16.2二次根式的除法(第二课时) 优秀课件
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人教版八年级下册数学16.2二次根式的乘除(2) ——二次根式的除法课件 (共18张PPT)
(5) 3 3 5
(6) 0.4 (7) 3 24
(8)
5x 12 y3
难点突破
例 5 化简 (aa1－ ) a11=1a =__．____
分析：含字母的二次根式的化简，通常要知道字母的符号,而字 母的符号又常借被开方数的非负性而隐藏．因此，化简时要从 被开方数入手．
解：∵a －a1有意义，∴－1a≥0，∴－a＞0．
a0,b0
二次根式相除，根号不变，把被开方数相除。
思考：
1、这里的字母a，b可以取任意实数吗？ 2、为了方便记忆，你能用一句话叙述这一规律吗？ 3、等式 m3 m3 成立的条件是__m__>_5___
m5 m5
实践应用
a b
a b
a 0 ,b 0
例1 计算 (1) 24 3
(2) 3 1 2 18
∴a －1a＝a
(－1 a)＝a
(－a) (－a) (－a)
＝a
(－－aa)2＝a
－a
－a
＝－aa －a＝－ －a．
巩固提升
1.计算 4 8 1 的结果是（ A ）
3
A. 3
B. 5
C. 6
D. 8
2.若使等式
42k k1
42k 成立，则实数k取值范围是_1_＜__k__≤_2__
k1
3.下列二次根式 4 5， y, x2y2, a 2+ 9, 2 x中属于最
课外作业
1.计算：
(1) 30 3 22221 23 2
(2) 7314 3 21 152 2
(3) a3b (3 b)(32a) ( 4 )7 ( 5 6 1 )2( 4 )2
2a
(5) 2 5 50
16.2二次根式的除法(第二课时) 优秀课件(共27张PPT)
ab
6 b a
ab
1 1 2 x y 1 1
3x
导新：
二次根式性质2：
a 2 =|a|=
=a (a≥0) =-a (a<0)
计算
（1） （3） （5）
4 9 49 100 25 64
（2） （4） （6）
4 9 49 100 25 64
a 一 般 地 ,有 a_____ b ___,(a0 ,b0)
× × （3） 41 2 1 （ 22
）（4）2
52 99
5（
）
（5） 4 4 4 4（ √ ）（6）5 5 5 5 （ √）
15 15
24 24
观察、猜想训练
验证下列各式，猜想下一个式子是什 么？你能找到反映上述各式的规律吗？
1 2 2 2 2
3
3
2 3 3 3 3
8
8
3 4 4 4 4
b
二次根式除法法则:
两个二次根式相除，将它们的被开方 数相除的商，作为商的被开方数；
这 个 公 式 反 过 来 写 , 得 到 : _ _ _ ba_ _ _ _ _ _ ba _ _ _ ( a0,b) 0
例1.计算或化简:
(1) 15
3
(2) 24 3
解：(1) 15 15 5
33
(2) 24 248 22222 33
例 2.计 算 :
(1)40 5
解：
(2) 4 1 3 12
( 1 )4 054 04 082 2 222
55
(2) 41414 12424 3 12 312 3
练习:
1 7 2
6
2 1 1 1
26
3 40
16.2.2二次根式的除法-2020-2021学年人教版八年级数学下册课件
解：（1） 3 3 3 100 100 10
（2） 75 27
25 9
52 5 32 3
例6 计算
（1） 3 5
解：（1）解法1： 3 3 5 15 5 5 5 5
解法2： 3 5
3 5
35 55
15 52
15 5
例6 计算
（2）3 2 27
（3） 8 2a
解：（2）3 2 3 2 2 2 3 6 27 3 3 3 3 3 3
b 10 10 10 5
练习2：计算
（1） 4 49
（3） 12 2
（2）
a2b 4c2
（4）5n 3n
练习3.设长方形的面积为S， 相邻两边长分别为a, b.已知 S 16,b 10,求a.
总结
a a (a 0,b 0) bb
a a (a 0,b 0) bb
（3） 8 2 2 2 2 a 2 a 2a 2 • a a a • a a
如例6中2 2， 3 ，2 a 等，可以发现有如下特 点： 10 a
（1）被开方数不含分母；（分母中不含根号） （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式
练习 计算
（3） 2a 6a
（3）原式 2a 6a 1
3 13
33 3
32 3
3
（4） b 5
b 20 a 2
（4）原式
b 5Biblioteka b 20a24a2
2a
练习1：把下列二次根式化成最简二次根式
（1） 32
（2） 40
解：（1） 32 16 2 16 2 4 2
解：（2） 40 410 4 10 2 10
二次根式16.2(2)
课题16.2二次根式的乘除（2）备课教师张立辉单位梅河口市第二中学教学目标知识与技能理解最简二次根式的意义，掌握二次根式的除法法则，并能应用法则进行二次根式的除法计算。
过程与方法经历探索二次根式除法法则的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能力。
情感态度价值观让学生在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，勇于发表自己的观点，病尊重与理解他人的见解，从交流中获益。
教学重点掌握和应用二次根式的除法法则。
教学难点正确进行二次根式的化简。
教法启发探究式学法自主探究教具计算器，CAI课件教学流程教师与学生活动内容设计意图提出问题探究新知计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？4(1)_____,9=4_____;9=16(2)_____,25=16_____;25=36(3)_____,49=36______.49=1.让学生大胆猜想二次根式的除法法则，在学生充分讨论的基础上师生共同归纳：一般地，二次根式的除法法则是：(0,0).a aa bbb=≥>接着可适当讨论二次根式乘除法的类同点与不同之处，让学生加深对条件b>0的印象。
2.你能进行下列计算吗？24(1);331(2).218÷通过上面的计算，你认为二次根式除法运算的步骤有哪些？3.你能化简下列二次根式吗？3(1);10075(2);273(3);532(4);278(5).2a让学生在相互讨论的基础上掌握二次根式的化简方法。
教师强调：（1）我们把被开方数不含分母且被开放数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式；（2）在二次根式的运算中，最后结果中的二次根式一般要写成最简二次根式的形式。
提出问题，鼓励学生观察、猜想、归纳、总结。
引导学生积极参与数学学习，培养他们的概括能力和语言表达能力。
通过对二次根式乘除法的类同点与不同之处的讨论，让学生进一步注意法则的条件部分。
与二次根式的乘法运算进行类比，体会话未知为已知的思想方法。
人教版数学八年级下册《二次根式的除法》ppt课件
不是“ a ”，而是“
a 3
a a”3刘敏说：哎呀，真抄错了，好在
不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？
解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：
按
a
a
3计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0；
而按 a 计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3．
a 3
课堂小结
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1) 4 = 4 ； 99
(2) 16 = 16 ； 25 25
(3)
36 36 . 49 49
猜测 你发现了什么规律？能用字母表示你所发
现的规律吗？ 猜测： a a bb
从上面的猜测的规律中，a，b 的取值范 围有没有限制呢？
回顾上节课所讲的二次根式的乘法，我们知道
h 5
40时，此时
他看到的水平线的距离d2是多少？
解：d2 8 40 16 10.
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到 的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
d2 16 10 . d1 16 5
【思考】乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？
除法有没有类似的法则？
(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进
行化简,如 0.3 3 30 30 .
10 100 10
巩固练习
在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是
最简二次根式的进行化简．
（1）
45
;
（2） 1 ;
3
（3） 5 ;
2
（4）
0.5
;（5） 1 4
5
.
16.2二次根式的乘除2讲解
能否将二次根式 3 化简？ 64
解： 3 = 3 = 3 ． 64 64 8
例5 化简：
（1） 3 100
；（2）
75 27
．
化简：
（1） 28 7 ； （2） 125 ； 5
（3）
7 121
；
36a （4） 25b2 （b＞0）．
通过这堂课的学习你有哪 些收获与困惑？
7 (1) 2
9
(2)
数相除的商，作为商的被开方数；
例4 计算：
（1） 24 ；（2） 3 1 ．
3
2 18
(1) 18 2 (2) 72
(3) 2a 6a
6
(4)
b 5
b 2a2
aa
b
b
a 0,b 0
两商个的二算次术根平式方相根除等，于等被于除把式被 的开 算术方
数平相 方根除除，以作除为商式的被算开术方平数方根。
4= 2 9 ____3___；
（2）16 = 41 = 425 ____5___； 25 ___5____；
（3）
36 = 6
36 = 6
49 ____7___； 49 ___7____．
a= b
a b
（a≥0，b＞0）
一般地,有 a __a______, (a 0,b 0) bb
二次根式除法法则: 两个二次根式相除，将它们的被开方
1．探索二次根式除法法则； 2．能根据二次根式除法法则进行二 次根式的除法运算．
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那 么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
24 = _____ ； 3 1 = _____ ．
3
2 18
计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
16.2.2二次根式除法 课件-2020-2021学年人教版八年级数学下册
(2) 3 1 3 1 3 8 12 2 3. 2 8 28 2
除式是分数（或分式 的）先要转化为乘法 再进行运算.
1 24 24 4 2
6
6
2 25 25 5
81 81 9
(1) 24 ; (2) 3 1. （3） 1 1 （4） 64
3
28
（2） 16 25
16； 特殊 25
（3） 36 36 . 49 49
aa
一般
bb
a a (a 0, b 0). bb
根指数
被开方数
想一想：除式中被开 方数b为什么不能等 于0?
b>0不能等于0
(1) 24 ; (2) 3 1.
3
28
解: (1) 24 24 8 2 2; 33
根号下不含开 得尽方的因数.
他解法 吗?
(2) 75 27
52 3 32 3
52 5 . 32 3
补充解法：
75 27
75 5 3 5 27 3 3 3
（1）被开方数不含 分母； （2）被开方数中不含能开 方开得尽的因数或因式； 这样的二次根式，叫最简
二次根式
例6. 计算 (1) 3 5
、归
利用
纳
达到去掉根号的目的
形如 m a n b（a 0,b 0) 的除法
2 36 1 18 2
解：2 36 1 18 （2 1）（ 36 18）
2
2
= 2 2 36 18
=4 2
二次根式的除法扩充法则 m a n b =（m n） a b（a 0,b 0)
(1)12 6 2 3 (2)5 8 ( 1 2)
解：原式 (12 2) 6 3
解：原式
新人教版《二次根式的乘除》课件公开课PPT
n（n2－1）＋n n2－1
＝
综设上AE所的述长,符为合m,条△件AD的E点的P面只积有为一S个,求,其S关坐于标m为的(2函,-2数√(关"3系" )式). ,并写出自变量m的取值范围;
"(i∴)当△四C边DE形的C最DM大N面是积平为行" 四"8边1"形/",8∵" M,此向时下A平E=移m4=个"9单" /"位2"得"N,B,∴E=NA的B-坐A标E=为" ("39+"n/,"n2-"2).,
按团体票一次性购买16张门票需要35×60%×16＝336(元)．
示为( B ) ②在平移过程中,是否存在以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
解：由题意，得：①甲组单独施工12天完成，商店需付装修费用3 600元；乙组单独施工24天完成，商店需付装修费用3 360元，比较可 知，甲组比乙组早12天完工，商店早开业12天可盈利200×12＝2 400(元)． 知识点四 列一元一次不等式解应用题
A． 13
B． 12
C． a3
D．
5 3
8．把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) 3.5 ；
解：原式＝
14 2
(2)
4 15
；
解：原式＝35 5
(3)
27 3x
；
(4) 16x3＋32x2 (x＞0).
解：原式＝3x x
解：原式＝4x x＋2
∴(的2)A函点B数E=从9关9,O点系．CA式=(出9绵,.并发写阳,沿出x中轴自向变考点量Bm)运等的动取式(值点范E与围xx点; － ＋A,B31不重＝合),过点xxE作－ ＋直31线l平成行立于B的C,交xAC的于点取D.设值AE范的长围为在m,△数AD轴E的上面积可为S表,求S关于m
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3 2
3 2
2 6 2 2
(3)
27 3x
27 3x
3x 9 x 3 x 3x x 3x
在二次根式的运算中，一般要求最后结果的分母中不含根式。
例1.化简
1 (1) 5
解：
2 (2) 1 3
1 1 5 5 5 (1) = = = 2 5 5 5 （ 5） 5
2 5 5 5 3 15 (2) 1 = = = = 2 3 3 3 3 （ 3）
温故：
二次根式性质3： 如果a≥0,b≥0,那么有 a· b ab 如果a≥0,b≥0,那么有
ab a· b
化简：
1 2 3 4 5 6
4 16 36 256 30000 13 12
2 2
练习 7 18 8 5 2 3
18
9 10
探究
a a 把 b b
a b
反过来，就可以得到:
a b
（a≥0，b＞0）
利用它可以对二次根式进行化简.
3 25 y (2) 化简: (1) 2 100 9x 3 3 3 解: (1) 100 100 10
25 y 5 y 5 y 3 x
判断下列各等式是否成立。
辨析训练
√） （1） 16 9 4 3 （× ）（2） 3 3 （
2 2 1 1 （3） 4 2 （ 2 2
×
5 2 ）（4） 2 9 9 5（
× ）
4 4 √ 5 5 （5） 4 4 （ ）（6）5 5 （ √） 15 15 24 24
验证下列各式，猜想下一个式子是什 么？你能找到反映上述各式的规律吗？
4 9 49 100 25 64
a a 一般地, 有 ________, (a 0, b 0) b
b
二次根式除法法则:
两个二次根式相除，将它们的被开 方数相除的商，作为商的被开方数；
a a a 0, b 0 这个公式反过来写,得到:____________( ) b b
例1.计算或化简:
练习： 3 （1） 6
-4 2 （4） 3 7
- 45 （2） 2 20
2 （3） 3
1 （6） 6
3 （5） 5
-2 2 （8） 5 （7） 10 5 3
二次根式的化简要求满足以下两 条: (1)被开方数的因数是整数,因式是 整式,也就是说“被开方数不含分 母”. (2)被开方数中不含能开得尽的因 数或因式,也就是说“被开方数的 每一个因数或因式的指数都小于 2”.
3
由上面的计算可知： 二次根式的除法运算，通常采 用分子、分母同乘以一个式子化 去分母中的根号的方法，这种方 法就叫做分母有理化
2.把下列各式分母有理化： 寻找分母的
1
2 3
有理化因式， 应找最简单 5 3 5 的有理化因 8 4 12 式，也可灵 活运用我们 45 3 学过的性质 4 2 20 和法则，简 a2 (a 2) a 1 化、优化解 答过程。 2a 2 2 a 1
(1)
15 3
解： (1)
24 (2) 3 15 15 5 3 3
24 24 2 (2) 8 2 2 2 2 3 3
例2.计算:
(1) 40
解：
5
4 1 (2) 3 12
(1)
40 40 2 40 5 8 2 2 2 2 5 5
4 1 4 1 4 2 (2) 12 4 4 3 12 3 12 3
2
例题讲解
你能去掉分母中的根号吗？
计算： 解（1）
解法一：
解法二：
2 2 3 27 (1) (2) (3) 3 8 3x
2 3
2 3
2 3
23 3 3
6 2 3
2 3 6 6 2 3 3 3 ( 3)
6 3 32
6
2 3 2 3 ( 2) 8 2 2
45 48
a 2 (b c ) 2 (a≥0,b+c≥0) b a a b
1 1 ab a b 1 x
1 11 2 xy 3
导新：
二次根式性质2：
a =|a|=
2
=a =-a
(a≥0) (a<0)
计算
（1） （3） （5）
4 9 49 100 25 64
（2） （4） （6）
（2）进行二次根式的乘除运算或化简，
最终结果定要尽可能化简
作业
1 2 3
1 1 2 1 5x y x a 2
4 (5) 4 9 ab (6) 2 8c
2
4 4
2、计算：
14 3 1 (1) 7 3 2 15 2 2
b (2) ab (3 ) (3 2a ) 2a
练习:
1 2
72 6 1 1 1 2 6
3 4
40 45 m n 5 m n
5 4 4 3
小结：二次根式性质4：
a 如果a 0, b 0, 那么有 b
a 也可以写成 b
a b
a (a 0, b 0) b
注意：（1）a、b的取值范围； （2）当二次根式除以二次根式时 的系数与系数相除，若二次根式前面有系 数，可类比单项式除以单项式，即系数除 系数，被开方数相除作被开方数。
最简二次根式
1、被开方数不含分母（即被开方数的因数是整数,因 式是整式）； 2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即被 开方数的每一个因数或因式的指数都小于2 ）。 我们把满足上述两个条件的二次根式，
叫做最简二次根式。 二次根式的运算中，最后的结果中的二次根式一般要 写成最简二次根式的形式。
下列哪些是最简二次根式 2 7 2 2 5、 36、12、 27、 、 、 3 3 2
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x 9 , 5 x y , 27abc,
2 3
×
×
√
×
×
ab 3 xy 2 2 2 x y, , , 5(a b ) 2 5
2
√
× √
√
化简:
15 12 2 45
15 2 3 5 3 15 12 2 45 15 23 5 5
1 2 3
2 2 2 3 3 3 3 8 4 4 4 15 2 3 3 8 4 15
观察、猜想训练
n n n 1
2
n
n n 1
2
n 2
5 5 4 5 5 24 24
化简二次根式
注意点： （1）当二次根式的被开方数中含有字母
时应充分注意式子中所含字母的取值范围