完全平方公式几何意义专题

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完全平方公式几何意义及拔高ppt课件

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4.请添加一项________，使得 k2 4
是完全平方式.
xy8,xy4,求 x.y
4k 4k
k2
4
5.已知
xy12
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a 2 b 2 ( a b )2 2 a b ( a b )2 2 a ,b
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1、完全平方公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
(1)(4m+n)2
解: (4m+n)2= (4m)2+2•(4m) •n+n2
(a +b)2= a2 + 2 a b + b2 =16m2+8mn +n2
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(2)(x-2y)2 解： (x-2y)2= x2 -2•x •2y +(2y)2
(a - b)2= a2 - 2 ab + b2 =x2-4xy +4y2
2、注意：项数、符号、字母及其指数； 3、解题时常用结论：
a 2 b 2 ( a b ) 2 2 ab (ab)2 2ab
4a b(ab)2(ab)2
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课本P156习题15.2—2、3、4题, 《同步导学》P97-98.
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1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和； 3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
间的符号相同. 首平方，尾平方，
积的2倍放中央 .
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
多项式.
想一想:
.
下面各式的计算是否正确？如果不正确，
应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2

知识点057 完全平方公式几何背景(选择)

1、（2010•乌鲁木齐）有若干张面积分别为纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（）A、2张B、4张C、6张D、8张考点：完全平方公式的几何背景。

分析：由题意知拼成一个大正方形长为a+2b，宽也为a+2b，面积应该等于所有小卡片的面积．解答：解：∵正方形和长方形的面积为a2、b2、ab，∴它的边长为a，b，b．∴它的边长为（a+2b）的正方形的面积为：（a+2b）（a+2b）=a2+4ab+4b2，∴还需面积为b2的正方形纸片4张．故选B．点评：此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，考法较新颖．2、（2010•丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）A、（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mnB、（m+n）2﹣（m2+n2）=2mnC、（m﹣n）2+2mn=m2+n2D、（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2考点：完全平方公式的几何背景。

专题：计算题。

分析：根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．解答：解：（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn．故选B．点评：本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．3、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（）A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C、a（a+b）=a2+abD、a（a﹣b）=a2﹣ab考点：完全平方公式的几何背景。

分析：根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．解答：解：大正方形的面积=（a﹣b）2，还可以表示为a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．故选B．点评：正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力．4、已知如图，图中最大的正方形的面积是（）A、a2B、a2+b2C、a2+2ab+b2D、a2+ab+b2考点：完全平方公式的几何背景。

8.3《平方差公式与完全平方公式》典型例题精析

8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x ＋2y )2＝x 2＋2·x ·2y ＋(2y )2＝x 2＋4xy ＋4y 2；(2)(2a －5)2＝(2a )2－2·2a ·5＋52＝4a 2－20a ＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，SⅠ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a－b)2＝a2－2ab＋b2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为SⅠ＝S大－SⅡ－SⅣ＋SⅢ，又S大，SⅡ，SⅢ，SⅣ分别等于a2，ab，b2，ab，所以SⅠ＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.从而验证了完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b)2，根据面积相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.答案：(a＋b)2－4ab＝(a－b)22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的，所以它的面积等于a2－b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12 (b＋a)(a－b)，所以梯形的面积和是(a＋b)(a－b)，根据阴影部分的面积不变，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此验证的一个乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204.4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15. 解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n 2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65. 5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b ＋a )(－b ＋a )＝a 2－b 2.②符号变化：(－a ＋b )(－a －b )＝(－a )2－b 2＝a 2－b 2.③系数变化：(0.5a ＋3b )(0.5a －3b )＝(0.5a )2－(3b )2.④指数变化：(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm，则(x＋3)2＝x2＋39，即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm.7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ；②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋b a －b的值即可．答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a＋b＝2，所以(a＋b)2＝22，即a2＋2ab＋b2＝4.把ab＝1代入，得a2＋2×1＋b2＝4，于是可得a2＋b2＝4－2＝2.。

第3讲平方差公式与完全平方式专题

第3讲平方差公式与完全平方式专题第一部分知识梳理1．平方差公式两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

公式：()()22a b a b a b +-=- 平方差公式的几何意义：如图利用面积相等的方法验证平方差公式2．完全平方公式两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍；公式：222()2a b a ab b +=++ 两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍；公式：222()2a b a ab b -=-+ 完全平方公式的几何意义：如图甲，大正方形的面积从整体看为2()a b +，分开看为22a ab ab b +++，从而得出22222()2a b a ab ab b a ab b +=+++=++；如图乙，左上角的正方形面积可表示为2()a b -，也可表示为22()()a b a b b a b b -----，从而得出22222()()()2a b a b a b b a b b a ab b -=-----=-+3．完全平方公式常见的变形 ①222()2a b a b ab +=+- ②222()2a b a b ab +=-+ ③22()()4a b a b ab +=-+第二部分例题精讲与练习考点1．直接运用公式计算例1．计算(12)(12)c c +- 22()()()a b a b a b +-+ (2)(2)x y x y ---(2)(2)a b c a b c +++- 2(4)m n + 2()a b c ++22)3(x x -+变式训练计算(23)(23)a b a b ---+ 2111()()()242x x x --+ (1)(1)ab ab +-+()()m n p m n p -+-- 2(21)t -- 2(2)a b c -+22)(y x y +-考点2．利用公式进行简便计算例2．简便运算19982002⨯ 12(100)(99)33-⨯- 21022201020092011-⨯变式训练简便运算30.829.2⨯ 18(20)(19)99-⨯- 22032220132201320122012-⨯⨯+考点3．公式几何意义的应用例3．如图，从边长为(1)a cm +的正方形纸片中剪去一个边长为(1)a cm -的正方形(1)a >，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（）A ．22cm B ．22acm C ．24acm D ．22(1)a cm - 变式训练（1题图）（2题图）2．如图所示，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a 、b 的恒等式为（）A ．222()2a b a ab b -=-+ B ．222()2a b a ab b +=++ C ．()()22a b a b a b +-=- D ．2()a ab a a b +=+ 考点4.利用公式化简例4. 化简：)43)(34()32(2y x x y y x +---变式训练化简：)4)(12(3)32(2+--+a a a考点5.利用公式及变形求值例5.（1）若25m n m n -=+=，，则22m n -的值为。

完全平方公式及各种典型问题ok课件

在实际生活中，完全平方公式也有广泛的应用，例如在物理、工程、经济等领域都有涉及。
完全平方公式的解题思路与方法总结
完全平方公式的解题思路主要是通过将一个二次多项式转化为两个一次多项式的乘积，然后利用这两个一次多项式的值来解决原问题。
VS
在解题方法上，需要注意因式分解、配方、运算等技巧的运用，同时还要注意公式的适用范围和限制条件。
问题，如建筑、工程等领域的问题。
03 完全平方公式的典型例题
完全平方公式的简单应用
总结词
完全平方公式是数学中常用的公式之一，它可以用于解决各种与平方有关的问题。
详细描述
完全平方公式可以表示为(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，它通常用于计算平方和、两数和的平方以及两数差的平方。例如，(2+3)^2=25，(2-3)^2=1，(2+3)(23)=-5等。
完全平方公式的变形应用
总结词
完全平方公式不仅可以用于简单的计算，还可以通过变形应用于解决更复杂的问题。
详细描述
完全平方公式的变形包括(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，(a-b)^2=a^2-2ab+b^2， a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab等。这些变形可以用于解决与平方和、两数和的平方以及两数差的平方相关的问题。
需要一定的观察和思考能力，但可以简化复杂的计算。
完全平方公式在实际问题中的应用
总结词
广泛应用于实际问题中，如几何、代数等领域
详细描述
完全平方公式不仅在代数领域有广泛的应用，在几何、三角等领域也有广泛的应用。例如，
在解决几何问题时，完全平方公式可以用于计算面积、周长等；在解决代数问题时，完全平方公式可以用于因式分解、化简等。此外，完全平方公式还可以用于解决一些实际

完全平方公式

与欧拉公式结合
欧拉公式将复数、三角函数和指数函数联系起来，而完全平方公式是实数范围内的公式。将两者结合，可以得到在复数范围内的完全平方公式。
对完全平方公式的深入理解
几何意义
从几何学的角度来看，完全平方公式反映了平面或空间中两点之间的距离公式。
向量夹角的公式
当两个向量的夹角为60度时，它们的模长和等于它们的模长之积。这也是完全平方公式的一个特例。
$(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³$
03
完全平方公式的应用
代数中的应用
简化表达式
01
完全平方公式可以用来简化代数表达式，将复杂的表达式变为
简单的平方形式，方便计算和理解。
解方程
02
完全平方公式在解一元二次方程时有着重要应用，通过配方将
方程化为完全平方式，从而求解方程。
这个公式在代数中有很多应用，例如解一元二次方程、进行因式分解等。掌握这个公式对于理解二次根式、二次方程等概念非常重要。
02
完全平方公式的形式演变
完全平方公式的简单形式
公式a
$(a + b)² = a² + 2ab + b²$
公式b
$(a - b)² = a² - 2ab + b²$
完全平方公式的扩展形式
因式分解
03
完全平方公式也是进行因式分解的重要工具之一，可以将一个
二次式分解为两个一次式的乘积。
几何中的应用
证明勾股定理
完全平方公式可以用来证明勾股定理，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
求图形面积
完全平方公式可以用来求某些图形的面积，例如长方形、正方形和圆等，通过将面积表示为边长的平方或半径的平方来简化计算。

《几何原本》中完全平方公式

《几何原本》中完全平方公式
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，其中包含了许多几何学的定理和证明。

其中，完全平方公式是其中的一个重要内容，它用于求解一元二次方程的解。

完全平方公式可以表示为：
(a + b)² = a² + 2ab + b²
其中，a和b是已知的常数，(a+b)²表示将a和b相加后再平方的结果。

这个公式可以用来解决一元二次方程的问题，例如求解x² + 4x - 5 = 0的解。

首先，我们将方程改写为(x + 2)² - 9 = 0的形式。

然后，我们可以使用完全平方公式将其转化为(x + 2 - √9)(x + 2 + √9) = 0的形式。

这样，我们就可以得到方程的两个解：x = -2 - √9 和x = -2 + √9。

其中，√9表示9的平方根，即3。

完全平方公式是解决一元二次方程问题的重要工具，它可以帮助我们快速地求出方程的解。

8.3平方差公式与完全平方公式讲解与例题

8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x＋2y)2＝x2＋2·x·2y＋(2y)2＝x2＋4xy＋4y2；(2)(2a－5)2＝(2a)2－2·2a·5＋52＝4a2－20a＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，S Ⅰ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a －b )2，也可以表示为S Ⅰ＝S 大－S Ⅱ－S Ⅳ＋S Ⅲ，又S 大，S Ⅱ，S Ⅲ，S Ⅳ分别等于a 2，ab ，b 2，ab ，所以SⅠ＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a ＋b )2－4ab ，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b )2，根据面积相等有(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2.答案：(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b 的正方形得到的，所以它的面积等于a 2－b 2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12(b＋a )(a －b )，所以梯形的面积和是(a ＋b )(a －b )，根据阴影部分的面积不变，得(a ＋b )(a－b )＝a 2－b 2.因此验证的一个乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.答案：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204. 4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15.解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65.5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝a2－b2.②符号变化：(－a＋b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2.③系数变化：(0.5a＋3b)(0.5a－3b)＝(0.5a)2－(3b)2.④指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm ，它的面积就增加39 cm 2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm ，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x ＋3)2＝x 2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm ，则(x ＋3)2＝x 2＋39，即x 2＋6x ＋9＝x 2＋39，解得x ＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm. 7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式： ①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋ba －b的值即可．答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a ＋b ＝2，所以(a ＋b )2＝22，即a 2＋2ab ＋b 2＝4.把ab ＝1代入，得a 2＋2×1＋b 2＝4，于是可得a 2＋b 2＝4－2＝2.。

完全平方公式课件2

定义
完全平方是指一个数的平方等于另一个数的平方之和的情况。
特征
完全平方的数字可以写成两个整数的乘积的形式。
完全平方公式的定义和意义
完全平方公式是一种用来将一个二次多项式表示成一个平方项和一个常数项之和的方法。它在解方程、三角函数和几何中有广泛的应用。
第一类完全平方公式
1
公式
(a + b)^ 2 = a^ 2 + 2ab + b^ 2
我们将介绍一个真实案例，讲述完全平方公式在工程建设中的实际应用，以及对项目成功的影响。
知识拓展：什么是不完全平方
我们将扩展讲解不完全平方的概念和特征，并与完全平方进行比较。
知识拓展：什么是勾股数和勾股定理
我们将介绍勾股数和勾股定理的概念以及与完全平方公式之间的关系。
拓展阅读：数学史上的完全平方
完全平方公式在解方程中的应用
完全平方公式可以帮助我们解决一些复杂的二次方程，并在实际问题中找到解。
完全平方公式在三角函数中的应用
完全平方公式可以用于证明和简化一些三角函数的恒等式和性质。
完全平方公式在几何中的应用
完全平方公式可以帮助我们解决一些几何问题，如计算面积和求解直角三角形的边长。
完全平方公式的证明与思考
我们将探索数学史上与完全平方相关的重要事件和著名数学家的贡献。
反思与评价：完全平方公式学习心得
让大家有机会分享自己在学习完全平方公式过程中的心得体会，并对课程进行反思和评价。
例子
例如，5^ 2 - 3^ 2 = (5 + 3)(5 3) = 64
第三类完全平方公式
1 公式
(a - b)^ 2 = a^ 2 - 2ab + b^ 2

完全平方公式的几何意义

完全平方公式的几何意义
完全平方公式是指一元二次方程ax2+bx+c=0的一种解法，其中可将根式表示为：x1=(-b+√(b2-4ac))/(2a)，x2=(-b-√(b2-4ac))/(2a)。

本文主要讨论此方程的几何意义：
根据了解，双曲线的公式可表示为：x2/a2-y2/b2=1，看似非常复杂的双曲线，其实只要将参数a、b、c不断变化，就能绘制出不同的双曲线图。

事实上，完全平方公式不仅和双曲线有直接关系，而且还与标准椭圆有关联。

研究发现，从完全平方公式中求出的两个根x1,x2，它们可从不同的角度来看：
通俗来讲，椭圆是一种特殊的圆形，是以圆心为中心，以任意两点为焦点画圆得到的。

完全平方公式可以帮助求出椭圆的三点，也就是圆心、焦点以及中心点得到的一条直线。

据理论分析，完全平方公式的根式可以求出平行四边形的两条对角线上的点，同时这也意味着，通过完全平方公式可以快速计算出一个平行四边形的面积。

总结：完全平方公式不仅可以求解一元二次方程，而且还与双曲线、标准椭圆和平行四边形有着深层次的关系，其中椭圆可以帮助理解根式x1,x2是椭圆轴上的端点，而双曲线可以理解x1,x2是顶点；同样完全平方公式可以快速计算平行四边形的面积。

《完全平方公式(2)》参考课件

涉及的知识点
平方差公式和完全平方公式的概念、性质和应用
解题技巧
熟练掌握公式，注意公式的适用范围ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ条件，灵活运用公式解决实际问题
解答部分
总结2
参考答案和解题思路
涉及的知识点
平方差公式和完全平方公式的概念、性质和应用
重点题型
利用平方差公式和完全平方公式解决实际问题，如计算面积、体积等
解题技巧
熟练掌握公式，注意公式的适用范围和条件，灵活运用公式解决实际问题
公式意义与作用
公式意义
完全平方公式反映了两个数a和b的和的平方与差的平方之间的关系，是代数运算和几何图形计算的基础。
公式作用
在数学的不同分支中，完全平方公式都有着广泛的应用，如代数、三角函数、平面几何、立体几何等。
公式应用范围
代数运算
几何图形计算
完全平方公式可以用来简化代数式的计算和变形，例如将复杂的乘法运算转化为简单的加法运算。
解决数论问题
总结词
完全平方公式可以用于解决一些数论问题，如质数分解、因数分解等。
详细描述
完全平方公式可以用于将一个数分解为两个数的平方和，从而将一些因数分解问题转化为完全平方公式的求解问题。例如，求解方程ax^2 + bx + c = 0的根时，可以将二次方程转化为两个一次方程，然后通过求解两个一次方程得到原方程的解。
THANKS
谢谢您的观看
02
完全平方公式的证明
证明方法一：直接证明
直接根据完全平方公式的定义，从形式上证明。语言简练，易于掌握，有助于学生建立数学证明的严谨性和规范性。
证明方法二：代数证明
通过代入法，将公式中的变量用数字代替，从而证明公式成立。

知识点057完全平方公式几何背景(解答)

1、（Ⅰ）请你根据①中的面积写出它所能说明的乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2．（Ⅱ）如图②（2）所示是2002年8月20日在北京召开的国际数学家大会的会标．它是由四个全等的如图②（1）所示的直角三角形（每个直角三角形两直角边分别是a和b，斜边长为c）与中间的小正方形拼成的一个大正方形．请你根据图②（2）中的面积写出它所能说明的等式，并写出推导过程．考点：完全平方公式的几何背景。

专题：常规题型。

分析：（1）根据大正方形的面积等于被分成的四部分的面积的和进行解答；（2）先根据图②（2）表示出中间小正方形的边长，然后根据大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积列出等式，然后整理即可得解．解答：解：（1）大正方形的面积为：（a+b）2，四个部分的面积的和为：a2+2ab+b2，∴能说明的乘法公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）它能说明的等式为：c2=a2+b2．推导如下：中间小正方形的边长为（b﹣a），∴大正方形的面积可表示为：c2=4×ab+（b﹣a）2，整理得，c2=2ab+b2﹣2ab+a2，即c2=a2+b2．点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同一个图形的面积的不同表示相等进行列式是解题的关键．2、用四个相同的长方形与一个小正方形无重叠、无缝隙地拼成一个大正方形的图案（如图）（1）若长方形的长为a，宽为b，则小正方形面积为（a﹣b）2或（a2﹣2ab+b2）；（2）根据图案，利用面积关系，你能得到一个等式为（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；（3）若这个大正方形边长为16，每个长方形的面积为63，求小正方形的边长．考点：完全平方公式的几何背景。

分析：（1）根据图形先求出小正方形的边长即可得到面积，或者先求出大正方形的面积，然后再减去四个长方形的面积；（2）根据同一个小正方形的面积，利用两种不同的求法得出，应该相等即可得到等式；（3）代入等式计算求解即可．解答：解：（1）小正方形的边长为：（a﹣b），∴面积为（a﹣b）2，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4×长方形的面积=（a+b）2﹣4×ab=（a2﹣2ab+b2），∴小正方形面积为：（a﹣b）2或（a2﹣2ab+b2）；（2）∵小正方形的面积是同一个图形的面积，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；（3）小正方形的面积为：162﹣4×63=256﹣252=4，∴小正方形的边长为2．故答案为：（1）（a﹣b）2或（a2﹣2ab+b2）；（2）（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；（3）2．点评：本题考查了完全平方公式的几何解释，根据同一个图形的面积利用不同的方法求解，结果相等解答即可，难度不大．3、某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为acm，宽为bcm 的矩形板材（如图），另一种是边长为ccm的正方形地砖（如图②）（1）用几块如图②所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？并写出新正方形的面积（写出一个符合条件的答案即可）；（2）用如图①所示的四块矩形板材铺成如图③的大正方形或如图④的大矩形，中间分别空出一个小正方形和小矩形（即图中阴影部分）；①请用含a、b的代数式分别表示图③和图④中阴影部分的面积；②试比较图③和图④中阴影部分的面积哪个大？大多少？考点：完全平方公式的几何背景。

学好完全平方公式的三点提示

学好完全平方公式的三点提示完全平方公式是两个形式相同的多项式相乘得到的公式，它的应用十分广泛，是教材中的重点和难点．那么如何掌握完全平方公式呢?下面给予三点提示，供参考．一、意义特征要牢记 1、完全平方公式：（1）(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ；（2）(a -b)2=a 2-2ab+b 22、文字描述：这两个公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项式，而且每一项都是二次式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，而第三项是左边二项式中两项乘积的2倍（或-2倍）．可用以下口诀来记忆：“头平方和尾平方，头（乘）尾两倍在中央，中间符号是一样”．这里的“头”指的是a ，“尾”指的是b ．这两个公式实质上是统一的，即都是二项式的平方展开式．其中第一个公式是基本的，第二个公式可由第一个公式导出．如：（a-b ）2=[a+（-b ）]2=a 2+2a （-b ）+（-b ）2= a 2-2ab+b 2．3、完全平方公式的几何意义图1ababb 2a 2b aba 图2(a -b )b (a -b )b(a -b)2b 2ba ba在图1中，大正方形的面积是(a+b)2，它等于两个小正方形的面积a 2、b 2及两个等积的长方形面积ab 的和，因此有(a+b)2=a 2+2ab+b 2．在图2中，大正方形的面积是a 2，它等于两个小正方形的面积b 2、(a -b)2及两个等积的长方形面积(a-b)b 的和，因此有(a -b)2=a 2-2(a-b)b-b 2= a 2-2ab+b 2．二、两个公式的区别要清楚在运用完全平方公式时，经常会出现类似于(a+b)2=a 2+b 2、(a -b)2=a 2 -b 2的错误．要注意从以下几个方面进行区别：（1）意义不同：(a+b)2表示数a 与数b 和的平方，(a -b)2表示数a 与数b 差的平方；而a 2+b 2表示数a 的平方与数b 的平方和，a 2-b 2表示数a 的平方与数b 的平方差．（2）读法不同：(a+b)2读作两数a 、b 和的平方，(a -b)2读作两数a 、b 差的平方；而a 2+b 2读作两数a 、b 平方的和，a 2-b 2读作两数a 、b 平方的差．（3）运算顺序不同：(a+b)2的运算顺序是先算a+b ，然后再算和的平方，(a -b)2的运算顺序是先算a -b ，然后再算差的平方；而a 2+b 2是先算a 2与b 2，再求和a 2+b 2，a 2-b 2是先算a 2与b 2，再求差a 2-b 2．（4）一般情况下它们的值不相等：如当a=2，b=1时，(a+b)2=(2+1)2= 32=9，(a -b)2=(2-1)2=12=1；而a 2+b 2= 22+12=5，a 2-b 2= 22-12=3．三、应用方法要掌握完全平方公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式，还可以表示多项式及各种代数式．应用时要认真观察题目是否符合公式的特征和条件，变形后是否符合公式的特征和条件，若符合，再把公式中的字母同具体题目中的数或式对照，再逐项对照着计算；若不符合就不能应用公式．要搞清楚公式中各项的符号，灵活地进行公式的各种变形应用．例1、计算222213⎪⎭⎫⎝⎛--y x xy分析：把23xy -看成a ，y x 221看成b ，原式即为两项差的平方，然后套用完全平方差公式．解：222213⎪⎭⎫⎝⎛--y x xy=()()⎪⎭⎫⎝⎛---y x xy xy222221323+（y x 221）2=2433424139y x y x y x ++例2、计算：（a-2b-c ）2分析：可以把（a-2b ）看作公式中a ，把c 看作公式中的b ，然后套用完全平方差公式．解：2222)2(2)2(])2[()2(c c b a b a c b a c b a +---=--=-- ＝2a bc ac abc b a c bc ac b ab 4244424422222+--++=++-+-．说明：本题还可以进行如下变形：222]2)[()2(b c a c b a --=--或22)]2([)2(c b a c b a +-=--完全平方公式应用错例分析完全平方公式是乘法公式中的重要组成部分，它能帮助同学们简捷、灵活的完成整式的乘法运算，但在运用公式解题的过程中，却经常出现这样或那样的错误，现将典型错例进行评析．一、漏掉“中间项” 例1 计算：(a+3)2 错解：(a+3)2=a 2+9分析：完全平方公式的结果有三项：首平方，末平方，乘积的2倍写中央．因此，运用公式时不要漏掉乘积项．不能将完全平方公式与平方差公式混淆．正解：(a+3)2=a 2+6a+9 二、“中间项”漏乘2例2 计算（2y+21）2错解：（2y+21）2 = 4y 2+2y ×21+41 分析：没有理解完全平方公式的中间项“2ab ”中2的意义，2y 中的2表示首项的一部分，不是乘积的2倍．防止发生这样错误的关键是要将题目中项与公式中的项进行对应，一定要找准哪个代表字母a ，哪个代表字母b ．正解：（2y+21）2 = 4y 2+2⨯2y ⨯21+41＝4y 2+2y+41三、“－”处理错误例3 计算(-t-1) 2错解：(-t-1) 2=t 2 -2t+1 或 (-t-1) 2= -t 2 +2t+1分析：本题可以看成首项-t 与末项1的差的平方，应把-t 看做一个整体．正解：(-t-1) 2=(-t) 2-2 (-t) ×1 +12＝t 2＋2t+1. 四、系数未平方例4 计算(3x-2y) 2错解：(3x-2y) 2=3x 2-12xy+2y 2分析：首项3x 与末项2y 都应看成一个整体进行平方．正解：(3x-2y) 2 = (3x)2-12xy+(2y)2 = 9x 2-12xy+4y 2 五、问题考虑不全面例5 已知x 2-2mx+1是一个完全平方式，则m= 错解：因为12＝1由乘积项－2mx=2x ×1得m=-1．分析：错解忽略了另一种情况：因为(-1) 2=1，由－2mx=2x ×(-1)得m=1，所以m=±1. 正解：m=±1. 六、运算顺序错误例6 计算2(a-) 2 错解：2(a-2b ) 2=(2a-b) 2 分析：由乘方的定义知：2(a-2b ) 2=2(a-2b )(a-2b )=(2a-b) (a-2b)，这与(2a-b) 2的结果是不相等的．因此，应按照运算顺序先算乘方，再算乘除进行化简．正解：2(a-2b ) 2=2(a 2-ab+41b 2)=2a 2-2ab+21b 2. 总之，运用完全平方公式进行整式的运算时，应牢固掌握公式的实质，并与其它相关法则、运算顺序有机的结合，才能简便、准确地进行整式的运算．完全平方公式学习导航1.完全平方公式有两个：2222)(b ab a b a ++=+,2222)(b ab a b a +-=-.即，两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为2222)(b ab a b a ++=±.记忆口诀：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”.2.公式的条件是：两数和的平方或两数差的平方.3.公式的结果是：这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍.4.公式的特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式.5. 完全平方公式的几何意义如图1，大正方形的面积可以表示为2)(b a +，也可以表示为IV III II I S S S S S ++=，同时22222b ab a b ab ab a S ++=+++=.从而验证了完全平方公式2222)(b ab a b a ++=+.6.完全平方公式重难点重点1 （1）公式右边是这两个数的平方和与这两个数乘积的2倍的和（差）。

14.2.2完全平方公式-ppt课件

完全平方式. 4k 4k
5. x y 8, x y 4,求xy.
k2 4
xy 12
第31页，共33页。
拓展：
思考题：
已知： x 1 3 x
求： x 2 1 和 ( x 1 )的2 值
x2
x
第32页，共33页。
拓展延伸
若(x y)2 12 , (x y)2 16 , 求xy的值。
∴ (a+b)2= (-a-b)2 ∵ (a-b)2=a2-2ab+b2
(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 ∴ (a-b)2=(b-a)2
第17页，共33页。
做一做:根据两数和的完全平方公式填空.
(1)(x+6)2=( x )2+2( x )( 6 )+( 6 )2
=( x2+12x+36
a2 2ab b2 第11页，共33页。
例1、运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2 解: (4m+n)2=(4m)2 +2•(4m) •n +n2
(a +b)2= a2 + 2 a b + b2 =16m2 +8mn +n2
第12页，共33页。
(2)(x-2y)2 解： (x-2y)2= x2 -2•x •2y +(2y)2
4
2
第29页，共33页。
你会吗？
选择题
（1）如果x2+mx+4是一个完全平方公式，
那么m的值是（ c）
A．4 B．-4 C．±4 D．±8
（2）将正方形的边长由acm增加6cm，则正方
形的面积增加了（） c

完全平方公式的几何解释例题

完全平方公式的几何解释例题
问题：
给定一个边长为a的正方形，我们可以将正方形分成4个等边长的小正方形。

现在我们将每个小正方形的顶点连接起来，形成一个内切于原正方形的大正方形。

求内切正方形的边长。

解答：
我们设内切正方形的边长为x。

由于内切正方形的边长等于原正方形边长的一半，可得以下等式：
x = a/2
我们知道内切正方形的面积可以通过正方形的面积减去四个小正方形的面积来计算。

正方形的面积为a*a，小正方形的面积为
x*x。

所以有以下等式：
a*a - 4*(x*x) = x*x
我们把上述等式变形，得到以下等式：
a*a - 4*x*x = x*x
a*a = 5*x*x
上述等式告诉我们，正方形的面积等于5倍内切正方形的面积。

也就是说，正方形的面积是内切正方形面积的5倍。

根据几何学的知识，正方形的面积可以表示为边长的平方。

所
以我们可以将上述等式改写为以下形式：
a*a = 5*(x*x)
a^2 = 5*x^2
上述等式是一个关于a和x的平方关系，在数学中被称为完全
平方公式。

根据完全平方公式，我们知道两个平方数之间的关系。

在这个例子中，a^2和5*x^2是两个平方数，所以它们之间存在着
某种关系。

我们可以将完全平方公式应用到这个例子中，得到以下结论：
a = √(5)*x
这个结果告诉我们，正方形的边长等于√(5)乘以内切正方形的
边长。

综上所述，内切正方形的边长可以通过原正方形的边长除以√(5)来计算。

即：
内切正方形的边长= a/√(5)。

初中数学知识点ppt课件26完全平方公式

左边二项式的平方
右边二次三项式
知识梳理
考点二完全平方公式的几何解释
b
b
ab
b2
b
ab
b2
（a－b）2 ab
a a
（a+b）2
ab
a
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
a
b
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
典例剖析
使x2+2ax+16是一个完全平方式，则a的值为（ C ）。
A. 4 B. 8
C. 4或-4
思维导图
(a b)2＝a2 2ab+b2
a2 2ab+b2是一个代数式
不丢项、不错符号、
完全平方公式
2ab不要忘
完元申小课必有收获
考点聚焦
1. 考查内容：掌握完全平方式的结构特征； 2. 考查题型：考题多以选择、填空形式出现，解答题常用到化简； 3. 难度：中等，一次项系数含有待定字母时容易出错。
知识梳理
知识梳理
考点一完全平方公式
完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。结构特点：
D. 8或-8
解：∵x2+2ax+16=x2+2ax+42，
∴2ax=±2x×4，
解得 a=±4。
方法点拨
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方式的乘积二倍项即可确定a的值，分情况讨论。
备考技法
1．完全平方式与完全平方公式不同：（1）a2 2ab+b2是一个代数式；（2）(a b)2＝a2 2ab+b2 是一个等式。 2．完全平方公式的记法：首平方，尾平方，积的2倍放中央。 3．求待定字母系数时要注意分类讨论思想方法的应用。