清华考研 电路原理课件 第10章 正弦电流电路的稳态分析

A=a+jb （j = − 1 为虚数单位） A
0 极坐标
a
Re Im b
A=|A|ejθ =|A| ∠θ
A θ
O
a
Re
两种表示法的关系：
⎧ | A |= a 2 + b 2 ⎪ ⎨ b ⎪ θ = arctan a ⎩
或
⎧ a =| A | cosθ ⎨ ⎩ b =| A | sinθ
二、复数运算 1. 加减运算—直角坐标 若 则 Im
̇e jω t = 2 Ie jψ e jω t = 2 Ie j(ω t +ψ )是模为 2 I , 初始角度 2I 为ψ 的旋转相量。
正弦时间函数 i = I m sin(ωt + ψ ) = 是旋转相量 2 Ie j(ω t +ψ
)
2 Isin(ωt + ψ )
在虚轴上的投影。
例1 已知 i = 141 .4 sin( 314 t + 30° ) A u = 311.1sin(3 14 t − 60° )V 试用相量表示 i , u 。 解 ̇ = 100∠ 30° A I ̇ = 220∠ − 60°V U ̇ = 50∠15°A , f = 50Hz 。 I
清华大学 电路原理 电子课件
江辑光版
参考教材： 《电路原理》（第 2版） 清华大学出版社， 2007年3月 江辑光 刘秀成 《电路原理》 清华大学出版社， 2007年3月 于歆杰 朱桂萍 陆文娟 《电路》（第 5版）高等教育出版社， 2006年5月 邱关源 罗先觉
第10 章 正弦电流电路的稳态分析 10章
� 本章重点 • 正弦量的三要素，两个正弦量的相位差 • 正弦量的相量表示 • 复阻抗与复导纳 • 相量图 • 用相量法分析正弦稳态电路 • 正弦电流电路中的功率分析
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10.1 正弦量的基本概念
一、正弦量（sinusoid）的三要素 瞬时值（instantaneous value）表达式 i i(t)=Imsin(ω t+ψ) _ + u 波形
̇ = 3∠ 0 o V , U ̇ = 4∠90� V 解 U 1 2 ̇ =U ̇ +U ̇ = 5∠53.1° V U
1 2
u( t ) = u1 ( t ) + u2 ( t ) = 5 2sin( 314t + 53.1°) V
相量图（phasor diagram） 在复平面上用有向线段表示相量的图形称为相量图。 有向线段的长度为相量的模；有向线段与实轴的夹角为 相量的辐角，且逆时针方向为正，顺时针方向为负。 同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。
本章重点 本章重点 10. 10. 1 1 正弦量的基本概念 10. 10. 2 2 周期性电流、电压的有效值 10. 3 复数复习 10. 10. 4 4 正弦量的相量表示 10. 5 电阻、电感和电容元件电 压电流的相量关系
10. 6 基尔霍夫定律的相量形式 及电路的相量模型 10. 7 复阻抗、复导纳及其等效变换 10. 8 用相量法分析电路的正弦稳态响应 10. 9 正弦电流电路中的功率 10. 10 复功率 10. 11 最大功率传输定理
乘法：模相乘，角相加； 除法：模相除，角相减。 例1 5 ∠47° + 10∠−25 °= (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226) =12.47-j0.567 = 12.48 ∠-2.61°
例2
(17 + j9) (4 + j6) 220 ∠35° + 20 + j5 19.24∠ 27.9° × 7.211∠56.3° = 180.2 + j126.2 + 20.62∠14.04° = 180.2 + j126.2 + 6.728∠70.16°
1 T 2 I= i ( t )dt ∫ 0 T
def
有效值也称方均根值（root-mean-square，简记为 rms）。 同样，可定义电压有效值 1 T 2 U= u ( t )dt ∫ 0 T
def
例 正弦周期电压如图所示。求其有效值U。
u(t)/V 2 1
0 1 2 3 4 5 6
t/s
2. 正弦量的微分，积分运算 ̇ i↔I
̇ u↔U 1 U ̇ u d t ↔ ∫ jω
di ↔ jωI ̇ dt
证明
di = d Im[ 2 I ̇e jω t ] dt d t d ( 2I ̇e jωt )] = Im[ d t ̇ ) e jωt ] = Im[ 2 (jω I
例
̇ = I ∠ψ i1 = 2 I 1sin(ωt + ψ 1 ) ⇔ I 1 1 1 ̇ = I ∠ψ i 2 = 2 I 2 sin(ωt + ψ 2 ) ⇔ I 2 2 2
2 2 2 2 2
2
Im
̇ I 2
ψ2
̇ +I ̇ I 1 2
0
ψ1
̇ I 1
Re
̇ −I 2
̇ −I ̇ I 1 2
例2 已知
试写出电流的瞬时值表达式。 解
i = 5 2sin( 314t + 15°) A
二、相量运算 1. 同频率正弦量相加减 ̇ e jω t ) u1 ( t ) = U m1 sin(ω t + ψ 1 ) = Im( 2U 1 ̇ e jω t ) u ( t ) = U sin(ω t + ψ ) = Im( 2U
= 180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329 = 182.5 + j132.5 = 225.5∠36°
3. 旋转因子 jsinθ =1∠θ 复数 ejθ =cosθ + +jsin
A• ejθ 相当于A逆时针旋转一个角度θ ，而模不变。故 把 ejθ 称为旋转因子。
ejπ/2 =j , e-jπ/2 = -j, ejπ= –1 故 + j, –j, -1 都可以看成旋转因子。 +j,
A1+A2 A2 A1
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
0
Re
图解法：用平行四边形法则进行加减运算。
2. 乘除运算—极坐标 若 则
A1=|A1| θ 1 ，若A2=|A2| θ 2 A1 A2 = A1 ∠θ 1 A2 ∠θ 2 = A1 e jθ1 A2 e jθ 2
∫
T
0
sin ( ωt + ψ i )dt = ∫
2
T
0
1 − cos 2(ωt + ψ i ) 1 dt = T 2 2
Im 1 2 T ∴ I= Im ⋅ = = 0.707 I m T 2 2
或
即
Im = 2I
i ( t ) = I m sin(ωt + ψ i ) = 2 I sin(ωt + ψ i )
2 m2 2 2
u(t ) = u1 ( t ) + u2 ( t ) ̇ e jω t ) + Im( 2U ̇ e jω t ) = Im( 2U 1 2 ̇ e jω t + 2U ̇ e jω t ) = Im( 2(U ̇ +U ̇ )e jω t ) = Im( 2U 1 2 1 2 ̇ =U ̇ +U ̇ ∴ U 1 2
0
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。 规定： |ϕ | ≤π 。
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10.2 周期性电流、电压的有效值
一、 有效值（effective value）的定义 周期性电流 i 流过电阻 R 在一周期 T 内消耗的电能，等于 一直流电流I 流过R在时间T 内消耗的电能，则称电流 I 为周期 性电流 i 的有效值。
（ 3 ） 初相位（ initial phase angle ） ψ ：反映了正弦量的 计时起点。 （ωt+ψ）— 相位角。 （ωt+ψ）|t=0=ψ — 初相位角，简称初相位。 同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 i
ψ
0
ωt
一般规定：|ψ |≤π 。
ψ =0 ψ =π/2 ψ =-π/2
二、相位差（phase difference）：两个同频率正弦量相位角之差。 设电压u(t)=Umsin(ω t+ψu), 电流 i(t)=Imsin(ωt+ψi) 则 电压、电流间的相位差为 ϕ = (ω t+ψ u)-(ω t+ψ i)=ψ u-ψ i • ϕ >0 电压 领先（超前）电流ϕ 角，或电流 落后（滞后) 电压 ϕ 角（u 比 i 先到达最大值）； u, i u i 0 ψ uψ i ϕ
i
ωT=2π
0
ψ
ωt
Im , ω , ψ ——正弦量的三要素
正弦量的三要素： （1） 幅值（amplitude）（振幅、 最大值）Im：反映 正弦量变化幅度的大小。 （2） 角频率（angular frequency ）ω ： 反映正弦量 dt为相角随时间变化的速度。 变化的快慢。 ω =d(ω t+ψ )/ )/d 相关量：频率f （frequency）和周期T （period）。 2π πf = 关系: ω = 2 2π T 物理量 符号 单位名称 角频率 ω rad/s ，弧度/秒 1/s Hz，1/秒 赫[兹] 频率 f 周期 T s，秒
电流有效值的数学描述： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内消耗的电能为 i(t)
R
W 1 = ∫ i 2 ( t ) Rd t
0
T
直流电流I 流过R , 在时间T 内消耗的电能为 I
R
令W 2 = W 1 , 即
2
W2=I 2RT I RT = ∫ i 2 ( t ) Rdt , 得
0
T
解 根据有效值的定义，有
1 T 2 U= u ( t )dt ∫ 0 T =
2 3 1⎛ 1 2 2 2 ⎜ ∫ 0 1 dt + ∫1 2 dt + ∫2 0 dt ⎞ ⎟ = 1.29 V ⎠ 3⎝
二、正弦电流、电压的有效值 (ω t+ψi) 设电流 i(t)=Imsin sin( 1 T 2 2 I= I sin ( ωt + ψ i )dt m ∫ T 0 ∵
= A1 A2 e j(θ1 +θ Байду номын сангаас ) = A1 A2 ∠θ 1 + θ 2
A1 | A1 | ∠θ 1 | A1 | e jθ 1 | A1 | j(θ 1−θ 2 ) | A1 | = = = = e ∠θ 1 − θ 2 jθ 2 | A2 | A2 | A2 | ∠θ 2 | A2 | e | A2 |
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系 1 U= Um 或 U m = 2U 2 若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um≈311V；
U=380V，
Um≈537V。
* 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
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10.3 复数复习
一、 复数（complex）A表示形式 直角坐标 Im b
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10.4
正弦量的相量表示
一、正弦量的相量（phasor）表示 设有一正弦电流
i = I m sin(ωt + ψ ) = 2 Isin(ωt + ψ )
作一个复函数A(t)，并应用欧拉公式，有
A( t ) = 2 Ie j(ω t +ψ )
= 2 Icos(ωt + ψ ) + j 2 Isin(ωt + ψ ) 可见
i ( t ) = 2 Isin(ωt + ψ )
= Im[ A( t )] = Im[ 2 Ie j(ω t +ψ ) ] = Im[ 2 ( Ie jψ )e jω t ] ̇e jω t ] = Im[ 2 I
上式中
̇ = Ie jψ = I∠ψ I
̇ = I ∠ ψ 即正弦量 i ( t )所对应的相量。 I
ωt
• ϕ <0 电流领先（超前）电压⎟ϕ ⎟角，或电压 落后（滞后） 电流 ⎟ϕ ⎟ 角（i 比 u 先到达最大值）。
特例：
u, i u i ωt
ϕ =0， 同相（in phase）
0
ϕ =π ，反相（opposite in phase） u, i u
0
iω t
ϕ = π/2，正交 u, i u i ωt
故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。 i1 ± i2 = i3 ̇ ± I ̇ =I ̇ I 1 2 3
例
已知u1 ( t ) = 3 2sin 314t V，u2 ( t ) = 4 2sin( 314t + 90°) V 求 u( t ) = u1 ( t ) + u2 ( t )。
在确定的频率下，一个正弦时间函数可与一相量建立 一一对应关系： ̇ = I∠ ψ i ( t ) = 2 I sin(ωt + ψ ) ⇔ I
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系： ̇ = U∠ θ u( t ) = 2U sin(ωt + θ ) ⇔ U
旋转相量(rotating phasor)与正弦时间函数对应关系的几何意义：