计算方法--矩阵特征值的数值计算方法(2011)

QR算 法 ， 就 是 利 用 矩 阵 的 分 解 ， 按 上 述 递 推 法 则 QR QR算 法 就 完 全 确 定Ak }. {
构 造 矩 阵 序 列 Ak }的 过 程.只 要A为 非 其 异 矩 阵 ， 则 由 {
定理(基本QR方法) Ak Q k Rk Ak 1 Rk Q k
0 1 1 0 0 0
0 从而解得基础解系 p1 1 1
x 2 x3 0 方程组 x1 0
的全部特征向量为 k p1 其中k为任意非零常数。
当 2 3 1 时，求解齐次线性方程组( A E ) x 0
（对称矩阵的正交约化 ） 设A R nn为对称矩 阵，则 （）A的特征值均为实数； 1 （ ）A有n个线性无关的特征向量 2 ；
（3）存在一个正交矩阵 使得 P
1 2 ， P 1 AP .... n 且 i i 1， n）为A特征值, 而P ( u1 , u2 ,..., un )的列向量 （ ..., u j 为A的对应 j的特征向量.
-5.65672
-5.70712 -5.70088 -5.70165 -5.70155 -5.70156 -5.70156
-5.69955
-5.70181 -5.70153 -5.70157 -5.70156 -5.70156 -5.70156
用幂法计算 0.5 1.0 1.0 A 1.0 1.0 0.25 0.5 0.25 2.0 的主特征值和相应的特 征向量.
程序设计
A={{1,1,0.5},{1,1,0.25},{0.5,0.25,2}}; MatrixForm[%] va={1,1,1}; Do[vb=A.va; Print[k," ",vb," ",
vb[[2]]/va[[2]]];
va=vb,{k,1,20}] Eigensystem[N[A]];
A={{3,2,1},{-1,8,2},{1,4,16}}; MatrixForm[%] y={-1,1,0.5}; Do[x=LinearSolve[A,y]; Print[k," ",y," ",x," "]; y=x/Max[Abs[x]],{k,1,20}] u=y[[1]]/x[[1]] v=y Eigensystem[N[A]]; MatrixForm[%]
各不相同， 那么向量组 p1 , p2 ,, pm 线性无关。
设 A 为n阶矩阵，则矩阵A 和 A 的特征值相同。
T
设 是n 阶矩阵A 的特征值， x 是A的属于 特征值 的特征向量，则
（1）对任意常数 k ，数 k 是矩阵 kA 的特征值；
（2）对任意常数 k ，数 k 是矩阵 kE A 的特征值；
再对B进行QR分解，可又得到一新的 矩阵，重 复这一过程可得到矩阵 序列：
QR分解的思路
设 A A1 将 A1 进 行QR 分 解A1 Q1 R1，
T 作 矩 阵A2 R1 Q1 Q1 A1 Q1
求 得Ak 后 将Ak 进 行QR分 解Ak Q k Rk
T 形 成 矩 阵 k 1 Rk Q k Q k Ak Q k A
det(A3 2 A 4 E )
设 f ( x) x 3 2 x 4 ，则 f ( A) A3 2 A 4E 因为 A 的特征值为 1，2，3，所以
f ( A) A3 2 A 3E 的特征值为
f (1) ， 1
f (2) ， f (3) 21 4
MatrixForm[%]
真值为
1 2.5365258 ，
x 1 (0.748221160.649661161) T . , ,
1 3 5 {2.5, {15.2188, {96.0293, 2.25, 13.3906, 83.7666, 2.75} 19.0469} 125.511} 2.25 2.46264 2.51015
{-0.150224, -1.}
{0.149095, 1.} {-0.149234, -1.} {0.149217, 1.} {-0.149219, -1.} {0.149219, 1.} {-0.149219, -1.}
{0.849776, 5.69955}
{-0.850905, -5.70181} {0.850766, 5.70153} {-0.850783, -5.70157} {0.850781, 5.70156} {-0.850781, -5.70156} {0.850781, 5.70156}
（3）对任意正整数 m ，m 是矩阵 Am 的特征值；
1 （4）当矩阵 A 可逆时， 是矩阵 A1 的特征值；
并且 x 仍然是矩阵 kA, kE A, Am 的分别对应于特征值
k , k , m , 1 的特征向量。
类ห้องสมุดไป่ตู้：若

是A的特征值，
( )是 ( A) 的特征值；
全部特征向量为 kp2 lp3
其中数 k, l 是不同时为零的任意常数。
如果矩阵 A 满足 A 2 A, 则称 A
是幂等矩阵。
（幂等矩阵的特征值只能是0或1）
特征值与特征向量的性质
设n阶方阵A的n个特征值为1 , 2 ,, n 则必有
（1） 12 n A （2）1 2 n aii
程序设计
QR方法是计算中小型矩阵 全部特征值 的问题的最有效方法之 . 一
计算对称矩阵的全部特 征值
QR方法具有收敛快，算法 稳定等特点 .
设A R nn
分解
A QR
R为 上 三 角 阵 其 中 Q为 正 交 阵
变换
B Q T AQ Q T QRQ RQ
B~ A
( B) ( A)
河北联合大学
heut-yjs@163.com heuuyjs@163.com
1 2 3 4 5 4 6
• 理论基础 • 幂 法
• 规范幂法 • 反幂法 • QR分解法 • 参考文献
概念回顾 特性回顾
方阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的性质
矩阵的特征值与特征向量 A：n阶方阵， 数 零列向量 X 使关系式
（其中）
( A) a0 a1 A a 2 A2 a m Am , ( ) a0 a1 a m m
如果x1 , x2 是属于 0的两个特征向量，
那么 k1 x1 k 2 x 2 也是属于 0 的特征向量。
设3阶方阵 A 的特征值为1，2，3，求
1 2 3
{-0.5,
1}
{-1.5,
-7.}
3. -3.66667 -6.09091
-7. -5.57143 -5.71795
{-0.214286, -1.} {0.141026, 1.}
{0.785714, 5.57143} {-0.858974, -5.71795}
4
5 6 7 8 9 10
7
{613.714,
533.719,
814.025}
5251.63}
2.5274
2.5334 2.53546 2.53616 6 2.53616 6 2.53648
{3939.55, 11 13
3422.47,
{25327.1, 21994.9,
33820.}
{162910., 141460., 217665.} 6
0 0 0 1 A E 2 4 2 ~ 0 2 4 2 0
2 1 0 0 0 0
得对应的方程组为 x1 2 x 2 x3 0 从而解得基础解系
2 1 p 2 1 , p 3 0 0 1
AX X
若

和 n 维非
成立，则 称为方阵A的特征值， X 称为A的对应于特征值 的特征向量。
矩阵的特征值与特征向量 如
1 A 2
1 4
取 2
1 X 1
1 AX 2
1 1 2 1 2 X 4
（） R nn可对角化，即存在非奇 1 A 异 矩阵P使 1 2 1 P AP ... n
的充要条件是 具有n个线性无关的特征向量 A . ( 2) 如果A R nn 有m 个( m n)不同的特征值 1 , 2 ,... m , 则对应的特征向量 1 , x 2 ,... x m 线性无关 x
于是 det(A3 2 A 4 E ) (1) 4 21 84
设与为相似矩阵（即存 在非奇异矩阵 使 P B P 1 AP），则 (1) A与B有相同的特征值； ( 2)如果y是B的特征向量，则 y 是A的特征向量. P
定理6说明，一个矩阵 经过相似变换 A B A ( P 1 AP )，则A的特征值不变 .
矩阵
A的特征多项式为
1 0 5 4 0 2 1 (3 )(1 ) 2
A E 2 2
令 A E 0 当
特征值为 1 3, 2 3 1.
1 3 时，求解齐次线性方程组 ( A 3E ) x 0
1 2 0 0 A 3E 2 2 2 ~ 0 2 4 4 0
15
{1.04806 10 , 910025., 1.4006 10 } 6 6
17
{6.74299 10 , 5.8548 10 , 9.01171 10 } 7 7 7
19
{4.33837 10 , 3.7669 10 , 5.79817 10 }
2.53651
用反幂的规范运算求
3 2 1 A 1 8 2 1 4 16 的按模最小的特征值和 相应的特征向量 .
用幂法计算矩阵的按模最大的特征值系
1 1 其中： A 2 6 X
(0)
0.5 1
程序设计 A={{1,-1},{2,-6}}; MatrixForm[%] xa={-0.5,1}; Do[xb=A.xa; Print[k," ",xb," ", xb[[1]]/xa[[1]]," " xb[[2]]/xa[[2]]]; xa=xb/Max[Abs[xb]],{k,1,15}] Eigensystem[N[A]]; MatrixForm[%]
i 1 n
其中 a ii 是矩阵A的主对角线元素之和，称为矩阵
i 1
n
的迹，记作tr( A) 设 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个 特征值全不为零。
特征值与特征向量的性质
设n阶方阵A的n个特征值为1 , 2 ,, n 则必有
（1） 12 n A （2）1 2 n aii
则特征向量 2 是特征值,
1 X 是特征向量. 1
矩阵的特征值与特征向量
特征方程、特征根
A E 称为方阵A的特征多项式 记作f ( )
显然，A的特征值就是特征方程的根, 也称特征根。
注意
n阶方阵A有n个特征值。 （重根按重数计算），
1 0 0 求矩阵 A 2 5 2 的特征值和特征向量。 2 4 1
i 1 n
其中 a ii 是矩阵A的主对角线元素之和，称为矩阵
i 1
n
的迹，记作tr( A) 设 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个 特征值全不为零。
特征向量间的线性相关性
设 p1 , p2 ,, pm 分别为方阵 A 的属于特征值
1，2， ，m 的特征向量，如果 1，2， ，m