空间解析几何 二次曲面
几种常用的二次曲面与空间曲线
1. 指出下列方程的图形:
方程 x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
55
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
53
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
54
思考与练习
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z c
2 2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
20
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
o y
S : x2 z2 2 py
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2 pz
x
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z
S : x2 y2 2 pz
二次曲面的标准方程
二次曲面的标准方程二次曲面是代数几何学中一类重要的曲面。
它们的标准方程是二次方程，形式为Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为常数。
二次曲面可以分为三类：椭球面、双曲面和抛物面。
它们在三维空间中的几何形状各有特点。
首先，我们来讨论椭球面。
椭球面的标准方程为Ax^2 + By^2 + Cz^2 + D = 0，其中A、B、C、D为常数，且A、B、C不能同时为零。
椭球面可以分为三种情况：1. A、B、C的符号相同。
这种情况下，椭球面的几何形状是一个椭球。
椭球的中心在原点(0,0,0)。
如果A、B、C均大于0，则椭球面的形状是一个椭球；如果A、B、C均小于0，则椭球面的形状是一个椭球的内部部分；如果A、B、C两两异号，则椭球面的形状是一个双曲椭球面。
2. A、B、C的符号不完全相同。
这种情况下，椭球面的几何形状是一个椭圆柱体。
与椭球类似，如果A、B、C均大于0，则椭圆柱面的形状是一个椭圆柱体；如果A、B、C均小于0，则椭圆柱面的形状是一个椭圆柱体的内部部分；如果A、B、C两两异号，则椭圆柱面的形状是一个双曲椭圆柱面。
3.有一个变量的系数为零。
这种情况下，椭球面的几何形状是一个平面。
当A、B或C等于零时，椭球面变成一个二次曲面；当D、E、F等于零时，椭球面变成一个抛物面；当G、H、I等于零时，椭球面变成一个双曲抛物面。
接下来，我们来讨论双曲面。
双曲面的标准方程为Ax^2 + By^2 - Cz^2 + D = 0，其中A、B、C、D为常数，且A、B、C不能同时为零。
双曲面分为两种情况：1. A、B、C的符号相同。
这种情况下，双曲面的几何形状是一个双曲抛物面。
与椭球类似，当A、B均大于0时，双曲抛物面的形状是一个双曲抛物面；当A、B均小于0时，双曲抛物面的形状是一个双曲抛物面的内部部分。
空间解析几何二次曲面
二次曲面的性质
封闭性
01
二次曲面是封闭的，即它包围着一个确定的区域。
连续性
02
二次曲面在三维空间中是连续的，没有断裂或突起。
可微性
03
二次曲面在三维空间中是可微的，这意味着它的表面是平滑的。
02
二次曲面方程
二次曲面方程的建立
定义
二次曲面是三维空间中通过两个二次方程定义的 几何体。
形式
二次曲面的一般方程为 (Ax^2 + By^2 + Cz^2 + 2Fxy + 2Gxz + 2Hyz = D)。
优化方法
常用的优化方法包括数学规划、遗传算法、 模拟退火等，通过这些方法可以找到最优的 设计方案，提高产品的性能和降低成本。
感谢您的观看
THANKS
特点
二次曲面具有独特的形状和性质，其 形状由二次函数的系数决定。
二次曲面的分类
1 2
椭球面
当 $f$ 为正时，二次曲面呈现为椭球形状，其长 轴和短轴分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴平行或垂直。
抛物面
当 $f$ 为一次函数时，二次曲面呈现为抛物线形 状，其开口方向与 $z$ 轴平行。
3
双曲面
当 $f$ 为负时，二次曲面呈现为双曲形状，其形 状取决于 $x$ 轴和 $y$ 轴的方向。
工程设计
二次曲面在工程设计中用于描述各种形状的表面，如球面、抛物 面等。
物理模拟
在物理模拟中，二次曲面用于描述粒子在力场中的运动轨迹和分 布。
数据分析
在数据分析中，二次曲面用于拟合数据，以揭示数据之间的内在 关系和规律。
03
二次曲面在三维空间中的 表示
二次曲面在三维空间中的投影
简单的二次曲面
柱面上任取一点 P(x,y,z)
z
沿母线与 xoy平面的交点是 P?(x,y,0)
P(x,y,z)
P ?(x,y,0) 在准线上，从而柱面上 任一点 P 的坐标均满足方程
o
y
F(x,y)=0.
x
P?(x,y,0)
柱面方程：F(x,y)=0
准线方程
?F (x, y) ?
? ?
z
?
0.
0,
柱面的 特征：
? ?
y
?
a sin ?
?? z ? b?
(? ? ? t,
螺旋线的重要 性质：
b? v)
?
上升的高度与转过的角度成正比．
即 ? : ? 0 ? ? 0 ? ? , z : b? 0 ? b? 0 ? b? , ? ? 2? , 上升的高度 h ? 2b? 螺距
M f ( y, z) ? 0
（2）点 M 到 z 轴的距离
d ? x 2 ? y2 ? | y1 |
o
y
x
将 z1 ? z, y1 ? ? x 2 ? y2 代入 f ( y1 , z1 ) ? 0
将 z1 ? z, y1 ? ? x 2 ? y2 代入 f ( y1 , z1 ) ? 0
? ? 得方程 f ? x 2 ? y2 , z ? 0,
?
1
曲 面
? y2 z2
（2）椭圆
? ?
a
2
?
c2
?
1绕y
轴和z
轴；
?? x ? 0
绕 y 轴旋转
y2 x2 ? z2 a2 ? c2 ? 1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 ? a2
第八节二次曲面
5 柱面
x2 y 2 椭圆柱面 2 2 1 母线平行于 z 轴 a b
双曲柱面
抛物柱面
x y 2 1 2 a b
2
2
母线平行于 z 轴
母线平行于 z 轴
x ay
2
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
第八节 二次曲面
一、椭球面
二、抛物面
三、双曲面
第八章
二次曲面
•
空间直角坐标系中的空间曲面用方程F(x,y,z)=0表示. 若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是一次(或某些项为零)
的，则表示的曲面为平面，也称平面为一次曲面.
即：三元一次方程 A x +B y + C z +D = 0 所表示的平面
z
x 2 y2 2 z 2 a b
x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
当z=h>0时，截线是双曲线
当z=h=0时，截线是xoy平面上的两条相交于原点的直线;
当z=h<0时，截线是双曲线，但实轴平行于x轴，虚轴 平行于y轴. 当x=h=0时，截线是yOz平面上的顶点为原点的抛物线 当y=h=0时，截线是xOz平面上的顶点为原点的抛物线， 且开口向下.
2 2 2
x y z 1, 2 2 a b
2
2
2
椭球面也可由下面方法伸缩变形而来 （1）将球面
x y z a
2 2 2
2
c a 沿 z 轴方向伸缩 倍： z z, 得旋转椭球面： a c 2 2 2 2 a x y z x2 y 2 2 z 2 a2 , 或 2 1 2 c a c a b y y, （2）再将旋转椭球面沿 y 轴方向伸缩 倍： b a
jia论文
绪论二次曲面是空间解析几何学重要的组成部分，它包括椭球面、虚椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、二次锥面、椭圆抛物面、双曲抛物面、椭圆柱面、虚椭圆柱面、双曲柱面，抛物柱面等十几种曲面。
它的性质、种类特别容易混淆。
尤其是它的图象。
传统的空间解析几何，对于二次曲面的教学，大多数是教师按教学大纲的要求，通过二次曲面的方程，利用代数的方法讨论它的形状。
这种教学方法优点是理论推推导严密，缺点是缺乏几何直观性。
学生很难通过方程想象出它的图形。
这给教学带来很发的困难。
随着科学技术的不断发展，计算机被引入到教学中来，使教学更加具体化、形象化。
Matlab和Mathematica软件是两种比较完善的数学软件。
Mathematica是由Wolfram公司设计开发的一个数学软件。
可以用来进行数值计算、符号运算和图形显示等各方面的工作。
Mathematica受到科学工作者。
工程技术人员，学生和教育工作者的欢迎，已经是全世界广泛应用的数学软件之一。
它的应用涉及科研、工程以及商务等各个领域。
Mathematica具有强大的绘图功能，几乎可以做出所有常见的一元、二元函数的图象，还可以制作多幅画面连续放像的动画函数图形，它在计算方面的功能也很突出，并且拥有自己的语言。
对于某种稍微复杂一点的问题，可以通过编程解决。
Matlab则是非常优秀的科学计算和图形显示软件。
它的自身的一套语言，与其他高级语言相比，Matlab提供了一个人机交互的数学环境，并且以矩阵作为基本的数据结构，可以大大节省编程时间。
另外，Matlab语法规则简单，容易掌握，调试方便。
还可以存储和提取中间计算结果数据。
这使得Matlab对各种公式曲面的绘制变得简便、快捷且精确。
二次曲面的作图比较复杂。
比如马鞍面。
通常可以采用拼接法绘制复杂曲面。
即把复杂的曲面划分成为若干个简单的曲面，分别绘制完成后再拼接到一起，但绘制方法繁琐，而且误差很大，而精确绘制各种公式曲面恰好正是Matlab的长项，是非常方便快捷的。
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：二次曲线和二次曲面是解析几何学中重要的研究对象，它们具有许多美妙的几何性质。
在本文中，我们将讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面等。
通过对这些曲线和曲面的特点和性质进行深入的研究，我们可以更好地理解它们在几何学中的应用和意义。
本文将分析这些曲线和曲面的方程、图像和几何特征，帮助读者全面了解它们的分类和区分。
希望本文能够对二次曲线和二次曲面的研究有所启发，并为相关领域的学习和研究提供参考和帮助。
文章结构部分内容如下:1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将概述二次曲线和二次曲面的概念，说明文章结构和目的。
在正文部分，将详细讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线以及椭球面、抛物面、双曲面的形态和特点。
最后在结论部分，对文章进行总结，并探讨二次曲线和二次曲面在实际应用中的意义，展望未来可能的发展方向。
整个文章结构严谨有序，逻辑清晰，旨在帮助读者更深入地了解二次曲线和二次曲面的分类和特性。
文章1.3 目的：本文旨在对二次曲线和二次曲面进行分类和介绍，帮助读者更好地理解和区分不同类型的二次曲线和曲面。
通过本文的阐述，读者将了解椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面的定义、性质和特点。
同时，本文也旨在展示二次曲线和曲面在数学、物理和工程等领域的应用，以及未来对其研究的展望。
通过本文的阅读，读者将深入了解二次曲线和曲面的重要性和应用价值。
": {}}}}请编写文章1.3 目的部分的内容2.正文2.1 二次曲线的分类二次曲线是一个二次方程所描述的平面曲线。
在代数几何学中，二次曲线可以分为三种基本类型：椭圆、抛物线和双曲线。
这些曲线在平面上具有不同的几何性质和形态。
2.1.1 椭圆椭圆是一个闭合的曲线，其定义为所有到两个定点的距离之和等于一个常数的点的集合。
二次曲面习题课
r(u, v) x2 (u) y2 (u) cos v, x2 (u) y2 (u) sin v, z(u) .
4、椭 球 面 (ellipsoid)
（1）椭球面的方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
１、单叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
(a,b, c 0)
u 族直母线
w
x a
z c
u1
y b
u
x a
z c
w1
y b
u, w不同时为零
v 族直母线
t
x a
z c
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
上互相垂直的两
直母线交点的轨迹方程。 （课本P182, ex8）
解：过单叶双曲面上所求轨迹上一点 (x0, y0, z0 )
的两条直母线分别为L1和L2
L1
:
u v
x a x a
z c z c
v u
2、锥 面 (conical surface)
圆锥面 锥面
直线l1绕另一条与l1相交于O的直线l2旋转一周 所得旋转曲面称为圆锥面.
O —— 顶点 (vertex) 两直线的夹角—— 半顶角 一直线通过定点O，且沿空间中一条定曲线C 移动所产生的曲面称为锥面. O —— 顶点 C —— 准线（不唯一 ） 动直线 —— 母线（不唯一 ）
常见的九种二次曲面方程
常见的九种二次曲面方程二次曲面方程是解析几何的重点内容，它被广泛涉及于数学、物理、工程、计算机等多个学科中。
本文将介绍九种常见的二次曲面方程，以帮助读者更好的理解和应用。
一、圆锥面方程圆锥面方程可以表示为 F(x,y,z)=0，其中 F(x,y,z)是二次型方程，或表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为锥面三个坐标轴上椭圆截面的半轴长度，这种圆锥面称为椭圆锥面。
当a=b时，圆锥面变成圆锥面；当a=b=c时，称为圆锥体。
二、双曲面方程双曲面方程可以表示为 F(x,y,z)=0，其中 F(x,y,z)是二次型方程，或表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为双曲面三个坐标轴上双曲截面的半轴长度，这种双曲面称为双曲抛物面或椭圆双曲面。
当a=b时，双曲面变成双曲抛物面；当a=b=c时，称为双曲球面。
三、抛物面方程抛物面方程可以表示为 F(x,y,z)=0，其中 F(x,y,z)是二次型方程，或表示为 z=ax^2+by^2+c，这种抛物面被称为旋转抛物面。
四、球面方程球面方程可以表示为 (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2，其中(a,b,c)是球中心坐标，r是球半径。
球面是最常见的几何形体，可以在多个方面得到应用。
五、椭球面方程椭球面方程可以表示为 (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为椭圆三个坐标轴上椭圆截面的半轴长度。
与圆锥体类似，当a=b=c时，椭球面变成球面。
六、单叶双曲面方程单叶双曲面方程可以表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为双曲面三个坐标轴上双曲截面的半轴长度。
单叶双曲面只有一个部分，并非所有双曲面都是单叶的。
七、双叶双曲面方程双叶双曲面方程可以表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=-1，其中a、b、c分别为双曲面三个坐标轴上双曲截面的半轴长度。
柱面锥面二次曲线
(a
x2 1 h2
y2
c2 )2 (b 1 h2
zh
1 c2 )2
无论h取何值，此方程组总表示在平面: z h
上的椭圆，它的两半轴为：a 1 h2 c2 与b 1 h2 c2
此时椭圆的两轴端点（± a 1 h2 c2 ，0， h）与
（0， ±b 1 h2 c2 ， h）分别在两条主截线（双
曲线）上，且所在平面与腰椭圆平行.
所表示的曲面，叫做单叶双曲面, 做单叶双曲面的标准方程.
此方程叫
方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
与
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
表示的曲面也是单叶双曲面.
二、性质
1. 对称性
x2 y2 z2 1(a,b, c 0) a2 b2 c2
中心 ：坐标原点（1个）;
主轴 ：x轴、y轴和z轴（3条）;
§4.1 柱面
定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫
柱面的准线，
母线
动直线叫柱面
的母线.
观察柱面的形
成过程:
准
线
柱面举例：
z
M(x, y, z)
M1( x, y,0)
z
•
• x2 2y
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面 x
y x
抛物柱面方程：
x2 2y
平面方程：
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
解析几何ppt第4章二次曲面的总结
4、椭球面
5、双曲面
它们都是中心二次曲面 它们的方程可以写成统一的形式：
Ax2 By2 Cz 2 1, ABC 0 .
(1)
当三平方项系数 A, B, C 均为正时，（1）表示椭球面；
当三平方项系数 A, B, C 中有两项为正，另一项为负，（1） 表示单叶双曲面；
当三平方项系数 A, B, C 中只有一项为正，另两项为负，（1） 表示双叶双曲面；
柱面锥面特例旋转曲面球面判别法重点常规方法求曲面方程旋转曲面的方程直接写出在空间直角坐标系中只含有两个元坐标的三元方程在空间直角坐标系中只含有两个元坐标的三元方程所表示的曲面是一个柱面它的母线平行于所所表示的曲面是一个柱面它的母线平行于所缺元缺元坐标坐标的同名坐标轴
CH4 二次曲面
柱面 锥面 特例 旋转曲面 球面
• 课本P147~148，习题1、2、8 • 课本P151，习题1、2、5 • 课本P158，习题1
非 直 纹 曲 面
椭球面 双叶双曲面 椭圆抛物面
Ax 2 By 2 Cz 2 1
A，B，C全正
Ax 2 By 2 Cz 2 1
A，B，C一正两负
Ax By 2 z AB 0
2 2
典型习题
3、旋转曲面判别法： “二个变量平方项的系数相同”
在空间直角坐标系中，当坐标面上的曲线绕此坐标面 里的一个坐标轴旋转时，为求得旋转曲面的方程，只需 将曲线方程保留与旋转轴同名的坐标，用其余两坐标平 方和的平方根代替方程中的另一个坐标。
“常规方法”求上述曲面（1、2、3）的方程
步骤： ⅰ） 写出这母线上任意一点 M1 x1, y1, z1 的纬圆方程 或母线族. ⅱ ） 写出参数 x1 , y1 , z1 的约束条件. ⅲ ） 消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、 锥面的方程）.
五. 二次曲面、椭球面、抛物面、双曲面、椭圆锥面
同理：yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f ( y, x2 z2 ) 0. 绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点：
出现某两变量的平方和.
11
(3) 常见的旋转曲面
① 圆柱面： x2 y2 a2
直线C：
y x
a 0
绕z轴旋转而成. z
x
o
y
12
13
yoz 面上直线:
z y cot
x 0
z
绕z 轴旋转一周所得的圆锥面方程：
z x2 y2 cot
o
y
令 b cot，则
x
z b x2 y2.
14
③ 旋转双曲面
x x
双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y 0
o
z
oo
z
y
y
绕 x轴旋转而成的曲面:
x2 a2
y2 c2
都可通过配方研究它的图形.
5
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： 2. 两个基本问题 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
6
二、几种特殊的曲面及其方程
1. 平面 Ax By Cz D 0 2. 球面 以M0 (x0 , y0 , z0 )为球心，R 为半径的 球面方程为
x2 y2 z2 R2
o
x
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 .
M0
M
y
4
例2 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样 的曲面.
解 配方得 此方程表示: 球心为 M0(1, 2, 0),
空间解析几何中二次曲面截痕法的动画演示
Ｉ Ｎ ０ ９ ０ ｓＳ １ ０ －３ ４４
Ｅ ｍ ｉ ｋｙ ｃ ｃ ｅ． － ａ ｆ ＠ｃ ｃ ． ｔ ｎ ｈ ｊ ｎ ｅ
ｈ ｔ ：ｗｗ ｄ ｚ ． ｅ．ｎ ｔ ／ ｗ． ｎ ｓ ｔ ｐ／ ｎ ｅ
Ｔｅ ｈ＋８ ５５１ ６ ６— —５ ９０９ ３ ５ ０ ４ ６ ６９ ９６
ＭＡ Ｌ Ｂ作 为具 有 强 大 功 能 的 数 学 软件 ， 越 来 越 多 的 应 用数 学工 作 者 使 用 。 目前 ＭＡ Ｌ Ｂ普 遍 作 为 教 学 软 件 在 《 学 实 验 》 ＴＡ 被 ＴＡ 数 课 程 中使 用 。 者 在 教 学 中 发 现截 痕 法 可 以通 过 ＭＡ Ｌ 笔 Ｔ ＡＢ用 动 画 的形 式 生 动 地 演示 出来 。 样 ． 过 教 师 多媒 体 演 示 或 者 让 学 生 上 这 通
（ ｐ ｒ ｎ ｆ ｐ ｈ ｄＭａ ｅ ｔ ｓ Ｓ ａ ｇ ￣ Ｆｎ ｎ ｅＵｎｖ ￣ ｔ， ｈ ｎ ｈ ０ ２ ９ Ｃ ｉａ Ｄｅ ａ ｍｅ ｔ ｐ ｅ ｔ ｍａ ｃ， ｈ ｎ ｈ ｉａ ｃ ｉ ｉ Ｓ ａ ｇ Ｍ ２ １ ０ ， ｈｎ ） ｔ ｏＡ ｈ ｉ ｅ ｙ
Ａｂ ｔａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｕ ｓ ａｌｂ，ｍ ｅ ｈ ｆＣ —ｏ ａｋ ｉ ｕａ ｆｃ ｓ ｒａ ｅ ｉ ａ ｈｔｏ ｙ ｔ ｏ ｍ ｎ ｍ ａｉｎ．Ｗ ｈｉｈ ｗｉｌｐｒ ｍ ｏｔ ｈｅ ｕｎ ｉ Ｍ ｔａ ｎｇ ｔ ｏｄ ｏ Ｕｔ ｆ Ｍ ｒ ｎ ｑ ｄ ｕ ｆｃ ｓｔｕｇ ｆ ｂ ｈｅ ｆ ｒ ｏｆａ ｉ ｔｏ ｉ ｃ ｌ ｏ ｅｔ － ｄｅｓａ ｉ ａ ｒｃ ｅ ｕａｉｎ ｎ ｏｇ ａ ｍｉ ｇ ｓ ｉｌ ｏ ｕｄｅ ｓ ｒｔｎｄｎｇ ｏｆｑｕ ｄ ｉ ｑ ｔｏ ａ ｄ Ｐｒ ｒｍ ｎ ｋ ｌ ｆｓ ｓ ｔ ｎｔ．
空间解析几何中的二次曲线与曲面
空间解析几何中的二次曲线与曲面空间解析几何是研究平面和空间中点、直线和曲线的位置关系、性质及其运动规律的数学分支。
在空间解析几何中，二次曲线与曲面是非常重要的概念。
本文将就空间解析几何中的二次曲线与曲面展开讨论。
一、二次曲线二次曲线是指平面上的方程为二次形式的曲线，可分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
1. 椭圆椭圆是二次曲线中最常见的一类，其方程一般表示为：$\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$其中$a$和$b$分别表示椭圆的半长轴和半短轴。
2. 双曲线双曲线也是常见的二次曲线，其方程一般表示为：$\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$或$\dfrac{y^{2}}{b^{2}} - \dfrac{x^{2}}{a^{2}} = 1$双曲线有两支，分别沿着$x$轴向两侧无限延伸。
3. 抛物线抛物线是一种特殊的二次曲线，其方程一般表示为：$y^{2} = 2px$或$x^{2} = 2py$其中$p$表示抛物线的焦点到准线的距离。
二、二次曲面二次曲面是指空间中的方程为二次形式的曲面，可分为椭球面、双曲面、抛物面和圆台面四类。
1. 椭球面椭球面是一类二次曲面，其方程一般表示为：$\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} + \dfrac{z^{2}}{c^{2}} = 1$其中$a$、$b$和$c$分别表示椭球面在$x$、$y$和$z$轴上的半长轴。
2. 双曲面双曲面也是常见的二次曲面，其方程一般表示为：$\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} - \dfrac{z^{2}}{c^{2}} = 1$或$\dfrac{z^{2}}{c^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} - \dfrac{x^{2}}{a^{2}} = 1$双曲面有两部分，分别向上和向下打开。
空间解析几何二次曲面伸缩法的MATLAB设计和实现
程 序如下 ：
［， ，］ｓｈｒ ；％建 立 单 位 球 面 网 络 ｘ Ｙ ｚ析 几何 二 次 曲面截 痕法 的动 画演 示 。 本 文探 讨空 间解 析 几何 二 次 曲面 伸缩 法 的 ＭＡＴ Ａ 设计 Ｌ Ｂ
和 实现 。
ｍｅｈｘ Ｙ ｚ；％生成单位球面 网线 图 ｓ （， ，１ ｓｒ（＊ ， ＊ ， ） ｕｆ ｘ ｂ ｙ ｃｚ ；％沿 ｘ Ｙ Ｚ轴 方 向伸缩 ａｂ Ｃ倍 的 ａ 、、 、、
：
１ ＋
Ｃ
。
程序 如下 ：
作者简介 ： 崔秋珍 ， ， 女 河南博 爱人 ， 工程硕 士， 副教授 ， 究方向 ： 研 高等教 学， 工程数 学， 数学 实验 。
一
４５ —
学术 探 讨 袄件设计
用 于 流 控 制 的 字 符 是 １Ｈ（ ｆ ｈｒ） Ｘ ｎ ｈｒ， 以 ３ Ｘｏｆ ａ） ｌ１Ｈ（ ｏ Ｃ ａ） 当 Ｃ ￣ １ 二 进 制 方 式 发 送 数 据 时 ， 须 要 禁 用 Ｓ ｃ ｍ 对 于 软 件 流 控 必 ｐｏ ｍ 制 的 支 持 ， 则 ， 数 据 帧 中 出 现 的 １Ｈ， １ 否 在 ３ １ Ｈ会 被 Ｓ ｃｍｍ ｐｏ 作 为 控 制 字 符 而加 以忽 略 。
二 次 曲 面 的 图像 特 征 和 方 程 之 间 的 对 应 关 系。
［ 键 词 ］ 空 间 解析 几 何 ；二 次 曲 面 ； Ｔ Ａ 关 ＭＡ Ｌ Ｂ ｃｌ ｄ ｒ生 成 一 单 位 圆柱 体 的 ｘ Ｙ ｚ值 ｙｉ ｅ： ｎ 、、
１ 引 言 ．
ｓｈ ｒ： 成 三 维 直 角 坐 标 系 中 的 单 位 球 体 ｐ ｅｅ 生
空 间解析 几何 是大 学数 学 的主要课 程 。二次 曲面 是空
空间解析几何 第四章一般二次曲线与二次曲面
第四章一般二次曲线与二次曲面这一章讨论用一般方程给出的二次曲线，在适当选取的坐标系中可以把它们的一般方程化成标准方程，从而达到判断一般方程所表示的曲线的类型与位置的目的。
其次用不变量对二次曲线与二次曲面进行分类。
§4.1直角坐标变换平面上的一般坐标变换可以看成是平移与旋转两种变换连续进行的结果。
因此下面先分别介绍这两种变换，再研究一般的坐标变换。
4.1.1平面直角坐标平移设Oxy 和O x y '''是同一个平面上的两个直角坐标系，它们的轴的方向和度量单位相同，只是原点位置不同（图4-1-1），那么平面上任意一点P 在坐标系Oxy 中的坐标(,)x y 和在坐标系O x y '''中的坐标(,)x y ''有什么联系呢？设O '在Oxy 中的坐标为00(,)x y ，从点P 向各坐标轴作平行线，从图4-1-1中容易看出：x x x y y y '=+⎧⎨'=+⎩ （4.1.1） 这就是将原点O 平移到00(,)O x y '的坐标变换，其中(,)x y 和(,)x y ''分别是平面上同一点P 在旧坐标系Oxy 和新坐标系O x y '''中的坐标。
这种坐标变换叫做平移。
如果用旧坐标表示新坐标，那么有x x x y y y '=-⎧⎨'=-⎩ （4.1.2） （4.1.1）和（4.1.2）都是平移公式。
x'x图4-1-1例1 用平移化简22490x x y --+=，并画出它的图形。
解 原方程可以移项、配方成 2(1)4(2)x y -=-将原点O 移到(1,2)O '，即作平移：12x x y y '=-⎧⎨'=-⎩那么，在新坐标系O x y '''中，方程简化成24x y ''=。
解析几何版第四章《柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面》课后习题答案
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于轴；（2）母线平行于直线，试求这些柱面的方程。
x c z y x ==,解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去，得到：x 25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点，过且平行于直线的直线方程为：),,(0000z y x M 0M ⎩⎨⎧==c z yx ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000而在准线上，所以0M ⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去后得到：t 02688823222=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
⎩⎨⎧=+=zx z y x 222解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1-任取准线上一点，过的母线方程为：),,(0000z y x M 0M ⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z y y tx x tz z y y t x x 2200000而在准线上，所以：0M ⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去，得到：t 010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线的圆柱面方程。
211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与解：过原点且垂直于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为0=++z y x ，这三点所定的在平面上的圆的圆心为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--0=++z y x ，圆的方程为：1513,1511,152(0--M ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++075981513(1511(152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
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作业：
P36: 2 P45:8,10,11,13(2),14,15,16, 17,20
特殊地：当 p q 时，方程变为
x2 y 2 2 z 2 p p
( p 0)
旋转抛物面
2 xoz x （由 面上的抛物线 2 pz 绕它的轴 旋转而成的） 与平面 z z1 ( z1 0) 的交线为圆.
x y 2 pz1 z z1
2 2
当 z1 变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截割法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截割法讨论几种特殊的二次曲面．
椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
z
截痕法
用z = a截曲面
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
x 0 y
（三）双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 单叶双曲面 2 a b c
z
o x
y
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
双叶双曲面
o x
y
小结
椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性）
（马鞍面） 双曲抛物面
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕法
用z = a截曲面
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
x
0 y
（马鞍面） 双曲抛物面
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕法
用z = a截曲面
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
x
0
y
（马鞍面） 双曲抛物面
x2 y2 2 z 2 p q
方程可写为 x 2 y 2 z 2 a 2 .
椭圆抛物面
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕法
用z = a截曲面 用y = b截曲面
用x = c截曲面
x
y 0
椭圆抛物面
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕法
用z = a截曲面 用y = b截曲面
用x = c截曲面
x
y 0
.
c
截痕法
用z = h截曲面 用y = m截曲面
a
x
o
b
y
用x = n截曲面
椭球面的几种特殊情况：
x2 y2 z2 (1) a b, 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c 2 2 x z 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转而成． a c x2 y2 z2 2 1 方程可写为 2 a c
旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 z
z1 ( | z1 | c )的交线为圆.
2 2 a 2 2 2 x y 2 (c z1 ) . 截面上圆的方程 c z z1
( 2) a b c ,
x2 y2 z2 2 2 1 球面 2 a a a