明的证明填上推理的依据；（2）理解：①在图2中，P 与A 、C 的数量关系为_____________________；②在图3中，若30A ，70C ，则P 的度数为_________________；（3）拓展：在图4中，探究P 与A 、C 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①360APC A C ；②40°；（3）APC A C ，理由见解析．【分析】（1）过点P 作//PQ AB ，根据平行线的性质得出APQ A ，CPQ C ，即可得出答案；（2）①过点P 作//PQ AB ，根据平行线的性质得出180APQ A ，180CPQ C ，即可得出答案；②根据平行线的性质得出70PEB C ，根据三角形外角性质得出即可；（3）根据平行线的性质得出180APG A ，求出180APG A ，根据//PG CD 得出180CPG C ，即可得出答案．【详解】（1）证明：过点P 作//PQ AB ，∴APQ A （两直线平行，内错角相等）//PQ AB ∵，//AB CD ．//PQ CD （平行于同一直线的两直线平行）CPQ C APQ CPQ A C 即APC A C故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①解：过点P 作//PQ AB ，所以180APQ A ，//PQ AB ∵，//AB CD ．//PQ CD ，180CPQ C ，APQ CPQ ，360A C ，即360APC A C ，故答案为：360APC A C ；②解：//AB CD ∵，70C ，70PEB C ，30A ∵，40P PEB A ，故答案为：40 ；（3）解：APC A C ．。

中考数学几何初步与三角形第一节线段角相交线与平行线习题

中考数学几何初步与三角形第一节线段角相交线与平行线习题

第四章几何初步与三角形第一节线段、角、相交线与平行线姓名：_________班级：___________ 用时： _______ 分钟基础训堀1 . （2020 •武威中考）若一个角为65°,则它的补角的度数为（）A. 25° B . 35° C . 115° D . 125°（2020 •邵阳中考）如图所示，直线AB, CD相交于点O,已知/ AOD= 160°,则/ BOC的大小为（）3 .如图所示，点P到直线I的距离是（）的路线（）D . A T C T M HB5 . （2020 •眉山中考改编）下列命题为真命题的是（）A. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例B. 若AW BM,则点M为线段AB的中点C. 至蛹的两边的距离相等的点在角的平分线上D. 经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行6 . （ 2020 •广州中考）如图，直线AD, BE被直线BF和AC所截，则/I的同位角和/5的内错角分别是（）A. 20°A.线段PA的长度C.线段PC的长度 D .线段PD的长度4 •如图所示，某同学的家在A处，星期日她到书店去买书，想尽快赶到书店B,请你帮助她选择一条最近B . 60° C7. （2020 •北京中考）如图所示的网格是正方形网格，/ BAC _______ /D AE.（填“>”“ = ”或“v”）I ------ T ----- 1------ r ----- r ------ r -----拔离训练11. （2020 •泸州中考）如图，直线a // b ,直线c 分别交a , b 于点A , C ,Z BAC 的平分线交直线b 于点D, 若/ 1 = 50°, U/2的度数是（）A.Z 4,/ 2C.Z 5,/ 4 ./ 2,/410 . （2020 •重庆中考 A 卷）如图，直线.AB// CD BC 平分/ ABD / 1 = 54° ，求/2 的度数.8.等分线，则/ AOC 的度数是 9 .12. （2020 •赤峰中考）已知AB// CD 直线 EF分别交AB, CD 于点G, H,Z EGB= 25°,将一个含有60°角A. 30°C. 40° 13 . （2020 •盐城中考）将一个含有 45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若/ 1= 40°，则/215 .如图1, E 是直线 AB, CD 内部一点，AB// CD 连接 EA ED.（1） 探究猜想：① 若/ A = 30°,/ D = 40°，则/ AED 等于多少度？② 若/ A = 20°,/ D = 60°，则/ AED 等于多少度？③ 猜想图1中/AED / EAB / EDC 的关系并证明你的结论.（2） 拓展应用：如图2，射线FE 与矩形ABCD 的边AB 交于点E ,与边CD 交于点F ,①②③④分别是被射线 FE 隔开的4个 区域（不含边界），其中区域③④位于直线 AB 上方，P 是位于以上4个区域上的点，猜想：/ PEB / PFC / EPF 的关系（不要求证明）.A. 50° B . 70° 的直角三角尺如图放置（60 °角的顶点与 .45°14 . （2019 -原创题）如图，将一副含有 45°和30°的两个三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点 O,则/ AOC-Z DOB 的度数为 ______________.110° )16 .阅读下面的材料【材料一】异面直线(1) 定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线.(2) 特点：既不相交，也不平行.⑶理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性.②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”.③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线•也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线.例如：在长方体ABCD-ABCD中，棱A i D所在直线与棱AB所在直线是异面直线，棱A i D所在直线与棱BC 所在直线就不是异面直线.【材料二】我们知道“由平行公理，进一步可以得到如下结论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.”其实，这个结论不仅在平面内成立，在空间内仍然成立.利用材料中的信息，解答下列问题：(1)在长方体ABCD-ABGD中，与棱AA所在直线成异面直线的是()A. 棱A D所在直线B. 棱BC所在直线C. 棱C C所在直线D. 棱B B所在直线⑵在空间内，两条直线的位置关系有 ___________ 、__- ______ 、 _______ .(重合除外)⑶如图，在长方体ABCD-AB i C D中，已知E, F分别为BC, AB的中点.求证：EF//AQ .参考答案【基础训练】1. C2.D3.B4.B5.A6.B7.> 8.80 °9.15。

中考数学一轮复习第四章几何初步与三角形第一节线段角相交线与平行线同步测试(含答案)

中考数学一轮复习第四章几何初步与三角形第一节线段角相交线与平行线同步测试(含答案)

第四章几何初步与三角形第一节线段、角、相交线与平行线姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．如图，∠B的同位角可以是( )A．∠1 B．∠2C．∠3 D．∠42．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC.若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D的度数是( )A．24° B．59°C．60° D．69°3．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )A．20° B．30°C．45° D．50°4．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD.下列说法错误的是( )A．∠AOD＝∠BOCB．∠AOE＋∠BOD＝90°C．∠AOC＝∠AOED．∠AOD＋∠BOD＝180°5．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是( )A．110° B．115°C．120° D．125°6．若∠α＝35°，则∠α的补角为__________度．7．将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为__________．8．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB，CE相交于点D，则∠BDC＝__________.9. 如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD.若∠EFG ＝90°，∠E＝35°，求∠EF B的度数．10．如图，AB∥DE，FG⊥BC于点F，∠CDE＝40°，则∠FGB＝( )A．40° B．50°C．60° D．70°11．如图，已知点P是∠AOB的平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4 cm.如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为( )A．2 cm B．2 3 cm C．4 cm D．4 3 cm12．如图中有四条互相不平行的直线l1，l2，l3，l4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列正确的是( )A．∠2＝∠4＋∠7B．∠3＝∠1＋∠6C．∠1＋∠4＋∠6＝180°D．∠2＋∠3＋∠5＝360°13．如图，AB∥CD，∠CDE＝119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF＝130°，则∠F＝____________.14．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是______.15．如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝__________.16．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点E，F分别为DB，BC的中点，连结AE，EF，AF.(1)求证：AE＝EF；(2)当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系．17．已知O为直线AB上的一点，OC⊥OE于点O，射线OF平分∠AOE.(1)如图1，∠COF和∠BOE之间有何数量关系？并说明理由；(2)若将∠C OE绕点O旋转至图2的位置，试问(1)中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明；若发生变化，请你说明理由；(3)若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系，并加以证明．18．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处(∠OMN＝30°)，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC.求∠BON的度数；(2)将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为________(直接写出结果)；(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．参考答案【基础训练】1．D 2.B 3.D 4.C 5.C 6．145 7.75° 8.75°9．解：∵∠EFG＝90°，∠E＝35°， ∴∠FGH＝55°.∵GE 平分∠FGD，AB∥CD， ∴∠FHG＝∠HGD＝∠FGH＝55°. ∵∠FHG 是△EFH 的外角， ∴∠EFB＝55°－35°＝20°. 【拔高训练】 10．B 11.C 12.C 13．9.5° 14.3 15.95°16．(1)证明：∵点E ，F 分别为DB ，BC 的中点， ∴EF 是△BCD 的中位线，∴EF＝12CD.又∵DB＝DC ，∴EF＝12DB.在Rt△ABD 中，∵点E 为DB 的中点， ∴AE 是斜边BD 上的中线， ∴AE＝12DB ，∴A E ＝EF.(2)解：如图，∵AE＝EF ，AF ＝AE ，∴AE＝EF ＝AF ， ∴△AEF 是等边三角形，∴∠AEF＝60°. ∵EF 是△BCD 的中位线， ∴EF∥CD，∴∠BEF＝∠CDB＝β， ∴β＋∠2＝60°.又∵∠2＝∠1＋∠ADB＝∠1＋α，∴∠1＋α＋β＝60°，∴∠1＝60°－α－β. ∵AE 是斜边BD 上的中线， ∴AE＝DE ，∴∠1＝∠ADB＝α， ∴α＝60°－α－β，∴2α＋β＝60°. 17．解：(1)∠BOE＝2∠COF.理由如下： ∵∠COE＝90°， ∴∠BOE＝90°－∠AOC ，∠COF＝∠AOF－∠AOC＝12(90°＋∠AOC)－∠AOC＝12(90°－∠AOC)，∴∠BOE ＝2∠COF.(2)不发生变化．证明如下：∵∠COE＝90°，∴∠COF＝90°－∠EOF，∠BOE＝180°－2∠EOF. ∴∠BOE＝2∠COF. (3)∠BOE＋2∠COF＝360°.证明如下：∵∠COE＝90°，∴∠COF＝90°＋∠EOF，∠BOE＝90°＋∠BOC＝90°＋90°－2∠EOF＝180°－2∠EOF.∴∠BOE＋2∠COF＝360°. 【培优训练】18．解：(1)∵OM 平分∠BOC， ∴∠MOC＝∠MOB.又∵∠BOC＝110°，∴∠MOB＝55°. ∵∠MON＝90°，∴∠BON＝∠MON－∠MOB＝35°. (2)11或47(3)∠AOM－∠NOC＝20°.理由如下：∵∠MON＝90°，∠AOC＝70°， ∴∠AOM＝90°－∠AON，∠NOC＝70°－∠AON，∴∠AOM－∠NOC＝(90°－∠AON)－(70°－∠AON)＝20°， ∴∠AOM 与∠NOC 的数量关系为∠AOM－∠NOC＝20°.。

中考数学 微测试系列专题14 相交线与平行线、三角形及尺规作图(含解析)北师大版

中考数学 微测试系列专题14 相交线与平行线、三角形及尺规作图(含解析)北师大版

专题14 相交线与平行线、三角形及尺规作图学校：___________姓名：___________班级：___________一、选择题：（共4个小题）1．【2015凉山州】如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）A．52° B．38° C．42° D．60° [~%@&*]【答案】A．【解析】试题分析：如图：∵∠3=∠2=38°（两直线平行同位角相等），∴∠1=90°﹣∠3=52°，故选A． [%#&^@]【考点定位】平行线的性质．2．【2015德阳】如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（）A．150° B．160° C．130° D．60° [&#~%*]【答案】A．【解析】【考点定位】1．等腰三角形的性质；2．平行线的性质；3．多边形内角与外角．3．【2015德阳】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，若点A 关于CD 所在直线的对称点E 恰好为AB 的中点，则∠B 的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．75°【答案】C ．【解析】 [&@%^*]试题分析：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，点A 关于CD 所在直线的对称点E 恰好为AB 的中点，∴∠CED=∠A ，CE=BE=AE ，∴∠ECA=∠A ，∠B=∠BCE ，∴△ACE 是等边三角形，∴∠CED=60°，∴∠B=12∠CED=30°．故选C ． [~@%^*]【考点定位】1．直角三角形斜边上的中线；2．轴对称的性质．4．【2015眉山】如图，在Rt △ABC 中，∠B=900，∠A=300，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 是垂足，连接CD ．若BD=l ，则AC 的长是（ ）A ．32B ．2C ．34D ．4【答案】A ． [^@&~#]【解析】【考点定位】1．含30度角的直角三角形；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理．二、填空题：（共4个小题） [^&*#@]5．【2015绵阳】如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，则∠F= ．[*~%&^]【答案】9.5°．【解析】 [%@~*#]试题分析：∵AB∥CD，∠CDE=119°，∴∠AED=180°﹣119°=61°，∠DEB=119°．∵GF交∠DEB的平分线EF于点F，∴∠GEF=12×119°=59.5°，∴∠GEF=61°+59.5°=120.5°．∵∠AGF=130°，∴∠F=∠AGF﹣∠GEF=130°﹣120.5°=9.5°．故答案为：9.5°． [#*@&^]【考点定位】平行线的性质．6．【2015乐山】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC= °．【答案】15．【解析】。

2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编03 三角形一边平行线与相似有关概念 (练习版)

2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编03 三角形一边平行线与相似有关概念 (练习版)

2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题03 三角形一边平行线与相似有关概念一．选择题（共25小题）1．（青浦区）下列图形，一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个等腰三角形C．两个等边三角形D．两个菱形2．（静安区）已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上，且ED∥BC，如果AD：DB＝1：4，ED＝2，那么边BC的长是（）A．8B．10C．6D．43．（崇明区）如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：164．（青浦区）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F．如果AC：CE＝2：3，BD＝4，那么BF等于（）A．6B．8C．10D．125．（黄浦区）如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应角平分线的比为（）A．1：4B．1：2C．1：16D．6．（嘉定区）如图，已知AB∥CD∥EF，AC：AE＝3：5，那么下列结论正确的是（）A．BD：DF＝2：3B．AB：CD＝2：3C．CD：EF＝3：5D．DF：BF＝2：57．（普陀区）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1和l2于点A、B、C和点D、E、F，如果AB：BC＝2：3，那么下列结论中错误的是（）A．B．C．D．8．（松江区）下列四个命题中，真命题的个数是（）（1）底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似；（2）底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；（3）底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；（4）腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似．A．1B．2C．3D．49．（静安区）下列说法错误的是（）A．任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形B．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形C．任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形D．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形10．（徐汇区）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：3，那么下列结论中，正确的是（）A．CD：EF＝2：5B．AB：CD＝2：5C．AC：AE＝2：5D．CE：EA＝2：511．（宝山区）下列格点三角形中，与已知格点△ABC相似的是（）A．B．C．D．12．（杨浦区）如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE 过点F，且∠ADE＝∠C，下列结论中，错误的是（）A．B．C．D．13．（虹口区）在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，AE：EB＝3：2，那么AF：FC的值是（）A．B．C．D．14．（奉贤区）如图，已知D是△ABC边AB上的一点，如果∠BCD＝∠A，那么下列结论中正确的是（）A．AC2＝AD•AB B．BC2＝BD•AB C．CD2＝AD•BD D．AD2＝BD•CD15．（奉贤区）已知线段AB．按以下步骤作图：（1）作以A为端点的射线AP（不与线段AB所在直线重合）；（2）在射线AP上顺次截取AC＝CD＝DE；（3）联结BE，过点D作DF∥BE，交线段AB于点F．根据上述作图过程，下列结论中正确的是（）A．AF：AB＝1：2B．AF：AB＝1：3C．AF：AB＝2：3D．AF：AB＝2：1 16．（普陀区）如图，已知点B、D、C、F在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，AC∥DE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（）A．1B．C．2D．317．（普陀区）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝2，如果△DEF与△ABC相似，且△DEF两条边的长分别为4和2，那么△DEF第三条边的长为（）A．2B．C．D．18．（松江区）如图，已知点G是△ABC的重心，那么S△BCG：S△ABC等于（）A．1：2B．1：3C．2：3D．2：5 19．（长宁区）下列命题中，说法正确的是（）A．所有菱形都相似B．两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似C．三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍D．斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似20．（青浦区）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC的是（）A．B．C．D．21．（青浦区）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BA的延长线上，联结EC，交边AD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．22．（黄浦区）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（）A．B．C．D．23．（杨浦区）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点O的直线与两底分别交于点E、F，下列结论中，错误的是（）A．B．C．D．24．（虹口区）下列选项中的两个图形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个矩形C．两个菱形D．两个正方形25．（长宁区）如图，点E是线段BC的中点，∠B＝∠C＝∠AED，下列结论中，说法错误的是（）A．△ABE与△ECD相似B．△ABE与△AED相似C．D．∠BAE＝∠ADE二．填空题（共27小题）26．（青浦区）如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为．27．（徐汇区）冬日暖阳，下午4点时分，小明在学恔操场晒太阳，身高1.5米的他，在地面上的影长为2米，则此时高度为9米的旗杆在地面的影长为米．28．（杨浦区）在某一时刻，直立地面的一根竹竿的影长为3米，一根旗杆的影长为25米，已知这根竹竿的长度为1.8米，那么这根旗杆的高度为米．29．（静安区）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，点D在边AC上，BD＝BC，那么AD的长是．30．（青浦区）如图，点G为等边三角形ABC的重心，联结GA，如果AG＝2，那么BC＝．31．（徐汇区）如图，△ABC中，AB＝8，BC＝7，点D、E分别在边AB、AC上，已知AE＝4，∠AED＝∠B，则线段DE的长为．32．（黄浦区）如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，如果△AOE的面积是4，那么四边形OECD的面积是．33．（嘉定区）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AD＝3，BD＝2，那么BF：DE的值是．34．（杨浦区）如果两个相似三角形对应边之比是4：9，那么它们的周长之比等于．35．（虹口区）已知Rt△ABC的两直角边之比为3：4，若△DEF与△ABC相似，且△DEF最长的边长为20，则△DEF的周长为．36．（奉贤区）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果5AB＝2AC，DE＝6，那么线段EF的长是．37．（奉贤区）如图，已知菱形ABCD，E、F分别为△ABD和△BCD的重心．如果边AB＝5，对角线BD＝6，那么EF的长为．38．（普陀区）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，如果∠B＝80°，∠C＝40°，那么∠ADC的度数等于．39．（松江区）已知两个相似三角形面积的比是4：9，那么这两个三角形周长的比是．40．（静安区）在△ABC中，DE∥BC，DE交边AB、AC分别于点D、E，如果△ADE与四边形BCED的面积相等，那么AD：DB的值为．41．（黄浦区）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A，D，F和点B，C，E．如果，BE＝20，那么线段BC的长是．42．（黄浦区）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，∠ADE＝60°，如果BD＝1，那么CE＝．43．（宝山区）如图，已知一张三角形纸片ABC，AB＝5，BC＝2，AC＝4，点M在AC边上．如果过点M剪下一个与△ABC相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设AM＝x，那么x的取值范围是．44．（杨浦区）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点G是△ABC的重心，那么点G到斜边AB的距离是．45．（虹口区）如图，过△ABC的重心G作上ED∥AB分别交边AC、BC于点E、D，联结AD，如果AD平分∠BAC，AB＝6，那么EC＝．46．（浦东新区）如图，平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，联结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝．47．（奉贤区）顺次联接三角形三边中点，所得到的三角形与原三角形的周长的比是．48．（长宁区）如果两个相似三角形周长之比为3：2，那么这两个三角形的面积之比为．49．（长宁区）点G是△ABC的重心，过点G作BC边的平行线与AB边交于点E，与AC边交于点F，则＝．50．（崇明区）如图，直线AD∥BE∥CF，如果＝，AD＝2，CF＝6，那么线段BE的长是．51．（徐汇区）如图，BE是△ABC的角平分线，过点E作ED∥BC交边AB 于点D．如果AD＝3，DE＝2，则BC的长度为．52．（普陀区）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果S△AOB＝2a，S△BOC＝4a，那么S△ADC＝.（用含有字母a的代数式表示）三．解答题（共2小题）53．（嘉定区）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在线段AD上，CE与BD相交于点H，CE 与BA的延长线相交于点G，已知DE：AE＝2：3，BC＝4DE，CE＝10．求EH、GE的长．54．（松江区）如图，已知平行四边形ABCD中，G是AB延长线上一点，联结DG，分别交AC、BC于点E、F，且AE：EC＝3：2．（1）如果AB＝10，求BG的长；（2）求的值．。

相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

平行线与三角形复习一、相关知识点复习：（一）平行线1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2.判定：（1）同位角相等，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）同旁内角相等，两直线平行。

（4）垂直于同一直线的两直线平行。

3.性质：(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

(2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。

(3)两直线平行，同位角相等。

(4)两直线平行，内错角相等。

(5)两直线平行，同旁内角互补。

（二）三角形4.一般三角形的性质(1)角与角的关系：三个内角的和等于180°；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。

(2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。

(3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。

(4)三角形的主要线段的性质(见下表)：5. 几种特殊三角形的特殊性质(1) 等腰三角形的特殊性质：①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。

(2) 等边三角形的特殊性质：①等边三角形每个内角都等于60°；②等边三角形外心、内心合一。

(3) 直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③ 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（其逆命题也成立）；④ 直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

6. 三角形的面积(1) 一般三角形：S △ = 21a h （ h 是a 边上的高 ） (2) 直角三角形：S △ = 21a b = 21c h （a 、b 是直角边，c 是斜边，h 是斜边上的高）(3) 等边三角形： S △ = 43a 2（ a 是边长 ） (4) 等底等高的三角形面积相等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的三角形的面积的比等于它们的相应的底的比。

7. 相似三角形(1) 相似三角形的判别方法：① 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；② 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；③ 如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。

(2) 相似三角形的性质：① 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； ② 相似三角形的周长比等于相似比；③ 相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8. 全等三角形两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的对应线段也相等。

判定两个三角形全等的公理或定理：①一般三角形有SAS 、ASA 、AAS 、SSS ；②直角三角形还有HL二、巩固练习：一、选择题：1．如图，若AB∥CD，∠C = 60º，则∠A＋∠E＝（）A．20ºB．30ºC．40ºD．60º2．如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（）A．AB∥CD B．AD∥BC C．∠B=∠D D．∠3=∠4 3．如图，AD⊥BC，DE∥AB，则∠B和∠1的关系是（）A. 相等B. 互补C. 互余D. 不能确定4．如图，下列判断正确的是（）A．∠1和∠5是同位角；B．∠2和∠6是同位角；C．∠3和∠5是内错角；D．∠3和∠6是内错角．5．下列命题正确的是（）A．两直线与第三条直线相交，同位角相等；B．两直线与第三条直线相交，内错角相等；C．两直线平行，内错角相等；D．两直线平行，同旁内角相等。

6．如图，若AB∥CD，则（）A．∠1 = ∠4 B．∠3 = ∠5C．∠4 = ∠5 D．∠3 = ∠47．如图，l1∥l2，则α= （）A．50°B．80°C．85°D．95°8．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.3cm，4cm，8cmB.5cm，6cm，11cmDAB CEC.5cm ，6cm ，10cmD.3cm ，8cm ，12cm9． 等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）A.150°B.80°C.50°或80°D.70°10． 如图，点D 、E 、F 是线段BC 的四等分点，点A 在BC 外，连接AB 、AD 、AE 、AF 、AC ，若AB = AC ，则图中的全等三角形共有（ ）对A. 2B. 3C. 4D. 511． 三角形的三边分别为 a 、b 、c ，下列哪个三角形是直角三角形？（ ）A. a = 3，b = 2，c = 4B. a = 15，b = 12，c = 9C. a = 9，b = 8，c = 11D. a = 7，b = 7，c = 412． 如图，△AED ∽ △ABC ，AD = 4cm ，AE = 3cm ， AC = 8cm ，那么这两个三角形的相似比是（ ） A ．43B ．21C ．83D ．2 13． 下列结论中，不正确的是（ ）A ．有一个锐角相等的两个直角三角形相似；B ．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似；C ．各有一个角等于120°的两个等腰三角形相似；D ．各有一个角等于60°的两个等腰三角形相似。

二、填空题：14． 如图，直线a ∥b ，若∠1 = 50°，则∠2 = 。

15． 如图，AB ∥CD ，∠1 = 40°，则∠2 = 。

16． 如图，DE ∥BC ，BE 平分∠ABC ，若∠ADE = 80°，则∠1 = .17．如图，l1∥l2，∠1 = 105°，∠2 = 140°，则∠α = ．18．△ABC中，BC = 12cm，BC边上的高AD = 6cm，则△ABC的面积为。

19．如果一个三角形的三边长分别为x，2，3，那么x的取值范围是。

20．在△ABC中，AB = AC，∠A = 80°，则∠B = ，∠C = 。

21．在△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 4cm，则AB = 。

22．已知直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边上的中线长是。

23．等腰直角三角形的斜边为2，则它的面积是。

24．在Rt△ABC中，其中两条边的长分别是3和4，则这个三角形的面积等于。

25．已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为。

26．等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，则它的顶角度数为。

27．如图，A、B两点位于一个池塘的两端，冬冬想用绳子测量A、B两点间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，找到AC，BC的中点D、E，并且测得DE的长为15m，则A、B两点间的距离为__________.28．如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E．要使△ABC≌△DEF，需要补充的是一个．．条件：。

29．太阳光下，某建筑物在地面上的影长为36m，同时量得高为1.2m的测杆影长为2m，那么该建筑物的高为。

三、解答题：30． 如图，已知△ABC 中，AB = AC ，AE = AF ，D 是BC 的中点求证： ∠1 = ∠231． 如图，已知D 是BC 的中点，BE ⊥AE 于E ，CF ⊥AE 于F求证：BE = CF32． 如图，CE 平分∠ACB 且CE ⊥BD ，∠DAB =∠DBA ，AC = 18，△CDB 的周长是28。

求BD 的长。

33． 已知：如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AD ＝AE ，BD ＝EC ， 求证：AB ＝ACE D CB34．*一条河的两岸有一段是平行的，在河的这一岸每隔5m有一棵树，在河的对岸每隔50m有一根电线杆，在此岸离岸边25m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且这两棵树之间还有三棵树。

(1)根据题意，画出示意图；(2)求河宽。

练习答案：一、选择题1、D2、B3、C4、A5、C6、C7、C8、C9、C 10、C 11、B 12、B 13、B二、填空题14、130° 15、140° 16、40° 17、65° 18、36cm 2 19、1<x<5 20、50°、50° 21、8cm 22、5 23、124、6或 25、22或26 26、120° 27、30m 28、BC=EF 或∠A=∠D 或∠C=∠F 29、21.6m三、证明题30、BE=CF 、∠B=∠C 、BD=DC →△BED ≌△CFD →∠1=∠231、△BED ≌△CFD →BE=CF32、∠A=∠DBA →AD=BD →CD+BD=AC=18、△CDB 的周长是28→BC=1033、AD=AE →∠ADE=∠AED →∠ADB=∠AEC →△ABD ≌△AEC →AB=AC34、解：如图，根据题意，有AB ∥CD ，PM ⊥CD 于N 点，交AB 于M 点，且AB=20m ，CD=50m ， PM=25m ，AB ∥CD →△PAB ∽△PCD →→ →PN=62.5→MN=37.5 372N M D C B A P PM PN =AB CD 25PN =2050。

相关文档
最新文档