计算机组成原理-浮点数表述范围

以32位的浮点数为例

浮点数有一般的格式和IEEE754的格式两种。

一般的格式符合2进制数机器码（包括定点整数和定点小数）的规定规则

IEEE表示则是为了实现上的方便，做了一些约定的格式改变。

先说说问题的描述方式：

1、一个32位的二进制数来表示的浮点数。都是由阶和尾数两部分组成。阶和尾数都带有一位符号位，分别称为阶符和数符。

2、从图例表示可以有两种方式：

（1）一种是阶和尾数分别带着符号位表示，依次为阶符(ES)、阶(E)、数符(MS)和尾数(M)

（2）另一种是把数符提前到整个浮点数的最前面，表示整个浮点数的符号位，标记为S。

这两种表示方式是一致的。前者比较直接明了地分隔成“阶”（包括阶符和阶）和“尾数”（包括数符和尾数）两部分；后者则是为了便于软件移植的格式。

比较流行的教材的新版本都倾向于使用后一种表示方式。

因此，下面开始，我们都采用后一种方式叙述。

3、从真值的表示方式来说有多种不同的情况

符号位统一都是：(-1)s

一般表示法的阶：e=E-128（完全符合机器码的移码规则）。该部分在真值中表示为2E-128，注意，E为带符号位的阶所表示的无符号数大小。比如8位阶（包含一位符号位），以移码表示，以11111111为例，E=255，而e=127，在真值中表示为2127。

IEEE表示法的阶：e=E-127（是IEEE的一个约定，不符合机器码的移码规则）。该部分在真值中表示为2E-127，注意，E为带符号位的阶所表示的无符号数大小。比如8位阶（包含一位符号位），以移码表示，以11111111为例，E=255，而e=128，在真值中表示为2128。

一般表示法的尾数：M，该部分在真值中以M表示，规划化处理是使得M 的最高位和符号位不同值，或者说用异或判断结果为1（其本质在于使得该数值的绝对值≥0.5）。

IEEE表示法的尾数：1.M，该部分在真值中以1.M表示，因为IEEE表示方式本来就是一种标准格式，所以不存在不是规格化的数。其中尾数域的小数点前约定的那个1不予存储，默认其隐藏在小数点的左边。

因此，一般表示法和IEEE表示法就可以组成四种组合真值表示。

(1)纯一般表示法（阶和尾数都是一般表示法）真值表示为：(-1)s⨯M⨯2E-128

(2)纯IEEE表示法（阶和尾数都是IEEE表示法）真值表示为：(-1)s⨯(1.M)⨯2E-127

(3)混合表示法A（阶位一般表示法，尾数都是IEEE表示法）真值表示为：(-1)s⨯(1.M)⨯2E-128，课本例9就是用了这种混合表示法。

(2) 混合表示法B（阶位IEEE表示法，尾数都是一般表示法）真值表示为：(-1)s⨯M⨯2E-127

注意：如果题目没有做明确描述。就默认其采用的是“纯一般表示法”。

弄清楚问题的描述方式后，我们来看看各种表示方法的表数范围。

分别从一般表示法的阶和尾数，IEEE的阶和尾数，4个组成部分来分析。

下面我们继续以32位浮点数为例，并不妨设符号位1位，阶码8位，用移码表示，尾数23位，用补码表示。

根据上面的分析，一般表示法的各种范围为：

（1）最大数的二进制表示：0 11111111 11111111111111111111111

（2）最小数的二进制表示：1 11111111 00000000000000000000000

(1) ）（231221*27--- (2)）

（1*2127-- （3）规格化最大正数：0 11111111 11111111111111111111111

）

（231221*27--- 规格化最小正数：0 00000000 10000000000000000000000

122*27--

规格化最大负数：1 00000000 01111111111111111111111

）

（231222*27---+- 规格化最小负数：1 11111111 00000000000000000000000

）

（1*2127-- 规格化数的表示的数的范围为：

)]21*2,2*2[]22*2,1*2[231212*********---------+--（）（）（

IEEE754的标准看课本的55页的那个图2.17（略有些错误）。

我们把它更正一下，IEEE 标准下，

尾数的范围是 -（2-232-）~-1 和1~（2-23

2-） 阶的范围是 -126~+127 或者写成227+-~127-

所以可以得出IEEE 标准下的表数范围是（除了正负无穷和零，参照下面的表格）： -（2-232-）*1272-~（-1）*2272+- 和 1*2272+-~（2-232-）*1272-

类似IEEE 标准的例题见课本23页，其实就是前面提到的混合表示法A

IEEE754标准下，阶除了正常的表述范围（E=1~254,e=-126~+127）, 当E 等于0或255时，在IEEE754标准中分别表示特殊的数值，即表示特殊的浮点数：

若E=0，且M=0，则表示浮点数N为0，此时尾数的隐含位是0，不是1。

若E=0，且M≠0，则表示非规格化的浮点数，N＝(-1)S×2-126×(0.M)，用它可以表示绝对值较小的数。

若E=255，且M=0，则表示该浮点数为无穷大，N＝(-1)S×∝（±∝），表示N=a/0（a ≠0）时的值。

若E=255，且M≠0，则表示是一个“非数值”，N=NaN (Not a number)，表示0/0的值。

这个表可以对照书上18页中间的那段描述