计量经济学第八讲

第八讲 平稳时间序列与单位根过程一、随机时间序列模型概述在严格意义上，随机过程{}t X 的平稳性是指这个过程的联合和条件概率分布随着时间t 的改变而保持不变。

在实践中，我们更关注弱意义上的平稳或者所谓的协方差平稳：2();();(,)t t t t j j E X Var X Cov X X μδδ+===显然20δδ=。

在本讲义中，平稳皆指协方差平稳。

当上述条件中的任意一个被违背时，则称{}t X 是非平稳的。

（一）平稳随机过程的例子1、白噪声过程{}t ε： 20()0;();(,)0,t t t t j j E Var Cov εεδεε+≠===2、AR(1)过程：011,11t t t y a a y a ε<-=++，{}t ε是白噪声过程为了验证上述过程满足平稳性条件，我们首先通过迭代得到：110110010t t i i t i i i t t y a a a y a ε---===++∑∑。

接下来注意到，10101)0(t i i t t E y a a a y -==+∑，进一步假设数据生成过程发生了很久，即t 趋于无穷大，则01)1(t a E y a μ-==；其次也有110()()t it ii t Var y Var a ε--==∑，当t 趋于无穷大时，21221()11()i t Var a a Var y εδ-=-=；最后，当t 趋于无穷大时，有：1211111111222 (124111121)......(...)[()()][()()]s s t t s t s t t s t s t s t t s s s s s a a a a a E y y E a a a a a μμδδεεεεεεε+-----------++--+++++++++++=== 关于AR(p)过程的平稳性，见附录。

3、MA(P)过程：11...p t t t p t y a a εεε--=+++，{}t ε是白噪声过程 显然，任意有限阶MA 过程都是平稳的。

练习：对于00():,1,t i t i i MA y βεβ∞-=∞==∑{}t ε是白噪声过程，请指出平稳性条件。

关于ARMA(p,q)过程的平稳性，见附录。

（二）非平稳随机过程的例子1、随机游走：1t t t y y ε-=+，其中{}t ε是白噪声过程注意到11210...ti t t t t t t i y y y y εεεε=---=+=++==+∑ ，故有：0()t E y y =、2()t t Var y δ=。

显然，随着时期的延伸其方差趋于无穷大，因此随机游走属于非平稳过程。

对于过程：1t t t y y με-=++，其中{}t ε是白噪声过程。

该过程被称为带漂移的随机游走。

显然这也是一个不平稳的数据生成过程。

笔记：1、有效市场理论认为股票价格应当是一个随机游走过程。

在随机游走模型中，{}t ε是白噪声过程，0(,)0,t t j j Cov εε+≠=，因此有效市场理论的含义也即是股票价格变动（1t t t p p ε--=）是不可预测的。

按照有效市场理论，股票价格能够及时吸纳消息，因此，如果下一时刻价格与现在价格确实存在差异，那么导致这个价格差异的消息就现在时刻来说是无法预测的，否则，现在价格将马上变动从而使价格差异消失。

2、在财富（预期未来现金流的贴现）给定的情况下，最优的消费计划是现在消费与下一期消费相等（饿一等饱一等显然不是最优）。

如果下一期消费与现在的消费确实存在差异，那么导致这个差异的原因（也许是飞来横财）在现在肯定是不知道的，否则现在的消费将作出调整，并做到现在消费与下一期消费相等。

按照上述逻辑，消费将是一个随机游走过程。

以上是Hall(1978)的消费随机游走理论。

2、单位根过程：1t t t y y ε-=+， {}t ε是平稳过程显然随机游走是单位根过程的特例。

另外，我们还可以在上述模型基础上增加截距项或者时间趋势项，如：00111t t t t t t y y y t y βεββε++--=+=++ 上述过程都属于单位根过程。

笔记：按照附加预期的菲利普斯曲线理论：通胀率=预期的通胀率-a （失业率-自然失业率）+供给冲击。

失业率与自然失业率的差异（即周期性失业率）与供给冲击一般是平稳的。

假定人们采取静态预期，即预期通胀率等于过去一年的实际通胀率，则通胀率=过去一年的通胀率+平稳性变量，故基于一些假定我们可以从理论上表明通胀率是一个单位根过程。

3、趋势平稳过程：01t t y t ββε=++， {}t ε是平稳过程 由于01)(t E y t ββ=+随时间的变化而变化，故该过程是不平稳的。

然而，对变量剔除时间趋势之后我们将得到一个平稳的过程。

因此，上述模型被称为趋势平稳过程。

趋势平稳过程在剔除时间趋势之后显示出平稳性。

而对过程：1t t t y y ε-=+，其中t ε平稳，故t t y ε∆=，即通过对变量取差分，我们可以得到一平稳序列，这样的过程被称为差分平稳过程。

只要我们在分析时注意纳入时间趋势变量，趋势平稳过程基本上不会对传统的计量分析构成威胁。

而单位根过程才是对传统计量分析的真正威胁。

事实上，在计量经济学文献中，非平稳过程常常被作为单位根过程的同义词。

二、为什么考察数据生成过程的平稳性十分重要？对于两个不平稳的变量，即使从理论上看两者毫无联系，但实证中我们常常会发现两者具有“显著”的相关关系，此即“伪相关”问题，在回归分析中这被称为“伪回归”。

另外，当变量含有单位根时，我们通常所利用的一系列统计检验，如t检验与F检验，经常会失效，因为t统计量或者F统计量此时很可能并不服从标准的t分布或者F分布。

三、如何基于样本数据判断过程的平稳性？（一）通过折线图粗略判断如果样本数据表现出均值回复的态势，那么可初步判断数据生成过程是平稳的（应该注意到，对于趋势平稳过程，其均值具有确定性的时间趋势）。

如果样本数据表现出持久偏离均值的态势，则初步判断数据生成过程是非平稳的。

（二）利用相关图如果样本自相关函数表现出拖尾性，而偏自相关函数表现出截尾性，我们可以初步判断数据生成过程是平稳的AR 过程；如果样本自相关函数表现出截尾性，而偏自相关函数表现出拖尾性，我们可以初步判断数据生成过程是MA 过程；如果样本自相关函数表现出拖尾性，而偏自相关函数也表现出拖尾性，我们可以初步判断数据生成过程是平稳的ARMA 过程。

（三）单位根检验考虑模型：1t t t y y ρε-=+ 其中t ε是白噪声。

模型可以被改写为：1t t t y y λε-∆=+其中1λρ=-。

单位根检验等价于检验λ是否为零。

该检验是一个单尾检验，我们不考虑ρ>1的情况。

因为该情况意味着时间序列是爆炸性。

该检验的假设体系是：1::0(1)0(1)H H λρλρ=⇔=<⇔< 与往常一样，我们利用t 统计量来进行检验。

然而，在原假设下，此时的t 统计量并不服从t 分布，而是服从DF 分布，为了强调这一点，一般把这里的t 统计量改称为τ统计量。

如果计算出的τ值小于临界值（临界值是一个负数），则在某个显著水平下拒绝原假设，反之则不拒绝原假设。

上述检验被称为DF 检验。

在DF 检验中，初始模型的误差项是白噪声，然而实际情况可能并不如此。

此时，应该重新建立模型，以保证误差项是白噪声。

新的检验模型是：11pii t t t i t y y y v λθ=+--∆=+∆∑ t i y -∆的引入就是为了使新的误差项是白噪声。

上述检验单位根的方法被称为扩展的DF 检验（ADF 检验）。

显然，DF 检验模型是ADF 检验模型的特例。

笔记：1、为什么引入众多t i y -∆项就可以达到使新的误差项是白噪声这个目的？考虑模型1t t t y y λε-∆=+，其中t ε序列相关。

假定t ε服从一个AR （1）过程：1t v t t ρεε=+-，其中t v 是白噪声。

当原假设为真（0λ=）时，有：11t t v v t t t y y ρρε+=+--∆=∆。

可以发现，新模型的误差项是白噪声；同时，新模型中的解释变量包含有原模型被解释变量（t y ∆）的一阶滞后（1t y -∆）。

推广：当t ε服从一个AR （p ）过程时，通过引入t i y -∆（i=1,2…,p ），新模型的误差项将是白噪声。

但一个问题是，为什么要用AR （p ）过程来表示误差项？这是因为，即使误差项服从ARMA 或者MA 过程，但它们都可以被表示成无限阶的AR 过程。

对于平稳过程而言，这个无限阶AR 过程中的（滞后变量前面）系数是收敛于零的。

因此，只要p 够大，那么AR （p ）就是对无限阶AR 过程的良好近似。

2、如何确定p 值呢？此时，我们可以先选择一个较大的p 值，然后利用通常的t 检验来判断t p y -∆所对应估计系数的显著性，如果不显著，则确定最大的滞后数为p-1。

总而言之，最终所确定的p 值应该使t p y -∆所对应估计系数是显著的。

在实践中我们通常是利用一些信息准则来确定p 值。

例如，（1）SIC(Schwarz information criterion)准则：估计任意模型，记RSS 为残差平方和，K 为待估计参数个数，T 为样本容量，则log log(/)SIC TRSS T T K =∙+按照SIC 准则，p 值的确定应该使SIC 最小。

（2）AIC(Akaike information criterion)准则：2log(/)AIC RSS T T K =∙+按照AIC 准则，p 值的确定应该使AIC 最小。

（3）HQIC(Hannan-Quinn information criterion)准则：2log(log )log(/)HQIC T RSS T TK =∙+ 按照HQIC 准则，p 值的确定应该使HQIC 最小。

利用不同的信息准则可能得到的结果并不一致，Stock & Watson(Second Edition,p561) 建议利用AIC 准则确定p 值。

3、理解信息准则。

如果仅以残差平方和最小为模型设定的标准，那么纳入更多的解释变量就可以迎合这个标准。

然而，实这将付出代价——自由度降低。

因此，在设定模型时存在一个权衡，而SIC 与AIC 准则不过就是权衡的规则（事实上我们已经涉及到一个规则，即以调整的R 2最大为权衡的规则，回忆一下，该规则是否考虑了残差平方和与自由度这两个因素？）。

应该注意到，在SIC 中，K 与log /T T 相乘，而在AIC 中，K 与2/T 相乘。

一般来说，log /2/T T T >，因此，SIC 准则比AIC 准则更加重视自由度不足问题，于是根据SIC 准则一般会得到更加简约的模型。