魅力无穷的梅森素数
稀世珍奇的梅森素数
稀世珍奇的梅森素数作者：石永进成启明来源：《青少年科技博览（中学版）》2010年第01期2009年4月，挪威计算机专家斯特林德莫通过参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目，发现了第47个梅森素数，该素数为242643801-1，即“2的42 643 801次方减1”。
它有12 837 064位数，如果用普通字号将这个巨数连续写下来，它的长度超过50千米!专家们认为，这一重大发现是数学研究和计算技术中最重要的成果之一。
梅森素数的由来素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2，3，5，7等。
公元前三百多年，古希腊数学家欧几里德用反证法证明了素数有无穷多个，并提出，了少量素数可写成2p-1(其中指数P为素数)的形式。
此后许多数学家，包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯等都研究过这种特殊形式的素数，而17世纪的法国著名数学家梅森是其中成果最为卓著的一位。
由于梅森学识渊博，才华横溢，并是法兰西科学院的奠基人，为了纪念他，数学界就把2p-1型的数称为“梅森数”，并以M。
记之；如果M。
为素数，则称之为“梅森素数”。
两千三百多年来，人们呕心沥血，寻寻觅觅，仅发现了47个梅森素数。
由于这种素数稀世珍奇，因此被人们誉为“数学珍宝”。
梅森素数历来是数学研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
艰辛的探究历程“看似平凡最崎岖，成如容易确艰辛”(王安石诗)。
梅森素数的研究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。
1772年，有“数学英雄”美誉的欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了M31(即231-1=2147483647)是一个素数。
它具有10位数字，堪称当时世界上已知的最大素数。
欧拉的毅力和技巧都令人赞叹不已，难怪法国大数学家拉普拉斯向他的学生们说：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。
”梅森素数的探究不仅极富挑战性，而且对研究者来说有一种巨大的荣誉感。
梅森素数——精选推荐
梅森素数梅森素数素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数，如2、3、5、7、11等。
2300年前，古希腊数学家欧几里得证明了素数有无穷多个，并提出少量素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。
由于这种素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行探究。
可能你还是不太了解，那就再详细点。
了解梅森素数还记得你小学时背诵的素数表吗？那时候它还叫做质数表“2、3、5、7……”如今你是否已经真正理解了老师说过的话：这些只能被1和本身整除的数，具有着无穷的魅力。
还记得你中学时计算的2的整数幂吗？计算机时代，作为二进制的体现，它们正大行其道。
“2、4、8、16、32、64、128、256……”十多年来，电脑内存的容量正是经历了这些熟悉的数字，直到现在的2048M（2G）以及更多。
现在，让我们从这些2的整数幂中挑出以素数为指数的，再把它减1，试试看会发现什么？22－1＝3、23－1＝7、25－1＝31、27－1＝127……嗯，你的心是不是激动起来了？一个伟大的发现似乎就在眼前……别急别急，你的发现很妙，只是有些儿惋惜……你已经迟到了二千年。
在2300多年前，古希腊的数学家，那位写出不朽的《几何原本》的欧几里得在证明了素数有无穷多个之后，就顺便指出：有许多素数可以写成2P－1的形式，其中指数P也是素数。
很容易想到，刚才你所发现的22－1、23－1、25－1、27－1正是其中排列最前的4个！当P＝11、13、17、19、23……的时候，2P－1还是素数吗？到底有多少这种2P－1型的素数呢？在计算能力低下的公元前，这个关于素数的探寻之旅就已经吸引了无数的人。
人们唯独对素数如此着迷不是没有理由的，它有着许多简单而又美丽的猜想，有的已经成为定理，而有的则至今还没有答案。
例如著名的哥德巴赫猜想，让人们苦苦追索：是否任何一个大于或等于6的素数，都可以表示为两个奇素数的和？再比如孪生素数问题所提出的：像5和7、41和43这样相差2的素数，到底有多少对呢？在数学史上起个大早的古希腊人还有许多关于素数的发现，完美数就是其中之一。
梅森素数奇闻轶事
梅森素数奇闻轶事作者：胡晓昕来源：《科学Fans》2016年第05期素数，又叫质数，是只能被自身和1整除的数。
2300年前，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中证明了素数有无穷多个，并提出少量素数可写成“2P-1”（其中指数P也是一个素数）的形式。
由于2P-1型素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着许多数学家和无数业余数学爱好者对它进行探究。
这种特殊素数被称为“梅森素数”（the Mersenne prime）。
迄今为止，人类仅发现了49个梅森素数。
梅森素数被誉为“数海明珠”，在探究它的过程中，曾经出现过不少奇闻趣事呢。
“数学英雄”归欧拉2P-1型素数貌似简单，但当指数P值较大时，其探究难度就会很大。
它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰难的计算。
1772年，瑞士数学家、物理学家欧拉在双目失明的情况下，花了两天的时间，靠心算证明了231-1（即2147483647）是第8个梅森素数。
这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数。
欧拉第一个证实了梅森的预言——“231-1是个素数”；他证明这一素数的顽强毅力和解题技巧都令人赞叹不已，他也因此获得了“数学英雄”的美名。
难怪法国大数学家拉普拉斯经常对他的学生说：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。
”盖上素数的邮戳1963年6月2日晚上8点，当美国数学家吉利斯领导的研究小组通过大型计算机找到第23个梅森素数——211213-1时，美国广播公司（ABC）中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一振奋人心的消息。
吉利斯所在的伊利诺伊大学数学系为这一重大发现感到无比骄傲。
为了让全世界都分享这一研究成果，以致于把所有从系里发出的信件上都盖上了“211213-1是个素数”的邮戳。
这一做法一直延续到1976年该系数学家证明著名的“四色定理”为止。
“素数大王”的诞生随着指数P值的增大，每一个梅森素数的产生都艰辛无比；而数学家和业余数学爱好者仍乐此不疲，激烈竞争。
魅力无穷的梅森素数
魅力无穷的梅森素数2004年5月15日,美国国家海洋和大气局顾问、数学爱好者乔希 芬德利(Josh Findle y)用一台装有2.4GH Z奔腾处理器的个人计算机,找到了目前世界上已知的最大梅森素数。
该素数为224036583-1,它有7235733位数,如果用普通字号将这个数字连续写下来,它的长度可达3万米!它是2000多年来人类发现的第41个梅森素数,也是目前已知的最大素数。
世界上许多著名的新闻媒体和科学刊物都对这一消息进行了报道和评介,认为这是数学研究和计算技术中最重要的突破之一。
也许会有人感到奇怪:素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗?在数学和计算机科学高度发达的今天,为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难?找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事?是的,魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象,千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究;虽然已经揭示了一些规律,但围绕着它仍然有许多未解之谜,等待着人们去探索。
梅森素数的由来马林 梅森(Marin Mersenne, 1588~1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士,也是当时欧洲科学界一位独特的人物。
他与大科学家伽利略、笛卡儿、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。
虽然梅森致力于宗教,但他却是科学的热心拥护者,在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。
他捍卫笛卡儿的哲学思想,反对来自教会的批评;也翻译过伽利略的一些著作,并传播他的理论;梅森曾建议用单摆来计时,以测量物体沿斜面滚下所需时间,从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。
梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。
17世纪时,科学刊物和国际会议等还远远没有出现,甚至连科学研究机构都没有创立,交往广泛、热情诚挚和德高望众的梅森就成了欧洲科学家之间联系的桥梁。
许多科学家都乐于将成果寄给他,然后再由他传递给更多的人。
因此,他被人们誉为 有定期学术刊物之前的科学信息交换站。
梅森素数为什么这么重要？
梅森素数为什么这么重要？作者：许家辉来源：《大众科学》2018年第07期“它反映了一个国家的科技水平，是人类智力发展在数学上的一种标志，更是整个科技发展的里程碑之一。
梅森素数究竟是个怎样的数，为何如此重要呢？”众所周知，素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数。
2300多年前，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中证明了素数有无穷多个，如2、3、5、7、11等等。
在素数的探究中，人们发现少量的素数可表示为2^P-1（即2的P次方减1，其中指数P为素数）的形式，如2^2一1=3、2^3-1=7、2^5-1=31、2^7-1=127等。
由于这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，它吸引了包括数学大师欧几里得、笛卡尔、费马、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯和图灵等在内的众多数学家和无数的业余数学爱好者。
17世纪的法国数学家马林·梅森在欧几里得、笛卡尔、费马等数学大师的有关研究基础上对2^P-1型素数作了大量的计算、验证。
由于梅森学识渊博、才华横溢，是法兰西科学院的奠基人和当时欧洲科学界的中心人物。
为了纪念他，数学界就把2^P-1型素数称为“梅森素数”。
2300多年来，人类仅发现50个梅森素数。
这种素数稀奇而迷人，故被人们称为“数学领域的璀璨瑰宝”。
梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，它的探究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，还需要进行艰苦的计算。
例如，1772年，素有“数学英雄”之称的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了2^31-1是第8个梅森素数；这个具有10位的素数（即2147483647），堪称当时世界上已知的最大素数。
他的的顽强毅力和解题技巧都令人赞叹不已；难怪法国大数学家拉普拉斯经常对他的学生说：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。
”在“手算笔录年代”，人们历尽艰辛，一共只找到12个梅森素数。
即使是在“计算机时代”，每一个梅森素数的产生都艰辛无比，并且存在着十分激烈的竞争。
梅森素数
梅森数(Mersenne number)是指形如2^p－1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp 。
若Mp是素数，则称为梅森素数(Mersenne prime)。
p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。
已发现的最大梅森素数是p＝43,112,609的情形，此时 Mp 是一个12,978,189位数。
如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过50公里！是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一。
概念也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？古希腊数学大师欧几里得早就证明了素数有无穷多个，既然有无穷个，那么就应该有一个素数数列的公式，为了寻找这个公式，人们耗尽了巨大的心血(参见百度百科“素数分布”)。
在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。
由来马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。
他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。
虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。
他捍卫笛卡儿的哲学思想，反对来自教会的批评；也翻译过伽里略的一些著作，并捍卫了他的理论；他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间，从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。
梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。
17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望众的梅森就成了欧洲科学家之间的联系的桥梁。
令人着迷的梅森素数
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科 技
它们将 成为今 后解决 素数 问题 的基础 。 ”这封 信
讨论 了形式 为 ２ 一１ 的素数 。２ 一１ 最早 出现在 欧 几里 得 《 几何 原本 》 （ 公 元前 ３ ０ ０ 年 左右 ）第 九 章命题 ６ 中。梅森 以此作 为基础 ，花 ４ 年时 间研 究 、检验 了直 至 ２ ” 一Ｉ 的全部 数 ，并于 １ ６ ４ ４ 年 在他 的 《 物理 数学随感 》一书 中写道 ：“ 总结前 人的工作和 我个人 的研究 ，可以得到结论 ：在 ｎ 声喝 彩 。这个 “ 一 言不 发 的演讲 ” 成 了科 学 史 上的佳话 。会后 ，人们 问科 尔 ：“ 你花 费多少 时 间来研 究 这个 问题 ？ ”他静 静地 说 ：“ 三年 的全
梅森素数 的神秘诞 生
的 桥 梁 作 用 ，被 誉 为 “ 有 定 期 数 学 杂 志 之 前 的数 学 的交换 站 ” 。 由于 梅 森 学 识渊 博 、才华 横 溢 、 为人 热 情 以及 最 早系 统 而 深 入 地 研 究 ２ １ 型 的数 ，为 了 纪 念 他 ，１ ８ ９ ７ 年 在 瑞 士 苏
黎 世 举 行 的 首‘ 届国际数 学家大 会 （ Ｉ Ｃ Ｍ ）就
将２ ｐ － １ 型 的数 称 为梅 森 数 ，并 以 Ｍｐ 记之 （ 其 中 Ｍ 为 梅森 姓 氏的首 字 母 ） ；如 果 Ｍｐ为 素 数 ，则称 之 为梅 森 素数 。 在 梅森 研究 ２ ｐ － １ 型 的素数 之前 ，法 同数 学
６ ７ 、１ ２ ７ 和２ ５ ７ 时 ，２ ＂ － １ 是 素数 ；对 于 ｎ ＜ ２ ５ ７的
同时 ，科 尔 的这场 无 言 的演讲 ，为人 们探
稀奇迷人的梅森素数
稀奇迷人的梅森素数作者：暂无来源：《世界科学》 2019年第3期编译张翔2018年12月7日，来自美国佛罗里达州的互联网专家及数学爱好者帕特里克·拉罗什（Patrick Laroche）利用“互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）项目，成功发现第51个梅森素数2∧82 589 933-1（即2的82 589 933次方减1）；该素数有24 862 048位，是迄今为止人类发现的最大素数。
如果用普通字号将它打印下来，其长度将超过100公里！众所周知，素数又叫质数，是在大于1的自然数中只能被1和其自身整除的数。
每个自然数都可以唯一地分解成有限个素数的乘积，素数因此构成了自然数体系的基石。
2 300多年前，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中证明了素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2∧P-1”（其中指数P也是素数）的形式。
由于这种特殊形式的素数具有独特数学性质，千百年来，许多著名数学家以及无数数学爱好者对它情有独钟。
其中，17世纪的法国数学家、法兰西科学院奠基人梅森在这方面有过重要贡献。
为了纪念梅森，数学界在19世纪末就将“2∧P-1”型的素数称为“梅森素数”。
迄今为止,人类仅发现51个梅森素数。
这种素数稀奇而迷人，因而被称为“数海明珠”。
梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科技探索的热点和难点之一。
梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，其素性检验的难度就会很大；它的探究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。
例如，享有“数学英雄”美誉的瑞士数学家及物理学家欧拉1772年在双目失明的情况下，以顽强毅力靠心算证明了2∧31-1（即2 147 483 647）是第8个梅森素数；该素数有10位，堪称当时世界上已知的最大素数。
在“手算笔录”年代，人们历尽艰辛，共计才找到12个梅森素数。
而电子计算机的出现，尤其是网格计算时代的到来，大大加快了梅森素数探究步伐。
1996年初，美国数学家及程序设计师沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供人们免费使用。
梅森素数为何“火爆”全球
毅力与 技巧都令人赞
叹不 已 ， 难 怪 法 国 大 数 学家 拉 普 拉斯 向他
骄傲， 为让全世界都分享这一成果 ， 以 至把所有从系里发 出的信封都盖上了
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的学生们说：“ 读读欧 拉， 他 是我们每一个
人 的老 师。 ” 为 了寻 找 下 一 个
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梅森素数为何 ‘ 爆’ ’ 全球
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目前世界上有１ ９ Ｏ 多个国家和地区 近７ ０ 万人， 参加 了一个名为 “ 互联 网梅 森素数大搜索”（ Ｇ Ｉ ＭＰ Ｓ ） 的国际合作
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难 度极 大 的 探 究
大学洛杉矶分校的数学家拉斐尔 ・ 鲁 宾逊 （ Ｒ ａ ｐ ｈ ａ ｅ ｌ Ｒ ｏ ｂ ｉ ｎ ｓ ｏ ｎ ） 将著 名的 ‘ ‘ 卢
梅森素数貌似简单， 但 当指数Ｐ 值
较大时， 其素 陛检验的难度就会很大；
梅森素数的由来 ２ ３ ０ ０ 多年前， 古希腊数学家欧几里 得在名著 《 几何原本》 中就已经证明素 数有无穷多个， 如２ 、 ３ 、 ５ 、 ７ 、 １ １ 等等； 同
２ ３ 卜１ （ 即２ １ ４ ７ ４ ８ ３ ６ ４ ７ ） 是个素数。 该素 数是第８ 个梅森素数， 堪称当时世界上 已知
的最 大 素 数 。 欧 拉 的
找到时， 美国广播公司 （ ＡＢ Ｃ） 中断了 正常的节目播放， 在第一时间发布了这
—
殊形式的素数 ， 具有 独特 的性质和无穷的
魅力 ， 千 百 年 来 一直
生么是梅森素数通俗易懂
生么是梅森素数通俗易懂梅森素数是一类特殊的素数，它们具有神秘而又吸引人的特点。
所谓梅森素数，是指形如2^p-1的素数，其中p是一个素数。
换句话说，梅森素数就是素数的素数。
这个定义可能有些抽象，所以我们来一步步解析它的含义。
首先，什么是素数？素数就是只能被1和自身整除的数，也就是除了1和它本身，不能被其他任何整数整除的数。
比如2、3、5、7等都是素数，而4、6、8等就不是素数。
在数学中，素数是一个非常重要的概念，它们有许多独特的性质和应用。
然后，我们来看梅森素数的定义。
梅森素数是形如2^p-1的素数，其中p是一个素数。
这里的2^p-1是一个指数运算，表示将2乘以自身p次，并且再减去1。
例如，当p=2时，2^p-1=2^2-1=3，这是一个素数，所以3是一个梅森素数。
再举个例子，当p=3时，2^p-1=2^3-1=7，这同样是一个素数，所以7也是一个梅森素数。
接下来，让我们看看梅森素数有哪些特点。
首先，梅森素数相对较少，因为要同时满足两个条件：p本身是素数，并且2^p-1也是素数。
事实上，目前已发现的梅森素数只有少量的几个。
其次，梅森素数通常会非常巨大，它们的数值远远超过一般的素数。
事实上，迄今为止，已知的最大的梅森素数有数百万位甚至上千万位。
这种庞大的数字给人一种深深的震撼和惊叹。
最后，梅森素数在数学和计算机领域有广泛的应用，特别是在密码学和数据安全方面。
人们一直在寻找更大的梅森素数，以提高密码的强度和数据的安全性。
对于我们普通人来说，梅森素数可能显得有些遥远和陌生。
但是，了解梅森素数的定义和特点，对于培养我们的数学兴趣和思维能力有着重要的意义。
它们展示了数学的奇妙和无限的可能性，也让我们感受到数学的美丽和深邃。
因此，如果你对数学感兴趣，不妨多了解一些梅森素数的知识，它们会给你带来非凡的启发和乐趣。
总结起来，梅森素数是一类特殊的素数，具有非常独特和引人入胜的特点。
能够理解梅森素数的定义和特点，对于我们的数学学习和思维能力的培养非常有益处。
梅森素数的故事
梅森素数的故事
梅森素数是一类特殊的素数，它们的形式为2的n次幂减一（n为正
整数），例如3、7、31、127等。
这类素数得名于17世纪英国数学家梅森。
梅森是17世纪英国科学史上的一个著名人物，他同时也是一位数学家。
梅森对数学有着浓厚的兴趣，并且以其锐利的头脑和创造性的思维闻
名于世。
梅森发现了一类特殊的素数，即2的n次幂减一的形式。
他认为，这
类素数很有可能是无穷的，因为它们的形式非常简单，而且很容易生成。
于是，他开始研究这类素数，并且尝试找到更多的这样的素数。
但是，梅森并没有能够找到更多的梅森素数。
他认为这可能是由于他
的计算方法不够精确。
因此，他决定将这个问题留给后人去解决。
随着时间的推移，人们继续研究梅森素数，并且找到了越来越多的这
类素数。
人们对梅森素数的研究也不仅仅是为了满足好奇心，更重要的是，梅森素数在现代密码学中具有重要的应用。
人们使用梅森素数来生成随机数，保障密码的安全性。
梅森素数的故事告诉我们，科学的发展需要多代人的努力，没有哪位
天才独善其身。
只有不断地积累，不断地尝试，才能让人类的智慧和科技
不断地进步和发展。
梅森素数及其生成方法
梅森素数及其生成方法
梅森素数是指形如2^p-1的素数，其中p也是一个素数。
梅森素数因为其特殊形式和特殊性质而备受数学爱好者的关注。
本文将介绍梅森素数的生成方法以及重要性。
一、生成梅森素数的方法
梅森素数的生成方法最早可以追溯到17世纪，当时法国数学家梅森（Marin Mersenne）提出了一个形如2^p-1的素数可能是梅森素数的猜想。
梅森素数的生成方法为首先选取一个质数p，然后计算2^p-1是否为素数，若是，则2^p-1就是梅森素数。
目前已知的梅森素数十分有限，截止到2021年4月，已知的梅森素数仅有51个。
其中最大的一个是2^82,589,933-1，它包含24,862,048个数字。
二、梅森素数的重要性
梅森素数因为其特殊性质而在密码学、计算机科学等领域得到了广泛应用。
首先，梅森素数的质数性质使得它们在密码学的应用中发挥了重要作用。
RSA加密算法，通常用于安全通信和数字签名，就是基于梅森素数的质数性质来实现的。
其次，在计算机科学领域，梅森素数被广泛用于构造一些高效的算法和数据结构，例如哈希表、布隆过滤器等。
另外，在数论中，梅森素数也因其稀少、特殊的形式而成为数学家研究的对象，对研究数学基本问题和不等式等方面有非常重要的作用。
三、结语
梅森素数虽然数量稀少，但因其特殊的形式和性质而成为数学研究和应用领域的重要对象。
我们希望通过本文的介绍，能够让更多的人认识梅森素数，并了解它们的重要性和应用。
小学数学 数学故事 梅森素数：千年不休的探寻之旅(2)
梅森素数：千年不休的探寻之旅(2)那些手扛肩挑的年代手算笔录的时代，每前进一步，都显得格外艰难。
1772年，在卡塔尔迪提出近200年之后，瑞士数学家欧拉证明了M31确实是一个素数，这是人们找到的第8个梅森素数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数，欧拉也因此成为第二个在发现者名单上留名的人。
让人惊叹的是，这是在他双目失明的情况下，靠心算完成的。
这种超人般的毅力与技巧让欧拉获得了“数学英雄”的美誉。
法国大数学家拉普拉斯（place）说的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。
”100年后，法国数学家鲁卡斯提出了一个用来判别Mp是否是素数的重要定理——鲁卡斯定理，这为梅森素数的研究提供了有力的工具。
1883年，数学家波佛辛（Pervushin）利用鲁卡斯定理证明了M61也是素数–这是梅森漏掉了的。
梅森还漏掉另外两个素数：M89和M107，它们分别在1911年与1914年被数学家鲍尔斯（Powers）发现。
还记得梅森预测的四个素数吗？其中M31已经为欧拉证明，M127则在鲁卡斯提出定理时顺带证明，虽然中间漏掉了3个，但至少还有另外两个：M67和M257是不是素数呢……M67的证明又是一个精彩的故事。
1903年，数学家柯尔在美国数学学会的大会上作了一个报告。
他先是专注地在黑板上算出267－1，接着又算出193707721×761838257287，两个算式结果完全相同！换句话说，他成功地把267－1分解为两个素数相乘的形式，从而证明了M67是个合数。
报告中，他一言未发，却赢得了现场听众的起立鼓掌，更成了数学史上的佳话。
阅读这段历史，我们懂得了什么叫做“事实胜于雄辩”。
记者好奇地问他是怎样得到这么精彩的发现的，柯尔回答“三年里的全部星期天”。
他后来当选为美国数学协会的会长，去世后，该协会专门设立了“柯尔奖”，用于奖励作出杰出贡献的数学家。
1922年，数学家克莱契克验证了M257并不是素数，而是合数（但他没有给出这一合数的因子，直到20世纪80年代人们才知道它有3个素因子）。
美科学家发现迄今最大梅森素数
美科学家发现迄今最大梅森素数美科学家发现迄今最大梅森素数美科学家发现迄今最大梅森素数“2的32582657次方减1”有9808358位数，用普通字号写下来长度超40公里据国际著名数学网站《数学世界》11日报道，美国密苏里州立中央大学数学家库珀和化学家布恩领导的研究小组发现了已知的最大梅森素数，该素数为“2的32582657次方减1 ”;它有9808358位数，如果用普通字号将这个数字连续写下来，它的长度超过40公里!这一超级素数是目前已知的最大素数，也是2019多年来人类发现的第44个梅森素数。
梅森素数的魅力素数又称质数，是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数(如2、3、5、7、11等等)，素数有无穷多个。
而形如“2的P次方减1”(其中指数P为素数)的素数称为梅森素数，以17世纪法国著名数学家、法兰西科学院奠基人梅森的名字命名。
梅森素数是数论研究中的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
英国著名数学家索托认为它的研究可以检验人们的智慧和运算能力。
早在公元前300多年，古希腊数学大师欧几里得就开创了探寻“2的P次方减1”型素数的先河，他在《几何原本》这一经典著作中论述完全数时曾研究过这种特殊素数。
由于梅森素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸用;这就是著名的GIMPS项目。
该项目采取网格计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间来获得相当于超级计算机的运算能力。
2019年美国数学家和程序设计师库尔沃斯基建立了“素数网”(PrimeNet)，使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。
只要人们去GIMPS的主页下载那个免费程序，就可以立即参加GIMPS项目来搜寻梅森素数。
为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，设在美国的电子新领域基金会(EFF)不久前向全世界宣布:任何个人或机构通过GIMPS项目找到超过1000万位数的梅森素数，将会获得该基金会颁发的10万美元奖金。
但是，绝大多数研究者参与该项目不是为了金钱而是出于乐趣、荣誉感和探索精神。
梅森素数为何这样重要
梅森素数为何这样重要欧几里德的谜题素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等等。
公元前300多年，古希腊数学家欧几里德用反证法证明了素数有无穷多个，他还提出有少量素数能够写成2p-1(其中指数P为素数)的形式。
怎么说有多少个素数能够写成这种形式?欧几里德把那个问题留给了后人。
因此，费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯……几乎所有大数学家都研究过这种专门形式的素数，17世纪的法国数学家马林?梅森是其中成果最为卓著的一位。
梅森学识渊博、才华横溢，是法兰西科学院的奠基人和当时欧洲科学界的中心人物。
为了纪念他，数学界就把2p-1型的数称为“梅森数”，并以Mp记之;假如Mp为素数，则称之为“梅森素数”。
然而，2300多年来，人类仅发觉47个梅森素数。
这种素数新奇而迷人，因此有“数学珍宝”的美誉。
梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探究的热点和难点之一。
梅森素数的价值别以为查找梅森素数只是数学家们的消遣和游戏，梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和有用价值。
它是发觉已知最大素数的最有效途径，它的探究推动了数学皇后??数论的研究，促进了运算技术、程序设计技术、密码技术、网格技术的进展以及快速傅立叶变换的应用。
另外，梅森素数的探究方法还可用来测试运算机硬件运确实是否正确。
许多科学家认为，由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，它的研究成果在一定程度上反映了一个国家的科技进展水平。
英国顶尖科学家、牛津大学教授马科斯?索托伊甚至认为它是“人类智力进展在数学上的一种标志,也是科学进展的里程碑”。
查找梅森素数的艰巨之旅在“手算笔录”年代，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。
电子运算机的显现，大大加快了探究梅森素数的步伐。
1952年美国数学家拉斐尔?鲁滨逊等人将闻名的卢卡斯-雷默方法编译成运算机程序，使用SW AC型运算机在5个月之内，就找到了5个梅森素数：M521、M607、M1279、M2203和M2281。
梅森素数——精选推荐
梅森素数如果⼀个数字的所有真因⼦之和等于⾃⾝，则称它为“完全数”或“完美数”例如：6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14早在公元前300多年，欧⼏⾥得就给出了判定完全数的定理：若 2^n - 1 是素数，则 2^(n-1) * (2^n - 1) 是完全数。
其中 ^ 表⽰“乘⽅”运算，乘⽅的优先级⽐四则运算⾼，例如：2^3 = 8， 2 * 2^3 = 16, 2^3-1 = 7但⼈们很快发现，当n很⼤时，判定⼀个⼤数是否为素数到今天也依然是个难题。
因为法国数学家梅森的猜想，我们习惯上把形如：2^n - 1 的素数称为：梅森素数。
截⽌2013年2⽉，⼀共只找到了48个梅森素数。
新近找到的梅森素数太⼤，以⾄于难于⽤⼀般的编程思路窥其全貌，所以我们把任务的难度降低⼀点：1963年，美国伊利诺伊⼤学为了纪念他们找到的第23个梅森素数 n=11213，在每个寄出的信封上都印上了“2^11213-1 是素数”的字样。
2^11213 - 1 这个数字已经很⼤(有3000多位)，请你编程求出这个素数的⼗进制表⽰的最后100位。
答案是⼀个长度为100的数字串，请通过浏览器直接提交该数字。
注意：不要提交解答过程，或其它辅助说明类的内容。
答案BigInteger快速幂。
代码：import java.math.BigInteger;public class Main {public static void main(String[] args) {BigInteger a = BigInteger.ONE;BigInteger b = BigInteger.ONE;BigInteger d = new BigInteger("2");for(int i = 0;i < 100;i ++) {a = a.multiply(BigInteger.TEN);}int c = 11213;while(c != 0) {if(c % 2 == 1) {b = b.multiply(d).mod(a);}d = d.multiply(d).mod(a);c /= 2;}b = b.subtract(BigInteger.ONE);System.out.println(b);}}。
梅森素数分布规律
梅森素数分布规律梅森素数，是一种具有特殊形式的素数，即形如2^p-1的素数，其中p也是素数。
梅森素数由法国数学家梅森在17世纪提出，并被广泛研究和探讨。
梅森素数的分布规律一直是数学界一个备受瞩目的问题，其独特性和神秘性吸引着无数数学爱好者和专家学者。
梅森素数的分布规律并不像常规素数那样简单，其数量相对稀少，且并不是所有形如2^p-1的数都是素数。
梅森素数的规律性主要表现在其指数p的取值范围上。
据统计，截至目前已知的梅森素数只有少数几个，其中p的取值范围一般在几十到几百之间。
这种特殊的分布规律使得梅森素数成为数学研究中的一大难题。
梅森素数的分布规律受到了众多数学家的关注和研究。
他们通过不断地寻找新的梅森素数，探索梅森素数的性质和规律，试图揭示其中的奥秘。
然而，梅森素数的分布规律迄今仍未完全被揭示清楚，仍然存在许多未解之谜等待着数学家去解开。
在研究梅森素数分布规律的过程中，数学家们发现了一些有趣的现象。
例如，梅森素数的指数p通常是一个较大的素数，且p越大，对应的梅森素数也越大。
这种规律性表明了梅森素数的增长速度较慢，且数量有限。
另外，梅森素数的分布规律还与费马小定理、欧拉定理等数论定理有着密切的联系，这为揭示梅森素数的分布规律提供了重要的理论支持。
总的来说，梅森素数的分布规律是一个具有挑战性和深远意义的数学问题。
数学家们将继续努力，探索梅森素数背后的规律，深入研究其中的数学奥秘，为数学领域的发展做出更大的贡献。
梅森素数分布规律的研究不仅对数学理论具有重要意义，也有助于推动数学的应用和发展，为人类认识世界、改善生活提供更多的可能性。
愿梅森素数分布规律的研究能够不断取得新的突破，为数学事业注入新的活力和动力。
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魅力无穷的梅森素数——香港科技大学方程2004年5月15日，美国国家海洋和大气局顾问、数学爱好者乔希·芬德利(Josh Findley)用一台装有2.4GH奔腾处理器的个人计算机，找到了目前世界上已知最大Z的梅森素数。
该素数为2的24036583次方减1(即224036583－1)，它有7235733位数，如果用普通字号将这个数字连续写下来，它的长度可达3万米！它是2000多年来人类发现的第41个梅森素数，也是目前已知的最大素数。
世界上许多著名的新闻媒体和科学刊物都对这一消息进行了报道和评介，认为这是数学研究和计算技术中最重要的突破之一。
也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。
梅森素数的由来马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。
他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。
虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。
他捍卫笛卡儿的哲学思想，反对来自教会的批评；也翻译过伽里略的一些著作，并捍卫了他的理论；他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间，从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。
梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。
17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望众的梅森就成了欧洲科学家之间的联系的桥梁。
许多科学家都乐于将成果寄给他，然后再由他转告给更多的人。
因此，他被人们誉为“有定期学术刊物之前的科学信息交换站”。
梅森和巴黎数学家笛卡儿、费马、罗伯瓦、迈多治等曾每周一次在梅森住所聚会，轮流讨论数学、物理等问题，这种民间学术组织被誉为“梅森学院”，它就是法兰西科学院的前身。
1640年6月，费马在给梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质。
我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”。
这封信讨论了形如2P－1的数（其中p为素数）。
早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2P－1的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果2P－1是素数，则2P－1（2P－1）是完美数。
梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2P－1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2P－1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2P－1是合数。
前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分。
不过，人们对其断言仍深信不疑，连大数学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为它是对的。
虽然梅森的断言中包含着若干错误（后文详述），但他的工作极大地激发了人们研究2P－1型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位。
可以说，梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑。
由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究2P－1型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp=2P－1。
如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2P－1型素数）。
梅森素数貌似简单，而研究难度却很大。
它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且需要进行艰巨的计算。
即使属于“猜测”部分中最小的M=231－1=2147483647，31也具有10位数。
可以想象，它的证明是十分艰巨的。
正如梅森推测：“一个人，使用一般的验证方法，要检验一个15位或20位的数字是否为素数，即使终生的时间也是不够的。
”是啊，枯燥、冗长、单调、刻板的运算会耗尽一个人的毕生精力，谁愿让生命的风帆永远在黑暗中颠簸！人们多么想知道梅森猜测的根据和方法啊，然而年迈力衰的他来不及留下记载，四年之后就去世了；人们的希望与梅森的生命一起泯灭在流逝的时光之中。
看来，伟人的“猜测”只有等待后来的伟人来解决了。
充满艰辛与乐趣的探索历程梅森素数就像数学海洋中的一颗璀璨明珠，吸引着一代又一代的研究者去探寻。
自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程。
而梅森断言为素数而未被证实的几个Mp当然首先成为人们研究的对象。
1772年，瑞士数学家欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了M31是一个素数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数。
欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已，他因此获得了“数学英雄”的美誉。
这是寻找已知最大素数的先声。
欧拉还证明了欧几里得关于完美数的定理的逆定理，即：每个偶完美数都具有形式2P－1（2P －1），其中2P－1是素数。
这就使得偶完美数完全成了梅森素数的“副产品”了。
欧拉的艰辛给人们提示：在伟人难以突破的困惑面前要想确定更大的梅森素数，只有另辟蹊径了。
100年后，法国数学家鲁卡斯提出了一个用来判别Mp是否是素数的重要定理——鲁卡斯定理。
鲁卡斯的工作为梅森素数的研究提供了有力的工具。
1883年，数学家波佛辛利用鲁卡斯定理证明了M61也是素数——这是梅森漏掉的。
梅森还漏掉另外两个素数：M89和M107，它们分别在1911年与1914年被数学家鲍尔斯发现。
1903年，在美国数学学会的大会上，数学家柯尔作了一个一言不发的报告，他在黑板上先算出267－1，接着又算出193707721×761838257287，两个结果相同。
这时全场观众站了起来为他热烈鼓掌，这在美国数学学会开会的历史上是绝无仅有的一次。
他第一个否定了“M67为素数”这一自梅森断言以来一直被人们相信的结论。
这短短几分钟的报告却花了柯尔3年的全部星期天。
1922年，数学家克莱契克进一步验证了M257并不是素数，而是合数（但他没有给出这一合数的因子，直到20世纪80年代人们才知道它有3个素因子）。
1930年，美国数学家雷默改进了鲁卡斯的工作，给出了一个针对Mp的新的素性测试方法，即鲁卡斯-雷默方法：Mp ＞3是素数的充分必要条件是Lp-2=0，其中L=4，L n+1=(L n －2)ModM p 。
这一方法直到今天的“计算机时代”仍发挥重要作用。
“手算笔录时代”，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。
而计算机的产生使寻找梅森素数的研究者如虎添翼。
1952年，数学家鲁滨逊等人将鲁卡斯-雷默方法编译成计算机程序，使用SWAC 型计算机在短短几小时之内，就找到了5个梅森素数：M 521、M 607、M 1279、M 2203和M 2281。
其后，M 3217在1957年被黎塞尔证明是素数；M 4253和M 4423在1961年被赫维兹证明是素数。
1963年，美国数学家吉里斯证明M 9689和M 9941是素数。
1963年9月6日晚上8点，当第23个梅森素数M 11213通过大型计算机被找到时，美国广播公司（ABC ）中断了正常的节目播放，以第一时间发布了这一重要消息；发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，以致于把所有从系里发出的信件都敲上了“211213－1是个素数”的邮戳。
1971年3月4日晚，美国哥伦比亚广播公司（CBS ）中断了正常节目播放，发布了塔可曼使用IBM360-91型计算机找到新的梅森素数M 19937的消息。
而到1978年10月，世界几乎所有的大新闻机构（包括我国的新华社）都报道了以下消息：两名年仅18岁的美国高中生诺尔和尼科尔使用CYBER174型计算机找到了第25个梅森素数：M 21701。
随着素数P 值的增大，每一个梅森素数M P 的产生都艰辛无比；而各国科学家及业余研究者们仍乐此不疲，激烈竞争。
1979年2月23日，当美国克雷研究公司的计算机专家史洛温斯基和纳尔逊宣布他们找到第26个梅森素数M 23209时，人们告诉他们：在两个星期前诺尔已得到这一结果。
为此，史洛温斯基潜心发愤，花了一个半月的时间，使用CRAY-1型计算机找到了新的梅森素数M 44497。
这个记录成了当时不少美国报纸的头版新闻。
之后，这位计算机专家乘胜前进，使用经过改进的CRAY-XMP 型计算机在1983年至1985年间找到了3个梅森素数：M 86243、M 132049和M 216091。
但他未能确定M 86243和M 216091之间是否有异于M 132049的梅森素数。
而到了1988年，科尔魁特和韦尔什使用NEC-FX2型超高速并行计算机果然捕捉到了一条“漏网之鱼”——M 110503。
沉寂4年之后，1992年3月25日，英国原子能技术权威机构——哈威尔实验室的一个研究小组宣布他们找到了新的梅森素数M 756839。
1994年1月14日，史洛温斯基和盖奇为其公司再次夺回发现“已知最大素数”的桂冠——这一素数是M 859433。
而下一个梅森素数M 1257787仍是他们的成果。
这一素数是使用CRAY-794超级计算机在1996年取得的。
史洛温斯基由于发现7个梅森素数，而被人们誉为“素数大王”。
使用超级计算机寻找梅森素数的游戏实在太昂贵了。
1996年美国数学家及程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数寻找程序，并把它放在网页上供数学家和数学爱好者免费使用；这就是著名的“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS）项目。
1997年美国数学家及程序设计师斯科特·库尔沃斯基和其他人建立了＂素数网＂（PrimeNet），使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。
现在只要人们去GIMPS 的主页下载那个免费程序，就可以立即参加GIMPS项目来搜寻梅森素数。
目前，全球有近７万名志愿者参加该项目，并动用20多万台计算机联网来进行大规模的分布式计算，以寻找新的梅森素数。
看来，因特网联通的个人计算机要与高功能的超级计算机在计算技术上一较高低了。
从1996年到2004年5月15日，GIMPS项目发现了7个梅森素数：M1398269、M2976221、M3021377、M6972593、M13466917、M20996011和M24036583，它们都是使用奔腾型计算机得到的结果。
时至今日止，人们已经发现了41个梅森素数，并且确定M6972593位于梅森素数序列中的第38位。