第3章 5 裁剪算法

xmin≤x0+ t· Δx≤xmax ymin≤y0+ t· Δy≤ymax
t· Dk ≤Mk ， k=1，2，3，4 其中： ① D1=-Δx， M1=x0-xmin ② D2= Δx， M2=xmax-x0 ③ D3=-Δy， M3=y0-ymin ④ D4= Δy， M4=ymax-y0 进行公式验证： 公式1表示为： t*- Δx<=x0-xmin-xmin<=x0+t Δx 公式2表示为：t Δx<=xmax-x0- x0+t Δx<=xmax 公式3表示为：t*- Δy<=y0-ymin ymin<=y0+t Δy 公式4表示为： t Δy<=ymax-y0 y0+t Δy<=ymax
①
① 判断线段与窗口的关系。 ② 获取线段与窗口的交点。

基本思想: 对于每条线段算法分成三 种情况处理:



第一种:若线段完全在窗口内,则显示该线段称 “完全可见”,需要“取”之; 第二种：若明显在窗口外,称“完全不可见”.则 丢弃该线段。 第三种:若线段不满足“取”或 “弃”的条件,则 在交点处把线段分为两段. 其中一段完全在窗口 外,可弃之. 然后对另一段重复上述处理。 问题1：用什么方法解决该问题?
线段p1(x1,y1)p2(x2,y2)的参数方程可以表示为：
x=x1+t△x y=y1+t△y 其中,△x=x2-x1, △y=y2-y1，0<=t<=1
P（x，y）代表了该线段上的一个点，其值由参数t确定。 由公式可知，当t=0时，该点为P1（x1，y1），当t=1时，该 点为P2（x2，y2）。 如果点P（x，y）位于由坐标（xmin，ymin）和（xmax，ymax） 所确定的矩形窗口内，那么下式成立：
1.
p2 示例： b
对于A线段， p1 c P1(0000).p2(0000),显示出来 对于线段B p1 p2 a p1 P1(1000),p2(1000),非零，丢弃 p2 d 对于线段C P1(1000),p2(0010),“与”为零，不可判断，对P1 开始，pa=p1，pb=p2，求得pm1（1000），pb与pm1 p2 “与”为零，不可判断， pa=pm1，求得pm2（0010），Pb与pm2 “与”非零，丢弃，pb变为pm2。直到线段长度小于一个给定的值，计算该 点的 编码。对于p2做同样处理，最后得出线段C不可见。 对于选段D： P1(0001),p2(0100), “与”为零，不可判断。 从p1开始， pa=p1，pb=p2，pm1（0100），pbpm1丢弃，pm1代替pb，求 得pm2（0000），pm2与pb“与”，为零 ，pa=pm2，计算pm3（0000）， 最后汇聚成一点。计算该点的编码。对 p2进行同样处理。
D1=-Δx， M1=x0-xmin Dk =0 ② D2= Δx， M2=xmax-x0 ③ D3=-Δy， M3=y0-ymin ④ D4= Δy， M4=ymax-y0 得出结论: 任何平行于窗口某边界的直线，其Dk=0，k值对应于相应 的边界（k=1，2，3，4对应于左、右、下、上边界）。如 果还满足Mk<0，则线段完全在边界外，应舍弃该线段。如 果Dk=0并且Mk≥0，则线段平行于窗口某边界并在窗口内， 见图中所示。 公式还告诉我们：

区域编码
◦ 由窗口四条边所在直线把二维平面分成9个区域,每个区域 赋予一个四位编码,CtCbCrCl,上下右左
1 当y y max 例如：给出直线 AB的 Ct 端点编码。 0 else 1 当y y min A ： 1001 问题 2: 给定一条线段 Cb 0 else B：0010 端点的区域码 ,该如何 1 当x x max 判断属于哪一种情况？ Cr 0 1 Cl 0 else 当x x min else
算法的缺点？

第一,当code1&code2≠0,能判断出直 线段显然在窗口之外. 然而这个条件 并没有包含所有的在窗口之外的直线段,比如: code1=0001,code2=0100,如图 中直线段P3P4,此时, code1&code2=0,但直线段也是完全在窗口之外.这就意 味着这类型的直线必须计算与窗口的边线求交,其实是 一种无意义操作;
1
2 3 4
Sutherlan-Cohen算法 中点分割算法
梁友栋-Barsky算法 Sutherlan-Hodgman逐边裁剪算法
裁剪的意义 为了描述图形对象,我们必须存储它的全部信息,但有时 为了达到分区描述或重点描述某一部分的目的,往往将 要描述的部分置于一个窗口内,而将窗口外的部分“剪 掉”,这个处理过程叫做裁剪,裁剪在计算机图形处理中 具有十分重要的意义。 裁剪就是将指定窗口作为图形边界，将窗口内的图形保 留，而窗口外的图形则被舍弃。 裁剪处理过程 1、图元在窗口内外的判别； 2、图形元素与窗口的求交。


直线裁剪方法
◦ Cohen-Sutherland裁剪算法
◦ 中点分割算法 ◦ 梁友栋－barskey算法

多边形裁剪方法
◦ Sutherland-Hodgman逐次多边形裁剪算法 ◦ Weiler-Atherton多边形裁剪算法
对于线段的裁剪基本思想是：
线段是否全不在窗口里，若是，转5 ② 线段是否全在窗口，若是，转4 ③ 计算该线段与窗口边界的交点，以此将线段分为两部分， 丢弃不可见的部分，剩余线段转2 ④ 保留并显示该线段 ⑤ 算法结束 可以看到算法的核心有两个：
输入线段端点P1，P2 对于端点P0: ① P2是否可见，若可见，则它为离P1最远的可见点，算法 结束 ② Pa=p1，pb=p2，得papb的中点pm，若pm可见，pm代替p1， 否则pm代替p2. ③ 如果papb的长度小于系统设定的一个很小的数，该点即 为找到的点. ④ 算法必须对P2做相同的处理，找到点A。 ⑤ 计算AB的可见性，决定是否显示AB线段.
Cohen-Sutherland算法的实现

算法优点： 1) 简单将不需剪裁的直线舍弃。法则是：若是 一条直线的两头在同一地区，则该直线不需裁剪， 不然，该直线为也许剪裁直线。 2) 对也许剪裁的直线缩小了与之求交的边框范 畴。法则是：若是直线的一个端点在上（下、左、 右）域，则此直线与上边框求交，然后移除上边框 以上的局部。该法则对直线的另一端点也实用。这 样，一条直线至多只需与两条边框求交。



九十年代后期,六十多岁的他积极开展纤维缠绕几何 设计的研究,为我国几何设计与计算机图形学的研究 做出了杰出贡献. 鉴于梁友栋先生的杰出贡献和成就,中国工业与应用 数学学会几何设计与计算专委会授予梁友栋先生第 二届“中国几何设计与计算贡献奖”。 梁友栋和Barsky独立地提出了更快的参数化线段裁 剪算法
如何改进？

第二,对于p1p2,当code 码中同时有两位不等于0 时,求 交运算的次数多达四次. 如图2中直线P1P2 与窗口的四 条边的交点分别为A、B、C、D。而实际上,直线只与窗 口的两条边相交,另外两个交点发生在边的延长线上。




编码裁剪算法需要求线段与边界的交点 如果使用将线段一分为二，那么求交点的过程可以 用二分法逐渐逼近来得到 中点分割算法比较适合硬件实现 如果用软件来实现，中点分割算法的运行速度反而 比编码裁剪算法慢
中心思想： 1. 算法采用了裁剪算法相同的编码和检查办法 2. 先判断完全可见和显然不可见的线段 3. 不能判断的线段使用中点分割方法。 4. 算法从线段的两个端点出发，分别求出离本端点 最远的可见点。 5. 两个可见点之间的线段就是所求的可见线段

算法的思想：
①
百度文库
② ③ ④
对线段p1p2进行编码，如果p1p2可以直接保留或者舍弃， 算法结束，否则进入步骤2. 从p1出发寻找离p1最远的可见点B； 从p2出发寻找离p2最远的可见点A; AB之间的线段就是可见的线段。



80年代初提出了著名的Liang-Barsky裁剪算法,通过 线段的参数化表示，实现快速裁剪,至今仍是计算机 图形学中最经典的算法之一; 80年代末到90年代,梁友栋先生致力于几何连续性的 研究,提出了一系列几何连续性方面的理论和方法,成 为国际上几何连续性研究的重要力量; 1991年梁友栋先生为首完成的成果“计算机图形生 成与几何造型研究”获国家自然科学三等奖;
问题3:如何求交点？ 问题4:如何才能使 算法效率高？
求交点：
已知线段的两个端点（x1,y1）,(x2,y2)，直线的方程 为y=k(x-x1)+y1,其中k=(y2-y1)/(x2-x1) ② 交点为： 上：y=YT 左： x=XL x=x1+(1/k)(YT-y1) y=k(XL-x1)+y1 右： x=XR 下：y=YB y=k(XR-x1)+y1 x=x1+(1/k)(YB-y1)
y yT yB P0 xL A B
P1 C
D
设要裁剪的线段是P0P1。 P0P1和
窗口边界交于A,B,C,D四点.
算法的基本思想是从A,B和P0三点
xB
x
中找出最靠近P1的点，图中要找 的点是B; 从C,D和P1中找出最靠 近P0的点。图中要找的点是C点。 那么BC就是P0P1线段上的可见部 分。
p1

梁友栋-Barsky算法(Liang-Barsky算法)


写入图形学教科书的唯一中国人的算 法
梁有栋教授的贡献

Liang-Barsky算法 几何连续理论 从几何学与纤维缠绕理论到基因工程


梁友栋先生出生于1935年7月,福建福州人. 19561960年于复旦大学作为研究生，师从苏步青先生学 习几何理论,1960年研究生毕业后任教于浙江大学 数学系,1984-1990年任数学系主任. 一直致力于计算机辅助几何设计与计算机图形学方 面的研究.
①
◦ 对于那些非完全可见、又非显然不可见的线段, 需要求交(如,线段CD) 求交前先测试与窗口哪条边所在直线有交？ 规则:判断端点编码中各位的值CtCbCrCl 分别对应:上、下、右和左边 端点码位值等于1时,说明线段与对应窗口边 相交 次序:上、下、右和左边 以交点为界,丢弃外侧线段, 以交点为新端点判断另一线段, 重复上述过程
A
B
若P1P2完全在窗口内, code1=0,且code2=0,则“取”; 若P1P2明显在窗口外code1&code2≠0，则“弃” ; 若P1P2明显在窗口外code1&code2=0，则不确定 ; 在交点处把线段分为两段。其中一段完全在窗口外，可弃
之。然后对另一段重复上述处理。
如:CD C:0000 D:1000 Dt位等于1,与上边相交
9
8
10
1 2
AB:与窗口左边相交,求交点H, AH和BH显然不可见
EF:与窗口上边交点I,弃EI 与窗口下边交点K,弃KF 与窗口右边交点J,弃KJ 保留IJ
0
5 4 6
E
I
L M J
C
CD:与窗口上边交点L, 弃CL DO G 与窗口下边交点O, 弃OD H 与窗口右边交点M, 弃LM 与窗口左边交点N, 弃NO 保留MN 求交次数最多 可达？
A
N B
K F
最多求交次数 为4

Cohen—SutherLand直线裁剪算法 直线和窗口的关系可以分为如下三类： 1) 整条直线在窗口之内，此时，不需裁剪，显 现整条直线。 2) 整条直线在窗口之外，此时，不需裁剪，不 显现整条直线。 3) 局部直线在窗口之内，局部直线在窗口之外， 此时，必要求出直线与窗框之交点，并将窗口外的 直线局部剪裁掉，显现窗口内的局部。
第三章





裁剪是抽取数据的一部分，或者识别一个指定区域 内部或外部的画面或图片的成分的过程。 按照被裁剪的图形可以分为：二维裁剪算法和三维 裁剪算法 按照裁剪区域的形状可以分为：规则区域和不规则 区域 本章二维裁剪算法只考虑举行和多边形，裁剪的对 象只考虑点、线段、多边形、字符等。 三维裁剪算法只考虑正方体和平截头正四棱锥两种 裁剪盒，裁剪对象只考虑线段。

区域编码
◦ 由窗口四条边所在直线把二维平面分成9个区域,每个区域 赋予一个四位编码,CtCbCrCl,上下右左
1 Ct 0 1 Cb 0 1 Cr 0 1 Cl 0 当y y max else 当y y min else 当x x max else 当x x min else