空间解析几何-第3章常见的曲面2讲义.

2 2 a 2 2 2 x y 2 (c z1 ) . 截面上圆的方程 c z z1
( 2) a b c ,
x2 y2 z2 2 2 1 球面 2 a a a
方程可写为 x 2 y 2 z 2 a 2 .
三、椭球面的参数方程
x y z 2 2 1 2 a b c
z
此时的单叶双曲面是双曲线
y2 z2 1, : b2 c2 x 0
o
b
y
绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的 x .
单叶旋转双曲面
例 用一组平行平面 z h （ h 为任意实数）截割单叶双曲面
x2 y 2 z 2 2 2 1 a b 得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹. 2 a b c
y
x
一、单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 单叶双曲面 2 a b c
1 对称性（symmetric）
关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称； 关于坐标原点对称， （0，0，0）为其对称中心.
2 顶点、与坐标轴的交点和截距 (vertex and intercept)
（1）单叶双曲面与x，y轴分别交于（±a，0，0），
②当 h b 时
截线为双曲线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y
z
= h 截曲面
x2 z 2 h2 2 2 1 2 ， C y h： b a c y h. ③当 h ＝b 时 x2 z 2 2 2 0， C y h： a c y h.
注：在直角坐标系下，方程
x2 y2 z2 x2 y2 z2 2 2 1与 2 2 2 1 2 a b c a b c
所表示的图形也是单叶双曲面.
当 a b 时,
z
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b c
x2 y 2 z 2 2 1. 2 b c
y b, z c
4.主截线：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截， 平行截割法：
考察其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解 曲面的全貌。
截口是曲面与平面的交线
x2 y2 z2 2 2 1 与三个坐标面的交线 2 a b c
椭球面
Biblioteka Baidu 椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 与三个坐标面的交线 2 a b c
y2 z2 2 2 1 c b x 0
—xoy面上的 椭圆叫做腰 椭圆
—yoz面 上的双曲 线
x2 z2 2 2 1 —xoz面上 c a y 0 的双曲线
2018/11/9
有共同的虚 轴和虚轴长
5 平截线
用平行于坐标面的平面截割
(1)用z = h 截曲面
x2 z 2 h2 2 2 1 2 ， C y h： b a c y h.
x2 z 2 h2 2 2 1 2 ， C y h： b a c y h.
x2 z 2 2 2 0， C y h： a c y h.
(1) a b,
x2 y2 z2 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c
2 2 x z 由椭圆 绕 z 轴旋转而成． 1 2 2 c a y 0 x2 y2 z2 2 1 方程可写为 2 a c
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z
z1 ( | z1 | c )的交线为圆.
分析：
x2 y2 h2 2 2 1 x a b 1 2 , 2 2 h h c 即 a 2 1 2 b 2 1 2 , 从而椭圆焦点坐标为 y 0, c c z h. z h.
h c
h c
，(5)无图形；
，(5)表示两个点 (0,0,c) ；
h c
(5)表示一个椭圆，两半轴长分别为
h2 a 1 2 c
h2 b 1 2 c
由于h是变化的，(5)表示一族椭圆，椭圆面可以看成由 一个椭圆变动而生成的，其在变动中始终保持所在的平 面与坐标面xoy平行.
椭球面的几种特殊情况：
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
z
c
用z = h截曲面 用y = m截曲面
o a
x
b
y
用x = n截曲面
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面
可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生.
用平行于xoy坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：
x2 y 2 h2 2 2 1 2 b c a z h (5)
①当 h b 时 截线为双曲线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y
z
= h 截曲面
x2 z 2 h2 2 2 1 2 ， C y h： b a c y h.
②当 h b 时 截线为双曲线
x
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y
= h 截曲面
x2 z 2 h2 2 2 1 2 ， C y h： b a c y h.
z2 1 0 2 c
，即 z c 或 z c
z
x
o
y
4 主截线
①用z = 0 截曲面 无交点
z
②用y = 0 截曲面
z 2 x2 2 2 1， 双曲线 C y 0： c a y 0.
o
y x
③用x = 0 截曲面
z y 2 2 1， 双曲线 Cx 0： c b x 0.
方程
变为
此时的单叶双曲面是双曲线
y2 z2 1, : b2 c2 x 0
o
b
y
绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的.
单叶旋转双曲面是单叶双曲面的特殊情形. 当 a b时, 方程 变为
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b c
x2 y 2 z 2 2 1. 2 b c
x2 y 2 h2 2 2 1＋ 2 , Cz h： b c 椭圆 a z h.
z
O x y
结论：单叶双曲面可看作由一 个椭圆的变动（大小位置都改 变）而产生，该椭圆在变动中， 保持所在平面与xOy 面平行， 且两对顶点分别在两定双曲线 上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y
z
= h 截曲面
x2 z 2 h2 2 2 1 2 ， C y h： b a c y h.
①当 h b时 截线为双曲线
O
x
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y
= h 截曲面
x2 z 2 h2 2 2 1 2 ， C y h： b a c y h.
空间解析几何
第3章 常见的曲面2
2018/11/9
本章主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9 柱面 锥面 旋转曲面 曲线与曲面的参数方程 椭球面 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 二次直纹面 作图
五种典型的 二次曲面
§3.5 五种典型的二次曲面

椭球面 双曲面
x2 y 2 h2 2 2 1 2 , c 这一族的椭圆方程为 a b z h,


x2 z2 2 2 2 1, 消去参数 h 得 a b c y 0.

二、双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
2 2
平截线 （1）用 z h h c 截曲面
②当 h
5
z
①当 h c时, 交点坐标 0, 0, c
c时,
截线为椭圆
x2 y 2 h2 2 2 2 1, C z h： b c a z h.
o
y
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 x 变动中，保持所在平面与 xOy 面平行，且两轴的端点 分别在两定双曲线上滑动.
x2 y2 2 2 1 xOy面 : a b z 0 x2 z 2 2 2 1 xOz面 : a c y 0 y2 z2 2 2 1 yOz面 : b c x 0
椭球面的主截线（主椭圆）
z
椭球面
o x
y
5.平截线：
双叶双曲面
x2 y2 z2 特别的a=b时 2 2 2 1 为旋转双曲面 a b c
z
x
o
y
双叶双曲面的性质
1 对称性（symmetric）
双叶双曲面关于三坐标轴（叫做主平面），三坐标面（叫 做主轴）及原点（中心）对称，原点为其对称中心
2 与坐标轴的交点及截距 (vertex and intercept)

单叶双曲面 双叶双曲面

抛物面

椭圆抛物面 双曲抛物面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
x a cos cos y b cos sin , 0 2 2 2 z c sin
2
2
2
应用实例：
上海科技城椭球体玻璃幕墙
§3.5.2
单叶双曲面 z
双曲面
双叶双曲面 z
o
y x
o
由方程
x2 y 2 1 a 2 b2
2
2
2
z
知，即曲面存在于椭圆柱面 o x y
x2 y2 2 1 2 a b
之外，从而曲面与z轴无交点，
并且在xoy面的上,下半空间延到无穷远.
4 主截线
与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线
x2 y2 2 2 1 b a z 0
（2）用 y t截曲面
截线为双曲线
2 z 2 x2 t 2 2 1 2 , C y t： a b c y t.
z
o
y
x
z
（3）用
xt
截曲面
截线为双曲线
2 z2 y2 t 2 2 1 2 , C x t： b a c x t.
（0，±b，0）而与z轴无实交点.
上述四点称为单叶双曲面的实顶点， 而与z轴的交点（0，0，±ci） 称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0，
y b ； x 代入得x,y轴上的截距为: x a ，
z
o
y
在z轴上没有截距.
3 图形的范围
x y z 2 2 1 2 a b c
截线为直线
x
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y
= h 截曲面
x2 z 2 2 2 0， C y h： a c y h.
③当 h ＝b 时 截线为直线
(0 , b , 0)
2 2 2 x y z 单叶双曲面： 2 1 用 y = h 截曲面 2 2 a b c ②当 h b 时 ①当 h b 时 ③当 h ＝b 时
§3.5.1 椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 (a 0, b 0, c 0) 2 a b c
1.对称性：
•主平面:三坐标平面 •主轴:三坐标轴 •中心:坐标原点
2.顶点:(±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c) 轴:2a,2b,2c ( ) 半轴:a,b,c 截距:±a, ±b, ±c 3.范围： x a,
（1）双叶双曲面与x轴、y轴不交，而与 z轴交于（0，0，±c），此为其实顶点. （2）用x=0,y=0代入，得曲线在z轴上的 截距，而在x,y轴上无截距.
z
x
o
y
3 图形范围
x2 y 2 z2 2 1 2 2 a b c
，易知
所以曲面分成两叶，一叶在 z c 的上方，另一叶在 z c 平面的下方，曲面在面的上半空间下半空间延伸到无穷。