高中数学选修1_1圆锥曲线与方程资料知识点讲义全
数学选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程知识梳理
第二章 圆锥曲线与方程一、椭 圆（一）椭圆及其标准方程1．椭圆的概念：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于_常数_(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2，当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时_不存在_轨迹．2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，焦点坐标为_F 1(－c ，0)__F 2(c ，0)，焦距为_2c _；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)．（二）椭圆的简单几何性质1．椭圆的简单几何性质（1）椭圆的中心：椭圆关于x 轴、y 轴对称，这时原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
（2）椭圆的顶点：椭圆与它对称轴的四个交点叫做椭圆的顶点。
（3）椭圆的长轴和短轴：椭圆对称轴被椭圆截得的线段叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别是2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）椭圆的离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ac称为椭圆的离心率，用e 表示，即：)22101c b e e a a==-<<。
e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁；e 越接近0，则c 越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。
焦点的位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 y 2a 2＋x2b 2＝1 范围 －a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a顶点 (±a,0)，(0，±b ) (±b,0)，(0，±a )轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a焦点 (±c,0) (0，±c )焦距 2c ＝2a 2－b 2对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是原点离心率 e ＝ca，0<e <1 2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有 1 组实数解，即Δ ＝ 0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有___2___组实数解，即Δ___>___0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有___0___组实数解，即Δ___<___0.1．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a >b >0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．2．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx 2＋ny 2＝1 (m ，n 为不相等的正数)．3．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．4．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．5．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．6．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．二、双曲线（一）双曲线及其标准方程1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于_|F 1F 2|_)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为__以F 1，F 2为端点的两条射线_．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹_不存在 ． (2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距_．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，焦点F 1_(－c,0)_，F 2_( c ，0)__.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，焦点F 1_(0，－c )_，F 2__(0，c )_.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是___c 2＝a 2＋b 2_．（二）双曲线的简单几何性质1．双曲线的几何性质（1）双曲线的中心：双曲线关于x 轴、y 轴对称，这时原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)
a＝4 2， 解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数 法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准， 定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦 点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过 点A(5,0)．
2a＝5×2b， 由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝ ＝51， ，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b， 由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝ ＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定 义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形 等知识．
新课标高中数学《第二章圆锥曲线与方程》归纳整合新人教A版选修1-1
∵O→R·O→T＝176，∴x1x2＋y1y2＝176. y＝kx－4，
由1x62 ＋1y22 ＝1，得(3＋4k2)x2－32kx＋16＝0， 由Δ>0得，(－32k)2－4(3＋4k2)×16>0， 解得k2>14.① ∴x1＋x2＝3＋324kk2，x1x2＝3＋164k2， ∴y1y2＝(kx1－4)(kx2－4)＝k2x1x2－4k(x1＋x2)＋16， 故x1x2＋y1y2＝3＋164k2＋31＋6k42k2－31＋284kk22＋16＝176，
本章归纳整合
知识网络
要点归纳 1．研究椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线的方法是一致 的．例如在研究完椭圆的几何特征、定义、标准方程、简单性 质等以后，通过类比就能得到双曲线、抛物线所要研究的问题 以及研究的基本方法．
2．对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的 意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如(1)在求轨迹 时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的 方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与 两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识 来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到 焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义 去解决．
【例1】 过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2， 若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点 M的轨迹方程． 解 法一 设点M的坐标为(x，y)． ∵M为线段AB的中点， ∴A的坐标为(2x，0)，B坐标为(0，2y)． ∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2，4)， ∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1，而kPA＝24－－20x(x≠1)． kPB＝42－－20y，∴1－2 x·2－1 y＝－1(x≠1)， 整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)
高中数学北师大版选修1-1 第2章 圆锥曲线与方程 本章整合 课件(43张)
2
������2 - =1(x>1,y<0). 3
2
综上,所求点 M 的轨迹方程为 x
������2 - =1(x>1)和 3
y=0(-1<x<2).
-7-
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 圆锥曲线的定义、性质 椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单的 几何性质是本章的基础. 对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线的定义解题的意 识,“回归定义”是一种重要的解题策略.如(1)在求轨迹时,若所求轨 迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的方程写出所求的轨 迹方程;(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问 题时,常用定义结合解三角形的知识来解决;(3)在求有关抛物线的 最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结 合几何图形利用几何意义去解决.
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专题一
专题二
专题三
专题四
当∠MBA=90°时,△MAB 为等腰直角三角形,点 M 的坐标为 (2,3). ������ 当∠MBA≠90°时,tan(π-2α)=kMB= .
������-2
①当点 M 在 x 轴上方时,α≠90°,tan α=kMA=������+1,
������
∴tan(π-2α)=-tan 2α=
-8-
专题一
专题二
专题三
专题四
应用1 抛物线y2=2px(p>0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F是 它的焦点,若|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则( ) A.x1,x2,x3成等差数列B.y1,y2,y3成等差数列 C.x1,x3,x2成等差数列D.y1,y3,y2成等差数列 解析:如图,由抛物线定义, 得|AF|=|AA'|,|BF|=|BB'|,|CF|=|CC'|. ∵2|BF|=|AF|+|CF|, ∴2|BB'|=|AA'|+|CC'|.
高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》知识点讲义(K12教育文档)
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第二章 圆锥曲线与方程一、曲线与方程的定义：(),C F x y 设曲线，方程=0，满足以下两个条件：()(),,C x y F x y ∀①曲线上一点的坐标满足=0；()(),,.F x y x y C ∀②方程=0解都在曲线上()(),,.C F x y F x y C 则曲线称是方程=0的曲线，方程=0是曲线的方程二、求曲线方程的两种类型：()1、已知曲线求方程；用待定系数法()()()2,;,x y x y 、未知曲线求方程①设动点②建立等量关系；③用含的式子代替等量关系；④化简；别出现不等价情况⑤证明；高中不要求椭圆一、椭圆及其标准方程1、画法{}121222,2P PF PF a F F a +=<、定义：3、方程()()222222221010x y y x a b a b a ba b +=>>+=>>①或②()2222+10x y a b a b=>>二、几何性质：1,.x a y b ≤≤、范围：2x y O 、对称性：关于、、原点对称. ()()()()12123,0,,0,0,,0,.A a A aB b B b --、顶点2224,,a b c a b c =+、之间的关系：()225101c b e e a a ==-<<、离心率：0,1e e →→越圆越扁扩展：()222222222x y x y m b a b a m b m <--①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1 ()()222222221010x y y x k k ka kb ka kb +=>+=>②有相同离心率的椭圆为或.a c a c -+③椭圆上的点到焦点的最小距离是，最大距离是12P P F PF ∠④为椭圆上一动点，当点为短轴端点时，最大.24.AB F ABF a ⑤为过焦点的弦，则的周长为()()1122,,,y kx b A x y B x y l =+⑥直线与圆锥曲线相交于两点，则当直线的斜率存在时，弦长为:()()222121212114l k x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦()212121222110114k l y y y y y k k ⎡⎤=+-=++-⎣⎦或当存在且不为时，()2210,0.Ax By A B +=>>⑥当椭圆的焦点位置不确定时，可设椭圆的方程为双曲线一、双曲线及其标准方程1、画法{}121222,2P PF PF a F F a-=>、定义：3、方程：()() 222222221,01,0 x y y xa b a ba b a b-=>-=>①或②()22221,0x ya ba b-=>二、几何性质：1,x a y R≥∉、范围：2x y O、对称性：关于轴、轴、原点对称.()()121212,0,,0=2.A a A aA A aB B b-=3、顶点：实轴2，虚轴222.a b c c a b=+4、、、之间的关系：()22511c be ea ae==+>、离心率:越大，开口越阔22221b y x a y x y x a a b b ⎛⎫=±-==± ⎪⎝⎭6、渐近线：的渐近线为()2222222210x y x y m m a b a b -=-=>说明：与有相同离心率.抛物线一、抛物线及其标准方程P l PF PF l d -⎧⎫∉⎨⎬⎩⎭1、定义：且2、标准方程及几何性质 标准方程()220y px p =>()220y px p =->()220x py p =>()220x py p =->简图焦点 ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、 02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭、 准线 2p x =-2px =2p y =-2p y =范围 0x ≥0x ≤0y ≥0y ≤对称性 x 轴y 轴顶点 ()0,0离心率1e =P 说明：①越大，开口越阔.②抛物线无限向外延展，但它无渐进线.扩展：Q Q 1、设点分别位于抛物线开口以内，抛物线上，以及开口以外，问过点且和抛物线只有一个交点的直线有几条？()1.Q 答：①当位于抛物线开口以内，个交点的直线只有一条主轴或其平行线1Q ②当位于抛物线上，个交点的直线有两条，即主轴或其平行线，和切线. 1.Q ③当位于抛物线外，个交点的直线有3条，分别是主轴或其平行线，两条切线2、过焦点的弦长()22A B A B AB AF BFp p x x p x x =+⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++如图，。
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.1.2.1
答案： A
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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3．椭圆的短轴长等于 2，长轴端点与短轴端点间的距离等 于 5，则此椭圆的标准方程是______________．
解析： 设椭圆的长半轴长为 a，短半轴长为 b，焦距为 2c， 则 b＝1，a2＋b2＝( 5)2，即 a2＝4.
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数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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由方程确定椭圆的性质
已知椭圆的方程为4x2＋9y2＝36. (1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长以及离 心率； (2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
解析： (1)由题意：因为 2c＝8，所以 c＝4；又因为ac＝0.8， 所以 a＝5，b2＝9，焦点在 x 轴上时椭圆标准方程：2x52 ＋y92＝1； 焦点在 y 轴上时椭圆标准方程：2y52 ＋x92＝1.
(2)由题意可知 2b＝2 3，∴b＝ 3，
焦点为(0，－1)，∴焦点在 y 轴上且 c＝1，
准确理解椭圆的离心率 椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的扁平 程度． 由ba＝ a2－a2 c2＝ 1－e2(0<e<1)可知，当 e 越趋近于 1 时， ba越趋近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋近于 0 时，ba越趋近于 1，椭 圆越接近于圆．当且仅当 a＝b 时，c＝0，两焦点重合，图形变 为圆，方程为 x2＋y2＝a2.
人教版高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用教学课件共18张
c a
F1PA F2 PA
椭圆光学性质的应用
影片门
一个焦点放光源，一个 焦点处放影片。
体外碎石技术
将人的肾结石位于一个 焦点处，在另一个焦点 处释放高能冲击波。
回音壁
一人站在东配殿墙下轻 声说话，另一人在西配 殿墙下听得清清楚楚。
刁尼秀斯之耳
俘虏秘密商讨的计划， 总是被看守识破
圆锥曲线光学性质探究的一般“套路”
F1 A F2 A
思路3：斜率 +两角差的正切公式
思路1：夹角公式 即cos FP1, n cos F2P, n
解：记F1(c,0), F2(c,0),则F1P (x0 c,0), F2P (x0 c,0)
y
由焦半径公式得 F1P a ex0 , F2P a ex0 .
P (x0,y0) 当P为(0, b)时，根据椭圆的对称性显然成立.
P (x0,y0)
l
F2 x
由焦半径公式得 F1P a ex0 , F2P a ex0 .
当P为(0, b)时，根据椭圆的对称性显然成立.
当法线PA的斜率存在时，记为：y
y0
a2 y0 b2 x0
(x
x0 ),
令y 0,则x e2 x0 , 则PA与x轴的交点A(e2 x0 , 0).
PF1 F1 A
y0 , x0 c
P (x0,y0) l
法线PA的方程为：y
y0
a2 y0 b2 x0
(x
பைடு நூலகம்
x0 ),则kPA
a2 y0 b2 x0
.
F1
A F2 x 根据两角差的正切公式可得
a2 y0 b2 x0
1
a2 y0 b2 x0
高二数学北师大版选修1-1课件：第二章 圆锥曲线与方程本章整合
= -0 ,
则有
即
0 = -.
= 0 ,
∵点 P(x0,y0)在抛物线 y2=2px(p>0)上,
∴(-x)2=2py,即 x2=2py(p>0).
故所求点 R 的轨迹方程为 x2=2py(p>0,y≠0).
-9-
网络构建
本章整合
专题一
专题二
专题三
专题探究
专题四
专题二 求圆锥曲线的离心率及其范围问题
2
综上,点 M 的轨迹方程为 x
2
- =1(x>1)和
3
y=0(-1<x<2).
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网络构建
本章整合
专题一
专题二
专题三
专题探究
专题四
应用 2 已知三点 A(-7,0),B(7,0),C(2,-12).若椭圆过 A,B 两点,且
C 为其一焦点,求另一焦点 F 的轨迹方程.
提示:题目中的条件涉及椭圆上的两点和一个焦点的坐标,求另一焦点
专题四
(3)解:由题意知点 P 分 AB 所成的比 λ=3,
+3
∴ 14 2
2
= ,即
24
又 x1+x2=
∴x1=
42
x1+3x2= .
4,
4 -
2
2 (2 +2 )
2
2
(2 -2 )2
,x2=
2
.
(2 - )
(2 - )
2
2
2 (2 +2 ) (2 -2 )2
2
- =1(x≤1).
48
2
x
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高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》知识点讲义
高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》知识点讲义第二章 圆锥曲线与方程一、曲线与方程的定义：(),C F x y 设曲线，方程=0，满足以下两个条件：()(),,C x y F x y ∀①曲线上一点的坐标满足=0；()(),,.F x y x y C ∀②方程=0解都在曲线上()(),,.C F x y F x y C 则曲线称是方程=0的曲线，方程=0是曲线的方程二、求曲线方程的两种类型：()1、已知曲线求方程；用待定系数法()()()2,;,x y x y 、未知曲线求方程①设动点②建立等量关系；③用含的式子代替等量关系；④化简；别出现不等价情况⑤证明；高中不要求椭圆一、椭圆及其标准方程1、画法{}121222,2P PF PF a F F a +=<、定义：3、方程()()222222221010x y y x a b a b a ba b+=>>+=>>①或②()2222+10x y a b a b=>>二、几何性质：1,.x a y b ≤≤、范围：2x y O 、对称性：关于、、原点对称.()()()()12123,0,,0,0,,0,.A a A aB b B b --、顶点2224,,a b c a b c =+、之间的关系： ()225101c b e e a a==-<<、离心率：0,1e e →→越圆越扁扩展：()222222222x y x y m b a b a m b m <--①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1()()222222221010x y y x k k ka kb ka kb +=>+=>②有相同离心率的椭圆为或.a c a c -+③椭圆上的点到焦点的最小距离是，最大距离是12P P F PF ∠④为椭圆上一动点，当点为短轴端点时，最大.24.AB F ABF a ⑤为过焦点的弦，则的周长为()()1122,,,y kx b A x y B x y l =+⑥直线与圆锥曲线相交于两点，则当直线的斜率存在时，弦长为:()()222121212114l k x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦()212121222110114k l y y y y y k k⎡⎤=+-=++-⎣⎦或当存在且不为时，()2210,0.Ax By A B +=>>⑥当椭圆的焦点位置不确定时，可设椭圆的方程为1,x a y R≥∉、范围：2x y O 、对称性：关于轴、轴、原点对称.()()121212,0,,0=2.A a A a A A aB B b -=3、顶点：实轴2，虚轴222.a b c c a b =+4、、、之间的关系：()22511c b e e a ae ==+>、离心率:越大，开口越阔22221b y x a y x y x a a b b ⎛⎫=±-==± ⎪⎝⎭6、渐近线：的渐近线为()2222222210x y x y m m a b a b-=-=>说明：与有相同离心率.抛物线一、抛物线及其标准方程P l PF P F l d -⎧⎫∉⎨⎬⎩⎭1、定义：且2、标准方程及几何性质 标准方程 ()220y px p =>()220y px p =->()220x py p =>()220x py p =->简图焦点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、 02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭、准线 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范围 0x ≥0x ≤0y ≥0y ≤对称性 x 轴y 轴顶点 ()0,0离心率 1e =P 说明：①越大，开口越阔.②抛物线无限向外延展，但它无渐进线.扩展：Q Q 1、设点分别位于抛物线开口以内，抛物线上，以及开口以外，问过点且和抛物线只有一个交点的直线有几条？()1.Q 答：①当位于抛物线开口以内，个交点的直线只有一条主轴或其平行线1Q ②当位于抛物线上，个交点的直线有两条，即主轴或其平行线，和切线. 1.Q ③当位于抛物线外，个交点的直线有3条，分别是主轴或其平行线，两条切线2、过焦点的弦长()22A B A B AB AF BFp p x x p x x =+⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++如图，。
高中数学人教B版选修1-1课件第二章 圆锥曲线与方程2.1.2 第1课时精选ppt课件
于C.x 4 2＋y 2 2＝1
)
B.x 4 2＋ y2 3＝1 D.x 4 2＋y 3 2＝1
F(1,0)，离心率等
【解析】 右焦点为 F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在 x 轴上；c＝1. 又离心率为ac＝12， 故 a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3， 故椭圆的方程为x42＋y32＝1，故选 D.
(1)如图 2－1－1 所示，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上
点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离
心率；
(2)椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点为 F1(－c,0)、F2(c,0)，M 是椭圆上
一点，满足F→1M·F→2M＝0.求离心率 e 的取值范围．
(2)已知椭圆x92＋y m2＝1 的一个顶点为(0,5)，试求椭圆的长轴长，短轴长，焦 点坐标，离心率及其余的顶点．
【解】
∵(0,5)是椭圆x92＋y m2＝1 的顶点，∴m＝25.
∴椭圆方程为x92＋2y5 2 ＝1，∴a2＝25，b2＝9.∴c2＝a2－b2＝16.
∴长轴长 2a＝10，短轴长 2b＝6，焦点为(0，－4)，(0,4)，
2.1椭圆的简单几何性质
2.1椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
学
2.1椭圆的简单几何性质
业分2.1椭圆的简单几何性质
层
测
第1课时 椭圆的简单几何性质
评第1课时椭圆的简单几何性质
1．掌握椭圆的简单几何性质．(重点) 2．掌握椭圆离心率的求法及 a，b，c 的几何意义．(难点) 3．理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念．(易 混点)
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程
1.请说出下列方程所表示曲线的焦点位置及 a ，b
x2 y2
x2 y2
x2 y2
(1) 1 (2) 1 (3) 1
94
49
49
(4)4x2 y2 64
（六）例题讲解，巩固强化
已知双曲线两个焦点分别为F1（-5，0），F2(5,0), 双曲线上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于6，
F1 o F2
注意
（1）2a<2c ； （2）2a >0 ；问 是题 什1么：?若2a = 0,则图形
问题2:定义中为什么要强调差的绝对值？
1.若 MF1 MF2 2a 0 2a F1F2
则图形为 ___双__曲__线__右__支___________
F1
F2
2.若 MF1 MF2 2a 0 2a F1F2
F1 O F2 x
(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
y M
x2 a2
c2
y2 a2
1
c2 a2
b2
F2
x
O
F1
x2 y2 1(a 0,b 0)
a2 b2
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
y2 a2
x2 b2
1(a 0, b 0)
(2)双曲线方程中 a 0,b 0 ,但 a 不一定椭大圆于中:b用；“+”相连
(3)双曲线标准方程中左边用“-确”定相焦连点，位右置边: 为1.
椭圆看分母的大小,焦点跟着大的跑；
(4)如果 x2 的系数是正的，那么双焦曲点线在看系x数轴的上正，负,焦点跟着正的去.
如 果 y2 的系数是正的，那么焦点在 y 轴上.
一个动点
笔尖滑动 图钉不动
（人教版）高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.1.1
是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2.
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第二章 圆锥曲线与方程
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x2 y2 1．设 P 是椭圆25＋16＝1 上的点，F1，F2 是椭圆的两个焦 点，则|PF1|＋|PF2|等于( A．4 C．8 ) B．5 D．10
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解析： (1)由题意知，2c＝4，c＝2. 且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8， 即 2a＝8， ∴a＝4. ∴b2＝a2－c2＝16－4＝12. 又椭圆的焦点在 x 轴上， x2 y2 ∴椭圆的方程为16＋12＝1.
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当2a>2c时，集合P为椭圆；
当2a＝2c时，集合P为线段F1F2； 当2a<2c时，集合P为空集，即动点M的轨迹不存在．
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第二章 圆锥曲线与方程
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椭圆的标准方程
焦点位置
2
在x轴上
x y 2＋ 2＝1(a>b>0) a b ____________________
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第二章 圆锥曲线与方程
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1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆
的过程．
2．了解椭圆的标准方程的推导及简化过程． 3．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
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第二章 圆锥曲线与方程
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在生活中，我们对椭圆并不陌生．油罐汽车的贮油罐横截 面的外轮廓线、天体中一些行星和卫星运行的轨道都是椭圆；
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2.2
解得 x1＝3＋2 2，x2＝3－2 2. 将 x1，x2 的值代入方程①中，得 y1＝2＋2 2， y2＝2－2 2，即 A，B 的坐标分别是 (3＋2 2，2＋2 2)，(3－2 2，2－2 2)．
∴|AB|＝ 4 22＋4 22＝8.
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直线与抛物线位置关系问题
当k为何值时，直线y＝kx＋k－2与抛物线y2＝4x有两 个公共点？仅有一个公共点？无公共点？
[思路点拨] 联立方程组 → 讨论首项系数 → 讨论Δ符号 → 判断直线与抛物线的公共点个数
第二章 圆锥曲线与方程
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2．已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线 上一点A(1，m)到焦点的距离为3.
(1)求此抛物线的方程； (2)若此抛物线方程与直线y＝kx－2相交于不同的两点A， B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
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∴|PQ|＝x1＋x2＋p. ∵x1＋x2＝3p，∴|PQ|＝x1＋x2＋p＝4p. 答案： A
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第二章 圆锥曲线与方程
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3．线段 AB 是抛物线 y2＝x 的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线
段 AB 的中点 C 到直线 x＋12＝0 的距离为________． 解析： 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，
圆锥曲线与方程知识点详细
圆锥曲线与方程知识点详细圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们在数学、物理等领域都有着广泛的应用。
接下来，让我们详细了解一下圆锥曲线与方程的相关知识点。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
2、标准方程焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为椭圆的长半轴长，＄b$为椭圆的短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄为半焦距。
焦点在$y$轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。
3、椭圆的性质（1）范围：对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
（2）对称性：椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
（3）顶点：焦点在$x$轴上的椭圆的顶点为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆的顶点为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。
（4）离心率：＄e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄0 ＜ e ＜ 1$），离心率反映了椭圆的扁平程度，＄e$越接近$0$，椭圆越圆；＄e$越接近$1$，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
2、标准方程焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$，其中$a ＞ 0$，＄b ＞ 0$，＄c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。
人教版高中数学选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》师用讲解
选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》§2.1.1 椭圆及其标准方程【知识要点】● 椭圆的定义：到两个定点 F 1、F 2的距离之和等于定长（12F F >）的点的轨迹．● 标准方程：（1）()222210x y a b a b+=>>，22c a b =-，焦点是 F 1（－c ，0），F 2（c ，0）；（2）()222210y x a b a b+=>>，22c a b =-，焦点是 F 1（0，－c ），F 2（0，c ）．【例题精讲】【例 1】两个焦点坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10，写出椭圆的标准方程．【例 2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0，2）且过35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求椭圆的标准方程．点评：题（1）根据定义求．若将焦点改为(0，－4)、(0，4)其结果如何；题（2）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程．【例 3】判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出 a ，b ，c 的值．【例4】已知ΔABC 的一边BC 的长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．【基础达标】1．椭圆221259x y +=上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一个焦点的距离为（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．102．椭圆2211312x y +=上任一点 P 到两个焦点的距离的和为（ ） A ．26 B ．24 C ．2 D ．2133．已知 F 1，F 2是椭圆221259x y +=的两个焦点，过 F 1的直线交椭圆于 M ，N 两点，则△MNF 2周长为（ ）A ．10B ．16C ．20D ．324．椭圆的两个焦点分别是F 1(－8，0)和F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点距离之和为 20，则此椭圆的 标准方程为（ ）A ．2212012x y += B ．22140036x y += C ．22110036x y += D ．22136100x y +=5．椭圆2214x y m +=的焦距是 2，则 m 的值为（ ） A ．5或 3 B ．8 C ．5 D ．166．椭圆221169x y +=的焦距是 ，焦点坐标为 ． 7．焦点为（0，4）和（0，－4），且过点()533，-的椭圆方程是 ．1～5 ADCCA【能力提高】8．如果方程 x 2+ky 2=2表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 k 的取值范围．9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4，b =3，焦点在x 轴； （2）a =5，c =2，焦点在y 轴上．10．求到定点（2，0）与到定直线x =8的距离之比为22的动点的轨迹方程．§2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）【知识要点】● 熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等简单几何性质． ● 掌握标准方程中a ，b ，c 的几何意义，以及a ，b ，c ，e 的相互关系． ● 理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法．【例题精讲】【例 1】已知椭圆的中心在坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且离心率为22，求椭圆的方程．【例 2】已知 x 轴上的一定点 A （1，0），Q 为椭圆2214x y +=上的动点，求 A Q 中点 M 的轨迹方程．【例 3】椭圆22110036x y +=上有一点 P ，它到椭圆的左焦点 F 1的距离为 8，求△PF 1F 2的面积．【例 4】设P 是椭圆()22211x y a a+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值．【基础达标】1．已知P 是椭圆22110036x y +=上的一点，若P 到椭圆右焦点的距离是345，则P 点到椭圆左焦点的距离是（ ） A ．165 B ．665 C ．758D ．778 2．若焦点在 x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则 m =（ ） A ．3 B ．32 C ．83 D ．233．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12，离心率为13，则椭圆的方程是（ ）A ．221144128x y += B ．2213620x y += C ．2213236x y += D ．2213632x y += 4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件()1290PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．若椭圆短轴长等于焦距的3倍，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．14 B ．22 C ．24 D ．126．已知椭圆C 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆C 的离心率等于 ． 7．离心率12e =，一个焦点是 F （0，－3）的椭圆标准方程为 ．1～5 BBDDD【能力提高】8．求过点A（－1，－2）且与椭圆22169x y+=的两个焦点相同的椭圆标准方程．9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率23e=，短轴长为85，求椭圆的方程．10．设有一颗卫星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此卫星离地球相距m万千米和43m万千米时，经过地球和卫星的直线与椭圆的长轴夹角分别为2π和3π，求该卫星与地球的最近距离．§2.1.2 椭圆的简单几何性质（二）【知识要点】●掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质．●能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题．【例题精讲】【例 1】已知椭圆C 的焦点F 1()22,0-和F 2()22,0，长轴长6，设直线y =x +2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．【例 2】椭圆的中心为点E （－1，0），它的一个焦点为F （－3，0），且椭圆的离心率255e =，求这个椭圆的方程．【例 3】已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点，求过点O 、F ，并且与直线l ：x =－2相切的圆的方程．【例 4】如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成 8等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则123++PF P F P F +45++P F P F67+P F P F = ．【基础达标】1．椭圆22110036x y +=上的点 P 到它的左焦点的距离是 12，那么点 P 到它的右焦点的距离是（ ） A ．15 B ．12 C ．10 D ．82．已知椭圆()2221525x y a a +=>的两个焦点为F 1、 F 2，且|F 1F 2|=8，弦 A B 过点 F 1，则△ A BF 2的周长为（ ）A ．10B ．20C ．241D ．4413．椭圆221259x y +=的焦点 F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知 P F 1⊥PF 2，则△ F 1PF 2的 面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．84．椭圆221164x y +=上的点到直线 x +2y 2-=0 的最大距离是（ ） A ．3 B ．11 C ．22 D ．105．如果椭圆221369x y +=的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A ． x －2 y =0 B ． x +2 y －4=0 C ． 2x +3y －12=0 D ． x +2 y －8=06．与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，3-）的椭圆的标准方程是 ． 7．离心率53e =，一个焦点的坐标为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程是 ． F1～5 DDBAD 【能力提高】8．已知椭圆22194x y+=上的点P到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，求P点坐标．9．过椭圆22194x y+=内一点D（1，0）引动弦A B，求弦A B的中点M的轨迹方程．10．椭圆221164x y+=上有两点P、Q，O是原点，若O P、OQ斜率之积为14-．求证22OP OQ+为定值．§2.2.1双曲线及其标准方程【知识要点】●掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程；●掌握双曲线标准方程的推导，会求动点轨迹方程；● 会按y 2特定条件求双曲线的标准方程； ● 理解双曲线与椭圆的联系与区别．【例题精讲】【例 1】判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量 a ，b ，c 的值．【例 2】已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点()13,42P -、29,54P⎛⎫ ⎪⎝⎭在此双曲线上，求双曲线的标准方程．【例 3】点 A 位于双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上， F 1，F 2是它的两个焦点，求△AF 1F 2的重心G 的轨迹方程．【例 4】已知三点 P （5，2）、 F 1（－6，0）、 F 2（6，0）．（1）求以F 1、F 2为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；（2）设点 P 、F 1、F 2关于直线 y =x 的对称点分别为 P '、F 1'、F 2'，求以F 1'、F 2'为焦点且过点P '的双曲线的标准方程．【基础达标】1．双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是（ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与 m 有关2．椭圆222+134x y n =和双曲线222116x y n -=有相同的焦点，则实数 n 的值是（ ） A ．±5 B ．±3 C ．5 D ．93．若0k a <<，双曲线22221x y a k b k -=-+与双曲线22221x y a b-=有（ ） A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴 C ．相同的渐近线 D ．相同的焦点4．过双曲线221169x y -=左焦点 F 1的弦 A B 长为 6，则 △ABF 2（F 2为右焦点）的周长是（ ） A ．28 B ．22 C ．14 D ．125．设F 1，F 2是双曲线2214x y -=的焦点，点 P 在双曲线上，且 ∠F 1PF 2=90°，则点 P 到x 轴的距离为（ ）A ．1B ．55C ．2D ．5 6．到两定点F 1（－3，0）、F 2（3，0）的距离之差的绝对值等于 6的点 M 的轨迹是 ．7．方程22+111x y k k=+-表示双曲线，则 k 的取值范围是 ．1～5 CBDAB【能力提高】8．求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点（32，2）的双曲线方程．9．如图，某农场在 P 处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路 P A 或 P B 送到庄稼地 A BCD 中去，已知 P A =100 m ，PB =150m ，∠APB =60°．能否在田地 A BCD 中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路 P A 送肥较近；而另一侧的点，沿道路 P B 送肥较近? 如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程．10．已知点()3,0A -和()3,0B，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为 2，点 C 的轨迹与直线 y =x －2 交于 D 、E 两点，求线段 D E 的长．§2.2.2 双曲线的简单几何性质（一）【知识要点】● 掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质． ● 掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念．【例题精讲】【例 1】求双曲线2214y x -=的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程．【例 2】求一条渐近线方程是 3x +4y =0，一个焦点是（4，0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．【例 3】求与双曲线221169x y -=共渐近线且过 A (33，－3)的双曲线的方程．【例 4】已知△ABC 的底边 B C 长为 12，且底边固定，顶点 A 是动点，使sin B －sin C =12sin A ，求点 A 的轨迹．【基础达标】1．下列方程中，以x ±2y =0为渐近线的双曲线方程是（ ）A ．221164x y -= B ．221416x y -= C ．2212x y -= D ．2212y x -= 2．已知双曲线的离心率为 2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= 3．过点（3，0）的直线 l 与双曲线 4x 2－9y 2=36只有一个公共点，则直线 l 共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条4．方程mx 2＋ny 2＋mn =0（m <n <0）所表示的曲线的焦点坐标是（ ）A ．()0m n ±-，B ．()0n m ±-，C ．()0m n ±-，D ．()0n m ±-，5．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点A (－3，23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）A．8 B．4 C．2 D．16．双曲线9y2－4x2=36的渐近线方程是．7．经过点M（3，－1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是．1～5 AACBC【能力提高】8．求一条渐近线方程是3x+4y=0，一个焦点是（5，0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．9．求以椭圆22+16416x y=的顶点为焦点，且一条渐近线的倾斜角为56π的双曲线方程．10．已知双曲线的方程是16x2－9y2=144．（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．§2.2.2 双曲线的简单几何性质（二）【例题精讲】【例 1】如果双曲线的两个焦点分别为F 1(－3，0)、F 2 (3，0)，一条渐近线方程为2y x =，那么它的离心率是（ ）A ．63B ．4C ．2D ．3【例 2】过双曲线221916x y -=的左焦点F 1，作倾斜角为=4πα的直线与双曲线交于两点A 、B ，求AB 的长．【例 3】已知动点 P 与双曲线 x 2－y 2=1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且 c os ∠F 1PF 2的最小值为13-．求动点P 的轨迹方程．【例 4】已知不论 b 取何实数，直线 y =kx +b 与双曲线 x 2－2y 2=1总有公共点，试求实数 k 的取值范围．【基础达标】1．到两定点F 1(－3，0)、F 2 (3，0) 的距离之差的绝对值等于 6的点 M 的轨迹（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 4．双曲线的两个顶点将焦距三等分，则它的离心率为（ ） A ．32 B ．3 C ．43D ．3 5．已知 m ，n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y +n =0与 n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是（ ）A B C D6．双曲线22197x y -=的右焦点到右顶点的距离为 ． 7．与椭圆22+11625x y =有相同的焦点，且离心率为355的双曲线方程为 ．1～5 DDCBC【能力提高】8．设双曲线()222210x y a b a b-=<<的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线lyox yox yox yox的距离为34c ，求此双曲线的离心率．9．求过点M (3，－1)且被点M 平分的双曲线2214x y -=的弦所在直线方程．10．设双曲线 C 1的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，A 、B 为其左、右两个顶点，P 是双曲线 C 1上的任意一点，引 Q B ⊥PB ，QA ⊥PA ，AQ 与 B Q 交于点 Q ，求 Q 点的轨迹方程．§2.3.1 抛物线及其标准方程【知识要点】● 掌握抛物线的定义．● 标准方程的不同形式及其推导过程．● 熟练画出抛物线的草图，求出抛物线的标准方程、焦点、准线方程．【例题精讲】【例 1】已知抛物线的标准方程是：（1）y 2=12x ，（2）y =12x 2，求它的焦点坐标和准线方程．【例2】求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（－5，0）；（2）经过点A（2，－3）【例3】直线y=x－3与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形A PQB的面积为（）A．48 B．56 C．64 D．72【例4】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段A B 的长．【基础达标】1．抛物线y 2=ax （a ≠0）的准线方程是 （ ） A ．4a x =-B ．4ax = C ．4a x =- D ．4a x =2．抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在直线 3x －4y －12=0上，此抛物线的方程是（ ） A ．y 2=16x B ．y 2=12x C ．y 2=－16x D ．y 2=－12x 3．焦点在直线 3x －4y －12=0上的抛物线标准方程是（ ） A ．y 2=16x 或 x 2=16y B ．y 2=16x 或 x 2=12y C ．x 2=－12y 或 y 2=16x D ．x 2=16y 或 y 2=－12x4．已知 M （m ，4）是抛物线 x 2=ay 上的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |=5，则此抛物线的焦点坐标是（ ）A ．（0，－1）B ．（0，1）C ．（0，－2）D ．（0，2） 5．过抛物线 y 2=4x 的焦点 F 作倾斜角为34π的直线交抛物线于 A 、B 两点，则 A B 的长是（ ） A ．42 B ．4 C ．8 D ．26．顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P （4，2）的抛物线方程是 ． 7．平面上的动点P 到点 A （0，－2）的距离比到直线 l ：y =4的距离小 2，则动点P 的轨迹方程 是 ．1～5 AACBC【能力提高】8．点M 到点（0，8）的距离比它到直线 y =－7的距离大 1，求 M 点的轨迹方程．9．抛物线 y 2=16x 上的一点 P 到 x 轴的距离为 12，焦点为 F ，求｜PF ｜的值．10．抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥?§2.3.2 抛物线的简单几何性质（一）【知识要点】● 抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；● 能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；注意数与形的结合．【例题精讲】【例 1】已知抛物线关于x 轴为对称轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点()2,22M -，求它的标准方程．xy O【例2】过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以A B为直径的圆和这抛物线的准线相切．【例3】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px()0p>上，求这个正三角形的边长．【例４】抛物线x2=4y的焦点为F，过点（0，－1）作直线L交抛物线A、B两点，再以A F、BF为邻边作平行四边形F ARB，试求动点R的轨迹方程．【基础达标】1．过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，如果126x x +=，那么|AB | =（ ）A ．10B ．8C ．6D ．42．顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P （4，2）的抛物线方程是（ ） A ．x 2=8y B ．x 2=4y C ．x 2=2y D ．x 2=12y 3．已知 M 为抛物线y 2=4x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点 P （3，1），则MP MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知抛物线 y 2=－12x 上一点 P (x 0，y 0)到焦点的距离为 8，则 x 0的值为（ ） A ．－5 B ．5 C ．－4 D ．45．抛物线 y 2=8x 上一点 P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是（ ） A ．()2,4 B ．()2,4± C ．()1,22 D ．()1,22± 6．抛物线 2y 2＋5x =0 的准线方程是 ．7．过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、B 两点，若 A 、B 在准线上的射影是 A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于 ．1～5 BABAD【能力提高】8．抛物线顶点在原点，它的准线经过双曲线22221x y a b-=的一个焦点，并且这条准线与双曲线的实轴垂直，又抛物线与双曲线交于点362⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求二者的方程．9．顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15，求抛物线的方程．p>的焦点F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准10．设抛物线y2=2px()0线上，且B C∥轴．证明：直线AC经过原点O．§2.3.2 抛物线的简单几何性质（二）【例题精讲】【例１】过抛物线y2=2x的顶点作互相垂直的二弦O A、OB．（1）求A B中点的轨迹方程．（2）证明：AB与x轴的交点为定点．【例２】已知点 A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线 y 2=2px 上，△ABC 的重心与此抛 物线的焦点 F 重合．（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点 M 的坐标； （3）求 B C 所在直线的方程．【例 3】抛物线 y =－x 2上的点到直线 4x +3y －8=0距离的最小值是（ ）A ．43 B ．75 C ．85D ．3【基础达标】1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线 3x －4y －12=0时，则此抛物线的方 程是（ ）A ．y 2=16xB ．x 2=－12yC ．y 2=8x 或x 2=－6yD ． y 2=16x 或x 2=－12y 2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，点()5,25-到焦点距离是6，则抛物线的方程为（ ） A ．y 2=－4x B 、y 2=－2x C 、 y 2=2x D 、 y 2=－4x 或x 2=－36y 3．在抛物线 y =x 2上有三点 A 、B 、C ，其横坐标分别为－1，2，3，在y 轴上有一点D 的纵坐标为 6，那么以 A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是（ ）A ．正方形B ．平行四边形C ．菱形D ．任意四边形4．抛物线 y 2=4x 的焦点F ，准线为l ，交 x 轴于 R ，过抛物线上一点 P （4，4）作 P Q ⊥ l 于Q ，则梯形 PFRQ 的面积是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 5．抛物线 y 2=－4x 关于直线 x +y =2对称的曲线的顶点坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（0，0）C ．（－2，－2）D ．（2，0） 6．若动点M （x ，y ）到点F （4，0）的距离比它到直线x +5=0的距离小1，则M 点的轨迹方程 是 ．7．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 ．1～5 DABBA【能力提高】8．经过抛物线 y 2=－8x 的焦点且和抛物线的对称轴成 60°角的直线与抛物线交 A 、B 两点，求|AB |．9．求过A（－1，1），且与抛物线y=x2+2有一个公共点的直线方程．10．已知抛物线C：y=x2+4x+72，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．若C在点M的法线的斜率为12-，求点M的坐标（x0，y0）．第二章圆锥曲线复习（一）【知识要点】●椭圆定义，椭圆的标准方程，椭圆的性质．●双曲线的定义，双曲线的标准方程及特点，双曲线的几何性质．●抛物线定义，抛物线的几何性质．【例题精讲】【例1】椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且这个焦点到长轴上较近顶点的距离是105-，求椭圆方程．【例 2】已知双曲线2214x y -=和定点12,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）过 P 点可以做几条直线与双曲线 C 只有一个公共点；（Ⅱ）双曲线C 的弦中，以 P 点为中点的弦 P 1P 2是否存在? 并说明理由．【例 3】已知点 A （0，2）及椭圆22+14x y =，在椭圆上求一点 P 使PA 的值最大．【例 4】己知点P 在抛物线 x 2=y 上运动，Q 点的坐标是（－1，2），O 是原点，OPQR （O 、P 、Q 、R顺序按逆时针）是平行四边形，求 R 点的轨迹方程．【基础达标】1．平面上到定点 A (1，1)和到定直线 l ：x +2 y =5距离相等的点的轨迹为（ ）A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆2．若椭圆2kx2＋ky2=1 的一个焦点坐标是（0，4），则k的值为（）A．18B．132C．2D．3163．椭圆22+1259x y=上的点M到焦点F1的距离是2，N是M F1的中点，则ON为（）A．4 B．2 C．8 D．3 24．如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率为（）A．32B．62C．32D．25．椭圆22+1259x y=的两焦点F1，F2，过F2引直线L交椭圆于A、B两点，则△ABF1的周长为（）A．5 B．15 C．10 D．206．在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为．7．若椭圆的两个焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，椭圆的弦A B过点F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为．1～5 BBACD【能力提高】8．若双曲线的两条渐进线的夹角为60°，求该双曲线的离心率．9．正方形的一条边A B在直线y=x+4上，顶点C、D在抛物线y2=x上，求正方形的边长．10．若椭圆x2+4（y－a）2=4与抛物线x2=2y有公共点，求实数a的取值范围．第二章 圆锥曲线复习（二）【例题精讲】【例 1】已知直线 l 交椭圆22+12016x y =于 M 、N 两点，B （0，4）是椭圆的一个顶点，若△BMN 的重心恰是椭圆的右焦点，求直线 l 的方程．【例 2】已知倾斜角为4π的直线 l 被双曲线 x 2－4y 2=60截得的弦长82AB =，求直线l 的方程及以AB 为直径的圆的方程．【例 3】已知直线l ：x =－1，点F （1，0），以F 为焦点，l 为准线的椭圆中，短轴一端点为B ，P为FB 的中点．（Ⅰ）求 P 点的轨迹方程，并说明它是什么曲线； （Ⅱ）M （m ，0）为定点，求｜PM ｜的最小值．【例 4】已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足2PA PB =，求点P 的轨迹所包围的图形的面积．【基础达标】1．已知 M （－2，0），N （2，0），4P M P N -=，则动点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支2．若圆 x 2+y 2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的13，则所得曲线的方程是（ ） A ．22+1412x y = B ．22+1436x y = C ．229+144x y = D ．22+1364x y = 3．已知 F 1，F 2是椭圆22+1169x y =的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于点A ，B ，若5AB =，则12AF BF -=（ ）A ．3B ．8C ．13D ．164．曲线()()22346225x y x y ---+-=的离心率为（ ） A ．110 B ．12C ．2D ．无法确定5．抛物线y2=14x 关于直线x－y=0对称的抛物线的焦点坐标是（）A．（1，0）B．116⎛⎫⎪⎝⎭，C．（0，1）D．116⎛⎫⎪⎝⎭，6．与椭圆4x2+ 9y2=36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为．7．以双曲线22145x y-=的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．1～5 C CABD 【能力提高】8．设F1，F2为双曲线2214xy-=的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积．9．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，求直线l的斜率的取值范围．10．设椭圆22+162x y=和双曲线2213xy-=的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，求cos∠F1PF2的值．。
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第二章圆锥曲线与方程一、曲线与方程的定义：
(),
设曲线，方程=0，满足以下两个条件：
C F x y
()()
①曲线上一点的坐标满足=0；
∀
C x y F x y
,,
()()
则曲线称是方程=0的曲线，方程=0是曲线的方程
C F x y F x y C
,,.二、求曲线方程的两种类型：
椭圆
一、椭圆及其标准方程
1、画法
3、方程
()()22
22
22221010x y y x a b a b a b
a b +=>>+=>>①或
②
()()()()12123,0,,0,0,,0,.
A a A a
B b B b --、顶点
()2222
22222x y x y m b a b a m b m <--①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1 ()()
2222
22221010x y y x k k ka kb ka kb +=>+=>②有相同离心率的椭圆为或 .a c a c -+③椭圆上的点到焦点的最小距离是，最大距离是
12P P F PF ∠④为椭圆上一动点，当点为短轴端点时，最大.
24.AB F ABF a V ⑤为过焦点的弦，则的周长为
()()1122,,,y kx b A x y B x y l =+⑥直线与圆锥曲线相交于两点，则当直线的斜率存在时，弦长为:
()(
)2
22
121
2
12114l k x x k x x x x ⎡⎤
=+-=
++-⎣⎦
()2
12121222110114k l y y y y y y k k ⎡⎤=+
-=+⋅+-⎣⎦或当存在且不为时，
()2210,0.
Ax By A B +=>>⑥当椭圆的焦点位置不确定时，可设椭圆的方程为
双曲线
一、双曲线及其标准方程
1、画法
()()22
22
22221,01,0x y y x a b a b a b
a b -=>-=>①或
②
22221b y x a y x y x a a b b ⎛⎫
=±-==± ⎪
⎝⎭6、渐近线：的渐近线为
()2222
222210x y x y m m a b a b -=-=>说明：与有相同离心率.
抛物线
一、抛物线及其标准方程
2、标准方程及几何性质
说明：①越大，开口越阔.
P
②抛物线无限向外延展，但它无渐进线.
1、设点分别位于抛物线开口以内，抛物线上，以及开口以外，问过点且和抛物线只有一个交点的直线有几条？
Q Q
()
答：①当位于抛物线开口以内，个交点的直线只有一条主轴或其平行线
Q
1.
②当位于抛物线上，个交点的直线有两条，即主轴或其平行线，和切线.
Q
1
③当位于抛物线外，个交点的直线有3条，分别是主轴或其平行线，两条切线
1.
Q。