单相交流电路(1)

2
1
U1
相位： 2 1
U1 落后于 U 2
？ U
领先 2 落后
U1
相量的加减法：平行四边形法则
（只有同频率正弦波才能相加）
u1 2U1sin t 1
u2 2U2 sin t 2
U 2
U
平行四边形法则
同频率正弦波的 相量画在一起，
构成相量图。
2
1
u=
U 1
U
2U sint
U1 U 2
p i u 2UI sint cost UI sin 2t
i uL
p i u UI sin 2t
u
i
t
i
i
i
i
u uuu
P
可逆的 能量转换
过程
+
P <0
+ P <0
t
P >0
P >0
储存 能量 释放
能量
2. 平均功率 P （有功功率）
p i u UI sin 2t
=0
结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能 量交换（能量的吞吐）。
等于瞬时电压与瞬时电流的乘积
i
i 2 I sin ( t)
u
R
u 2U sin ( t)
p u i Ri 2 u2 / R
小写
p u i Ri 2 u 2 / R
iu
ωt
p
ωt
结论：
1. p 0 （耗能元件）
p 2. 随时间变化
且频ห้องสมุดไป่ตู้加倍。
3. p 与 u2、i2 成比例
（2）. 平均功率（有功功率）P：一个周期内的平
最大值与有效值的关系是：
当 i Im sin t 时， 可得
I Im 2
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于
220V 的线路上?
~ 220V
电器 最高耐压 =300V
有效值 U = 220V
电源电压
最大值 Um = 2 220V = 311V
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所 以不能用。
2.1.1正弦交流电的基本概念 1.正弦交流电的周i 期、频率和 角频率
t
T
描述变化周期的几种方法：
1. 周期 T： 变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒..
2. 频率 f： 每秒变化的次数 单位：赫兹，千赫兹 ...
3. 角频率 ω： 每秒变化的弧度 单位：弧度/秒
f 1 T
2 2 f
T
* 电网频率： 中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz
设：
i 2I sin t
u 2 I L sin( t 90 ) 2 U sin( t 90 )
1. 频率相同
2. 相位相差 90° （u 领先 i 90 °）
u i
90
U
IL
t
I I
u 2 I L sin( t 90 ) 2 U sin( t 90 )
3. 有效值 U IL
第二章单相交流电路
2.1正弦交流电的基本概念及相量表示法 2.1.1 正弦交流电的基本概念 1、正弦交流电的周期、频率和角频率 2、正弦交流电的相位及相位差 3、正弦交流电的瞬时值、最大值和有效 值 2.1.2正弦交流电量的相量表示 2.2单一参数交流电路
2.1 正弦交流电的基本概念及相量表示法
i
* 有线通讯频率：300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 MHz
2正弦交流电的初相位、相位和相位差
i 2I sin t
（t ）：正弦波的相位角或相位。
： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。
i
t 说明： 给出了观察正弦波的起点或参考点，
常用于描述多个正弦波相位间的关系。
u u1 u2
2U1 sin t 1 2U2 sin t 2 2U sin t 幅度、相位变化
频率不变
结论:
因角频率（）不变，因此以下讨论同频率正弦波 时， 可不考虑，主要研究幅度与初相位的变化。
例 已知： i sin1000 t 30
幅度： 频率：
Im 1A
I 1 0.707 A 2
• 电感的储能
电感是一种储能元件, 储存能量的形式为磁场能量 对于纯电感来说,它本身是不消耗电能,但是它要占 有一部分能量,用于工作. 在电感的工作过程中只一电源进行能量交换.
3. 无功功率 Q
Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用 以衡量电感电路与电源进行能量交换 的规模。
p i u UI sin 2t
2.1.2正弦波的相量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的
有向线段在纵轴上的投影值来表示。
u Um sin t
ω
Um
t
矢量长度 = U m
矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
相量的书写方式 最大值或有效值 U m U
初相角
1. 有方向的线段称为相量。
旋转矢量
(16.5 - j3.18)A 16.8 10.9A
i 16.8 2 sin( 314 t 10.9 ) A
有效值 I =16.8 A
2.2单一参数 R、L、C的 交流电路
2.2.1 纯电阻电路
根据 欧姆定律
u iR
i
u
R
设 u 2U sin t 则 i u 2U sin t 2 I sin t
RR
1.电流和电压关系
u 2 U sin t
i u 2 U sin t 2 I sin t
R
R
*. 频率相同
*. 相位相同
*. 有效值关系：U IR
*. 相量关系：设 U U 0 则 I U 0 或 R
I U
U I R
2.功率
（1）. 瞬时功率 p：电路在某一瞬时消耗的功率
有效值：当交流电与直流电在相同的时间内产生的热效应相等时，直 流电的数值就是交流电的有效值。 在工程应用中常用有效值表示幅度。交流电表指示的电压、电流读数，
就是被测物理量的有效值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。
热效应相当
有
效
值
T i2R dt I 2RT
概0
念
交流
直流
有效值
电量必须大写 如：U、I
2.长度表示最大值或有效值的大小，方向表示初始相 位。 3. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
4. 相量的旋转速度表示交流电的频率。
正弦波的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示。
u1 2U1 sin t 1
U 2
u2 2U2 sin t 2
设： 幅度：相量大小 U2 U1
i2
1 2 0
t i i1 落后于 2
电流超前电压
ui i
u
O
ωt
电压与电流同相 ui u
i
O
ωt
电流超前电压90
ui u i
O
ωt
90°
电压与电流反相 ui u
i
O
ωt
三相交流电路：三种电压初相位各差120。
uA uB uC
t
注意:
① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。
rad s
i1 100 2 sin(6280t 60 ) A
i2 10 2 sin(6280t 30 ) A
小结：正弦波的四种表示法
波形图 瞬时值 相量图
i
Im
t
T
i I m sin t
I
相量式
I a jb I ej
符号说明
瞬时值 --- 小写
u、i
有效值 --- 大写
U、I
最大值 --- 大写+下标
定义： X L L 感抗（Ω）
则： U I X L
4. 相量关系
i 2I sin t
u 2 U sin( t 90 )
设： I I0
U
U U90 I L90
则：U I
U I
90
L90
I
U I L e j90 I ( jX L )
电感电路中复数形式的 欧姆定律
U I j X L
2.电流、电压的基本关系
i
e N d L di
dt dt
u
e u e L di
dt
当 i I (直流) 时,
di 0 dt
u0
所以，在直流电路中电感相当于短路。
由基本关系式：
设 i 2 I sin t
i uL
则
u 2 I L sin(t 90 ) 2 U sin(t 90 )
U U 领先！
其中含有幅度和相位信息
I
u、i 相位不一致 ！
u iL ？
关于感抗的讨论
感抗（XL =ωL ）是频率的函数， 表示电感电路中电
压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。
XL
+R
_e L
U I XL
ω
ω=0时
XL = 0
R
+
E
_
直流
2.功率
1. 瞬时功率 p
i
uL
i 2 I sint u 2U sin(t 90 )
均值
i
i 2 I sin t
u
R
u 2 U sin t
P UI
2.2.2电感电路
电感系数L:单位电流产生的磁链
（单位：亨利H, mH, H）
磁通
i
u
L N
i
线圈 匝数
电感和结构参数的关系
线圈
i
面积
导磁率
u
e
L SN 2
l
线圈 长度
线性电感: Const 常数(如:空心电感 不变) 非线性电感 : L = Const (如:铁心电感 不为常数)
U e j
U
U
代数式 指数式 极坐标形式
相量的复数运算
1. 加 、减运算
设： U1 a1 jb1 U 2 a2 jb2
则：
U U1 U 2 (a1 a2 ) j(b1 b2 ) Uej
2. 乘法运算
U1 U1e j1 U 2 U 2e j2
则 U U1 U 2 U1 U 2 e j(12 )
2
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，不
同频率不行。
新问题提出： 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入相量的复数运算法。
相量
复数表示法 复数运算
可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。
如： u1 2U1 sin t 1 u2 2U 2 sin t 2
U 311.1 60 220 60 110 j190.5 V 2
I
100 / 6
/3
220
U
例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为： I1 100 60 A I2 10 e j30 A
求： i1、i2
解：
2
f
2 1000 6280
3. 除法运算
设： U1 U1e j1 U 2 U 2e j 2
则：
U1 U 2
U1 U2
e j12
复数符号法应用举例
例1：已知瞬时值，求相量。
已知:
i 141.4sin314t A
6
求：
u 311.1sin314t V i 、u 的相量
解：
3
I 141 .4 30 100 30 86.6 j50 A 2
两个同频率正弦量间的相位差( 初相差)
i1 i2
t
1
2
i1 Im1 sin t 1 i2 Im2 sin t 2 t 2 t 1 21
同频正弦信号的相位关系
同
相 位
2
1
相
i2
位
领
先 1 2
i2
1 2
i1
t
i1 1 2 0
t
i i 领先于
1
2
相
i1
位
落 后
2 1
最大值
Im 2I 100 2
例2: 已知 i1 12 .7 2 sin (314 t 30 )A
i2 11 2 sin(314t 60)A
求：i
I1
i1 i2 。
12.7 30A
I2 11 60A
I I1 I2 12.7 30A 11 60A
12.7(cos 30 jsin 30 )A 11(cos 60 jsin 60 )A
i i1
i2
O
t
② 不同频率的正弦量比较无意义。
3 正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值
i
i Im sin t
Im
t
瞬时值：交流电在任意时刻的数值。用 小写字母表示。u i e 最大值: (幅度)瞬时值中最大的值。
i Im sin t
I 为正弦电流的最大值 m
电量名称必须大 写,下标加 m。 如：Um、Im
Um
复数、相量 --- 大写 + “.” U
正误判断
u 100sin t U ？
瞬时值
复数
瞬时值只是用复数表示，不是相等！
正误判断
已知： u 2 10 sin ( t 15 )
则：
U 10
？
15
？ U 10 ej15
正误判断
已知： I 100 50
则： i 100 sin ( t 50 ) ？
1000 rad/s f 1000 159 Hz
2 2
初相位： 30
相量的复数表示式
将复数 U 放到复平面上，可如下表示：
j
U U a2 b2 复数的模
bU
a
tan1 b
+1
a
复数的 辐角
U a jb U cos jU sin
U a jb
bU
a
U (cos jsin)
i Im sin t
Im
t
特征量:
（三要素）
I m ： 幅值（最大值）
： 角频率（弧度/秒）
： 初相角
正弦交流电的方向
正弦交流电也有参考方向,一般按正半周的方向假设。
ii
实际方向和假设方向一致
u
R
t
实际方向和假设方向相反
交流电路进行计算时，首先也要规定物理量 的正方向，然后才能用数学表达式来描述。