专题5平行线与三角形
平行线与等边三角形的性质解析
平行线与等边三角形的性质解析平行线和等边三角形在几何学中都具有重要的性质和特点。
本文将从平行线和等边三角形的定义入手，分析它们的性质及相互关系。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上从未相交的两条直线。
根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 对于一组平行线，其上的任意两点与另一条平行线上的任意两点所成的两组相应角相等。
证明：设有两条平行线l1和l2，点A和B分别在l1上，点C和D分别在l2上。
连接AC和BD。
由于l1和l2平行，根据同位角定理可知∠CAB=∠BDA，∠ACB=∠CDB。
因此，对于l1和l2上的任意两点A、B和C、D，∠CAB=∠CDB。
2. 平行线与交线所夹的对应角相等。
证明：设有两条平行线l1和l2，线段AB与l1相交于点P，线段CD与l2相交于点Q。
连接PQ。
根据同位角定理可知∠APQ=∠BCD。
因此，平行线l1和l2与交线AB和CD所夹的角∠APQ和∠BCD相等。
二、等边三角形的性质等边三角形是指三条边均相等的三角形。
根据等边三角形的定义，我们可以得出以下性质：1. 三条边均相等的三角形是等边三角形。
证明：设有三角形ABC，若AB=BC=AC，则三角形ABC是等边三角形。
2. 等边三角形的三个内角均为60度。
证明：设有等边三角形ABC，连接AB、BC和CA。
由于AB=BC=AC，且三角形内角之和为180度，故∠ABC=∠BCA=∠CAB=(180-60)/3=60度。
三、平行线和等边三角形的性质与关系在平行线和等边三角形的性质中，存在着一些重要的关系：1. 平行线与等边三角形的内角若两条平行线l1和l2被一条横截线m截断，且m与l1和l2之间的交线所夹的角为等边三角形的内角之一，则该三角形是等边三角形。
证明：设有平行线l1和l2被横截线m截断，且m与l1和l2之间的交线所夹的角为∠ABC。
连接AC和BC。
由于l1和l2平行，根据同位角定理可知∠ABC=∠ACB。
又由等边三角形的性质可得∠ACB=60度。
初中数学知识归纳平行线与三角形的性质
初中数学知识归纳平行线与三角形的性质初中数学知识归纳——平行线与三角形的性质在初中数学中，平行线与三角形是两个重要的概念。
了解平行线与三角形的性质，对于解决与它们相关的数学问题非常重要。
本文将对平行线与三角形的性质进行归纳总结，旨在帮助读者更好地理解和应用这些数学知识。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线。
对于平行线的性质，我们可以总结如下：1. 定义：如果两条平行线被一条横线所截，那么它们对应的内角相等，而对应的外角相等。
2. 同位角性质：两条平行线被一条横线截断，那么同位角相等。
3. 内错角性质：两条平行线被一条横线截断，那么内错角相等。
4. 全等三角形性质：如果三角形的一对边分别平行于另一个三角形的一对边，并且对应边的长度相等，那么这两个三角形全等。
除了以上性质，学生们还需要了解平行线的判定方法。
常用的判定方法包括：通过证明两条线段的斜率相等、通过证明线段的夹角相等、通过证明两组对应角相等等。
熟练掌握这些方法，能够解决与平行线相关的问题。
二、三角形的性质三角形是由三条线段组成的图形，是初中数学中最基本的二维图形之一。
初中数学中，我们通常关注三角形的边长、角度和面积等性质。
1. 三角形的内角和性质：三角形的三个内角之和为180度。
这个性质在解决与三角形的角相关的问题时非常有用。
2. 等腰三角形：如果一个三角形的两边长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
等腰三角形的特点是两个底角相等。
3. 直角三角形：如果一个三角形有一个内角是90度，那么这个三角形就是直角三角形。
直角三角形中，斜边的长度可以通过勾股定理来计算。
4. 等边三角形：如果一个三角形的三条边长度都相等，那么这个三角形就是等边三角形。
等边三角形的三个内角都是60度。
5. 相似三角形：如果两个三角形的对应角相等，并且对应边的比例相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的性质在比例和面积计算中经常使用。
以上仅是平行线与三角形性质的一部分，通过深入学习这些性质，我们可以掌握更多与平行线和三角形相关的数学知识，并且能够灵活运用这些知识解决问题。
初中数学知识归纳平行线与三角形
初中数学知识归纳平行线与三角形初中数学知识归纳：平行线与三角形平行线与三角形是初中数学中的重要知识点之一，它们在几何学中起到了至关重要的作用。
了解平行线与三角形的相关定义、性质和应用，对学习和掌握几何学知识具有重要的帮助。
本文将对初中数学中关于平行线与三角形的知识进行归纳并进行简要的讲解。
一、平行线的定义和性质在几何学中，我们称两条线段平行，当且仅当它们在同一平面内且不相交。
根据平行线的定义，我们可以得到以下结论：1. 两条平行线切割同一条横线，对应的内角互补，即它们之间的内角和为180度。
2. 两条平行线切割同一条横线，对应的同位角相等，即它们之间的角度相等。
3. 平行线截取两条交线之间的线段比例相等。
以上是平行线的一些基本定义和性质，我们可以通过这些性质来解决一些与平行线相关的几何学问题。
二、相似三角形的性质与判定1. 相似三角形的定义：两个三角形的对应角度相等且对应边的比例相等，则称这两个三角形为相似三角形。
2. 相似三角形的性质：a. 相似三角形的对应边比例相等，即三角形的对应边成比例。
b. 相似三角形的对应角度相等，即三角形的对应角度等于对应角度。
c. 相似三角形的高线成比例，即如果两个三角形相似，则它们的高线也成比例。
3. 相似三角形的判定：a. AA相似判定：当两个三角形的两个角度分别相等时，这两个三角形相似。
b. SAS相似判定：当两个三角形的一对边比例相等且夹角相等时，这两个三角形相似。
c. SSS相似判定：当两个三角形的三条边分别成比例时，这两个三角形相似。
相似三角形是几何学中一个重要的概念，它在各种问题的解决中起到了重要的作用。
掌握相似三角形的性质和判定方法，能够帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。
三、三角形的内角和与外角和1. 三角形的内角和：在任意一个三角形中，三个内角的和等于180度。
这个性质可以通过横线相交或平行线切割三角形来证明。
2. 三角形的外角和：在三角形的外角中，两个内角和等于第三个外角。
中考数学最新真题专项汇总—平行线与三角形(含解析)
中考数学最新真题专项汇总—平行线与三角形（含解析）一．选择题1．（2022·内蒙古通辽）如图，一束光线AB 先后经平面镜OM ，ON 反射后，反射光线CD 与AB 平行，当35ABM ∠=︒时，DCN ∠的度数为（ ）A ．55︒B ．70︒C ．60︒D ．35︒【答案】A 【分析】根据题意得：∠ABM =∠OBC ， ∠BCO =∠DCN ，然后平行线的性质可得∠BCD =70°，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠ABM =∠OBC ， ∠BCO =∠DCN ，∠∠ABM =35°，∠∠OBC =35°，∠∠ABC =180°-∠ABM -∠OBC =180°-35°-35°=110°， ∠CD ∠AB ，∠∠ABC +∠BCD =180°，∠∠BCD =180°-∠ABC =70°，∠∠BCO +∠BCD +∠DCN =180°， ∠BCO =∠DCN ， ∠1(180)552DCN BCD ︒︒-∠=∠=．故选：A【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．2．（2022·河北）要得知作业纸上两相交直线AB ，CD 所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案∠、∠，说法正确的是（）A．∠可行、∠不可行B．∠不可行、∠可行C．∠、∠都可行D．∠、∠都不可行【答案】C【分析】用夹角可以划出来的两条线，证明方案∠和∠的结果是否等于夹角，即可判断正误【详解】方案∠：如下图，BPD∠即为所要测量的角∠HEN CFG∥∠AEM BPD∠=∠∠MN PD∠=∠故方案∠可行方案∠：如下图，BPD∠即为所要测量的角在EPF中：180∠+∠+∠=︒BPD PEF PFE则：180∠=︒-∠-∠故方案∠可行故选：CBPD AEH CFG【点睛】本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和；本题的突破点是用可画出夹角的情况进行证明3．（2022·河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO∠CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A．26°B．36°C．44°D．54°【答案】B【分析】根据垂直的定义可得90∠=︒，根据平角的定义即可求解．COE【详解】解：EO∠CD，90∴∠=︒，COE12180∠+∠+∠=︒，2180905436∴∠=︒-︒-︒=︒．故选：B ．COE【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．4．（2022·湖北鄂州）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°【答案】B 【分析】由作图得ABC ∆为等腰三角形，可求出15ABC ∠=︒，由l 1∥l 2得1ABC ∠=∠，从而可得结论．【详解】解：由作图得，CA CB =，∠ABC ∆为等腰三角形，∠ABC CAB ∠=∠ ∠∠BCA ＝150°，∠11(180)(180150)1522ABC ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒∠l 1∥l 2∠115ABC ∠=∠=︒故选B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，求出15ABC ∠=︒是解答本题的关键． 5．（2022·湖南郴州）如图，直线a b ∥，且直线a ，b 被直线c ，d 所截，则下列条件不能．．判定直线c d ∥的是（ ）A ．34∠=∠B ．15180∠+∠=︒C ．12∠=∠D ．14∠=∠【答案】C 【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果．【详解】解：A 、当34∠=∠时，c d ∥；故A 不符合题意；B 、当15180∠+∠=︒时，c d ∥；故B 不符合题意；C 、当12∠=∠时，a b ∥；故C 符合题意；D 、∠a b ∥，则12∠=∠，∠14∠=∠，则24∠∠=，∠c d ∥；故D 不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．6．（2022·山东潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB 与CD 平行，入射光线l 与出射光线m 平行．若入射光线l 与镜面AB 的夹角14010'∠=︒，则6∠的度数为（ ）A ．10040'︒B ．9980'︒C ．9940'︒D ．9920'︒【答案】C 【分析】由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，可求出∠5，由l //m 可得∠6=∠5【详解】解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，∠14010'∠=︒∠24010'∠=︒∠518012180401040109940'''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ∠l //m ∠659940'∠=∠=︒ 故选：C【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．7．（2022·北京）如图，利用工具测量角，则1∠的大小为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A 【分析】利用对顶角相等求解．【详解】解：量角器测量的度数为30°，由对顶角相等可得，130∠=︒．故选A ．【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．8．（2022·黑龙江）如图，ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠与BC 相交于点D ，点E 是AB 的中点，点F 是DC 的中点，连接EF 交AD 于点P ．若ABC 的面积是24， 1.5PD =，则PE 的长是（ ）A．2.5B．2C．3.5D．3【答案】A【分析】连接DE，取AD的中点G，连接EG，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD∠BC，BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出S∠EGD=3，然后证∠EGP∠∠FDP（AAS），得GP=CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长．【详解】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，∠AB=AC，AD平分BAC∠与BC相交于点D，∠AD∠BC，BD=CD，∠S∠ABD=112422ABCS=⨯=12，∠E是AB的中点，∠S∠AED=111222ABDS=⨯=6，∠G是AD的中点，∠S△EGD=11622AEDS=⨯=3，∠E是AB的中点，G是AD的中点，∠EG∥BC，EG=12BD=12CD，∠∠EGP=∠FDP=90°，∠F是CD的中点，∠DF=12CD，∠EG=DF，∠∠EPG=∠FPD，∠∠EGP∠∠FDP（AAS），∠GP=PD=1.5，∠GD=3，∠S△EGD=12GD EG⋅=3，即1332EG⨯=，∠EG=2，在Rt∠EGP中，由勾股定理，得PE=，故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．9．（2022·贵州遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若1AB BC==，30AOB∠=︒，则点B到OC的距离为（）A B C ．1 D ．2【答案】B【分析】根据题意求得2OB =，进而求得OC【详解】解：在Rt ,Rt ABO BOC 中，30AOB ∠=︒，1AB BC ==，2OB ∴=，OC ∴设B 到OC 的距离为h ，1122OC h BC BO ∴⋅=⋅，h ∴==， 故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．10．（2022·广西）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如己知∠ABC 中，∠A ＝30°， AC ＝3，∠A 所对的边为满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的∠ABC 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）A．B ．3C ．D ．3【答案】C 【分析】分情况讨论，当∠ABC 是一个直角三角形时，当∠AB 1C 是一个钝角三角形时，根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．【详解】如图，当∠ABC 是一个直角三角形时，即90C ∠=︒，30,A BC ∠=︒=2∴==AB BC如图，当∠AB 1C 是一个钝角三角形时，过点C 作CD ∠AB 1，90CDA CDB ∴∠=︒=∠，1CB CB =，1BD B D ∴=，30,3A AC ∠=︒=，1322CD AC ∴==， 3BC =1B D BD ∴===，1BB ∴11AB AB BB ∴=-综上，满足已知条件的三角形的第三边长为故选：C ． 【点睛】本题考查了根据已知条件作三角形，涉及含30°的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．11．（2022·山东烟台）如图，某海域中有A ，B ，C 三个小岛，其中A 在B 的南偏西40°方向，C 在B 的南偏东35°方向，且B ，C 到A 的距离相等，则小岛C 相对于小岛A 的方向是（ ）A ．北偏东70°B ．北偏东75°C ．南偏西70°D ．南偏西20°【答案】A 【分析】根据题意可得∠ABC ＝75°，AD ∠BE ，AB ＝AC ，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠C ＝75°，从而求出∠BAC 的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB ＝∠ABE ＝40°，从而求出∠DAC 的度数，即可解答．【详解】解：如图：由题意得：∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∠BE，AB＝AC，∠∠ABC＝∠C＝75°，∠∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，∠AD∠BE，∠∠DAB＝∠ABE＝40°，∠∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，∠小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°，故选：A．．【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．12．（2022·河北）如图，将∠ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是∠ABC的（）A．中线B．中位线C．高线D．角平分线【答案】D【分析】根据折叠的性质可得CAD BAD∠=∠，作出选择即可．【详解】解：如图，∠由折叠的性质可知CAD BAD∠=∠，∠AD是BAC∠的角平分线，故选：D．【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．13．（2022·广西贺州）如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（）A．34︒B．44︒C．124︒D．134︒【答案】A【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．【详解】解：∠Rt∠ABC中，∠C=90°，∠B=56°，∠∠A=90°-∠B=90°-56°=34°；故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．14．（2022·湖南永州）如图，在Rt ABC∠=°，点D为边AC∠=︒，60C△中，90ABC的中点，2BD=，则BC的长为（）B．C．2D．4A【答案】C【分析】根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∠∠ABC=90°，∠C=60°，∠∠A=30°，∠点D为边AC的中点，BD=2∠AC=2BD=4，∠BC=12AC=，2故选：C．【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．15．（2022·湖南永州）下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，故选D．【点睛】本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．16．（2022·广西玉林）请你量一量如图ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是()A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm【答案】D【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可．【详解】解：如图所示，过点A作AO∠BC，用刻度尺直接量得AO更接近2cm，故选：D．【点睛】题目主要考查利用刻度尺量取三角形高的长度，作出三角形的高是解题关键．17．（2022·黑龙江大庆）下列说法不正确．．．的是()A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C．有两个角互余的三角形是直角三角形D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形【答案】A【分析】利用等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，对各选项逐项分析可得出正确答案．【详解】解：A、设∠1、∠2为锐角，因为：∠1+∠2+∠3=180°，所以：∠3可以为锐角、直角、钝角，所以该三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形，故A选项不正确，符合题意；B、如图，在∠ABC中，BE∠AC，CD∠AB，且BE=CD．∠BE ∠AC ，CD ∠AB ，∠∠CDB =∠BEC =90°，在Rt ∠BCD 与Rt ∠CBE 中，CD BE BC CB=⎧⎨=⎩， ∠Rt ∠BCD ∠Rt ∠CBE （HL ），∠∠ABC =∠ACB ，∠AB =AC ，即∠ABC 是等腰三角形．，故B 选项正确，不符合题意；C 、根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，， 故C 选项正确，不符合题意；D 、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D 选项正确，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，要求学生在学习过程中掌握三角形的各种性质及推论，不断提升数学学习的能力．18．（2022·广西梧州）如图，在ABC 中，,AB AC AD =是ABC 的角平分线，过点D 分别作,DE AB DF AC ，垂足分别是点E ，F ，则下列结论错误．．的是（ ）A ．90ADC ∠=B ．DE DF =C ．AD BC = D ．BD CD =【答案】C【分析】根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即可判断求解．【详解】解：∠,AB AC AD =是ABC 的角平分线，∠,AD BC BD CD ， ∠90ADC ∠=，故选项A 、D 结论正确，不符合题意；又AD 是BAC ∠的角平分线，,DE AB DF AC ，∠DE DF =，故选项B 结论正确，不符合题意；由已知条件推不出AD BC =，故选项C 结论错误，符合题意；故选：C ．【点睛】本题考察了等腰三角形的性质及角平分线的性质，属于基础题，熟练掌握其性质即可．19．（2022·四川乐山）如图，等腰∠ABC 的面积为AB =AC ，BC =2．作AE ∠BC 且AE =12BC ．点P 是线段AB 上一动点，连接PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点．那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为（ ）AB ．3C ．D ．4【答案】D【分析】当P 与A 重合时，点F 与C 重合，此时点M 在N 处，当点P 与B 重合时，如图，点M 的运动轨迹是线段MN ．求出CF 的长即可解决问题．【详解】解：过点A 作AD ∠BC 于点D ，连接CE ，∠AB =AC ，∠BD =DC =12BC =1，∠AE =12BC ，∠AE =DC =1，∠AE ∠BC ，∠四边形AECD 是矩形，∠S ∠ABC =12BC ×AD =12×2×AD∠ADCE =AD当P 与A 重合时，点F 与C 重合，此时点M 在CE 的中点N 处，当点P 与B 重合时，如图，点M 的运动轨迹是线段MN ．∠BC =2，CE由勾股定理得BE =4，cos∠EBC =BC BE BE BF =，即244BF =， ∠BF =8，∠点N 是CE 的中点，点M 是EF 的中点，∠MN =12BF =4，∠点M 的运动路径长为4，故选：D ．【点睛】本题考查点的轨迹、矩形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点M 的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题．20．（2022·四川凉山）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．3，4，8B ．5，6，11C ．5，6，10D ．5，5，10 【答案】C【分析】根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得．【详解】解：A 、3478+=<，不能组成三角形，此项不符题意；B 、5611+=，不能组成三角形，此项不符题意；C 、561110+=>，能组成三角形，此项符合题意；D 、5510+=，不能组成三角形，此项不符题意；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．21．（2022·四川成都）如图，在ABC 和DEF 中，点A ，E ，B ，D 在同一直线上，AC DF ∥，AC DF =，只添加一个条件，能判定ABC DEF △≌△的是（ ）A ．BC DE =B ．AE DB =C ．A DEF ∠=∠D ．ABC D ∠=∠【答案】B 【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．【详解】A 、BC DE =，不能判断ABC DEF △≌△，选项不符合题意；B 、AE DB =，利用SAS 定理可以判断ABC DEF △≌△，选项符合题意； C 、A DEF ∠=∠，不能判断ABC DEF △≌△，选项不符合题意；D 、ABC D ∠=∠，不能判断ABC DEF △≌△，选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS 、SAS 、ASA 、AAS 判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．22．（2022·山东聊城）如图，ABC 中，若80BAC ∠=︒，70ACB ∠=︒，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）A ．40BAQ ∠=︒B ．12DE BD = C ．AF AC = D ．25EQF ∠=︒【答案】D【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．【详解】∠80BAC ∠=︒，70ACB ∠=︒，∠∠B =180°-∠BAC -∠ACB =30°，A ．由作图可知，AQ 平分BAC ∠，∠1402BAP CAP BAC ∠=∠=∠=︒，故选项A 正确，不符合题意；B ．由作图可知，MQ 是BC 的垂直平分线，∠90DEB ∠=︒，∠30B ∠=︒，∠12DE BD =，故选项B 正确，不符合题意；C ．∠30B ∠=︒，40BAP ∠=︒，∠70AFC ∠=︒，∠70C ∠=︒，∠AF AC =，故选项C 正确，不符合题意；D ．∠70EFQ AFC ∠=∠=︒，90QEF ∠=︒，∠20EQF ∠=︒；故选项D 错误，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．23．（2022·海南）如图，直线m n∥，ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若1140∠=︒，则2∠的度数是（）A．80︒B．100︒C．120︒D．140︒【答案】B【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=60°，再由三角形外角的性质可得∠AEF=∠1-∠A=80°，从而得到∠BEF=100°，然后根据平行线的性质，即可求解．【详解】解：∠ABC是等边三角形，∠∠A=60°，∠∠1=140°，∠∠AEF=∠1-∠A=80°，∠∠BEF=180°-∠AEF=100°，∠m n∥，∠∠2=∠BEF=100°．故选：B【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键．24．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图所示，直线a∠b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，则∠2的度数为（）A ．57°B ．63°C ．67°D ．73°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可求出30ABC ∠=︒，可得出+173ABC ∠∠=︒，再根据平行线的性质可得结论．【详解】解：∠AC =BC ，∠ABC ∆是等腰三角形，∠=120C ∠︒ ∠11(180)(180120)3022ABC C ∠=︒-∠=︒-︒=︒∠1304373ABC ∠+∠=︒+︒=︒∠a ∠b ，∠2173ABC ∠=∠+∠=︒ 故选：D【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，求出173ABC ∠+∠=︒是解答本题的关键． 25．（2022·湖北恩施）已知直线12l l ∥，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若1120∠=︒，则2∠=（ ）A．120°B．130°C．140°D．150°【答案】D【分析】根据平行线的性质可得∠3=∠1=120°，再由对顶角相等可得∠4=∠3=120°，然后根据三角形外角的性质，即可求解．【详解】解：如图，根据题意得：∠5=30°，∥，∠∠3=∠1=120°，∠∠4=∠3=120°，∠12l l∠∠2=∠4+∠5，∠∠2=120°+30°=150°．故选：D【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质是解题的关键．二．填空题26．（2022·辽宁锦州）如图，在ABC中，,30=∠=︒，点D为BC的中AB AC ABC点，将ABC绕点D逆时针旋转得到A B C'''，当点A的对应点A'落在边AB上时，点C'在BA的延长线上，连接BB'，若1AA'=，则BB D'△的面积是____________．【分析】先证明A AD ' 是等边三角形，再证明AO BC '⊥，再利用直角三角形30角对应的边是斜边的一般分别求出A B ''和A O '，再利用勾股定理求出OD ，从而求得BB D '△的面积．【详解】解：如下图所示，设A B ''与BD 交于点O ，连接A D '和AD ，∠点D 为BC 的中点，,30AB AC ABC =∠=︒，∠AD BC ⊥,A D B C '''⊥，A D '是B A C '''∠的角平分线，AD 是BAC ∠，∠120B A C ︒'''∠=，120BAC ︒∠=∠60BAD B A D ︒'∠'=∠=∠A D AD '=，∠A AD ' 是等边三角形，∠1A A AD A D ''===，∠18060BA B B A C ︒︒'''''∠=-∠=，∠BA B A AD '''∠=∠，∠//A B AD ''，∠AO BC '⊥， ∠1122A O A D ''==，∠OD ==∠22A B A D '''==∠30A BD A DO ︒''∠=∠=，∠BO OD = ∠13222OB '=-=，2BD OD ==∠113222BB D S BD B O ''=⨯⨯==． 【点睛】本题考查等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，证明A AD ' 是等边三角形是解本题的关键．27．（2022·湖南郴州）如图．在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =．以点A 为圆心，以任意长为半径作弧交AB ，AC 于D ，E 两点；分别以点D ，E 为圆心，以大于12DE 长为半径作弧，在BAC ∠内两弧相交于点P ；作射线AP 交BC 于点F ，过点F 作FG AB ⊥，垂足用G ．若8cm AB =，则BFG 的周长等于________cm ．【答案】8【分析】由角平分线的性质，得到CF GF=，然后求出BFG的周长即可．【详解】解：根据题意，在ABC中，90=，C∠=︒，AC BC由角平分线的性质，得CF GF=，∠BFG的周长为：()8++=-+=-+==；BG BF FG AB AG BC AB AC BC AB故答案为：8【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．28．（2022·江苏常州）如图，在ABC中，E是中线AD的中点．若AEC△的面积是1，则ABD△的面积是______．【答案】2【分析】根据ACE∆的面积DCE=∆的面积计算出各部=∆的面积，ABD∆的面积ACD分三角形的面积．【详解】解：AD是BC边上的中线，E为AD的中点，根据等底同高可知，ACE ∆的面积DCE =∆的面积1=，ABD ∆的面积ACD =∆的面积2AEC =∆的面积2=，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算．29．（2022·黑龙江哈尔滨）在ABC 中，AD 为边BC 上的高，30ABC ∠=︒，20CAD ∠=︒，则BAC ∠是___________度．【答案】40或80##80或40【分析】根据题意，由于ABC 类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：∠高在三角形内部，如图所示：在ABD ∆中，AD 为边BC 上的高，30ABC ∠=︒，90903060BAD ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，20CAD ∠=︒，602080BAC BAD CAD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；∠高在三角形边上，如图所示：可知0CAD ∠=︒，20CAD ∠=︒，故此种情况不存在，舍弃；∠高在三角形外部，如图所示：在ABD ∆中，AD 为边BC 上的高，30ABC ∠=︒，90903060BAD ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，20CAD ∠=︒，602040BAC BAD CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；综上所述：80BAC ∠=︒或40︒，故答案为：40或80．【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．30．（2022·四川成都）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：∠分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；∠作直线MN 交边AB 于点E ．若5AC =，4BE =，45B ∠=︒，则AB 的长为_________．【答案】7【分析】连接EC，依据垂直平分线的性质得EB EC=．由已知易得∠∠=︒＝，在Rt∠AEC中运用勾股定理求得AE，即可求得答案．BEC CEA90【详解】解：由已知作图方法可得，MN是线段BC的垂直平分线，连接EC，如图，所以BE CE=，所以45∠=∠=︒，ECB B所以∠BEC=∠CEA=90°，因为5AC=，4BE=，所以4CE=，在AEC△中，2222AE AC EC，543所以347AB AE BE=+=+=，因此AB的长为7．故答案为：7．【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，由勾股定理求得AE 即可． 31．（2022·内蒙古通辽）在Rt ABC 中，90C ∠=︒，有一个锐角为60︒，6AB =，若点P 在直线．．AB 上（不与点A ，B 重合），且30PCB ∠=︒，则AP 的长为_______． 【答案】92或9或3【分析】分∠ABC =60、∠ABC =30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【详解】解：当∠ABC =60°时，则∠BAC =30°， ∠132BC AB ==，∠AC =，当点P 在线段AB 上时，如图，∠30PCB ∠=︒，∠∠BPC =90°，即PC ∠AB ，∠9cos 2AP AC BAC =⋅∠==； 当点P 在AB 的延长线上时，∠30PCB ∠=︒，∠PBC =∠PCB +∠CPB ，∠∠CPB =30°，∠∠CPB =∠PCB ，∠PB =BC =3，∠AP =AB +PB =9；当∠ABC =30°时，则∠BAC =60°，如图，∠132AC AB ==，∠30PCB ∠=︒，∠∠APC =60°，∠∠ACP =60°，∠∠APC =∠P AC =∠ACP ，∠∠APC 为等边三角形，∠P A =AC =3．综上所述，AP 的长为92或9或3． 故答案为：92或9或3【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键．32．（2022·湖南岳阳）如图，在ABC中，AB AC=，AD BCBC=，⊥于点D，若6则CD=______．【答案】3【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．【详解】解：∠AB AC=，AD BC⊥，∠CD BD=，∠6BC=，∠3CD=，故答案为：3．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．33．（2022·江苏无锡）∠ABC是边长为5的等边三角形，∠DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在∠ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将∠DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．【答案】804##4【分析】利用SAS证明∠BDC∠∠AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF 的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD∠BF时，∠FBC最大，则∠FBA 最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．【详解】解：∠∠ABC和∠DCE都是等边三角形，∠AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，∠∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB =∠ECA，在∠BCD和∠ACE中，CD CEBCD ACEBC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACE∠∠BCD（SAS），∠∠EAC=∠DBC，∠∠DBC=20°，∠∠EAC=20°，∠∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；设BF与AC相交于点H，如图：∠∠ACE ∠∠BCD∠AE =BD ，∠EAC =∠DBC ，且∠AHF =∠BHC ，∠∠AFB =∠ACB =60°，∠A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，∠点D 在以C 为圆心，3为半径的圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ∠BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，∠此时线段AF 长度有最小值，在Rt ∠BCD 中，BC =5，CD =3，∠BD=4，即AE =4，∠∠FDE =180°-90°-60°=30°，∠∠AFB =60°，∠∠FDE =∠FED =30°，∠FD =FE ，过点F 作FG ∠DE 于点G ，∠DG =GE =32，∠FE =DF =cos30DG ︒∠AF=AE-FE=4故答案为：80；4【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．34．（2022·湖南永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE=______．【答案】3【分析】根据题意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，设AF=DE=CH=BG=x，结合图形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出结果．【详解】解：∠大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∠AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，根据题意，设AF=DE=CH=BG=x，则AE=x-1，在Rt∆AED中，222+=，AE ED AD即()222-+=，x x15解得：x =4（负值已经舍去），∠x -1=3，故答案为：3．【点睛】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．35．（2022·黑龙江齐齐哈尔）在∠ABC 中，AB =6AC =，45B ∠=，则BC =______________．【答案】3或3【分析】画出图形，分∠ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．【详解】解：情况一：当∠ABC 为锐角三角形时，如图1所示：过A 点作AH ∠BC 于H ，∠∠B =45°，∠∠ABH 为等腰直角三角形， ∠363322ABAH BH ,在Rt∠ACH 中，由勾股定理可知：2236273CHAC AH ， ∠333BC BH CH ． 情况二：当∠ABC 为钝角三角形时，如图2所示：由情况一知：363322ABAH BH ，2236273CH AC AH ， ∠333BC BH CH ．故答案为：3或3．【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将∠ABC 分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．36．（2022·贵州遵义）如图，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，点M ，N分别为BC ，AC 上的动点，且AN CM =，AB 当AM BN +的值最小时，CM 的长为__________．【答案】2【分析】过点A 作AD BC ∥，且AD AC =，证明AND CMA ≌△△，可得AM DN =，当,,B N D 三点共线时，BN AM +取得最小值，证明AB BM =，即可求解．【详解】如图，过点A 作AD BC ∥，且AD AC =，连接DN ，如图1所示， DAN ACM ∴∠=∠，又AN CM =，AND CMA ∴≌，AM DN ∴=，BN AM BN DN BD ∴+=+≥，当,,B N D 三点共线时，BN AM +取得最小值，此时如图2所示，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB =2BC ∴==，AND CMA ≌△△，ADN CAM ∴∠=∠，AD AC AB ==，ADN ABN ∴∠=∠，AD BC ∥，ADN MBN ∴∠=∠，ABN MBN ∴∠=∠，设MAC α∠=，90BAM BAC αα∴∠=∠-=︒-，245ABM ABN NBM α∴∠=∠+∠==︒，22.5α∴=︒，180180904567.5AMB BAM ABM α∴∠=︒-∠-∠=︒-︒+-︒=︒，9022.567.5BAM ∠=︒-︒=︒，AB BM ∴==2CM BC BM ∴=-=即BN AM +取得最小值为2 故答案为：2图1 图2【点睛】本题考查了等腰直角三角的性质，勾股定理，两点之间线段最短，转化线段是解题的关键．37．（2022·广西）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC 的大小为______【答案】135°##135度【分析】根据三角板及其摆放位置可得180,45BAO BAC OAC OAC ∠=︒=∠+∠∠=︒，求解即可．【详解】180,45BAO BAC OAC OAC ∠=︒=∠+∠∠=︒，18045135BAC ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：135°．【点睛】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是解题的关键．38．（2022·广西桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝_____cm．【答案】4【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．【详解】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，故答案为：4．【点睛】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．39．（2022·贵州遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28纬线的长度．小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；信息二：如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC OA∥，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：π3≈，sin280.47︒≈，︒≈，cos280.88︒≈）tan280.53根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为__________千米．【答案】33792【分析】根据平行线的性质可知28∠=∠=︒，在Rt BOD中，利用锐角三角B BOA函数求出BD ，即为以BC 为直径的圆的半径，求出周长即可．【详解】解：如图，过点O 作OD BC ，垂足为D ，根据题意6400OB OA ==，∠BC OA ∥，∠28B BOA ∠=∠=︒，∠在Rt BOD 中， 28B ∠=︒，∠cos28BD OB =︒，∠OD BC ，∠由垂径定理可知：12BD DC BC ==，∠以BC 为直径的圆的周长为22364000.8833792BD π⨯≈⨯⨯⨯=，故答案为：33792．【点睛】本题考查解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是熟练三角函数的含义与解直角三角形的方法．三．解答题40．（2022·广东）如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．【答案】见解析【分析】根据角平分线的性质得PD PE =，再用HL 证明OPD OPE ≌．【详解】证明：∠AOC BOC ∠=∠，∠OC 为AOB ∠的角平分线，又∠点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，∠PD PE =，90PDO PEO ∠=∠=︒，又∠PO PO =（公共边），∠()HL OPD OPE ≌．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键．41．（2022·广西）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD ，其中 AB ＝CD ＝2米，AD ＝BC ＝3米，∠B ＝30(1)求证：∠ABC ∠∠CDA ；(2)求草坪造型的面积．【答案】(1)见解析(2)草坪造型的面积为23m【分析】（1）根据“SSS ”直接证明三角形全等即可；（2）过点A 作AE ∠BC 于点E ，利用含30°的直角三角形的性质求出AE 的长度，继而求出ABC 的面积，再由全等三角形面积相等得出32ABC CDASS ==，即可求出草坪造型的面积．(1)在ABC 和CDA 中，AB CD AC CA BC AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABC CDA SSS ∴≅；(2)过点A 作AE ∠BC 于点E ，90AEB ∴∠=︒，30,2m B AB ∠=︒=，11m 2AE AB ∴==， 3m BC =，211331m 222ABCS BC AE ∴=⋅=⨯⨯=， ABC CDA ≅，23m 2ABC CDA S S ∴==， ∴草坪造型的面积23m ABC CDA S S =+=，所以，草坪造型的面积为23m ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，熟。
平行线与三角形的性质
平行线与三角形的性质在几何学中，平行线与三角形有着密切的关系。
平行线对于三角形的性质和运算起到了重要的作用。
本文将介绍平行线对三角形的性质的影响，并以此为基础讨论一些相关的概念和定理。
平行线的定义：在平面上，如果两条直线没有交点且在同一平面内，我们称这两条直线为平行线。
用符号"∥"表示，即AB∥CD表示直线AB与直线CD 平行。
1. 平行线分割三角形：平行线可以将三角形分割成三个小三角形。
当一条平行线与两边相交时，我们可以根据分割后的小三角形性质进行一些推导。
2. 平行线和三角形的对应角：在平行线分割的小三角形中，对应的角有着非常重要的关系。
根据等角定理，我们可以得到如下结论：- 对应角相等：如果一条平行线与另一条平行线相交，所形成的对应角相等。
例如：∠A = ∠D- 内错角相等：如果一条平行线与三角形两边相交，所形成的内错角相等。
例如：∠A = ∠D- 同位角互补：如果一条平行线与两条交错线相交，所形成的同位角互补。
例如：∠A + ∠B = 180°- 外错角互补：如果一条平行线与三角形两边相交，所形成的外错角互补。
例如：∠E + ∠D = 180°3. 平行线和三角形的边比例关系：平行线分割的小三角形还可以推导出一些边比例关系：- 对应边比例相等：如果一条平行线与另一条平行线相交，所形成的对应边比例相等。
例如：AB/DE = BC/EF- 内部线段比例：如果一条平行线与三角形两边相交，所形成的内部线段比例相等。
例如：AE/EB = DF/FC- 外部线段比例：如果一条平行线与三角形两边相交，所形成的外部线段比例相等。
例如：AB/BD = AC/CE4. 平行线和三角形的全等与相似：平行线对于三角形的全等与相似关系也有着重要的影响。
根据平行线分割的小三角形边比例的性质，我们可以得到如下结论：- 如果一条平行线分割两个三角形，并且这两个三角形的对应边比例相等，那么这两个三角形全等。
数学平行线与三角形关系应用题解析
数学平行线与三角形关系应用题解析在解析数学平行线与三角形关系应用题之前，我们先来了解一下什么是平行线和三角形。
平行线是指在同一个平面内始终保持相同的距离且永不相交的两条直线。
而三角形是由三条线段连接而成的一种多边形。
在数学中，平行线与三角形之间存在一些重要的关系。
下面我们将通过应用题来解析这些关系。
假设有一条直线l，平行于边AB的直线为m。
另外，在直线m的上方有一点C，下方有一点D。
我们需要找到与线段CD平行的边。
解题思路：我们可以通过以下步骤来解决这个问题：步骤一：确定平行线与三角形的关系。
步骤二：分析已知条件。
步骤三：应用平行线与三角形的关系，解出答案。
解题步骤：步骤一：确定平行线与三角形的关系根据平行线与三角形的关系，我们知道如果两条直线l和m平行，那么它们与一条横截线所构成的三角形内的两个对顶角是相等的。
即∠ACD = ∠BAE，其中∠ACD和∠BAE分别是三角形ACD与三角形BAE内的对应角。
步骤二：分析已知条件我们已知直线l平行于边AB，即l || AB。
同时，线段CD与直线l平行。
步骤三：应用平行线与三角形的关系，解出答案由已知条件可得，∠ACD = ∠BAE。
根据该等角关系，我们可以得出结论：∠ACD = ∠BAE。
而又因为三角形ACD内角之和为180度，所以∠ACD + ∠CAD + ∠ADC = 180度。
根据这个等式，我们可以得出∠CAD + ∠ADC = 180度- ∠ACD，即∠CAD + ∠ADC = 180度 - ∠BAE。
由此可见，在三角形ACD内，与线段CD平行的两条边分别是边AC和边AD。
综上所述，与线段CD平行的边是边AC和边AD。
结论：根据我们的分析和推理，与线段CD平行的边是边AC和边AD。
通过这个应用题的解析，我们可以看到数学中平行线与三角形的关系是相当重要的。
在解决这类问题时，我们需要运用平行线与三角形的性质和定理，合理推理和分析已知条件，并灵活运用相关等角关系和三角形内角之和等等知识，从而得出准确的结论。
平行线与三角形的相关定理
平行线与三角形的相关定理平行线与三角形的关系是几何学中一个重要且基础的概念。
在平行线与三角形的研究中，有一些重要的定理和性质需要我们了解和掌握。
本文将对平行线与三角形的相关定理进行详细的介绍和讨论。
一、平行线性质：1.平行线的定义：如果两条直线在同一平面内，且它们不相交，则这两条直线是平行的。
我们通常用符号“||”表示两条平行线。
2.平行线定理：如果一组直线与另一组直线分别平行，则这两组直线之间的任意两条直线也是平行的。
二、三角形内部的平行线及其性质：1.三角形内部平行线定理：如果一条直线平行于三角形的一边，那么它与这两边分别的交点所确定的两条边互相平行。
2.三角形内部平行线的性质：平行于三角形一边的直线将三角形划分成两个相似三角形。
这两个相似三角形的对应边成比例。
三、平行线与三角形内角性质：1.同位角性质：两条平行线被一条直线截断后，所形成的内部角与外部对应角、内部对应角、同位角之间的关系。
2.内角和定理：两条平行线被一条直线截断后，相邻内角之和等于180度。
3.等腰三角形的基本性质：在等腰三角形中，底角相等，顶角相等，底边平行。
四、平行线与三角形外角性质：1.三角形外角性质：三角形的一个外角等于它的两个非邻边内角的和。
2.三角形外角定理：一个三角形的一个外角等于与这个外角相对的三角形的内角之和。
3.三角形外角性质的推广：一个n边形的一个外角等于与这个外角相对的多边形的内角之和。
综上所述，平行线与三角形之间的关系是几何学中的重要内容之一。
通过深入地学习和理解平行线与三角形的相关定理，我们可以更好地应用这些知识解决各种几何问题，提高自己的数学素养。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和掌握平行线与三角形的相关定理，为数学学习打下坚实的基础。
专题5 平行线分线段成比例及三角形相似(老师版)
专题5平行线分线段成比例及三角形相似题型知识归纳利用平行线分线段的性质求解线段的长度，熟练掌握相似三角形的判定与性质，是本节知识的核心。
平行线分线段成比例一般在选择题与填空题中常考，三角形的相似在解答题中经常会出现在类比探究题型中。
本专题主要对平行线分线段成比例及三角形相似题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
知识点梳理一、平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。
知识点梳理二、相似多边形的性质与判定相似三角形的判定（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．常考题型专练一、选择题1.如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（）A.EG=4GCB.EG=3GCC.EG=52GC D.EG=2GC【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．【详解】∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴31 EG DFGC FB＝＝=3．故选B．【总结】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键．2．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB且AD：DB＝3：4，那么CF：CB 的值为（）A．4：3B．4：7C．3：4D．3：7【答案】B【分析】由DE∥BC，可得AD AEDB EC=，再结合EF∥AB可求得CF：CB=CE：CA，可求得CF：CB．【详解】解：∵DE∥BC，∴AD AEDB EC==3：4，∴CE：CA=4：7，∴CF ：CB =CE ：CA =4：7，故选：B．【总结】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键．3．如图，AD BE FC ∥∥，直线1l 、2l 分别与三条平行线交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若3AB =，5BC =，12DF =，则EF 的长为（）A．4.5B．6C．7.5D．8【答案】C 【分析】首先根据3AB =，5BC =，求出8AC =，然后根据平行线分线段成比例求解即可．【详解】解：∵3AB =，5BC =，∴8AC AB BC =+=，∵AD BE FC ∥∥，∴AC DF BC EF =，代入得：8125EF =，解得：7.5EF =．故选：C．【总结】此题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例．4.△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠A=30°，△ABC ∽△A′B′C ′，则∠C′=（）A.30°B.60°C.50°D.75°【答案】D【分析】利用相似三角形的对应角相等即可得到答案．【详解】∵△ABC 是等腰三角形，AB =AC ，∠A =30°，∴∠C =（180°﹣∠A ）÷2=75°．∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴∠C ′=∠C =75°．【总结】本题考查了等腰三角形的性质及相似三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得等腰三角形底角的度数．5．若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积之比为（）A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1【答案】A【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．【解答】解：相似多边形的相似比是1：2，面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：4；故选：A．【总结】本题考查了相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键．6.如图，如果AD AEAB AC=成立，下列结论中不正确的是()A.AB ACAD AE= B.AD AEDB EC=C.AD ECAE BD= D.AD ABAE AC=【答案】C【分析】根据题意可得：△ADE∽△ABC，DE∥BC，即可判定各选项是否正确。
平行线与全等三角形
平行线与全等三角形平行线和全等三角形是几何学中非常重要的概念，它们在解决各种几何问题和证明中起着至关重要的作用。
本文将深入探讨平行线与全等三角形之间的关系。
一、平行线平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。
具体来说，如果两条直线的任意一对对应角相等，则这两条直线是平行线。
我们可以用符号“||”来表示平行线。
在平行线的基础上，我们可以引出一些重要的性质和定理。
1. 平行线的性质：- 平行线与直线的交角为对应角和内错角，这些角度相等。
- 平行线与平行线之间的任意一线交角为对应角和内错角，这些角度相等。
- 平行线的任意一对内错角互补，其和为180°。
2. 平行线的定理：- 势平行定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条平行线之间的比例关系将保持不变。
- 等角定理：如果两组平行线被一条割线相交，那么所形成的对应角，内错角和对顶角都相等。
二、全等三角形全等三角形是指在形状和大小上完全相同的两个三角形。
如果两个三角形的对应边长和对应角相等，那么它们就是全等三角形。
我们可以用符号“≡”来表示全等。
全等三角形有一些重要的性质和定理。
1. 全等三角形的性质：- 边边边（SSS）定理：如果两个三角形的三条边分别相等，则它们是全等的。
- 边角边（SAS）定理：如果两个三角形的一条边和夹角分别相等，并且另一边相等，则它们是全等的。
- 角边角（ASA）定理：如果两个三角形的一对夹角和边分别相等，并且另一对夹角相等，则它们是全等的。
2. 全等三角形的定理：- 对（CPCTC）定理（对应部分全等定理）：如果两个三角形是全等的，那么它们的对应角和对应边也是相等的。
- 隐含全等三角形定理：如果在两个三角形中，两对夹角和一对对边分别相等，则这两个三角形是全等的。
三、平行线与全等三角形的关系平行线和全等三角形之间存在着紧密的联系。
在解决几何问题和证明中，我们经常会运用平行线来构造全等三角形，从而推导出其他形状的相等关系。
平行线与三角形的性质
平行线与三角形的性质平行线与三角形是几何学中的基础概念，它们之间存在着一系列的性质和定理。
本文将探讨平行线与三角形的性质，包括平行线切割三角形、平行线与三角形的角度关系以及平行线对三角形的影响。
1. 平行线切割三角形考虑一条平行线与两条不重合的斜线相交，会形成一组相似的三角形。
这是因为平行线切割的各个线段与原始三角形的对应线段成比例。
根据这个性质，我们可以推导出以下定理。
定理1：如果一条平行线与两条不重合的边相交，那么它切割出的两个三角形是相似的。
这个定理在解决一些几何问题时非常有用，它可以帮助我们寻找相似三角形的特殊性质。
2. 平行线与三角形的角度关系平行线与三角形的角度关系十分重要，它们之间存在着许多有趣的性质。
下面是一些常见的角度关系。
性质1：两条平行线被一条横切线切割时，对应角相等。
这个性质可以通过平行线的定义来证明。
当一条横切线与两条平行线相交时，我们可以得出相应的角是对等的。
这个性质可以帮助我们解决一些与平行线相关的角度问题。
性质2：平行线与三角形的内角相关当一条平行线与三角形的两个边相交时，会形成一组共有的内角。
我们可以得出以下定理。
定理2：当一条平行线与三角形的两边相交时，它所切割出的两个内角的和等于180度。
这个定理可以通过直线与平行线的交角性质来证明。
利用这个性质，我们可以在解决与平行线相关的三角形问题时，快速求得相关角度的大小。
3. 平行线对三角形的影响平行线与三角形之间的关系也反映在三角形的各个部分上，它们之间存在一些重要的影响。
影响1：平行线对三角形的边长比例的影响当一条平行线切割三角形时，它切割出的线段与三角形的对应线段成比例。
这个性质在解决线段比例问题时非常有用，可以通过相似三角形的性质进行推导。
影响2：平行线对三角形面积的影响当一条平行线切割三角形时，它所切割出的两个小三角形与原始三角形的面积之比为切割线段的比例的平方。
这个性质可以通过相似三角形的性质进行证明。
利用这个性质，我们可以在解决与三角形面积相关的问题时，快速求得所需的面积比值。
平行线与三角形的性质与证明
平行线与三角形的性质与证明平行线与三角形是几何学中常见的概念，它们之间存在着一些有趣的性质和证明。
本文将介绍这些性质和证明，并探讨它们之间的关系。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面上永远不相交的两条直线。
根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 平行线间的距离恒定：若两条直线平行，则它们之间的距离在整个直线上是相等的。
2. 平行线的倾斜角相等：若两条直线平行，则它们的倾斜角相等。
3. 平行线的截线相等：若两条直线平行，则它们与一条横截线的交点关于横截线对称。
二、平行线与三角形的性质1. 三角形内的平行线：若在一个三角形内有一对平行线，则这两条平行线将会分割三角形的三边成为三个平行线段，且这些平行线段之间的比例相等。
2. 三角形内的反平行线：若在一个三角形内有一对反平行线，则这两条反平行线将会交叉分割三角形的三边成为三个平行线段，且这些平行线段之间的比例相等。
3. 平行线切割三角形：若一条直线与两边不相交地切割一个三角形，则这条直线平行于三角形的第三边。
三、平行线与三角形性质的证明1. 三角形内的平行线（证明）：设在三角形ABC内，有直线DE和直线FG平行。
根据平行线的性质，我们有以下推导：由DE和FG平行，可得∠DCE和∠FCG是对应角，它们相等（对应角定理）。
同理，可得∠DEF和∠GFE相等。
再由平行线割三角形的性质，AB/BC = AE/EC （相似三角形性质）。
同理可得，AF/FC = AG/GB。
综上所述，根据相似三角形性质，得到了AB/BC = AE/EC = AF/FC = AG/GB，从而证明了三角形内的平行线性质。
2. 三角形内的反平行线（证明）：设在三角形ABC内，有直线DE和直线FG反平行。
根据反平行线的性质，我们有以下推导：由DE和FG反平行，可得∠DCE和∠FCG是同位角，它们相等。
同理，可得∠DEF和∠GFE也相等。
再由平行线割三角形的性质，同样可以推导出AB/BC = AE/EC =AF/FC = AG/GB。
平行线与三角形的性质
平行线与三角形的性质平行线与三角形的关系是数学中的一个重要概念。
在这篇文章中，我将探讨平行线与三角形的性质，并讨论它们之间的关系。
1. 平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内，永不相交的两条线。
平行线具有以下性质：1.1. 平行线具有相同的斜率。
斜率是通过两点之间的线段的垂直距离和水平距离之比。
如果两条直线具有相同的斜率，它们就是平行线。
1.2. 平行线的平行性质可以用数学符号“∥”来表示。
例如，AB ∥CD表示线段AB平行于线段CD。
1.3. 平行线的交错性质。
如果一条直线与两条平行线相交，那么它将形成一对相交角，这些角相等。
2. 三角形的定义和性质三角形是由三条边和三个顶点组成的闭合图形。
三角形具有以下性质：2.1. 三角形的内角和等于180度。
三个内角的度数之和总是等于180度。
2.2. 根据边的长度，三角形可以进一步分类为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
2.3. 等边三角形的三条边的长度相等，每个内角都是60度。
2.4. 等腰三角形至少有两边的长度相等，其两个底角也相等。
2.5. 直角三角形的一个内角是90度，其他两个内角相加等于90度。
3. 平行线与三角形的性质平行线与三角形的性质之间有着密切的联系。
以下是一些关于平行线与三角形的性质：3.1. 平行线切割三角形产生的基本比例。
如果一条直线与两条平行线相交，并且该直线切割三角形的两条边，那么这两条边的长度比等于三角形两边的长度比。
3.2. 平行线切割三角形产生的相似三角形。
如果一条直线与两条平行线相交，并且该直线切割三角形的一个顶点和两边，那么所产生的三个三角形是相似的。
3.3. 平行线切割三角形产生的等面积。
如果一条直线与两条平行线相交，并且该直线切割三角形的一条边，那么所产生的两个三角形具有相等的面积。
4. 平行线与三角形的应用平行线与三角形的性质在几何学中有广泛的应用。
一些常见的应用包括：4.1. 解决直角三角形问题。
通过利用平行线与直角三角形的性质，可以简化对直角三角形的求解过程。
平行线与三角形内外角
平行线与三角形内外角在初中数学学习中，平行线与三角形内外角是一个重要的知识点。
理解和掌握这些概念对于解题和推理都有着重要的作用。
本文将以指导性和鼓励性的语气，通过举例、分析和说明的方式，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用平行线与三角形内外角的知识。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面中，永不相交的两条直线。
在数学中，我们用符号“||”来表示两条平行线。
平行线具有以下性质：1. 平行线的任意两条直线除了平行于它们自身外，不可能同时与同一条直线相交。
2. 平行线之间的距离是始终相等的，即平行线上的任意两点之间的距离相等。
3. 平行线与一条横截线所夹的内角和外角相等。
举例来说，假设有两条平行线AB和CD，以及一条横截线EF。
如果我们分别连接AE和CF，那么∠EAF和∠FCB是内角，∠EAB和∠FCD是外角。
根据平行线的性质，我们可以得出结论：∠EAF = ∠FCB，∠EAB = ∠FCD。
二、三角形内外角的关系在三角形中，内角和外角是密切相关的。
下面我们来详细讨论一下它们之间的关系：1. 三角形内角和为180度对于任意一个三角形ABC，它的三个内角∠A、∠B和∠C的和始终等于180度。
这是因为三角形的内角是平面内两条直线的夹角，而平面内两条直线的夹角和为180度。
举例来说，如果一个三角形的∠A = 60度，∠B = 80度，那么∠C = 180度 - 60度 - 80度 = 40度。
2. 三角形外角等于其对应内角的补角三角形的外角是指在三角形的一条边上，与另外两条边的延长线所夹的角。
根据这一性质，我们可以得出结论：三角形的外角等于其对应内角的补角。
举例来说，如果一个三角形的∠A = 60度，那么∠D = 180度- 60度 = 120度。
3. 三角形内角与外角的关系三角形的内角和外角之间存在着一定的关系。
具体来说，一个三角形的一个内角与其对应的外角之和始终等于180度。
举例来说，如果一个三角形的∠A = 60度，那么∠A + ∠D = 60度 + 120度 = 180度。
平行线与相似三角形的性质
平行线与相似三角形的性质平行线和相似三角形是几何学中重要的概念和性质。
它们在解决几何问题、证明数学定理以及实际应用中起着重要的作用。
本文将探讨平行线和相似三角形的相关性质。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。
平行线的性质有以下几点：1. 平行线的定义：如果两条直线在同一个平面上，且不相交，那么它们就是平行线。
2. 平行线之间的关系：如果有一条直线与其他两条直线分别相交，且这两条直线平行，则其相交分割产生的对应角、内错角和外错角之间具有一定的关系。
3. 平行线的判定方法：通过角的性质可以判定平行线。
例如，同位角相等定理：如果两条直线被一条横截线所切，而同位角相等，则这两条直线是平行线。
4. 平行线的性质应用：平行线的性质经常应用于证明几何定理，如证明三角形的相似性、证明平行四边形等。
二、相似三角形的性质相似三角形是指两个或多个三角形，它们的对应角相等，对应边成比例。
相似三角形的性质有以下几点：1. 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形是相似三角形。
2. 相似三角形之间的关系：如果已知两个三角形相似，则可以通过相似三角形的性质来推导未知量或者其他三角形的性质。
3. 相似三角形的形状：相似三角形的形状和角度是相同的，只是大小不同。
可以通过相似三角形的边比例关系来计算未知边长。
4. 相似三角形的应用：相似三角形的性质经常应用于解决实际问题，如测量高楼的高度、计算不可达距离等。
三、平行线与相似三角形的相关性质平行线和相似三角形之间有着紧密的联系，它们之间的关系有以下几点：1. 平行线导致相似三角形：如果两条平行线分别与一条横截线相交，那么根据平行线的性质可得到一系列相似三角形。
2. 相似三角形导致平行线：如果已知两个三角形相似，并且其中一对对应边平行，那么可以推导出余下的边也是平行的。
3. 平行线与相似三角形的应用：在实际问题中，当我们已知平行线或相似三角形的某些性质时，可以使用它们来解决几何问题，如计算图形的面积、测量边长等等。
平行线与三角形
平行线与三角形平行线和三角形是几何学中的基本概念，它们在解决问题、证明定理以及实际应用中起着重要的作用。
本文将探讨平行线与三角形之间的关系，并探讨它们在数学和现实生活中的意义。
一、平行线和三角形的定义在正式讨论平行线和三角形之前，我们先来了解它们的定义。
1. 平行线：两条直线如果在同一个平面内，且不相交，则它们被称为平行线。
用符号"||"表示两条直线平行。
2. 三角形：三角形是由三条线段组成的图形。
它具有三个顶点、三条边和三个内角，其中内角之和为180度。
二、平行线与三角形的关系平行线与三角形之间存在着多种关系。
下面我们逐一探讨它们的具体内容。
1. 平行线与三角形的边关系：当一对平行线被一条横切线切割时，所形成的对应角相等。
在三角形中，当一对平行线被三角形的两条边所截，所形成的对应角也是相等的。
2. 平行线与三角形的角关系：在平行线与三角形之间的角关系中，有两个重要的定理：a. 三角形内部的一条平行线定理（通行线定理）：如果一条直线与一个三角形的两条边分别交于不同的点，且与第三条边平行，那么它将把三角形分成与原三角形面积相等的两个小三角形。
b. 三角形内部的两条平行线定理（平行线分割定理）：当一对平行线被两条平行于第三边的直线所截，所形成的各小三角形与原三角形的面积之比相等。
3. 平行线与三角形的相似关系：当一对平行线被两条相交线所截，所形成的小三角形与原三角形相似。
这个关系在求解三角形的边长和角度时非常有用。
三、平行线与三角形的应用平行线与三角形的概念和关系在实际应用中有着广泛的运用。
以下以几个具体的例子来说明。
1. 建筑设计：平行线和三角形的关系在建筑设计中有着重要的应用，例如在平面布局中，要确保某些物体或空间相互平行或成三角形的形式，以满足设计需求。
2. 航海导航：通过观测天体的高度角和测量水平线和天体的距离，可以利用三角形的性质来计算位置与距离，而平行线则用于表示航向和航线。
平行线与相似三角形
平行线与相似三角形平行线与相似三角形是几何学中的重要概念，它们对于解决各种几何问题、推导定理以及实际应用具有重要意义。
平行线和相似三角形之间存在着密切的联系和应用。
本文将介绍平行线的性质、相似三角形的定义以及两者之间的关系。
一、平行线性质平行线是指在同一个平面内，它们的方向相同且永不相交的直线。
其中，平行线的性质包括以下几点：1. 平行线具有等夹角性质：如果一条直线与两条平行线相交，那么它分别与这两条平行线所成的内角互相等于外角。
2. 平行线具有比例性质：当一条直线与两条平行线相交时，它与两条平行线所夹的相对角相等，且这两条平行线上的对应线段比例相等。
3. 平行线具有平行传递性：如果一条直线与两条平行线相交，那么由这两条平行线所定义的两个内角和分别等于180度。
二、相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形中，对应角度相等、对应边线段成比例的三角形。
相似三角形的定义和性质如下：1. ASA相似准则：如果两个三角形的一对对应角度相等，并且两个对应角度夹着对应线段等于，那么这两个三角形相似。
2. SSS相似准则：如果两个三角形的对应边线段成比例，那么这两个三角形相似。
3. AA相似准则：如果两个三角形的一对对应角度相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的性质包括以下几点：1. 对应角度相等：两个相似三角形的对应角度相等。
2. 对应线段成比例：两个相似三角形的对应线段成比例。
3. 周长比例：两个相似三角形的周长之比等于对应线段长度之比。
三、平行线与相似三角形的关系平行线和相似三角形之间有着密切的联系，具体体现在以下几个方面：1. 平行线产生相似三角形：当一条直线与两条平行线相交时，根据等夹角性质和比例性质可得到相似三角形。
2. 平行线分割三角形：当平行线与两侧的边相交时，根据对应线段成比例的性质可得到相似三角形。
3. 平行线推导定理：通过应用平行线的性质以及相似三角形的定理，可以推导出众多几何定理，如Thales定理、倍角定理等。
平行线与三角形的性质
平行线与三角形的性质随着数学知识的深入学习，我们逐渐开始接触到平行线与三角形的性质。
平行线与三角形的关系在几何学中有着重要的地位，不仅可以帮助我们解决各种有关形状和角度的问题，还有助于培养我们的逻辑思维和推理能力。
本文将介绍平行线与三角形的基本概念和相关性质，并通过实例解析来帮助读者更好地理解。
一、平行线与三角形的基本概念在深入探讨平行线与三角形之前，先让我们回顾一下基本概念。
1. 平行线在平面几何中，如果两条直线在同一平面内，且永远不会交叉，我们称这两条直线为平行线。
用符号"//"表示两条直线平行。
2. 三角形三角形是由三条线段组成的封闭图形。
三角形的内部有三个内角，三边相交的点称为三角形的顶点。
二、平行线与三角形之间的性质平行线与三角形之间有许多有趣的性质和关系，下面我们将介绍其中一些常见的性质。
1. 平行线分割三角形如果一条直线平行于三角形的一边，那么它将分割出与该边平行的另外两个边。
这个性质在几何证明和计算中经常被应用。
2. 平行线及其交线对三角形的影响如果一条直线通过两条平行线交叉，那么它将把三角形划分为相似的三个小三角形。
这个性质有助于我们理解和计算三角形的面积和相似性质。
3. 平行线与等角如果两条平行线被一条第三条线切割或相交，那么切割或交点所形成的对应角是相等的。
这个性质有助于我们在处理平行线和角的关系时进行推理和证明。
4. 平行线的向量性质平行线可以通过向量进行表示和计算。
平行线上的两个点可以用向量相减的方式计算出它们之间的向量差。
这个性质在解决平行线和向量之间的问题时非常有用。
三、实例解析下面我们通过一些实例来具体解析平行线与三角形的性质。
1. 实例一如图1所示，已知直线AB和直线CD平行，且∠ACE=65°，求解∠BAC的度数。
（图示）解析：首先,根据平行线的性质可得∠ECD=∠ACE，因此∠ECD=65°。
令∠BAC的度数为x°，则根据三角形内角和的性质得∠ACD=180°-65°-x°=115°-x°。
平行线与三角形的性质
平行线与三角形的性质平行线与三角形的性质涉及到平行线与三角形之间的关系，通过研究这些性质，我们可以更好地理解和解决与平行线和三角形相关的问题。
本文将探讨平行线与三角形中的一些重要性质，以及这些性质在几何学中的应用。
一、平行线切割三角形当一条直线与两条平行线相交时，会将这两条平行线所限定的区域分成三个平行线切割的三角形。
这些三角形之间具有一些特殊的性质，值得我们深入研究和了解。
1. 对顶角相等性质当平行线AB和CD被一条横截线EF相交时，所形成的三角形ADE和BCF具有对顶角相等。
换言之，∠A = ∠B和∠D = ∠C。
这个性质可以通过证明来加以说明：由于AB和CD平行，所以有内错角相等性质，即∠CDE = ∠BAD和∠ABC = ∠EDF。
再由共同顶点D和形成的线段DE = EF，根据三角形的等边和等角性质，可以得出∠ADE = ∠BCF。
2. 间隔角互补性质当平行线AB和CD被一条横截线EF相交时，所形成的三角形ADE和BCF的间隔角互补，即∠A + ∠D = 180°和∠B + ∠C = 180°。
通过对顶角相等性质的证明可以轻松推导出这个结果。
这些性质在几何学中的应用非常广泛。
通过利用这些性质，我们可以证明平行线的存在性，解决与平行线和三角形相关的各种问题，以及应用到其他几何学中的证明中。
二、平行线与三角形边的比例关系在平行线与三角形的研究中，我们还可以观察到平行线与三角形边之间存在着一些特殊的比例关系。
这些关系不仅有助于我们理解三角形的形状和性质，还有助于解决与三角形相关的各种实际问题。
1. 哥伦布关系哥伦布关系是指当一条直线平行于一个三角形的一边时，它会将另外两边按一定比例分割。
具体而言，设有一个三角形ABC，P是BC边的一个点，且AP与BC平行，则有以下比例关系成立：AB/AP =AC/AP = (AC + CB)/BC。
这个关系可以应用在很多实际问题中，例如在建筑设计中，我们可以通过测量某个三角形的部分边长来计算其他边长。
平行线与相似三角形的性质
平行线与相似三角形的性质平行线和相似三角形是几何学中非常重要的概念和性质。
它们在解决实际问题、证明定理等方面起着重要的作用。
本文将探讨平行线与相似三角形的性质，并阐述它们的应用。
一、平行线的性质1. 平行线的定义：如果两条直线在平面上没有交点且永远保持相同的方向，那么它们是平行线。
2. 平行线的性质：（1）平行线具有传递性：如果a//b，b//c，则a//c。
这意味着如果有三条平行线，其中两条平行，那么第三条也与它们平行。
（2）平行线具有对应角相等性质：当两条平行线被一条横截线相交时，所形成的对应角互相相等。
（3）平行线具有同位角相等性质：两条平行线被一条横截线相交，那么同位角相等。
（4）平行线具有内错角相等性质：两条平行线被一条横截线相交，那么内错角（一个在两线之间，另一个在两线之外）相等。
二、相似三角形的性质1. 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，而对应边的长度成比例，那么这两个三角形是相似的。
2. 相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应边成比例：如果两个三角形相似，则它们的对应边的长度成比例。
（2）相似三角形的对应角相等：如果两个三角形相似，则它们的对应角相等。
（3）相似三角形的边角关系：相似三角形的对应角相等，则对应边的比例相等；相似三角形的对应边成比例，则对应角相等。
三、平行线与相似三角形的应用1. 平行线与比例的运用：由于平行线的性质，我们可以根据已知条件推导出未知长度的比例关系。
这种方法在解决实际问题时非常有用，比如计算高楼大厦的高度、建筑物的阴影长度等。
2. 相似三角形的应用：当两个三角形相似时，我们可以利用它们的比例关系求解未知量。
这在建筑设计、地图测量、电视机画面比例调整等方面都有实际应用。
例如，当我们在建造一栋高楼时，可以利用相似三角形的性质，通过测量楼顶与地面的距离和一个影子的长度，来计算整个高楼的高度。
另外，在地图测量中，我们可以通过已知比例的相似三角形，计算地图上两个地点的实际距离。
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平行线与三角形复习材料一、相关知识点复习：(一)平行线1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.判定：(1)同位角相等，两直线平行。
(2)内错角相等，两直线平行。
(3)同旁内角相等，两直线平行。
(4)垂直于同一直线的两直线平行。
3.性质：(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
(2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。
(3)两直线平行，同位角相等。
(4)两直线平行，内错角相等。
(5)两直线平行，同旁内角互补。
(二)三角形4.一般三角形的性质(1)角与角的关系：三个内角的和等于180 °一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何一个和它不相邻的内角。
(2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。
(3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。
(4)三角形的主要线段的性质(见下表)：5.几种特殊三角形的特殊性质(1)等腰三角形的特殊性质：①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。
(2)等边三角形的特殊性质：①等边三角形每个内角都等于60 °②等边三角形外心、内心合一。
(3)直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和 (其逆命题也成立)；④直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
6.三角形的面积(1) 一般三角形：S △=-a h (2h 是a边上的高 )⑵直角三角形：S △=1—a b =1 c h (a、b是直角边，c是斜边，h是斜边上的咼)2 2⑶等边三角形：S△:©2= a( a是边长)4⑷ 等底等高的三角形面积相等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的三角形的面积的比等于它们的相应的底的比。
7.相似三角形(1)相似三角形的判别方法：①如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；②如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。
(2)相似三角形的性质：①相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；②相似三角形的周长比等于相似比；③相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.全等三角形两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的对应线段也相等。
判定两个三角形全等的公理或定理：①一般三角形有SAS、ASA、AAS、SSS;②直角三角形还有HL二、巩固练习：、选择题:1.如图，若 AB // CD ，/ C = 60o,则/ A+Z E =( )A . 20oB . 30oC . 40oD . 60o2. 如图，Z 1 = Z 2,则下列结论一定成立的是( )A . AB // CD B . AD // BC C . Z B= ZD D . Z 3= Z4 3.如图，AD 丄BC ,DE // AB ，则Z B 和Z 1的关系是( ) 9. 等腰三角形中，一个角为 50°则这个等腰三角形的顶角的度数为（A.150 °B.80 °C.50 或 80 °D.70 °10 .如图，点D 、E 、F 是线段BC 的四等分点，点 A 在BC 外,连接AB 、AD 、AE 、AF 、AC ,若AB = AC ，则图中的全等三角形共有（ ）对 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5A. a = 3, b = 2 , c= 4B. a = 15, b = 12 , c = 9A.相等B.互补C.互余D.不能确定C. a = 9, b = 8, c = 11D. a = 7, b = 7 , c= 412 . 如图，△ AEDABC , AD = 4cm , AE = 3cm ,AC = 8cm ，那么这两个三角形的相似比是()3 13 A . B .C .D . 24284.如图，下列判断正确的是（） A . Z 1和Z 5是同位角; C . Z 3和Z 5是内错角; 5.下列命题正确的是（B . Z 2和Z 6是同位角;D . Z 3和Z 6是内错角. ）A .两直线与第三条直线相交，同位角相等;B .两直线与第三条直线相交，内错角相等;C .两直线平行，内错角相等；6 . 如图，若AB // CD ，则（ ) A . Z 1==Z 4 B. Z 3 = :Z 5C. Z 4= :Z 5 D. Z 3 = :Z 47 . 如图，11// 12, 则a =( ) A . 50 ° B . 80 ° C . 85 ° D . 95 °& 下列长度的三条线段能组成三角形的是（D .两直线平行，同旁内角相等。
)A.3cm , 4cm , 8cmB.5cm , 6cm , 11cmC.5cm , 6cm , 10cmD.3cm , 8cm , 12cm13.下列结论中，不正确的是（）A .有一个锐角相等的两个直角三角形相似；B .有一个锐角相等的两个等腰三角形相似；C .各11.三角形的三边分别为a 、b 、c ,下列哪个三角形是直角三角形？（ ))18.如果一个三角形的三边长分别为 _______ x , 2, 3，那么x 的取值范围是 。
19. 在厶ABC 中，AB = AC ，/ A = 80 ,则/ B = __________ ，/ C = _______ 。
20. 在厶 ABC 中，/ C = 90 ° Z A = 30 ° BC = 4cm ,贝U AB = __________ 。
21.已知直角三角形两直角边分别为 ___________ 6和8，则斜边上的中线长是求证：BE = CF(1)根据题意，画出示意图;29. 如图，已知 △ ABC 中，AB = AC , AE = AF , D 是BC 的中点22. 等腰直角三角形的斜边为 _________ 2,则它的面积是 。
23. 在Rt △ ABC 中，其中两条边的长分别是 3和4,则这个三角形的面积等于31 . 如图，CE 平分Z ACB 且 CE 丄 BD , Z DAB = Z DBA , AC = 18 , △ CDB 的周长是 BD 的长。
24.已知等腰三角形的一边长为 6,另一边长为10,则它的周长为 _________ 25. 等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，则它的顶角度数为26. 如图，A 、B 两点位于一个池塘的两端，冬冬想用绳子 测量A 、B 两点间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他 想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达 A 、B 的 点C ,找到AC , BC 的中点D 、E ,并且测得DE 的长 为15m ，贝UA 、B 两点间的距离为 _______________________ . 32 . 已知：如图，点 D 、E 在厶ABC 的边BC 上, AD = AE , BD = EC ,求证：AB = AC27. 如图，在 △ ABC 和厶DEF 中，AB=DE ,Z B= Z E .要使△ ABC ◎△ DEF ，需要补充的 是一个条件： _________________________________ 28.太阳光下，某建筑物在地面上的影长为 36m ，同时 量得高为1.2m 的测杆影长为2m ，那么该建筑物的高为 _____________________ 33 . *一条河的两岸有一段是平行的，在河的这一岸每隔5m 有一棵树，在河的对岸每隔 有一根电线杆，在此岸离岸边25m 处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且这两棵树之间还有三棵树。
50m求证： Z 1 = Z 2 30. 如图，已知 D 是BC 的中点，BE 丄AE 于E , CF 丄AE 于F练习答案:(2)求河宽。
三、解答题:、选择题28、BC=EF 或/ A=Z D 或/ C=Z F 29、21.6m三、证明题30、BE=CF 、/ B=Z C 、BD=DC>A BED^A CFD^Z 仁/231、△ BED^A CF»BE=CF 32、/ A=Z DBQ AD=BD> CD+BD=AC=18 △ CDB 的周长是 28~ BC=10 33、AD=AE»Z ADE/ AED^Z ADB/ AEOA ABD^A AESAB=AC解：如图，根据题意，有 AB// CD交AB 于M 点，且 AB=20mCD=50m PM=25m AB// CD^A PAB^A PC —25_20TPN=62.5~MN=37.5PN 501、 D2、 B 9、C 10、C二、填空题14、130 ° 19、 1<x<5 24、6 或3 723、C4、 11、 B 12、 15、140° 20、 50°、50A 5、CB13、B16、 40° 21、 8cm 26、120° 6、C 7、C 17、 65° 22、5 27、30m8、C18、 36cm 223、134、D。