高数空间解析几何学 平面与空间直线的方程
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解
设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，
| MO | 1 , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 y2 z2
x 2 y 3 z 4
2 2
2
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
1
一般研究空间曲面主要考虑两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
2
O 例 1 求与原点 及 M 0 ( 2,3,4) 的距离之比为1 : 2 的 点的全体所组成的曲面方程.
部点.
21
M 在圆柱面x 2 y 2 a 2 上以 例 3 如果空间一点 z z v 角速度 绕 轴旋转，同时又以线速度 沿平行于 v 轴的正方向上升（其中 、 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数， 动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点 M 在 xoy 面的投影 M ( x , y ,0)
2 2
解
x 2 y 2 1 表示圆柱面，
2 x 3 y 3 z 6 表示平面，
x2 y2 1 2 x 3 y 3z 6
交线为椭圆.
19
z a2 x2 y2 例2 方程组 a 2 a 2 表示怎样的曲线？ 2 ( x ) y 2 4
t
o
x A
M
x a cos t y a sin t z vt
y
M
螺旋线的参数方程
22
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos y a sin v z b ( t , b )
23
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
第四节
曲面和空间曲线
一 曲面及其方程
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
（1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
x2 y2 z2 绕 x 轴旋转 2 1 2 a c x y z 2 1 绕 z 轴旋转 2 a c
2 2 2
2
2
旋 转 双 曲 面
14
y2 z2 2 2 1 z （2）椭圆 a 绕y 轴和 轴； c x 0 y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 旋 2 转 a c
f y,
x 2 z 2 0.
12
L 例 5 直线L 绕另一条与 相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的 0 顶点，两直线的夹角 叫圆锥面的半顶 2 z 角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 轴，半顶 角为 的圆锥面方程．
2 2
在 xoy面上的投影为 3 2 2 x y 4, z 0
27
1 （2）因为曲线在平面 z 上， 2 所以在 xoz 面上的投影为线段.
1 3 z | x | ; 2, 2 y 0 （3）同理在 yoz 面上的投影也为线段. 1 z 2, x 0 3 | y | . 2
x x( t ) y y( t ) z z(t )
空间曲线在坐标面上的投影．
H ( x , y ) 0 R( y , z ) 0 z 0 x 0 T ( x , z ) 0 y 0
35
练 习 题
一、填空题： 1、与Z 轴和点 A(1 , 3 ,1) 等距离的点的轨迹方程是 _____________； 2、以点O ( 2 ,2 , 1) 为球心，且通过坐标原点的球面 方程是_______________； 2 2 2 3、球面： x y z 2 x 4 y 4 z 7 0 的球心是 点___________，半径 R __________； x2 y2 z2 4、设曲面方程 2 + 2 + 2 =1，当a b 时，曲面可由 a b c xoz 面上以曲线________________绕_______轴旋 转面成，或由 yoz 面上以曲线_______________ 绕________轴旋转面成 ;
x y z 2 1 绕 z 轴旋转 2 a c 2 y 2 pz z （3）抛物线 绕 轴； x 0
2 2 2
椭 球 面
x 2 y 2 2 pz
旋转抛物面
15
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2; ( 3) y x 1.
C . 面，其准线为 xoy面上曲线 （其他类推）
实 例
y z 2 1 椭圆柱面 // x 轴 2 b c x2 y2 2 1 双曲柱面 // z 轴 2 a b 2 抛物柱面 // y 轴 x 2 pz
9
2
2
3、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
消去变量z后得： H ( x , y ) 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 投影柱面的特征： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
24
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
25
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H ( x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
3
例 2 已知 A(1,2,3)，B( 2,1,4) ，求线段AB 的 垂直平分面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 2 y 1 z 4 ,
播放
10
旋转过程中的特征：
z
如图
设 M ( x , y, z ),
o
(1) z z1
（2）点 M 到 z 轴的距离
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
y
d
x y | y1 |
2 2 2
x
2
将 z z1 , y1 x y 代入
f ( y1 , z1 ) 0
解
z a2 x2 y2
上半球面,
a 2 a2 圆柱面, ( x ) y2 2 4
交线如图.
20
2、空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) 空间曲线的参数方程 z z(t )
当给定 t t1 时，就 得到曲线上的一个点
( x1 , y1 , z1 ) ，随着参数的变化可得到曲线上的全
( 2) x 2 y 2 4;
16
思考题解答
方程
x2
x2 y2 4
y x 1
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) ，
以z 轴为中心轴的圆柱面
半径为2 的圆
斜率为1的直线
平行于 z 轴的平面
17
二、空间曲线及其方程
1、空间曲线的一般方程
根据题意有
| MM0 | R
2 2 2
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
所求方程为 x x0 y y0 z z0 R 2
x 2 y 2 z 2 R2 特殊地：球心在原点时方程为
6
2、柱面
z
解
yoz 面上直线方程为 z y cot
2 2
M1 (0, y1 , z1 )
y
圆锥面方程
o
x
z x y cot
M ( x, y, z )
13
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x z x z （1）双曲线 2 2 1 分别绕 轴和 轴； a c
yoz 面上的投影曲线,
R( y , z ) 0 x 0
xoz 面上的投影曲线,
T ( x , z ) 0 y 0
26
x2 y2 z2 1 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 1 z 2
解 （1）消去变量z后得
3 x y , 4
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
空间曲线的一般方程 特点：曲线上的点都满足 方程，不在曲线上的点不 能同时满足两个方程.
z
S1
S2
o
x
C
y
18
x y 1 例1 方程组 表示怎样的曲线？ 2 x 3 y 3z 6
2 2
30
例6： 求椭圆抛物面2 y x z 与抛物柱面 2 x 2 z 的交线关于 xoy面的投影柱面和 在 xoy面上的投影曲线方程.
2 2
解：交线方 程为
2 y x z , 2 2 x z
2 2
消去z 得投影柱面
x 2 y 2 1,
x2 y2 1 在 xoy面上的投影为 . z 0
31
部分空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
32
例7 设一个立体,由上半球面 z 4 x 2 y 2
和 z 3( x 2 y 2 )锥面所围成, 求它在 xoy 面上的投影.
解
半球面和锥面的交线为
z 4 x2 y2 , C : z 3( x 2 y 2 ) ,
消去 z 得投影柱面 x 2 y 2 1,
33
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x 2 y 2 1, z 0.
一个圆,
所求立体在 xoy 面上的投影为
x y 1.
2 2
34
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
5
1. 球面
R 例 4 建立球心在点 M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 、半径为 的球面方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
4
z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？ 例3 方程
解 根据题意有 z 1
用平面z c 去截图形得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
11
z z1 , y1 x 2 y 2 代入 f ( y1 , z1 ) 0 将
得方程
f x 2 y 2 , z 0,
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
播放
7
柱面举例
z
z
y 2x
2
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面
x
y x
8
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y 而缺z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱
28
例5
求抛物面 y 2 z 2 x 与平面 x 2 y z 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.
解
截线方程为
y z x x 2y z 0
2 2
如图,
29
x 2 5 y 2 4 xy x 0 z , （1）消去 得投影 z 0 x 2 5 z 2 2 xz 4 x 0 （2）消去y 得投影 , y 0 y z 2y z 0 . （3）消去x 得投影 x 0
设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，
| MO | 1 , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 y2 z2
x 2 y 3 z 4
2 2
2
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
1
一般研究空间曲面主要考虑两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
2
O 例 1 求与原点 及 M 0 ( 2,3,4) 的距离之比为1 : 2 的 点的全体所组成的曲面方程.
部点.
21
M 在圆柱面x 2 y 2 a 2 上以 例 3 如果空间一点 z z v 角速度 绕 轴旋转，同时又以线速度 沿平行于 v 轴的正方向上升（其中 、 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数， 动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点 M 在 xoy 面的投影 M ( x , y ,0)
2 2
解
x 2 y 2 1 表示圆柱面，
2 x 3 y 3 z 6 表示平面，
x2 y2 1 2 x 3 y 3z 6
交线为椭圆.
19
z a2 x2 y2 例2 方程组 a 2 a 2 表示怎样的曲线？ 2 ( x ) y 2 4
t
o
x A
M
x a cos t y a sin t z vt
y
M
螺旋线的参数方程
22
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos y a sin v z b ( t , b )
23
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
第四节
曲面和空间曲线
一 曲面及其方程
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
（1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
x2 y2 z2 绕 x 轴旋转 2 1 2 a c x y z 2 1 绕 z 轴旋转 2 a c
2 2 2
2
2
旋 转 双 曲 面
14
y2 z2 2 2 1 z （2）椭圆 a 绕y 轴和 轴； c x 0 y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 旋 2 转 a c
f y,
x 2 z 2 0.
12
L 例 5 直线L 绕另一条与 相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的 0 顶点，两直线的夹角 叫圆锥面的半顶 2 z 角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 轴，半顶 角为 的圆锥面方程．
2 2
在 xoy面上的投影为 3 2 2 x y 4, z 0
27
1 （2）因为曲线在平面 z 上， 2 所以在 xoz 面上的投影为线段.
1 3 z | x | ; 2, 2 y 0 （3）同理在 yoz 面上的投影也为线段. 1 z 2, x 0 3 | y | . 2
x x( t ) y y( t ) z z(t )
空间曲线在坐标面上的投影．
H ( x , y ) 0 R( y , z ) 0 z 0 x 0 T ( x , z ) 0 y 0
35
练 习 题
一、填空题： 1、与Z 轴和点 A(1 , 3 ,1) 等距离的点的轨迹方程是 _____________； 2、以点O ( 2 ,2 , 1) 为球心，且通过坐标原点的球面 方程是_______________； 2 2 2 3、球面： x y z 2 x 4 y 4 z 7 0 的球心是 点___________，半径 R __________； x2 y2 z2 4、设曲面方程 2 + 2 + 2 =1，当a b 时，曲面可由 a b c xoz 面上以曲线________________绕_______轴旋 转面成，或由 yoz 面上以曲线_______________ 绕________轴旋转面成 ;
x y z 2 1 绕 z 轴旋转 2 a c 2 y 2 pz z （3）抛物线 绕 轴； x 0
2 2 2
椭 球 面
x 2 y 2 2 pz
旋转抛物面
15
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2; ( 3) y x 1.
C . 面，其准线为 xoy面上曲线 （其他类推）
实 例
y z 2 1 椭圆柱面 // x 轴 2 b c x2 y2 2 1 双曲柱面 // z 轴 2 a b 2 抛物柱面 // y 轴 x 2 pz
9
2
2
3、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
消去变量z后得： H ( x , y ) 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 投影柱面的特征： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
24
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
25
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H ( x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
3
例 2 已知 A(1,2,3)，B( 2,1,4) ，求线段AB 的 垂直平分面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 2 y 1 z 4 ,
播放
10
旋转过程中的特征：
z
如图
设 M ( x , y, z ),
o
(1) z z1
（2）点 M 到 z 轴的距离
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
y
d
x y | y1 |
2 2 2
x
2
将 z z1 , y1 x y 代入
f ( y1 , z1 ) 0
解
z a2 x2 y2
上半球面,
a 2 a2 圆柱面, ( x ) y2 2 4
交线如图.
20
2、空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) 空间曲线的参数方程 z z(t )
当给定 t t1 时，就 得到曲线上的一个点
( x1 , y1 , z1 ) ，随着参数的变化可得到曲线上的全
( 2) x 2 y 2 4;
16
思考题解答
方程
x2
x2 y2 4
y x 1
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) ，
以z 轴为中心轴的圆柱面
半径为2 的圆
斜率为1的直线
平行于 z 轴的平面
17
二、空间曲线及其方程
1、空间曲线的一般方程
根据题意有
| MM0 | R
2 2 2
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
所求方程为 x x0 y y0 z z0 R 2
x 2 y 2 z 2 R2 特殊地：球心在原点时方程为
6
2、柱面
z
解
yoz 面上直线方程为 z y cot
2 2
M1 (0, y1 , z1 )
y
圆锥面方程
o
x
z x y cot
M ( x, y, z )
13
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x z x z （1）双曲线 2 2 1 分别绕 轴和 轴； a c
yoz 面上的投影曲线,
R( y , z ) 0 x 0
xoz 面上的投影曲线,
T ( x , z ) 0 y 0
26
x2 y2 z2 1 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 1 z 2
解 （1）消去变量z后得
3 x y , 4
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
空间曲线的一般方程 特点：曲线上的点都满足 方程，不在曲线上的点不 能同时满足两个方程.
z
S1
S2
o
x
C
y
18
x y 1 例1 方程组 表示怎样的曲线？ 2 x 3 y 3z 6
2 2
30
例6： 求椭圆抛物面2 y x z 与抛物柱面 2 x 2 z 的交线关于 xoy面的投影柱面和 在 xoy面上的投影曲线方程.
2 2
解：交线方 程为
2 y x z , 2 2 x z
2 2
消去z 得投影柱面
x 2 y 2 1,
x2 y2 1 在 xoy面上的投影为 . z 0
31
部分空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
32
例7 设一个立体,由上半球面 z 4 x 2 y 2
和 z 3( x 2 y 2 )锥面所围成, 求它在 xoy 面上的投影.
解
半球面和锥面的交线为
z 4 x2 y2 , C : z 3( x 2 y 2 ) ,
消去 z 得投影柱面 x 2 y 2 1,
33
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x 2 y 2 1, z 0.
一个圆,
所求立体在 xoy 面上的投影为
x y 1.
2 2
34
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
5
1. 球面
R 例 4 建立球心在点 M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 、半径为 的球面方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
4
z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？ 例3 方程
解 根据题意有 z 1
用平面z c 去截图形得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
11
z z1 , y1 x 2 y 2 代入 f ( y1 , z1 ) 0 将
得方程
f x 2 y 2 , z 0,
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
播放
7
柱面举例
z
z
y 2x
2
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面
x
y x
8
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y 而缺z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱
28
例5
求抛物面 y 2 z 2 x 与平面 x 2 y z 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.
解
截线方程为
y z x x 2y z 0
2 2
如图,
29
x 2 5 y 2 4 xy x 0 z , （1）消去 得投影 z 0 x 2 5 z 2 2 xz 4 x 0 （2）消去y 得投影 , y 0 y z 2y z 0 . （3）消去x 得投影 x 0