典型时间序列模型分析
时间序列分析模型课件(PPT108张)
确定性时序分析的目的
• 克服其它因素的影响，单纯测度出某一个 确定性因素对序列的影响 • 推断出各种确定性因素彼此之间的相互作 用关系及它们对序列的综合影响
4-3-2 时间序列趋势分析
• 目的
–有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分析 的目的就是要找到序列中的这种趋势，并利用 这种趋势对序列的发展作出合理的预测
随机性变化分析: AR、MA、ARMA模型
Cramer分解定理（1961）
• 任何一个时间序列 { x t }都可以分解为两部分的叠 加：其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成 分，另一部分是平稳的零均值误差成分，即
x t t t
d j0
jt j
(B)at
随机性影响
确定性影响
对两个分解定理的理解
（2）季节性周期变化 受季节更替等因素影响，序列依一固 定周期规则性的变化，又称商业循环。 采用的方法：季节指数； （3）循环变化 周期不固定的波动变化。
(4)随机性变化
由许多不确定因素引起的序列变化。 随机性变化分析: AR、MA、ARMA模型
确定性变化分析 时间序列分析
趋势变化分析 周期变化分析 循环变化分析
（1 ）
0 1 , 2 j
j0
2 ~ WN ( 0 , （2） t )
( V , ) 0 , t s （3 ） E t s
确定性序列与随机序列的定义
• 对任意序列 而言，令 序列值作线性回归 关于q期之前的
2 ( t ) q 其中{ t } 为回归残差序列， Var
参数估计方法
线性最小二乘估计
Tt ab
t
a ln a b ln b
b t T t a
典型时间序列模型分析
典型时间序列模型分析时间序列模型是一种用于预测未来时间上连续变量的模型。
它基于过去的观察数据，通过识别出时间序列中的趋势、季节性和随机性等特征，来预测未来的发展趋势。
典型的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归综合移动平均模型（ARIMA）、季节性自回归综合移动平均模型（SARIMA）、指数平滑模型、神经网络模型等。
自回归移动平均模型（ARMA）是一种广泛应用于时间序列分析和预测中的模型。
它结合了自回归（AR）模型和移动平均（MA）模型的特点，能够较好地对时间序列进行建模。
ARMA模型的基本思想是通过过去p个时刻的观察值和过去q个残差项来预测当前时刻的观察值。
参数p和q是模型的阶数，可以通过自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来选择。
自回归综合移动平均模型（ARIMA）是ARMA模型的一种推广形式，它解决了ARMA模型无法处理非平稳时间序列的问题。
ARIMA模型通过差分运算将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，再利用ARMA模型对差分后的时间序列进行建模和预测。
ARIMA模型的阶数包括差分阶数d、自回归阶数p和移动平均阶数q，可以通过观察时间序列的趋势和周期性来确定。
季节性自回归综合移动平均模型（SARIMA）是ARIMA模型在季节性时间序列上的推广形式。
它考虑了时间序列中的季节性变化，并通过季节性差分运算将季节性时间序列转化为平稳时间序列。
SARIMA模型的参数包括季节性差分阶数D、季节性自回归阶数P和季节性移动平均阶数Q，还有非季节性差分阶数d、非季节性自回归阶数p和非季节性移动平均阶数q。
指数平滑模型是一种简单且常用的时间序列模型，适用于没有明显趋势和季节性的数据。
指数平滑模型通过对过去一段时间内的观察值进行加权平均，来预测未来的观察值。
基本的指数平滑模型有简单指数平滑模型（SES）、双指数平滑模型和三指数平滑模型等。
双指数平滑模型适用于具有一定趋势性的数据，而三指数平滑模型适用于具有趋势性和季节性的数据。
时间序列模型
时间序列模型时间序列模型⼀、分类①按所研究的对象的多少分，有⼀元时间序列和多元时间序列。
②按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种。
③按序列的统计特性分，有平稳时间序列和⾮平稳时间序列。
狭义时间序列：如果⼀个时间序列的概率分布与时间t ⽆关。
⼴义时间序列：如果序列的⼀、⼆阶矩存在，⽽且对任意时刻t 满⾜均值为常数和协⽅差为时间间隔τ的函数。
（下⽂主要研究的是⼴义时间序列）。
④按时间序列的分布规律来分，有⾼斯型时间序列和⾮⾼斯型时间序列。
⼆、确定性时间序列分析⽅法概述时间序列预测技术就是通过对预测⽬标⾃⾝时间序列的处理，来研究其变化趋势的。
⼀个时间序列往往是以下⼏类变化形式的叠加或耦合。
①长期趋势变动：它是指时间序列朝着⼀定的⽅向持续上升或下降，或停留在某⼀⽔平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。
通常⽤T t表⽰。
②季节变动：通常⽤S t表⽰。
③循环变动：通常是指周期为⼀年以上，由⾮季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。
通常⽤C t表⽰。
④不规则变动。
通常它分为突然变动和随机变动。
通常⽤R t表⽰。
也称随机⼲扰项。
常见的时间序列模型：⑴加法模型：y t=S t+T t+C t+R t；⑵乘法模型：y t=S t·T t·C t·R t；⑶混合模型：y t=S t·T t+R t；y t=S t+T t·C t·R t；R t2这三个模型中y t表⽰观测⽬标的观测记录，E R t=0,E R t2=σ2如果在预测时间范围以内，⽆突然变动且随机变动的⽅差σ2较⼩，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可⽤⼀些经验⽅法进⾏预测。
三、移动平均法当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较⼤，不易显⽰出发展趋势时，可⽤移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。
移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。
时间序列分析模型概述
时间序列分析模型概述时间序列分析是一种统计方法，用于研究时间序列数据中的模式、趋势和周期性。
它基于时间序列数据的特点，通过建立数学模型来预测未来的数值。
时间序列数据是按照时间顺序排列的一系列观测值，它们通常用于描述一种随时间变化的现象。
例如，股票价格、气温、销售数据等都是时间序列数据。
时间序列分析的目标是通过对已知的观测值进行分析，找出数据中的规律，并利用这些规律来预测未来的数值。
时间序列分析模型通常可以分为两类：基于统计方法的模型和基于机器学习的模型。
基于统计方法的时间序列模型包括AR（自回归模型）、MA （移动平均模型）、ARMA（自回归移动平均模型）和ARIMA（差分自回归移动平均模型）等。
这些模型基于不同的假设和理论，通过寻找数据中的自相关和移动平均性质，来建立模型并进行预测。
它们常常需要对数据进行平稳性检验和参数估计。
基于机器学习的时间序列模型包括神经网络模型、支持向量机模型和深度学习模型等。
这些模型不同于统计方法，它们通过学习时间序列数据中的特征和模式来建立预测模型。
这些模型通常需要大量的数据进行训练，并且需要对模型进行调参。
除了上述模型，时间序列分析还可以包括季节性调整模型、外生变量模型等。
季节性调整模型是用于处理具有明显季节性的时间序列数据，它通过分解数据中的趋势和季节成分，来消除季节性的影响，从而提高预测的准确性。
外生变量模型是将其他影响因素（例如经济指标、政策变化等）引入时间序列模型中，以更全面地考虑影响因素对数据的影响。
时间序列分析模型在经济学、金融学、气象学等领域有着广泛的应用。
例如，在金融领域，时间序列分析模型可以用于预测股票价格和汇率等，帮助投资者做出更准确的投资决策。
在气象学领域，时间序列分析模型可以用于预测天气变化，从而为农业生产和灾害预防提供支持。
总之，时间序列分析是一种重要的数据分析方法，用于处理时间序列数据并进行预测。
它采用统计方法和机器学习方法来建立模型，并通过对数据的分析来找出数据中的规律和趋势。
时间序列模型案例分析
时间序列模型案例分析时间序列模型案例分析: 新冠疫情趋势预测背景:新冠疫情自2020年开始全球流行，给世界各国的医疗体系和经济造成了巨大冲击。
为了有效应对疫情，政府和医疗机构需要准确预测疫情未来的趋势，并做出相应的决策和应对措施。
数据:本案例使用了每天的新增确诊病例数作为时间序列数据。
数据包括了从疫情开始到某一时间点的每天新增病例数，以及历史病例数、疫情防控政策等其他相关因素。
目标:利用时间序列模型预测未来疫情的趋势，帮助政府和医疗机构制定合理的防控策略。
方法:我们采用了ARIMA模型（自回归移动平均模型）进行疫情趋势预测。
ARIMA模型是一种广泛应用于时间序列分析的经典模型，可对时间序列数据进行模拟和预测。
步骤:1. 数据预处理: 首先，我们进行了数据清洗和转换，确保数据的准确性和一致性。
我们还对数据进行了平稳性检验，如果数据不平稳，则需要进行差分操作。
2. 模型选择: 然后，我们选择了合适的ARIMA模型。
模型选择的关键是要找到合适的参数p、d和q，它们分别代表了自回归阶数、差分阶数和移动平均阶数。
3. 参数估计和模型拟合: 我们使用最大似然估计方法来估计模型的参数，并对模型进行拟合。
拟合后，我们对模型进行残差分析，以检验模型的拟合效果。
4. 模型评估和预测: 接下来，我们使用已有的数据来评估模型的预测效果。
我们将模型的预测结果与实际数据进行比较，并计算误差指标，如均方根误差（RMSE）和平均绝对误差（MAE）。
最后，我们使用拟合好的模型来进行未来疫情的趋势预测。
结果与讨论:经过模型拟合和评估，我们得到了一个较为准确的ARIMA模型来预测未来疫情的趋势。
根据模型的预测结果，政府和医疗机构可以制定对应的防控策略，以应对疫情的发展。
结论:时间序列模型在新冠疫情趋势预测中发挥了重要作用。
通过对历史疫情数据的分析和建模，我们可以预测未来疫情的走势，并相应地采取措施。
然而，需要注意的是，时间序列模型是一种基于过去数据的预测方法，其预测精度可能受到多种因素的影响。
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析是一种广泛应用于统计学和经济学领域的建模方法，用于研究随时间变化的数据。
它的目的是揭示和预测数据中隐含的模式和关系，以便更好地理解和解释现象，并做出相应的决策。
时间序列分析模型可以分为统计模型和机器学习模型两类。
一、统计模型1.平稳时间序列模型：平稳时间序列是指在统计学意义上均值和方差都是稳定的序列。
常用的平稳时间序列模型包括：自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）和季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）等。
-自回归移动平均模型（ARMA）是根据时间序列数据的自相关和移动平均性质建立的模型。
它将序列的当前值作为过去值的线性组合来预测未来值。
ARMA(p,q)模型中，p表示自回归项的阶数，q表示移动平均项的阶数。
-自回归整合移动平均模型（ARIMA）在ARMA模型基础上引入差分操作，用于处理非平稳时间序列。
ARIMA(p,d,q)模型中，d表示差分的次数。
-季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）是ARIMA模型的扩展，在存在季节性变化的时间序列数据中应用。
SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型中，s表示季节周期。
2.非平稳时间序列模型：非平稳时间序列是指均值和/或方差随时间变化的序列。
常用的非平稳时间序列模型包括：趋势模型、季节性调整模型、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）等。
- 趋势模型用于描述数据中的趋势变化，例如线性趋势模型（y = ax + b）和指数趋势模型（y = ab^x）等。
-季节性调整模型用于调整季节性变化对数据的影响，常见的方法有季节指数调整和X-12-ARIMA方法。
-自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）在非平稳时间序列中引入差分操作进行模型建立。
二、机器学习模型机器学习模型在时间序列分析中发挥了重要作用，主要应用于非线性和高维数据的建模和预测。
时间序列分析
2.常数方差 2.常数方差
Var ( xt ) = Var ( µ + ε t − θ1ε t −1 − θ 2ε t −2 − L − θ qε t −q ) = (1 + θ12 + L + θ q2 )σ ε2
时间序列
时间序列的基础知识 时间序列模型构建步骤 时间序列的几个基本模型
2011.6
时间序列的基础知识
背景介绍
1927年，英国统计学家G.U.Yule提出了子回归模型 （AR），不久之后，英国数学家、天文学家G.T.Walker提 出了移动平均（MA）模型和自回归移动平均（ARMA） 模型。 1970年，美国统计学家G.E.P.Box和英国统计学家 G.M.Jenkins提出了求和自回归移动（ARIMA）模型。
MA模型的可逆性条件：MA（ MA模型的可逆性条件：MA（q）模型可以表示为 模型的可逆性条件
εt =
xt Θ( B )
Θ( B ) = 1 − θ1B − L − θ q B q为移动平均系数多项式. 为移动平均系数多项式.
移动平均系数多项式的根均在单位圆外时，可逆。 移动平均系数多项式的根均在单位圆外时，可逆。
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平稳时间序列的性质
一 常数均值
EX t = µ
二 自相关函数和自协方差函数只依赖与时间的平移长 度而与时间的起始位置无关的
γ (t , s ) = γ ( k , k + s − t )
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平稳性的检验 两种检验方法： 两种检验方法：
浅谈时间序列分析——以ARIMA为例
浅谈时间序列分析——以ARIMA为例时间序列分析是运用统计学中的方法，对一系列按时间顺序排列的数据进行分析和预测的一种方法。
它可以帮助我们理解时间序列数据的趋势、季节性、周期性和随机性等特征，进而进行预测和决策。
ARIMA模型是时间序列模型中最常用的一种，它的全称是自回归移动平均模型(AutoRegressive Integrated Moving Average Model)。
ARIMA模型通过对时间序列进行差分、自回归和移动平均等操作，建立了一个线性的预测模型。
主要分为三个部分：自回归(AR)、差分(Integrated)和移动平均(MA)。
首先，自回归过程是指时间序列的当前值与前几个值之间的线性关系。
例如，AR(1)模型表示当前值与前一个值之间存在线性关系。
自回归的阶数p代表了与前p个值相关的线性关系。
自回归过程可以表示为：Y(t)=c+ϕ1*Y(t-1)+…+ϕp*Y(t-p)+ε(t)其中，c是常数项，ϕ1,…,ϕp是模型的系数，Y(t)是时间序列的当前值，Y(t-1),…,Y(t-p)是前p个时刻的值，ε(t)是白噪声误差。
其次，差分过程是为了消除非平稳性，使得时间序列变得平稳。
差分操作简单地说就是对时间序列的当前值与前一个值之间的差。
差分的阶数d代表了操作的次数。
差分过程可以表示为：dY(t)=Y(t)-Y(t-1)然后，移动平均过程是指时间序列的当前值与前几个误差项之间的线性关系。
例如，MA(1)模型表示当前值与前一个误差项之间存在线性关系。
移动平均的阶数q代表了与前q个误差项相关的线性关系。
移动平均过程可以表示为：Y(t)=c+θ1*ε(t-1)+…+θq*ε(t-q)+ε(t)其中，c是常数项，θ1,…,θq是模型的系数，ε(t-1),…,ε(t-q)是前q个时刻的误差项，ε(t)是当前时刻的误差项。
综上所述，ARIMA模型就是将自回归、差分和移动平均三个过程结合起来建立一个线性预测模型，用于对时间序列进行分析和预测。
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实验1 典型时间序列模型分析1、实验目的熟悉三种典型的时间序列模型：AR 模型，MA 模型与ARMA 模型，学会运用Matlab 工具对对上述三种模型进行统计特性分析,通过对2 阶模型的仿真分析，探讨几种模型的适用范围，并且通过实验分析理论分析与实验结果之间的差异。
2、实验原理AR 模型分析：设有 AR(2)模型，X(n)=-0.3X(n-1)-0.5X(n-2)+W(n)其中：W(n)是零均值正态白噪声，方差为4。
（1）用MA TLAB 模拟产生X(n)的500 观测点的样本函数，并绘出波形 （2）用产生的500 个观测点估计X(n)的均值和方差 （3）画出理论的功率谱（4）估计X(n)的相关函数和功率谱【分析】给定二阶的AR 过程，可以用递推公式得出最终的输出序列。
或者按照一个白噪声 通过线性系统的方式得到，这个系统的传递函数为：121()10.30.5H z z z --=++这是一个全极点的滤波器，具有无限长的冲激响应。
对于功率谱，可以这样得到，()()221212exp 11x wz jw P w a z a z σ--==++可以看出，()x P w 完全由两个极点位置决定。
对于 AR 模型的自相关函数，有下面的公式：这称为 Yule-Walker 方程，当相关长度大于p 时，由递推式求出：这样，就可以求出理论的 AR 模型的自相关序列。
1.产生样本函数，并画出波形2.题目中的AR 过程相当于一个零均值正态白噪声通过线性系统后的输出，可以按照上面的方法进行描述。
clear all;b=[1]; a=[1 0.3 0.5]; % 由描述的差分方程，得到系统传递函数h=impz(b,a,20); % 得到系统的单位冲激函数，在20 点处已经可以认为值是0randn('state',0);w=normrnd(0,2,1,500); % 产生题设的白噪声随机序列，标准差为2x=filter(b,a,w); % 通过线形系统，得到输出就是题目中要求的2 阶AR 过程plot(x,'r');ylabel('x(n)');title('邹先雄——产生的AR 随机序列');grid on;得到的输出序列波形为：2.估计均值和方差可以首先计算出理论输出的均值和方差，得到xm，对于方差可以先求出理论自相关输出，然后取零点的值。
并且，，带入有在最大值处输出的功率，也就是方差，为对实际数据进行估计，均值为mean(x)=-0.0703，而方差为var(x)=5.2795，两者合理论值吻合得比较好。
程序及运行结果图如下，其中y_mean表示均值，y_var表示方差。
3.画出理论的功率谱密度曲线理论的功率谱为，用下面的语句产生：delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1000;w=w_min:delta:w_max; % 得到数字域上的频率取样点，范围是[-pi,pi]Gx=4*(abs(1./(1+0.3*exp(-i*w)+0.5*exp(-2*i*w))).^2); % 计算出理论值Gx=Gx/max(Gx); % 归一化处理f=w*Fs/(2*pi); % 转化到模拟域上的频率plot(f,Gx);title('邹先雄——理论功率谱密度曲线');grid on;得到的图形为：可以看出，这个系统是带通系统。
4.估计自相关函数和功率谱密度用实际数据估计自相关函数和功率谱的方法前面已经讨论过，在这里仅给出最后的仿真图形。
Mlag=20; % 定义最大自相关长度Rx=xcorr(x,Mlag,'coeff');m=-Mlag:Mlag;stem(m,Rx,'r.');title('邹先雄——自相关函数');最终的值为可以看出，它和上面的理论输出值吻合程度很好。
实际的功率谱密度可以用类似于上面的方法进行估计，window=hamming(20); % 采用hanmming 窗，长度为20noverlap=10; % 重叠的点数Nfft=512; % 做FFT 的点数Fs=1000; % 采样频率，为1000Hzb=[1]; a=[1 0.3 0.5]; % 由描述的差分方程，得到系统传递函数h=impz(b,a,20); % 得到系统的单位冲激函数，在20 点处已经可以认为值是0randn('state',0);w=normrnd(0,2,1,500); % 产生题设的白噪声随机序列，标准差为2x=filter(b,a,w); % 通过线形系统，得到输出就是题目中要求的2 阶AR 过程[Px,f]=pwelch(x,window,noverlap,Nfft,Fs, 'onesided'); % 估计功率谱密度f=[-fliplr(f) f(1:end)]; % 构造一个对称的频率，范围是[-Fs/2, Fs/2]Py=[-fliplr(Px) Px(1:end)]; % 对称的功率谱plot(f,10*log10(Py),'b');title('邹先雄——实际的功率谱密度曲线');估计出来的功率谱密度为，将两幅图画在一起，可以看到拟合的情况比较好（两者相位刚好相反，但是基本波形相似）：代码如下：clear all;delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1000;w=w_min:delta:w_max; % 得到数字域上的频率取样点，范围是[-pi,pi]Gx=4*(abs(1./(1+0.3*exp(-i*w)+0.5*exp(-2*i*w))).^2); % 计算出理论值Gx=Gx/max(Gx); % 归一化处理f=w*Fs/(2*pi); % 转化到模拟域上的频率结束plot(f,Gx,'r');hold on;title('邹先雄——理论和实际的功率谱密度曲线拟合');window=hamming(20); % 采用hanmming 窗，长度为20noverlap=10; % 重叠的点数Nfft=512; % 做FFT 的点数Fs=1000; % 采样频率，为1000Hzb=[1]; a=[1 0.3 0.5]; % 由描述的差分方程，得到系统传递函数h=impz(b,a,20); % 得到系统的单位冲激函数，在20 点处已经可以认为值是0randn('state',0);w=normrnd(0,2,1,500); % 产生题设的白噪声随机序列，标准差为2x=filter(b,a,w); % 通过线形系统，得到输出就是题目中要求的2 阶AR 过程[Px,f]=pwelch(x,window,noverlap,Nfft,Fs, 'onesided'); % 估计功率谱密度f=[-fliplr(f) f(1:end)]; % 构造一个对称的频率，范围是[-Fs/2, Fs/2]Py=[-fliplr(Px) Px(1:end)]; % 对称的功率谱Py=-10*log10(Py);Py=Py/max(Py);Py=-Py;Py=3*Py;Py=Py+2.6;%用来归一处理，使两者吻合plot(f,Py,'b');legend('实际值','理论值');grid on;ARMA 模型分析设有ARMA(2,2)模型，X(n)+0.3X(n-1)-0.2X(n-2)=W(n)+0.5W(n-1)-0.2W(n-2)W(n)是零均值正态白噪声，方差为4。
（1）用MA TLAB 模拟产生X(n)的500 观测点的样本函数，并绘出波形（2）用产生的500 个观测点估计X(n)的均值和方差（3）画出理论的功率谱（4）估计X(n)的相关函数和功率谱【分析】给定(2,2) 的ARMA 过程，也可以用递推公式得出最终的输出序列。
或者按照一个白噪声通过线性系统的方式得到，这个系统的传递函数为：对于功率谱，可以这样得到，对于ARMA 过程，当模型的所有极点均落在单位圆内时，才是一个渐进平稳的随机过程。
这个过程的自相关函数不能简单地写成Yule-Walker 方程形式，它于模型的参数具有高度的非线性关系。
1. 产生样本函数，并画出波形题目中的ARMA 过程相当于一个零均值正态白噪声通过线性系统后的输出，可以按照上面的方法进行描述。
clear all;b=[1 0.5 -0.2]; a=[1 0.3 -0.2]; % 由描述的差分方程，得到系统传递函数h=impz(b,a,10); % 得到系统的单位冲激函数，在10点处已经可以认为值是0randn('state',0);w=normrnd(0,2,1,500); % 产生题设的白噪声随机序列，标准差为2x=filter(b,a,w); % 通过线形系统，得到输出就是题目中要求的(2,2)阶ARMA过程plot(x,'r');title('邹先雄——输出的AR 随机序列');得到的输出序列波形为：2. 估计均值和方差可以首先计算出理论输出的均值和方差，得到xm，对于方差可以先求出理论自相关输出，然后取零点的值。
并且，，带入有在最大值处就是输出的功率，也就是方差，为对实际数据进行估计，均值为mean(x)= -0.0547，而方差为var(x)=3.8，两者和理论值吻合的比较好。
附代码及运行结果截图如下：3. 画出理论的功率谱密度曲线理论的功率谱为，用下面的语句产生：delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1000;w=w_min:delta:w_max; % 得到数字域上的频率取样点，范围是[-pi,pi]NS=1+0.5*exp(-i*w)-0.2*exp(-2*i*w); % 分子DS=1+0.3*exp(-i*w)-0.2*exp(-2*i*w); % 分母Gx=4*(abs(NS./DS).^2); % 计算出理论值Gx=Gx/max(Gx);f=w*Fs/(2*pi); % 转化到模拟域上的频率plot(f,Gx,'b');title('邹先雄——理论的功率谱密度曲线');grid on;4. 估计相关函数和功率谱密度曲线用实际数据估计自相关函数和功率谱的方法前面已经讨论过，在这里仅给出仿真图形。
% 计算理论和实际的自相关函数序列Mlag=20; % 定义最大自相关长度Rx=xcorr(x,Mlag,'coeff');m=-Mlag:Mlag;stem(m,Rx,'r.');title('邹先雄——估计自相关函数');最终的值为实际的功率谱密度可以用类似于上面的方法进行估计，window=hamming(20); % 采用hanmming窗，长度为20noverlap=10; % 重叠的点数Nfft=512; % 做FFT的点数Fs=1000; % 采样频率，为1000Hzb=[1 0.5 -0.2]; a=[1 0.3 -0.2]; % 由描述的差分方程，得到系统传递函数h=impz(b,a,10); % 得到系统的单位冲激函数，在10点处已经可以认为值是0 randn('state',0);w=normrnd(0,2,1,500); % 产生题设的白噪声随机序列，标准差为2x=filter(b,a,w); % 通过线形系统，得到输出就是题目中要求的(2,2)阶ARMA过程[Px,f]=pwelch(x,window,noverlap,Nfft,Fs, 'onesided'); % 估计功率谱密度f=[-fliplr(f) f(1:end)]; % 构造一个对称的频率，范围是[-Fs/2, Fs/2]Py=[fliplr(Px) Px(1:end)]; % 对称的功率谱plot(f,10*log10(Py),'b');title('邹先雄——实际的功率谱密度曲线');估计出来的功率谱密度为把两幅图画在一起，可以得到下面的图形，可以看出两者的吻合度比较高。