经典的小学奥数行程问题及详解

经典的小学奥数行程问题及详解

经典的小学奥数行程问题及详解

在行程问题中，当考虑两人或两个物体运动时，就有"相向"、"

同向"、"背向"这三种情况。"相向而行"是指两者面对面地行进，其

距离越来越近;"同向而行"是指两者的运动方向相同;"背向而行"是

指两者背对背行进。如果两人或两个物体相向而行，到一定时间就

会相遇;相遇后仍按原方向行进，就会变成背向而行。总之，相向而

行与背向而行，其运动方向都是相反的，所以我们可作如下分类：两人(物体)运动

如果运动路线不是直线，而是一个圆圈(比如我们在操场上进行

环形赛跑)，情况就要复杂一些。这时两人(或物体)如果面对面跑，

那么也就是背对背跑，这两人(或物体)的距离会有"增加--减少--增

加--减少--增加……"的现象;如果不是面对面跑，而是同向跑，那

么速度快的，就会比速度慢的先多跑1圈，然后多跑2圈，3圈，……。这两人(或物体)的距离也会有"增加--减少--增加--减少

--增加……"的现象。对于这些情况，只要到操场上试一试或在纸上

画幅图分析一下，就可以明白。

在行程问题中还有一类顺逆航行的问题。如果航行的工具是轮船，那么常用的相等关系是：

顺水速度=静水速度+水流速度;

逆水速度=静水速度-水流速度。

如果航行的工具是飞机，那么常用的相等关系是：

顺风速度=无风时飞机速度+风速;

逆风速度=无风时飞机速度-风速。

【例1】一条环形跑道长400米。甲练习骑自行车，平均每分钟行驶550米;乙练习长跑，平均每分钟跑250米。两人同时、同地、同向出发，经过多少时间，两人首次相遇?

分析本题是行程问题的追及问题。它有两个相等关系：

甲的路程-乙的路程=环形跑道-圆的周长;

甲用的时间=乙用的时间。

解答设经过x分钟两人首次相遇。根据题意，得方程

550x-250x=400。

解这个方程，得x=1。

答：经过1分钟，甲、乙两人首次相遇。

说明在追及问题中常用的等量关系是：

(1)若甲、乙同地出发，甲先行，则乙追上甲时有：

甲所走的路程=乙所走的.路程;

甲所用的时间=乙所用的时间+甲先行的时间。

(2)若甲、乙同时不同地出发，甲在乙后面，则甲追上乙时有：

甲所走的路程=乙所走的路程+甲、乙出发时的距离;

甲所用的时间=乙所用的时间。

【例2】一架飞机飞行在两城市之间。风速为24千米/时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时。求两个城市之间的飞行路程。

分析一、(设直接未知数)设两个城市之间的飞行路程为x千米，则顺、逆风飞行的路程都是x千米，顺风飞行的速度为千米/时，逆风飞行的速度为千米/时。所以，应该在速度这个量上找相等关系：

∵顺风机速-风速=无风机速;

逆风机速+风速=无风机速，

∴顺风机速-风速=逆风机速+风速。即-24=+24。

二、(设间接未知数)设无风时的机速为x千米/时，则顺风机速为(x+24)千米/时，逆风机速为(x-24)千米/时。又因为时间是已知量，有x和已知量可表示顺、逆飞行的路程，它们应相等。

解法一设两个城市之间的飞行路程为x千米。根据题意，得

-24=+24。

解这个方程，得x=2448。

答：两个城市之间的飞行路程为2448千米。

解法二设无风时飞行的机速为x千米/时。根据题意，得

2(x+4)=3(x-4)。

解这个方程，得x=840。

3(x-4)=3(840-4)=2448。

答：两个城市之间的飞行路程为2448千米。

说明有关船只航行问题可仿此分析解决。