同余法解题 (2)
同余法解题完整版
同余法解题集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。
同余的定义是这样的：两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。
记作a≡b（mod.m）。
读作：a同余于b模m。
同余的性质也比较多，主要有以下一些：1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
例如201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。
2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个除数整除。
3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。
例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。
4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。
5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d （mod m），（可加减性）6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）二、中国剩余定理解法一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？解法：求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30这3个数的最小公倍数为60，所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=3412X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。
同余法解题
五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初就是由德国数学家高斯发明得。
同余得定义就是这样得: 两个整数,a,b,如果她们同时除以一个自然数ｍ,所得得余数相同,则称ａ,b对于模m同余。
记作a≡b(moｄ.ｍ)、读作:a同余于ｂ模ｍ。
同余得性质也比较多,主要有以下一些: 1、.对于同一个除数,两个数得乘积与它们余数得乘积同余。
例如20１ ×９5得乘积对于除数7,与2０1÷７得余数5与95÷７得余数４得乘积20对于7同余。
2.、对于同一个除数,如果有两个整数同余,那么它们得差就一定能被这个除数整除。
例如51９与３99对于一个除数同余,那么这个除数一定就是519与3９9得差得因数,即５19与399得差一定能被这个除数整除。
３..对于同一个除数,如果两个数同余,那么她们得乘方仍然同余。
例如２0与29对于一个除数同余,那么2０得任何次方都与２9得相同次方对于这个除数同余,当然余数大小随次方变化。
4、对于同一个除数,若三个数a≡b(moｄm),ｂ≡c(moｄm),那么a,b,ｃ三个数对于除数m都同余(传递性)例如６０与7６同余于模８,76与204同余于模８,那么60,76,204都同余于模８、5。
对于同一个除数,若四个数ａ≡ｂ(mｏdｍ),ｃ≡d(mｏd m),那么a±ｃ≡c±d(mod m),(可加减性)6。
对于同一个除数, 若四个数a≡b(mod m),c≡ｄ(modｍ),那么ac≡cｄ(mｏd m),(可乘性)二、中国剩余定理解法一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小就是几?解法:ﻫ求３个数:第一个:能同时被3与4整除,但除以5余4,即１2X2=2４ﻫ第二个:能同时被４与5整除,但除以３余1,即20X2＝40第三个:能同时被3与5整除,但除以4余2,即15x2＝30ﻫ这3个数得最小公倍数为6０, 所以满足条件得最小数字为24+４0+30-60=３412X2=24 20Ｘ2＝４０15x2＝30中2得来历。
同余定理解法的其他情况 (2)
同余定理分三类:口诀套用，化余为一，其他“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。
所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。
1、差同减差:用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为:“差同减差”。
例:“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。
【60后面的“n”请见4、，下同】2、和同加和:用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为:“和同加和”。
例:“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。
3、余同取余:用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为:“余同取余”。
例:“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。
4、最小公倍加:所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即上面1、2、3中的60n)都满足条件，称为:“最小公倍加”，也称为:“公倍数作周期”。
余数问题中的一个重要问题就是同余问题，在同余问题解决过程中，推荐代入法和口诀法两大类。
其中口诀法是公倍数做周期，余同取余，和同加和，差同减差的应用，但是有时候会出现余不同，和不同并且差也不同的现象，这就需要我们采用剩余定理进行解决。
剩余定理的原理比较繁琐，不如直接套用解题方法进行快速解题更能解决行测中的类似问题。
下面给出一些例题，对剩余定理的解题方法加以熟练:【例1】一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是多少?题中3、4、5三个数两两互质。
数论中的同余定理与同余方程的解法
数论中的同余定理与同余方程的解法数论是研究整数性质和整数运算规律的数学分支。
同余定理和同余方程是数论中重要的概念和工具。
本文将介绍同余定理的基本思想和应用，以及解决同余方程的常见方法。
一、同余定理同余是指两个整数除以同一个数所得的余数相等。
同余定理是数论中的一个基本理论，用于刻画整数之间的关系。
设a、b和n都是整数，n>0，我们称a与b关于模n同余，记作a≡b(mod n)，当且仅当n|(a-b)。
同余定理可以分为以下几条：1. 同余的基本性质（1）自反性：a≡a(mod n)（2）对称性：若a≡b(mod n)，则b≡a(mod n)（3）传递性：若a≡b(mod n)，b≡c(mod n)，则a≡c(mod n)2. 同余的运算性质（1）加法：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a+c≡b+d(mod n)（2）减法：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a-c≡b-d(mod n)（3）乘法：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a*c≡b*d(mod n)3. 同余的整除性质若a≡b(mod n)，则m|a的充分必要条件是m|b。
同余定理不仅在数论中有重要应用，还广泛用于密码学、计算机科学等领域。
二、同余方程的解法同余方程是形如ax≡b(mod n)的方程，其中a、b和n为已知整数，x 为未知整数。
解同余方程可以通过以下几种方法：1. 借助同余定理直接解法：若gcd(a,n)|b，方程ax≡b(mod n)存在解。
具体解法为，求出gcd(a,n)的一个解d，然后将方程两边同时除以d，得到新方程a'x≡b' (mod n')，其中a'、b'和n'为新方程的系数，满足gcd(a',n')=1，然后再求解新方程，最后合并得到原方程的所有解。
2. 中国剩余定理：中国剩余定理是解决同余方程组的一种有效方法。
4.同余法解题
应用同余问题专题简析：同余的性质比较多，主要有以下一些：性质（1）：对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。
比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。
“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。
也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5）性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。
应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。
把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。
例题1：求1992×59除以7的余数。
练习1：1、求1339655×12除以13的余数。
2、求879×4376×5283除以11的余数。
例题2：已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？练习2：1、已知2002年的“七月一日”是星期一。
求2015年的“十月一日”是星期几？2、今天是星期四，再过365的15次方是星期几？例题3：求2001的2003次方除以13的余数。
练习3：1、求3的92次方除以21余几。
2、9个小朋友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平均分给他们，最后剩下几粒？例题4：某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是几？练习4：1、某数除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此数最小值。
2、 求123456789123456789++++++++的结果除以3的余数。
3、 把1至2002这2002个自然数依次写下来，得到一个1234200020012002A =试求A除以9的余数。
小学的奥数同余问题
同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。
如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。
很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7）“”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：2. 同余的性质（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。
）（2）若，那么（这称作同余的对称性）（3）若，，则（这称为同余的传递性）（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）（称为同余的可乘性）（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果那么（的差一定能被k整除）这是为什么呢？k也就是的公约数，所以有下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？分析与解答：假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31。
例2. 除以19，余数是几？分析与解答：如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
所以此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几最后余数是几分析与解答：这个数除以13，商是有规律的。
商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。
余数是几呢？则所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。
同余法解题
精心整理五年级奥数培训资料第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。
同余的定义是这样的：?两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。
记作a≡b（mod.m）。
读作：a同余于b模m。
?同余的性质也比较多，主要有以下一些：1..对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
例如201?×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。
2..对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一?定能被这个除数整除。
? 例如519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一? 定能被这个除数整除。
?3..对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。
例如20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。
??4．对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余（传递性）例如60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。
5. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d （mod m），（可加减性）6. 对于同一个除数，若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（modm），（可乘性）二、中国剩余定理解法一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？解法：求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4，即12X2＝24第二个：能同时被4和5整除，但除以3余1，即20X2＝40第三个：能同时被3和5整除，但除以4余2，即15x2＝30这3个数的最小公倍数为60，所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=3412X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。
高中数学竞赛专题训练讲座：同余部分的例题与习题
同余的概念与应用概念与性质1. 定义：若整数a,b 被整数m(m≥1)除的余数相同,则称a 同余于b 模m,或a,b 对模m 同余.记为a≡b(modm).余数r:0≤r<1.2. 性质：(ⅰ)a≡b(modm)⇔m|a-b,即a=b+mk,k ∈Z.(ⅱ)若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm).(ⅲ)若a 1≡b 1(modm),a 2≡b 2(modm)，则a 1±a 2≡b 1±b 2(modm),a 1a 2≡b 1b 2(modm);(ⅳ)设f(x)=a n x n +a n-1x n-1+…+a 1x+a 0,g(x)=b n x n +b n-1x n-1+…+b 1x+b 0是两个整系数多项式,满足a i ≡ b i (modm)(0≤i≤n).若a≡b(modm),则f(a)≡f(b)(modm).(ⅴ)ac≡bc(modm)⇔a≡b(mod ),(m c m ), (ⅵ)若m≥1,(a,m)=1,则存在整数c 使得ac≡1(modm).称c 为a 对模m 的逆或倒数,记为c=a -1(modm); (ⅶ)⎩⎨⎧≡≡)(mod )(mod 21m b a m b a 同时成立⇔≡a b (mod[m 1,m 2]);(ⅷ)若a≡b(modm 1),a≡b(modm 2),且(m 1,m 2)= 1,则a≡b(modm 1m 2).3. 剩余类：设m 为正整数，把全体整数按对模m 的余数分成m 类，相应m 个集合记为：K 0,K 1,…,K m-1,其中K r ={qm+r|q ∈Z,0≤余数r≤m -1}称为模m 的一个剩余类。
性质：(ⅰ)i m i K Z 10-≤≤= 且K i ∩K j =φ(i≠j).(ⅱ)每一整数仅在K 0,K 1,…,K m-1一个里.(ⅲ)对任意a 、b ∈Z ，则a 、b ∈K r ⇔a≡b(modm).4. 完全剩余系：设K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类，从每个K r 里任取一个a r ，得m 个数a 0,a 1,…,a m-1组成的数组，叫做模m 的一个完全剩余系。
小学奥数 数论 余数问题 同余问题.题库版
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2003年，人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
同余方程的解法
同余方程的解法同余方程是数论中的重要内容，研究同余方程的解法对于解决一些数学问题具有重要的意义。
本文将介绍同余方程的求解方法及其应用。
一、基本概念在开始讨论同余方程的解法之前，我们先来了解一些基本概念。
1. 同余关系：设a、b、m是整数，如果m能整除(a-b)，即(a-b)是m 的倍数，则称a与b同余，记作a≡b(mod m)。
2. 同余方程：形如ax≡b(mod m)的方程称为同余方程，其中a、b、m是已知整数，x是待求的整数。
二、同余方程的解法解同余方程的关键是找到满足条件的整数解。
下面将介绍三种常见的解法。
1. 试错法：通过尝试不同的整数值，检验是否满足同余关系来求解同余方程。
当方程较简单时，这种方法可以很快得到解。
但对于复杂的方程，试错法并不是一个高效的解题方法。
2. 求模逆法：对于一些特定的同余方程，可以通过求解模逆来得到解。
若a存在模逆，即存在整数a'，使得aa'≡1(mod m)，则同余方程ax≡b(mod m)的解为x≡ba'(mod m)。
3. 扩展欧几里德算法：对于一般的同余方程，可以利用扩展欧几里德算法来求解。
该算法可以求解形如ax+my=gcd(a,m)的线性方程，进而得到同余方程的解。
三、同余方程的应用同余方程是数论的重要工具，在密码学、编码理论、计算机科学等领域有广泛的应用。
1. 密码学：同余方程在RSA加密算法中起到了关键作用。
RSA算法依赖于大素数因子分解的困难性，而同余方程的求解正是对此问题的解答。
2. 编码理论：同余方程可以用于解码、纠错码的设计以及信息传输中的误差检测和纠正等方面。
3. 计算机科学：同余方程在计算机科学中有着广泛的应用，例如在计算机图形学中用于生成伪随机数、在计算机网络中用于数据包分组与重组等。
四、总结同余方程作为数论中的一个重要内容，具有重要的理论和应用价值。
本文介绍了同余方程的基本概念、解法以及一些应用领域。
了解并掌握同余方程的求解方法，对于深入理解数论以及解决实际问题具有重要的意义。
小升初奥数同余问题
同余问题被除数÷除数=商＋余数（余数＜除数）同余定理 1 如果a，b除以c的余数相同，那么我们说a，b对于c是同余的。
并且我们说a，b之间的差能被c整除。
（a b c三个数都是自然数）例1：有一个大于1的数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数可能是多少？习题1：已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a 和b的值.同余定理 2 a和b的积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积或者这个余数的积再除以c所得的余数。
（a b c均为自然数）例2：22003除以7的余数是多少？习题2：3145368765987657的积,除以4的余数是_____.例3：今有一类数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2.试问这个类数最小那个又什么？（中国剩余定理）分析：此题就是国际上有名的“中国剩余定理”，早在中国古代人们就中国人民就掌握了这种题型的解法。
此题解法很多，在此介绍同余尝试法。
在附录中有此种题型的一般解法。
题目中给出的条件比较多，假如一开始就同时考虑三个条件，由于关系复杂很难一下子看出答案。
所以应该先考虑其中的一个条件，进而考虑其中的两个条件，最后考虑三个条件，以求出最后答案。
一般应该先考虑除数最大的那个条件，即找出除以7余2的数：2 ，9 ，16 ，23，30，37，43，50，57,,在此，我们必须在上面的数列中找出满足第二个条件的数，即除以5余3的数，显然，23，23+5×7，23+5×7×2，23+5×7×3，23+5×7×4,,以上数列都能满足前面两个要求。
所以，能够满足‘除以7余2，除以5余3’这两个条件的数有23，58，93，128，163，198，233，268，303，338,,接下去，我们要继续考虑第三个条件，以上数列中满足除以3余数是2的数，显然23，23+5×7×3，23+5×7×3×2，23+5×7×3×3,,综上，我们发现23，128，233，338，443,,均能满足‘除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2’，其中最小的数是23。
第32讲 同余问题
第32讲同余问题【培训提示】1．同余问题的解题方法和步骤。
2．运用同余问题的性质巧解实际问题。
(1)如果a、b两个整数除以自然数c所得余数相同，就称整数a、b对于除数c来说是同余的。
(2)性质：①如果两个整数a与b被c除所得的余数相同，那么(a－b)能被c整除。
例如：若32÷6＝5……2，26÷6＝4……2，则(32－26)÷6＝1。
②如果被除数增加(或减少)除数的若干倍，除数不变，那么余数也不变。
例如：若l3÷4＝3……l，则(13＋4×2)÷4＝5……l(除数不变)。
③如果被除数扩大(或缩小)若干倍，除数不变，那么余数也扩大(或缩小)相同的倍数。
例如：若20÷7＝2……6则(20÷2)÷7＝1……3(余数也缩小2倍)④a和b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。
例如，23、16除以5的余数分别为3和1，所以(23+16)除以5的余数等于3+1-----4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，24、17除以5的余数分别为4和2，所以(24+17)除以5的余数等于(4+2)除以5的余数。
⑤a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。
例如，(7×6)÷5的余数可直接求42÷5＝8……2。
又可以用7÷5＝1……2，6÷5＝1……l，再用余数也能相乘得2×1＝2。
又比如，求(48X 9)÷7的余数，可用48÷7＝6……6，9÷7＝1……2，再用余数的积6×2去除以7所得余数为5。
【培训示倒】例1判断237与329对于除数46是否同余? 165与103呢?例2一个整数除300、254、185所得余数相同(不为0)，问这个整数是多少?例3一个数除以3余1，除以4余2，除以5余2，这个数最小是多少?例4 3月19日是星期六，从3月18日作为第一天开始往回数(即3月17日为第二天，l6日为第三天……)的第2005天是星期几?例5有一个整数，用它去除70、112、161，得到的三个余数之和是53，求这个数。
同余法解二元一次方程
同余法解二元一次方程
同余法是一种解决二元一次方程的方法，它可以帮助我们找到
方程的整数解。
在这篇文章中，我们将介绍同余法的基本原理和解
题步骤。
首先，让我们来看一个简单的二元一次方程，ax ≡ b (mod m)，其中a、b和m都是整数，m大于0。
这个方程的意思是，当ax除以
m的余数等于b除以m的余数时，我们称x是这个方程的解。
现在，我们来看一下如何使用同余法来解这个方程。
首先，我
们需要计算a的逆元。
如果a和m互质，即它们的最大公约数为1，那么a关于模m的逆元一定存在。
我们可以使用扩展欧几里得算法
来求解a关于模m的逆元。
假设a关于模m的逆元为a'，那么方程
的解可以表示为x ≡ a'b (mod m)。
接下来，我们可以通过计算a'和b的乘积再对m取模来求得x
的值。
这样我们就得到了方程的解。
让我们通过一个具体的例子来说明同余法的应用。
假设我们要
解方程3x ≡ 2 (mod 7)。
首先，我们需要计算3关于模7的逆元。
通过扩展欧几里得算法，我们可以得到3关于模7的逆元为5。
然后，我们可以计算x的值，即x ≡ 52 (mod 7)，最终得到x ≡ 3 (mod 7)。
因此，方程3x ≡ 2 (mod 7)的解为x ≡ 3 (mod 7)。
通过上面的例子，我们可以看到同余法是一种简单而有效的方法来解决二元一次方程。
它可以帮助我们找到方程的整数解，特别是在模运算的情况下。
希望本文对同余法的理解有所帮助。
同余问题
“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。
所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。
1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。
例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。
【60后面的“n”请见4、，下同】2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。
例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。
3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。
例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。
4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件，称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。
1求437×309×1993被7除的余数。
思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7除的余数为1。
但是能否寻找更为简变的办法呢？437≡3（mod7）309≡1（mod7）由“同余的可乘性”知：437×309≡3×1（mod7）≡3（mod7）又因为1993≡5（mod7）所以：437×309×1993≡3×5（mod7）≡15（mod7）≡1（mod7）即：437×309×1993被7除余1。
小学奥数：同余问题.专项练习及答案解析
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题【解析】 (法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12． 【答案】4,6,12【例 2】 某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.【考点】两个数的同余问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】 “加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
初中数学重点梳理：同余式
同余式知识定位数论是初中数学竞赛比较重要的一个知识点，在历年竞赛中占据非常发比例，其中同余理论是初等数论中的重要内容之一，其同余式概念及应用，剩余系概念要熟练掌握。
本文归纳总结了同余的若干性质，将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、同余概念定义1：给定一个正整数m，如果用m去除a，b所得的余数相同，则称a与b对模m 同余，记作a≡b(modm)，并读作a同余b，模m。
（1）若a与b对模m同余，由定义1，有a=mq1＋r，b=mq2+r．所以a-b=m(q1-q2)，即m｜a-b。
反之，（2）若m｜a-b，设a=mq1＋r1，b=mq2＋r2，0≤r1，r2≤m-1，则有m｜r1-r2．因｜r1-r2｜≤m-1，故r1-r2=0，即r1＝r2。
于是，我们得到同余的另一个等价定义：定义2：若a与b是两个整数，并且它们的差a-b能被一正整数m整除，那么，就称a与b对模m同余．2、同余定理定理1：（1）a≡a(modm)．（2）若a≡b(modm)，则b≡a(modm)．（3）若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)．定理2：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．证：由假设得m｜a-b，m｜c-d，所以m｜(a±c)-(b±d)，m｜c(a-b)＋b(c-d)，即a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．由此我们还可以得到：若a≡b(modm)，k是整数，n是自然数，则a±k≡b±k(modm)，ak≡bk(modm)，a n≡b n(modm)．定理3：若ac≡bc(modm)，且(c，m)=1，则a≡b(modm)．定理4： 若n ≥2，a ≡b(modm 1)，a ≡b(modm 2)，…………a ≡b(modm n )，且M=[m 1，m 2，…，m n ]表示m 1，m 2，…，m n 的最小公倍数，则a ≡b(modM)3、剩余类和完全剩余系全体整数集合可按模m 来划分：当且仅当()mod a b m ≡时，a 和b 属于同一类。
同余方程解法例题
同余方程解法例题同余方程是数学中最著名的内容之一，它有着重要的地位。
在解决数学问题时，经常会用到同余方程来求解，从而获得客观的结果。
本文将着重介绍同余方程的概念及其解法，以及使用此解法解决实际问题的实例，旨在帮助读者更好地理解并使用同余方程的解法。
2余方程的定义所谓“同余”，即指两个数之间的比率为固定的数值，其关系用数学语言表示如下：若存在整数m，n且m≠0，则称对任意整数a，b满足以下条件： a b (mod m)若m=1，则所有数字都满足此条件，即所有数字都“同余”，故称可用以上公式描述的关系为“同余方程”。
3余方程的解法由定义可知，同余方程是一种又称为“模运算”的特殊运算。
其通用的解法可以分为以下四步：1.‘a b (mod m)’用加减乘除运算转换为‘a=mk+b’的形式，即完全平方形式；2.‘a=mk+b’形式拆解成‘a=x*m+y’，此时通常会有两种情况： 1）当m与b互质时，可以利用扩展欧几里得算法，利用反模法求出x,y的整数解；2）当m与b不互质时，可以使用中国剩余定理求出满足条件的x,y。
3.x,y得到a,b；4.查a,b是否满足同余方程。
4例分析本节将以实例来详细讨论同余方程的解法，实例详解如下：例题：（1）求104×x+103 -1 (mod 105)的解；（2）求23×x+22 5 (mod 7)的解。
（1）首先将该同余方程整理为完全平方形式：104×x+103 = 106-1；此时105与-1互质，使用扩展欧几里得算法，求解出x=-2,y=107；因此，有x=-2,y=107，从而a=-104×(-2)+103=-207， b=-1；因此，答案为：104×(-2)+103 -1 (mod 105)；（2）首先将该同余方程整理为完全平方形式：23×x+22 = 7×3+5；7与5互素，可以采用中国剩余定理求解，假设当x≡p (mod 7)时，23×x+22 5 (mod 7)有解；由此，可以得到：23p-37的倍数，也即23p 3 (mod 7)；令23p-3=7k，可得：p=3k+3；解出p=3k+3，则x=3k+3，y=3；因此，有x=3k+3，y=3，从而a=23×(3k+3)+22=69k+65， b=5；因此，答案为：23×(3k+3)+22 5 (mod 7)。
同余定理的经典例题
同余定理的经典例题标题：同余定理的经典例题及其拓展正文:同余定理是数学中的一个重要定理，它被广泛应用于数论、代数和图论等领域。
该定理给出了一个整数与另一个整数的余数关系，即对于任意两个整数 $a$ 和 $b$,它们除以同一个非零整数 $d$,则有:$$a equiv b pmod d$$上面的等式表示 $a$ 与 $b$ 模 $d$ 同余。
同余定理有许多经典例题，下面将对其中的一些进行介绍。
1. 求解 $x^2 + xy + y^2 = 1$ 的整数解。
这是一个著名的数论问题，它的解被称为勾股数。
根据同余定理，我们可以求出 $x$ 和 $y$ 模 $4$ 的余数:$$(x^2 + xy + y^2) equiv (x + y)^2 pmod 4$$由于 $2$ 是 $4$ 的倍数，因此 $(x+y)^2 equiv 0 pmod 4$,即 $x+y$ 模 $4$ 余 $0$ 或 $2$。
根据同余定理，我们可以得到: $$x^2 + xy + y^2 equiv x^2 + xy pmod 4$$即 $x^2 + xy$ 模 $4$ 余 $x^2 + xy$。
我们可以通过递归的方法求解 $x$ 和 $y$ 的值，最终得到 $x = frac{1+3sqrt{5}}{2}$ 和$y = frac{1-3sqrt{5}}{2}$ 是 $x^2 + xy + y^2 = 1$ 的整数解。
2. 求解 $x^3 + 3x^2 + 2x - 10 = 0$ 的整数解。
这是一个著名的代数问题，它的解被称为循环质数。
根据同余定理，我们可以求出 $x$ 模 $3$ 的余数:$$(x^3 + 3x^2 + 2x - 10) equiv (x^3 + 3x^2) pmod 3$$ 由于 $2$ 是 $3$ 的倍数，因此 $(x^3 + 3x^2) equiv 0 pmod 3$,即 $x^3 + 3x^2$ 模 $3$ 余 $0$ 或 $2$。
小学奥数教程：同余问题_全国通用(含答案)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711-（）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 (法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
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五年级奥数培训资料
第六讲同余法解题
一、同余这个概念最初就是由德国数学家高斯发明的。
同余的定义就是这样的: 两个整数,a,b,如果她们同时除以一个自然数m,所得的余数相同,则称a,b对于模m同余。
记作a≡b(mod、m)。
读作:a同余于b模m。
同余的性质也比较多,主要有以下一些: 1、、对于同一个除数,两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
例如201 ×95的乘积对于除数7,与201÷7的余数5与95÷7的余数4的乘积20对于7同余。
2、、对于同一个除数,如果有两个整数同余,那么它们的差就一定能被这个除数整除。
例如519与399对于一个除数同余,那么这个除数一定就是519与399的差的因数,即519与399的差一定能被这个除数整除。
3、、对于同一个除数,如果两个数同余,那么她们的乘方仍然同余。
例如20与29对于一个除数同余,那么20的任何次方都与29的相同次方对于这个除数
同余,当然余数大小随次方变化。
4.对于同一个除数,若三个数a≡b(mod m),b≡c(mod m),那么a,b,c三个数对于除数m都同余(传递性)
例如60与76同余于模8,76与204同余于模8,那么60,76,204都同余于模8。
5、对于同一个除数, 若四个数a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么a±c≡c±d(mod m),(可加减性)
6、对于同一个除数, 若四个数a≡b(mod m),c≡d(mod m),那么ac≡cd(mod m),(可乘性)
二、中国剩余定理解法
一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小就是几？
解法:
求3个数:第一个:能同时被3与4整除,但除以5余4,即12X2＝24
第二个:能同时被4与5整除,但除以3余1,即20X2＝40
第三个:能同时被3与5整除,但除以4余2,即15x2＝30
这3个数的最小公倍数为60,
所以满足条件的最小数字为24＋40+30-60=34
12X2＝24 20X2＝40 15x2＝30中2的来历。
三、解题技巧
同余口诀:“差同减差,与同加与,余同取余,最小公倍n倍加”这就是同余问题的口诀。
1)、差同减差:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的差相同,此时反求的这个
数,可以选除数的最小公倍数,减去这个相同的差数,称为:“差同减差”。
例:“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”,因为4-1=5-2=6-3=3,所以取-3,表示为60-3或者60n-3 2)、与同加与:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的与相同,此时反求的这个
数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的与数,称为:“与同加与”。
例:“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,因为4+3=5+2=6+1=7,所以取+7,表示为60n+7。
3)、余同取余:用一个数除以几个不同的数,得到的余数相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的余数,称为:“余同取余”。
例:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,因为余数都就是1,所以取+1,表示为60n+1。
4)、最小公倍加:所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即上面1、2、3中的60n)都满足条件,称为:“最小公倍n倍加”,也称为:“公倍数作周期”。
三、例题解评
例1:判定288与214对于模37就是否同余
思路点拨:可直接由定义判断。
解:∵288-214=74=37×2
∴288≡214(mod 37)
例2、用412、133与257除以一个相同的自然数,所得的余数相同,这个自然数最大就是几？
【解析】假设这个自然数就是a,因为412、133与257除以a所得的余数相同,所以a｜(412－133),a｜(412－257),a｜(257－133),说明a就是以上三个数中任意两数差的约数,要求最大就是几,就就是求这三个差的最大公约数。
(155,124,279)=31,所以a最大就是31。
例3、249×388×234除以19,余数就是几？
【解析】如果把三个数相乘的积求出来再除以19,就太麻烦了,利用同余思想解决就容易了。
因为249≡2(mdo19), 388≡8(mdo19),234≡6(mdo19),
所以249×388×234≡2×8×6≡1(mdo19)
此题应用了同余的可乘性,同余的传递性。
例4:求1992×59除以7的余数。
思路点拨:可应用性质2,将1992×59转化为求1992除以7与59除以7的余数的乘积,使计算简化。
解:∵1992≡4(mod 7),59≡3(mod 7)
∴根据性质5可得:1992×59≡4×3(mod 7),余数为12÷7的余数。
答:1992×59除以7的余数就是5。
例5:自然数16520、14903、14177除以m的余数相同,m的最大值就是多少？
思路点拨:自然数16520、14903、14177除以m的余数相同,也就就是
16520≡14903≡14177(mod m)
根据同余补充定义,这三个数同余,那么它们的差就能被m整除。
要求m最大就是多少,就就是求它们差的最大公约数就是多少。
解:因为16520-14903=1617
16520-14177=2343
14903-14177=726
(1617、2343、726)=33
所以m的最大值就是33。
〖评注〗实际上,这三个差数还可以继续两两相减,得到1617-726=891,891-726=165,算出726与165的最大公约数即可,通常其结果与上面相同。
例6:在除13511,13903,及14598时能剩下相同余数的最大整数就是几？
思路点拨:根据同余的性质,若几个数被同一个数除,余数相同,则这几个数中两两相减的差必能被这个数整除。
所以这个数应就是这三个数两两相减后所得数的最大公约数。
解:这两个数两两只减的差就是:
13903-13511=392
14598-13903=686
14589-13511=1078
因为(392,686,1078)=98,所以这个数就是98。
也可以以上三个差再两两相减,得686-392=294,再392-294=98
答:这个最大整数就是98。
例7:一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3。
这样的三位数共有几个？
思路点拨:由中国剩余定理解法求。
解法:
求3个数:第一个:能同时被9与5整除,但除以4余3,即45X3＝135
第二个:能同时被4与5整除,但除以9余7,即20X8＝160
第三个:能同时被9与4整除,但除以5余2,即36x2＝72
这3个数的最小公倍数为180,
所以满足条件的最小数字为135＋160+72-180=187
7＋180×5=907＜1000
7＋180×6=1087＞1000
所以符合条件的三位数共有5个。
分别就是7＋180×n(n=1,2,4,5)、
答:这样的三位数共有5个。
例8、有一个1997位数,它的每个数位都就是2,这个数除以13,商的第100位就是几？最后余数就是几？
【解析】这个数除以13,商就是有规律的。
商就是170940六个数循环,那么,即,我们从左向右数“170940”的第4个数就就是我们找的那个数“9”,所以商的第100位就是9。
余数就是几呢？
则
解析过程:本题商共有1996位,每6位循环,共有332次循环后余4,
所以商的个位数字应就是“170940”中的第4个,商应就是9,个位的余数就对应商为9时的余数5。
三、练习题
1、求下列算式中的余数。
(1)(2)
(3) (4)
2、6254与37的积除以7,余数就是几？
3、如果某数除482,992,1094都余74,这个数就是几？
4、300、262、205被同一个整数除,得到相同的余数,这个整数就是几？
5、一个自然数被247除余63,被248除余63,求这个自然数被26除的余数。
6、一个自然数N被10除余9,被9除余8,被8除余7,被7除余6,被6除余5,被5除余4,被4除余3,被3除余2,被2除余1,求N的最小值。
7、两个数除以11分别余9与10,这两个数的与除以11余几？
8、甲、乙、丙三个数之与就是100,甲数除以乙数,或丙数除以甲数,得数都商5余1,乙数就是多少？
9、求下列各式的余数。
(1) 2123÷6 (2)4848÷5
(3)求20的200次方除以13的余数。
(4)求80的1000次方除以12的余数。