复变函数论第2章第3节
复变函数2章
| z | x 2 y 2
为实数绝对值、长度概念的推广。 单位复数：模为1的复数。 0复数的等价条件：模为0。即： z=0|z|=0 两复数z1=x1 + iy1 、 z2=x2 + iy2的距离：
y
( x, y )
x
0
y
d z1 , z 2 z1 z2
z2 z z 1 2
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例 (P9例1.2) 求Arg(2-2i) 、 Arg(-3+4i) 解: 2-2i在第四象限 arg(2-2i)=arctan(-2/2)= -π /4 Arg(2-2i)=arg(2-2i)+2kπ (k=0, 1, 2, ...) = -π /4+2kπ -3+4i在第二象限 arg(-3+4i)=arctan(4/(-3))+π = - arctan(4/3)+π Arg(-3+4i)=arg(-3+4i)+2kπ = - arctan(4/3) +π+2kπ =- arctan(4/3)+(2k+1)π (k=0, 1, 2, ...)
1 2 1 2
模：
z1 z2 z1 z2
z1 / z2 z1 / z2
幅角：Arg(z1·2)= Arg z1+Arg z2 z Arg(z1/z2)= Arg z1-Arg z2 或 arg(z1·2)= Arg z1+Arg z2 + 2kπ z arg(z1/z2)= Arg z1-Arg z2 + 2kπ 乘(除)——模乘(除)、幅角加(减)
特别当z2 为单位复数时，z1·2 为z1 绕原点正向旋转 θ2 ，z2 为 z 旋转乘数。 如z2=i，θ2=π/2， z1·2为z1绕原点正向旋转π/2； z z2=-1，θ2=π， z1·2为z1绕原点正向旋转π。 z 与向量乘积不同！
复变函数第二章 解析函数
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
( 5)
f ( z ) ′ g ( z ) f ′ ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) , g (z) ≠ 0 = 2 g ( z) g ( z)
( 6)
{
f g ( z )
}
′
= f ′ ( w ) g ′ ( z ) , 其中w = g ( z )
dw 可见：可导 ⇔ 可微， f ′ ( z0 ) = 且 dz
z = z0
如果f ( z ) 在区域D内每一点可微，
则称f ( z ) 在D内可微.
记作 dw = f ′ ( z ) dz
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
二、解析函数 定义 1o 如果f ( z ) 在z0 及z0的某邻域内处处可导，
设w = f ( z ) 定义于区域D, z0 ∈ D , z0 + ∆ z ∈ D
f ( z0 + ∆ z ) − f ( z0 ) 如果 lim 存在 ∆ z →0 ∆z 则 称 f ( z ) 在 z0点 可 导 ， 而 极 限 值 为 f ( z ) 在 z0点 dw 的导数，记作 f ′ ( z0 ) 或 dz z = z0
∴ ∆ u = a ∆ x − b ∆ y + o1 ∆ v = b∆ x + a ∆ y + o2
反之，不成立。
( 2)
( 3)
f ( z ) 在区域D内解析
⇔ f ( z ) 在 区 域 D内 可 导 。
f ( z ) 在 z0 解析 ⇔
f ( z ) 在 z0的某邻域 N δ ( z0 )内解析。
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
复变函数第二章
2连续、可导、解析的关系
f ( z ) 在D内解析
f ( z ) 在D内可导
f ( z ) 在z0解析
f ( z ) 在z0可导
f ( z ) 在z0连续
3 复变函数与二元实函数的关系
设f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), A = u0 + iv0 , z0 = x0 + y0i
例5
求出下列各函数的解析区域,并求出导数.
1）f ( z ) =
z
2
2
z +1
,
x+ y x− y 2) f ( z ) = 2 +i 2 2 2 x +y x +y
f ( z )在z 2 + 1 ≠ 0，即z ≠ ±i外处处可导，因此 解: 1) 其解析区域为复平面内除去z ≠ ±i两点.且
2z 2 z ( z 2 + 1) − z 2 2 z = 2 f ′( z ) = 2 2 ( z + 1) 2 ( z + 1)
则称f ( z )在z 0 可导.这个极限值称为f ( z )在z 0的导数.
dω 记作f ′( z0 ) = dz
z = z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) = lim . ∆z → 0 ∆z
在定义中应注意: 在定义中应注意
z0 + ∆z → z0 (即∆z → 0)的方式是任意的 .
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u 则 = + = cos θ + sin θ ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂x ∂y
导数公式的其它形式 导数公式
∂u ∂v f ′( z ) = +i ∂x ∂x
第二章3解析函数的充要条件
设( + Δ) − () = Δ + Δ， ′ = + ,
(Δ) = 1 + 2
所以Δ + Δ = ( + )(Δ + Δ) + (1 + 2 )(Δ + Δ)
= Δ − Δ + 1 Δ − 2 Δ
+(Δ + Δ + 2 Δ + 1 Δ)
=
−
= −.
充分性
由于 + Δ −
= ( + Δ, + Δ) − (, ) + [( + Δ, + Δ) − (, )]
= Δ + Δ
由(, ), (, )在点(, )可微，可知
Δ =
Δ +
( + ∆) − ()
1 ( ∆ ) + 2 ( ∆ )
⇒
=
+
+
Δ
∆
′ ()
( + ∆) − ()
=
+
= lim
∆→0
Δ
即 在 = + 处可导.
注：函数 = , + , 在一点可导的一个充分条件：
=− .
证明：必要性
( + Δ) − ()
()在 = + 处可导， ⇒ () = lim
存在
Δ→0
Δ
∀ > 0, ∃ > 0, 当0 < Δ < 时，有
复变函数及连续性
第三节复变函数的极限与连续一、复变函数的概念二、复变函数的极限三、复变函数的连续性一、复变函数的概念1. 复变函数的定义定义1.1 设E 是复平面上的点集, 若对任何z ∈E , 都存在惟一确定的复数w 和z 对应, 称在E 上确定了一个单值复变函数，用w =f (z )表示.E 称为该函数的定义域.在上述对应中, 当z ∈E 所对应的w 不止一个时, 称在E 上确定了一个多值复变函数.(){()|}() A f E f z z E w f z ==∈=称为复函的值域数.2. 复变函数与自变量之间的关系:() :w z w f z =复变函数与自变量之间的关系相当于两个实函数),,(),,(y x v v y x u u ==例3 , 2z w =函数,, iv u w iy x z +=+=令2)( iy x iv u +=+则,222xyi y x +−= : 2数对应于两个二元实变函于是函数z w =,22y x u −=.2xy v =,,z x iy w u iv =+=+因为，若记则()Re ()Im ()(,)(,).w f z f z i f z u x y iv x y ==+=+例4解,, iv u w iy x z +=+=令2)( iy x iv u +=+则,222xyi y x +−=,22y x u −=.2xy v =所以222424 4.w z z x y xy w u v =−====于是将平面上的双曲线与分别映为平面上直线和222,42w z z x y xy w =−== 设复函数试问它将平面上的双曲线 与 分别映为平面上的何种曲线？7函数w =z 2对应于两个二元实变函数: u =x 2−y 2, v =2xy 把z 平面上的两族双曲线x 2−y 2 = c 1 , 2xy = c 2 分别映射成w 平面上的两族平行直线u =c 1 , v =c 2 .101−1−1−10−8−6−4−2x 2468v =101y −10−8−6−4−2u =02468uv 1010−10−10⎯⎯→⎯=2z w θr ϕρ二、复变函数的极限1.复变函数极限的定义定义1.200000,()0,0,,0|||()|,()lim(),lim ().z z z E z z w f z E C z E C z E z z f z z z f z f z f z αεδδαεααα→∈→=⊂∈∀>∃>∈<−<−<== 设复函数在点集上有定义，为的一个聚点， 。
复变函数第二章第三节
常用方法： 从原点起沿着负实轴将z平面割破 即可将根式函数: 平面割破,即可将根式函数 常用方法： 从原点起沿着负实轴将 平面割破 即可将根式函数
分成如下的n个单值函数 个单值函数： w = n z 分成如下的 个单值函数：arg( z ) + 2 kπ i
wk = ( z ) k = n r ( z )e
1. 根式函数 定义2.9 若z=wn,则称 为z的n次根式函数，记为： 则称w为 的 次根式函数 记为： 次根式函数， 定义 则称 n w = n z 为幂函数 n 的反函数 为幂函数z=w 的反函数. w = z , 根式函数 z=0↔ w= n0=0 (1) 根式函数的多值性 根式函数的多值性.
例2 解方程 e z − 1 − 3i = 0. 解 因为 e z = 1 + 3i , 所以 z = Ln(1 + 3i ) π 2k = ln 2 + i π + 2kπ = ln 1 + 3i + i + π 3 3 ( k = 0, ± 1, ± 2,L) 3. 对数函数的性质 z1 (1) Ln( z1 ⋅ z2 ) = Lnz1 + Lnz2 , ( 2) Ln = Lnz1 − Lnz2 , z2 ( 3 ) 在除去负实轴 (包括原点 )的复平面内 , 主值支
z ≠ 0 → wk =
θ = arg z ← z的 主 辐 角 下面以二次根式函数为例，简单介绍多值函数的特点。
对于复平面上某一固定点z来说，其幅角Argz的具体数值无法确定。
若z沿某一条闭合曲线C环绕原点一周回到原来的位置，z值虽然不 变，但其幅角却变为θ + 2π，从而w将由 r e iθ / 2连续变为 r e i (θ + 2π ) / 2 . 但若z沿某一条不包含原点的闭合曲线C1环绕一周回到原来的位置， z的幅角不变，因而二次根式的值也保持不变。
《复变函数论》第二章
第二章 复变函数第一节 解析函数的概念及C.-R.方程1、导数、解析函数定义2.1：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且0z D ∈。
如果极限00,0()()limz z z Df z f z z z →∈--存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0'()fz ，或z z dw dz=。
定义2.2：如果()f z 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称()f z 在0z 处解析；如果()f z 在区域D 内处处解析，则我们称()f z 在D 内解析，也称()f z 是D 的解析函数。
解析函数的导（函）数一般记为'()f z 或d ()d f z z。
注解1、εδ-语言，如果任给0ε>，可以找到一个与ε有关的正数()0δδε=>，使得当z E ∈，并且0||z z δ-<时，00()()||f z f z a z z ε--<-，则称)(z f 在0z 处可导。
注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。
解析函数的四则运算：()f z 和()g z 在区域D 内解析，那么()()f z g z ±，()()f z g z ，()/()f z g z （分母不为零）也在区域D内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：(()())''()'()[()()]''()()()'()f zg z f z g z f z g z f z g z f z g z ±=±=+2()'()()()'()()[()]'f z f z g z f z g z g z g z -⎡⎤=⎣⎦。
复变函数论第三版钟玉泉第二章
如果函数 f (z)在区域 D内每一点解析, 则称 f (z)在区域 D内解析. 或称 f (z)是 区域 D内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
2. 奇点的定义
若函数 f (z )在点 z 0不解析，但在 z 0 的任一邻域内总 有f (z )的解析点，则称 z 0 为函数f (z ) 的奇点.
dw f (z0 ) z f (z0 ) dz, 即
f
( z0
)
dw dz
z z0
函数w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
如果函数 f (z)在区域 D内处处可微, 则称
8 f (z)在区域 D内可微.
复变函数论
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二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义 如果函数 f (z) 在 z0 及 z0 的某邻域内处处可导 ,
若 f (z ) = u (x, y ) + iv (x, y ) 在一点z = x + iy,可微，设
lim f (z + D z ) - f (z ) = f ' (z )
Dz? 0
Dz
（1）
设 Vz =Vx + iVy, f (z + Vz )- f (z ) = Vu + i Vv,
Vu = u (x + Vx, y + Vy )- u (x, y )
z
z
x iy
y , x iy
当点沿平行于实轴的方向(y 0)而使z 0时,
lim f lim f (z z) f (z) lim y 0,
z0 z z0
z
x0 x iy
y0
当点沿平行于虚轴的方向(x 0)而使z 0时,
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即当自变量从起点z0 沿 L 连续变到终点z 时 , 辐角函数 Argz 从初值 arg z0 连续变动到终值arg z .
arg z 依赖于起点的初值和辐 角改变量 .
多值函数应用起来很不 方便，总希望能将 Argz
分解为若干单值连续函 数. 由
arg z arg z0 L Argz
可知 ， 即使固定起点z0 , 取定初值 arg z0 , 由于 L Argz
状无关 .
由辐角改变量
0 ， z 0 在 L 外部 L Argz 2π , z 0 在 L 内部 可知 , 只要能使区域内任一简 单闭曲线都不围绕原
点z 0 , 辐角改变量在这个区域 内就与区域的形状
无关 .
因此， 将复平面 C 沿负实轴 (包括无穷远点 ) “剪开”
到 L1 , 而在连续变形中， L0 Argz 的值也要连续变
到 L1 Argz 的值， 就不能从原来的值作2π 的跳跃 ,
从而只能保持原值.
因此 , 若 L0 , L1 为 C {0} 中的简单曲线, 则
当且仅当 L0 ~ L1 时 , 有 L0 Argz L1 Argz . 若 L1
原点旋转的圈数 .
那么， 起点和终点相同的不同 在什么条件下，
曲线上的辐角改变量相 等呢?当且仅当在区域C
才有 {0}内两曲线 L0 与 L1“伦移” : L0 ~ L1 时，
L0 Argz L1 Argz .
(区域 D 内 L0 与 L1 伦移 L0 ~ L1 ,其几何意义是存
在一个连续曲线族 φ i , 通过它可使 L0 连续变形到
z1 是 L 的终点 . 当 z 沿 L 从 z0 连续变 动到 z1 时 , oz 所旋转的角称作 Argz
y
z1
z
L
z0
0
在 L 上的改变量 , 简称 辐角改变量 ,
x
记作 L Argz .
例如 , 对下图中的三条具有相 同起点
y
z1
z
L
L Argz
z0
x
和终点简单曲线, 有
y
1 i
L1
arg z 2kπ z G , k Z .
为了后面讨论问题的需要，先给出如下定义.
定义2.8 设函数 f ( z ) 在区域 D 内有定义 , 若对 D 内任
则称函数 f ( z ) 意不同两点 z1 与 z2 ,都有 f ( z1 ) f ( z2 ) ，
在 C {0} 内与 L 的形状有关 , 对于任意 一 z C {0} , arg z 都不是惟一的. 因此， 在 C {0} 内 arg z 是不能分 解为单值连续函数的. 这样自然会想到， 缩小区域是
否可行呢 ? 而问题的关键在于寻找 这样的区域， 使得 辐角改变量只与起点、 终点位置有关而与曲线 的形
根据今后研究问题的需要，先介绍辐角函数， 对理解辐角多值性是有益的. 1 辐角函数
我们知道， 任意一个复数 z ( z 0) 都有无穷多
辐角函数 w Argz 是一个多值函数, 个辐角 . 因此，
它的定义域是C {0} (在 z 0 处辐角无意义) .
设 L 是 C {0}内一条简单曲线, z0 是 L 的起点 ,
本节将要看到, 许多复变量的初等函数都是多 值的, 在复数域中对多值函数的研究具有特殊重要 的意义. 因为只有在这样的讨论中才能看出函数多 值性的本质.
函数多值性源于辐角函数的多值性.
本节的主要内容是介绍幂函数与根式函数、指 数函数与对数函数的映射性质; 主要是采用限制辐 角或割破平面的方法, 来分出根式函数与对数函数 的单值解析分支. 最后, 对反三角函数及一般幂函数 作简单介绍.
0
y
L2
1 i
y
1 i
o
1 i
x
o
1 i
x
o
1 i
x
L3
π 3π 5π L1 Argz ; L2 Argz ; L3 Argz . 2 2 2
一般说来，尽管起点和终点相同，但若曲线 不同，其辐角改变量也不尽相同，它们要相差2π.
辐角函数 w Argz 的多值性正是由于它围 绕
就是终点 z 的单值连续数, 如果取定初值arg z0 2 π ,
则得另一个单值连续函 数 arg z 2 π arg z0 2 π
ΔL Argz .
如果取初值arg z0 2kπ (k 为整数) , 一般来说， 则得到一个单值连续函 数 arg z 2kπ . 这样, 就在 G 内把 Argz 分成无穷多个单值连续 函数
是零曲线 , 则显然有 L1 Argz 0 .
由于区域 C {0}内任一不围绕原点的简 单闭
因此， 曲线 L0 都能连续收缩到一点, 即 L0 ~ 0 ，
若简单闭曲线 L C {0} , 有
0 ， z 0 在 L 外部 L Argz 2π , z 0 在 L 内部
L1 而不离开区域 D(如图)) .
(若 L1 ( t ) 常数 0 , 即 L1 只是一个
点， 则称 L1 为一条零曲线 . 若 L0
y
L0
φi
L1
D
o
x
和零曲线同伦, 就记为 L0 ~ 0 . 对单连通域内任
一简单闭曲线L , 有 L ~ 0 ) .
这是因为， 这时 L0 可不通过原点连续变形
而成一单连通开区域, 记为 G . 这时， 在 D 内任取一简单 y z G 从而有 Argz 0 . 闭曲线 L , 故 L ~ 0 ，
L
L
o
x
ΔL Argz 将 于是，对于G 内的任一简单曲线L ，
只与 L 的起点和终点有关, 而与曲线的形状无关. 在
G 内固定起点z0 , 取定初值 arg z0 , 则 arg z0 ΔL Argz
此外 , 显然有 L Argz L Argz .
设 L 是 C {0}内的一条简单曲线, z0 是 L 的
起点 , z 是 L 的终点 , 在 z0 取定 Argz 的一个值 , 记
为 arg z0 , 称作 Argz 在 z0 的初值 .将 arg z0 L Argz
称作 Argz 在 z 的终值 , 记作 arg z ， 即 arg z arg z0 L Argz .