空间解析几何 二次曲面

特殊地：当 p q 时，方程变为
x2 y 2 2 z 2 p p
( p 0)
旋转抛物面
2 xoz x （由 面上的抛物线 2 pz 绕它的轴 旋转而成的） 与平面 z z1 ( z1 0) 的交线为圆.
x y 2 pz1 z z1
2 2
当 z1 变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截割法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截割法讨论几种特殊的二次曲面．
椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
z
截痕法
用z = a截曲面
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
x 0 y
（三）双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 单叶双曲面 2 a b c
z
o x
y
x y z 2 2 1 2 a b c
2பைடு நூலகம்
2
2
双叶双曲面
o x
y
小结
椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性）
（马鞍面） 双曲抛物面
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕法
用z = a截曲面
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
x
0 y
（马鞍面） 双曲抛物面
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕法
用z = a截曲面
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
x
0
y
（马鞍面） 双曲抛物面
x2 y2 2 z 2 p q
z
c
截痕法
用z = h截曲面 用y = m截曲面
a
x
o
b
y
用x = n截曲面
椭球面的几种特殊情况：
x2 y2 z2 (1) a b, 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c 2 2 x z 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转而成． a c x2 y2 z2 2 1 方程可写为 2 a c
作业：
P36: 2 P45:8,10,11,13(2),14,15,16, 17,20
旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 z
z1 ( | z1 | c )的交线为圆.
2 2 a 2 2 2 x y 2 (c z1 ) . 截面上圆的方程 c z z1
( 2) a b c ,
x2 y2 z2 2 2 1 球面 2 a a a
方程可写为 x 2 y 2 z 2 a 2 .
椭圆抛物面
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕法
用z = a截曲面 用y = b截曲面
用x = c截曲面
x
y 0
椭圆抛物面
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕法
用z = a截曲面 用y = b截曲面
用x = c截曲面
x
y 0
.