初中数学《平行线的证明》单元测试题

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(压轴题)初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》检测题(答案解析)(1)

一、选择题1．下列命题是假命题的是（）A ．同旁内角互补，两直线平行B ．直角三角形的两个锐角互余C ．三角形的一个外角等于它的两个内角之和D ．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形2．下列命题的逆命题是真命题的是（）A ．两个全等三角形的对应角相等B ．若一个三角形的两个内角分别为30和60︒，则这个三角形是直角三角形C ．两个全等三角形的面积相等D ．如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数3．下列命题是假命题的是（）A ．三角形的内角和是180°B ．两直线平行，内错角相等C ．三角形的外角大于任何一个内角D ．同旁内角互补，两直线平行 4．如图，在ABC 中，100ACB ∠=︒，20A ∠=︒，D 是AB 上一点，将ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B '处，则ADB '∠等于（）A ．25°B ．30°C ．40°D ．55°5．如图，下列能判定//AB CD 的条件有（）个（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠B ＝∠5；（4）∠B +∠BCD ＝180°；（5）∠5＝∠DA ．1B ．2C ．3D ．4 6．如图，//AB EF ，C 点在EF 上，EAC ECA ∠=∠，BC 平分DCF ∠，且AC BC ⊥．下列结论： ①AC 平分DCE ∠；②//AE CD ；③190B ∠+∠=︒；④BDC 21∠=∠．其中结论正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，下列条件中，不能判断AD ∥BC 的是（）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠4C ．∠EAD=∠BD ．∠D=∠DCF 8．如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，80A ∠=︒，40ABC ∠=︒，那么BDC ∠=（）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒9．下列命题中，真命题的个数为（）（1）如果22a b >，那么a>b ；（2）对顶角相等；（3）四边形的内角和为360︒；（4）平行于同一条直线的两条直线平行；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．在ABC 中，若+,A B C ∠=∠∠那么这个三角形的形状是（） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 11．如图，给出下列条件中的一个：①12∠=∠；②180D BAD ∠+∠=︒；③34∠=∠；④BCE D ∠=∠．则一定能判定//AD BC 的条件是（）A ．①②④正确B ．①③正确C ．②③④正确D ．①④正确 12．下列说法正确的是（）A ．无限小数都是无理数B ．有最小的正整数，没有最小的整数C ．a ，b ，c 是直线，若 a ⊥b ，b ⊥c ，则 a ⊥cD ．内错角相等二、填空题13．若一个三角形三个内角度数的比为1:3:6，则其最大内角的度数是________． 14．如图，已知CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，∠1=∠4．试说明DF ∥AE ．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．证明：∵_________（___________）∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（_________）．∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．又∵∠1=∠4，∴_____（_____），∴DF ∥AE （______）．15．将一副直角三角尺所示放置，已知//AE BC ，则AFD ∠的度数是__________．16．如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线，且76B ∠=︒，36C ∠=︒，则DAE ∠的度数为_________．17．如图，在ABC 中，A β∠=度，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，则1A ∠=______度；1A BC ∠与1A CD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠；…2018∠A BC 与2018A CD ∠的平分线交于点2019A ，得2019A ∠．则2019A ∠=______度．18．如图，已知12∠=∠，求证：A BCH ∠=∠．证明：∵12∠=∠（已知）23∠∠=（______）∴13∠=∠（等量代换）∴//CH （______）（同位角相等，两直线平行）∴A BCH ∠=∠（______）19．如图，已知△ABC ，∠B 的角平分线与∠C 的外角角平分线交于点 D ，∠B 的外角角平分线与∠C 的外角角平分线交于点 E ，则∠E+∠D=_____．20．如图，将ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点'A 处，且'A B 平分ABC ∠，'A C 平分ACB ∠，若1268∠+∠=︒，则'BA C ∠的度数是______________．三、解答题21．如图，178∠=︒，2102∠=︒，C D ∠=∠．求证：//AC DF ．22．如图，//AD BC ，1248∠=∠=︒．（1）B C ∠=∠吗？说明理由．（2）求B C BAC ∠+∠+∠的度数．23．已知：如图，∠AGD =∠ACB ，∠1=∠2，CD 与EF 平行吗？为什么？24．如图所示，已知，A F ∠=∠，C D ∠=∠．（1）求证： //BD CE ；（2）已知:2:3ABD DEC ∠∠=，求DEC ∠的度数．25．综合与探究问题情境：如图，已知OC 平分AOB ∠，CD OA ⊥于点D ，E 为DC 延长线上一点，EF OB ⊥于点F ，EG 平分DEF ∠交OB 于点G ，180DEF AOB ∠+∠=︒．问题发现：（1）如图1，当90AOB ∠=︒时，12∠+∠=____________°；（2）如图2，当AOB ∠为锐角时，1∠与2∠有什么数量关系，请说明理由；拓展探究（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，试探究OC 和GE 的位置关系，并证明结论；（4）如图3，当AOB ∠为锐角时，若点E 为线段DC 上一点，EF OB ⊥于点F ，EH 平分DEF ∠交OA 于点H ，180DEF AOB ∠+∠=︒．请写出一个你发现的正确结论． 26．综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一副三角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O 重合，边CD 与边AB 重合，试求AOC ∠的度数．（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形1，完成填空）解：∵45OCD ∠=︒，60OBC ∠=︒∴BOC ∠=__________（___________________）又∵90AOB ∠=︒，∴AOC ∠=__________．（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点O 逆时针旋转DOC △，当DC AO //时，求得AEO ∠的度数．（请你写出解答过程）（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3），继续绕顶点O 逆时针旋转DOC △，使点B 落在边DC 上，此时发现1∠与2∠之间的数量关系．以下是他的解答过程，请补充完整解：在AOE △与BCE 中，∵12AEO A CEB C ∠+∠+∠=∠+∠+∠又∵AEO CEB ∠=∠（___________________）A ∠=__________，C ∠=__________，∴12A C ∠+∠=∠+∠12∠-∠=__________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据平行线的判定定理，直角三角形互余性质，三角形的外角性质，等边三角形的判定去分别判断即可.【详解】解：∵同旁内角互补，两直线平行，∴选项A选项为真命题，不符合题意；根据三角形内角和定理，得直角三角形的两个锐角互余，∴选项B选项为真命题，不符合题意；∵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，∴选项C选项为假命题，符合题意；根据等角对等边，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，∴选项D选项为真命题，不符合题意；故选C.【点睛】本题考查了对数学基础知识的掌握，全面规范掌握数学基础知识是解题的关键.2．D解析：D【分析】根据原命题分别写出逆命题，然后再判断真假即可．【详解】A、两个全等三角形的对应角相等，逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，是假命题；B、若一个三角形的两个内角分别为 30°和 60°，则这个三角形是直角三角形，逆命题是：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个内角分别为 30°和 60°，是假命题；C、两个全等三角形的面积相等，逆命题是：面积相等的两个三角形全等，是假命题；D、如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数，逆命题是：如果一个数是无理数，那么这个数是无限不循环小数，是真命题.故选：D【点睛】本题考查了命题与定理，解决本题的关键是掌握真命题．3．C解析：C【分析】根据三角形内角和定理、外角性质、平行线的性质与判定进行判断即可．【详解】解：A选项，三角形的内角和是180°，是真命题，不符合题意；B选项，两直线平行，内错角相等，是真命题，不符合题意；C选项，三角形的外角大于任何一个内角，是假命题，符合题意；D选项，同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质，平行的性质与判定，解题关键是熟练准确掌握基础知识．4．C解析：C【分析】先求出60B ∠=︒，由折叠得60CB D B '∠=∠=︒，得出ADB '∠=40CB D A '∠-∠=︒．【详解】∵100ACB ∠=︒，20A ∠=︒，∴60B ∠=︒，由折叠得60CB D B '∠=∠=︒，∴ADB '∠=40CB D A '∠-∠=︒，故选：C ．【点睛】此题考查三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据平行线的判定定理分别进行判断即可得出结论．【详解】解：当12∠=∠时，//AD BC ，不符合题意；当34∠=∠时，//AB CD ，符合题意；当5B ∠=∠时，//AB CD ，符合题意；当180B BCD ∠+∠=︒时，//AB CD ；符合题意；当5D ∠=∠时，//AD BC ；不符合题意；综上所述，能判定//AB CD 的条件有（2）∠3＝∠4；（3）∠B ＝∠5；（4）∠B +∠BCD ＝180°；共3个．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．6．D解析：D【分析】根据平行线的性质及角度的计算，等腰三角形的性质即可进行一一求解判断.【详解】根据//AB EF ， BC 平分DCF ∠，且AC BC ⊥可得∠1+∠BCD=90°，∠BCD=12∠DCF ，又∠DCF+∠ECD=180°，∴∠1=12∠ECD ，故AC 平分DCE ∠，①正确； ∵AC 平分DCE ∠，∴∠1=∠ECA,∵EAC ECA ∠=∠∴EAC ∠=∠1，∴//AE CD ，②正确；∵EF ∥AB ，∴∠FCB=∠B ，∴∠B=∠DCB ，∵∠1+∠DCB=90°，∴190B ∠+∠=︒，③正确；∵EF ∥AB ，∴∠ECA=∠CAD ，∵∠1=∠ECA∴∠1=∠CAD∵∠CDB 是△ACD 的一个外角，∴∠CAD=∠1+∠CAD=2∠1，④正确；故选D【点睛】此题主要考查平行线的角度计算，解题的关键是根据图像的特点进行求解.7．B解析：B【分析】根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断AD 、BC 是否平行即可．【详解】解：A 、∵∠1=∠3，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；B 、∵∠2=∠4，∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），但不能判定AD ∥BC ； C 、∵∠EAD=∠B ，∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）；D 、∵∠D=∠DCF ，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．8．D解析：D【分析】根据三角形的内角和得出∠ACB 的度数，再根据角平分线的性质求出∠DCA 的度数，再根据三角形内角与外角的关系求出∠BDC 的度数．【详解】解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-80°-40°=60°，∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠ACD ＝12∠ACB=30°（角平分线的性质）， ∴∠BDC=∠ACD+∠A=30°+80°=110°（三角形外角的性质）．故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三角形外角的知识，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，难度适中．9．C解析：C【分析】根据有理数的乘方法则、对顶角相等、多边形的内角和、平行线的判定定理判断即可．【详解】（1）如果22a b >，那么|a|＞|b|，本命题是假命题；（2）对顶角相等，本命题是真命题；（3）四边形的内角和为360°，本命题是真命题；（4）平行于同一条直线的两条直线平行，本命题是真命题；故选：C ．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．C解析：C【分析】根据三角形内角和定理得到180A B C ∠+∠+∠=︒，则180B C A ∠+∠=︒-∠，变形得180A A ︒-∠=∠，解得90A ∠=︒，即可判断△ABC 的形状．【详解】解：∵180A B C ∠+∠+∠=︒，∴180B C A ∠+∠=︒-∠，又∵+A B C ∠=∠∠，∴180A A ︒-∠=∠，解得：90A ∠=︒，∴△ABC 为直角三角形．故选：C ．【点睛】本题考察了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．11．D解析：D【分析】分别利用同旁内角互补两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行得出答案即可．【详解】解：①∵∠1=∠2，∴BC∥AD，本选项符合题意；②∵∠B+∠BAD=180°，∴AB∥CD，本选项不符合题意；③∵∠3=∠4，∴AB∥CD，本选项不符合题意；（4）∵∠BCE=∠D，∴AD∥BC，本选项符合题意．一定能判定AD∥BC条件是①④．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．12．B解析：B【分析】A、根据无理数的定义即可判定；B、根据整数的定义可以判断；C、根据在同一平面内，垂直同一直线的两直线互相平行可判断；D、根据平行线的性质可以判断．【详解】解：A、无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数，无限不循环小数才是无理数，故选项错误；B、有最小的正整数是1，没有最小的整数，故选项正确；C、在同一平面内，a，b，c 是直线，若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c，故选项错误；D、两直线平行，内错角相等，故选项错误．故选：B．【点睛】本题考查数、直线、角的若干基本概念，深刻理解有关基本概念是解题关键．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．108°【分析】已知三角形三个内角的度数之比可以设一份为x°根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数确定最大的内角的度数【详解】解：设一份为x°则三个内角的度数分别为x°3x°6x°根据解析：108°【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为x °，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，确定最大的内角的度数．【详解】解：设一份为x °，则三个内角的度数分别为x °，3x °，6x °，根据三角形内角和定理，可知x +3x +6x ＝180，解得x ＝18．所以6x °＝108°，即最大的内角是108°．故答案为108°【点睛】此题考查三角形的内角和定理，利用三角形内角和定理和列方程求解可简化计算． 14．CD ⊥DADA ⊥AB ；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等两直线平行【分析】先根据垂直的定义得到再根据等角的余角相等得出最后根据内错角相等两直线平行进行判定即可【详解】证明：∵CD解析：CD ⊥DA ，DA ⊥AB ；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行【分析】先根据垂直的定义，得到1290∠+∠=︒，3490∠+∠=°，再根据等角的余角相等，得出23∠∠=，最后根据内错角相等，两直线平行进行判定即可．【详解】证明：∵ CD ⊥DA ，DA ⊥AB （已知）∴∠CDA=90°，∠DAB=90° ( 垂直定义 )．∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．又∵∠1=∠4，∴∠2=∠3 ( 等角的余角相等 )，∴DF ∥AE ( 内错角相等，两直线平行 )．故答案为：．CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，已知；垂直定义；∠2=∠3 ，等角的余角相等；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及垂直的定义，解题时注意：内错角相等，两直线平行． 15．【详解】根据平行线的性质及三角形内角和定理解答【点睛】解：由三角板的性质可知∠EAD=45°∠C=30°∠BAC=∠ADE=90°∵AE ∥BC ∴∠EAC=∠C=30°∴∠DAF=∠EAD-∠EAC=解析：75︒【详解】根据平行线的性质及三角形内角和定理解答．【点睛】解：由三角板的性质可知∠EAD=45°，∠C=30°，∠BAC=∠ADE=90°．∵AE ∥BC ，∴∠EAC=∠C=30°，∴∠DAF=∠EAD-∠EAC=45°-30°=15°．∴∠AFD=180°-∠ADE-∠DAF=180°-90°-15°=75°．故答案为：75°．本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，平行线的性质：两直线平行同位角相等，同旁内角互补．三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°．16．20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°∠CAD=54°进而得出∠DAE 的度数进而得出答案【详解】∵ADAE 分别是△ABC 的高和角平分线且∠B=76°∠C=36°∴∠B解析：20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠DAE 的度数，进而得出答案．【详解】∵AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAC=180763668︒-︒-︒=︒，∠BAD=9076︒-︒=14°，∠CAD=9036︒-︒=54°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°， ∴∠DAE=34°-14°=20°．故答案为：20°．【点睛】本题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠BAD 和∠CAD 的度数是解题关键． 17．ββ【分析】已知∠A 求∠A1利用外角定理可得∠ACD=∠A+∠ABC ∠A1CD=∠A1+∠A1BC 把∠ACD 利用角平分线转成2∠A1CD ∠ABC 转成2∠A1BC 消去∠A1BC ∠A1CD 即可再用类似的解析：12β， 201912β 【分析】已知∠A ，求∠A 1，利用外角定理可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，把∠ACD 利用角平分线转成2∠A 1CD ，∠ABC 转成2∠A 1BC ，消去∠A 1BC ，∠A 1CD 即可，再用类似的办法求∠A 2，以此类推即可【详解】∵BA 1平分∠ABC ，CA 1平分∠A 1CD ，∴∠AB A 1=∠A 1BC=12∠ABC ，∠AC A 1=∠A 1CD=12∠ACD ，由三角形的外角得∴∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，∴∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC①∴2∠A 1CD=∠A+2∠A 1BC②把①代入②得∠A 1=12∠A=12β CA 2平分∠A 2CD ，∠A 2C A 1=∠A 2CD=12∠A 1CD ，由三角形的外角得∴∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，∴∠A 2CD=∠A 2+∠A 2BC③∴2∠A 2CD=∠A 1+2∠A 2BC④解得∠A 2=12∠A 1， ∠A 2=12∠A 114∠A=14β=212β 同理∠A 3=12∠A 2=18∠A=18β=312β …∠A 2019= 201912β故答案为：①12β，②201912β【点睛】本题考查（第二内角的）外角平分线与（第一）内角平分线所夹的角问题，找到两平分线的夹角与第三个角的关系是解决问题关键18．对顶角相等AG 两直线平行同位角相等【分析】根据对顶角的定义可得再根据平行线的判定可得CH//AG 最后由两直线平行同位角相等即可证明【详解】解：证明：∵（已知）（对顶角相等）∴（等量代换）∴（AG ）（解析：对顶角相等，AG ，两直线平行，同位角相等．【分析】根据对顶角的定义可得23∠∠=，再根据平行线的判定可得CH//AG,最后由两直线平行、同位角相等即可证明．【详解】解：证明：∵12∠=∠（已知）23∠∠=（对顶角相等）∴13∠=∠（等量代换）∴//CH （AG ）（同位角相等，两直线平行）∴A BCH ∠=∠（两直线平行，同位角相等）．故答案为：对顶角相等，AG ，两直线平行，同位角相等．【点睛】本题考查了对顶角的定义、平行线的性质和判定定理等知识，灵活应用平行线的性质和判定定理是解答本题的关键．19．90°【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和定理解答即可【详解】解：∵BDBE 分别是∠B 的角平分线和外角平分线∴∠DBE=×180°=90°∴∠D+∠E=180°-∠DBE=180°-90°=9解析：90°．【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：∵BD ，BE 分别是∠B 的角平分线和外角平分线，∴∠DBE=12×180°=90°， ∴∠D+∠E=180°-∠DBE=180°-90°=90°．故答案为：90°．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．20．107°【详解】【考点】几何图形翻折变换（折叠问题）四边形内角和定理平角的定义三角形的两条内角平分线所夹的角与顶角的关系【分析】将纸片沿折叠使点落在点处可知根据四边形内角和等于可得而所以所以根据可求解析：107°【详解】【考点】几何图形翻折变换（折叠问题）、四边形内角和定理、平角的定义、三角形的两条内角平分线所夹的角与顶角的关系．【分析】将ABC ∆纸片沿DE 折叠，使点A 落在点'A 处，可知A DA E ∠=∠' ．根据四边形内角和等于360︒，可得360A DA E ADA AEA ︒''∠+∠+∠+∠=' ．而1180ADA ︒'∠+∠=，2180AEA ︒'∠+∠=，所以12360ADA AEA ︒∠+∠+∠+='∠'，所以12A ∠+∠=∠+2DA E A '+∠=∠ ．根据1268︒∠+∠=，可求出68234A ︒︒∠=÷= ．根据'A B 平分ABC ∠，'A C 平分ACB ∠ 可知，'BA C ∠是两条内角平分线所夹的角，根据公式有'BA C ∠190902A ︒︒=+∠= 1341072︒︒+⨯= ．【解答】解：根据折叠可得A DA E ∠=∠',根据四边形内角和等于360︒，可得360A DA E ADA AEA ︒''∠+∠+∠+∠=' ．根据平角的定义有1180ADA ︒'∠+∠=，2180AEA ︒'∠+∠=12360ADA AEA ︒''∴∠+∠+∠+∠=122A DA E A ∴∠+∠=∠+='∠∠'A B 平分ABC ∠，'A C 平分ACB ∠∴'BA C ∠1190903410722A ︒︒︒︒=+∠=+⨯= 故答案为：107︒ ．三、解答题21．证明见解析【分析】先根据已给的角度判断BD//CE ，从而可得∠ABD=∠C ，再根据等量代换可得∠ABD=∠D ，从而可证//AC DF ．【详解】证明：∵178∠=︒，2102∠=︒，∴∠1+∠2=78°+102°=180°，∴BD//CE ，∴∠ABD=∠C ，∵C D ∠=∠，∴∠ABD=∠D ，∴//AC DF ．【点睛】本题考查平行线的性质和判定．熟练掌握平行线的性质和判定定理，并能正确识别同位角、同旁内角是解题关键．22．（1）B C ∠=∠，理由见解析；（2）180B C BAC ∠+∠+∠=︒.【分析】(1)利用两直线平行，同位角相等，内错角相等，利用等量代换推理即可；(2)利用平角的定义，得到12180BAC ∠+∠+∠=︒，代换后计算即可.【详解】解：（1）B C ∠=∠．理由如下：∵//AD BC （已知），∴1B ∠=∠（两直线平行，同位角相等）2C ∠=∠（两直线平行，错角相等）∵12∠=∠（已知），∴B C ∠=∠（等量代换）（2）∵1248∠=∠=︒（已知），∴18012180484884BAC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒（平角的定义），∵1248B C ∠=∠=∠=∠=︒（已证），∴484884180B C BAC ∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒（等量代换），即180B C BAC ∠+∠+∠=︒.【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握性质，灵活进行等量代换计算是解题的关键.23．平行，见解析．【分析】先判定GD//CB,然后根据平行的性质得到∠1=∠BCD,然后利用同位角相等、两直线平行即可证明．【详解】解：平行. 理由如下：∵ ∠AGD =∠ACB ，（已知）∴ GD ∥BC （同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠BCD （两直线平行,内错角相等）∵∠1=∠2，（已知）∴∠2=∠BCD （等量代换）∴ CD ∥EF （同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，灵活运用同位角相等、两直线平行是解答本题的关键．24．（1）见解析；（2）∠D EC =108°【分析】（1）由AC //DE 可得∠D=∠ABD ，根据等量代换得到∠C=∠ABD ，从而可证BD//C E ；（2）设∠ABD=2x ， ∠D EC=3x ，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．【详解】（1）证明∵∠A=∠F ，∴AC //DE ，∴∠D=∠ABD ，∵∠D=∠C ，∴∠C=∠ABD ，∴BD//C E ；（2）∵BD//C E ，DF//BC ，∴∠ABD =∠C ，∠D EC +∠C=180°，∵∠ABD ：∠DEC=2:3，∴设∠ABD=2x ，∠D EC=3x ，则2x+3x=180°，∴x=36°，∴∠D EC =3x=108°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．25．（1）90；（2）1290∠+∠=︒，理由见解析；（3）//OC GE ，证明见解析；（4）答案不唯一，例如1290∠+∠=︒【分析】（1）根据角平分线的性质得∠1=12∠AOB=45︒，∠2=12∠DEF=45︒，即可求得1290∠+∠=︒；（2）根据角平分线的性质得112DEF ∠=∠，122AOB ∠=∠，即可求得1290∠+∠=︒；（3）在Rt △EFG 中，得到190EGF ∠+∠=︒，结合1290∠+∠=︒，得到∠2=∠EGF ，即可得到//OC GE ；（4）根据角平分线的性质得∠1=12∠AOB ，∠2=12∠DEF ，即可求得1290∠+∠=︒．【详解】（1）∵CD OA ⊥，∴90AOB ∠=︒，∵180DEF AOB ∠+∠=︒，∴90DEF ∠=︒，∵OC 平分AOB ∠，EG 平分DEF ∠，∴∠1=12∠AOB=45︒，∠2=12∠DEF=45︒， ∴1290∠+∠=︒；故答案为：90；（2）1290∠+∠=︒．理由如下：∵OC ，EG 分别是AOB ∠，DEF ∠的平分线， ∴112DEF ∠=∠，122AOB ∠=∠， ∴112()2DEF AOB ∠+∠=∠+∠， ∵180DEF AOB ∠+∠=︒，∴1290∠+∠=︒；（3）OC 和EG 的位置关系为OC ∥GE ．证明：∵EF OB ⊥于点F ，∴90EFG ∠=︒．∴190EGF ∠+∠=︒．∵1290∠+∠=︒，∴2EGF ∠=∠，∴OC ∥GE ；（4）答案不唯一，例如1290∠+∠=︒．理由如下：∵OC ，EH 分别是AOB ∠，DEF ∠的平分线， ∴112DEF ∠=∠，122AOB ∠=∠， ∴112()2DEF AOB ∠+∠=∠+∠， ∵180DEF AOB ∠+∠=︒，∴1290∠+∠=︒；【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 26．（1）75︒；三角形内角和是180︒；15︒；（2）105︒；见解析；（3）对顶角相等；30；45︒；15︒【分析】（1）利用三角形内角和定理求解即可；（2）利用平行线的性质求得∠AOC=45°，再利用三角形内角和定理求解即可；（3）在△AOE 与△BCE 中，利用三角形内角和定理得到∠1+∠A=∠2+∠C ，计算即可求解．【详解】解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°，∴∠BOC=75°（三角形内角和是180°），又∵∠AOB=90°，∴∠AOC=15°；（2）解：∵DC∥AO，∠OCD=45°，∴∠AOC=45°（两直线平行，内错角相等），又∵∠BAO=30°，∴∠AEO=180°−∠AOC−∠BAO=180°−45°−30°=105°（三角形内角和是180°）；（3）在△AOE与△BCE中，∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C，又∵∠AEO=∠CEB（对顶角相等），∠A=30°，∠C=45°，∴∠1+∠A=∠2+∠C，∠1−∠2=15°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．。

北师大版数学八年级上册《七平行线的证明》单元测试

B. 100°
C. 105°
D. 110°
3.下列命题中，真命题有( )个．
BC =
①若AC：
5‒1
2
，则点是线段AB的黄金分割点；②以矩形各边的中点为顶点的
2
四边形是菱形；③若 ( ‒ 2) = 2 ‒ ，则的取值范围是 < 2；④已知点(0,3)，
1
( ‒ 4,3)，以原点为位似中心，把线段AB缩短为原来的4，其中点与点对应，点
C. 3个
D. 4个
8.如图，直线、被直线所截若∠1 = 55°，则∠2的度数是( )时能判定a//b.
A. 35°
B. 45°
9.如图中的条件，能判断互相平行的直线为( )
C. 125°
D. 145°
A. a//b
B. m//n
C. a//b且m//n
D. 以上均不正确
10.如图，AB//CD，BC//DE，若∠CDE = 140°，则∠的度数是( )
______ °.
22.在ΔABC中，∠ABC = 62°，∠ACB = 50°，∠ACD是ΔABC的外角∠ACD和∠ABC的平
分线交于点，则∠AEB = ______°.
三、解答题（本大题共 5 小题，共 40 分）
23.如图，四边形ABCD中，∠ = ∠ = 90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，分别交
B. 63°
C. 55°
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分）
2
2
17.若 < ，则 < 是 ______命题．(填真或假)
18.如图，要证AB//CD，只需∠3 = ______，根据是 ______.
D. 45°

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第7章平行线的证明》单元综合练习题(附答案)

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第7章平行线的证明》单元综合练习题（附答案）1．如图，在正方体ABCD﹣EFGH中，下列各棱与棱AB平行的是（）A．BC B．CG C．EH D．HG2．三条直线a、b、c中，a∥b，b∥c，则直线a与直线c的关系是（）A．相交B．平行C．垂直D．不确定3．如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（）A．∠EDC＝∠EFC B．∠AFE＝∠ACD C．∠3＝∠4D．∠1＝∠24．下列说法错误的是（）A．内错角相等，两直线平行B．两直线平行，同旁内角互补C．同角的补角相等D．相等的角是对顶角5．若三角形三个内角度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6．已知，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝80°，则∠B＝（）A．60°B．30°C．20°D．40°7．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（）A．62°B．152°C．208°D．236°8．具备下列条件的三角形ABC中，不为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C C．∠A＝90°﹣∠B D．∠A﹣∠B＝90°9．下列语句：①每一个外角都等于60°的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式有意义的条件是分子为零且分母不为零．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．410．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．两直线平行同位角相等B．对顶角相等C．若a＝b，则a2＝b2D．若（a+1）x＞a+1，则x＞111．5月1日，小明一家准备在市内作短途旅游．小明征求大家的意见：爷爷奶奶：如果去玉泉观就一定再去伏羲庙；爸爸妈妈：如果不去南寺也就不去李广墓；姑姑：要么去玉泉观，要么去南郭寺．如果只去一个景点，小明应该选择去（）A．玉泉观B．伏羲庙C．南郭寺D．李广墓12．某超市（商场）失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走．三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案时总得有甲作从犯；（3）乙不会开车．在此案中，能肯定的作案对象是（）A．嫌疑犯乙B．嫌疑犯丙C．嫌疑犯甲D．嫌疑犯甲和丙13．在同一平面内，两条直线有种位置关系，分别是和．14．设a、b、c为平面上三条不同直线，（1）若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是；（2）若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是．15．如图，∠1＝∠2，∠2＝∠C，则图中互相平行的直线有．16．△ABC中，∠A＝60°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC＝．17．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝度．18．如图，是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝．（用度数表示）19．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是．20．字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为．组合连接a⊕b b⊕d d⊕c21．已知：如图，∠A＝∠F，∠C＝∠D．求证：BD∥CE．22．如图∠CDA＝∠CBA，DE平分∠CDA，BF平分∠CBA，且∠ADE＝∠AED，那么DE ∥BF吗？请说明理由．23．在括号内填写理由．如图，已知∠B+∠BCD＝180°，∠B＝∠D．求证：∠E＝∠DFE．证明：∵∠B+∠BCD＝180°（），∴AB∥CD（）∴∠B＝∠DCE（）又∵∠B＝∠D（），∴∠DCE＝∠D（）∴AD∥BE（）∴∠E＝∠DFE（）24．已知：如图，直线AB∥CD，并且被直线EF所截，EF分别交AB和CD于点P和Q，射线PR和QS分别平分∠BPF和∠DQF，求证：∠BPR＝∠DQS．25．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠BAC＝80°，∠B＝60°，求∠AEC和∠DAE的度数．26．如图，在△ABC中，∠ADB＝∠ABD，∠DAC＝∠DCA，∠BAD＝32°，求∠BAC的度数．参考答案1．解：结合图形可知，与棱AB平行的棱有CD，EF，GH．故选：D．2．解：∵三条直线a、b、c中，a∥b，b∥c，∴a∥c，故选：B．3．解：∠EDC＝∠EFC不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行；∠AFE＝∠ACD，∠1＝∠2是EF和BC被AC和EC所截得到的同位角和内错角，因而可以判定EF∥BC，但不能判定DE∥AC；∠3＝∠4这两个角是AC与DE被EC所截得到的内错角，可以判定DE∥AC．故选：C．4．解：A、内错角相等，两直线平行，是平行线的判断方法之一，正确；B、两直线平行，同旁内角互补，是平行线的性质之一，正确；C、根据数量关系，同一个角的补角一定相等，正确；D、对顶角既有大小关系，又有位置关系，相等的角是对顶角的说法错误．故选：D．5．解：∵三角形三个内角度数之比为1：2：3，∴可以假设三个内角分别为x.2x，3x．∵x+2x+3x＝180°，∴x＝30°，∴三角形的三个内角分别为30°，60°，90°，∴△ABC是直角三角形．6．解：∵在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝80°，∴∠B＝180°﹣60°﹣80°＝40°．故选：D．7．解：∵如图可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A，又∵∠BED＝∠D+∠EGD，∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD，又∵∠CGE+∠EGD＝180°，∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，又∵∠D＝28°，∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°，故选：C．8．解：根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C＝180°．A、∠A+∠B＝∠C成立，则∠C＝90°；B、∠A＝∠B＝∠C，则∠C＝90°；C、∠A＝90°﹣∠B，即∠A+∠B＝90°所以∠C＝90°；D、∠A﹣∠B＝90°，那么∠A＞90°，一定不是直角三角形．故选：D．9．解：①每一个外角都等于60°的多边形是正六边形，正确；②“反证法”就是从反面的角度思考问题的证明方法，故错误；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形为等腰三角形，是真命题，正确；④分式有意义的条件是分母不为零，故错误；正确的有2个．故选：B．10．解：A、“两直线平行同位角相等”的逆命题是“同位角相等两直线平行”正确，故是真命题；B、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，所以逆命题错误，故是假命题；C、“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是“若a2＝b2，则a＝b”，因为a2＝b2，则a＝±b，所以逆命题错误，故是假命题；D、“若（a+1）x＞a+1，则x＞1”的逆命题是“若x＞1，则（a+1）x＞a+1”，逆命题中若a+1＜0，则（a+1）x＜a+1，所以逆命题错误，故是假命题．故选：A．11．解：姑姑的意见中有两个景点，必须选择其中的一个．若选去玉泉观，按爸爸妈妈的意见就得还去一个景点：伏羲庙，这与只去一个景点相矛盾，所以不可取．若去南郭寺，与爷爷奶奶、爸爸妈妈的意见均不矛盾．所以应去南郭寺．故选：C．12．解：由于“大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走”，根据条件（3）可知：乙肯定不是主犯；根据（1）可知：嫌疑犯必在甲和丙之间；由（2）知：若丙作案，则甲必作案；由于没有直接证明丙作案的证据，因此根据（1）（2）可以确定的是甲一定是嫌疑犯．故选：C．13．解：在同一平面内，两条直线有两种位置关系，分别是平行和相交．故答案为：两；平行；相交．14．解：（1）∵a∥b，b∥c，∴a∥c；（2）∵a、b、c为平面上三条不同直线，a⊥b，b⊥c，∴a∥c．故答案为：a∥c，a∥c．15．解：∵∠2＝∠C，∴EF∥CG，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠C，∴AB∥CD．故答案为EF∥CG，AB∥CD．16．解：∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于P，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×120°＝60°，在△PBC中，∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．17．解：设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝2x．根据三角形内为180°知，∠C+∠ABC+∠A＝180°，即2x+2x+x＝180°，所以x＝36°，∠C＝2x＝72°．在直角三角形BDC中，∠DBC＝90°﹣∠C＝90°﹣72°＝18°．故填18°．18．解：如右图所示，∵∠1＝∠C+∠2，∠2＝∠A+∠D，∴∠1＝∠C+∠A+∠D，又∵∠1+∠B+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．故答案是：180°．19．解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：它们相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．20．解：结合前两个图可以看出：b代表正方形；结合后两个图可以看出：d代表圆；因此a代表线段，c代表三角形，∴图形的连接方式为a⊕c故答案为：a⊕c．21．证明：∵∠A＝∠F，∴AC∥DF，∴∠C＝∠FEC，∵∠C＝∠D，∴∠D＝∠FEC，∴BD∥CE．22．解：DE∥BF，理由是：∵∠CDA＝∠CBA，DE平分∠CDA，BF平分∠CBA，∴∠CDE＝∠ABF，∵∠ADE＝∠AED，∴∠AED＝∠ABF，∴DE∥BF．23．证明：∵∠B+∠BCD＝180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）∴∠B＝∠DCE（两直线平行，同位角相等）又∵∠B＝∠D（已知），∴∠DCE＝∠D（等量代换）∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）∴∠E＝∠DFE（两直线平行，内错角相等）．24．证明：∵AB∥CD，∴∠BPQ＝∠DQF，∵射线PR和QS分别平分∠BPF和∠DQF，∴∠BPR＝∠RPQ＝∠BPQ，∠DQS＝∠SQF＝∠DQF，∴∠BPR＝∠DQS．25．解：∵AE平分∠BAC，∠BAC＝80°，∴∠BAE＝40°，又∵∠B＝60°，∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝100°．又∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE＝∠AEC﹣∠ADE＝100°﹣90°＝10°．26．解：在三角形ABD中，∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣32°）＝74°，在三角形ADC中，∠DAC＝∠DCA＝∠ADB＝37°，∴∠BAC＝∠DAC+∠BAD＝37°+32°＝69°．。

第七章平行线的证明单元测试卷（含解析）

第七章平行线的证明单元测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列命题：①平方等于其本身的数有0，±1；②32xy3是4次单项式；③将方程=1.2中的分母化为整数，得=12；④平面内有4个点，过每两点画直线，可画6条．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AO平分∠BAC，AO⊥BC，DE⊥BC，GH⊥BC，垂足分别为O、E、H，且DO∥AC，∠B=43°，则图中角的度数为47°的角的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．83．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75°B．80°C．85°D．90°4．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACD=76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E=（）A．40°B．36°C．20°D．18°5．如图，AB∥CD，MP∥AB，MN平分∠AMD，∠A=40°，∠D=30°，则∠NMP等于（）A．10°B．15°C．5°D．7.5°6．如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，过O作DE∥BC，若BD+EC=5，则DE等于（）A．7 B．6 C．5 D．47．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（）A．76°B．78°C．80°D．82°8．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=120°，∠BGC=102°，则∠A的度数为（）A．34°B．40°C．42°D．46°9．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）10．已知，如图AB∥CD，∠1=∠2，EP⊥FP，则以下错误的是（）A．∠3=∠4 B．∠2+∠4=90°C．∠1与∠3互余D．∠1=∠3二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．用推理的方法判断为正确的命题叫做．12．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．第n次操作，分别作∠ABE n﹣1若∠E n=1度，那∠BEC等于度13．将一副直角三角尺如图放置（其中∠A=60°，∠F=45°），点E在AC上，ED∥BC，则∠AEF的度数是．14．如图，∠1=52°，∠2=128°，∠C=∠D．探索∠A与∠F的数量关系为．15．说理解答题在空白处填上适当的内容（理由或数学式）解：在ABC中∠B+∠ACB+∠BAC=180°∴∠BAC=180°﹣∠B﹣（等式的性质）=180°﹣36°﹣110°=∵AE是∠BAC的平分线（已知）∴∠CAE=∠BAC=17°∵AD是BC边上的高即AD⊥BC （已知）∴∠D=∵∠AC E是△ACD的外角（已知）∴∠ACE=∠CAD+∠D∴∠CAD=∠ACE﹣∠D （等式的性质）=110°﹣90°═20°∴∠DAE=∠CAD+=20°+17°=．16．如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC=，，则BB1=．17．一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是．18．如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，当横板AB的A端着地时，测得∠OAC=α，则在玩跷跷板时，横板AB绕点O上下转动的最大角度为°．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）如图，∠ACD=2∠B，CE平分∠ACD，求证：CE∥AB．20．（8分）补全解题过程．如图，在△ABC中∠ABC平分线BP和外角平分线CP交于点P，试猜想∠A与∠P之间的关系，并说明理由．解：∠A=2∠P理由：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACD（已知）∴∠ABC=∠1，∠ACD=2∠2 （）∵∠ACD为△ABC的外角∴∠ACD=∠A+∠=∠A+2∠1（三角形外角的性质）即：2∠2=∠A+2∠1同理：∠2=∠P+∴∠A=2∠P．21．（8分）如图：在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上一点，DM⊥AB且DE=BC，过点M作ME∥BC交AB于点E．求证：ME=AB．22．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AB边上不与A点、B点重合的任意一个动点，PQ⊥BC于点Q，QR⊥AC于点R．（1）求证：PQ=BQ；（2）设BP=x，CR=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当x为何值时，PR∥BC．23．（10分）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图，一束光线m射到平面镜上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若被b 反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2=°，∠3=°；（2）在（1）中，若∠1=55°，则∠3=°，若∠1=40°，则∠3=°；（3）由（1）、（2）请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n 平行，请说明理由．24．（10分）如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．25．（12分）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，则∠BEC=；若∠A=a°，则∠BEC=．【探究】（1）如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=a°，则∠BEC=；（2）如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A 有怎样的关系？请说明理由；（3）如图4，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A 有怎样的关系？请说明理由．参考答案与试题解析1．解：①错误，﹣1的平方是1；②正确；③错误，方程右应还为1.2；④错误，只有每任意三点不在同一直线上的四个点才能画6条直线，若四点在同一直线上，则只有画一条直线了．故选：A．2．解：∵AO平分∠BAC，AO⊥BC，∴∠BAO=∠CAO，∠AOB=∠AOC=90°，∴∠B=∠C，∵DO∥AC，∴∠BOD=∠C，∴∠B=∠BOD，∴DB=DO，又∵DE⊥BO，∴ED平分∠BDO，∵∠B=43°，∴∠BDE=47°，∴∠BAO=∠EDO=∠AOD=∠CAO=∠CGH=47°，故选：A．3．解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°﹣25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选：A．4．解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，∵∠ABC=40°，∠ACD=76°，∴∠ACD﹣∠ABC=36°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠ACD，∠EBC=∠ABC，∵∠ECD是△BCE的一个外角，∴∠ECD=∠EBC+∠E，∴∠E=∠ECD﹣∠EBC=∠ACD﹣∠ABC=18°．故选：D．5．解：∵AB∥CD，MP∥AB，∴AB∥CD∥MP，∵∠A=40°，∠D=30°，∴∠AMP=∠A=40°，∠DMP=∠D=30°，∴∠AMD=40°+30°=70°，∵MN平分∠AMD，∴∠AMN=∠AMD=×70°=35°，∴∠NMP=∠AMP﹣∠AMN=40°﹣35°=5°．故选：C．6．解：∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB．又∵∠B，∠C的平分线相交于点O，∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO．∴DB=DO，EC=EO，又∵BD+EC=5，DO+EO=DE，∴DE=5．故选：C．7．解：如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥RS∥MN，∴∠RHB=∠ABE=∠ABK，∠SHC=∠DCF=∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°，∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣（∠ABK+∠DCK），∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK ﹣180°，∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC，又∠BKC﹣∠BHC=27°，∴∠BHC=∠BKC﹣27°，∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣27°），∴∠BKC=78°，故选：B．8．解：设∠GBC=x，∠DCB=y，在△BFC中，2x+y=180°﹣120°=60°①，在△BGC中，x+2y=180°﹣102°=78°②，解得：①+②：3x+3y=138°，∴∠A=180°﹣（3x+3y）=180°﹣138°=42°，故选：C．9．解：2∠A=∠1+∠2，理由：∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°，则2∠A+180°﹣∠2+180°﹣∠1=360°，∴可得2∠A=∠1+∠2．故选：B．10．解：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠EPH，∠3=∠HPF，∵EP⊥FP，∴∠2+∠4=90°，∠HPF+∠EPH=90°，∴∠3=∠4，故A正确；∵EP⊥FP，∴∠2+∠4=90°，故B正确；∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∠1与∠3互余，故C正确；故选：D．11．解：定理是用推理的方法判断为正确的命题，故用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．12．解：如图①，过E作EF∥AB，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC．∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；…以此类推，∠E n=∠BEC．∴当∠E n=1度时，∠BEC等于2n度．故答案为：2n ．13．解：∵ED∥BC，∴∠DEC=∠C=30°，∴∠FEC=15°，∴∠AEF=180°﹣15°=165°，故答案为：165°．14．解：∵∠1=52°，∠2=128°，∴∠1+∠2=180°，∵∠C=∠D，∴∠D=∠ABD，∴AC∥DF，∴∠A=∠F．15．解：在ABC中，∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°（三角形内角和定理）∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠BCA（等式的性质）=180°﹣36°﹣110°=34°∵AE是∠BAC的平分线（已知）∴∠CAE=∠BAC=17°∵AD是BC边上的高即AD⊥BC （已知）∴∠D=90°，∵∠AC E是△ACD的外角（已知）∴∠ACE=∠CAD+∠D（三角形外角的性质）∴∠CAD=∠ACE﹣∠D （等式的性质）=110°﹣90°=20°∴∠DAE=∠CAD+∠CAE=20°+17°=37°．故答案为：三角形内角和定理；∠BAC；34°；；90°；三角形外角的性质；∠CAE；37°．16．解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴平移后∠PB1C=∠CB=45°，∴△PB1C是等腰直角三角形，∴S=B1C•（B1C）=2，△PB1C解得B1C=2，∴BB1=BC﹣B1C=3﹣2=．故答案为：．17．解：如图①所示，当∠BAC=48°时，那么它的最大内角是90°当∠ACB=48°时，有以下4种情况，故答案为：88°，90°，99°，108°，116°18．解：如图所示，作DE∥AC，则有∠1=∠A=α，则上下最大可以转动的角度为2α．故答案为：2α．19．证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ACD=2∠DCE，∵∠ACD=2∠B，∴∠DCE=∠B，∴AB∥CE．20．解：∠A=2∠P理由：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACD（已知）∴∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2 （角平分线的定义）∵∠ACD为△ABC的外角∴∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠1（三角形外角的性质）即：2∠2=∠A+2∠1，∴∠A=2∠P．故答案为：2，角平分线的定义，ABC，∠1．21．证明：∵ME∥BC，∴∠B=∠MED，∵DM⊥AB，∴∠MDE=90°，∴∠MDE=∠C=90°，在△ABC和△MED中，，∴△ABC≌△MED（ASA），∴ME=AB．22．（1）证明：∵∠A=90°，AB=AC=1∴∠B=∠C=45°又∵PQ⊥BQ∴∠BPQ=45°∴△BPQ是等腰三角形∴PQ=BQ．（2）解：在等腰直角△BPQ中，∵BP=x∴BQ=在Rt△ABC中，BC==在等腰直角三角形CQR中，CR=y∴CQ=y∵CQ=BC﹣BQ即y=﹣所以y=﹣x+1．又∵△BPQ为等腰三角形，∴PQ=∵PR∥BC∴∠PRQ=∠RQC=45°∴PR=∠A=∠A，∠APR=∠B，∠ARP=∠C∴△APR∽△ABC∴即解得：x=．23．解：（1）100°，90°．∵入射角与反射角相等，即∠1=∠4，∠5=∠6，根据邻补角的定义可得∠7=180°﹣∠1﹣∠4=80°，根据m∥n，所以∠2=180°﹣∠7=100°，所以∠5=∠6=（180°﹣100°）÷2=40°，根据三角形内角和为180°，所以∠3=180°﹣∠4﹣∠5=90°；（2）90°，90°．由（1）可得∠3的度数都是90°；（3）90°（2分）理由：因为∠3=90°，所以∠4+∠5=90°，=360°﹣2∠4﹣2∠5，=360°﹣2（∠4+∠5），=180°．由同旁内角互补，两直线平行，可知：m∥n．24．解：∠AED=∠ACB．理由：∵∠1+∠4=180°（平角定义），∠1+∠2=180°（已知）．∴∠2=∠4．∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）．∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）．∵∠3=∠B（已知），∴∠B=∠ADE（等量代换）．∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）．25．解：∵∠A=82°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣82°=98°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×98°=49°，∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣49°=131°；由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣a°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣a°）=90°﹣a°，故答案为：131°，90°+a°；探究：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣a°，∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣a°）=120°﹣a°，∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（120°﹣a°）=60°+a°；故答案为：60°+a°；（2）∠BOC=∠A．理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠OCD=∠BOC+∠OBC，∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，∴∠A+∠ABC=2（∠BOC+∠OBC），∴∠A=2∠BOC，∴∠BOC=∠A；（3）∠BOC=90°﹣∠A．理由如下：∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，∴∠OBC=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，∠OCB=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，在△OBC中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣（90°﹣∠ABC）﹣（90°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BOC=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．。

第七章平行线的证明单元测试 2022-2023学年北师大版数学八年级上册

北师大版八上第7章平行线的证明单元测试一、选择题（共10小题）1. 如图，直线a∥b，∠1=50∘，则∠2的度数为( )A. 40∘B. 50∘C. 55∘D. 60∘2. 下列推理正确的是( )A. 弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，理由是弟弟明年比今年长大了1岁B. 若△ABC≌△DEF，则∠ABC=∠DEFC. ∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多D. 因为对顶角必然相等，所以相等的角也必是对顶角3. 如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b．理由是( )A. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C. 在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4. 如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是( )A. ∠1=∠2B. ∠2=∠3C. ∠1>∠4+∠5D. ∠2<∠55. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=37∘时，∠1的度数为( )A. 37∘B. 43∘C. 53∘D. 54∘6. 下列命题中，是真命题的是( )A. √9的算术平方根是3B. 数据−2，1，0，2，2，3的方差是83C. y=kx+b（k，b为常数）是一次函数D. 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等7. 如图，在△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不成立的是( )A. ∠DCE>∠ADBB. ∠ADB>∠DBCC. ∠ADB>∠ACBD. ∠ADB>∠DEC8. 如图是汽车灯的剖面图，从位于O点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO=α，∠DCO=60∘，则∠BOC的度数为( )A. 180∘−αB. 120∘−αC. 60∘+αD. 60∘−α9. 如图，a∥b，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=( )A. 180∘B. 360∘C. 270∘D. 540∘10. 如图，△ABC中，将∠A沿DE翻折，点A落在Aʹ处，∠CEAʹ，∠BDAʹ，∠A三者之间的关系是( )A. ∠CEAʹ=∠BDAʹ+∠AB. ∠CEAʹ−3∠A=∠BDAʹC. ∠CEAʹ=2(∠BDAʹ+∠A)D. ∠CEAʹ−∠BDAʹ=2∠A二、填空题（共6小题）11. 命题“没有公共点的两条直线是平行的”的条件是，结论是，这个命题是命题．12. 如图，若AB∥CD，∠A=110∘，则∠1=∘．13. 如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E=30∘，∠EFC=130∘，则∠A=．14. 如图，将分别含有30∘，45∘角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65∘，则图中角α的度数为．15. 如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为．（任意添加一个符合题意的条件即可）16. 一个大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150∘，则∠ABC=∘．三、解答题（共5小题）17. 补全证明过程：（括号内填写理由）如图，一条直线分别与直线BE，直线CE，直线BF，直线CF相交于A，G，H，D，如果∠1=∠2，∠A=∠D，求证：∠B=∠C．证明：∵∠1=∠2，（已知）∠1=∠3，（）∴∠2=∠3（）∴CE∥BF，（）∴∠C=∠4，（）又∵∠A=∠D，（）∴AB∥，（）∴∠B=∠4，（）∴∠B=∠C．（等量代换）18. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在Dʹ，Cʹ的位置上，EDʹ与BC的交点为G，若∠EFG=55∘，求∠1，∠2的度数．19. 如图①，在三角形ABC中，∠BAE=1∠BAC，∠C>∠B，且FD⊥BC于点D．2（1）试推出∠EFD，∠B，∠C之间的关系；（2）如图②，当点F在AE的延长线上时，其他条件不变，（1）中推导的结论还成立吗?请直接写出结论．20. 如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，求证：∠B+∠1=2∠2．21. 如图①，在平面直角坐标系中，A(0,1)，B(4,1)，C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．（1）求证：∠OAC=∠OCA；（2）如图②，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的邻补角的三等分线交于点P，即∠POC=1 3∠AOC，∠PCE=13∠ACE，求∠P的大小；（3）如图③，若∠POC=1n ∠AOC，∠PCE=1n∠ACE，猜想∠OPC的大小．（用含n的式子表示）答案1. B2. B【解析】由全等三角形的性质可知，B 正确．3. B 【解析】由题意得 a ⊥AB ，b ⊥AB ，∴a ∥b （在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）．4. A【解析】∵∠1 和 ∠2 是对顶角，∴∠1=∠2，故A 正确；∵∠2=∠A +∠3，∴∠2>∠3，故B 错误；∵∠1=∠4+∠5，故③错误；∵∠2=∠4+∠5，∴∠2>∠5，故D 错误．故选A ．5. C【解析】如图，∵AB ∥CD ，∠2=37∘，∴∠2=∠3=37∘，∵∠1+∠3=90∘，∴∠1=53∘．6. B【解析】A ．√9=3，3 的算术平方根是 √3，原命题是假命题，不符合题意；B ．数据 −2，1，0，2，2，3 的平均数是 1，方差=16×[(−2−1)2+(1−1)2+(0−1)2+(2−1)2×2+(3−1)2]=83，原命题是真命题，符合题意；C ．y =kx +b （k ，b 为常数，且 k ≠0）是一次函数，原命题是假命题，不符合题意；D ．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，原命题是假命题，不符合题意．故选B ．7. A【解析】A 选项无法判断；∵∠ADB 是 △BCD 的一个外角，∴∠ADB >∠DBC ，∠ADB >∠ACB ，故选项B ，C 均成立；∵∠ACB 是 △CDE 的一个外角，∴∠ACB >∠DEC ，∴∠ADB >∠DEC ，故选项D 成立．8. C【解析】连接 BC ，∵AB∥CD，∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD=180∘，又∠CBO+∠BCO+∠BOC=180∘，∴∠BOC=∠ABO+∠DCO=α+60∘．9. B 【解析】过点P作PA∥a，∵a∥b，PA∥a，∴a∥b∥PA，∴∠1+∠MPA=180∘，∠3+∠APN=180∘，∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN=180∘+180∘=360∘，∴∠1+∠2+∠3=360∘．10. D【解析】如图，由折叠得∠A=∠Aʹ，∵∠CEAʹ=∠A+∠1，∠1=∠Aʹ+∠BDAʹ，∴∠CEAʹ=∠A+∠Aʹ+∠BDAʹ=2∠A+∠BDAʹ，∴∠CEAʹ−∠BDAʹ=2∠A．故选D．11. 两条直线没有公共点，这两条直线互相平行，假12. 70【解析】如图，∵AB∥CD，∴∠2=∠A=110∘．又∵∠1+∠2=180∘，∴∠1=180∘−∠2=180∘−110∘=70∘．13. 20∘【解析】∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC=180∘，∵∠EFC=130∘，∴∠ABF=50∘，∵∠A+∠E=∠ABF=50∘，∠E=30∘，∴∠A=20∘．14. 140∘【解析】如图，∵∠ACB=90∘，∠DCB=65∘，∴∠ACD=∠ACB−∠BCD=90∘−65∘=25∘，∵∠A=60∘，∴∠DFB=∠AFC=180∘−∠ACD−∠A=180∘−25∘−60∘=95∘，∵∠D=45∘，∴∠α=∠D+∠DFB=45∘+95∘=140∘．15. ∠A+∠ABC=180∘或∠C+∠ADC=180∘或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE（答案不唯一）【解析】若∠A+∠ABC=180∘，则BC∥AD；若∠C+∠ADC=180∘，则BC∥AD；若∠CBD=∠ADB，则BC∥AD；若∠C=∠CDE，则BC∥AD，故答案为∠A+∠ABC=180∘或∠C+∠ADC=180∘或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE（答案不唯一）．16. 120【解析】如图，过点B作BG∥CD．∵CD∥AE，CD∥BG，∴∠C+∠CBG=180∘，BG∥AE，∴∠BAE+∠ABG=180∘，又易知∠BAE=90∘，∴∠ABG=90∘，∵∠C=150∘，∴∠CBG=30∘，∴∠ABC=∠ABG+∠CBG=90∘+30∘=120∘．17. 对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等18. ∵AD∥BC，∠EFG=55∘，∴∠2=∠GED，∠DEF=∠EFG=55∘，由折叠知∠GEF=∠DEF=55∘，∴∠GED=110∘，∴∠1=180∘−∠GED=70∘，∠2=110∘．19. （1）∠EFD=90∘−∠FED=90∘−(∠B+∠BAE)=90∘−∠B−12∠BAC=90∘−∠B−12(180∘−∠B−∠C)=90∘−∠B−90∘+12∠B+12∠C=12(∠C−∠B).（2）（1）中推导的结论仍成立，∠EFD=12(∠C−∠B)．20. ∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAC=2∠BAD，∵∠1=∠B+∠BAC，∠2=∠B+∠BAD，∴∠B+∠1=∠B+∠B+∠BAC=2∠B+2∠BAD=2∠2．21. （1）∵A，B的纵坐标相等，所以AB∥OC，∴∠BAC=∠OCA，又AC平分∠OAB，∴∠OAC=∠BAC，∴∠OAC=∠OCA．（2）由（1）得∠OAC=∠OCA，∴OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=45∘，∴∠ACE=135∘，∵∠POC=13∠AOC，∠PCE=13∠ACE，∴∠P=∠PCE−∠POC=13∠ACE−13∠AOC=13×(∠ACE−∠AOC)=13×(135∘−90∘)=15∘.（3）∠OPC=45∘n ．证明：∠OPC=∠PCE−∠POC(∠ACE−∠AOC)=1n(135∘−90∘)=1n=45∘.n第11页（共12 页）第12页（共12 页）。

北师大版八年级上册数学第七章平行线的证明单元测试(含答案)

八年级上册数学第七章单元测试一、选择题(每题3分，共30分)1．命题“负数没有平方根”的条件是()A．如果一个数是正数B．如果一个数没有平方根C．如果一个数是负数D．如果一个数是非负数2．如图，下列能判定AB∥CD的条件有()(1)∠B＋∠BCD＝180°；(2)∠1＝∠2；(3)∠3＝∠4；(4)∠B＝∠5.A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，直线AB∥CD，OG是∠EOB的平分线，∠EFD＝70°，则∠BOG的度数是()A．70°B．20°C．35°D．40°4．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°30′，则下列结论中不正确的是()A．∠2＝45°B．∠1＝∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75°30′5．如图，下列选项中，不可以得到l1∥l2的是()A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠5 D．∠3＋∠4＝180°6．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，则()A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2(∠1＋∠2)7．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于()A．90°B．180°C．210°D．270°8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE为()A．80°B．60°C．50°D．40°9．如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝54°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的平分线，则∠DAE的度数为()A．8°B．10°C．12°D．14°10．在三角板拼角活动中，小明将一副三角板按如图方式叠放，则拼出的∠α度数为()A．65°B．75°C．105°D．115°二、填空题(每题3分，共15分)11．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠A为________度．12．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD交AB于G，则∠FGB的度数为________．13．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝72°，∠CAD＝21°，则∠BAC的度数是________．14．如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1＋∠2等于________．15．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A＝65°，则∠BEC ＝________度．三、解答题(16题10分，17题7分，第18～21题每题8分，第22～23题每题13分，共75分)16．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EC∥FD，∠F＝∠E，求证：AE ∥BF.将证明过程补充完整，并在括号内填写推理依据．证明：∵EC∥FD，()∴∠________＝∠1.()∵∠F＝∠E，(已知)∴∠________＝∠________，()∴AE∥BF.()17．如图，D、E、F分别在△ABC的三条边上，DE∥AB，∠1＋∠2＝180°.(1)试说明：DF∥AC；(2)若∠1＝100°，DF平分∠BDE，求∠C的度数．18．如图，∠AGF＝∠ABC，∠1＋∠2＝180°.(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；(2)若BF⊥AC，∠2＝145°，求∠AFG的度数．19．如图，已知BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：AB∥CD.20．如图，已知：DE⊥AO于点E，BO⊥AO于点O，∠CFB＝∠EDO，证明：CF∥DO.21．如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，DE交AC于点E.若∠B＝57°，∠C＝65°，求∠ADE的度数．22．已知如图，点E在△ABC的边BC上，AD∥BC，∠DAE＝∠BAC，∠1＝∠2.(1)求证AB∥DE；(2)若已知AE平分∠BAC，∠C＝35°，求∠2的度数．23．如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动(不与点O重合)．(1)如图1，若∠MON＝90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝________；(2)如图2，若∠MON＝n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝________；(3)如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；(4)如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E.试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求出∠E的度数；如果会，请说明理由．答案一、1.C 2.C 3.C 4.D 5.C 6.B7.B8.D9．A10.C二、11.3012.151°13.51°或93°14.230°15．122.5三、16.已知；F；两直线平行，内错角相等；E；1；等量代换；内错角相等，两直线平行17．解：(1)∵DE∥AB，∴∠A＝∠2.∵∠1＋∠2＝180°，∴∠A＋∠1＝180°，∴DF∥AC.(2)∵∠1＝100°，∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝80°.∵AC∥DF，∴∠FDE＝∠2＝80°，∠C＝∠BDF.∵DF平分∠BDE，∴∠BDF＝80°，∴∠C＝∠BDF＝80°.18．解：(1)BF∥DE.理由如下：∵∠AGF＝∠ABC，∴GF∥BC，∴∠1＝∠3.∵∠1＋∠2＝180°，∴∠3＋∠2＝180°，∴BF∥DE.(2)∵BF⊥AC，∴∠BF A＝90°.∵∠1＋∠2＝180°，∠2＝145°，∴∠1＝35°，∴∠AFG＝90°－35°＝55°.19．证明：∵BE∥CF，∴∠1＝∠2.∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠ABC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD.20．证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO，∴∠AED＝∠AOB＝90°，∴DE∥BO，∴∠EDO＝∠BOD.又∵∠EDO＝∠CFB，∴∠BOD＝∠CFB，∴CF∥DO.21．解：∵∠B＝57°，∠C＝65°，∴∠BAC＝180°－57°－65°＝58°.∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC＝29°.∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD＝29°.22. (1)证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠1.∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAC＝∠1，∴AB∥DE.(2)解：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAE＝∠DAC.∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAE＝∠DAC.∵AD∥BC，∴∠C＝∠DAC＝35°，∴∠EAC＝∠DAC＝35°，∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝110°，∴∠2＝180°－∠AEC＝70°.23．解：(1)135°(2)90°＋12n°(3)∵BC、BD分别是∠OBA和∠NBA的平分线，∴∠ABC＝12∠OBA，∠ABD＝12∠NBA，∴∠ABC＋∠ABD＝12∠OBA＋12∠NBA＝12(∠OBA＋∠NBA)＝90°，即∠CBD＝90°，同理：∠CAD＝90°.∵四边形内角和等于360°，∴∠ACB＋∠ADB＝360°－90°－90°＝180°，由(2)知：∠ACB＝90°＋12n°，∴∠ADB＝180°－(90°＋12n°)＝90°－12n°，∴∠ACB＋∠ADB＝180°，∠ADB＝90°－12n°.(4)∠E的度数不会变，∠E＝40°.求解如下：∵∠NBA＝∠AOB＋∠OAB，∴∠OAB＝∠NBA－∠AOB.∵AE、BC分别是∠OAB和∠NBA的平分线，∴∠BAE＝12∠OAB，∠CBA＝12∠NBA，∵∠CBA＝∠E＋∠BAE，∴12∠NBA＝∠E＋12∠OAB，∵12∠NBA＝∠E＋12(∠NBA－80°)，即12∠NBA＝∠E＋12∠NBA－40°，∴∠E＝40°.。

(北师大版)武汉市八年级数学上册第七单元《平行线的证明》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．如图，△ABC 中，∠BAC ＝58°，∠C ＝82°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，点E 是AC 上一点，且∠ADE ＝∠B ，则∠CDE 的度数是（）A ．29°B ．39°C ．42°D ．52° 2．如图，//AB CD ，点E 在AC 上，110A ∠=︒，15D ∠=︒，则下列结论正确的个数是（）（1）AE EC =；（2）85AED ∠=︒；（3）A CED D ∠=∠+∠；（4）45BED ∠=︒A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．下列命题中，假命题是（）A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等4．下列各命题中，属于假命题的是（）A ．若0a b -＞，则a b ＞B ．若0a b -=，则0ab ≥C ．若0a b -＜，则a b ＜D ．若0a b -≠，则0ab ≠ 5．用反证法证明“m 为正数”时，应先假设（）． A ．m 为负数B ．m 为整数C ．m 为负数或零D ．m 为非负数 6．如图，在四边形ABCD 中，要得到AB CD ∥，只需要添加一个条件，这个条件可以是（）A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．BD ∠=∠ D ．12180B ∠+∠+∠=︒7．下列命题是真命题的是（）A ．两直线平行，同位角相等B ．面积相等的两个三角形全等C ．同旁内角互补D ．相等的两个角是对顶角8．如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（）A ．∵∠1＝∠3，∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）B ．∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）C ．∵AD ∥BC ，∴∠BAD+∠ABC ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）D ．∵∠DAM ＝∠CBM ，∴AB ∥CD （两直线平行，同位角相等）9．如图，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠则等于（）A ．90︒B ．180︒C ．270︒D ．360︒ 10．如图，//AB CD ，BE 交CD 于点F ，48B ∠=︒，20E ∠=︒，则D ∠的度数为（）．A ．28B ．20C ．48D ．6811．如图，已知点E ，D 分别在△ABC 边BA 和CA 的延长线上，CF 和EF 分别平分∠ACB 和∠AED ．如果∠B ＝70°，∠D ＝50°，则∠F 的度数是（）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°12．下列语句中，不是命题的是（）A ．过一点作已知直线的垂线B ．两点确定一条直线C ．钝角大于90度D ．平角都相等二、填空题13．如图所示，在ABC 中，80A ∠=︒，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠的平分线相交于1A 点，1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于A 点，依此类推，4A BC ∠与4A CD ∠的平分线相交于5A 点，则5A ∠的度数是_________．14．如图，在ABC 中，A β∠=度，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，则1A ∠=______度；1A BC ∠与1A CD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠；…2018∠A BC 与2018A CD ∠的平分线交于点2019A ，得2019A ∠．则2019A ∠=______度．15．若△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，AE 平分∠BAC ，∠B =40°，∠C =50°，则∠EAD=_____°．16．如图，△ABC 中,∠B=60°，∠C=80°，点D,E 分别在线段AB ，BC 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使B 落在B′ 处, B′ D, B′E 分别交AC 于F,G. 若∠ADF=70°，则∠CGE 的度数为______.17．在△ABC 中，∠A=60°，∠B=∠C ，则∠B=______．18．已知直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为___________．19．在四边形ABCD 中，ADC ∠与BCD ∠的角平分线交于点E ，115DEC ∠=︒，过点B 作//BF AD 交CE 于点F ，2CE BF =，54CBF BCE ∠=∠，连接BE ，254BCE S ∆=，则CE =___．20．如图，BD ＝BC ，BE ＝CA ，∠DBE ＝∠C ＝60°，∠BDE ＝75°，则∠AFE 的度数等于_____．三、解答题21．（1）如图1，若AB //CD ，AD //BC ，∠B 与∠D 有何关系？请说明理由；（2）若BE 平分∠ABC 交AD 于点E ，DF 平分∠ADC 交BC 于点F ，其它条件不变(如图2)，BE ，DF 是何位置关系?请说明理由．(本大题可不写依据）22．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点，点A 、B 、P 均在格点上．（请利用网格作图，画出的线用铅笔描粗描黑）（1）过点P 画直线AB 的平行线；（2）连接PA 、PB ，则三角形PAB 的面积= ；（3）若三角形QAB 面积与三角形PAB 的面积相等，且格点Q 与P 不重合，则格点Q 有个．23．如图，AD 平分∠BAC ，点E ，F 分别在边BC ，AB 上，且∠BFE ＝∠DAC ，延长EF ，CA 交于点G ，求证：∠G ＝∠AFG ．24．定义：一个三位数，如果它的各个数位上的数字互不相等且都不为0，同时满足十位上的数字为百位与个位数字之和，则称这个三位数为“西西数”．A 是一个“西西数”，从A 各数位上的数字中任选两个组成一个两位数，由此我们可以得到6个不同的两位数．我们把这6个数之和与44的商记为()h A ，如：132A =，133112212332(132)344h +++++==．（1）求()187h ，()693h 的值．（2）若A ，B 为两个“西西数”，且()()35h A h B =，求B A的最大值． 25．已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A ，试说明：BE//CF ．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式．解：∠3＝∠4（），∴AE//________（____________________________），∴∠EDC＝__________ （____________________________）．∠5＝∠A（已知），∴∠EDC＝________（________________________），∴DC//AB（____________________________），∴∠5＋∠ABC＝180°（____________________________），即∠5＋∠2＋∠3＝180°．∠1＝∠2（已知），∴∠5＋∠1＋∠3＝180°（________________________），即∠BCF＋∠3＝180°．∴BE//________（________________________）26．如图，已知直线AB//CD，∠A＝∠C＝100°，E、F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE 平分∠CBF．（1）直线AD与BC有何位置关系？请说明理由．（2）求∠DBE的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据三角形的内角和得到∠B＝180︒-∠BAC-∠C＝40︒，根据角平分线的定义得到∠BAC=29︒，根据三角形的外角的性质即可得到结论．∠BAD=12【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝58︒，∠C＝82︒，∴∠B＝180︒-∠BAC-∠C＝180︒-58︒-82︒＝40︒，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝1∠BAC＝29︒，2∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝69︒，∵∠ADE ＝∠B ＝40︒，∴∠CDE ＝29︒，故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 2．B解析：B【分析】过点E 做直线EF 平行于直线AB ，然后根据同位角和同旁内角即可判断（2）和（3），其中（1）和（4）无法判断．【详解】过点E 做直线EF 平行于直线AB ，如下图所示，（1）无法判断；（2）∵AB//CD ，AB//EF∴EF//CD∴70AEF ∠=︒，15DEF ∠=︒∴85AED ∠=︒故（2）正确；（3）由（2）得A CEF CED DEF ∠=∠=∠+∠，DEF D ∠=∠∴A CED D ∠=∠+∠故（3）正确；（4）无法判断；故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，重点是做出辅助线，然后利用平行线的性质进行求解． 3．D解析：D【分析】根据垂线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A 、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，真命题，本选项不符合题意；B 、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真命题，本选项不符合题意；C、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另一条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等，真命题，本选项不符合题意；D、有一边相等的两个等腰直角三角形不一定全等，如：一个等腰直角三角形的直角边与另一个等腰直角三角形的斜边相等，这两个等腰直角三角形并不全等，假命题，本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．4．D解析：D【分析】根据不等式的性质对各选项进行逐一判断即可．【详解】A、正确，符合不等式的性质；B、正确，符合不等式的性质．C、正确，符合不等式的性质；D、错误，例如a=2，b=0；故选D．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．5．C解析：C【分析】根据反证法的性质分析，即可得到答案．【详解】用反证法证明“m为正数”时，应先假设m为负数或零故选：C．【点睛】本题考查了反证法的知识，解题的关键是熟练掌握反证法的性质，从而完成求解．6．B解析：B【解析】A不可以；∵∠1=∠3，∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)，不能得出AB∥CD，∴A不可以；B可以；∵∠2=∠4，∴AB ∥CD(内错角相等,两直线平行)；∴B 可以；C 、D 不可以；∵∠B=∠D,不能得出AB ∥CD ；∵∠1+∠2+∠B=180°，∴AD ∥BC(同旁内角互补,两直线平行)，不能得出AB ∥BC ；∴C 、D 不可以；故选B.7．A解析：A【分析】根据平行线的性质，全等三角形的性质，对顶角的性质等逐一对选项进行分析即可.【详解】A 选项中，两直线平行，同位角相等，说法正确，是真命题；B 选项中，一个三角形底为3，高为4，另一个三角形底为6，高为2，面积相等但不全等，是假命题；C 选项中，只有两直线平行时，同旁内角才互补，是假命题；D 选项中，相等的两个角不一定是对顶角，也可能是同位角，内错角等，是假命题. 故选：A.【点睛】本题主要考查真命题，会判断命题的真假是解题的关键.8．D解析：D【解析】因为∠DAM 和∠CBM 是直线AD 和BC 被直线AB 的同位角,因为∠DAM ＝∠CBM 根据同位角相等,两直线平行可得AD ∥BC ，所以D 选项错误,故选D.9．D解析：D【分析】这个图形可以看成是两个三角形叠放在一起的，根据三角形内角和定理可得出结论．【详解】解：180A E C ∠+∠+∠=︒，180D B F ∠+∠+∠=︒，360A B C D E F ∴∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180︒是解答此题的关键． 10．A解析：A【分析】由//AB CD 和48B ∠=︒，可得到CFB ∠；再由对顶角相等和三角形内角和性质，从而完成求解．【详解】∵//AB CD∴180********CFB B ∠=-∠=-=∴132EFD CFB ∠=∠=∴1801801322028D EFD E ∠=-∠-∠=--=故选：A ．【点睛】本题考察了平行线和三角形内角和的知识；求解的关键是熟练掌握三角形内角和、平行线的性质，从而完成求解．11．C解析：C【分析】由角平分线定义得∠BCF ＝∠ACF ，∠DEF ＝∠AEF ，由三角形内角和定理得∠BCF ＋∠B ＝∠AEF ＋∠F ；∠BCF ＋∠ACF ＋∠B ＝∠DEF ＋∠AEF ＋∠D ，即2∠BCF ＋∠B ＝2∠AEF ＋∠D ，则∠BCF ＋70°＝∠AEF ＋∠F①，2∠BCF ＋70°＝2∠AEF ＋50°②，进而得出答案．【详解】解：如图，设AB 交CF 于点G ，∵CF 、EF 分别平分∠ACB 和∠AED ，∴∠BCF ＝∠ACF ，∠DEF ＝∠AEF ，∵∠BCF ＋∠B ＝∠AEF ＋∠F ；∠BCF ＋∠ACF ＋∠B ＝∠DEF ＋∠AEF ＋∠D ，即2∠BCF ＋∠B ＝2∠AEF ＋∠D ，又∵∠B ＝70°，∠D ＝50°，∴∠BCF ＋70°＝∠AEF ＋∠F①，2∠BCF ＋70°＝2∠AEF ＋50°②，①×2﹣②得，70°＝2∠F ﹣50°，解得∠F ＝60°．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．同时考查了角平分线的性质． 12．A解析：A【分析】根据命题的定义：判断一件事情的语句叫命题，进行选择．【详解】解：A 、没判断一件事情，只是叙述一件事情，故不是命题；B、两点确定一条直线，判断一件事情，故是命题；C、钝角大于90°，判断一件事情，故是命题；D、平角都相等，判断一件事情，故是命题；故选：A．【点睛】本题考查命题的概念，解题关键是熟练掌握并灵活运用概念．二、填空题13．5度【分析】由∠A1CD=∠A1+∠A1BC∠ACD=∠ABC+∠A而A1BA1C分别平分∠ABC和∠ACD得到∠ACD=2∠A1CD∠ABC=2∠A1BC于是有∠A=2∠A1同理可得∠A1=2∠A解析：5度【分析】由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此推出∠A=25∠A5，而∠A=80°，即可求出∠A5．【详解】解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，…，∴∠A=25∠A5，∵∠A=80°，∴∠A5=80°÷32=2.5°．故答案为：2.5°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质．14．ββ【分析】已知∠A求∠A1利用外角定理可得∠ACD=∠A+∠ABC∠A1CD=∠A1+∠A1BC把∠ACD利用角平分线转成2∠A1CD∠ABC转成2∠A1BC消去∠A1BC∠A1CD即可再用类似的解析：12β，201912β【分析】已知∠A，求∠A1，利用外角定理可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，把∠ACD 利用角平分线转成2∠A1CD，∠ABC转成2∠A1BC，消去∠A1BC，∠A1CD即可，再用类似的办法求∠A 2，以此类推即可【详解】∵BA 1平分∠ABC ，CA 1平分∠A 1CD ，∴∠AB A 1=∠A 1BC=12∠ABC ，∠AC A 1=∠A 1CD=12∠ACD ，由三角形的外角得∴∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，∴∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC①∴2∠A 1CD=∠A+2∠A 1BC②把①代入②得∠A 1=12∠A=12β CA 2平分∠A 2CD ，∠A 2C A 1=∠A 2CD=12∠A 1CD ，由三角形的外角得∴∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，∴∠A 2CD=∠A 2+∠A 2BC③∴2∠A 2CD=∠A 1+2∠A 2BC④解得∠A 2=12∠A 1， ∠A 2=12∠A 114∠A=14β=212β 同理∠A 3=12∠A 2=18∠A=18β=312β …∠A 2019= 201912β故答案为：①12β，②201912β【点睛】本题考查（第二内角的）外角平分线与（第一）内角平分线所夹的角问题，找到两平分线的夹角与第三个角的关系是解决问题关键15．5【分析】由三角形的高得出求出由三角形内角和定理求出由角平分线求出即可得出的度数【详解】解：中是边上的高平分故答案为：5【点睛】本题考查了三角形内角和定理角平分线的定义角的和差计算；熟练掌握三角形内解析：5【分析】由三角形的高得出90ADC ∠=︒，求出DAC ∠，由三角形内角和定理求出 BAC ∠，由角平分线求出EAC ∠，即可得出EAD ∠的度数．【详解】解：ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，90ADC ∴∠=︒，90905040DAC C ，180180405090BAC B C ， AE ∵平分BAC ∠， 11904522EAC BAC ，45405EAD EAC DAC ．故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、角的和差计算；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．16．500【分析】连接BB 由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DBE=60°再根据三角形外角性质即可得到∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°进而得出∠CEG=50°再根据三角形内角和定理即可得到△C解析：500【分析】连接BB'，由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DB'E=60°，再根据三角形外角性质，即可得到∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°，进而得出∠CEG=50°，再根据三角形内角和定理，即可得到△CEG 中，∠CGE=180°-50°-80°=50°．【详解】如图，连接BB'，由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DB'E=60°，∵∠ADF 是△BDB'的外角，∠CEG 是△BEB'的外角，∴∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°，又∵∠ADF=70°，∴∠CEG=50°，又∵∠C=80°，∴△CEG中，∠CGE=180°-50°-80°=50°，故答案为50°．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理的运用；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．17．60°【分析】根据条件由三角形内角和可得∠A+∠B+∠C=180°；接下来根据∠A=60°∠B=∠C进而得到∠B的度数【详解】解：∵∠A∠B∠C是△ABC的三个内角∴∠A+∠B+∠C=180°∵∠A解析：60°【分析】根据条件由三角形内角和可得∠A+∠B+∠C=180°；接下来根据∠A=60°，∠B=∠C，进而得到∠B的度数.【详解】解：∵∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，∴∠A+∠B+∠C=180°.∵∠A=60°，∠B=∠C，∴∠B=60°，故答案为：60°.【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意三角形内角和等于180°．18．40°【分析】如图过E作EF∥AB则AB∥EF∥CD根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求得答案【详解】解：如图过E作EF∥AB则AB∥EF∥CD∴∠1＝∠3∠2＝∠4∵∠3+∠4＝180°－9解析：40°【分析】如图，过E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求得答案．【详解】解：如图，过E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠3+∠4＝180°－90°－30°=60°，∴∠1+∠2＝60°，∵∠1＝20°，∴∠2＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题以三角板为载体，主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，正确添加辅助线、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．19．5【分析】设∠BCE=4x ∠CBF=5x 设∠ADE=∠EDC=y 构建方程组求出xy 证明∠CFB=90°再利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题【详解】解：∵∴可以假设∠BCE=4x 则∠CBF=5x解析：5【分析】设∠BCE=4x ，∠CBF=5x ，设∠ADE=∠EDC=y ，构建方程组求出x ，y ，证明∠CFB=90°，再利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．【详解】解：∵54CBF BCE ∠=∠， ∴可以假设∠BCE=4x ，则∠CBF=5x ，∵DE 平分∠ADC ，CE 平分∠DCB ，∴∠ADE=∠EDC ，∠ECD=∠ECB=4x ，设∠ADE=∠EDC=y ，∵AD ∥BF ，∴∠A+∠ABF=180°，∴∠ADC+∠DCB+∠CBF=180°，∴2y+13x=180°①，∵∠DEC=115°，∴∠EDC+∠ECD=65°，即y+4x=65° ②，联立①②解得x=10°，y=25°，∴∠BCF=40°，∠CBF=50°，∴∠CFB=90°，∴BF ⊥EC ，∴CE=2BF ，设BF=m ，则CE=2m ，12524∆=⨯⨯=BCE S EC BF ， ∴125224⨯⨯=m m ，解得52m =(负值舍去)， ∴CE=2m =5，故答案为5．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，二元一次方程组等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或方程组组解决问题．20．150°【分析】由三角形内角和定理可得∠E＝45°由SAS可证△ABC≌△EDB 可得∠A＝∠E＝45°由三角形的外角性质可求∠AFD＝30°即可求解【详解】解：∵∠DBE＝60°∠BDE＝75°∴∠解析：150°【分析】由三角形内角和定理可得∠E＝45°，由“SAS”可证△ABC≌△EDB，可得∠A＝∠E＝45°，由三角形的外角性质可求∠AFD＝30°，即可求解．【详解】解：∵∠DBE＝60°，∠BDE＝75°，∴∠E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝60°，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠A＝∠E＝45°，∵∠BDE＝∠A+∠AFD＝75°，∴∠AFD＝30°，∴∠AFE＝150°，故答案为：150°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，证明△ABC≌△EDB是解题关键．三、解答题21．（1）相等，理由见解析；（2）平行，理由见解析【分析】（1）连接BD，根据两直线平行，内错角相等和角的和差即可证明∠B=∠D；（2）根据角平分线的定义可得∠AEB=∠EBC=12∠ABC，根据（1）中的结论即可得出∠AEB=∠ADF，从而证明BE∥DF．【详解】解：(1)连接BD，∵AB∥CD，∴∠1=∠3，∵AD∥BC，∴∠4=∠2，∴∠ABC=∠1+∠2=∠3+∠4=∠ADC；(2)BE∥DF．理由如下：∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠EBC=12∠ABC，∠ADF=12∠ADC，∵AD∥CB，∴∠AEB=∠EBC=12∠ABC，由(1)知∠ABC=∠ADC，∴∠AEB=∠ADF，∴BE∥DF．【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的有关证明．熟练掌握平行线的性质和判定定理并能正确识图是解题关键．22．（1）见解析；（2）6.5；（3）3【分析】（1）连结AP，过点P作∠APQ=∠PAB，利用内错角相等，两直线平行可得PQ∥AB即可；（2）连PB，割补法利用网格正方形面积减去三个三角形面积即可；（3）由三角形QAB面积与三角形PAB的面积相等，在AB的平行线PQ上，截取PQ=AB 或PQ1=AB，连结AQ，延长QA，在QA的延长线上截取AQ2=AQ即可．【详解】（1）连结AP，过点P作∠APQ=∠PAB，∴PQ∥AB，则PQ为所求；（2）连PB，S△PAB=4×4-12×4×3-12×1×3-12×4×1=16-6-1.5-2=6.5，故答案为：6.5；（3）三角形QAB面积与三角形PAB的面积相等，在AB 的平行线PQ 上，截取PQ=AB 或PQ 1=AB ，连结AQ ，延长QA ，在QA 的延长线上截取AQ 2=AQ ，则Q 、Q 1、Q 2三点为所求，则格点Q 有3个，故答案为：3．【点睛】本题考查平行线的作法，网格三角形面积，面积相等的三角形格点问题，掌握平行线的作法，网格三角形面积求法，面积相等的三角形格点确定方法是解题关键．23．见解析【分析】先利用角平分线的定义得到∠BAD ＝∠DAC ，结合已知条件∠BFE ＝∠DAC ，可得∠BFE ＝∠BAD ，根据平行线的判定可证EG ∥AD ，再由平行线的性质得∠G ＝∠DAC ，∠AFG ＝∠BAD ，则利用等量代换即可证得结论．【详解】证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC ，∵∠BFE ＝∠DAC ，∴∠BFE ＝∠BAD ，∴EG ∥AD ，∴∠G ＝∠DAC ，∠AFG ＝∠BAD ，∴∠G ＝∠AFG ．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定的方法及利用性质证明角相等是解答此题的关键．24．（1）8,9；（2）671.154B A 【分析】（1）根据新定义的法则进行运算即可得到答案；（2）先由（1）的运算发现并总结规律，可得()h A 的值等于A 的十位数字，再运用规律结合()()35h A h B =进行合理的分类讨论，分4种情况：()()5,7h A h B ==或()()7,5,h A h B == ()()35,1h A h B ==或()()1,35h A h B ==，再根据新定义可得答案．【详解】解：（1）由定义可得：()18+81+17+71+78+87352===84417448h ， ()699663369339396=9.4444693h +++++== （2）探究： 133112212332(132)344h +++++==， ()18+81+17+71+78+87352===84417448h ， ()699663369339396=9.4444693h +++++==发现并总结规律：()h A 的值等于A 的十位数字，A ，B 为两个“西西数”，且()()35h A h B =， ()()5,7h A h B ∴==或()()7,5,h A h B ==而()()35,1h A h B ==或()()1,35h A h B ==不合题意舍去， B A的值最大，则B 最大，A 最小， ()()5,7,h A h B ∴==当()5h A =时，154A =或451A =或253A =或352A =，当()7h B =时，671B =或176B =或572B =或275B =或374B =或473.B =A ∴最小为154，B 最大为671，此时B A 的值最大为 671.154B A 【点睛】本题考查的是新定义运算，同时考查了规律探究，弄懂新定义的运算法则，理解并运用规律，掌握合理的分类讨论是解题的关键．25．已知；BC ；内错角相等，两直线平行；∠5 ；两直线平行，内错角相等；∠A ；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；CF ；同旁内角互补，两直线平行【分析】根据平行线的性质及判定解答．【详解】∠3＝∠4（已知），∴AE//BC（内错角相等，两直线平行），∴∠EDC＝∠5 （两直线平行，内错角相等）．∠5＝∠A（已知），∴∠EDC＝∠A（等量代换），∴DC//AB（同位角相等，两直线平行），∴∠5＋∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠5＋∠2＋∠3＝180°．∠1＝∠2（已知），∴∠5＋∠1＋∠3＝180°（等量代换），即∠BCF＋∠3＝180°．∴BE//CF（同旁内角互补，两直线平行）故答案为：已知；BC；内错角相等，两直线平行；∠5 ；两直线平行，内错角相等；∠A；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；CF；同旁内角互补，两直线平行．【点睛】此题考查平行线的判定及性质定理，熟记定理并熟练应用解决问题是解题的关键．26．（1）直线AD//BC，见解析；（2）∠DBE＝40°【分析】（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明∠ADC+∠C=180°，即可证得AD//BC；（2）由直线AB//CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠ABC的度数，又由∠ABC，即可求得∠DBE的度数．∠DBE=12【详解】解：（1）直线AD//BC，理由如下：∵AB//CD，∴∠A+∠ADC＝180°，又∵∠A＝∠C∴∠ADC+∠C＝180°，∴AD//BC；（2）∵AB//CD，∴∠ABC＝180°﹣∠C＝80°，∵∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF，∴∠DBE＝12∠ABF+12∠CBF＝12∠ABC＝40°．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线定义．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．。

(典型题)初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》测试(有答案解析)

一、选择题1．下列四个命题中为真命题的是（）A ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B ．若1∠和2∠是对顶角，则12∠=∠C ．三角形的一个外角大于任何一个内角D ．22a b =，则a b =2．如图，△ABC 中，∠BAC ＝58°，∠C ＝82°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，点E 是AC 上一点，且∠ADE ＝∠B ，则∠CDE 的度数是（）A ．29°B ．39°C ．42°D ．52° 3．如图，直线AB ､CD 被BC 所截，若//AB CD ，150∠=︒，240∠=︒，则3∠的大小是（）A ．80︒B ．70︒C ．90︒D ．100︒ 4．下列四个命题中，假命题有（）（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等．（2）如果1∠和2∠是对顶角，那么12∠=∠．（3）一个锐角的余角一定小于这个锐角的补角．（4）如果1∠和3∠互余，2∠与3∠的余角互补，那么1∠和2∠互补．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列命题是假命题的是（）A ．同旁内角互补，两直线平行B ．直角三角形的两个锐角互余C ．三角形的一个外角等于它的两个内角之和D ．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形6．如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝105°，则∠DAC 的度数为（）A ．80°B ．82°C ．84°D ．86°7．如图，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，∠B=45°，∠C=73°，则∠DAE 的度数是（）．A ．22°B ．16°C ．14°D ．23° 8．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（） A ．垂直B ．两条直线互相平行C ．同一条直线D ．两条直线垂直于同一条直线 9．如图，下列能判定//AB CD 的条件有（）个（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠B ＝∠5；（4）∠B +∠BCD ＝180°；（5）∠5＝∠DA ．1B ．2C ．3D ．410．如图，下列条件中，不能判断AD ∥BC 的是（）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠4C ．∠EAD=∠BD ．∠D=∠DCF 11．如图，AB ∥DE ，80,45B D ︒︒∠=∠=则C ∠的度数为（）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒12．在统一平面内有三条直线a 、b 、c ，下列说法：①若//a b ，//b c ，则//a c ；②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥，其中正确的是（）A ．只有①B ．只有②C ．①②都正确D ．①②都不正确二、填空题13．如图，已知CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，∠1=∠4．试说明DF ∥AE ．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．证明：∵_________（___________）∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（_________）．∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．又∵∠1=∠4，∴_____（_____），∴DF ∥AE （______）．14．如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，25A ∠=︒，D 是AB 上一点，将Rt ABC ∆沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B '处，则ADB '∠等于_______．15．如图，点D 是△ABC 的边BC 的延长线上的一点，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，依此类推…，已知∠A ＝α，则∠A 2020的度数为_____．（用含α的代数式表示）．16．如图，不添加辅助线，请写出一个能判定DE ∥BC 的条件___________.17．如图，△ABC 中,∠B=60°，∠C=80°，点D,E 分别在线段AB ，BC 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使B 落在B′ 处, B′ D, B′E 分别交AC 于F,G. 若∠ADF=70°，则∠CGE 的度数为______.18．以下四个命题：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③数轴上的每一个点都表示一个实数；④如果点()P x,y 的坐标满足xy 0<，那么点 P 一定在第二象限．其中正确命题的序号为 ___．19．如图，已知△ABC ，∠B 的角平分线与∠C 的外角角平分线交于点 D ，∠B 的外角角平分线与∠C 的外角角平分线交于点 E ，则∠E+∠D=_____．20．如图，C 是线段AB 上一点，∠DAC ＝∠D ，∠EBC ＝∠E ，AO 平分∠DAC ，BO 平分∠EBC ．若∠DCE ＝40°，则∠O ＝______°．三、解答题21．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点P ，根据下列条件，求BPC ∠的度数．（1）若40ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，则BPC ∠=______；（2）若110ABC ACB ∠+∠=︒，则BPC ∠=______；（3）若90A ∠=︒，则BPC ∠=______；（4）从以上的计算中，你能发现已知A ∠，求BPC ∠的公式是：BPC ∠=______（提示：用A ∠表示）．22．如图，将△ABC 沿着平行于BC 的直线DE 折叠，点A 落到点A ′，若∠C ＝125°，∠A ＝20°，求∠BD A ′的度数.23．如图，在ABC 中，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，62A ∠=︒，35ACD ∠=︒，20ABE ∠=︒．求：（1）BDC ∠的度数；（2）BFD ∠的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学公式）解：（1）∵BDC A ACD ∠=∠+∠（）∴623597BDC ∠=︒+︒=︒（等量代换）（2）∵BFD BDC ABE ∠+∠+∠=______（）∴180BFD BDC ABE ∠=︒-∠-∠（等式的性质）1809720=︒-︒-︒（等量代换）63=︒24．如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠BAC=50°，∠C=70°，求:∠DAC 和∠BOA 的度数．25．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、AB 延长线上的点，连接EF ，分别交AD 、BC 于点G 、H ．若12∠=∠，A C ∠=∠，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．补全解答过程．猜想：AB 与CD 的位置关系是 ① ．证明：∵12∠=∠（已知），1AGH ∠=∠（②），∴2AGH ∠=∠（③）．∴ ④ （同位角相等，两直线平行）．∴ADE C ∠=∠（⑤），∵A C ∠=∠（已知），∴ ⑥ （等量代换）．∴ ⑦ （⑧）．26．如图，在ABC 中，EF AB ⊥，CD AB ⊥，G 在AC 边上，AGD ACB ∠=∠．求证：（1）12∠=∠；（2）90BCD ADG ∠+∠=︒．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据平行线的性质、对顶角相等、三角形外角定理、乘方的性质逐项判断即可求解．【详解】解：A. “两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，缺少两直线平行这一条件，判断错误，是假命题，不合题意；B. “若1∠和2∠是对顶角，则12∠=∠”，是真命题，符合题意；C. “三角形的一个外角大于任何一个内角”，应为“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”，判断错误，是假命题，不合题意；D. “22a b =，则a b =，”是假命题，a 和b 也可以互为相反数，不合题意．故选：B【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、三角形外角定理、乘方的性质、真假命题等知识，熟知相关知识是解题关键．2．A解析：A【分析】根据三角形的内角和得到∠B ＝180︒-∠BAC -∠C ＝40︒，根据角平分线的定义得到∠BAD=12∠BAC=29︒，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵在△ABC 中，∠BAC ＝58︒，∠C ＝82︒，∴∠B ＝180︒-∠BAC -∠C ＝180︒-58︒-82︒＝40︒，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝12∠BAC ＝29︒， ∴∠ADC ＝∠B +∠BAD ＝69︒，∵∠ADE ＝∠B ＝40︒，∴∠CDE ＝29︒，故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 3．C解析：C【分析】先根据平行线的性质求出C ∠，再由三角形外角性质即可得解；【详解】∵//AB CD ，150∠=︒，∴150∠=∠=︒C ，∵240∠=︒，∴3290C ∠=∠+∠=︒；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形的外角性质，准确计算是解题的关键． 4．A解析：A【分析】按照命题的条件，结论，进行推理计算，或与定理，定义，法则对照，进行判断即可.【详解】∵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，∴（1）是假命题；∵对顶角相等，∴（2）是真命题；设锐角为x ，则其余角为90°-x ，补角为180°-x ，∴（90-x ）-（180-x ）=90°-x-180°+x=-90＜0，∴（3）是真命题；∵1∠和3∠互余，2∠与3∠的余角互补，∴1∠+3∠=90，2∠+（90-3∠）=180，∴2∠+1∠=180，∴（4）是真命题；故选A.【点睛】本题考查了对命题的真伪的甄别，解答时，熟练掌握数学的基本概念，基本定理，基本法则，基本性质是解题的关键.5．C解析：C【分析】根据平行线的判定定理，直角三角形互余性质，三角形的外角性质，等边三角形的判定去分别判断即可.【详解】解：∵同旁内角互补，两直线平行，∴选项A 选项为真命题，不符合题意；根据三角形内角和定理，得直角三角形的两个锐角互余，∴选项B选项为真命题，不符合题意；∵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，∴选项C选项为假命题，符合题意；根据等角对等边，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，∴选项D选项为真命题，不符合题意；故选C.【点睛】本题考查了对数学基础知识的掌握，全面规范掌握数学基础知识是解题的关键.6．A解析：A【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．【详解】解：∵∠BAC＝105°，∴∠2＋∠3＝75°①∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2②把②代入①得：3∠2＝75°，∴∠2＝25°．∴∠DAC＝105°−25°＝80°．故选A．【点睛】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟记三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据∠DAE=∠DAC-∠CAE，只要求出∠DAC，∠CAE即可．【详解】解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C，∠B=45°，∠C=73°，∴∠BAC=62°，∵AD平分∠BAC，∠BAC=31°，∴∠DAC=12∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠CAE=90°-73°=17°，∴∠DAE=31°-17°=14°，故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 8．D解析：D【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论．【详解】“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”．故选：D ．【点睛】本题考查了对命题的题设和结论的理解，解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断． 9．C解析：C【分析】根据平行线的判定定理分别进行判断即可得出结论．【详解】解：当12∠=∠时，//AD BC ，不符合题意；当34∠=∠时，//AB CD ，符合题意；当5B ∠=∠时，//AB CD ，符合题意；当180B BCD ∠+∠=︒时，//AB CD ；符合题意；当5D ∠=∠时，//AD BC ；不符合题意；综上所述，能判定//AB CD 的条件有（2）∠3＝∠4；（3）∠B ＝∠5；（4）∠B +∠BCD ＝180°；共3个．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．10．B解析：B【分析】根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断AD 、BC 是否平行即可．【详解】解：A 、∵∠1=∠3，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；B 、∵∠2=∠4，∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），但不能判定AD ∥BC ； C 、∵∠EAD=∠B ，∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）；D、∵∠D=∠DCF，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．11．B解析：B【分析】延长DE交BC于F，利用平行线的性质求出∠DFC=∠B=80°，再利用三角形的内角和定理求的度数.出C【详解】延长DE交BC于F，如图，∵AB∥DE，∴∠DFC=∠B=80°，∵∠C+∠D+∠DFC=180°，∴∠C= =180°-∠D-∠DFC=55°，故选：B.【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；三角形的内角和定理.12．A解析：A【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行可得①正确；根据应为同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行可得②错误．【详解】解：①若a∥b，b∥c，则a∥c，说法正确；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，说法错误，应为同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c；故选：A．【点睛】此题主要考查了平行公理和垂线，关键是注意同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．二、填空题13．CD ⊥DADA ⊥AB ；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等两直线平行【分析】先根据垂直的定义得到再根据等角的余角相等得出最后根据内错角相等两直线平行进行判定即可【详解】证明：∵CD解析：CD ⊥DA ，DA ⊥AB ；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行【分析】先根据垂直的定义，得到1290∠+∠=︒，3490∠+∠=°，再根据等角的余角相等，得出23∠∠=，最后根据内错角相等，两直线平行进行判定即可．【详解】证明：∵ CD ⊥DA ，DA ⊥AB （已知）∴∠CDA=90°，∠DAB=90° ( 垂直定义 )．∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．又∵∠1=∠4，∴∠2=∠3 ( 等角的余角相等 )，∴DF ∥AE ( 内错角相等，两直线平行 )．故答案为：．CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，已知；垂直定义；∠2=∠3 ，等角的余角相等；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及垂直的定义，解题时注意：内错角相等，两直线平行． 14．【分析】根据翻折变换的性质得出∠ACD=∠BCD ∠CDB=∠CDB′进而利用三角形内角和定理得出∠BDC=∠B′DC 再利用平角的定义即可得出答案【详解】解：∵将Rt △ABC 沿CD 折叠使点B 落在AC 边解析：40︒【分析】根据翻折变换的性质得出∠ACD=∠BCD ，∠CDB=∠CDB′，进而利用三角形内角和定理得出∠BDC=∠B′DC ，再利用平角的定义，即可得出答案．【详解】解：∵将Rt △ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B′处，∴∠ACD=∠BCD ，∠CDB=∠CDB′，∵∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°-25°=65°，∴∠BDC=∠B′DC=180°-45°-65°=70°，∴∠ADB′=180°-70°-70°=40°．故答案为：40°．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及三角形内角和定理，得出∠BDC 和∠B′DC 的度数是解题关键．15．【分析】根据角平分线的定义及三角形的内角和的及外角的性质可得∠A1＝∠A2＝∠A3＝据此找规律可求解【详解】解：在△ABC 中∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝α∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A1 解析：202012α【分析】根据角平分线的定义及三角形的内角和的及外角的性质可得∠A 1＝12α，∠A 2＝212α，∠A 3＝312α，据此找规律可求解．【详解】解：在△ABC 中，∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝α，∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴∠A 1＝∠A 1CD ﹣∠A 1BC ＝12（∠ACD ﹣∠ABC ）＝12∠A ＝12α，同理可得∠A 2＝12∠A 1＝212α， ∠A 3＝12∠A 2＝312α， …以此类推，∠A 2020＝202012α，故答案为：202012α．【点睛】考查三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握和运用三角形外角的性质是解题的关键． 16．【分析】根据平行线的判定进行分析可以从同位角相等或同旁内角互补的方面写出结论【详解】∵DE 和BC 被AB 所截∴当时AD ∥BC （内错角相等两直线平行）故答案为【点睛】此题考查平行线的性质难度不大解析：DAB B ∠=∠【分析】根据平行线的判定进行分析，可以从同位角相等或同旁内角互补的方面写出结论．∵DE和BC被AB所截，∠=∠时,AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.∴当DAB B∠=∠故答案为DAB B【点睛】此题考查平行线的性质，难度不大17．500【分析】连接BB由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DBE=60°再根据三角形外角性质即可得到∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°进而得出∠CEG=50°再根据三角形内角和定理即可得到△C解析：500【分析】连接BB'，由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DB'E=60°，再根据三角形外角性质，即可得到∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°，进而得出∠CEG=50°，再根据三角形内角和定理，即可得到△CEG中，∠CGE=180°-50°-80°=50°．【详解】如图，连接BB'，由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DB'E=60°，∵∠ADF是△BDB'的外角，∠CEG是△BEB'的外角，∴∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°，又∵∠ADF=70°，∴∠CEG=50°，又∵∠C=80°，∴△CEG中，∠CGE=180°-50°-80°=50°，故答案为50°．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理的运用；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．18．①③【分析】依次分析判断即可得到答案【详解】①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直故该项正确；②两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补故该项错误；③数轴上的每一个点都表示一个实数故该项正解析：①③【分析】依次分析判断即可得到答案.①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该项正确；②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故该项错误；③数轴上的每一个点都表示一个实数，故该项正确；④如果点()P x,y 的坐标满足xy 0<，则x 与y 异号，那么点P 在第二或第四象限，故该项错误；故答案为：①③.【点睛】此题考查命题的正确与否，正确掌握各知识点并熟练运用解题是关键.19．90°【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和定理解答即可【详解】解：∵BDBE 分别是∠B 的角平分线和外角平分线∴∠DBE=×180°=90°∴∠D+∠E=180°-∠DBE=180°-90°=9解析：90°．【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：∵BD ，BE 分别是∠B 的角平分线和外角平分线，∴∠DBE=12×180°=90°， ∴∠D+∠E=180°-∠DBE=180°-90°=90°．故答案为：90°．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．20．125【分析】利用平角的定义可得由角平分线的性质易得由三角形的内角和定理可得结果【详解】解：平分平分故答案为：125【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理熟练运用定理是解答此题的关键解析：125【分析】利用平角的定义可得180********ACDBCE DCE ，由角平分线的性质易得11()1105522OABOBA DAC CBE ，由三角形的内角和定理可得结果．【详解】解：40DCE ， 180********ACDBCE DCE ， DACD ，EBCE ∠=∠， 221802140220DACCBE ， 110DAC CBE ，AO平分DAC∠，BO平分EBC∠，∴11()1105522OAB OBA DAC CBE，180()18055125O OAB OBA，故答案为：125．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，熟练运用定理是解答此题的关键．三、解答题21．（1）130°；（2）125°；（3）135°；（4）1902A ︒+∠．【分析】（1）依据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC的度数；（2）依据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC的度数；（3）依据∠A=90°，可得∠ABC+∠ACB的度数，依据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC的度数；（4）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB的度数，依据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC=90°+12∠A．【详解】解：如下图所示，（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，∴∠2+∠4=20°+30°=50°，∴△BCP中，∠P=180°-50°=130°，故答案为：130°；（2）∵∠ABC+∠ACB=110°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，∴∠2+∠4=12×110°=55°，∴△BCP中，∠P=180°-55°=125°，故答案为：125°；（3）∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠2+∠4=12×90°=45°， ∴△BCP 中，∠P=180°-45°=135°，故答案为：135°；（4）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ， ∴124(180)2A ∠+∠=⨯︒-∠， ∴△BCP 中，11180(180)9022P A A =︒-⨯︒-∠=︒+∠∠．故答案为：1902A ︒+∠．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．22．110°【分析】利用翻折变换的性质以及三角形内角和定理求出∠BDE ，∠A′DE ，即可解决问题．【详解】∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠A ＝20°，∠C ＝125°，∴∠B ＝35°，∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ＝35°，∠BDE ＋∠B ＝180°，∴∠BDE ＝180−∠B ＝180°−35°＝145°，∵△ADE 沿DE 折叠成△A′DE ，∴∠A′DE ＝∠ADE ＝35°，∴∠BDA′＝∠BDE−∠A′DE ＝145°−35°＝110°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换的性质以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质，属于中考常考题型．23．（1）三角形的外角性质；（2）180，三角形内角和定理【分析】（1）在△ACD 中，利用三角形的外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可；（2）在△BFD 中，利用三角形的内角和定理计算即可．【详解】（1）∵∠BDC=∠A+∠ACD （三角形的外角性质），∴∠BDC=62°+35°=97°（等量代换），故答案为：三角形的外角性质；（2）∵∠BFD+∠BDC+∠ABE=180°（三角形内角和定理），∴∠BFD=180°-∠BDC-∠ABE （等式的性质），=180°-97°-20°（等量代换）=63°；故答案为：180°，三角形内角和定理．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质与三角形的内角和定理，熟记性质与定理是解题的关键．24．∠DAC =20°，∠BOA =125°．【分析】在Rt △ACD 中，根据两锐角互余得出∠DAC 度数；△ABC 中由内角和定理得出∠ABC 度数，继而根据AE ，BF 是角平分线可得∠BAO 、∠ABO ，最后在△ABO 中根据内角和定理可得答案．【详解】∵AD 是BC 上的高，∴∠ADC =90°，又∵∠C =70°，∴∠DAC =90°﹣∠C =20°，∵∠BAC =50°，AE 平分∠BAC ，∴∠ABC =180°﹣∠BAC ﹣∠C =60°，∠BAO =12∠BAC =25°， ∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABO =12∠ABC =30°， ∴∠AOB =180°﹣∠ABO ﹣∠BAO =180°﹣30°﹣25°=125°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和是180°和三角形高线、角平分线的定义是解题的关键．25．①//AB CD ；②对顶角相等；③等量代换；④//AD BC ；⑤两直线平行，同位角相等；⑥ADE ∠A =∠；⑦//AB CD ；⑧内错角相等，两直线平行【分析】先根据同位角相等，两直线平行，判定AD ∥BC ，进而得到∠ADE=∠C ，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到AB ∥CD ．【详解】猜想：AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD ．证明：∵∠1=∠2（已知）∠1=∠AGH （对顶角相等）∴∠2=∠AGH （等量代换）∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）∴∠ADE=∠C （两直线平行，同位角相等）∵∠A=∠C （已知）∴∠ADE=∠A （等量代换）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）故答案为：①//AB CD ；②对顶角相等；③等量代换；④//AD BC ；⑤两直线平行，同位角相等；⑥ADE ∠A =∠；⑦//AB CD ；⑧内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据同位角相等证得//DG BC ，根据垂直得到同位角相等进而得到//FE DC ，然后根据平行线的性质，利用等量代换即可证明；（2）根据90CDB ∠=︒，得到190ADG ∠+∠=︒，结合（1）中结论12∠=∠和1DCB ∠=∠，利用等量代换即可证明．【详解】（1）∵AGD ACB ∠=∠∴//DG BC∴1DCB ∠=∠∵EF AB ⊥，CD AB ⊥∴//FE DC∴2DCB =∠∠∴12∠=∠（2）由（1）得1DCB ∠=∠∵CD AB ⊥∴90CDB ∠=︒∴190ADG ∠+∠=︒又∵1DCB ∠=∠∴90BCD ADG ∠+∠=︒【点睛】本题考查了平行的判定和性质，等量代换，熟练掌握平行线的判定和性质是本题的关键．。

第七章平行线的证明单元测试卷20222023学年北师大版八年级数学上册1

第七章平行线的证明单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，直线a，b被直线c，d所截.下列条件能判定a/¿b的是( )A. ∠1=∠3B. ∠2+∠4=180∘C. ∠4=∠5D. ∠1=∠22.如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法的依据是( )A. 两直线平行，同位角相等B. 同位角相等，两直线平行C. 两直线平行，内错角相等D. 内错角相等，两直线平行3.如图，在下列给出的条件中，不能判定AB/¿DF的是( )A. ∠A+∠2=180°B. ∠A=∠3C. ∠1=∠4D. ∠1=∠34.如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判断AB/¿CD的是( )A. ∠DBC=∠DACB. ∠ABC=∠DCEC. ∠ADC=∠DCED. ∠ADC+∠BCD=180°5.将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为( )A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°6.如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=37∘时，∠1的度数为( )A. 37∘B. 43∘C. 53∘D. 54∘7.如下图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于点G，若∠BDC=130∘，∠BGC=100∘，则∠A的度数为( )A. 60∘B. 70∘C. 80∘D. 90∘8.等腰三角形的一个内角是100°，它的另外两个角的度数是( )A. 50°和50°B. 40°和40°C. 35°和35°D. 60°和20°9.如图要判断一块纸带的两边a，b相互平行，甲、乙、丙三人的折叠与测量方案如下：下列判断正确的是( )A. 甲、乙能得到a ¿/¿ b，丙不能B. 甲、丙能得到a ¿/¿ b，乙不能C. 乙、丙能得到a ¿/¿ b，甲不能D. 甲、乙、丙均能得到a ¿/¿ b10.如图：①②③中，∠A=42°，∠1=∠2，∠3=∠4，则∠O1+∠O2+∠O3=¿度．( )A. 84B. 111C. 225D. 201二、填空题（本大题共8小题，共24分）11.如图，a，b，c三根木条相交，∠1=50°，固定木条b，c，转动木条a，当木条a转到与b所成的∠2为__________时，a ¿/¿ c，理由是_____________________________________．12.将一副三角板(∠A=30∘)按如图所示方式摆放，使得AB/¿EF，则∠1 ．13.如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB=AC;②AD=AE;③∠B=∠C;④BD=CE.请以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题 .¿用序号⊗⊗⊗⇒⊗的形式写出¿14.如图，点E在AD的延长线上.若添加一个条件，使BC/¿AD，则可添加的条件为 .¿任意添加一个符合题意的条件即可¿15.如图，在△ABC中，∠A=60∘，BM，CM分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BN，CN是外角的平分线，则∠M−∠N=¿ ．16.如图，AB/¿CD，∠BED=110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD=¿______．17.如图所示，AB/¿CD，EC⊥CD.若∠BEC=30°，则∠ABE的度数为______．18.如图，已知直线EF⊥MN，垂足为F，且∠1=140°，则当∠2=¿ (1) 时，AB/¿CD．三、解答题（本大题共8小题，共66分。

2022年北师大版第七章平行线的证明单元检测题含答案

北师大版八年级上册第七章平行线的证明单元检测题一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列语句中，是命题的是()A．直线AB和CD垂直吗B．过线段AB的中点C画AB的垂线C．同旁内角不互补，两直线不平行D．连接A，B两点2．如图，AB∥CD，CB⊥DB，∠D＝65°，则∠ABC的大小是()A．25°B．35°C．50°D．65°,第2题图),第3题图),第4题图),第5题图)3．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2等于() A．90°B．100°C．130°D．180°4．如图，已知△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不成立的是() A．∠DCE>∠ADB B．∠ADB>∠DBC C．∠ADB>∠ACB D．∠ADB>∠DEC5．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1＝50°，则∠2等于()A．50°B．60°C．65°D．90°6．如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，且BE交CD于点D，∠CDE＝150°，则∠C的度数为()A．150°B．130°C．120°D．100°7．如图，直线a∥b，∠A＝38°，∠1＝46°，则∠ACB的度数是()A．84°B．106°C．96°D．104°,第6题图),第7题图),第9题图),第10题图)8．适合条件∠A＝12∠B＝13∠C的三角形ABC是()A．锐角三角形 B. 直角三角形C．钝角三角形D．都有可能9．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．若∠A＝75°，则∠1＋∠2等于() A．150° B. 210°C．105°D．75°10．已知直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于() A．30° B. 35°C．40°D．45°二、填空题(每小题3分，共24分)11．命题“对顶角相等”的条件是____，结论是___．12．如图，DAE是一条直线，DE∥BC，则x＝____.,第12题图),第13题图),第14题图)13．如图，已知AB∥CD，∠DEF＝50°，∠D＝80°，∠B的度数是____.14．如图，已知∠A＝∠F＝40°，∠C＝∠D＝70°，则∠ABD＝____，∠CED＝____.15．已知如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠DAC＝100°，则∠BAC＝____.,第15题图),第16题图),第18题图)16．用等腰直角三角板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为____.17．已知等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的顶角为____.18．如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，∠1＝130°，则∠A＝___度．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD，求证：AB∥CD.20．(8分)一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说：“小刚，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他的答案是多少？请说明理由．21．(8分)如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD，求证：AE＝FC.22．(10分)如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB，又∠BDC＝∠BCD，且∠1＝∠2，求∠3的度数．23．(10分)如图，△ABC中，D，E，F分别为三边BC，BA，AC上的点，∠B＝∠DEB，∠C＝∠DFC.若∠A＝70°，求∠EDF的度数．24．(10分)如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行证明．25．(12分)【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝80°，则∠BEC＝__130°__；若∠A＝n°，则∠BEC＝__90°＋12n°__.【探究】(1)如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB.若∠A＝n°，则∠BEC＝____；(2)如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；(3)如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？(只写结论，不需证明)答案：一、选择题(每小题3分，共30分)1---5 CABAC 6—10 CCBAB二、填空题(每小题3分，共24分)11．命题“对顶角相等”的条件是__两个角是对顶角__，结论是__相等__．12．如图，DAE是一条直线，DE∥BC，则x＝__64°__.,第12题图),第13题图),第14题图)13．如图，已知AB∥CD，∠DEF＝50°，∠D＝80°，∠B的度数是__50°__.14．如图，已知∠A＝∠F＝40°，∠C＝∠D＝70°，则∠ABD＝__70°__，∠CED＝__110°__.15．已知如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠DAC＝100°，则∠BAC＝__120°__.,第15题图),第16题图),第18题图)16．用等腰直角三角板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为__22°__.17．已知等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的顶角为__50°或130°__.18．如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，∠1＝130°，则∠A＝__10__度．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD，求证：AB∥CD.解：∵∠C＝∠1，∴CF∥BE，又BE⊥FD，∴CF⊥FD，∴∠CFD＝90°，则∠2＋∠BFD ＝90°，又∠2＋∠D＝90°，∴∠D＝∠BFD，则AB∥CD20．(8分)一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说：“小刚，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他的答案是多少？请说明理由．解：50°，因为∠1＝130°，所以与∠1相邻的内角为50°，所以∠3－∠2＝50°21．(8分)如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD，求证：AE＝FC.解：∵BE∥DF，∴∠ABE＝∠D，又AB＝FD，∠A＝∠F，∴△ABE≌△FDC(ASA)，∴AE＝FC22．(10分)如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB，又∠BDC＝∠BCD，且∠1＝∠2，求∠3的度数．解：由∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB易求∠ACB＝45°，设∠1＝x，可得∠BCD＝∠2＋45°＝x＋45°＝∠3，∴x＋(x＋45°)＋(x＋45°)＝180°，x＝30，则∠3＝x＋45°＝75°23．(10分)如图，△ABC中，D，E，F分别为三边BC，BA，AC上的点，∠B＝∠DEB，∠C＝∠DFC.若∠A＝70°，求∠EDF的度数．解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＋∠C＝110°，∵∠B＝∠DEB，∠C＝∠DFC，∴∠B＋∠DEB＋∠C＋∠DFC＝220°，∵∠B＋∠DEB＋∠C＋∠DFC＋∠EDB＋∠FDC＝360°，∴∠EDB＋∠FDC＝140°，即∠EDF＝180°－140°＝40°24．(10分)如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行证明．解：∠AED＝∠C.∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠EFD＝180°，∴∠2＝∠EFD，∴AB∥EF，∴∠3＝∠ADE，又∵∠3＝∠B，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠C25．(12分)【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝80°，则∠BEC＝__130°__；若∠A＝n°，则∠BEC＝__90°＋12n°__.【探究】(1)如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB.若∠A＝n°，则∠BEC＝__60°＋23n°__；(2)如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；(3)如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？(只写结论，不需证明)解：(2)∠BOC＝12∠A.理由：∠BOC＝∠2－∠1＝12∠ACD－12∠ABC＝12(∠ACD－∠ABC)＝12∠A(3)∠BOC＝90°－12∠A第一章勾股定理章末测试卷一、选择题（每题3分，共36分）1．（3分）如图字母B所代表的正方形的面积是（）A．12 B．13 C．144 D．1942．（3分）分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10 ②13，5，12 ③1，2，3 ④9，40，41 ⑤3，4，5．其中能构成直角三角形的有（）组．A．2 B．3 C．4 D．53．（3分）△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形4．（3分）下列数据中是勾股数的有（）组（1）3，5，7 （2）5，15，17 （3），2，2.5 （4）7，24，25 （5）10，24，26．A．1 B．2 C．3 D．45．（3分）已知直角三角形的两直角边之比是3：4，周长是36，则斜边是（）A．5 B．10 C．15 D．206．（3分）若等腰三角形的腰长为10cm，底边长为16cm，那么底边上的高为（）A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm7．（3分）三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形8．（3分）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6 B．8 C．D．9．（3分）下列三角形一定不是直角三角形的是（）A．三角形的三边长分别为5，12，13B．三角形的三个内角比为1：2：3C．三角形的三边长之比为1：2：3D．三角形的两内角互余10．（3分）放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明和小华行走的速度都是50米/分，小明用10分到家，小华用24分到家，小明和小华家的距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．1300米11．（3分）下面说法正确的是（）A．在Rt△ABC中，a2+b2=c2B．在Rt△ABC中，a=3，b=4，那么c=5C．直角三角形两直角边都是5，那么斜边长为10D．直角三角形中，斜边最长12．（3分）在△ABC中，AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，下列关系成立的是（）A．∠B+∠C＞∠A B．∠B+∠C=∠A C．∠B+∠C＜∠A D．以上都不对二、填空题（每空3分，共12分）13．（3分）一长为13m的木梯，架在高为12m的墙上，这时梯脚与墙的距离是m．14．（3分）如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=．15．（3分）一根电线杆在一次台风中于地面3米处折断倒下，杆顶端落在离杆底端4米处，电线杆在折断之前高米．16．（3分）如果直角三角形的三条边分别为4、5、a，那么a2的值等于．三、解答题（共52分）17．（8分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，该河流的宽度为多少？18．（8分）求下列图形中阴影部分的面积．（1）如图1，AB=8，AC=6；（2）如图2，AB=13，AD=14，CD=2．19．（8分）某校校庆，在校门AB的上方A处到教学楼C的楼顶E处拉彩带，已知AB高5m，EC高29m，校门口到大楼之间的距离BC为10m，求彩带AE的长是多少？20．（10分）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？21．（10分）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，求线段CN长．22．（8分）如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？参考答案一、选择题（每题3分，共36分）1．（3分）如图字母B所代表的正方形的面积是（）A．12 B．13 C．144 D．194【考点】勾股定理．【专题】换元法．【分析】由图可知在直角三角形中，已知斜边和一直角边，求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．【解答】解：由题可知，在直角三角形中，斜边的平方=169，一直角边的平方=25，根据勾股定理知，另一直角边平方=169﹣25=144，即字母B所代表的正方形的面积是144．故选C．【点评】此题比较简单，关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．2．（3分）分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10 ②13，5，12 ③1，2，3 ④9，40，41 ⑤3，4，5．其中能构成直角三角形的有（）组．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：因为①62+82=102，②132=52+122，④92+402=412，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形的有三组．故选B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3．（3分）△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【分析】直角三角形的判定方法有：①求得一个角为90°，②利用勾股定理的逆定理．【解答】解：A、根据三角形内角和定理，可求出角C为90度，故正确；B、解得应为∠B=90度，故错误；C、化简后有c2=a2+b2，根据勾股定理，则△ABC是直角三角形，故正确；D、设三角分别为5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90度，36度，54度，则△ABC是直角三角形，故正确．故选B．【点评】本题考查了直角三角形的判定．4．（3分）下列数据中是勾股数的有（）组（1）3，5，7 （2）5，15，17 （3），2，2.5 （4）7，24，25 （5）10，24，26．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】勾股数．【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【解答】解：（1）3，5，7 不是勾股数，因为32+52≠72；（2）5，15，17 不是勾股数，因为52+152≠172；（3），2，不是勾股数，因为，2，不是正整数；（4）7，24，25 是勾股数，因为72+242=252，且7、24、25是正整数；（5）10，24，26是勾股数，因为102+242=262，且10，24，26是正整数．故选B．【点评】本题考查了勾股数的概念：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：、6、满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…5．（3分）已知直角三角形的两直角边之比是3：4，周长是36，则斜边是（）A．5 B．10 C．15 D．20【考点】勾股定理．【分析】设直角三角形的两直角边分别为3k，4k，则斜边为5k，列出方程求出k，即可解决问题．【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为3k，4k，则斜边为5k．由题意3k+4k+5k=36，解得k=3，所以斜边为5k=15．故选C．【点评】本题考查勾股定理、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活于勾股定理解决问题，学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．6．（3分）若等腰三角形的腰长为10cm，底边长为16cm，那么底边上的高为（）A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】可以先作出BC边上的高AD，根据等腰三角爱哦形的性质可得BD的长，在Rt△ADB中，利用勾股定理就可以求出高AD．【解答】解：作AD⊥BC于D，∴BD=BC=8cm，∴AD==6cm，故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理及等腰三角形的性质，关键是掌握勾股定理和等腰三角形三线合一的性质．7．（3分）三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形【考点】勾股定理的逆定理．【分析】对等式进行整理，再判断其形状．【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．8．（3分）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6 B．8 C．D．【考点】勾股定理．【分析】首先根据勾股定理，得：斜边==13．再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高．【解答】解：由题意得，斜边为=13．所以斜边上的高=12×5÷13=．故选D．【点评】运用了勾股定理．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积9．（3分）下列三角形一定不是直角三角形的是（）A．三角形的三边长分别为5，12，13B．三角形的三个内角比为1：2：3C．三角形的三边长之比为1：2：3D．三角形的两内角互余【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【分析】根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义一一判断即可．【解答】解：A、正确．∵52+122=132，∴三角形为直角三角形．B、正确．∵三角形的三个内角比为1：2：3，∴三个内角分别为30°，60°，90°，∴三角形是直角三角形．C、错误．∵12+22≠32，∴三角形不是直角三角形．D、正确．∵三角形的两内角互余，∴第三个角是90°，∴三角形是直角三角形．故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．10．（3分）放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明和小华行走的速度都是50米/分，小明用10分到家，小华用24分到家，小明和小华家的距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．1300米【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可．【解答】解：如图所示，∵小明用10分到家，小华用24分到家，∴OA=10×50=500（米），OB=24×50=1200（米），∴AB==1300（米）．答：小明和小华家的距离为1300米．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．11．（3分）下面说法正确的是（）A．在Rt△ABC中，a2+b2=c2B．在Rt△ABC中，a=3，b=4，那么c=5C．直角三角形两直角边都是5，那么斜边长为10D．直角三角形中，斜边最长【考点】勾股定理．【分析】利用直角三角形勾股定理进行解题．【解答】解：A，B：直角三角形直角是哪个，未知，故不能得出a2+b2=c2，c=5 C：斜边长为5；D：由勾股定理知显然正确．故选D．【点评】考查了直角三角形相关知识以及勾股定理的应用．12．（3分）在△ABC中，AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，下列关系成立的是（）A．∠B+∠C＞∠A B．∠B+∠C=∠A C．∠B+∠C＜∠A D．以上都不对【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到三角形的形状，则不难求得其各角的关系．【解答】解：因为122+92=152，所以三角形是直角三角形，则∠B+∠C=∠A．故选B．【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理逆定理的应用．二、填空题（每空3分，共12分）13．（3分）一长为13m的木梯，架在高为12m的墙上，这时梯脚与墙的距离是5m．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意可知，梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．【解答】解：∵梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，∴梯脚与墙角的距离==5（m）．故答案为：5．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键．14．（3分）如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=7．【考点】勾股定理．【分析】连续运用勾股定理即可解答．【解答】解：由勾股定理可知OB=，OC=，OD=∴OD2=7．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．15．（3分）一根电线杆在一次台风中于地面3米处折断倒下，杆顶端落在离杆底端4米处，电线杆在折断之前高8米．【考点】勾股定理的应用．【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．【解答】解：由勾股定理得斜边为=5米，则原来的高度为3+5=8米．即电线杆在折断之前高8米．故答案为8．【点评】此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．此题也可以直接用算术的算法求解．16．（3分）如果直角三角形的三条边分别为4、5、a，那么a2的值等于9或41．【考点】勾股定理．【分析】此题有两种情况，一是当这个直角三角形的斜边的长为5时；二是当这个直角三角形两条直角边的长分别为4和5时，由勾股定理分别求出此时的a2值即可．【解答】解：当这个直角三角形的斜边的长为5时，a2=52﹣42=9；当这个直角三角形两条直角边的长分别为4和5时，a2=52+42=41．故a的值为9或41．故答案为：9或41．【点评】本题考查勾股定理的知识，解答此题的关键是直角三角形的斜边没有确定，所以要进行分类讨论，注意不要漏解，难度一般．三、解答题（共52分）17．（8分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，该河流的宽度为多少？【考点】勾股定理的应用．【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．【解答】解：根据图中数据，运用勾股定理求得AB===480m，答：该河流的宽度为480m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．18．（8分）求下列图形中阴影部分的面积．（1）如图1，AB=8，AC=6；（2）如图2，AB=13，AD=14，CD=2．【考点】勾股定理．【分析】（1）首先利用勾股定理计算出BC的长，进而得到圆的半径BO长，再利用半圆的面积减去直角三角形面积即可；（2）首先计算出AC的长，再利用勾股定理计算出BC的长，然后利用矩形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵AB=8，AC=6，∴BC===10，∴BO=5，∵S=AB×AC=×8×6=24，△ABCS半圆=π×52=，=﹣24；∴S阴影（2）∵AD=14，CD=2，∴AC=12，∵AB=13，∴CB===5，=2×5=10．∴S阴影【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．19．（8分）某校校庆，在校门AB的上方A处到教学楼C的楼顶E处拉彩带，已知AB高5m，EC高29m，校门口到大楼之间的距离BC为10m，求彩带AE的长是多少？【考点】勾股定理的应用．【专题】探究型．【分析】过点A作AF⊥CE于点F，由AB=5m，EC=29m可求出EF的长，再由BC=10m 可知AE=BC=10m，在Rt△AEF中利用勾股定理即可求出AE的长．【解答】解：过点A作AF⊥CE于点F，∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴四边形ABCF是矩形，∵AB=5m，EC=29m，∴EF29﹣5=24m，∵BC=10m，∴AE=BC=10m，在Rt△AEF中，∵AF=10m，EF=24m，∴AE===26m．答：彩带AE的长是23米．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．20．（10分）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？【考点】勾股定理的逆定理．【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积．【解答】解：∵42+32=52，52+122=132，即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°，同理，∠ACD=90°∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =×3×4+×5×12=6+30=36．【点评】熟练掌握勾股定理逆定理的运用，会求解三角形的面积问题．21．（10分）如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，求线段CN 长．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质，只要求出DN 就可以求出NE ，在直角△CEN 中，若设CN=x ，则DN=NE=8﹣x ，CE=4cm ，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN 的长．【解答】解：设CN=xcm ，则DN=（8﹣x ）cm ，由折叠的性质知EN=DN=（8﹣x ）cm ，而EC=BC=4cm ，在Rt △ECN 中，由勾股定理可知EN 2=EC 2+CN 2，即（8﹣x ）2=16+x 2，整理得16x=48，解得：x=3．即线段CN 长为3．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，通常用勾股定理解决折叠问题．22．（8分）如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？【考点】轴对称-最短路线问题．【专题】计算题；作图题．【分析】此题的关键是确定点M的位置，需要首先作点A的对称点A′，连接点B和点A′，交l于点M，M即所求作的点．根据轴对称的性质，知：MA+MB=A′B．根据勾股定理即可求解．【解答】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD，交点CD于M，点M即为所求作的点，则可得：DK=A′C=AC=10千米，∴BK=BD+DK=40千米，∴AM+BM=A′B==50千米，总费用为50×3=150万元．【点评】此类题的重点在于能够确定点M的位置，再运用勾股定理即可求解．。

(必考题)初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》检测题(有答案解析)

一、选择题1．下列说法正确的有（）①每个定理都有逆定理；②每个命题都有逆命题；③假命题没有逆命题；④真命题的逆命题是真命题A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒， AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边的中线，CF 是ACB ∠的角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是（） ①ABE △的面积是ABC 的面积的一半；②BH CH =；③AF AG =；④FAG FCB ∠=∠．A ．①②③④B ．①②C ．①③D ．①④ 3．如图，ABC 中，将A ∠沿DE 翻折，若30A ∠=︒，25BDA '∠=︒，则CEA '∠多少度（）A ．60°B ．75°C ．85°D ．90° 4．如图，//AB CD ，点E 在AC 上，110A ∠=︒，15D ∠=︒，则下列结论正确的个数是（）（1）AE EC =；（2）85AED ∠=︒；（3）A CED D ∠=∠+∠；（4）45BED ∠=︒A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列命题为真命题的是（）A ．内错角相等，两直线平行B ．面积相等的两个三角形全等C ．若a b >，则22a b ->-D ．一般而言，一组数据的方差越大，这组数据就越稳定6．如图，在ABC 中，100ACB ∠=︒，20A ∠=︒，D 是AB 上一点，将ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B '处，则ADB '∠等于（）A ．25°B ．30°C ．40°D ．55°7．如图，//AB CD ，一副三角尺按如图所示放置，18AEG ∠=︒，则HFD ∠为（）A ．23B ．33C ．36D ．388．如图，DE 经过点A ，DE ∥BC ，下列说法错误的是（）A ．∠DAB ＝∠EACB ．∠EAC ＝∠C C ．∠EAB+∠B ＝180°D ．∠DAB ＝∠B9．下列命题是真命题的是（）A ．相等的角是对顶角B ．内错角相等C ．任何非负数的算术平方根是非负数D ．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离10．下列命题中，真命题的个数为（）（1）如果22a b >，那么a>b ；（2）对顶角相等；（3）四边形的内角和为360︒；（4）平行于同一条直线的两条直线平行； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个11．在统一平面内有三条直线a 、b 、c ，下列说法：①若//a b ，//b c ，则//a c ；②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥，其中正确的是（）A ．只有①B ．只有②C ．①②都正确D ．①②都不正确 12．下列语句中，不是命题的是（） A ．过一点作已知直线的垂线 B ．两点确定一条直线C ．钝角大于90度D ．平角都相等二、填空题13．下列说法中：（1）不相交的两条直线叫做平行线；（2）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（3）垂直于同一条直线的两直线平行；（4）直线//a b ，//b c ，则//a c ；（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．其中正确的是________．14．如图，点P 是三角形三条角平分线的交点，若∠BPC=100︒，则∠BAC=_________．15．在△ABC 中，∠A=∠B+∠C ，∠B=2∠C ﹣6°，则∠C 的度数为_____．16．如图所示，已知∠1=22°，∠2=28°，∠A=56°，则∠BOC 的度数是___________．17．如图，一个直角三角形纸片ABC ，90BAC ∠=，D 是边BC 上一点，沿线段AD 折叠，使点B 落在点E 处（E B 、在直线AC 的两侧），当50EAC ∠=时，则CAD ∠=__________°.18．如图，将一副三角板叠放在一起，使含45°的直角三角板的一个锐角顶点E 恰好落在另一个含30°的直角三角板的斜边AB 上，DE 与AC 交于点G ．如果110BEF ∠=︒，那么AGE ∠=__________度．19．如图，C 为AOB ∠的边OA 上一点，过点C 作CD OB 交AOB ∠的平分线OE 于点F ，作CH OB ⊥交BO 的延长线于点H ，若EFD α∠=，现有以下结论：①COF α∠=；②1802AOH α∠=︒-；③CH CD ⊥；④290OCH α∠=-︒.其中正确的是______（填序号）．20．如图，在ΔABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的两点，∠1+∠2=235°，则∠A=____度．三、解答题21．如图，在ABC 中，P 是ABC ∠，ACB ∠的角平分线的交点．（1）若80A ∠=︒，求BPC ∠的度数；（2）有位同学在解答（1）后得出1902BPC A ∠=︒+∠的规律，你认为正确吗？请说明理由．22．如图，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠．试确定A ∠和D ∠的数量关系．23．如图，BAE ∠，CBF ∠，ACD ∠是ABC 的三个外角．求BAE CBF ACD ∠+∠+∠的度数．（要求：写出求解过程，不能直接用外角和公式）24．已知E ，A ，C 在同一直线上，AD BC ⊥于点D ，EG BC ⊥于点G ，交AB 于F ，3E ∠=∠．求证：（1）//AD EC ；（2）AD 平分BAC ∠证明：（1）∵AD BC ⊥，EG BC ⊥∴ADC EGC ∠==______∴//AD EG（2）∵//AD EG∴1∠=∠______（______），∠2=∠3（_______）∵3E ∠=∠（______）∴______=______即AD 平分BAC ∠25．已知在DEF ∆中，70E F ∠+∠=︒，现将DEF ∆放置在ABC ∆上，使得D ∠的两条边DE ，DF 分别经过点B 、C ．（1）如图①所示，若50A ∠=︒，且//BC EF 时，ABC ACB ∠+∠= 度，DBC DCB ∠+∠= 度，ABD ACD +=∠∠ 度；（2）如图②，改变ABC ∆的位置，使得点D 在ABC ∆内，且BC 与EF 不平行时，请探究ABD ACD ∠+∠与A ∠之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论；（3）如图③，改变ABC ∆的位置，使得点D 在ABC ∆外，且BC 与EF 不平行时，请探究ABE ∠、ACF ∠、A ∠之间存在怎样的数量关系，请直接写出你的结论．26．如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，FB＝CE，AB∥ED．求证：AC∥FD．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据逆定理的定义，某一定理的条件和结论互换所得命题是真命题是这个定理的逆定理可以判断①，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，可判断②，利用命题分类分为真命题与假命题都是命题，都有逆命题，可判断③，真命题是正确的命题，真命题的逆命题有真假命题之分，可判断④即可．【详解】解：①每个定理都有逆命题，看根据逆命题的条件能否推出正确的结论，能推出，由逆定理，不能推出，没有逆定理，故①不正确；②每个命题都有逆命题；故②正确；③假命题也是命题，命题都有逆命题，故③不正确；④真命题的逆命题可能是假命题，也可能是真命题，根据条件能否推出正确的结论有关，能推出，由是真命题，不能推出，是假命题，故④不正确．正确的说法只有一个②．故选择：A．本题考查命题，真命题，假命题，逆命题，定理，逆定理，掌握命题，真命题，假命题，逆命题，定理，逆定理的定义，以及它们的区别是解题关键．2．C解析：C【分析】根据三角形的面积公式进行判断①，根据等腰三角形的判定判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG=∠AGF ，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据三角形的内角和定理求出∠FAG=∠ACB ，再判断④即可．【详解】解：∵BE 是AC 边的中线，∴AE=CE 12=AC ， ∵△ABE 的面积12=×AE×AB ，△ABC 的面积12=×AC×AB ， ∴△ABE 的面积等于△ABC 的面积的一半，故①正确；根据已知不能推出∠HBC=∠HCB ，即不能推出HB=HC ，故②错误；∵在△ACF 和△DGC 中，∠BAC=∠ADC=90°，∠ACF=∠FCB ，∴∠AFG=90°-∠ACF ，∠AGF=∠DGC=90°-∠FCB ，∴∠AFG=∠AGF ，∴AF=AG ，故③正确；∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠ACB=90°，∠FAG+∠DAC=90°，∴∠FAG=∠ACB ，∵CF 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACF=∠FCB ，∠ACB=2∠FCB ，∴∠FAG=2∠FCB ，故④错误；即正确的为①③，故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．3．C解析：C【分析】根据折叠前后对应角相等可得ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，再运用平角的定义和三角形内角和定理依次求得ADE ∠、AED ∠，再次运用平角的定义即可求得【详解】解：∵将A ∠沿DE 翻折，∴ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，∵D 是线段AB 上的点，25BDA '∠=︒，∴180ADE A D B E DA '∠+∠-'∠=︒，即251280ADE ︒=∠-︒，解得102.5ADE ∠=︒，∵30A ∠=︒，180A AED ADE ∠+∠+∠=︒，∴180180102.53047.5AED ADE A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴18018047.547.585CEA AED A ED ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义．理解折叠前后对应角相等是解题关键．4．B解析：B【分析】过点E 做直线EF 平行于直线AB ，然后根据同位角和同旁内角即可判断（2）和（3），其中（1）和（4）无法判断．【详解】过点E 做直线EF 平行于直线AB ，如下图所示，（1）无法判断；（2）∵AB//CD ，AB//EF∴EF//CD∴70AEF ∠=︒，15DEF ∠=︒∴85AED ∠=︒故（2）正确；（3）由（2）得A CEF CED DEF ∠=∠=∠+∠，DEF D ∠=∠∴A CED D ∠=∠+∠故（3）正确；（4）无法判断；故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，重点是做出辅助线，然后利用平行线的性质进行求解． 5．A解析：A【分析】根据平行线的判定和性质、三角形全等的判定、不等式的性质、方差的性质逐一判断即可．【详解】A 、内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；B 、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，不符合题意；C 、若a b >，则22a b -<-，原命题是假命题，不符合题意；D 、一般而言，一组数据的方差越大，这组数据就越不稳定，原命题是假命题，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．C解析：C【分析】先求出60B ∠=︒，由折叠得60CB D B '∠=∠=︒，得出ADB '∠=40CB D A '∠-∠=︒．【详解】∵100ACB ∠=︒，20A ∠=︒，∴60B ∠=︒，由折叠得60CB D B '∠=∠=︒，∴ADB '∠=40CB D A '∠-∠=︒，故选：C ．【点睛】此题考查三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．7．B解析：B【分析】过点G 作AB 平行线交EF 于P ，根据平行线的性质求出∠EGP ，求出∠PGF ，根据平行线的性质、平角的概念计算即可．【详解】解：过点G 作AB 平行线交EF 于P ，由题意易知，AB∥GP∥CD，∴∠EGP=∠AEG=18°，∴∠PGF=72°，∴∠GFC=∠PGF=72°，∴∠HFD=180°-∠GFC-∠GFP-∠EFH=33°．故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．8．A解析：A【分析】根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补逐一判断可得．【详解】解：∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠ABC（两直线平行，内错角相等），A选项错误、D选项正确；∠EAC＝∠C（两直线平行，内错角相等），B选项正确；∠EAB+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补），C选项正确；故选A．【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等、同旁内角互补．9．C解析：C【分析】根据对顶角的性质、平行线的性质、算术平方根的定义、点到直线距离的定义逐一分析即可．【详解】解：A．对顶角相等，但是相等的角不一定是对顶角，该项为假命题；B．两直线平行，内错角相等，该项为假命题；C．任何非负数的算术平方根是非负数，该项为真命题；D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，该项为假命题；故选：C．【点睛】本题考查判断命题的真假，掌握对顶角的性质、平行线的性质、算术平方根的定义、点到直线距离的定义是解题的关键．10．C解析：C【分析】根据有理数的乘方法则、对顶角相等、多边形的内角和、平行线的判定定理判断即可．【详解】（1）如果22a b ，那么|a|＞|b|，本命题是假命题；（2）对顶角相等，本命题是真命题；（3）四边形的内角和为360°，本命题是真命题；（4）平行于同一条直线的两条直线平行，本命题是真命题；故选：C ．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．11．A解析：A【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行可得①正确；根据应为同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行可得②错误．【详解】解：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，说法正确；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ，说法错误，应为同一平面内，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；故选：A ．【点睛】此题主要考查了平行公理和垂线，关键是注意同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．12．A解析：A【分析】根据命题的定义：判断一件事情的语句叫命题，进行选择．【详解】解：A 、没判断一件事情，只是叙述一件事情，故不是命题；B 、两点确定一条直线，判断一件事情，故是命题；C 、钝角大于90°，判断一件事情，故是命题；D 、平角都相等，判断一件事情，故是命题；故选：A ．【点睛】本题考查命题的概念，解题关键是熟练掌握并灵活运用概念．二、填空题13．（4）【分析】根据平行线的定义平行线的性质平行公理的推论解答【详解】（1）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线故该项错误；（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行故该项错误；（3）在同一平解析：（4）【分析】根据平行线的定义，平行线的性质，平行公理的推论解答．【详解】（1）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故该项错误；（2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故该项错误；（3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故该项错误；（4）直线//a b ，//b c ，则//a c ，故该项正确；（5）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该项错误．故选：（4）．【点睛】此题考查判断语句，熟记平行线的定义，平行线的性质，平行公理的推论是解题的关键． 14．【分析】先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB=故可得到∠ABC+∠ACB=即可得出答案【详解】在△BPC 中∠BPC=∴∠PBC+∠PCB=∵P 是三角形三条角平分线的交点∴∠ABC=2∠PBC ∠解析：20︒【分析】先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB=80︒，故可得到∠ABC+∠ACB=160︒，即可得出答案．【详解】在△BPC 中，∠BPC=100︒，∴∠PBC+∠PCB=80︒，∵P 是三角形三条角平分线的交点，∴∠ABC=2∠PBC ，∠ACB=2∠PCB ，∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=160︒，∴∠BAC=180()20ABC ACB ︒-∠+∠=︒，故答案为：20︒．【点睛】此题考查三角形的内角和定理，角平分线的有关计算，熟练应用定理解决问题是解题的关键．15．32°【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠A=90°从而得到∠B ∠C 互余然后用∠C 表示出∠B 再列方程求解即可【详解】∵∠A=∠B+∠C∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=90°∴∠B+∠C=9解析：32°【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠A=90°，从而得到∠B、∠C互余，然后用∠C表示出∠B，再列方程求解即可.【详解】∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠B=90°-∠C，∵∠B=2∠C-6°，∴90°-∠C=2∠C-6°，∴∠C=32°．故答案为32°.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟记定理并求出∠A的度数是解题的关键.16．106°【分析】利用了三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解【详解】如图连接AO延长AO交BC于点D根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和可得：∠BOD=∠1+∠BAO∠DOC=解析：106°【分析】利用了三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解．【详解】如图，连接AO，延长AO交BC于点D．根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和，可得：∠BOD=∠1+∠BAO，∠DOC=∠2+∠OAC，∵∠BAO+∠CAO=∠BAC=56°，∠BOD+∠COD=∠BOC，∴∠BOC=∠1+∠2+∠BAC=22°+28°+56°=106°．故答案为：106°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，关键是利用了三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和求解．17．20【分析】先根据图形翻折变换的性质得出∠BAD=∠EAD再根据∠CAB=90°即可求出答案【详解】解：由翻折可得∠EAD=∠BAD又∠CAB=90°∠EAC=50°∴∠EAC+∠CAD=90°-∠解析：20【分析】先根据图形翻折变换的性质得出∠BAD=∠EAD，再根据∠CAB=90°即可求出答案．【详解】解：由翻折可得，∠EAD=∠BAD，又∠CAB=90°，∠EAC=50°，∴∠EAC+∠CAD=90°-∠CAD,∴50°+∠CAD=90°-∠CAD,∴∠CAD=20°.故答案为：20．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及四边形内角和定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．18．125【分析】先求得∠AED的度数然后在△AEG中依据三角形的内角和定理求解即可【详解】解：∵∠BEF=110°∠BEF+∠AEF=180°∴∠AEF=70°∵∠FED=45°∠FED+∠AEG=∠解析：125【分析】先求得∠AED的度数，然后在△AEG中依据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：∵∠BEF=110°，∠BEF+∠AEF=180°，∴∠AEF=70°，∵∠FED=45°，∠FED+∠AEG=∠AEF，∴∠AEG=70°-45°=25°，∵∠A=30°，∴∠AGE=180°-∠AEG -∠A=125°，故答案为：125．【点睛】本题考查了平角定义三角形的内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19．①②③④【分析】根据题意按照平行线的性质角平分线及角度之间的和差计算进行求解并逐一判断即可【详解】∵∴∵平分∴故①正确；∴故②正确；又∵∴故③正确；∵∴故④正确；故答案为：①②③④【点睛】本题主要考解析：①②③④【分析】根据题意，按照平行线的性质，角平分线及角度之间的和差计算进行求解并逐一判断即可．【详解】∵//CD OB∴EFD FOB α∠=∠=∵OE 平分COB ∠∴COF FOB α∠=∠=，故①正确；∴1801802AOH COB α∠=︒-∠=︒-，故②正确；又∵//CD OB ，CH OB ⊥∴CH CD ⊥，故③正确；∵180CHO COH HCO ∠+∠+∠=︒∴18018090(1802)290OCH CHO HOC αα∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒-=-︒，故④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线及角度之间的和差计算，熟练掌握几何的相关求解方法是解决本题的关键．20．55【分析】根据三角形内角和定理可知要求∠A 只要求出∠AEF ＋∠AFE 的度数即可【详解】∵∠1＋∠AEF ＝180°∠2＋∠AFE ＝180°∴∠1＋∠AEF ＋∠2＋∠AFE ＝360°∵∠1＋∠2＝23解析：55【分析】根据三角形内角和定理可知，要求∠A 只要求出∠AEF ＋∠AFE 的度数即可．【详解】∵∠1＋∠AEF ＝180°，∠2＋∠AFE ＝180°，∴∠1＋∠AEF ＋∠2＋∠AFE ＝360°，∵∠1＋∠2＝235°，∴∠AEF ＋∠AFE ＝360°−235°＝125°，∵在△AEF 中：∠A ＋∠AEF ＋∠AFE ＝180°（三角形内角和定理）∴∠A ＝180°−125°＝55°，故答案为：55°【点睛】本题是有关三角形角的计算问题．主要考察三角形内角和定理的应用和计算，找到∠A 所在的三角形是关键．三、解答题21．（1）130°；（2）正确，理由见解析．【分析】(1) 在△ABC 内，由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB ，再利用角平分线的定义可求得∠PBC+∠PCB ，在△PBC 中由三角形内角和可求得∠BPC ；(2) 由(1) 的过程可证明其正确.【详解】解：（1）80A ∠=︒，得到∠ABC+∠ACB=100° ，BP ，CP 分别平分ABC ∠，ACB ∠，1()502PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18050130BPC ∴∠=︒-︒=︒．（2）我认为正确．理由如下：BP ，CP 分别平分ABC ∠，ACB ∠， 1()2PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠， 180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠()111809022PBC PCB A A ∴∠+∠=︒-∠=︒-∠， 11180909022BPC A A ⎛⎫∴∠=︒-︒-∠=︒+∠ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握三角形内角和为180°是解题的关键，注意整体思想的应用.22．1902D A ∠=︒+∠【分析】根据角平分线定义可得12DBC ABC ∠=∠，12DCB ACB ∠=∠，根据()180D DBC DCB ∠=︒-∠+∠，()180A ABC ACB ∠=︒-∠+∠即可求得∠D 与∠A 的数量关系．【详解】解：在DBC △中，()180D DBC DCB ∠=︒-∠+∠，在ABC 中，()180A ABC ACB ∠=︒-∠+∠， ∵12DBC ABC ∠=∠，12DCB ACB ∠=∠， ∴()180D DBC DCB ∠=︒-∠+∠()()11802118018021902ABC ACB A A =︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠， ∴1=902D A ∠︒+∠．【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质、定理是解题的关键． 23．360BAE CBF ACD ∠+∠+∠=︒【分析】利用邻补角的定义以及三角形内角和定理，计算即可求解．【详解】解：∵1180BAE ∠+∠=︒，2180CBF ︒∠+∠=，3180ACD ︒∠+∠=，∴1231803540BAE CBF ACD ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒⨯=︒，又∵123180∠+∠+∠=︒，∴540(123)540180360BAE CBF ACD ︒︒︒︒∠+∠+∠=-∠+∠+∠=-=．【点睛】本题考查了邻补角的定义以及三角形内角和定理，正确的识别图形是解题的关键． 24．（1）90°；（2）E ；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；已知；∠1；∠2【分析】（1）根据垂直的性质可得对应角等于90°，再根据同位角相等两直线平行即可证明；（2）根据平行线的性质和等量代换可得∠1=∠2，由此可证得结论．【详解】证明：（1）∵AD BC ⊥，EG BC ⊥∴ADC EGC ∠==90°∴//AD EG故答案为：90°．（2）∵//AD EG∴1∠=∠E （两直线平行，同位角相等），∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）∵3E ∠=∠（已知）∴∠1=∠2即AD 平分BAC ∠故答案为：E ；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；已知；∠1；∠2．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定．解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理的运用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．25．（1）130；70；60；（2）110ABD ACD A ∠+∠=︒-∠，见解析；（3）110ABE ACF A ∠+∠=︒+∠【分析】（1）根据三角形的内角和即可求出ABC ACB ∠+∠的度数，根据平行线的性质可得到DBC DCB ∠+∠的度数，利用角度的和差关系即可求出ABD ACD ∠+∠的度数；（2）同（1）分别求出ABC ACB ∠+∠，DBC DCB ∠+∠和ABD ACD ∠+∠的度数，故可求解；（3）先求出ABC ACB ∠+∠，DBC DCB ∠+∠，再根据平角的性质即可计算求解．【详解】（1）∵50A ∠=︒，在△ABC 中，ABC ACB ∠+∠=180°-50°=130°，∵//BC EF∴DBC E ∠=∠,DCB F ∠=∠∴DBC DCB ∠+∠=70E F ∠+∠=︒∴ABD ACD +=∠∠（ABC ACB ∠+∠）-()DBC DCB ∠+∠=60°故答案为：130；70；60；（2）由题意，得()180110D E F ∠=︒-∠+∠=︒所以18070DBC DCB D ∠+∠=︒-∠=︒∵180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠∴()()18070110ABD ACD ABC ACB DBC DCB A A ∠+∠=∠+∠-∠+∠=︒-∠-︒=︒-∠即110ABD ACD A ∠+∠=︒-∠（3）由题意，得()180110D E F ∠=︒-∠+∠=︒∴18070DBC DCB D ∠+∠=︒-∠=︒∵180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠∴360ABE ACF ∠+∠=︒-（DBC DCB ∠+∠）-（ABC ACB ∠+∠）=110A ︒+∠ 即110ABE ACF A ∠+∠=︒+∠．【点睛】此题主要考查三角形的内角和及平行线的性质，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°．26．见解析【分析】由“SAS ”可证△ABC ≌△DEF ，可得∠ACB ＝∠DFE ，可得结论．【详解】证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠E ，∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠ACB ＝∠DFE ，∴AC ∥FD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．。

八年级下学期数学第七章《平行线的证明》单元测试卷

八年级数学第七章单元测试卷班级座号姓名成绩一、填空题（每空3分，共42分）1、“两直线平行，同位角互补”是命题（填真、假）2、把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式3、如图所示，∠1+ ∠2=180°，若∠3=50°，则∠4=4、如图所示，△ABC中，∠ACD=115°，∠B=55°,则∠A= , ∠ACB=5、在△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，则∠B=6、在△ABC中，∠B—∠C=40°，则∠C= ，∠B=7、在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点I, 若∠A=60°，则∠BIC=8、下列命题是真命题的是（）A、同旁内角互补B、直角三角形的两锐角互余C、三角形的一个外角等于它的两个内角之和D、三角形的一个外角大于内角9、下列语句为命题的是（）A 、你吃过午饭了吗？B、过点A作直线MNC、同角的余角相等D、红扑扑的脸蛋10、命题“垂直与同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）A、垂直B、两条直线C、同一条直线D、两条直线垂直于同一条直线10、已知△ABC的三个内角度数比为2∶3∶4，则个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形11、如图，一个任意的五角星，它的五个内角的度数和为（）A、90°B、180°C、360°D、120°12、如图，AB∥EF，∠C=90°，则α、β、γ的关系为（）A、β=α+γB、α+β+γ=180°C、β+γ-α=90°D、α+β-γ=90°13、已知如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线。

求证：∠A= 2∠H 证明：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠ABC+∠A （）∠2是△BCD的一个外角，∠2=∠1+∠H ( ) ∵CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线∴∠1=21∠ABC ，∠2=21∠ACD （）∴∠A =∠ACD-∠ABC= 2 （∠2 - ∠1）（等式的性质）而∠H=∠2 - ∠1 （等式的性质）∴∠A= 2∠H （）14、已知如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC 到D，连接DE。

平行线的证明试题总集含答案

《平行线的证明》单元测试题一、填空题1．在△ABC 中，∠C =2（∠A +∠B ），则∠C =________.2．如图，AB ∥CD ,直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=72º ，则∠2= ；3．在△ABC 中，∠BAC ＝90º，AD ⊥BC 于D ，则∠B 与∠DAC 的大小关系是________ 4．写出“同位角相等，两直线平行”的题设为_______，结论为_______． 5．如图，已知AB ∥CD ，BC ∥DE ，那么∠B +∠D =__________.6．如图，∠1＝27º，∠2＝95º，∠3＝38º，则∠4＝_______7．如图，写出两个能推出直线AB ∥CD 的条件________________________. 8．满足一个外角等于和它相邻的一个角的△ABC 是_____________ 二、选择题9．下列语句是命题的是【】 (A)延长线段AB (B)你吃过午饭了吗？ (C)直角都相等 (D)连接A ，B 两点 10．如图，已知∠1＋∠2＝180º，∠3＝75º，那么∠4的度数是【】 (A)75º (B)45º (C)105º (D)135º11．以下四个例子中,不能作为反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题是【】(A)设这个角是30º，它的余角是60°，但30°<60° (B)设这个角是45°，它的余角是45°，但45°＝45° (C)设这个角是60°，它的余角是30°，但30°<60° (D)设这个角是50°，它的余角是40°，但40°<50°12．若三角形的一个角等于另外两个角之差，则这个三角形是【】 (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不能确定 13．如图，△ABC 中，∠B =55°,∠C =63°,DE ∥AB , 则∠DEC 等于【】（A ）63° (B) 118° (C) 55°（D ）62°14．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是【】C A BDE E CD BA1 324 第5题第6题第7题ABCDEFG 12D第10题（A）锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形（D）无法确定三、解答证明题15．如图，AD=CD，AC平分∠DAB，求证DC∥AB.16．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A=55°，求∠BDC的度数．17．如图，BE，CD相交于点A，∠DEA、∠BCA的平分线相交于F.（1）探求：∠F与∠B、∠D有何等量关系？（2）当∠B︰∠D︰∠F=2︰4︰x时，x为多少？C ABD1 218．如图，已知点A在直线l外，点B、C在直线l上．(1)点P是△ABC一点，求证：∠P>∠A;(2)试判断：在△ABC外又和点A在直线l同侧，是否存在一点Q，使∠BQC>∠A？试证明你的结论．19、如图，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,求证：AB∥C D．20、已知：如图，∠BAF、∠CBD、∠ACE是△ABC的三个外角．求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°．21、如图，已知BE、CE分别是△ABC的角、外角的平分线，∠A=40°，求∠E的度数．22、已知一角的两边与另一个角的两边平行，分别结合下图，试探索这两个角之间的关系，并证明你的结论。

(常考题)北师大版初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》检测题(有答案解析)(1)

一、选择题1．下列说法正确的有（）①每个定理都有逆定理；②每个命题都有逆命题；③假命题没有逆命题；④真命题的逆命题是真命题A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．如图，直线AB ､CD 被BC 所截，若//AB CD ，150∠=︒，240∠=︒，则3∠的大小是（）A ．80︒B ．70︒C ．90︒D ．100︒ 3．下列命题中，属于假命题的是（） A ．相等的角是对顶角 B ．三角形的内角和等于180°C ．两直线平行，同位角相等D ．两点之间，线段最短 4．下列选项中，可以用来证明命题“若,a b >则a b >”是假命题的反例是（） A ．1,0a b == B ．1,2a b ==- C ．2,1a b =-= D ．2,1a b ==- 5．一个三角形的三个内角中（）A ．至少有一个等于90°B ．至少有一个大于90°C ．不可能有两个大于89°D ．不可能都小于60°6．下列命题中，假命题是（）A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等7．如图，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，∠B=45°，∠C=73°，则∠DAE 的度数是（）．A ．22°B ．16°C ．14°D ．23°8．如图，//AB CD ，一副三角尺按如图所示放置，18AEG ∠=︒，则HFD ∠为（）A ．23B ．33C ．36D ．38 9．用反证法证明“m 为正数”时，应先假设（）． A ．m 为负数B ．m 为整数C ．m 为负数或零D ．m 为非负数 10．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（） A ．5B ．12C ．14D ．1611．下列六个命题： ①有理数与数轴上的点一一对应；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；④平行于同一条直线的两条直线互相平行；⑤垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑥如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等，其中假命题的个数是（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个12．下列命题：①相等的两个角是对顶角；②若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角；③同旁内角互补；④垂线段最短，其中假命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．证明“若a b >，则22a b >．”是假命题，可举出反例：_________．14．若ABC DEF △≌△，80A ∠=︒，40B ∠=︒，那么DFE ∠的度数为________．15．如图，AB ，CD 相交于点E ，ACE AEC ∠=∠，BDE BED ∠=∠，过A 作AF BD ⊥，垂足为F ．求证：AC AF ⊥．证明：∵ACE AEC ∠=∠，BDE BED ∠=∠又AEC BED ∠=∠（________________）∴ACE BDE ∠=∠∴//AC DB （________________________）∴CAF AFD ∠=∠（________________________）∵AF DB ⊥∴90AFD ∠=︒（________________________）∴90CAF =︒∠∴AC AF ⊥16．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，且ACB BAD ∠=∠，AE 平分CAD ∠，交BC 于点E ，过点E 作EF AC ，分别交AB 、AD 于点F 、G ．则下列结论：①90BAC ∠=︒；②AEF BEF ∠=∠；③BAE BEA ∠=∠；④2B AEF ∠=∠，其中正确的有_____．17．把“同角的补角相等”改成“如果···那么···”的形式_________________．18．已知直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为___________．19．在四边形ABCD 中，ADC ∠与BCD ∠的角平分线交于点E ，115DEC ∠=︒，过点B 作//BF AD 交CE 于点F ，2CE BF =，54CBF BCE ∠=∠，连接BE ，254BCE S ∆=，则CE =___．20．如图，∆ABC 中，∠A= 82︒ ，∆ABC 的两条角平分线交于点 P ，∠BPD 的度数是_____；三、解答题21．如图，已知ABC 与ADG 均为等边三角形，点E 在GD 的延长线上，且GE AC =，连接AE 、BD ．（1）求证：AGE DAB ≌△△；（2）F 是BC 上的一点，连接AF 、EF ，AF 与GE 相交于M ，若AEF 是等边三角形，求证：//BD EF ．22．已知，//AB CD ，点P 在AB 、CD 之间，连结AP 、CP ．（1）如图1，求A C P ∠+∠+∠的度数（提供两种作辅助线的方法：方法一：过点P 作AB 的平行线；方法二：连结AC ）；（2）已知100APC ∠=︒，PAB ∠和PCD ∠的角平分线AO 、CO 交于点0，请你画出草图，并直接写出AOC ∠的度数．23．如图，已知AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，垂足分别为D 、F ，∠2＋∠3＝180°．试说明：∠GDC ＝∠B ．下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．解：∵AD ⊥BC ，EF ⊥BC （已知），∴AD ∥EF （在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），∴∠1＋∠2＝ °（两直线平行，同旁内角互补），又∵∠2＋∠3＝180°（已知），∴∠1＝∠ （同角的补角相等），∴AB ∥DG （），∴∠GDC ＝∠B （）．24．如图所示，已知，A F ∠=∠，C D ∠=∠．（1）求证： //BD CE ；（2）已知:2:3ABD DEC ∠∠=，求DEC ∠的度数．25．如图，在△ABC 中，A ABC ∠=∠，直线EF 分别交AB 、AC 点D 、E ，CB 的延长线于点F ，过点B 作//BP AC 交EF 于点P ，（1）若70A ∠=︒，25F ∠=︒，求BPD ∠的度数．（2）求证：2F FEC ABP ∠+∠=∠．26．如图，有如下四个论断：①//AC DE ，②//DC EF ，③CD 平分BCA ∠，④EF 平分BED ∠．（1）若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个数学命题，其中正确的有哪些？不需说明理由．（2）请你在上述正确的数学命题中选择一个进行说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据逆定理的定义，某一定理的条件和结论互换所得命题是真命题是这个定理的逆定理可以判断①，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，可判断②，利用命题分类分为真命题与假命题都是命题，都有逆命题，可判断③，真命题是正确的命题，真命题的逆命题有真假命题之分，可判断④即可．【详解】解：①每个定理都有逆命题，看根据逆命题的条件能否推出正确的结论，能推出，由逆定理，不能推出，没有逆定理，故①不正确；②每个命题都有逆命题；故②正确；③假命题也是命题，命题都有逆命题，故③不正确；④真命题的逆命题可能是假命题，也可能是真命题，根据条件能否推出正确的结论有关，能推出，由是真命题，不能推出，是假命题，故④不正确．正确的说法只有一个②．故选择：A ．【点睛】本题考查命题，真命题，假命题，逆命题，定理，逆定理，掌握命题，真命题，假命题，逆命题，定理，逆定理的定义，以及它们的区别是解题关键．2．C解析：C【分析】先根据平行线的性质求出C ∠，再由三角形外角性质即可得解；【详解】∵//AB CD ，150∠=︒，∴150∠=∠=︒C ，∵240∠=︒，∴3290C ∠=∠+∠=︒；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形的外角性质，准确计算是解题的关键．3．A解析：A【分析】利用对顶角、三角形内角和、平行线的性质等分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；B 、三角形三个内角的和等于180°，是真命题；C 、两直线平行，同位角相等，是真命题；D 、两点之间，线段最短，是真命题；故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角、平行线的性质和三角形内角和，难度不大．4．B解析：B【分析】需要证明一个结论不成立，可以举反例证明；【详解】∵当1a =，2b =-时，1＜2-，∴证明了命题“若,a b >则a b >”是假命题；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了命题与定理，准确分析判断是解题的关键．5．D解析：D【分析】根据三角形的内角性质、三角形的内角和定理逐项判断即可得．【详解】A 、反例：锐角三角形的三个内角均小于90︒，此项错误；B 、反例：锐角三角形的三个内角均小于90︒，此项错误；C 、反例：一个三角形的三个内角分别为89.5,89.5,1︒︒︒，此项错误；D 、因为三角形的内角和等于180︒，所以不可能都小于60︒，此项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．6．D解析：D【分析】根据垂线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，真命题，本选项不符合题意；B、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真命题，本选项不符合题意；C、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另一条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等，真命题，本选项不符合题意；D、有一边相等的两个等腰直角三角形不一定全等，如：一个等腰直角三角形的直角边与另一个等腰直角三角形的斜边相等，这两个等腰直角三角形并不全等，假命题，本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．C解析：C【分析】根据∠DAE=∠DAC-∠CAE，只要求出∠DAC，∠CAE即可．【详解】解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C，∠B=45°，∠C=73°，∴∠BAC=62°，∵AD平分∠BAC，∠BAC=31°，∴∠DAC=12∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠CAE=90°-73°=17°，∴∠DAE=31°-17°=14°，故选：C．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．8．B解析：B过点G作AB平行线交EF于P，根据平行线的性质求出∠EGP，求出∠PGF，根据平行线的性质、平角的概念计算即可．【详解】解：过点G作AB平行线交EF于P，由题意易知，AB∥GP∥CD，∴∠EGP=∠AEG=18°，∴∠PGF=72°，∴∠GFC=∠PGF=72°，∴∠HFD=180°-∠GFC-∠GFP-∠EFH=33°．故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据反证法的性质分析，即可得到答案．【详解】用反证法证明“m为正数”时，应先假设m为负数或零故选：C．【点睛】本题考查了反证法的知识，解题的关键是熟练掌握反证法的性质，从而完成求解．10．C解析：C【详解】∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故A错误；∵12是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故B错误；∵14是偶数但不是4的倍数，∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例，故C正确；∵16是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故D错误.故选C.11．C【分析】分别根据有理数、平行线的判定与性质以点到直线的距离分别判断得出即可．【详解】①实数与数轴上的点一一对应，原命题是假命题；②两条平行线线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题； ④平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；⑤垂直于同一平面内的同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题；⑥如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，原命题是假命题；故选：C ．【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关的定理与性质是解题关键．12．B解析：B【分析】根据对顶角的定义对①进行判断；根据补角的定义对②进行判断；根据平行线的性质对③进行判断；根据垂线段公理对④进行判断．【详解】解：相等的两个角不一定为对顶角，所以①为假命题；若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角，所以②为真命题；两直线平行，同旁内角互补，所以③为假命题；垂线段最短，所以④为真命题．故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．二、填空题13．答案不唯一例如当但【分析】可根据的正负性来考虑即可例如用来进行判断即可【详解】反例：取有但故答案为：但【点睛】本题考查了命题与定理举反例说明说明命题是假命题时在选取反例时要注意遵循这一原则：反例的选解析：答案不唯一，例如当1,1,a b a b ==->，但22a b <【分析】可根据a 、b 的正负性来考虑即可，例如用1a =、1b =-来进行判断即可．【详解】反例：取1a =，1b =-，有a b >，但22a b =．故答案为：1a =，1b =-，a b >，但22a b =．【点睛】本题考查了命题与定理，举反例说明说明命题是假命题时，在选取反例时要注意遵循这一原则：反例的选取一定要满足所给命题的题设要求，而不能满足命题的结论．14．【分析】根据三角形内角和定理求出∠C 根据全等三角形性质推出∠F ＝∠C 即可得出答案【详解】解：∵∠A ＝80°∠B ＝40°∴∠ACB ＝180°−∠A−∠B ＝60°∵△ABC ≌△DEF ∴∠DFE ＝∠ACB解析：60︒【分析】根据三角形内角和定理求出∠C ，根据全等三角形性质推出∠F ＝∠C ，即可得出答案．【详解】解：∵∠A ＝80°，∠B ＝40°，∴∠ACB ＝180°−∠A−∠B ＝60°，∵△ABC ≌△DEF ，∴∠DFE ＝∠ACB ＝60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力，难度不大．15．对顶角相等；内错角相等两直线平行；两直线平行内错角相等；垂直定义【分析】依据对顶角相等推出利用平行线的判定定理内错角相等两直线平行利用平行线的性质得由垂直再根据同旁内角互补即可【详解】证明：∵又（对解析：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直定义【分析】依据对顶角相等推出ACE BDE ∠=∠，利用平行线的判定定理内错角相等两直线平行//AC DB ，利用平行线的性质得CAF AFD ∠=∠，由垂直90AFD ∠=︒，再根据同旁内角互补90CAF =︒∠即可．【详解】证明：∵ACE AEC ∠=∠，BDE BED ∠=∠，又AEC BED ∠=∠（对顶角相等），∴ACE BDE ∠=∠，∴//AC DB （内错角相等，两直线平行），∴CAF AFD ∠=∠（两直线平行，内错角相等），∵AF DB ⊥，∴90AFD ∠=︒（垂直定义），∴90CAF =︒∠，∴AC AF ⊥．故答案为：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直定义．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角性质，等式的性质，垂直定义，掌握平行线的判定和性质，对顶角性质，等式的性质，垂直定义，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补是解题关键．16．①③④【分析】利用高线和同角的余角相等三角形内角和定理即可证明①再利用等量代换即可得到③④均是正确的②缺少条件无法证明【详解】由已知可知∠ADC=∠ADB=90°∵∠ACB＝∠BAD∴90°-∠AC解析：①③④【分析】利用高线和同角的余角相等，三角形内角和定理即可证明①，再利用等量代换即可得到③④均是正确的，②缺少条件无法证明．【详解】由已知可知∠ADC=∠ADB=90°,∵∠ACB＝∠BAD∴90°-∠ACB=90°-∠BAD，即∠CAD=∠B,∵三角形ABC的内角和=∠ACB+∠B+∠BAD+∠CAD=180°，∴∠CAB=90°，①正确，∵AE平分∠CAD，EF∥AC，∴∠CAE=∠EAD=∠AEF，∠C=∠FEB=∠BAD，②错误，∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠BEA=∠BEF+∠AEF,∴∠BAE＝∠BEA，③正确，∵∠B=∠DAC=2∠CAE=2∠AEF，④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了三角形的综合性质，高线的性质，平行线的性质，综合性强，难度较大，利用角平分线和平行线的性质得到相等的角，再利用等量代换推导角之间的关系是解题的关键．17．如果两个角是同一个角的补角那么这两个角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面把命题的结论写在那么的后面即可【详解】解：命题同角的补角相等改成如果…那么…的形式为：如果两个角是同一个角的补角那么这两个解析：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论写在那么的后面即可．【详解】解：命题“同角的补角相等”改成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．18．40°【分析】如图过E作EF∥AB则AB∥EF∥CD根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求得答案【详解】解：如图过E作EF∥AB则AB∥EF∥CD∴∠1＝∠3∠2＝∠4∵∠3+∠4＝180°－9解析：40°【分析】如图，过E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求得答案．【详解】解：如图，过E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠3+∠4＝180°－90°－30°=60°，∴∠1+∠2＝60°，∵∠1＝20°，∴∠2＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题以三角板为载体，主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，正确添加辅助线、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．19．5【分析】设∠BCE=4x∠CBF=5x设∠ADE=∠EDC=y构建方程组求出xy证明∠CFB=90°再利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题【详解】解：∵∴可以假设∠BCE=4x则∠CBF=5x解析：5【分析】设∠BCE=4x，∠CBF=5x，设∠ADE=∠EDC=y，构建方程组求出x，y，证明∠CFB=90°，再利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．【详解】解：∵54CBF BCE ∠=∠，∴可以假设∠BCE=4x，则∠CBF=5x，∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADE=∠EDC ，∠ECD=∠ECB=4x ，设∠ADE=∠EDC=y ，∵AD ∥BF ，∴∠A+∠ABF=180°，∴∠ADC+∠DCB+∠CBF=180°，∴2y+13x=180°①，∵∠DEC=115°，∴∠EDC+∠ECD=65°，即y+4x=65° ②，联立①②解得x=10°，y=25°，∴∠BCF=40°，∠CBF=50°，∴∠CFB=90°，∴BF ⊥EC ，∴CE=2BF ，设BF=m ，则CE=2m ，12524∆=⨯⨯=BCE S EC BF ， ∴125224⨯⨯=m m ，解得52m =(负值舍去)， ∴CE=2m =5，故答案为5．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，二元一次方程组等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或方程组组解决问题．20．49°【分析】由三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=98°由角平分线定义得出∠PBC+∠PCB=(∠ABC+ACB)=49°再由三角形的外角性质即可得出结果【详解】∵△ABC 中∠解析：49°【分析】由三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=98°，由角平分线定义得出∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+ACB)=49°，再由三角形的外角性质即可得出结果．【详解】∵△ABC 中，∠A=82°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=98°，∵△ABC 的两条角平分线交于点P ，∴∠PBC=12∠ABC ，∠PCB=12∠ACB ， ∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+ACB)=1982⨯︒=49°，∴∠BPD=∠PBC+∠PCB=49°，故答案为：49°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及三角形的外角性质；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由等边三角形的性质，解得60BAC DAG ∠=∠=︒，,AB BC AC AD DG AG ====，结合GE AC =，可证明ABD ≅()GEA SAS ；（2）由等边三角形的性质，解得60ABC AGD ∠=∠=︒，60ABC AEF ∠=∠=︒继而根据同位角相等，两直线平行判定//GE BC ，由两直线平行，内错角相等解得EFC GEF ∠=∠，接着由全等三角形的对应角相等得到ABD GEA ∠=∠，最后由角的和差解得DBF GEF ∠=∠整理得DBF EFC ∠=∠据此解题即可．【详解】解：（1）ABC 与ADG 均为等边三角形，60BAC DAG ∴∠=∠=︒，,AB BC AC AD DG AG ====GE AC =∴GE AB =在DAB 与AGE 中，AD AG BAD EGA AB GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABD ∴≅()GEA SAS ；（2）ABC 与ADG 均为等边三角形，60ABC AGD ∴∠=∠=︒//GE BC ∴EFC GEF ∴∠=∠ABD ≅()GEA SASABD GEA ∴∠=∠若AEF 是等边三角形，60ABC AEF ∴∠=∠=︒ABC ABD AEF GEA ∴∠-∠=∠-∠即DBF GEF ∠=∠DBF EFC ∴∠=∠//BD EF ∴．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．22．（1）360︒；（2）130AOC ∠=︒或50︒【分析】(1)连结AC ，根据三角形的内角和定理可得∠P+∠PAC+∠PCA=180°，再根据AB//CD 得到∠BAC+∠DCA=180°即可求得．(2)分两种情况，点P 在AC 的左侧，点P 在AC 的右侧，由（1）中的得到的结论，∠P+∠PAB+∠PCD=360°，再由平行线的性质和角平分线的定理，可以得到∠AOC 的度数．【详解】（1）连结AC∴180P PAC PCA ∠+∠+∠=︒，∵//AB CD∴180BAC DCA ∠+∠=︒，∴360PAB PCD P ∠+∠+∠=︒，（2）如图a ，点P 在AC 的左侧，130AOC ∠=︒，∵∠P+∠PAB+∠PCD=360° ，又∠APC=100° ，∴∠PAB+∠PAC=260° ，又AO 、CO 是∠PAB 和 ∠PCD 的角平分线，∴∠PAO+∠PCO=12×260° =130° ， ∴∠AOC=360° -100° -130° =130° ，如图b ，点P 在AC 的右侧，50AOC ∠=︒，过点P作MN∥AB，∵MN∥AB，CD∥AB，∴MN∥CD，∵MN∥AB，∴∠APM=∠BAP，∵MN∥CD，∴∠CPM=∠PCD，∴∠BAP+∠PCD=∠APM+∠CPM=∠APC=100°，又AO、CO是∠PAB 和∠PCD 的角平分线，∴∠BAO+∠DCO= 1×100° =50°，2∴∠AOC=∠BAO+∠DCO=50°，∴∠AOC=130°或50°．【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，以及角平分线定理，三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用平行线的性质和角的平分线的定理求角的度数．23．180；3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等【分析】根据平行线的性质定理和判定定理即可解答．【详解】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），∴AD∥ EF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），∴∠1＋∠2＝180°两直线平行，同旁内角互补），又∵∠2＋∠3＝180°（已知），∴∠1＝∠ 3（同角的补角相等），∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），∴∠GDC＝∠B（两直线平行，同位角相等）．故答案为：180；3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．24．（1）见解析；（2）∠D EC =108°【分析】（1）由AC//DE可得∠D=∠ABD，根据等量代换得到∠C=∠ABD，从而可证BD//C E；（2）设∠ABD=2x ， ∠D EC=3x ，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．【详解】（1）证明∵∠A=∠F ，∴AC //DE ，∴∠D=∠ABD ，∵∠D=∠C ，∴∠C=∠ABD ，∴BD//C E ；（2）∵BD//C E ，DF//BC ，∴∠ABD =∠C ，∠D EC +∠C=180°，∵∠ABD ：∠DEC=2:3，∴设∠ABD=2x ，∠D EC=3x ，则2x+3x=180°，∴x=36°，∴∠D EC =3x=108°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．25．（1）65°；（2）见解析【分析】（1）运用三角形内角和定理先求出∠C 的度数，再应用平行线性质求出∠PBF 的度数，最后应用三角形外角与内角的关系求出∠BPD ．（2）先证明∠F+∠FEC=∠PBC ，再证∠PBC=2∠ABP ．【详解】解：（1）在ABC ∆中，∵∠A=70°，∠A=∠ABC∴由内角和定理可得40C ∠=又∵//BP AC∴65BPD AEF C F ∠=∠=∠+∠=（2）在ABC ∆中，∵∠A=∠ABC∴ 由内角和定理可得2180A C ∠+∠=同理，在CEF ∆中由三角形内角和定理得180F FEC C ∠+∠+∠=∴2F FEC A ∠+∠=∠又∵//BP AC∴ABP A ∠=∠即2F FEC ABP ∠+∠=∠．【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和的综合题．用已知条件结合图形运用相关定理找角的关系是基本技能，是解本题的关键．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，即可得到结论；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：（1）如果①②③，那么④，正确；如果①②④，那么③，正确；如果①③④，那么②，正确；如果②③④，那么①，正确；（2）已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED．证明：∵AC∥DE，∴∠BCA=∠BED，即∠1+∠2=∠4+∠5，∵DC∥EF，∴∠2=∠5，∵CD平分∠BCA，∴∠1=∠2，∴∠4=∠5，∴EF平分∠BED．【点睛】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．。

(常考题)北师大版初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》测试题(有答案解析)(4)

一、选择题1．下列命题，正确的是（）A ．相等的角是内错角B ．如果22x y =，那么x y =C ．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D ．角平分线上的点到角两边的距离相等 2．如图，已知//AB CD ，120AFC ∠=︒，13EAF EAB ∠=∠，1 3ECF ECD ∠=∠，则 AEC ∠=（）A ．60°B ．80°C ．90°D ．100°3．如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC ∆纸片，点D E 、分别是边AB AC 、上的点，将ABC ∆沿着DE 折叠压平，A 与A '重合，若50A ∠=︒，则12∠+∠=（）A ．90︒B ．100︒C ．110︒D ．120︒ 4．如图，△ABC 中，∠BAC ＝58°，∠C ＝82°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，点E 是AC 上一点，且∠ADE ＝∠B ，则∠CDE 的度数是（）A ．29°B ．39°C ．42°D ．52°5．将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（）①OE 平分AOD ∠；②AOC BOD ∠=∠；③15AOC CEA ∠-∠=︒；④180COB AOD ∠+∠=︒A ．0B ．1C ．2D ．36．如图，有下列说法：①若13∠=∠，//AD BC ，则BD 是ABC ∠的平分线；②若//AD BC ，则123∠=∠=∠；③若13∠=∠，则//AD BC ；④若34180C ∠+∠+∠=，则//AD BC ．其中正确的有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4 7．如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝105°，则∠DAC 的度数为（）A ．80°B ．82°C ．84°D ．86°8．下列命题中，真命题是（）A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等9．下列命题中，假命题是（）A ．负数没有平方根B ．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等C ．对顶角相等D ．内错角相等10．如图，//AB EF ，C 点在EF 上，EAC ECA ∠=∠，BC 平分DCF ∠，且AC BC ⊥．下列结论：①AC 平分DCE ∠；②//AE CD ；③190B ∠+∠=︒；④BDC 21∠=∠．其中结论正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，下列条件中，不能判断AD∥BC的是（）A．∠1=∠3 B．∠2=∠4 C．∠EAD=∠B D．∠D=∠DCF 12．下列说法错误的是（）A．过任意一点P可作已知直线m的一条平行线B．同一平面内的两条不相交的直线是平行线C．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行D．平行于同一条直线的两条直线平行二、填空题13．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠4．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．证明：∵_________（___________）∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（_________）．∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．又∵∠1=∠4，∴_____（_____），∴DF∥AE（______）．14．如图，点P是三角形三条角平分线的交点，若∠BPC=100 ，则∠BAC=_________．15．如图，BE、CE分别是△ABC内角∠ABC和外角∠ACD的平分线，若∠A=70°，则∠BEC=___________．16．如图，已知AD BC ⊥，EF BC ⊥，3C ∠∠＝，试说明：12∠∠＝．请将以下不完整的推理过程补充完整：解：因为AD BC ⊥，EF BC ⊥，所以90ADC EFC ∠∠︒＝＝，根据“同位角相等，两直线平行”，所以//AD EF ，根据“ ”，所以1CAD ∠∠＝．因为3C ∠∠＝，根据“ ”，所以//DG ，根据“ ”，所以2CAD ∠∠＝．所以12∠∠＝．17．如图，将一副三角板叠放在一起，使含45°的直角三角板的一个锐角顶点E 恰好落在另一个含30°的直角三角板的斜边AB 上，DE 与AC 交于点G ．如果110BEF ∠=︒，那么AGE ∠=__________度．18．在四边形ABCD 中，ADC ∠与BCD ∠的角平分线交于点E ，115DEC ∠=︒，过点B 作//BF AD 交CE 于点F ，2CE BF =，54CBF BCE ∠=∠，连接BE ，254BCE S ∆=，则CE =___．19．如图，已知△ABC ，∠B 的角平分线与∠C 的外角角平分线交于点 D ，∠B 的外角角平分线与∠C 的外角角平分线交于点 E ，则∠E+∠D=_____．20．如图，BD ＝BC ，BE ＝CA ，∠DBE ＝∠C ＝60°，∠BDE ＝75°，则∠AFE 的度数等于_____．三、解答题21．直线AB 和CD 被直线MN 所截，如图1，EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠，当12∠=∠时，小明证明//AB CD 的过程如下：∵EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠（已知），∴21MEB ∠=∠，22DFE ∠=∠（角平分线的定义）． ∵12∠=∠，（已知），∴MEB DFE ∠=∠（等量代换）． ∴//AB CD （同位角相等，两直线平行）．请你参考上述证明过程解决下列问题：（1）如图2，EG 平分AEF ∠，FH 平分DFE ∠，1∠与2∠满足什么条件时，//AB CD ？说明理由．（2）如图3，若//AB CD ，EG 平分AEM ∠，FH 平分CFN ∠，则1∠与2∠满足怎样的条件？说明理由．22．如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，BD ，CE 交于点O ，F ，G 分别是AC ，BC 延长线上一点，且∠EOD ＋∠OBF ＝180°，∠DBC ＝∠G ，指出图中所有平行线，并说明理由．23．如图，12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，求证：//CE BF ．24．如图，点B 、E 分别在直线AC 和DF 上，若AGB EHF ∠=∠，C D ∠=∠，可以得到A F ∠=∠．请完成下面说理过程中的各项“填空”理由：∵AGB EHF ∠=∠（已知）AGB ∠= （对顶角相等） ∴EHF DGF ∠=∠（理由）∴ //EC （理由：）∴ DBA =∠（两直线平行，同位角相同）又∵C D ∠=∠，∴DBA ∠= （等量代换）∴//DF （内错角相等，两直线平行）∴A F ∠=∠（理由：）25．综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一副三角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O 重合，边CD 与边AB 重合，试求AOC ∠的度数．（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形1，完成填空）解：∵45OCD ∠=︒，60OBC ∠=︒∴BOC ∠=__________（___________________）又∵90AOB ∠=︒，∴AOC ∠=__________．（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点O 逆时针旋转DOC △，当DC AO //时，求得AEO ∠的度数．（请你写出解答过程）（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3），继续绕顶点O 逆时针旋转DOC △，使点B 落在边DC 上，此时发现1∠与2∠之间的数量关系．以下是他的解答过程，请补充完整解：在AOE △与BCE 中，∵12AEO A CEB C ∠+∠+∠=∠+∠+∠又∵AEO CEB ∠=∠（___________________）A ∠=__________，C ∠=__________，∴12A C ∠+∠=∠+∠12∠-∠=__________．26．已知在DEF ∆中，70E F ∠+∠=︒，现将DEF ∆放置在ABC ∆上，使得D ∠的两条边DE ，DF 分别经过点B 、C ．（1）如图①所示，若50A ∠=︒，且//BC EF 时，ABC ACB ∠+∠= 度，DBC DCB ∠+∠= 度，ABD ACD +=∠∠ 度；（2）如图②，改变ABC ∆的位置，使得点D 在ABC ∆内，且BC 与EF 不平行时，请探究ABD ACD ∠+∠与A ∠之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论；（3）如图③，改变ABC ∆的位置，使得点D 在ABC ∆外，且BC 与EF 不平行时，请探究ABE ∠、ACF ∠、A ∠之间存在怎样的数量关系，请直接写出你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据各个选项中的说法，可以利用内错角的定义，数的开方，等边三角形的判定及角平分线的性质进行判断是否为真命题，即可得出结论．【详解】解：A 、相等的角不一定是内错角．故原命题是假命题，故此选项不符合题意；B 、如果22x y =，那么x y =．如()2222-=，但()22-≠，此命题是假命题，故此选项不符合题意；C 、有一个角为60°的三角形不一定是等边三角形，如一个三角形的三个角是60°，50°，70°，此命题是假命题，故此选项不符合题意；D 、角平分线上的点到角两边的距离相等，此命题是真命题，故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理，明确题意，灵活运用所学知识判断出各个选项中的命题的真假是解答本题的关键．2．C解析：C【分析】连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，得到∠FAB=4x，∠FCD=4x，根据平行线性质得出∠CAB+∠ACD=180°，从而得到x+y=30°，再根据∠AEC=180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC）得到结果．【详解】解：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∴∠EAB=3x，∠ECD=3x，∴∠FAB=4x，∠FCD=4x，∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACD=180°，∵∠AFC=120°，∴∠FAC+∠FCA=180°-120°=60°，∴∠FAC+∠FCA+∠FAB+∠FCD=180°，即60+4x+4y=180°，解得：x+y=30°，∴∠AEC=180°-（∠EAC+∠ECA）=180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC）=180°-（x+y+60°）=90°故选C．【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，解题的关键是注意整体思想的运用．3．B解析：B【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，然后利用平角等于180°列式计算即可得解．【详解】∵∠A=50°，∴∠ADE+∠AED=180°-50°=130°，∵△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，∴∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，∴∠1+∠2=180°-（∠A′ED+∠AED）+180°-（∠A′DE+∠ADE）=360°-2×130°=100°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，整体思想的利用求解更简便．4．A解析：A【分析】根据三角形的内角和得到∠B＝180︒-∠BAC-∠C＝40︒，根据角平分线的定义得到∠BAC=29︒，根据三角形的外角的性质即可得到结论．∠BAD=12【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝58︒，∠C＝82︒，∴∠B＝180︒-∠BAC-∠C＝180︒-58︒-82︒＝40︒，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝29︒，∴∠BAD＝12∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝69︒，∵∠ADE＝∠B＝40︒，∴∠CDE＝29︒，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．5．D解析：D【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD；根据角的和差关系可得∠COB+∠AOD=180；根据三角形的内角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°．【详解】解：∵∠DOC=∠AOB=90°，∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB，即∠AOC=∠BOD，故②正确；∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠COB+∠AOD=∠AOB+∠COD=180°，故④正确；如图，AB与OC交于点P，∵∠CPE=∠APO ，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°， ∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确；没有条件能证明OE 平分∠AOD ，故①错误．综上，②③④正确，共3个，故选：D ．【点睛】本题考查了余角与补角以及三角形内角和定理，熟知余角与补角的性质以及三角形内角和是180°是解答此题的关键．6．B解析：B【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】13∠=∠，//AD BC∴23∠∠=∴123∠=∠=∠∴BD 是ABC ∠的平分线，即①正确；若//AD BC ，得23∠∠=，14∠=∠，不构成123∠=∠=∠成立的条件，故②错误；若13∠=∠，不构成//AD BC 成立的条件，故③错误；若34180C ∠+∠+∠=，且34ADC ∠+∠=∠∴180C ADC ∠+∠=∴//AD BC ，即④正确；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线和角平分线的知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义．7．A解析：A【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．【详解】解：∵∠BAC ＝105°，∴∠2＋∠3＝75°①∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2②把②代入①得：3∠2＝75°，∴∠2＝25°．∴∠DAC＝105°−25°＝80°．故选A．【点睛】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟记三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解题的关键．8．D解析：D【分析】根据三角形全等的判定方法对A、D进行判断；利用三角形高的位置不同可对B、C进行判断．【详解】A、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A选项错误；B、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以B选项错误；C、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以C选错误；D、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D选项正确；故选：D．【点睛】本题考査了判断命题真假，以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，仔细分类讨论是解题关键．9．D解析：D【分析】根据平方根的概念、平行线的性质、对顶角相等判断即可．【详解】A、负数没有平方根，本选项说法是真命题；B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，本选项说法是真命题；C、对顶角相等，本选项说法是真命题；D、两直线平行，内错角相等，本选项说法是假命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．D解析：D【分析】根据平行线的性质及角度的计算，等腰三角形的性质即可进行一一求解判断.根据//AB EF ， BC 平分DCF ∠，且AC BC ⊥可得∠1+∠BCD=90°，∠BCD=12∠DCF ，又∠DCF+∠ECD=180°，∴∠1=12∠ECD ，故AC 平分DCE ∠，①正确； ∵AC 平分DCE ∠，∴∠1=∠ECA,∵EAC ECA ∠=∠∴EAC ∠=∠1，∴//AE CD ，②正确；∵EF ∥AB ，∴∠FCB=∠B ，∴∠B=∠DCB ，∵∠1+∠DCB=90°，∴190B ∠+∠=︒，③正确；∵EF ∥AB ，∴∠ECA=∠CAD ，∵∠1=∠ECA∴∠1=∠CAD∵∠CDB 是△ACD 的一个外角，∴∠CAD=∠1+∠CAD=2∠1，④正确；故选D【点睛】此题主要考查平行线的角度计算，解题的关键是根据图像的特点进行求解.11．B解析：B【分析】根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断AD 、BC 是否平行即可．【详解】解：A 、∵∠1=∠3，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；B 、∵∠2=∠4，∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），但不能判定AD ∥BC ； C 、∵∠EAD=∠B ，∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）；D 、∵∠D=∠DCF ，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．12．A解析：A【分析】根据平行线的定义及平行公理进行判断．【详解】解：选项A ：当点P 在直线m 上时则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，故选项A 错误，选项B 、C 、D 显然正确，故选：A ．本题主要考查平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键．二、填空题13．CD ⊥DADA ⊥AB ；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等两直线平行【分析】先根据垂直的定义得到再根据等角的余角相等得出最后根据内错角相等两直线平行进行判定即可【详解】证明：∵CD解析：CD ⊥DA ，DA ⊥AB ；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行【分析】先根据垂直的定义，得到1290∠+∠=︒，3490∠+∠=°，再根据等角的余角相等，得出23∠∠=，最后根据内错角相等，两直线平行进行判定即可．【详解】证明：∵ CD ⊥DA ，DA ⊥AB （已知）∴∠CDA=90°，∠DAB=90° ( 垂直定义 )．∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．又∵∠1=∠4，∴∠2=∠3 ( 等角的余角相等 )，∴DF ∥AE ( 内错角相等，两直线平行 )．故答案为：．CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，已知；垂直定义；∠2=∠3 ，等角的余角相等；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及垂直的定义，解题时注意：内错角相等，两直线平行． 14．【分析】先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB=故可得到∠ABC+∠ACB=即可得出答案【详解】在△BPC 中∠BPC=∴∠PBC+∠PCB=∵P 是三角形三条角平分线的交点∴∠ABC=2∠PBC ∠解析：20︒【分析】先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB=80︒，故可得到∠ABC+∠ACB=160︒，即可得出答案．【详解】在△BPC 中，∠BPC=100︒，∴∠PBC+∠PCB=80︒，∵P 是三角形三条角平分线的交点，∴∠ABC=2∠PBC ，∠ACB=2∠PCB ，∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=160︒，∴∠BAC=180()20ABC ACB ︒-∠+∠=︒，故答案为：20︒．【点睛】此题考查三角形的内角和定理，角平分线的有关计算，熟练应用定理解决问题是解题的关键．15．35°【分析】根据角平分线的定义可得出再根据外角的性质可得与通过角度的计算可得出答案【详解】解：∵BECE 分别是△ABC 内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线∴又∵∠ACD 是△ABC 的外角∴∴∵∠ECD解析：35°【分析】根据角平分线的定义，可得出12EBC ABC ∠=∠，12ECD ACD ∠=∠，再根据外角的性质可得ACD A ABC ∠=∠+∠与ECD BEC EBC ∠=∠+∠，通过角度的计算可得出答案．【详解】解：∵BE 、CE 分别是△ABC 内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线， ∴12EBC ABC ∠=∠，12ECD ACD ∠=∠，又∵∠ACD 是△ABC 的外角， ∴ACD A ABC ∠=∠+∠，∴A ACD ABC ∠=∠-∠∵∠ECD 是△BCE 的外角，∴ECD BEC EBC ∠=∠+∠ ∴1111()2222ECD EBC ACD ABC ACD E ABC A B C ∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠∠=， ∵∠A=70°， ∴1352A BEC ∠∠==︒，故答案为：35°．【点睛】本题考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质进行角度的计算是解题的关键．16．两直线平行同位角相等；同位角相等两直线平行；AC ；两直线平行内错角相等【分析】根据平行线的判定和性质解题【详解】解：因为AD ⊥BCEF ⊥BC 所以∠ADC ＝∠EFC ＝90°根据同位角相等两直线平行所以解析：两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；AC；两直线平行，内错角相等.【分析】根据平行线的判定和性质解题．【详解】解：因为AD⊥BC，EF⊥BC，所以∠ADC＝∠EFC＝90°，根据“同位角相等，两直线平行”，所以AD//EF，根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠1＝∠CAD．因为∠3＝∠C，根据“同位角相等，两直线平行”，所以DG//AC，根据“两直线平行，内错角相等”，所以∠2＝∠CAD．所以∠1＝∠2．故答案为：两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；AC；两直线平行，内错角相等.【点睛】本题考查平行线的判定和性质，根据题目已知条件灵活运用平行线的判定和性质求解是解题关键．17．125【分析】先求得∠AED的度数然后在△AEG中依据三角形的内角和定理求解即可【详解】解：∵∠BEF=110°∠BEF+∠AEF=180°∴∠AEF=70°∵∠FED=45°∠FED+∠AEG=∠解析：125【分析】先求得∠AED的度数，然后在△AEG中依据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：∵∠BEF=110°，∠BEF+∠AEF=180°，∴∠AEF=70°，∵∠FED=45°，∠FED+∠AEG=∠AEF，∴∠AEG=70°-45°=25°，∵∠A=30°，∴∠AGE=180°-∠AEG -∠A=125°，故答案为：125．【点睛】本题考查了平角定义三角形的内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．5【分析】设∠BCE=4x∠CBF=5x设∠ADE=∠EDC=y构建方程组求出xy证明∠CFB=90°再利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题【详解】解：∵∴可以假设∠BCE=4x则∠CBF=5x解析：5【分析】设∠BCE=4x ，∠CBF=5x ，设∠ADE=∠EDC=y ，构建方程组求出x ，y ，证明∠CFB=90°，再利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．【详解】解：∵54CBF BCE ∠=∠， ∴可以假设∠BCE=4x ，则∠CBF=5x ，∵DE 平分∠ADC ，CE 平分∠DCB ，∴∠ADE=∠EDC ，∠ECD=∠ECB=4x ，设∠ADE=∠EDC=y ，∵AD ∥BF ，∴∠A+∠ABF=180°，∴∠ADC+∠DCB+∠CBF=180°，∴2y+13x=180°①，∵∠DEC=115°，∴∠EDC+∠ECD=65°，即y+4x=65° ②，联立①②解得x=10°，y=25°，∴∠BCF=40°，∠CBF=50°，∴∠CFB=90°，∴BF ⊥EC ，∴CE=2BF ，设BF=m ，则CE=2m ，12524∆=⨯⨯=BCE S EC BF ， ∴125224⨯⨯=m m ，解得52m =(负值舍去)， ∴CE=2m =5，故答案为5．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，二元一次方程组等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或方程组组解决问题．19．90°【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和定理解答即可【详解】解：∵BDBE 分别是∠B 的角平分线和外角平分线∴∠DBE=×180°=90°∴∠D+∠E=180°-∠DBE=180°-90°=9解析：90°．【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：∵BD ，BE 分别是∠B 的角平分线和外角平分线，∴∠DBE=12×180°=90°， ∴∠D+∠E=180°-∠DBE=180°-90°=90°．故答案为：90°．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．20．150°【分析】由三角形内角和定理可得∠E ＝45°由SAS 可证△ABC ≌△EDB 可得∠A ＝∠E ＝45°由三角形的外角性质可求∠AFD ＝30°即可求解【详解】解：∵∠DBE ＝60°∠BDE ＝75°∴∠解析：150°【分析】由三角形内角和定理可得∠E ＝45°，由“SAS ”可证△ABC ≌△EDB ，可得∠A ＝∠E ＝45°，由三角形的外角性质可求∠AFD ＝30°，即可求解．【详解】解：∵∠DBE ＝60°，∠BDE ＝75°，∴∠E ＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵BD ＝BC ，BE ＝CA ，∠DBE ＝∠C ＝60°，∴△ABC ≌△EDB （SAS ），∴∠A ＝∠E ＝45°，∵∠BDE ＝∠A +∠AFD ＝75°，∴∠AFD ＝30°，∴∠AFE ＝150°，故答案为：150°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，证明△ABC ≌△EDB 是解题关键．三、解答题21．（1）当12∠=∠时，//AB CD ，理由见解析；（2）当//AB CD 时，1290∠+∠=︒，理由见解析．【分析】（1）根据角平分线定义得出21AEF ∠=∠，22DEF ∠=∠，再根据∠1＝∠2求出AEF DFE ∠=∠，根据平行线的判定即可推出结论；（2）根据角平分线定义得出112AEM ∠=∠，122CFN ∠=∠，由平行线的性质得出180BEF DFE ∠+∠=︒，利用对顶角相等可得BEF AEM ∠=∠，DFE CFN ∠=∠，即可得出180AEM CFN ∠+∠=︒，等量代换后则得结论1290∠+∠=︒．【详解】解：（1）当12∠=∠时，//AB CD ．理由如下：∵EG 平分AEF ∠，FH 平分DFE ∠（已知），∴21AEF ∠=∠，22DEF ∠=∠（角平分线的定义）．∵12∠=∠时（已知），∴AEF DFE ∠=∠.（等量代换）．∴//AB CD （内错角相等，两直线平行）．（2）当//AB CD 时，1290∠+∠=︒．理由如下：∵EG 平分AEM ∠，FH 平分CFN ∠（已知）， ∴112AEM ∠=∠，122CFN ∠=∠（角平分线的定义）． ∵//AB CD （已知），∴180BEF DFE ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）．∵BEF AEM ∠=∠，DFE CFN ∠=∠（对顶角相等），∴180AEM CFN ∠+∠=︒（等量代换）． ∴1()902AEM CFN ∠+∠=︒．即119022AEM CFN ∠+∠=︒（等式的性质）． ∴1290∠+∠=︒（等量代换）．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义等知识，掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键．22．EC ∥BF ，DG ∥BF ，DG ∥EC ，见解析【分析】根据同角的补角相等，和平行线的判定定理即可作出判断．【详解】解：EC ∥BF ，DG ∥BF ，DG ∥EC ．理由：∵∠EOD ＋∠OBF ＝180°，又∠EOD ＋∠BOE ＝180°，∴∠BOE ＝∠OBF ，∴EC ∥BF ；∵∠ABC ＝∠ACB ，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠DBC ＝∠ECB ，又∵EC ∥BF ，∴∠ECB ＝∠CBF ，∴∠DBC ＝∠CBF ，又∵∠DBC ＝∠G ，∴∠CBF ＝∠G ，∴DG ∥BF ；∵EC ∥BF ，DG ∥BF ，∴DG ∥EC ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质定理及补角定理是解题关键．23．见解析【分析】根据平行线的判定得出//BC DF ，再根据平行线的性质定理即可得到结论．【详解】证明：∵34∠=∠，∴//BC DF ，∴236180∠+∠+∠=︒，∵56∠=∠，12∠=∠，∴135180∠+∠+∠=︒，∴//CE BF ．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 24．∠DGF ；等量代换；BD ；同位角相等，两直线平行；∠D ；AC ；两直线平行，内错角相等．【分析】先根据已知条件结合对顶角相等得出∠EHF=∠DGF ，由平行线判定知BD ∥EC ，由判定得∠D=∠DBA ，再由等量代换知∠DBA=∠C ，根据平行线判定知DF ∥AC ，利用平行线的性质即可得证．【详解】∵∠AGB=∠EHF （已知）∠AGB=∠DGF （对顶角相等）∴∠EHF=∠DGF （理由：等量代换）∴BD ∥EC （理由：同位角相等，两直线平行）∴∠C=∠DBA （两直线平行，同位角相等）又∵∠C=∠D ，∴∠DBA=∠D （等量代换）∴DF ∥AC （内错角相等，两直线平行）∴∠A=∠F （理由：两直线平行，内错角相等），故答案为：∠DGF ；等量代换；BD ；同位角相等，两直线平行；∠D ；AC ；两直线平行，内错角相等．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．25．（1）75︒；三角形内角和是180︒；15︒；（2）105︒；见解析；（3）对顶角相等；30；45︒；15︒【分析】（1）利用三角形内角和定理求解即可；（2）利用平行线的性质求得∠AOC=45°，再利用三角形内角和定理求解即可；（3）在△AOE 与△BCE 中，利用三角形内角和定理得到∠1+∠A=∠2+∠C ，计算即可求解．【详解】解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°，∴∠BOC=75°（三角形内角和是180°），又∵∠AOB=90°，∴∠AOC=15°；（2）解：∵DC ∥AO ，∠OCD=45°，∴∠AOC=45°（两直线平行，内错角相等），又∵∠BAO=30°，∴∠AEO=180°−∠AOC−∠BAO=180°−45°−30°=105°（三角形内角和是180°）；（3）在△AOE 与△BCE 中，∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C ，又∵∠AEO=∠CEB （对顶角相等），∠A=30°，∠C=45°，∴∠1+∠A=∠2+∠C ，∠1−∠2=15°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 26．（1）130；70；60；（2）110ABD ACD A ∠+∠=︒-∠，见解析；（3）110ABE ACF A ∠+∠=︒+∠【分析】（1）根据三角形的内角和即可求出ABC ACB ∠+∠的度数，根据平行线的性质可得到DBC DCB ∠+∠的度数，利用角度的和差关系即可求出ABD ACD ∠+∠的度数；（2）同（1）分别求出ABC ACB ∠+∠，DBC DCB ∠+∠和ABD ACD ∠+∠的度数，故可求解；（3）先求出ABC ACB ∠+∠，DBC DCB ∠+∠，再根据平角的性质即可计算求解．【详解】（1）∵50A ∠=︒，在△ABC 中，ABC ACB ∠+∠=180°-50°=130°，∵//BC EF∴DBC E ∠=∠,DCB F ∠=∠∴DBC DCB ∠+∠=70E F ∠+∠=︒∴ABD ACD +=∠∠（ABC ACB ∠+∠）-()DBC DCB ∠+∠=60°故答案为：130；70；60；（2）由题意，得()180110D E F ∠=︒-∠+∠=︒所以18070DBC DCB D ∠+∠=︒-∠=︒∵180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠∴()()18070110ABD ACD ABC ACB DBC DCB A A ∠+∠=∠+∠-∠+∠=︒-∠-︒=︒-∠即110ABD ACD A ∠+∠=︒-∠（3）由题意，得()180110D E F ∠=︒-∠+∠=︒∴18070DBC DCB D ∠+∠=︒-∠=︒∵180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠∴360ABE ACF ∠+∠=︒-（DBC DCB ∠+∠）-（ABC ACB ∠+∠）=110A ︒+∠ 即110ABE ACF A ∠+∠=︒+∠．【点睛】此题主要考查三角形的内角和及平行线的性质，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°．。

(常考题)北师大版初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》检测(答案解析)(1)

一、选择题1．下列命题中，为真命题的是（）A ．13是13的算术平方根B ．三角形的一个外角大于任何一个内角C ．13是最简二次根式 D ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 2．如图，已知//AB CD ，120AFC ∠=︒，13EAF EAB ∠=∠，1 3ECF ECD ∠=∠，则 AEC ∠=（）A ．60°B ．80°C ．90°D ．100°3．将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（）①OE 平分AOD ∠；②AOC BOD ∠=∠；③15AOC CEA ∠-∠=︒；④180COB AOD ∠+∠=︒A ．0B ．1C ．2D ．3 4．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、CE 相交于点D ，则BDC∠的度数是（）A ．65︒B ．75︒C ．85︒D ．105︒ 5．下列命题中，真命题的是（） A ．同旁内角互补，两直线平行B ．相等的角是对顶角C ．同位角相等D ．直角三角形两个锐角互补6．下列语句正确的有（）个．①“对顶角相等”的逆命题是真命题．②“同角（或等角）的补角相等”是假命题．③立方根等于它本身的数是非负数．④用反证法证明：如果在ABC 中，90C ∠=︒，那么A ∠、B 中至少有一个角不大于45°时，应假设45A ∠>︒，45B ∠>︒．⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是2cm 和5cm ，则周长是9cm 或12cm ． A ．4B ．3C ．2D ．1 7．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A ．5B ．12C ．14D ．16 8．已知下列命题（1）等边三角形的三个内角都相等；（2）平行四边形相邻的两个角都相等；（3）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等；（4）底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题和逆命题均为真命题的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．如图，//AB CD ，BE 交CD 于点F ，48B ∠=︒，20E ∠=︒，则D ∠的度数为（）．A ．28B ．20C ．48D ．6810．如图，AB ∥DE ，80,45B D ︒︒∠=∠=则C ∠的度数为（）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒11．下列命题：①相等的两个角是对顶角；②若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角；③同旁内角互补；④垂线段最短，其中假命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知四边形ABCD 是长方形，点,E F 分别为线段BC ，AD 上的两点，将四边形CDFE 沿EF 折叠得到四边形C D FE ''，若40BEC '∠=︒，则EFD ∠等于（）A ．50︒B ．65︒C ．60︒D ．70︒二、填空题13．如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线，且76B ∠=︒，36C ∠=︒，则DAE ∠的度数为_________．14．若△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，AE 平分∠BAC ，∠B =40°，∠C =50°，则∠EAD=_____°．15．如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，若∠B ＝72°，∠DAE ＝16°，则∠C ＝_____度．16．如图，一个直角三角形纸片ABC ，90BAC ∠=，D 是边BC 上一点，沿线段AD 折叠，使点B 落在点E 处（E B 、在直线AC 的两侧），当50EAC ∠=时，则CAD ∠=__________°.17．把“同角的补角相等”改成“如果···那么···”的形式_________________．18．如图，已知//DE FG ，则12A ∠+∠-∠=________________19．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠BAD+∠ADC ＝180°；③∠ABC ＝∠ADC ；④∠3＝∠4；其中能判定AB ∥CD 的是_____（填序号）．20．用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，证明时，可以先假设：_____________________________．三、解答题21．直线AB 和CD 被直线MN 所截，如图1，EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠，当12∠=∠时，小明证明//AB CD 的过程如下：∵EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠（已知），∴21MEB ∠=∠，22DFE ∠=∠（角平分线的定义）． ∵12∠=∠，（已知），∴MEB DFE ∠=∠（等量代换）． ∴//AB CD （同位角相等，两直线平行）．请你参考上述证明过程解决下列问题：（1）如图2，EG 平分AEF ∠，FH 平分DFE ∠，1∠与2∠满足什么条件时，//AB CD ？说明理由．（2）如图3，若//AB CD ，EG 平分AEM ∠，FH 平分CFN ∠，则1∠与2∠满足怎样的条件？说明理由．22．定义：一个三位数，如果它的各个数位上的数字互不相等且都不为0，同时满足十位上的数字为百位与个位数字之和，则称这个三位数为“西西数”．A 是一个“西西数”，从A 各数位上的数字中任选两个组成一个两位数，由此我们可以得到6个不同的两位数．我们把这6个数之和与44的商记为()h A ，如：132A =，133112212332(132)344h +++++==．（1）求()187h ，()693h 的值．（2）若A ，B 为两个“西西数”，且()()35h A h B =，求B A 的最大值． 23．如图，BP 平分ABC ∠，交CD 于点F ，DP 平分ADC ∠交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A ∠=︒．（1）若60ADC ∠=︒，求AEP ∠的度数；（2）若38C ∠=︒，求P ∠的度数．24．如图，在△ABC 中，点D 是AC 边上的一点，已知ABC C ∠=∠，A ABD DBC ∠=∠=∠，求C ∠的度数．25．如图，已知直线//AB CD ，100A C ∠=∠=︒，E 、F 在CD 上，且满足DBF ABD ∠=∠，BE 平分CBF ∠．（1）直线AD 与BC 有何位置关系？请说明理由．（2）求DBE ∠的度数．（3）若平行移动AD ，在平行移动AD 的过程中，存在使BEC ADB ∠=∠的情况，求ADB ∠的度数．26．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，AE BC ⊥．若40BAD ∠=︒，70C ∠=︒，求DAE ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据算术平方根、三角形外角定理、最简二次根式定义、平行线性质逐项判断即可求解．【详解】解：13的算术平方根”，判断正确，符合题意；B. “三角形的一个外角大于任何一个内角”，应为“三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角”，判断错误，不合题意；”，不是最简二次根式，判断错误，不合题意；D. “两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，两条直线不一定平行，判断错误，不合题意．故选：A【点睛】本题考查了命题、算术平方根、三角形外角定理、最简二次根式定义、平行线性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键，注意：题设成立，结论一定成立的命题是真命题；题设成立，结论不一定成立的命题是假命题．2．C解析：C【分析】连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，得到∠FAB=4x，∠FCD=4x，根据平行线性质得出∠CAB+∠ACD=180°，从而得到x+y=30°，再根据∠AEC=180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC）得到结果．【详解】解：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∴∠EAB=3x，∠ECD=3x，∴∠FAB=4x，∠FCD=4x，∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACD=180°，∵∠AFC=120°，∴∠FAC+∠FCA=180°-120°=60°，∴∠FAC+∠FCA+∠FAB+∠FCD=180°，即60+4x+4y=180°，解得：x+y=30°，∴∠AEC=180°-（∠EAC+∠ECA）=180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC）=180°-（x+y+60°）=90°故选C．【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，解题的关键是注意整体思想的运用．3．D解析：D【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD；根据角的和差关系可得∠COB+∠AOD=180；根据三角形的内角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°．【详解】解：∵∠DOC=∠AOB=90°，∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB，即∠AOC=∠BOD，故②正确；∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠COB+∠AOD=∠AOB+∠COD=180°，故④正确；如图，AB与OC交于点P，∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°，∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确；没有条件能证明OE平分∠AOD，故①错误．综上，②③④正确，共3个，故选：D．【点睛】本题考查了余角与补角以及三角形内角和定理，熟知余角与补角的性质以及三角形内角和是180°是解答此题的关键．4．B解析：B【分析】根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵∠CEA=60︒，∠BAE=45︒，∴∠ADE= 180︒−∠CEA−∠BAE=75︒，∴∠BDC =∠ADE =75︒，故选：B【点睛】本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．5．A解析：A【分析】利用平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；B 、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；C 、只有当两直线平行时，同位角才会相等；两直线不平行时，同位角不会相等，故错误，是假命题；D 、直角三角形两锐角互余，不会互补，故错误，是假命题．故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义，难度不大．6．D解析：D【分析】先写出逆命题，进而即可判断；根据补角的性质，即可判断②；根据立方根的性质，即可判断③；根据反证法的定义，即可判断④根据等腰三角形的定义和三角形三边长关系，即可判断⑤．【详解】①“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，故该小题错误；②“同角（或等角）的补角相等”是真命题，故该小题错误；③立方根等于它本身的数是0，±1，故该小题错误；④用反证法证明：如果在ABC 中，90C ∠=︒，那么A ∠、B 中至少有一个角不大于45°时，应假设45A ∠>︒，45B ∠>︒，故该小题正确；⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是2cm 和5cm ，则周长是12cm ，故该小题错误．故选D ．【点睛】本题主要考查补角的性质，真假命题，反证法以及等腰三角形的定义，掌握反证法的定义，等腰三角形的定义是解题的关键．7．C解析：C【详解】∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故A 错误；∵12是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故B 错误；∵14是偶数但不是4的倍数，∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例，故C 正确；∵16是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故D 错误.故选C.8．B解析：B【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据等边三角形的判定和直线定理、平行四边形的判定和性质定理、线段垂直平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质定理判断即可．【详解】解：（1）等边三角形的三个内角都相等，是真命题，逆命题为：三个角相等的三角形是等边三角形，是真命题；（2）平行四边形相邻的两个角互补，但不一定相等，本说法是假命题，逆命题为：相邻的两个角都相等的四边形是平行四边形，是真命题；（3）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等，是真命题，逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段垂直平分线上，是真命题；（4）底角相等的两个等腰三角形不一定全等，本说法是假命题，逆命题为：两个全等的等腰三角形的底角相等，是真命题；故选：B ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．A解析：A【分析】由//AB CD 和48B ∠=︒，可得到CFB ∠；再由对顶角相等和三角形内角和性质，从而完成求解．【详解】∵//AB CD∴180********CFB B ∠=-∠=-=∴132EFD CFB ∠=∠=∴1801801322028D EFD E ∠=-∠-∠=--=故选：A ．【点睛】本题考察了平行线和三角形内角和的知识；求解的关键是熟练掌握三角形内角和、平行线的性质，从而完成求解．10．B解析：B【分析】延长DE交BC于F，利用平行线的性质求出∠DFC=∠B=80°，再利用三角形的内角和定理求的度数.出C【详解】延长DE交BC于F，如图，∵AB∥DE，∴∠DFC=∠B=80°，∵∠C+∠D+∠DFC=180°，∴∠C= =180°-∠D-∠DFC=55°，故选：B.【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；三角形的内角和定理.11．B解析：B【分析】根据对顶角的定义对①进行判断；根据补角的定义对②进行判断；根据平行线的性质对③进行判断；根据垂线段公理对④进行判断．【详解】解：相等的两个角不一定为对顶角，所以①为假命题；若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角，所以②为真命题；两直线平行，同旁内角互补，所以③为假命题；垂线段最短，所以④为真命题．故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．12．D解析：D【分析】先根据平行线的性质的得出40'∠=∠=︒FME BEC ，DFE BEF ∠=∠，结合折叠的性质得出∠DFE=∠MFE ，即可得出结论【详解】解：∵四边形ABCD 是长方形，∴AD//BC ，//''D F C E∴40'∠=∠=︒FME BEC ，DFE BEF ∠=∠，∵四边形CDFE 沿EF 折叠得到四边形C D FE ''，∴∠DFE=∠MFE ，MFE MEF ∴∠=∠∴∠EFD=∠MFE=()118040702⨯-=，故选D ．【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．二、填空题13．20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°∠CAD=54°进而得出∠DAE 的度数进而得出答案【详解】∵ADAE 分别是△ABC 的高和角平分线且∠B=76°∠C=36°∴∠B解析：20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠DAE 的度数，进而得出答案．【详解】∵AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAC=180763668︒-︒-︒=︒，∠BAD=9076︒-︒=14°，∠CAD=9036︒-︒=54°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°， ∴∠DAE=34°-14°=20°．故答案为：20°．【点睛】本题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠BAD 和∠CAD 的度数是解题关键． 14．5【分析】由三角形的高得出求出由三角形内角和定理求出由角平分线求出即可得出的度数【详解】解：中是边上的高平分故答案为：5【点睛】本题考查了三角形内角和定理角平分线的定义角的和差计算；熟练掌握三角形内解析：5【分析】由三角形的高得出90ADC ∠=︒，求出DAC ∠，由三角形内角和定理求出 BAC ∠，由角平分线求出EAC ∠，即可得出EAD ∠的度数．【详解】解：ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，90ADC ∴∠=︒，90905040DAC C ，180180405090BAC B C ， AE ∵平分BAC ∠， 11904522EAC BAC ，45405EAD EAC DAC ．故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、角的和差计算；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．15．40【分析】根据三角形的内角和得出再利用角平分线得出利用三角形内角和解答即可【详解】是高是角平分线故答案为40【点睛】本题考查了三角形的内角和定理熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于是解题的解析：40【分析】根据三角形的内角和得出18BAD ∠=，再利用角平分线得出68BAC ∠=，利用三角形内角和解答即可．【详解】AD 是高，72B ∠=，18BAD ∴∠=， 181634BAE ∴∠=+=， AE 是角平分线，68BAC ∴∠=，180726840C ∴∠=--=．故答案为40.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于180是解题的关键．16．20【分析】先根据图形翻折变换的性质得出∠BAD=∠EAD 再根据∠CAB=90°即可求出答案【详解】解：由翻折可得∠EAD=∠BAD 又∠CAB=90°∠EAC=50°∴∠EAC+∠CAD=90°-∠解析：20【分析】先根据图形翻折变换的性质得出∠BAD=∠EAD ，再根据∠CAB=90°即可求出答案．【详解】解：由翻折可得，∠EAD=∠BAD ，又∠CAB=90°，∠EAC=50°，∴∠EAC+∠CAD=90°-∠CAD,∴50°+∠CAD=90°-∠CAD,∴∠CAD=20°.故答案为：20．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及四边形内角和定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．17．如果两个角是同一个角的补角那么这两个角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面把命题的结论写在那么的后面即可【详解】解：命题同角的补角相等改成如果…那么…的形式为：如果两个角是同一个角的补角那么这两个解析：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论写在那么的后面即可．【详解】解：命题“同角的补角相等”改成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．18．180【分析】根据平行线的性质得到根据平角的性质得到然后根据三角形内角和定理即可求解【详解】∵∴∵又∵∴∴故答案为180【点睛】本题考查了平行线的性质—两直线平行同位角相等三角形的内角和解题过程中注解析：180【分析】根据平行线的性质，得到2AHF ∠=∠，根据平角的性质得到180AHF AHC ∠+∠=︒，1180ACH ∠+∠=︒，然后根据三角形内角和定理即可求解．【详解】∵//DE FG∴2AHF ∠=∠∵180AHF AHC ∠+∠=︒，1180ACH ∠+∠=︒又∵180AHC ACH A ∠+∠+∠=︒∴180********A ︒-∠+︒-∠+∠=︒∴12180A ∠+∠-∠=︒故答案为180．【点睛】本题考查了平行线的性质—两直线平行同位角相等，三角形的内角和，解题过程中注意等量代换是本题的关键．19．①②【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可得答案【详解】∵∠1＝∠2∴AB ∥CD ；故①符合题意∵∠BAD+∠ADC ＝180°∴AB ∥CD ；故②符合题意∠ABC ＝∠ADC 不能判定AB ∥CD 故③不符合解析：①②．【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可得答案．【详解】∵∠1＝∠2，∴AB ∥CD ；故①符合题意，∵∠BAD+∠ADC ＝180°，∴AB ∥CD ；故②符合题意，∠ABC ＝∠ADC ，不能判定AB ∥CD ，故③不符合题意，∵∠3＝∠4，∴AD ∥BC ；不能判定AB ∥CD ，故④不符合题意，故答案为：①②【点睛】本题考查平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．20．这两个角所对的边相等【分析】反证法的步骤中第一步是假设结论不成立反面成立可据此进行判断【详解】解：反证法证明：在一个三角形中如果两个角不相等那么这两个角所对的边也不相等证明时可以先假设这两个角所对的解析：这两个角所对的边相等【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【详解】解：反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．证明时，可以先假设这两个角所对的边相等，故答案为：这两个角所对的边相等．【点睛】本题考查的是反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．三、解答题21．（1）当12∠=∠时，//AB CD ，理由见解析；（2）当//AB CD 时，1290∠+∠=︒，理由见解析．【分析】（1）根据角平分线定义得出21AEF ∠=∠，22DEF ∠=∠，再根据∠1＝∠2求出AEF DFE ∠=∠，根据平行线的判定即可推出结论；（2）根据角平分线定义得出112AEM ∠=∠，122CFN ∠=∠，由平行线的性质得出180BEF DFE ∠+∠=︒，利用对顶角相等可得BEF AEM ∠=∠，DFE CFN ∠=∠，即可得出180AEM CFN ∠+∠=︒，等量代换后则得结论1290∠+∠=︒．【详解】解：（1）当12∠=∠时，//AB CD ．理由如下：∵EG 平分AEF ∠，FH 平分DFE ∠（已知），∴21AEF ∠=∠，22DEF ∠=∠（角平分线的定义）．∵12∠=∠时（已知），∴AEF DFE ∠=∠.（等量代换）．∴//AB CD （内错角相等，两直线平行）．（2）当//AB CD 时，1290∠+∠=︒．理由如下：∵EG 平分AEM ∠，FH 平分CFN ∠（已知）， ∴112AEM ∠=∠，122CFN ∠=∠（角平分线的定义）． ∵//AB CD （已知），∴180BEF DFE ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）．∵BEF AEM ∠=∠，DFE CFN ∠=∠（对顶角相等），∴180AEM CFN ∠+∠=︒（等量代换）． ∴1()902AEM CFN ∠+∠=︒．即119022AEM CFN ∠+∠=︒（等式的性质）． ∴1290∠+∠=︒（等量代换）．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义等知识，掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键．22．（1）8,9；（2）671.154B A 【分析】（1）根据新定义的法则进行运算即可得到答案；（2）先由（1）的运算发现并总结规律，可得()h A 的值等于A 的十位数字，再运用规律结合()()35h A h B =进行合理的分类讨论，分4种情况：()()5,7h A h B ==或()()7,5,h A h B == ()()35,1h A h B ==或()()1,35h A h B ==，再根据新定义可得答案．【详解】解：（1）由定义可得：()18+81+17+71+78+87352===84417448h ， ()699663369339396=9.4444693h +++++== （2）探究： 133112212332(132)344h +++++==， ()18+81+17+71+78+87352===84417448h ， ()699663369339396=9.4444693h +++++==发现并总结规律：()h A 的值等于A 的十位数字，A ，B 为两个“西西数”，且()()35h A h B =， ()()5,7h A h B ∴==或()()7,5,h A h B ==而()()35,1h A h B ==或()()1,35h A h B ==不合题意舍去，B A的值最大，则B 最大，A 最小， ()()5,7,h A h B ∴==当()5h A =时，154A =或451A =或253A =或352A =，当()7h B =时，671B =或176B =或572B =或275B =或374B =或473.B =A ∴最小为154，B 最大为671，此时B A 的值最大为 671.154B A本题考查的是新定义运算，同时考查了规律探究，弄懂新定义的运算法则，理解并运用规律，掌握合理的分类讨论是解题的关键．23．（1）72︒；（2）40︒．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP=12ADC ∠ ，然后利用三角形外角的性质即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，所以∠A+∠C=2∠P ，即可得解．【详解】解：（1）∵DP 平分∠ADC ，∴∠ADP=∠PDF=12ADC ∠， ∵60ADC ∠=︒，∴30ADP ∠=︒，∴304272AEP ADP A ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）∵BP 平分∠ABC ，DP 平分∠ADC ，∴∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，∴∠A+∠C=2∠P ，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12（38°+42°）=40°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．24．72︒【分析】设∠A=∠ABD=∠DBC=x ，则∠ABC=2∠A=2x ，根据三角形的内角和定理得到x+2x+2x=180°，求出x 即可得到答案.【详解】设∠A=∠ABD=∠DBC=x ，则∠ABC=2∠A=2x ，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，x=36°，∴∠C=2x=72°.此题考查三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，设设∠A=∠ABD=∠DBC=x ，用含x 的式子表示三角形的内角和是解题的关键.25．（1）直线AD 与BC 互相平行，理由见解析；（2）40DBE ∴∠=︒（3）存在，60BEC ADB ∠=∠=︒．【分析】（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明180ADC C ∠+∠=︒，即可证得//AD BC ；（2）由直线//AB CD ，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得ABC ∠的度数，又由12DBE ABC ∠=∠，即可求得DBE ∠的度数．（3）首先设ABD DBF BDC x ∠=∠=∠=︒，由直线//AB CD ，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得BEC ∠与ADB ∠的度数，又由BEC ADB ∠=∠，即可得方程：4080x x ︒+︒=︒-︒，解此方程即可求得答案．【详解】解：（1）直线AD 与BC 互相平行，理由：//AB CD ，180A ADC ∴∠+∠=︒，又A C ∠=∠180ADC C ∴∠+∠=︒，//AD BC ∴；（2）//AB CD ，18080ABC C ∴∠=︒-∠=︒，DBF ABD ∠=∠，BE 平分CBF ∠，11140222DBE ABF CBF ABC ∴∠=∠+∠=∠=︒；（3）存在．设ABD DBF BDC x ∠=∠=∠=︒．//AB CD ，40BEC ABE x ∴∠=∠=︒+︒；//AB CD ，18080ADC A ∴∠=︒-∠=︒，80ADB x ∴∠=︒-︒．若BEC ADB ∠=∠，则4080x x ︒+︒=︒-︒，得20x ︒=︒．∴存在60BEC ADB ∠=∠=︒．【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定．解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合与方程思想的应用．【分析】由题意，先求出30B ∠=︒，然后得到60=︒∠BAE ，即可求出答案．【详解】解：如图：AD 平分BAC ∠224080BAC BAD ∴∠=∠=⨯︒=︒70C ∠=︒30B ∴∠=︒AE BC ⊥于点E90AED ∴∠=︒903060BAE ∴∠=︒-︒=︒604020DAE BAE BAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及余角的定义，解题的关键是正确的求出角的度数进行计算．。

(典型题)初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》测试题(含答案解析)

一、选择题1．如图，BE ，CF 都是△ABC 的角平分线，且∠BDC =110°，则∠A 的度数为（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°2．下列命题是真命题的是（）A ．平行于同一直线的两条直线平行B ．两直线平行，同旁内角相等C ．同旁内角互补D ．同位角相等 3．下列命题的逆命题是真命题的是（）．A ．3的平方根是3B ．5是无理数C ．1的立方根是1D ．全等三角形的周长相等 4．一个三角形的三个内角中（）A ．至少有一个等于90°B ．至少有一个大于90°C ．不可能有两个大于89°D ．不可能都小于60° 5．如图，AD ，AE 分别为△ABC 的高线和角平分线，DF ⊥AE 于点F ，当∠ADF ＝69°，∠C＝65°时，∠B 的度数为（）A ．21°B ．23°C ．25°D ．30° 6．如图，△CEF 中，∠E=70°，∠F=50°，且AB ∥CF ，AD ∥CE ，连接BC ，CD ，则∠A 的度数是（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°7．如图，//AB CD ，一副三角尺按如图所示放置，18AEG ∠=︒，则HFD ∠为（）A ．23B ．33C ．36D ．38 8．在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝50°，则∠C =（） A ．130°B ．50°C ．40°D ．20° 9．如图，在四边形ABCD 中，要得到AB CD ∥，只需要添加一个条件，这个条件可以是（）A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．BD ∠=∠D ．12180B ∠+∠+∠=︒ 10．如图，//AB CD ，BE 交CD 于点F ，48B ∠=︒，20E ∠=︒，则D ∠的度数为（）．A ．28B ．20C ．48D ．6811．如图，现给出下列条件：①1B ∠=∠，②25∠=∠，③34∠=∠，④180BCD D ︒∠+∠=．⑤180B BCD ︒∠+∠=，其中能够得到//AB CD 的条件有（）A ．①②④B ．①③⑤C ．①②⑤D ．①②④⑤ 12．如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，80A ∠=︒，40ABC ∠=︒，那么BDC ∠=（）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒二、填空题13．如图，在△ABC 中，∠A ＝50°，BE 平分∠ABC ，CE 平分外角∠ACD ，则∠E 的度数为________．14．如图，65A ∠=︒，75B ∠=︒，将纸片的一角折叠，使点C 落在ABC 外，若218∠=︒，则1∠的度数为________________．15．若一个三角形三个内角度数的比为1:3:6，则其最大内角的度数是________． 16．如图所示，在ABC 中，80A ∠=︒，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠的平分线相交于1A 点，1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于A 点，依此类推，4A BC ∠与4A CD ∠的平分线相交于5A 点，则5A ∠的度数是_________．17．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A 落在F 处，折痕为BC ，FBD ∠的角平分线为BE ，将FBD ∠沿BF 折叠使BE ，BD 均落在FBC ∠的内部，且BE 交CF 于点M ，BD 交CF 于点N ，若BN 平分CBM ∠，则ABC ∠的度数为_________．18．已知直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为___________．19．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点B落在图中的B'处，设∠B'EC＝∠1，∠B'DA ＝∠2．若∠B＝25°，则∠2﹣∠1＝_____°．20．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的3倍，我们把这个三角形叫做“三倍角三角形”．在一个“三倍角三角形”中有一个内角为60°，则另外两个角分别为_____．三、解答题21．阅读感悟：如下是小明在学习完“证明三角形内角和定理”后对所学知识的整理和总结，请仔细阅读，并完成相应的任务．三角形内角和定理的证明今天，在老师的带领下学习了三角形内角和定理证明的多种方法，我对这些方法进行了梳理，主要分为两大类：动手实践操作类①量角器测量法：通过引导同学们画出任意三角形，每人都用量角器测量并将所测得的角度相加，得到结论；②折叠法：如图1，将①所画的三角形剪下并折叠，使每个角都落到三角形一边的同一点处，发现三个角正好可拼为一个平角，进而得到相关结论；③剪拼法：如图2，将方法②用过的三角形展开之后，随意的将某两个角撕下之后，拼到第三个角处，发现三个角正好可拼为一个平角，故而得到相应的结论．证明类（思路：由实际操作的后两种方法得到的启发，我们可以通过构造辅助线，将所证明的三个角通过某些特殊的方法转化到一条直线上，利用所学相关数学知识来证明三角形内角和）：①如图3，过三角形的某个顶点作对边的平行线，利用平行线性质来证明；②如图4，延长三角形的某一条边，并过相应的点做一条平行线，进而利用平行线性质来证明；……任务：（1）“折叠法”和“剪拼法”中得到相应结论的根据是：_________．（2）“证明类”的方法中主要体现了_______的数学思想；A ．方程B ．类比C ．转化D ．分类（3）结合以上数学思想，请在图5中画出一种不同于以上思路的证明方法，并证明三角形内角和定理．22．已知，//AB CD ，点P 在AB 、CD 之间，连结AP 、CP ．（1）如图1，求A C P ∠+∠+∠的度数（提供两种作辅助线的方法：方法一：过点P 作AB 的平行线；方法二：连结AC ）；（2）已知100APC ∠=︒，PAB ∠和PCD ∠的角平分线AO 、CO 交于点0，请你画出草图，并直接写出AOC ∠的度数．23．已知，如图，ADE B ∠=∠，12∠=∠，GF AB ⊥．求证：CD AB ⊥；下面是证明过，请你将它补充完整证明：∵ADE B ∠=∠ ∴ // （）∴13∠=∠又∵12∠=∠∴23∠∠=∴ // （）∴FGB ∠=∵FG AB ⊥∴FGB ∠=∴CDB ∠=∴CD AB ⊥24．如图1，AD //BC ，BAD ∠的平分线交BC 于点G ，90BCD ∠=︒．（1）求证：BAG BGA ∠=∠（2）如图2，若50ABC ∠=︒，BCD ∠的平分线交AD 于点E ，交射线GA 于点F ，AFC ∠的度数．（3）如图3，线段AG 上有一点P ，满足2ABP PBG ∠=∠，过点C 作CH //AG ．若在直线AG 上取一点M ，使PBM DCH ∠=∠，请求:ABM GBM ∠∠的值．25．综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一副三角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O 重合，边CD 与边AB 重合，试求AOC ∠的度数．（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形1，完成填空）解：∵45OCD ∠=︒，60OBC ∠=︒∴BOC ∠=__________（___________________）又∵90AOB ∠=︒，∴AOC ∠=__________．（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点O 逆时针旋转DOC △，当DC AO //时，求得AEO ∠的度数．（请你写出解答过程）（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3），继续绕顶点O 逆时针旋转DOC △，使点B 落在边DC 上，此时发现1∠与2∠之间的数量关系．以下是他的解答过程，请补充完整解：在AOE △与BCE 中，∵12AEO A CEB C ∠+∠+∠=∠+∠+∠又∵AEO CEB ∠=∠（___________________）A ∠=__________，C ∠=__________，∴12A C ∠+∠=∠+∠12∠-∠=__________．26．已知在DEF ∆中，70E F ∠+∠=︒，现将DEF ∆放置在ABC ∆上，使得D ∠的两条边DE ，DF 分别经过点B 、C ．（1）如图①所示，若50A ∠=︒，且//BC EF 时，ABC ACB ∠+∠= 度，DBC DCB ∠+∠= 度，ABD ACD +=∠∠ 度；（2）如图②，改变ABC ∆的位置，使得点D 在ABC ∆内，且BC 与EF 不平行时，请探究ABD ACD ∠+∠与A ∠之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论；（3）如图③，改变ABC ∆的位置，使得点D 在ABC ∆外，且BC 与EF 不平行时，请探究ABE ∠、ACF ∠、A ∠之间存在怎样的数量关系，请直接写出你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．【详解】解：∵BE 、CF 都是△ABC 的角平分线，∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)，=180°-2(∠DBC+∠BCD)∵∠BDC=180°-(∠DBC+∠BCD)，∴∠A=180°-2(180°-∠BDC)∴∠BDC=90°+12∠A ， ∴∠A=2(110°-90°)=40°．故答案为：A ．本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．2．A解析：A【分析】对照平行线的性质和定理，逐一判断即可.【详解】∵平行于同一直线的两条直线平行，∴选项A正确；∵两直线平行，同旁内角互补，∴选项B错误；∵两直线平行，同旁内角互补，∴选项C错误；∵两直线平行，同位角相等，∴选项D错误；故选A.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟记性质和判定的条件和结论是解题的关键.3．C解析：C【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．【详解】A3的逆命题是：3的平方根，是假命题；BC、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；D、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；故选：C．【点睛】此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．4．D解析：D【分析】根据三角形的内角性质、三角形的内角和定理逐项判断即可得．A 、反例：锐角三角形的三个内角均小于90︒，此项错误；B 、反例：锐角三角形的三个内角均小于90︒，此项错误；C 、反例：一个三角形的三个内角分别为89.5,89.5,1︒︒︒，此项错误；D 、因为三角形的内角和等于180︒，所以不可能都小于60︒，此项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．5．B解析：B【分析】依据三角形内角和定理即可得到∠DAF 和∠CAD 的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠BAC 的度数，最后依据三角形内角和定理即可得到∠B 的度数．【详解】解：∵DF ⊥AE ，∠ADF ＝69°∴∠DAF ＝21°，∵AD ⊥BC ，∠C ＝65°，∴∠CAD ＝25°，∴∠CAE ＝∠DAF+∠CAD ＝21°+25°＝46°，又∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAC ＝2∠CAE ＝92°，∴∠B ＝180°﹣∠BAC ﹣∠C ＝180°﹣92°﹣65°＝23°，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理：三角形内角和是180°．6．D解析：D【分析】连接AC 并延长交EF 于点M ．由平行线的性质得31∠=∠，24∠∠=，再由等量代换得3412BAD FCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠，先求出FCE ∠即可求出A ∠．【详解】连接AC 并延长交EF 于点M ．∵AB CF ， ∴31∠=∠， ∵AD CE ， ∴24∠∠=，∴3412BAD FCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∵180180705060FCE E F ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴60BAD FCE ∠=∠=︒，故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．7．B解析：B【分析】过点G 作AB 平行线交EF 于P ，根据平行线的性质求出∠EGP ，求出∠PGF ，根据平行线的性质、平角的概念计算即可．【详解】解：过点G 作AB 平行线交EF 于P ，由题意易知，AB ∥GP ∥CD ，∴∠EGP=∠AEG=18°，∴∠PGF=72°，∴∠GFC=∠PGF=72°，∴∠HFD=180°-∠GFC-∠GFP-∠EFH=33°．故选：B ．【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．8．B解析：B【分析】直接利用三角形内角和定理得到∠C 的度数即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠A=80°，∠B=50°，∴∠C=180°-80°-50°=50°，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，正确把握定义是解题的关键．9．B解析：B【解析】A 不可以；∵∠1=∠3，∴AD ∥BC(内错角相等,两直线平行)，不能得出AB ∥CD ，∴A 不可以；B 可以；∵∠2=∠4，∴AB ∥CD(内错角相等,两直线平行)；∴B 可以；C 、D 不可以；∵∠B=∠D,不能得出AB ∥CD ；∵∠1+∠2+∠B=180°，∴AD ∥BC(同旁内角互补,两直线平行)，不能得出AB ∥BC ；∴C 、D 不可以；故选B.10．A解析：A【分析】由//AB CD 和48B ∠=︒，可得到CFB ∠；再由对顶角相等和三角形内角和性质，从而完成求解．【详解】∵//AB CD∴180********CFB B ∠=-∠=-=∴132EFD CFB ∠=∠=∴1801801322028D EFD E ∠=-∠-∠=--=故选：A ．【点睛】本题考察了平行线和三角形内角和的知识；求解的关键是熟练掌握三角形内角和、平行线的性质，从而完成求解．11．C解析：C【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．【详解】①∵∠1=∠B，∴AB∥CD，故本小题正确；②∵∠2=∠5，∴AB∥CD，故本小题正确；③∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故本小题错误；④∵∠BCD+∠D=180°，∴AD∥CB，故本小题错误；⑤∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD，故本小题正确．综上，正确的有①②⑤．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．12．D解析：D【分析】根据三角形的内角和得出∠ACB的度数，再根据角平分线的性质求出∠DCA的度数，再根据三角形内角与外角的关系求出∠BDC的度数．【详解】解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-80°-40°=60°，∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB=30°（角平分线的性质），∴∠ACD＝12∴∠BDC=∠ACD+∠A=30°+80°=110°（三角形外角的性质）．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三角形外角的知识，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，难度适中．二、填空题13．25°【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC∠ACD＝2∠DCE根据三角形外角性质得出2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC求出∠A＝2∠E即可求出答案【详解】解：∵BE平分∠ABCCE平分∠A解析：25°【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，根据三角形外角性质得出2∠E ＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案．【详解】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠EBC，∴2∠DCE＝2∠E＋2∠EBC，∴2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，∴∠A＝2∠E，∵∠A＝50°，∴∠E＝25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．14．98°【分析】先根据三角形的内角和定理得出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5解析：98°【分析】先根据三角形的内角和定理得出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，即可得到∠3+∠4=82°，然后利用平角的定义即可求出∠1．【详解】∵∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，∴∠C′=∠C=40°，而∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，∠2=18°，∴∠3+18°+∠4+40°+40°=180°，∴∠3+∠4=82°，∴∠1=180°-82°=98°．【点睛】本题综合考查了三角形内角和定理、外角定理以及翻折变换的问题，而翻折变换实际上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，明确各个角之间的等量关系，是解决本题的关键．15．108°【分析】已知三角形三个内角的度数之比可以设一份为x°根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数确定最大的内角的度数【详解】解：设一份为x°则三个内角的度数分别为x°3x°6x°根据解析：108°【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为x°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，确定最大的内角的度数．【详解】解：设一份为x°，则三个内角的度数分别为x°，3x°，6x°，根据三角形内角和定理，可知x+3x+6x＝180，解得x＝18．所以6x°＝108°，即最大的内角是108°．故答案为108°【点睛】此题考查三角形的内角和定理，利用三角形内角和定理和列方程求解可简化计算．16．5度【分析】由∠A1CD=∠A1+∠A1BC∠ACD=∠ABC+∠A而A1BA1C分别平分∠ABC和∠ACD得到∠ACD=2∠A1CD∠ABC=2∠A1BC于是有∠A=2∠A1同理可得∠A1=2∠A解析：5度【分析】由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此推出∠A=25∠A5，而∠A=80°，即可求出∠A5．【详解】解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，…，∴∠A=25∠A 5，∵∠A=80°，∴∠A 5=80°÷32=2.5°．故答案为：2.5°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质．17．5°【分析】根据角平分线的定义可得再根据折叠的性质可得再根据平分可得进而可得【详解】解：∵的角平分线为∴又∵与关于对称∴∵与关于对称∴又∵平分∴又∵为折痕∴∵∴又∵∴∴又∵∴故答案为：675°【点睛解析：5°．【分析】根据角平分线的定义可得1FBE ∠=∠，再根据折叠的性质可得1MBF FBE ∠=∠=∠，NBF FBD ∠=∠，CBA CBF ∠=∠，再根据BN 平分CBM ∠可得CBN NBM ∠=∠，进而可得318067.58ABC ∠=⨯=．【详解】解：∵FBD ∠的角平分线为BE ，∴1FBE ∠=∠，又∵BM 与BE 关于BF 对称，∴1MBF FBE ∠=∠=∠， ∵BN 与BD 关于BF 对称，∴NBF FBD ∠=∠FBE EBD =∠+∠11=∠+∠21=∠，又∵BN 平分CBM ∠，∴CBN NBM ∠=∠，又∵BC 为折痕，∴CBA CBF ∠=∠CBN NBF =∠+∠21NBM =∠+∠，∵NBM NBF MBF ∠=∠-∠211=∠=∠1=∠，∴31CBA ∠=∠，又∵180CBA CBF FBD ∠+∠+∠=，∴3112121180∠+∠+∠+∠=，∴81180∠=，又∵31ABC ∠=∠， ∴318067.58ABC ∠=⨯=，故答案为：67.5°．【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，平角的定义，解题的关键是理解题意，找到31808ABC ∠=⨯． 18．40°【分析】如图过E 作EF ∥AB 则AB ∥EF ∥CD 根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求得答案【详解】解：如图过E 作EF ∥AB 则AB ∥EF ∥CD ∴∠1＝∠3∠2＝∠4∵∠3+∠4＝180°－9解析：40°【分析】如图，过E 作EF ∥AB ，则AB ∥EF ∥CD ，根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求得答案．【详解】解：如图，过E 作EF ∥AB ，则AB ∥EF ∥CD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠3+∠4＝180°－90°－30°=60°，∴∠1+∠2＝60°，∵∠1＝20°，∴∠2＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题以三角板为载体，主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，正确添加辅助线、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．19．50【分析】由折叠性质求得∠B′由三角的外角性质用∠1表示∠2进而求得∠2﹣∠1【详解】如图：∵∠B＝25°∴∠B′＝∠B＝25°∵∠3＝∠1+∠B′＝∠1+25°∵∠2＝∠3+∠B＝∠1+25°+解析：50【分析】由折叠性质求得∠B′，由三角的外角性质，用∠1表示∠2，进而求得∠2﹣∠1．【详解】如图：∵∠B＝25°，∴∠B′＝∠B＝25°，∵∠3＝∠1+∠B′＝∠1+25°，∵∠2＝∠3+∠B＝∠1+25°+25°，∴∠2﹣∠1＝50°，故答案为：50．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，折叠的性质，关键是根据三角形的外角性质表示出∠1与∠2的关系式．20．100°20°或90°30°【分析】分三种情形讨论求解即可解决问题【详解】解：在△ABC中不妨设∠A＝60°①若∠A＝3∠C则∠C＝20°∠B＝100°②若∠C＝3∠A则∠C＝180°（不合题意）③解析：100°，20°或90°，30°【分析】分三种情形讨论求解即可解决问题．【详解】解：在△ABC中，不妨设∠A＝60°．①若∠A＝3∠C，则∠C＝20°，∠B＝100°．②若∠C＝3∠A，则∠C＝180°（不合题意）．③若∠B＝3∠C，则∠B＝90°，∠C＝30°，综上所述，另外两个角的度数为100°，20°或90°，30°．故答案为：100°，20°或90°，30°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的运用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．三、解答题21．（1）平角为180︒；（2）C ；（3）见解析【分析】（1）分析题意，即可得到“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为180︒进行证明；（2）由题意，证明类主要是通过角度的转化，从而进行证明；（3）过点D 作//DE AC 交AB 于,//E DF AB 交AC 于F ，由角度的关系，得到A EDF ∠=∠，然后根据平角的定义，即可得到结论成立．【详解】解：（1）根据题意，“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为180︒进行证明；故答案为：平角为180︒；（2）根据题意，“证明类”的方法中主要体现了角度的转化，从而进行证明结论成立；故选：C ；（3）证明：如图，过点D 作//DE AC 交AB 于,//E DF AB 交AC 于F ，,,180,180FDC B EDB C A AED EDF AED ∴∠=∠∠=∠∠+∠=︒∠+∠=︒． A EDF ∴∠=∠，180A B C EDF FDC EDB CDB ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠=︒．∴三角形的内角和为180︒．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的证明，解题的关键是掌握证明三角形内角和等于180°的方法．22．（1）360︒；（2）130AOC ∠=︒或50︒【分析】(1)连结AC ，根据三角形的内角和定理可得∠P+∠PAC+∠PCA=180°，再根据AB//CD 得到∠BAC+∠DCA=180°即可求得．(2)分两种情况，点P 在AC 的左侧，点P 在AC 的右侧，由（1）中的得到的结论，∠P+∠PAB+∠PCD=360°，再由平行线的性质和角平分线的定理，可以得到∠AOC 的度数．【详解】（1）连结AC∴180P PAC PCA ∠+∠+∠=︒，∵//AB CD∴180BAC DCA ∠+∠=︒，∴360PAB PCD P ∠+∠+∠=︒，（2）如图a ，点P 在AC 的左侧，130AOC ∠=︒，∵∠P+∠PAB+∠PCD=360° ，又∠APC=100° ，∴∠PAB+∠PAC=260° ，又AO 、CO 是∠PAB 和 ∠PCD 的角平分线，∴∠PAO+∠PCO=12×260° =130° ， ∴∠AOC=360° -100° -130° =130° ，如图b ，点P 在AC 的右侧，50AOC ∠=︒，过点P 作MN ∥AB ，∵MN ∥AB ，CD ∥AB ，∴MN ∥CD ，∵MN ∥AB ，∴∠APM=∠BAP ，∵MN ∥CD ，∴∠CPM=∠PCD ， ∴∠BAP+∠PCD=∠APM+∠CPM=∠APC=100°，又AO 、CO 是∠PAB 和 ∠PCD 的角平分线，∴∠BAO+∠DCO= 12×100° =50°， ∴∠AOC=∠BAO+∠DCO=50° ，∴∠AOC=130° 或50°．【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，以及角平分线定理，三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用平行线的性质和角的平分线的定理求角的度数．23．DE ，BC ，同位角相等，两直线平行；GF ，CD ，同位角相等，两直线平行；CDB ∠，90，90【分析】根据平行线、垂线的性质分析，即可将证明过程补充完整．【详解】证明：∵ADE B ∠=∠∴//DE BC （同位角相等，两直线平行）∴13∠=∠（两直线平行，内错角相等）又∵12∠=∠∴23∠∠=∴//GF CD （同位角相等，两直线平行）∴FGB CDB ∠=∠∵FG AB ⊥∴ 90FGB ∠=∴90CDB =∠∴CD AB ⊥故答案为：DE ，BC ，同位角相等，两直线平行；GF ，CD ，同位角相等，两直线平行；CDB ∠，90，90．【点睛】本题考查了平行线、垂线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质定理，从而完成求解．24．（1）见解析；（2）20︒；（3）1:5或7:5．【分析】（1）由两直线平行，内错角相等证得DAG AGB ∠=∠，再由角平分线的性质得到12BAG DAG BAD ∠=∠=∠，据此解题；（2）由等腰三角形的性质结合三角形内角和解得65BGA ∠=︒，再由补角的定义解得115AGC ∠=︒，接着由角平分线的性质解得ECB ∠的度数，最后根据三角形内角和180°解题；（3）设,1802AGB BAG ABG αα∠=∠=∠=︒-，根据题意，解得ABP PBG ∠∠、的度数，再根据两直线平行，同位角相等解得HCB AGB α∠=∠=，继而解得DCH PBM ∠∠、的度数，接着分两种情况讨论：当M 在BP 上方时，或当M 在BP 下方时，分别解得ABM GBM ∠∠、的度数，即可解题．【详解】解：（1）//AD BCDAG AGB ∴∠=∠AC 平分BAD ∠ 12BAG DAG BAD ∴∠=∠=∠ ∴∠=∠BAG BGA ；（2）50ABC ∠=︒1(180)652BGA ABG ∴∠=︒-∠=︒ 180115AGC AGB ∴∠=︒-∠=︒CE 平分DCB ∠1452ECB DCB ∴∠=∠=︒ 18020AFC AGC ECB ∴∠=︒-∠-∠=︒；（3）设,1802AGB BAG ABG αα∠=∠=∠=︒-2ABP PBG ∠=∠2412033ABP ABG α∴∠=∠=︒- 126033PBG ABG α∠=∠=︒- //CH AGHCB AGB α∴∠=∠=90DCH α∴∠=︒-PBM DCH ∴∠=∠90PBM α∴∠=︒-90α<︒160902αα∴︒-<︒- 4120903αα∴︒->︒- PBG PBM ABP ∴∠<∠<∠当M 在BP 上方时，1303ABM ABP PBM α∠=∠-∠=︒-51503GBM PBG PBM α∠=∠+∠=︒- :1:5ABM GBM ∠∠=当M 在BP 下方时，72103ABM ABP PBM α∠=∠+∠=︒- 51503GBM PBG PBM α∠=∠+∠=︒- 7:5ABM GBM ∠∠=:综上所述，:1:5ABM GBM ∠∠=或7:5ABM GBM ∠∠=:．【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．25．（1）75︒；三角形内角和是180︒；15︒；（2）105︒；见解析；（3）对顶角相等；30；45︒；15︒【分析】（1）利用三角形内角和定理求解即可；（2）利用平行线的性质求得∠AOC=45°，再利用三角形内角和定理求解即可；（3）在△AOE 与△BCE 中，利用三角形内角和定理得到∠1+∠A=∠2+∠C ，计算即可求解．【详解】解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°，∴∠BOC=75°（三角形内角和是180°），又∵∠AOB=90°，∴∠AOC=15°；（2）解：∵DC ∥AO ，∠OCD=45°，∴∠AOC=45°（两直线平行，内错角相等），又∵∠BAO=30°，∴∠AEO=180°−∠AOC−∠BAO=180°−45°−30°=105°（三角形内角和是180°）；（3）在△AOE 与△BCE 中，∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C ，又∵∠AEO=∠CEB （对顶角相等），∠A=30°，∠C=45°，∴∠1+∠A=∠2+∠C ，∠1−∠2=15°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 26．（1）130；70；60；（2）110ABD ACD A ∠+∠=︒-∠，见解析；（3）110ABE ACF A ∠+∠=︒+∠【分析】（1）根据三角形的内角和即可求出ABC ACB ∠+∠的度数，根据平行线的性质可得到DBC DCB ∠+∠的度数，利用角度的和差关系即可求出ABD ACD ∠+∠的度数；（2）同（1）分别求出ABC ACB ∠+∠，DBC DCB ∠+∠和ABD ACD ∠+∠的度数，故可求解；（3）先求出ABC ACB ∠+∠，DBC DCB ∠+∠，再根据平角的性质即可计算求解．【详解】（1）∵50A ∠=︒，在△ABC 中，ABC ACB ∠+∠=180°-50°=130°，∵//BC EF∴DBC E ∠=∠,DCB F ∠=∠∴DBC DCB ∠+∠=70E F ∠+∠=︒∴ABD ACD +=∠∠（ABC ACB ∠+∠）-()DBC DCB ∠+∠=60°故答案为：130；70；60；（2）由题意，得()180110D E F ∠=︒-∠+∠=︒所以18070DBC DCB D ∠+∠=︒-∠=︒∵180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠∴()()18070110ABD ACD ABC ACB DBC DCB A A ∠+∠=∠+∠-∠+∠=︒-∠-︒=︒-∠即110ABD ACD A ∠+∠=︒-∠（3）由题意，得()180110D E F ∠=︒-∠+∠=︒∴18070DBC DCB D ∠+∠=︒-∠=︒∵180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠∴360ABE ACF ∠+∠=︒-（DBC DCB ∠+∠）-（ABC ACB ∠+∠）=110A ︒+∠ 即110ABE ACF A ∠+∠=︒+∠．【点睛】此题主要考查三角形的内角和及平行线的性质，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°．。

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第7章平行线的证明》单元同步练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第7章平行线的证明》单元同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（）A．∠3＝∠4B．∠1＝∠5C．∠4+∠5＝180°D．∠3+∠5＝180°2．如图，若∠1＝∠2，∠3＝48°22'，则∠4的度数为（）A．131°38'B．129°22'C．128°38'D．125°22'3．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（）A．45°+n°B．90°﹣n°C．90°+n°D．180°﹣n°4．若三角形三个内角度数之比为1：3：5，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形5．如图，在△ABC中，AD和BE是角平分线，其交点为O，若∠BOD＝70°，则∠ACB 的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°6．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．平行、相交或垂直7．下面说法正确的个数为（）（1）在同一平面内，过直线外一点有一条直线与已知直线平行；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）两角之和为180°，这两个角一定邻补角；（4）同一平面内不平行的两条直线一定相交．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，将直角三角形ABC折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，若∠C＝90°，∠A ＝35°，则∠DBC的度数为（）A．40°B．30°C．20°D．10°9．下列四个命题是真命题的是（）A．同位角相等B．互补的两个角一定是邻补角C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行D．相等的角是对顶角10．如图，AB∥CD，用含α，β，γ的式子表示θ，则θ＝（）A．α+γ﹣βB．β+γ﹣αC．180°+γ﹣α﹣βD．180°+α+β﹣γ二．填空题11．如图，共有组平行线段．12．如果直线a∥b，b∥c，那么直线a与c的位置关系是．13．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别以AB、AC为对称轴翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝29：4：3，则∠α的度数为．14．一个三角形的最大角不会小于度．三．解答题15．写出下列命题的条件和结论，并指出它是真命题还是假命题：（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；（2）等腰三角形底边上的高和底边上的中线、顶角的平分线互相重合．16．写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）若a＝b，则a3＝b3；（2）个位数是0的数能被2整除．17．如图所示，在长方体中．（1）图中和AB平行的线段有哪些？（2）图中和AB垂直的直线有哪些？18．如图，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2＝90°．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．19．已知：△ABC，∠A、∠B、∠C之和为多少？为什么？解；∠A+∠B+∠C＝180°理由：作∠ACD＝∠A，并延长BC到E∵∠ACD＝∠（已作）AB∥CD（）∴∠B＝（）而∠ACB+∠ACD+∠DCE＝180°∴∠ACB++＝180°（）20．如图，在△ABC中，∠B＝24°，∠ACB＝104°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，AE 平分∠BAC．（1）求∠DAE的度数．（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，其它条件不变，请直接写出∠DAE与α、β的数量关系．21．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个判断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c，以其中两个判断为条件，一个判断为结论组成一个真命题，这样的命题有哪些？试写出来．22．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：（1）在图1中，写出∠A、∠B、∠C、∠D之间关系为；（2）如图2，在（1）的结论下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N．①仔细观察，在图2中有个以线段AD为边的“8字形”；②若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数；③∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠D、∠B之间数量关系，不需说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD；B、∵∠1＝∠5，∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD；C、根据∠4+∠5＝180°不能推出AB∥CD，故本选项不能判定AB∥CD；D、∵∠3+∠5＝180°，∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD；故选：C．2．解：∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠3＝∠5，∵∠3＝48°22'，∴∠5＝48°22'，∴∠4＝180°﹣∠5＝131°38'，故选：A．3．解：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，又∵∠BAC＝n°，∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180°﹣90°﹣n°＝90°﹣n°，∴∠BOC＝∠EBD+∠BEO＝90°﹣n°+90°＝180°﹣n°．故选：D．4．解：设三角分别为x，3x，5x，依题意得x+3x+5x＝180°，解得x＝20°．∴三个角的度数分别为20°，60°，100°，∴这个三角形是钝角三角形．故选：C．5．解：∵∠BOD是△ABO的外角，∴∠ABO+∠BAO＝∠BOD＝70°，又∵AD和BE是角平分线，∴∠ABC+∠BAC＝2（∠ABO+∠BAO）＝2×70°＝140°，∴∠ACB＝180°﹣140°＝40°，故选：D．6．解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．故选：C．7．解：在同一平面内，过直线外一点有一条直线和已知直线平行，故（1）正确；只有在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，故（2）错误；如图：∠ABC＝∠DEF＝90°，且∠ABC+∠DEF＝180°，但是两角不是邻补角，故（3）错误；同一平面内不平行的两条直线一定相交正确，因为不特别指出时，一般认为，两条直线重合就是同一条直线，所以所提出的命题是正确的，故（4）正确．即正确的个数是2个．故选：B．8．解：∵∠C＝90°，∠A＝35°，∴∠ABC＝55°，由折叠可得，∠A＝∠ABD＝35°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝55°﹣35°＝20°．故选：C．9．解：两直线平行、同位角相等，A是假命题；互补的两个角不一定是邻补角，B是假命题；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，C是真命题；相等的角不一定是对顶角，D是假命题；故选：C．10．解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥CD，由平行线的传递性得，AB∥EM∥NF∥CD，∵EM∥AB，∴∠α＝∠AEM，∵FN∥CD，∴∠β＝∠CFN，∵EM∥FN，∴∠MEF+∠EFN＝180°，又∠θ＝∠AEM+∠MEF＝∠α+180°﹣（∠γ﹣∠β）＝180°+∠α+∠β﹣∠γ．故选：D．二．填空题11．解：图中的平行线段有AD∥EF；BD∥EF；DE∥FB；DE∥FC；DF∥AE；DF∥EC；DE∥BC；DF∥AC；EF∥AB．共有9对．故答案为：9．12．解：∵在同一平面内，直线a∥b，直线b∥c，∴直线c与直线a的位置关系是：a∥c．故答案为：a∥c．13．解：由题可得，∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠EBA，∵∠1：∠2：∠3＝29：4：3，∴∠2+∠3＝180°×＝35°，∴∠α＝∠EBC+∠DCB＝2（∠2+∠3）＝2×35°＝70°，故答案为：70°．14．解：由分析可知：如果三角形的最大角小于60°，那么此三角形的内角和小于180度，与三角形的内角和是180度矛盾．所以三角形的最大角不小于60度；故答案为：60．三．解答题15．解：填表如下：题号题设结论真假性（1）等腰三角形有一个角是60°这个三角形是等边三角形真真（2）三角形是等腰三角形底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合16．解：（1）若a＝b，则a3＝b3的逆命题为若a3＝b3，则a＝b，是真命题；（2）个位数是0的数能被2整除的逆命题为能被2整除的数的个位数是0，是假命题．17．解：（1）AB∥A1B1∥C1D1∥CD，即和AB平行的线段有A1B1、C1D1、CD；（2）AB⊥BB1，AB⊥BC，AB⊥AA1，AB⊥AD，AB⊥C1C，AB⊥B1C1，AB⊥A1D1，AB ⊥D1D，即和AB垂直的直线有BB1、BC、AA1、AD、C1C、B1C1、A1D1、D1D．18．解：BC∥AD．理由如下：∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝180°，∴AD∥BC．19．解；∠A+∠B+∠C＝180°．理由：作∠ACD＝∠A，并延长BC到E∵∠ACD＝∠A（已作）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）∴∠B＝∠DCE（两直线平行，同位角相等）而∠ACB+∠ACD+∠DCE＝180°∴∠ACB+∠A+∠B＝180°（等量代换）故答案为：A，内错角相等，两直线平行，∠DCE，两直线平行，同位角相等，∠A，∠B，等量代换．20．解：（1）∵在△ABC中，∠B＝24°，∠ACB＝104°，∴∠BAC＝180°﹣24°﹣104°＝52°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝26°，∴∠AEC＝∠B+∠BAC＝24°+26°＝50°．∵AD⊥BC，∴∠D＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣50°＝40°．（2）∵AD⊥BC，∴∠D＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠DAE，在△ABE中，∠BAE＝∠AED﹣∠B，在△ACD中，∠ACB＝∠CAD+∠D＝∠DAE﹣∠CAE+90°，∴∠CAE＝∠DAE+90°﹣∠ACB，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴90°﹣∠DAE﹣∠B＝∠DAE+90°﹣∠ACB，∴∠ACB＝∠B+2∠DAE，即∠DAE＝（∠ACB﹣∠B），∴∠DAE＝（β﹣α）．21．解：（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c；（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c；（3）如果b∥c，a∥c，那么a∥b；（4）如果b∥c，a⊥b，那么a⊥c；（5）如果b∥c，a⊥c，那么a⊥b；（6）如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c．22．解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝180°，∠C+∠D+∠BOC＝180°，而∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）①3；②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠D＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠B，∴∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠D+∠B），∵∠D＝40°，∠B＝36°∴∠P＝（40°+36°）＝38°；（4）∠P＝（∠B+∠D）．。

初中数学北师大版八年级上册第七章平行线的证明2 定义与命题-章节测试习题

章节测试题1.【答题】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（）A.如果两条直线垂直于同一条直线B.两条直线互相平行C.两条直线互相垂直D.两条直线垂直于同一条直线【答案】D【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论.【解答】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”．选D.2.【答题】下列命题的逆命题是真命题的是（）A.直角都相等B.钝角都小于180°C.如果x2+y2=0，那么x=y=0D.对顶角相等【答案】C【分析】根据逆命题是否为真命题逐一进行判断即可.【解答】相等的角不都是直角，故A选项不符合题意，小于180°的角不都是钝角，故B选项不符合题意，如果x=y=0，那么x2+y2=0，正确，是真命题，符合题意，相等的角不一定都是对顶角，故D选项不符合题意，选C.3.【答题】把命题”对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式是______.【答案】如果两个角是对顶角,那么这两个角相等【分析】对顶角相等的条件是两个角是对顶角，结论是两角相等，据此即可改写成“如果…，那么…”的形式．【解答】∵原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，∴命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，故答案为：如果两个角是对顶角，那么两个角相等．4.【答题】命题“两个锐角的和是直角”是______命题（填“真”或“假”）.【答案】假【分析】根据真、假命题的定义判断即可。

【解答】两个锐角的和可能是锐角，直角或钝角，即两个锐角的和是直角是假命题.5.【题文】判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．(1)如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．(2)两个负数的差一定是负数．【答案】（1）假命题（2）假命题【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，假命题举出反例即可．【解答】解：(1)假命题．反例：6是偶数，但6不是4的倍数．(2)假命题．反例：(－5)－(－8)＝＋3.6.【题文】把命题改写成“如果……那么……”的形式．(1)对顶角相等．(2)两直线平行，同位角相等．(3)等角的余角相等．【答案】见解答【分析】根据命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．由此可得结论.【解答】解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．(2)如果两条直线平行，那么同位角相等．(3)如果两个角同为等角的余角，那么这两个角相等．7.【题文】指出下列命题的条件和结论．(1)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．(2)如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3.(3)锐角小于它的余角．【答案】见解析【分析】根据命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项,命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．由此可得结论.【解答】解：(1)条件：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；结论：这两条直线平行．(2)条件：∠1＝∠2，∠2＝∠3；结论：∠1＝∠3.(3)条件：一个角是锐角；结论：这个角小于它的余角．8.【答题】下列句子中，不是命题的是（）A. 两点之间，线段最短B. 对顶角相等C. 同位角相等D. 连结A.B两点【答案】D【分析】判断一件事情的语句叫做命题．【解答】解：A、B、C都符合命题的概念，故正确；D、没有作出判断，故错误．选D.9.【答题】下列语句不是命题的（）A. 鲸鱼是哺乳动物B. 植物都需要水C. 你必须完成作业D. 实数包括零【答案】C【分析】可以判定真假的语句是命题，根据其定义对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：A，是，因为可以判定这是个真命题；B，是，因为可以判定其是真命题；C，不是，因为这是一个陈述句，无法判断其真假；D，是，可以判定其是真命题；选C.10.【答题】“两条直线相交只有一个交点”的题设是（）A. 两条直线B. 相交C. 只有一个交点D. 两条直线相交【答案】D【分析】任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项．【解答】解：“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交．选D.11.【答题】命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是______，结论是A. 同位角相等；两直线平行B. 同位角不相等；两直线平行C. 同位角不相等；两直线不平行D. 同位角相等；两直线不平行【答案】A【分析】由命题的题设和结论的定义进行解答．【解答】解：命题中，已知的事项是“同位角相等”，由已知事项推出的事项是“两直线平行”，所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分．故空中填：同位角相等；两直线平行，选A.12.【答题】如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．这个命题的条件是______，结论是______．A. 两条直线不相交；它们不只有一个交点B. 两条直线不相交；它们只有一个交点C. 两条直线相交；它们只有一个交点D. 两条直线相交；它们不只有一个交点【答案】C【分析】命题分为题设和结论两部分，题设是如果后面的部分，结论是那么后面的部分．【解答】解：这个命题的条件是两条直线相交，结论是它们只有一个交点，选C.13.【答题】命题：“内错角相等，两直线平行”的题设是______，结论是______．A. 内错角相等；两直线平行B. 内错角相等；两直线不平行C. 内错角不相等；两直线平行D. 内错角不相等；两直线不平行【答案】A【分析】根据题设与结论的定义即可判断．【解答】解：内错角相等，两直线平行”的题设是：内错角相等，结论是：两直线平行．故答案是： A.14.【答题】命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是______，结论是______．A. 两个锐角互余，则这两个锐角不在一个直角三角形中B. 一个直角三角形中的两个锐角；这两个锐角互余C. 一个直角三角形中的两个锐角；这两个锐角互补D. 两个锐角互补，则这两个锐角在一个直角三角形中【答案】B【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的，结论是结果．【解答】解：“直角三角形两个锐角互余”的条件是一个直角三角形中的两个锐角，结论是这两个锐角互余，选B.15.【答题】把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是（______ ）A. 如果两个角相等，那么它们是等角的补角B. 如果两个角是补角，那么它们相等C. 如果两个角是等角的补角，那么它们相等D. 如果两个角相等，那么它们是等角的余角【答案】C【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么它们相等．故答案为： C.16.【答题】命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式（______）A. 如果两个角的补角相等，那么这两个角相等B. 如果两个角的余角相等，那么这两个角相等C. 如果两个角相等，那么这两个角的余角相等D. 如果两个角相等，那么这两个角的补角相等【答案】C【分析】任何一个命题都可以写成“如果…，那么…”的形式如果后面是题设，那么后面是结论．【解答】解：命题“等角的余角相等”的题设是“两个角相等”，结论是“这两个角的余角相等”．故命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等，选C.17.【答题】下列语句中不是命题的是（）A. 两点之间线段最短B. 连接A，B两点C. 两条直线相交有且只有一个交点D. 对顶角不相等【答案】B【分析】找到不是判断一件事情的语句的选项即可．【解答】解：A、判断出两点之间，线段最短，是命题，不符合题意；B、没有做出任何判断，不是命题，符合题意；C、由两条直线相交可得只有一个交点，是命题，不符合题意；D、判断是对顶角不相等，是命题，不符合题意；选B.18.【答题】下列四个命题：①对顶角相等；②同位角相等；③等角的余角相等；④凡直角都相等．其中真命题的个数的是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：①对顶角相等，是真命题，②只有在两直线平行时，同位角才相等，假命题，③等角的余角相等，是真命题，④直角都等于90°，是真命题，真命题有3个，选C.19.【答题】对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A. ∠1=50°，∠2=40°B. ∠1=50°，∠2=50°C. ∠1=∠2=45°D. ∠1=40°，∠2=40°【答案】C【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．【解答】解：A，满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故错误；B、不满足条件，故错误；C、满足条件，不满足结论，故正确；D、不满足条件，也不满足结论．选C.20.【答题】a、b是实数，下列命题是真命题的是（）A. a≠b，则a2≠b2B. 若a2＞b2，则a＞bC. 若|a|＞|b|，则a＞bD. 若|a|＞|b|，则a2＞b2【答案】D【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、假命题，反例：2≠-2，但2 2 =（-2）2；B、假命题，反例：-3 2＞0 2，但-3＜0；C、假命题，反例：|-9|＞|0|，则-9＜0；D、真命题，|a|＞|b|，则a 2＞b 2．选D.。