同余法解题 (2)

五年级奥数培训资料

第六讲同余法解题

一、同余这个概念最初就是由德国数学家高斯发明的。同余的定义就是这样的: 两个整数,a,b,如果她们同时除以一个自然数m,所得的余数相同,则称a,b对于模m同余。。记作a≡b(mod、m)。读作:a同余于b模m。同余的性质也比较多,主要有以下一些: 1、、对于同一个除数,两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

例如201 ×95的乘积对于除数7,与201÷7的余数5与95÷7的余数4的乘积20对于7同余。

2、、对于同一个除数,如果有两个整数同余,那么它们的差就一定能被这个除数整除。例如519与399对于一个除数同余,那么这个除数一定就是519与399的差的因数,即519与399的差一定能被这个除数整除。

3、、对于同一个除数,如果两个数同余,那么她们的乘方仍然同余。

例如20与29对于一个除数同余,那么20的任何次方都与29的相同次方对于这个除数

同余,当然余数大小随次方变化。

4.对于同一个除数,若三个数a≡b(mod m),b≡c(mod m),那么a,b,c三个数对于除数m都同余(传递性)

例如60与76同余于模8,76与204同余于模8,那么60,76,204都同余于模8。

5、对于同一个除数, 若四个数a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么a±c≡c±d(mod m),(可加减性)

6、对于同一个除数, 若四个数a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么ac≡cd(mod m),(可乘性)

二、中国剩余定理解法

一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小就是几？

解法:

求3个数:第一个:能同时被3与4整除,但除以5余4,即12X2＝24

第二个:能同时被4与5整除,但除以3余1,即20X2＝40

第三个:能同时被3与5整除,但除以4余2,即15x2＝30

这3个数的最小公倍数为60,

所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=34

12X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。

三、解题技巧

同余口诀:“差同减差,与同加与,余同取余,最小公倍n倍加”这就是同余问题的口诀。1)、差同减差:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的差相同,此时反求的这个

数,可以选除数的最小公倍数,减去这个相同的差数,称为:“差同减差”。例:“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”,因为4-1=5-2=6-3=3,所以取-3,表示为60-3或者60n-3 2)、与同加与:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的与相同,此时反求的这个

数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的与数,称为:“与同加与”。例:“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,因为4+3=5+2=6+1=7,所以取+7,表示为60n+7。

3)、余同取余:用一个数除以几个不同的数,得到的余数相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的余数,称为:“余同取余”。例:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,因为余数都就是1,所以取+1,表示为60n+1。

4)、最小公倍加:所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即上面1、2、3中的60n)都满足条件,称为:“最小公倍n倍加”,也称为:“公倍数作周期”。

三、例题解评

例1:判定288与214对于模37就是否同余

思路点拨:可直接由定义判断。

解:∵288-214=74=37×2

∴288≡214(mod 37)

例2、用412、133与257除以一个相同的自然数,所得的余数相同,这个自然数最大就是几？

【解析】假设这个自然数就是a,因为412、133与257除以a所得的余数相同,所以a｜(412－133),a｜(412－257),a｜(257－133),说明a就是以上三个数中任意两数差的约数,要求最大就是几,就就是求这三个差的最大公约数。(155,124,279)=31,所以a最大就是31。

例3、249×388×234除以19,余数就是几？

【解析】如果把三个数相乘的积求出来再除以19,就太麻烦了,利用同余思想解决就容易了。

因为249≡2(mdo19), 388≡8(mdo19),234≡6(mdo19),

所以249×388×234≡2×8×6≡1(mdo19)

此题应用了同余的可乘性,同余的传递性。

例4:求1992×59除以7的余数。

思路点拨:可应用性质2,将1992×59转化为求1992除以7与59除以7的余数的乘积,使计算简化。

解:∵1992≡4(mod 7),59≡3(mod 7)

∴根据性质5可得:1992×59≡4×3(mod 7),余数为12÷7的余数。

答:1992×59除以7的余数就是5。

例5:自然数16520、14903、14177除以m的余数相同,m的最大值就是多少？

思路点拨:自然数16520、14903、14177除以m的余数相同,也就就是

16520≡14903≡14177(mod m)

根据同余补充定义,这三个数同余,那么它们的差就能被m整除。要求m最大就是多少,就就是求它们差的最大公约数就是多少。

解:因为16520-14903=1617

16520-14177=2343

14903-14177=726

(1617、2343、726)=33

所以m的最大值就是33。

〖评注〗实际上,这三个差数还可以继续两两相减,得到1617-726=891,891-726=165,算出726与165的最大公约数即可,通常其结果与上面相同。

例6:在除13511,13903,及14598时能剩下相同余数的最大整数就是几？

思路点拨:根据同余的性质,若几个数被同一个数除,余数相同,则这几个数中两两相减的差必能被这个数整除。所以这个数应就是这三个数两两相减后所得数的最大公约数。解:这两个数两两只减的差就是:

13903-13511=392

14598-13903=686

14589-13511=1078

因为(392,686,1078)=98,所以这个数就是98。

也可以以上三个差再两两相减,得686-392=294,再392-294=98

答:这个最大整数就是98。

例7:一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3。这样的三位数共有几个？

思路点拨:由中国剩余定理解法求。

解法:

求3个数:第一个:能同时被9与5整除,但除以4余3,即45X3＝135

第二个:能同时被4与5整除,但除以9余7,即20X8＝160

第三个:能同时被9与4整除,但除以5余2,即36x2＝72

这3个数的最小公倍数为180,

所以满足条件的最小数字为135＋160+72-180=187

7＋180×5=907＜1000

7＋180×6=1087＞1000

所以符合条件的三位数共有5个。分别就是7＋180×n(n=1,2,4,5)、

答:这样的三位数共有5个。

例8、有一个1997位数,它的每个数位都就是2,这个数除以13,商的第100位就是几？最后余数就是几？

【解析】这个数除以13,商就是有规律的。

商就是170940六个数循环,那么,即,我们从左向右数“170940”的第4个数就就是我们找的那个数“9”,所以商的第100位就是9。

余数就是几呢？