初中几种常见的数学解题策略与方法（二）

初中几种常见的数学解题策略与方法（二）转化与化归思想之“斜化直”策略

只有先树立了好的“解题意识”，才能谈“解题能力”的提升与积累！解题意识包含很多，如最基本的抓不变量意识、画图意识、转化意识、分类意识，甚至于解题后反思意识等！这需要学生先意识到有这些最基本的解题策略或者说是解题原则，然后逐渐地、有“自我意识”地去强化训练，这样的话，解题能力才能得到根本提升！

可以说，转化与化归思想在数学中无处不在！什么是化归思想呢？

化归思想：将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程称为化归，它是转化和归结的简称”（百度百科语）.笔者认为，转化与化归思想可以说是数学中最重要的思想与方法，“学习本身就是一种转化”，化“未知的领域”为“已知的领域”，化“今天的新知”为“昨天的旧知”，化难为易，化繁为简，化抽象为具体等等，总而言之，学生解题需要时刻怀揣转化意识，读已知条件，想想能得到什么，读结论所求，想想怎么得到它，转化无处不在，心有转化，则万物皆可转化，心无转化，则思维必将停滞不前.

“化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式.所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗.说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解.实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想.这也是辩证唯物主义的基本观点，把复杂的内容简化处理，化整为零就是它的另

一层含义.化归的实质是不断变更问题”！

今天我们主要谈一谈转化与化归思想之“斜化直”策略！

第三步：画出所求直线的草图，如图1-3所示，这两条所求直线

与已知直线l1平行，且与直线l1之间的距离均为3；若能求出这两条直线的解析式，最终所求b的值也就呼之欲出了！那么如何求其解析式呢？这是本题的难点，也是关键点！

第四步：这两条直线都可以看成是已知直线l1平移而来，但问题是，并非平移3个单位的距离那么简单，3仅仅是平行线之间的距离，这个距离是一个“斜距离”，不是我们需要的距离，我们需要的是如图1-4所示的距离d，即目光聚焦在AB=AC=d上，这个“直”距离若是能求出来，直接利用平移口诀“上加下减”即可轻松搞定解析式；

第五步：如图1-5所示，要求AB的长，可以依托AB过点B作BF⊥AE于点F，构造出一个有趣的Rt△ABF，其边BF及边AB都具有很强的几何意义，其中BF=h表示两条平行线之间的距离，不妨称之为“斜”距离；而AB=d表示两条平行直线沿y轴上下平移的距离，不妨称之为“直”距离，这个Rt△ABF不妨取名为“距离三角形”；

解题后反思：解决此题的关键是如何将“直”距离h转化为“斜”距离d，从而利用平移思想口算出所求直线的解析式，而这个转化主要是借助于一组极其有趣的相似，即所谓“距离三角形”与“坐标轴三角形”的相似，这组相似在本人以前的作品中多次提及，是我很喜欢的一组相似，对于解决很多与直线相关的综合题中往往可以发挥奇效，望同学们重视，这里的转化是一种重要的“斜化直”思想，不妨戏称为“改斜归正”大法.

上面一道小小的中考选择题，但透露的思想与策略却不简单，下面继续以一道大题开启我们的探讨之路！

解题后反思：本题中“斜线段”PD与“直线段”PC的转化巧妙借助了三角函数值，其本质还是相似，即上题中提及的所谓“坐标轴三角形”与“距离三角形”的相似关系，如图2-2所示，这一有趣的相似再次发挥奇效，其实两道题目的解题策略与思想方法一模一样，掌握了“思想”，就牵住了“牛鼻子”，再怎么考也不难了！这依然是转化策略中“改斜归正”大法的应用，

另外此题还有个有趣的做法，思路如下：

利用△ABP面积之“宽高公式”，将面积表示成m的代数式，如图2-3所示；

再利用△ABP面积之“底高公式”，由底边AB确定，结合面积法，可以将高PD表示成m的代数式，如图2-4所示；

这里的所谓“宽高公式”，下面也会重点提及；

所以PD的最大时，就是△ABP面积最大时，也就是其所谓“铅锤高”PC最大时，这是“一根绳上的蚂蚱”，而且有一个更有趣的结论就是当动点P位于定线段AB中点的正下方时，即当点C是线段AB的中点时，上面所说的量均达到最大值，这个结论对于任意直线与抛物线都是普适的，可以设成最一般的一般式去推导，不再赘述，同学们不需掌握此推导方法，因为会用到“韦达定理”，扬州地区中考对此淡化了，但是我们可以记住这个结论，作为最后的检验结果正确与否之用，不亦乐乎！

（2）②最后一问是一个面积存在性问题，其间也会涉及到极其有趣的转化思想及分类思想，Let’s go！

解题后反思：这里面积处理中涉及的“共高原理”及“共边原理”，再加上“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”面积问题中转化的有力三大工具，值得同学们将之形成知识串，掌握理解应用；

结合“斜直”思想，权衡之下，本问采取了“共边原理”，放弃了“共高原理”，这里的“改斜归正”策略也是值得同学们认真推敲的重要解题思想方法；

另外此题中系列“距离三角形”与“坐标轴三角形”的相似关系用来转化“斜线段”的“转化链”也非常有趣，同学们可以将之串成“一根绳上的蚂蚱”，知一条线段，所有的线段将出现“连锁反应”，都能够自然而然的表示出来！

还有这里的分类意识，同学们也值得关注，不要漏解，考虑问题要全面，做一个严谨的“学者”！分不分类，如何分类，都取决于题目中的部分条件可能指代不明，需要同学们“咬文嚼字”式地“细嚼慢咽”，用心分析的！

为了让同学们彻底固化上面两道例题均涉及的“斜化直—改斜归正”大法，即“斜线段”与“直线段”的相互迅速切换，下面再提供一道九年级上学期同学们就做过的一道所谓“难题”，而且这里的“斜线段”还比较隐蔽，需要有主动寻找的意识，才能有效识别！

思想决定高度，只有站得高，才能望得远！当你高瞻远瞩，以一个高视角居高临下重新审视一类问题时，很多看似不同的问题本质都一样，其解题思想、方法、策略几乎如出一辙！所以同学们一定要养成解题后反思的好习惯，去反思题中的思想、方法、策略，再跟以前自己做过的题类比，去发现异同，达到真正做一题通一类的效果！这样你会收益良多的，学习一定会更上一层楼的！

在平面直角坐标系中，有两个几何直观需要在学生脑海中生根发芽的，一是与坐标轴平行的线，这是常见辅助线；二是直线与坐标轴相交后形成的直角三角形，即我所谓的“坐标轴三角形”；三是用相似的眼光寻找解题突破口！（陕西延安贺基旭老师语录）

转化思想（“改斜归正”大法）补充资料

下面我们补充巧用“改斜归正”大法能够解决的几个经典问题，特别提醒：我们下面的经典问题可能有人会认为都是高中的知识，但这并不影响我们用初中的方法巧解所谓高中知识的情怀，有大师就说过，适当的高中知识下放，初中知识巧妙的衔接是有必要的，另外这里我更想表达的其实是，思想决定高度，下面的几个经典问题与上面两道例题的思想方法如出一辙，所以只要站的高，就能望得远，今后的路才能走的更顺畅！

经典问题1（九（13）班吴星宇同学课堂上提出问题）：在平面直角坐标系中，求一条定线段的垂直平分线的解析式；