16.2二次根式的除法(第二课时) 优秀课件
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温故：
二次根式性质3： 如果a≥0,b≥0,那么有 a· b ab 如果a≥0,b≥0,那么有
ab a· b
化简：
1 2 3 4 5 6
4 16 36 256 30000 13 12
2 2
练习 7 18 8 5 2 3
18
9 10
练习:
1 2
72 6 1 1 1 2 6
3 4
40 45 m n 5 m n
5 4 4 3
小结：二次根式性质4：
a 如果a 0, b 0, 那么有 b
a 也可以写成 b
a b
a (a 0, b 0) b
注意：（1）a、b的取值范围； （2）当二次根式除以二次根式时 的系数与系数相除，若二次根式前面有系 数，可类比单项式除以单项式，即系数除 系数，被开方数相除作被开方数。
3
2
例题讲解
你能去掉分母中的根号吗？
计算： 解（1）
解法一：
解法二：
2 2 3 27 (1) (2) (3) 3 8 3x
2 3
2 3
2 3
23 3 3
6 2 3
2 3 6 6 2 3 3 3 ( 3)
6 3 32
6
2 3 2 3 ( 2) 8 2 2
练习： 3 （1） 6
-4 2 （4） 3 7
- 45 （2） 2 20
2 （3） 3
1 （6） 6
3 （5） 5
-2 2 （8） 5 （7） 10 5 3
二次根式的化简要求满足以下两 条: (1)被开方数的因数是整数,因式是 整式,也就是说“被开方数不含分 母”. (2)被开方数中不含能开得尽的因 数或因式,也就是说“被开方数的 每一个因数或因式的指数都小于 2”.
探究
a a 把 b b
a b
反过来，就可以得到:
a b
（a≥0，b＞0）
利用它可以对二次根式进行化简.
3 25 y (2) 化简: (1) 2 100 9x 3 3 3 解: (1) 100 100 10
25 y 5 y 5 y 25 y ( 2) 2 2 2 2 9x 3x 9x 3 x
3 2
3 2
2 6 2 2
(3)
27 3x
27 3x
3x 9 x 3 x 3x x 3x
在二次根式的运算中，一般要求最后结果的分母中不含根式。
例1.化简
1 (1) 5
解：
2 (2) 1 3
1 1 5 5 5 (1) = = = 2 5 5 5 （ 5） 5
2 5 5 5 3 15 (2) 1 = = = = 2 3 3 3 3 （ 3）
由上面的计算可知： 二次根式的除法运算，通常采 用分子、分母同乘以一个式子化 去分母中的根号的方法，这种方 法就叫做分母有理化
2.把下列各式分母有理化： 寻找分母的
1
2 3
有理化因式， 应找最简单 5 3 5 的有理化因 8 4 12 式，也可灵 活运用我们 45 3 学过的性质 4 2 20 和法则，简 a2 (a 2) a 1 化、优化解 答过程。 2a 2 2 a 1
(1)
15 3
解： (1)
24 (2) 3 15 15 5 3 3
24 24 2 (2) 8 2 2 2 2 3 3
例2.计算:
(1) 40
解：
5
4 1 (2) 3 12
(1)
40 40 2 40 5 8 2 2 2 2 5 5
4 1 4 1 4 2 (2) 12 4 4 3 12 3 12 3
（2）进行二次根式的乘除运算或化简，
源自文库
最终结果定要尽可能化简
作业
1 2 3
1 1 2 1 5x y x a 2
4 (5) 4 9 ab (6) 2 8c
2
4 4
2、计算：
14 3 1 (1) 7 3 2 15 2 2
b (2) ab (3 ) (3 2a ) 2a
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x 9 , 5 x y , 27abc,
2 3
×
×
√
×
×
ab 3 xy 2 2 2 x y, , , 5(a b ) 2 5
2
√
× √
√
化简:
15 12 2 45
15 2 3 5 3 15 12 2 45 15 23 5 5
4 9 49 100 25 64
a a 一般地, 有 ________, (a 0, b 0) b
b
二次根式除法法则:
两个二次根式相除，将它们的被开 方数相除的商，作为商的被开方数；
a a a 0, b 0 这个公式反过来写,得到:____________( ) b b
例1.计算或化简:
最简二次根式
1、被开方数不含分母（即被开方数的因数是整数,因 式是整式）； 2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即被 开方数的每一个因数或因式的指数都小于2 ）。 我们把满足上述两个条件的二次根式，
叫做最简二次根式。 二次根式的运算中，最后的结果中的二次根式一般要 写成最简二次根式的形式。
下列哪些是最简二次根式 2 7 2 2 5、 36、12、 27、 、 、 3 3 2
45 48
a 2 (b c ) 2 (a≥0,b+c≥0) b a a b
1 1 ab a b 1 x
1 11 2 xy 3
导新：
二次根式性质2：
a =|a|=
2
=a =-a
(a≥0) (a<0)
计算
（1） （3） （5）
4 9 49 100 25 64
（2） （4） （6）
1 2 3
2 2 2 3 3 3 3 8 4 4 4 15 2 3 3 8 4 15
观察、猜想训练
n n n 1
2
n
n n 1
2
n 2
5 5 4 5 5 24 24
化简二次根式
注意点： （1）当二次根式的被开方数中含有字母
时应充分注意式子中所含字母的取值范围
判断下列各等式是否成立。
辨析训练
√） （1） 16 9 4 3 （× ）（2） 3 3 （
2 2 1 1 （3） 4 2 （ 2 2
×
5 2 ）（4） 2 9 9 5（
× ）
4 4 √ 5 5 （5） 4 4 （ ）（6）5 5 （ √） 15 15 24 24
验证下列各式，猜想下一个式子是什 么？你能找到反映上述各式的规律吗？
二次根式性质3： 如果a≥0,b≥0,那么有 a· b ab 如果a≥0,b≥0,那么有
ab a· b
化简：
1 2 3 4 5 6
4 16 36 256 30000 13 12
2 2
练习 7 18 8 5 2 3
18
9 10
练习:
1 2
72 6 1 1 1 2 6
3 4
40 45 m n 5 m n
5 4 4 3
小结：二次根式性质4：
a 如果a 0, b 0, 那么有 b
a 也可以写成 b
a b
a (a 0, b 0) b
注意：（1）a、b的取值范围； （2）当二次根式除以二次根式时 的系数与系数相除，若二次根式前面有系 数，可类比单项式除以单项式，即系数除 系数，被开方数相除作被开方数。
3
2
例题讲解
你能去掉分母中的根号吗？
计算： 解（1）
解法一：
解法二：
2 2 3 27 (1) (2) (3) 3 8 3x
2 3
2 3
2 3
23 3 3
6 2 3
2 3 6 6 2 3 3 3 ( 3)
6 3 32
6
2 3 2 3 ( 2) 8 2 2
练习： 3 （1） 6
-4 2 （4） 3 7
- 45 （2） 2 20
2 （3） 3
1 （6） 6
3 （5） 5
-2 2 （8） 5 （7） 10 5 3
二次根式的化简要求满足以下两 条: (1)被开方数的因数是整数,因式是 整式,也就是说“被开方数不含分 母”. (2)被开方数中不含能开得尽的因 数或因式,也就是说“被开方数的 每一个因数或因式的指数都小于 2”.
探究
a a 把 b b
a b
反过来，就可以得到:
a b
（a≥0，b＞0）
利用它可以对二次根式进行化简.
3 25 y (2) 化简: (1) 2 100 9x 3 3 3 解: (1) 100 100 10
25 y 5 y 5 y 25 y ( 2) 2 2 2 2 9x 3x 9x 3 x
3 2
3 2
2 6 2 2
(3)
27 3x
27 3x
3x 9 x 3 x 3x x 3x
在二次根式的运算中，一般要求最后结果的分母中不含根式。
例1.化简
1 (1) 5
解：
2 (2) 1 3
1 1 5 5 5 (1) = = = 2 5 5 5 （ 5） 5
2 5 5 5 3 15 (2) 1 = = = = 2 3 3 3 3 （ 3）
由上面的计算可知： 二次根式的除法运算，通常采 用分子、分母同乘以一个式子化 去分母中的根号的方法，这种方 法就叫做分母有理化
2.把下列各式分母有理化： 寻找分母的
1
2 3
有理化因式， 应找最简单 5 3 5 的有理化因 8 4 12 式，也可灵 活运用我们 45 3 学过的性质 4 2 20 和法则，简 a2 (a 2) a 1 化、优化解 答过程。 2a 2 2 a 1
(1)
15 3
解： (1)
24 (2) 3 15 15 5 3 3
24 24 2 (2) 8 2 2 2 2 3 3
例2.计算:
(1) 40
解：
5
4 1 (2) 3 12
(1)
40 40 2 40 5 8 2 2 2 2 5 5
4 1 4 1 4 2 (2) 12 4 4 3 12 3 12 3
（2）进行二次根式的乘除运算或化简，
源自文库
最终结果定要尽可能化简
作业
1 2 3
1 1 2 1 5x y x a 2
4 (5) 4 9 ab (6) 2 8c
2
4 4
2、计算：
14 3 1 (1) 7 3 2 15 2 2
b (2) ab (3 ) (3 2a ) 2a
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x 9 , 5 x y , 27abc,
2 3
×
×
√
×
×
ab 3 xy 2 2 2 x y, , , 5(a b ) 2 5
2
√
× √
√
化简:
15 12 2 45
15 2 3 5 3 15 12 2 45 15 23 5 5
4 9 49 100 25 64
a a 一般地, 有 ________, (a 0, b 0) b
b
二次根式除法法则:
两个二次根式相除，将它们的被开 方数相除的商，作为商的被开方数；
a a a 0, b 0 这个公式反过来写,得到:____________( ) b b
例1.计算或化简:
最简二次根式
1、被开方数不含分母（即被开方数的因数是整数,因 式是整式）； 2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即被 开方数的每一个因数或因式的指数都小于2 ）。 我们把满足上述两个条件的二次根式，
叫做最简二次根式。 二次根式的运算中，最后的结果中的二次根式一般要 写成最简二次根式的形式。
下列哪些是最简二次根式 2 7 2 2 5、 36、12、 27、 、 、 3 3 2
45 48
a 2 (b c ) 2 (a≥0,b+c≥0) b a a b
1 1 ab a b 1 x
1 11 2 xy 3
导新：
二次根式性质2：
a =|a|=
2
=a =-a
(a≥0) (a<0)
计算
（1） （3） （5）
4 9 49 100 25 64
（2） （4） （6）
1 2 3
2 2 2 3 3 3 3 8 4 4 4 15 2 3 3 8 4 15
观察、猜想训练
n n n 1
2
n
n n 1
2
n 2
5 5 4 5 5 24 24
化简二次根式
注意点： （1）当二次根式的被开方数中含有字母
时应充分注意式子中所含字母的取值范围
判断下列各等式是否成立。
辨析训练
√） （1） 16 9 4 3 （× ）（2） 3 3 （
2 2 1 1 （3） 4 2 （ 2 2
×
5 2 ）（4） 2 9 9 5（
× ）
4 4 √ 5 5 （5） 4 4 （ ）（6）5 5 （ √） 15 15 24 24
验证下列各式，猜想下一个式子是什 么？你能找到反映上述各式的规律吗？