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魅力无穷的梅森素数
魅力无穷的梅森素数——香港科技大学方程2004年5月15日，美国国家海洋和大气局顾问、数学爱好者乔希·芬德利(Josh Findley)用一台装有2.4GH奔腾处理器的个人计算机，找到了目前世界上已知最大Z的梅森素数。
该素数为2的24036583次方减1(即224036583－1)，它有7235733位数，如果用普通字号将这个数字连续写下来，它的长度可达3万米！它是2000多年来人类发现的第41个梅森素数，也是目前已知的最大素数。
世界上许多著名的新闻媒体和科学刊物都对这一消息进行了报道和评介，认为这是数学研究和计算技术中最重要的突破之一。
也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。
梅森素数的由来马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。
他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。
虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。
他捍卫笛卡儿的哲学思想，反对来自教会的批评；也翻译过伽里略的一些著作，并捍卫了他的理论；他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间，从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。
梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。
17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望众的梅森就成了欧洲科学家之间的联系的桥梁。
许多科学家都乐于将成果寄给他，然后再由他转告给更多的人。
美科学家发现第46个梅森素数
美科学家发现第46个梅森素数美科学家发现第46个梅森素数243112609-1，这个在普通人看起来颇为奇特的数字，近来正让国际数学界乃至科技界为之欣喜若狂。
这是人类迄今为止发现的第46个也是最大的梅森素数。
243112609-1，也就是2自身相乘43112609次减1，它有12978189位数，如果用普通字号将这个巨数连续写下来，这个梅森素数的长度可超过50公里！去年秋季，美国加州大学洛杉矶分校(UCLA)的计算机专家埃德森·史密斯利用数学系所有的计算机参加了一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目，前不久他在其中的一台计算机上偶然发现了这个超大的素数。
有关专家花了两周时间进行验证，最后证实了史密斯的发现。
9月16日，GIMPS网站正式向外界公布这一消息。
梅森素数的诱惑素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数，如2、3、5、7、11等。
2300年前，古希腊数学家欧几里得证明了素数是无限的，并提出少量素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。
由于这种素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的数学爱好者对它进行研究和探寻。
17世纪法国著名数学家、法兰西科学院奠基人马林·梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2p-1”型的素数称为梅森素数。
迄今为止，人类仅发现46个梅森素数。
梅森素数珍奇而迷人，因此被人们称为“数海明珠”。
梅森素数貌似简单，但研究难度却极大。
它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。
1772年，瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了231-1(即2147483647)是第8个梅森素数。
这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数。
欧拉的毅力与技巧令人赞叹不已，他也因此被誉为“数学英雄”。
探究梅森素数不仅极富挑战性，而且对研究者来说有一种巨大的自豪感。
1963年9月6日晚上8点，当第23个梅森素数211213-1通过大型计算机被找到时，美国广播公司(ABC)中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息。
梅森素数
梅森素数维基百科，自由的百科全书跳转到：导航, 搜索梅森数是指形如2n− 1的数，记为M n；如果一个梅森数是素数那么它称为梅森素数。
∙梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森的名字命名的，他列出了n≤ 257的梅森素数，不过他错误地包括了不是素数的M67和M257，而遗漏了M61、M89和M107。
梅森数不一定皆为质数，以下即是梅森质数及非质数梅森数的例子：∙M2 = 22− 1 = 3、M3 = 23− 1 = 7 是素数。
∙M4 = 24− 1 = 15 不是素数。
目录[隐藏]∙ 1 相关命题和定理o 1.1 梅森数和梅森素数的性质o 1.2 梅森数和梅森素数的关系o 1.3 梅森数的素性检验o 1.4 与完全数的关系∙ 2 相关问题和猜想∙ 3 寻找梅森素数o 3.1 梅森素数列表∙ 4 外部链接[∙。
∙q≡ 3 mod 4 为素数。
则2q+1也是素数当且仅当2q+1 整除M q。
∙拉马努金给出：方程M q= 6+x2当q为3、5和7时有三个解；q 为合数时有2个解。
∙如果p是奇素数，那么任何能整除2p− 1的素数q都一定是1加上一个2p的倍数。
例如，211− 1 = 23×89，而23 = 1 + 2×11，89 = 1 + 8×11。
∙如果p是奇素数，那么任何能整除2p− 1的素数q都一定与同余。
[编辑]梅森数和梅森素数的关系下面的命题关注什么样的梅森数是梅森素数。
▪a≡ 1 mod 2q▪a≡±1 mod 8o欧拉的一个关于形如1+6k的数的理论表明：M q是素数当且仅当存在数对（x,y）使得M q= (2x)2 + 3(3y)2，其中q ≥ 5。
o最近，Bas jansen 研究了等式Mq = x2 + dy2（0≤d≤48），得出了一个对于d=3情况下的新的证明方法。
o Reix 发现q > 3时，M q可以写成：M q = (8x)2 - (3qy)2 = (1+Sq)2 - (Dq)2。
【ZZ】梅森素数列表
【ZZ】梅森素数列表(按照⼤⼩排序)第1个梅森素数：当p=2时，M_2=(2^2)-1=3，位数为1位，发现于公元前300年左右。
第2个梅森素数：当p=3时，M_3=(2^3)-1=7，位数为1位，发现于公元前300年左右。
第3个梅森素数：当p=5时，M_5=(2^5)-1=31，位数为2位，发现于公元前100年左右。
第4个梅森素数：当p=7时，M_7=(2^7)-1=127，位数为3位，发现于公元前300年左右。
第5个梅森素数：当p=13时，M_13=(2^13)-1=8191，位数为4位，发现于公元1456年。
第6个梅森素数：当p=17时，M_17=(2^17)-1=131071，位数为6位，由Cataldi发现于公元1588年。
第7个梅森素数：当p=19时，M_19=(2^19)-1=524287，位数为6位，由Cataldi发现于公元1588年。
第8个梅森素数：当p=31时，M_31=(2^31)-1=2147483647，位数为10位，由Euler发现于公元1772年。
1772年，瑞⼠数学家欧拉在双⽬失明的情况下，以惊⼈的毅⼒靠⼼算证明(2^31)-1(即2147483647)是第8个梅森素数，该素数有10位数，堪称当时世界上已知的最⼤素数；他因此获得了“数学英雄”的美名。
第9个梅森素数：当p=61时，M_61=(2^61)-1，位数为19位，由Pervushin发现于公元1883年。
第10个梅森素数：当p=89时，M_89=(2^89)-1，位数为27位，由Powers发现于公元1911年。
第11个梅森素数：当p=107时，M_107=(2^107)-1，位数为33位，由Powers发现于公元1914年。
第12个梅森素数：当p=127时，M_127=(2^89)-1，位数为39位，由Lucas发现于公元1876年。
第13个梅森素数：当p=521时，M_521=(2^521)-1，位数为157位，由Robinson发现于公元1952年。
人类迄今发现的最大素数，最纯粹的梅森素数
⼈类迄今发现的最⼤素数，最纯粹的梅森素数如果有⼈问，⼈类到⽬前为⽌研究进展最缓慢的领域是什么？别的学科，见仁见智。
但要是数学上的话，毫⽆疑问是对于素数的研究。
古⽼⽽⼜漫长，有⽆数⼈前赴后继去研究，然⽽，成果却真⼼是不多。
上古⼤神——欧⼏⾥得公元前300年，欧⼏⾥得最早研究了形如2N-1的素数，发现了这个性质：若2N-1是素数，则2N-1×(2N-1)是⼀个完全数。
这个性质⽤等⽐数列的求和公式很容易验证，也就是说只要找到新的梅森素数，新的完全数也就诞⽣了。
后来⼈们⼜发现了⼀个性质：若2N-1是素数，则N必定为素数。
我中学时代也曾经琢磨过这个问题，其实这个问题⽤因式分解就可以证明：这个命题的逆命题却不⼀定成⽴，事实上，假如逆命题也成⽴的话，那么素数的秘密恐怕在⼏百年前就基本上揭露殆尽了。
但是当N等于某⼀些素数的时候，2N-1却真的可以是素数。
马林·梅森（1588-1648）费马⼤法官在17世纪对于形如这样的素数做了不少研究，马林·梅森在欧⼏⾥得，费马的研究基础上对这样形式的素数做了⼤量系统性的研究，如此形式的素数也被称作梅森素数。
1644年，梅森在⼀本著作《物理数学随感》中⼤胆断⾔：在不⼤于257的素数中，当p = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257时，2N-1是素数，其它都是合数。
之前费马数的研究历史中，我们发现，历史上凡是关于可能构造出素数的猜想都会极⼤地吸引⼈们的研究热情，梅森素数也不例外。
⼏百年前，只能靠⼿算，这是要花费多⼤的⼼⾎！伟⼤的欧拉在1772年，时年65岁，在双⽬失明的情况下，⼼算验证了M(31)是素数，这个数有10位，是当时已知的最⼤素数。
梅森的猜想其实并不完全正确，⼈类在1922年终于⼿动验算了梅森提出的所有p值。
哪⾥都有你——欧拉⼤神⼿动验算的年代⾥发⽣过⼀件趣事，这是关于M(67)的素性检验。
1903年，美国数学家柯尔在美国数学家⼤会上做了⼀次简短，精彩的报告。
梅森素数的分布规律
梅森素数的分布规律梅森素数是指形如2^p-1的素数，其中p也是素数。
梅森素数的分布规律一直是数学家们研究的热点之一。
在这篇文章中，我们将探讨梅森素数的分布规律以及其背后的数学原理。
我们需要了解梅森素数的特点。
梅森素数的形式非常特殊，只有当p是素数时才有可能是梅森素数。
因此，梅森素数的数量非常有限。
目前已知的梅森素数只有47个，最大的一个是2^82,589,933-1。
这个数字有24,862,048位，是目前已知的最大素数。
那么，梅森素数的分布规律是什么呢？数学家们发现，梅森素数的数量并不是随机分布的，而是呈现出一定的规律性。
具体来说，梅森素数的数量随着p的增大而减少。
这个规律被称为梅森素数定理。
梅森素数定理的数学表达式为：如果2^p-1是素数，那么p也必须是素数。
这个定理的证明非常复杂，需要运用到数论、代数学等多个数学分支的知识。
但是，我们可以通过一些简单的例子来理解这个定理。
例如，当p=2时，2^p-1=3，是一个素数。
当p=3时，2^p-1=7，也是一个素数。
但是当p=4时，2^p-1=15，不是一个素数。
因此，梅森素数定理成立。
梅森素数的分布规律不仅仅是一个数学问题，它还涉及到计算机科学、密码学等多个领域。
梅森素数被广泛应用于随机数生成、加密算法等方面。
因为梅森素数的数量非常有限，而且它们的位数非常大，因此可以用来生成高质量的随机数，保证加密算法的安全性。
梅森素数的分布规律是一个非常有趣的数学问题。
通过研究梅森素数的分布规律，我们可以深入了解素数的性质，同时也可以应用到计算机科学、密码学等多个领域。
梅森素数——精选推荐
梅森素数如果⼀个数字的所有真因⼦之和等于⾃⾝，则称它为“完全数”或“完美数”例如：6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14早在公元前300多年，欧⼏⾥得就给出了判定完全数的定理：若 2^n - 1 是素数，则 2^(n-1) * (2^n - 1) 是完全数。
其中 ^ 表⽰“乘⽅”运算，乘⽅的优先级⽐四则运算⾼，例如：2^3 = 8， 2 * 2^3 = 16, 2^3-1 = 7但⼈们很快发现，当n很⼤时，判定⼀个⼤数是否为素数到今天也依然是个难题。
因为法国数学家梅森的猜想，我们习惯上把形如：2^n - 1 的素数称为：梅森素数。
截⽌2013年2⽉，⼀共只找到了48个梅森素数。
新近找到的梅森素数太⼤，以⾄于难于⽤⼀般的编程思路窥其全貌，所以我们把任务的难度降低⼀点：1963年，美国伊利诺伊⼤学为了纪念他们找到的第23个梅森素数 n=11213，在每个寄出的信封上都印上了“2^11213-1 是素数”的字样。
2^11213 - 1 这个数字已经很⼤(有3000多位)，请你编程求出这个素数的⼗进制表⽰的最后100位。
答案是⼀个长度为100的数字串，请通过浏览器直接提交该数字。
注意：不要提交解答过程，或其它辅助说明类的内容。
答案BigInteger快速幂。
代码：import java.math.BigInteger;public class Main {public static void main(String[] args) {BigInteger a = BigInteger.ONE;BigInteger b = BigInteger.ONE;BigInteger d = new BigInteger("2");for(int i = 0;i < 100;i ++) {a = a.multiply(BigInteger.TEN);}int c = 11213;while(c != 0) {if(c % 2 == 1) {b = b.multiply(d).mod(a);}d = d.multiply(d).mod(a);c /= 2;}b = b.subtract(BigInteger.ONE);System.out.println(b);}}。
梅森素数——精选推荐
梅森素数梅森素数素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数，如2、3、5、7、11等。
2300年前，古希腊数学家欧几里得证明了素数有无穷多个，并提出少量素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。
由于这种素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行探究。
可能你还是不太了解，那就再详细点。
了解梅森素数还记得你小学时背诵的素数表吗？那时候它还叫做质数表“2、3、5、7……”如今你是否已经真正理解了老师说过的话：这些只能被1和本身整除的数，具有着无穷的魅力。
还记得你中学时计算的2的整数幂吗？计算机时代，作为二进制的体现，它们正大行其道。
“2、4、8、16、32、64、128、256……”十多年来，电脑内存的容量正是经历了这些熟悉的数字，直到现在的2048M（2G）以及更多。
现在，让我们从这些2的整数幂中挑出以素数为指数的，再把它减1，试试看会发现什么？22－1＝3、23－1＝7、25－1＝31、27－1＝127……嗯，你的心是不是激动起来了？一个伟大的发现似乎就在眼前……别急别急，你的发现很妙，只是有些儿惋惜……你已经迟到了二千年。
在2300多年前，古希腊的数学家，那位写出不朽的《几何原本》的欧几里得在证明了素数有无穷多个之后，就顺便指出：有许多素数可以写成2P－1的形式，其中指数P也是素数。
很容易想到，刚才你所发现的22－1、23－1、25－1、27－1正是其中排列最前的4个！当P＝11、13、17、19、23……的时候，2P－1还是素数吗？到底有多少这种2P－1型的素数呢？在计算能力低下的公元前，这个关于素数的探寻之旅就已经吸引了无数的人。
人们唯独对素数如此着迷不是没有理由的，它有着许多简单而又美丽的猜想，有的已经成为定理，而有的则至今还没有答案。
例如著名的哥德巴赫猜想，让人们苦苦追索：是否任何一个大于或等于6的素数，都可以表示为两个奇素数的和？再比如孪生素数问题所提出的：像5和7、41和43这样相差2的素数，到底有多少对呢？在数学史上起个大早的古希腊人还有许多关于素数的发现，完美数就是其中之一。
寻找梅森素数（科技大观）
寻找梅森素数（科技大观）梅森素数是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
目前，世界上有180多个国家和地区近27万人，参加一个名为“互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）的国际合作项目，并动用超过70万台计算机联网来寻找梅森素数。
因此，仅从人力、物力方面来说，梅森素数已足够火爆。
素数是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数。
在弄清楚梅森素数为何如此火爆之前，首先了解一下它的由来。
2300年前，古希腊数学家欧几里德就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2P-1”（其中指数P也是素数）的形式。
这种特殊形式的素数，具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家（包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫等）和无数业余数学爱好者对它进行探究。
其中17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林·梅森是其中成果较为卓著的一位，因此数学界将“2P-1”型的素数称为“梅森素数”。
迄今为止，人们仅发现47个梅森素数。
由于这种素数稀奇而迷人，故被人们称为“数海明珠”。
梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，其探究难度就会很大。
在“手算笔录”的年代，人们仅找到12个梅森素数。
而计算机的诞生和网格技术的出现，加速了梅森素数探究的进程。
1996年初，美国数学家、程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用。
它就是举世闻名的GIMPS项目。
为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，总部设在美国的电子新领域基金会（EFF）于1999年设立了专项奖金悬赏梅森素数发现者。
不过，绝大多数人参与该项目并不是为了金钱，而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。
2008年8月23日，参与GIMPS项目的美国计算机专家埃德森·史密斯发现了迄今已知的最大梅森素数——243112609-1，该数也是目前已知的最大素数，它有12978189位，如果用普通字号将它打印下来，其长度可超过50公里！该成就被《时代》周刊评为“2008年度50项最佳发明”之一。
梅森素数
众所周知，素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11等等。
2300年前，古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。
这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究。
而17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林•梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2p-1”型的素数称为“梅森素数”。
迄今为止，人类仅发现47个梅森素数。
由于这种素数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”。
梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
貌似简单探究极难梅森素数貌似简单，但探究难度却极大。
它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。
1772年，有“数学英雄”美名的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了231-1(即2147483647)是第8个梅森素数。
这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数。
欧拉的顽强毅力与解题技巧令人赞叹不已；法国大数学家拉普拉斯说的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。
”在“手算笔录”的年代，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。
而计算机的产生加速了梅森素数探究进程。
1952年，美国数学家拉婓尔•鲁滨逊等人使用SWAC型计算机在短短的几个月内，就找到了5个梅森素数：2521-1、2607-1、21279-1、22203-1和22281-1。
探究梅森素数不仅极富挑战性，而且对探究者来说有一种巨大的自豪感。
1963年6月2日晚上8点，当第23个梅森素数211213-1通过大型计算机被找到时，美国广播公司(ABC)中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息。
而发现这个素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为了让全世界都分享这一重大成果，以至把所有从系里发出的信封都盖上了“211213-1是个素数”的邮戳。
寻找梅森素数的新方法
寻找梅森素数的新方法陈德建【摘要】There is one to one correspondence between Mersenne Prime and even perfect number. 46 Mersenne Primes have been searched in the past 2300 years. The first difficulty to search for Mersenne Primes is that Mersenne number are too enormous, and the other is that its prime factors are difficulty to find. Traditional way to seek Mersenne Primes are mental arithmetic （or calculate by hand） and by computer. After traditional ways are analyzed, a new way to seach fo Mersenne Primes is put forward, that is, if q is prime, Mq also prime, MMq is Mersenne Primes too. This can be testified with infinite descending interval set and contradiction.%梅森素数与偶完全数有一一对应关系,人类在2300多年中寻找到46个梅森素数.寻找梅森素数之难一是梅森数的巨大,二是其素因数也难找.传统的寻找方法是心算手算和计算机搜索.分析传统方法之后,提出一种新方法,即用无限递缩的区间套和反证法证明若q为素数,Mq为梅森素数,则M Mq也是梅森素数.【期刊名称】《重庆三峡学院学报》【年(卷),期】2012(028)003【总页数】7页(P17-23)【关键词】梅森素数;传统方法;无限缩小的区间套;反证法;证明【作者】陈德建【作者单位】黎明职业大学,福建泉州362000【正文语种】中文【中图分类】O156.11 序言定义：形如2p-1的素数称为梅森素数，记为Mp.梅森（Mersrnne Marin 1588—1648），法国数学家、自然哲学家、宗教家.他在1644年提出了梅森素数，梅森素数的提出是探索表素数公式的开始，在数论史上具有开拓性的意义.梅森提出的问题具有启发性，但他当时的判断有误.他说，对是素数，而p＜257的其他素数对应的Mp都是合数，无人知晓他如何得到以上结论.到1947年有了台式计算机，人们才能检查他的结论.发现他犯了5个错误.M67和M257不是素数，而M61、M89、M109是素数.梅森素数貌似简单，但研究难度却很大.它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算.1772年，瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了M31是第八个梅森素数，即它具有10位数字，堪称当时世界上已知的最大素数.欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已，他因此获得了“数学英雄”的美誉.法国大数学家拉普拉斯（place）称赞欧拉是“我们每一个人的老师”.在“手算笔录的年代”人们历尽艰辛，仅找到12个素数.电子计算机的出现，大大加快了梅森素数的步伐.1952年，美国数学家鲁滨逊等人在使用SWAC型计算机在短短几小时之内，就找到了5个梅森素数：和但寻找梅森素数依然很难，从欧几里德时代至今的2 300多年，人类只找到46个梅森素数.它们是：2 43112609-1，这个在普通人看起来颇为奇特的数字，近来（2008年）正让国际数学界乃至科学界为之欣喜若狂.这是人类发现的第46个也是最大的梅森素数.它有12 978 189位数，如果用普通字号将这个巨数连续写下去，长度可达50km!这一发现被著名的《时代周刊》评为“2008年度50项最佳发现”之一，排名29位.为了激励人们寻找梅森素数，设在美国的电子新领域基金会（EFF）不久前向全世界宣布了为通过GIMPS项目来探寻梅森素数而设立的奖金.规定第一个找到超过1 000万位数的个人或机构颁发10万美元；超过一亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元.绝大多数研究者并不是为了金钱，而是出于乐趣，荣誉感和探索精神.梅森素数是否有无穷多个，梅森素数有什么样的分布规律等问题都是强烈吸引一代又一代研究者的世界著名问题.梅森素数的难寻不仅在与梅森数MP随素数p的增大而迅速增至巨大，还在于梅森合数的因子也难于寻找.1867年，人们已经知道M67是合数，但对于它的因子一无所知.直到1903年10月在美国数学会上数学家科尔（Freidric Nelson Cole）提交了一篇论文《大数的因子分解》.当科尔自在黑板上写上 2 67-1 = 19370771× 761838257287时，会场上爆发了强烈的掌声.现在我们知道不大于257的素数有55个，梅森素数有12个，梅森宣告的10个梅森素数错了2个，而43个梅森合数仅错了4个，依然十分了不起.从第13个梅森素数开始，即从M521开始，都是在1952年以后，借助电子计算机而陆续发现的.传统的探寻方法有二：一是心算笔算，二是借助电子计算机搜索.令人不解的是台式电子计算机在检查梅森研究结果时居然漏掉了M19这个梅森素数.由此可推断虽然电子计算机在寻找梅森素数时有一定的或然性.换句话说，在已知的梅森素数之间还可能找到新的梅森素数.数学史上有个故事，有一个人排出六角形幻方，后来忘记了，他花了47年时间才第二次找到，另一个人用证明的方法花了一年也排出了这唯一的六角形幻方.2 证明以下我们来证明若q为奇素数，Mq为梅森素数，令则为梅森素数.定理1（费马小定理）：若p为素数，有定理 2：设p是一个奇素数，q是Mp的一个素因数，则q形如： q= 2 kp+1[2].例如：211-1=2 047=23×89，223-1=8 388 607=47 ×178 481，229-1=536 870 911=233×1 103×2 089，237-1=137 438 953 471=233×616 318 177.由定理 1，知使得于是， M p=2Tp+ 1.若2Tp+1为素数，命题成立.若不然，必有其中m，n∈N.2T p +1= 4 mnp 2+ 2(m + n)p+1，两边同减去1后除以2p，得因为 2q-1= 2sq +1= p，有由于2p-1非平方数，m≠n，不妨设m＜n.因q=5时是梅森素数;2Mq - 1= M127是梅森素数.M 13 = 8191，log2 =0.301029995，8191×0.301029995 =2465.736694，即28191-1有2 466位.由于 M M13、M M17、M M19是合数.以后设q≥31，2mnp＞＞ m+n ，22sq ≈2q+1mn，为论述方便，不妨设为整数）. 整理得由于约去p，得（3）式右边（3）式左边首项（3）两边同减 22sq-q 得即由算术基本定理得又有作方程，由一元二次方程的求根公式也即m＞x2，而 n＞x1.因此有,而由设为正整数.由综合除法m0为正整数.则整理得由有由（7）有，由（8）有由综合除法有，由（9）有，由算数基本定理有，，由所设知0.292893218 ×2 (s-1)q ＜m＜ 2 (s-1)q ,0.292893218 ×2 sq+1＜2 sq-1 +m＜2sq+10，即1.即由于所以同理，所以因此有，由（11）式有由于有同时因此有由（12）式有也即同时综之有由（13）式有同时，由（14）式有由（15）式有同除以 2sq-1，得 0由（16）式有同除以 2sq-1，得8 m0同时有综之有从（11）式到（17）式，m0的下限不变，上限不断下降，n0则上限不变，下限不断上升.这样的过程可以无限进行下去，其极限情况是m0、n0的上下限合而为一.此时，（18）式左边是无理数，而右边是正整数，与算术基本定理矛盾.故2T p +1 =（ 2 mp + 1)(2 np +1)的分解式不存在.即是素数，即梅森素数.证毕.推论这39个梅森数都是梅森素数.如果记Mq=M(q)，则显然 M(M(q ))仍为梅森素数. M(M (M (q )))为梅森素数，M(M …(M (q))…)仍为梅森素数，M(M …(M (43112069))… )是梅森素数.参考文献：[1]王元.谈谈素数[M].上海：上海教育出版社，1983.[2]柯召，孙琦.数学讲义（上）[M].北京：高等教育出版社，1990.[3]张四保.有关梅森素数的预测[J].重庆工商大学学报：自然科学版，2009（5）.。
梅森素数的定义
梅森素数的定义
是由一位名叫帕特里克·罗什的美国人成功发现的最新的梅森素数——第51个梅森素数，即2的82589933次方减1。
该素数有24862048位，是迄今为止人类发现的最大素数。
如果用普通字号将它打印下来，其长度或超过100千米！
1588年9月8日，梅森出生在法国奥译的一个工人家庭，16岁时进入耶稣会办的学校学习，1609年从巴黎的索邦神学院毕业后任神职人员，1619年到拉农西亚德女修道院教授神学和哲学。
梅森有很高的科学素养，其研究涉及声学、光学、力学、航海学和数学等多个学科，并有“声学之父”的美称。
为了纪念他，1897年在瑞士苏黎世举行的首届国际数学家大会就将“2^p -1”型的素数称为“梅森素数”，并以M记之（其中M为梅森姓氏的首字母，指数P也是素数），如果Mp为素数，则称之为“梅森素数”。
1。
如何寻找最大梅森素数
Table of Known Mersenne Primes
注意：目前还不确定在M32582657和M57885161之间是否 还存在未知梅森素数，其后的序号用 * 标出。
Search Process
一、手算笔录时代
在计算能力低下的公元前，人们仅知道四个 2^p-1 型素数： 3 、 7 、 31 和 127 ，发现人已无从考证。 1456年，又一个没有留下姓名的人在其手稿中给了 第5个2^p-1型素数：8191。
三、完全数
数学家欧拉曾推算出完全数的获得公式： 如果p是质数，且2^p-1也是质数，那么（2^p-1） 2^（p-1）便是一个完全数。例如： 形如2^p-1的素数， p 2 : 6 21 (2 2 1) 称为梅森素数。 p 3 : 28 2 2 (23 1) 如果2^p-1为素数 4 5 p 5 : 496 2 (2 1) 则p必为素数， 6 7 p 7 : 8128 2 (2 1) 反之不成立。
（/mersenne/index.html）
Early History
公元前 4世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原 本》第九章中论述了完全数与2p－1型素数的关系， 并提出有少量素数可表示成2p－1（p为素数）的形 式，由此开创了研究2p－1型素数的先河。
Early History
1644年在马林·梅森的《物理数学随感》一书 中断言：在不大于257的素数中，当p=2、3、5、 7、13、17、19、31、67、127、257 时，2p-1 是素数，其它都是合数。
后来人们才知道梅森的断言其实包含着若干错 漏。不过他的工作却极大地激发了人们研究 2p-1素数的热情。由于梅森学识渊博、才华横 溢，最早系统而深入地研究 2p-1型的数，为了 纪念他，数学界就把这种数称为 “梅森数” ， 并以 Mp 记之。如果梅森数为素数，则称之为 “梅森素数” （即2p-1型素数）。
梅森素数及完美数大全
33 859433 258716 517430 1994 Slowinski & Gage
34 1257787 378632 757263 1996 Slowinski & Gage
29 110503 33265 66530 1988 Colquitt & Welsh
30 132049 39751 79502 1983 Slowinski
31 216091 65050 130100 1985 Slowinski
梅森素数 形如2^ P-1的素数（P也是素数）
序号 P值 位数 对应完美数 年份 发现者
1 2 1 1 ---- ----
2 3 1 2 ---- ----
14 607 183 366 1952 Robinson
15 1279 386 770 1952 Robinson
16 2203 664 1327 1952 Robinson
35 1398269 420921 841842 1996 GIMPS
36 2976221 895932 1791864 1997 GIMPS
37 3021377 909526 1819050 1998 GIMPS
38 6972593 2098960 4197919 1999 GIMPS
关于奇完美数又是怎么样的情况？回答是：我们现在连一个奇完美数也没有找到过，
我们甚至根本不知道是
它一定是非常非常大的！奇完美数是否存在这个问题，也是一个上面所说的既简单又美丽，
但是极为困难的著名数学问题。
26 23209 6987 13973 1979 Noll
梅森素数
• 此后许多数学家，包括数学大师费马、笛 卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、 哈代、图灵等都研究过这种特殊形式的素 数。而17世纪的法国数学家梅森（Ｍ.Ｍe rsenne）是其中成果最为卓著的一位。
The fascination of Ｍersenne prime
The fascination of Ｍersenne prime
• 由于梅森学识渊博，才华横溢，并是法兰西科学院的奠基人，为了 纪念他，数学界就把2p－1型的数称为“梅森数”，并以Mp记之（其 中Ｍ为梅森姓氏的首字母）；如果Ｍp为素数，则称之为“梅森素数” (Ｍersenne prime)。2300多年来，人类仅发现46个梅森素数。由 于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数学海洋中的璀璨明 珠”。梅森素数一直是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探 索的热点和难点。
The fascination of Ｍersenne prime
至此，人们已经找到了46个梅森素数，想必大家会问：既 然梅森素数是一长串没有规律的数字，人们花费如此大的 精力去找一个这么大的数字，有什么作用呢？
The fascination of Ｍersenne prime
3.梅森素数的意义和价值 3.梅森素数的意义和价值 梅森素数的
梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实 用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径； 它的探究推动了数学皇后——数论的研究，促 进了计算技术、程序设计技术、密码技术的发 展以及快速傅立叶变换的应用。
探寻梅森素数最新的意义是：它促进了网格技术的发展。 而网格技术将是一项应用非常广阔、前景十分诱人的技术。 另外，探寻梅森素数的方法还可用来测试计算机硬件运算 是否正确。
梅森素数
梅森数(Mersenne number)是指形如2^p－1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp 。
若Mp是素数，则称为梅森素数(Mersenne prime)。
p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。
已发现的最大梅森素数是p＝43,112,609的情形，此时 Mp 是一个12,978,189位数。
如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过50公里！是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一。
概念也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？古希腊数学大师欧几里得早就证明了素数有无穷多个，既然有无穷个，那么就应该有一个素数数列的公式，为了寻找这个公式，人们耗尽了巨大的心血(参见百度百科“素数分布”)。
在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。
由来马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。
他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。
虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。
他捍卫笛卡儿的哲学思想，反对来自教会的批评；也翻译过伽里略的一些著作，并捍卫了他的理论；他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间，从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。
梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。
17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望众的梅森就成了欧洲科学家之间的联系的桥梁。
梅森素数mersenneprime
梅森素数mersenne prime梅森素数Mersenne Prime梅森素数(Mersenne Prime)是指形如2^p,1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp。
若Mp是素数，则称为梅森素数。
p=2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11=2047=23×89不是素数，是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一。
截止2012年7月累计发现47个梅森素数，最大的是p=43,112,609，此时Mp 是一个12,978,189位数。
概述素数是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数(如2、3、5、7等等)，素数有无穷多个。
而形如“2^P,1”(P为素数)的正整数，其中指数P是素数，常记为Mp。
若Mp是素数，则称为梅森素数。
以17世纪法国数学家马林?梅森的名字命名。
梅森素数是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
截止2012年7月人类仅发现47个梅森素数。
梅森素数由来早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2^P,1的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出:如果2^P,1是素数，则(2^p,1)2^(p,1)是完美数。
1640年6月，费马在给马林?梅森的一封信中写道:“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质。
我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”。
这封信讨论了形如2^P,1的数(其中p为素数)。
梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2^P,1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言:对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2^P,1是素数;而对于其他所有小于257的数时，2^P,1是合数。
前面的7个数(即2，3，5，7，13，17和19)属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的;而后面的4个数(即31，67，127和257)属于被猜测的部分。
不过，人们对其断言仍深信不疑。
小学数学数学故事梅森素数：千年不休的探寻之旅2
梅森素数：千年不休的探寻之旅(2)那些手扛肩挑的年头手算笔录的时代，每前进一步，都显得特别艰难。
1772年，在卡塔尔迪提出近200年之后，瑞士数学家欧拉证明白M31的确是一个素数，这是人们找到的第8个梅森素数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数，欧拉也因此成为其次个在发觉者名单上留名的人。
让人惊羡的是，这是在他双目失明的状况下，靠心算完成的。
这种超人般的毅力与技巧让欧拉获得了“数学英雄”的美誉。
法国大数学家拉普拉斯（place）说的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。
”100年后，法国数学家鲁卡斯提出了一个用来判别Mp是否是素数的重要定理——鲁卡斯定理，这为梅森素数的探讨供应了有力的工具。
1883年，数学家波佛辛（Pervushin）利用鲁卡斯定理证明白M61也是素数–这是梅森漏掉了的。
梅森还漏掉另外两个素数：M89和M107，它们分别在1911年与1914年被数学家鲍尔斯（Powers）发觉。
还记得梅森预料的四个素数吗？其中M31已经为欧拉证明，M127则在鲁卡斯提出定理时顺带证明，虽然中间漏掉了3个，但至少还有另外两个：M67和M257是不是素数呢……M67的证明又是一个精彩的故事。
1903年，数学家柯尔在美国数学学会的大会上作了一个报告。
他先是专注地在黑板上算出267－1，接着又算出193707721×761838257287，两个算式结果完全相同！换句话说，他胜利地把267－1分解为两个素数相乘的形式，从而证明白M67是个合数。
报告中，他一言未发，却赢得了现场听众的起立鼓掌，更成了数学史上的佳话。
阅读这段历史，我们懂得了什么叫做“事实胜于雄辩”。
记者新奇地问他是怎样得到这么精彩的发觉的，柯尔回答“三年里的全部星期天”。
他后来当选为美国数学协会的会长，去世后，该协会特地设立了“柯尔奖”，用于嘉奖作出杰出贡献的数学家。
1922年，数学家克莱契克验证了M257并不是素数，而是合数（但他没有给出这一合数的因子，直到20世纪80年头人们才知道它有3个素因子）。
寻找梅森素数
寻找梅森素数
张文
【期刊名称】《百科知识》
【年(卷),期】2004(000)008
【摘要】不久前，美国国家海洋和大气局(NOAA)信息技术顾问、数学爱好者乔希·芬德利使用一台装有2．4GHz奔腾处理器的个人计算机，发现了目前世界上已知的最大素数。
该素数为2的24036583次方减1(即224036583-1)，它有7235733位数，如果用普通字号将这个数字连续写下来，它的长度可达3万米!科【总页数】1页(P20)
【作者】张文
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O12
【相关文献】
1.寻找梅森素数的新方法 [J], 陈德建
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3.寻找梅森素数 [J],
4.梅森与梅森素数 [J], 赵春祥
5.寻找最大素数的猜想——由梅森素数启发而来的新发现 [J], 许轶
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[寻找“梅森素数”]梅森素数列表
自从美国数学家库珀领导的研究小组发现迄今已知的最大梅森素数232582657－1以来，全球掀起了寻找梅森素数的新一轮热潮。
目前，世界上来自150多个国家和地区的近15万人参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS）的国际合作项目，并动用了超过30万台计算机联网来进行大规模的网格计算，以探寻新的梅森素数。
2300年只找到44个梅森素数素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等。
公元前三百多年，古希腊数学家欧几里德用反证法证明了素数有无穷多个，并提出了少量素数可写成2p－1（其中指数P为素数）的形式。
此后许多著名数学家，包括数学大师费马、哥德巴赫、欧拉、高斯等都研究过这种特殊形式的素数，而17世纪的法国数学家梅森是其中成果最为卓著的一位。
梅森学识渊博，才华横溢，并且是法兰西科学院的奠基人，为了纪念他，数学界就把2p－1型的数称为“梅森数”，并以Mp记之（其中M为梅森姓氏的首字母）；如果Mp为素数，则称之为“梅森素数”。
2300多年来，人类仅发现了44个梅森素数。
由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们称为“数海明珠”。
貌似简单却难度极大的寻找梅森素数貌似简单，但研究难度却很大。
它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。
1772年，被誉为“数学英雄”的瑞士人欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了M31（即231－1＝2147483647）是一个素数。
它有10位数字，堪称当时世界上已知的最大素数。
电子计算机的出现，大大加快了探究梅森素数的步伐。
1952年美国数学家鲁滨逊等人将著名的卢卡斯－雷默方法编译成计算机程序，使用SW AC型计算机在短短几个小时之内，就找到了5个梅森素数：M521、M607、M1279、M2203和M2281。
1963年9月6日晚上8点，当第23个梅森素数M11213通过大型计算机被找到时，美国广播公司（ABC）中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息。
发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为了让全世界都分享这一成果，他们把所有从系里发出的信封都盖上了“211213－1是个素数”的邮戳。
随着素数P值的增大，每一个梅森素数Mp的产生都艰辛无比。
而各国科学家及业余研究者们仍乐此不疲，激烈竞争。
例如，在1979年2月23日，当美国克雷研究公司的计算机专家史洛温斯基和纳尔逊宣布他们找到第了26个梅森数M23209时，有人告诉他们：在两星期前美国加州的高中生诺尔就已经给出了同样的结果。
为此他们又花了一个半月的时间，使用Cray－1型计算机找到了新的梅森素数M44497。
为与美国较量，英国原子能技术权威机构――哈威尔实验室专门成立了一个研究小组来寻找更大的梅森素数。
他们用了两年时间，花了12万英镑的经费，于1992年3月25日找到了新的梅森素数M756839。
不过，1994年1月14日，史洛温斯基等人为美国再次夺回发现“已知最大素数”的桂冠――这一素数是M859433。
史洛温斯基一共发现7个梅森素数，他被人们誉为“素数大王”。
由于梅森素数在正整数中的分布是时疏时密、极不规则的，因此研究梅森素数的重要性质――分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。
数学家们在长期的摸索中，提出了一些猜想。
中国数学家及语言学家周海中对梅森素数研究多年，他运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年首先给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们探究这一素数提供了方便。
后来这一科研成果被国际上称为“周氏猜测”。
最大梅森素数长达40公里网格（Gridd）这一崭新技术的出现使梅森素数的探究如虎添翼。
1996年初，美国数学家和程序设计师沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和数学爱好者免费使用，这就是著名的GIMPS项目。
该项目采取网格计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间来获得相当于超级计算机的运算能力。
只要人们去GIMPS项目的主页下载那个免费程序，就可以立即参加该项目，来搜寻梅森素数。
为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术的发展，设在美国的电子新领域基金会（EFF）向
全世界宣布：任何个人或机构通过GIPMS项目找到超过1000万位数的梅森素数，将会获得该基金会颁发的10万美元奖金。
但绝大多数研究者参与该项目不是为了金钱而是出于乐趣、荣誉感和探索精神。
库珀领导的研究小组在8年前就参加了GIMPS项目，他们使用密苏里州立中央大学的800多台计算机发现了第44个梅森素数M32582657。
该素数有9808358位，如果用普通字号将它连续写下来，长度超过40公里！十几年来，人们通过GIMPS项目找到了10个梅森素数，其发现者来自美国、英国、法国、德国和加拿大。
该项目目前的运算能力已超过当今世界上任何一台最先进的超级计算机的运算能力，运算速度可达每秒300万亿次。