第七讲运输规划问题

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运筹学
表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的 一种简化方法，其实质是单纯形算法，可归 纳为： （1）找出初始基可行解； （2）求各非基变量的检验数； （3）确定换入变量和换出变量，找出新基可 行解。 （4）重复（2）、（3）步，直到求得最优解 为止。
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运筹学
（1）确定初始基可行解 最小元素法： 最小元素法的基本思想就是就近供应。即从单位运价表 中最小的运价开始确定产销关系，依次类推，直到给出初 始方案为止。
门市部 工厂
1 2 3 需求 1 9 7 6 40 2 12 3 5 40 3 9 7 9 60 4 6 7 11 20 供应 50 80 50
供应量＝180，需求量＝160，供需不平衡，供大于求。
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运筹学
• 数学模型
m n i 1 j 1
供大Байду номын сангаас求的情况
min z cij xij n xij ai , i 1,2, , m 1 j m s.t. xij b j , j 1,2, , n i 1 xij 0
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运筹学
1.2 表上作业法
约束方程组的系数矩阵具有如下特点： （1）在该矩阵中，它的元素等于0或1； （2）每列只有两个元素为1，其余都是0； （3）对应于每一个变量，在前m个约束方程中只 出现一次，在后n个约束方程中也只出现一次。 根据这个特点，在单纯形法的基础上，下面设计 出一种专门用来求解运输问题的方法，称为表上 作业法。
运筹学
要求使总运费最小的调运方案。如果运输问题 的总产量等于其总销量，即
a b
i 1 i j 1
m
n
j
则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称 为产销不平衡运输问题。建立在产销平衡情况下 的运输问题的数学模型。 解: 假设 xij 表示从Ai到 Bj 的运量,则所求的数学 模型为:
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运筹学
min Z
c
i 1 j 1
m
n
ij
xij
m j 1,2, , n xij b j i 1 n xij ai i 1,2, , m j 1 x 0 i 1,2, , m ; j 1,2, , n ij
1 3 1 7 2
2 11 9 4 6
3 3 2 10 5
4 10 8 5 7
供应 7 4 9
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运筹学
（2）最优解的判别 判别的方法是计算非基变量即空格的检验数。当所有的非基 变量检验数全都大于等于 0 时为最优解。 ① 方法一：闭回路法
在给出调运方案的计算表上，从每一空格出发， 找一条闭回路。 它是以空格为起点，用水平线或垂直线向前划， 每碰到一数字格就转 90 度后继续前进。直到回到 起始空格处为止，(A1 , B1) 空格与(A1 , B4) 、 (A2 , B4) 和 (A2 , B1) 三个有数字的格构成一闭回路，如 此等等。 每个空格都存在唯一的闭回路。
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运筹学
闭回路计算检验数的经济解释为： 在已给出初始解的表中，可以从任一空格出发，如从 (A1 , B1) 出发，若让 A1 的产品调 1 吨给B1，为了保持 产销平衡，就要依次作调整：在 (A1 , B3) 处减少 1 吨 ，(A2 , B3) 处增加 1 吨，(A2 , B1) 处减少 1 吨，即构成 了以(A1 , B1)空格为起点，其它为有数字格的闭回路。 可见这一调整方案使运费增加了： (+1)3 + (-1) 3 + (+1)2 + (-1) 1 = 1 (元)，这表明若这样调整运输方式将 增加运费。将“1” 填入(A1 , B1) 格，就是检验数。
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x11 , , x1n , x21 ,, x2 n , , xm1 , , xmn 1 0 A 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 5 1 20 3
B2 3 6 10 5
B3 10 9 5 8
B4 4 6 7 4
产量 9 4 7
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运筹学
门市部 工厂
1 2 3 需求总计
1 9 2 6 40
2 12 3 5 70
3 9 7 9 30
4 6 7 11 20
供应 50 60 50
门市 工厂
1 2 3 需求
门市部 工厂
1 2 3 需求总计 1 9 7 6 40 2 12 3 5 70 3 9 7 9 60 4 6 7 11 20 供应总计 50 60 50
供应量＝160，需求量＝190，供需不平衡，需求大于供应。
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运筹学
• 数学模型
m n i 1 j 1
求大于供
min z cij xij n xij ai , i 1,2,, m 1 j m s.t. xij b j , j 1,2,, n i 1 xij 0
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运筹学
特点与处理办法
• 特点
a b
i 1 i j 1
m
n
j
• 处理办法：设置一个虚销售点n+1，使
bn1 ai b j
i 1 j 1
m
n
• 且
ci ,n1 0，因而化为平衡问题。
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运筹学
设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机， 日生产能力分别是：50，80，50，供应四个门 市部，日销售量分别是：40，40，60，20台， 从各分厂运往个门市部的运费如表所示，试安 排一个运费最低的运输计划。
门市部 工厂
1 2 3 需求总计 1 9 7 6 40 2 12 3 5 40 3 9 7 9 60 4 6 7 11 20 供应总计 50 60 50
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供求平衡的运输问题：供：50+60+50=160
需：40+40+60+20=160
数学模型
min z cij xij
i 1 j 1 3 4
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运筹学
运输问题的解代表着一个运输方案，其中每一个 变量xij的值表示由Ai调运数量为xij的物品给Bj。 运输问题的解X必须要满足模型中的所有约束条件 ；基变量对应的约束方程组的系数列向量必须是线 性无关的；解中基变量应由 m+n-1个变量组成(即基 变量的个数 = 产地个数 + 销售地个数 – 1)，原因是 在运输问题中虽有m+n个约束条件，但由于总产量 等于总销量，有m+n-1个约束条件是线性独立的。 怎样的 m+n-1个变量会构成一组基变量？
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运筹学
销地 产地 A1 A2
B1 c11 c21
B2 c12 c22

Bn c1n c2n
产量 a1 a2
Am
销量
cm1
b1
cm2
b2


cmn
bn
am
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门市 工厂
1 2 3 需求 1 9 7 6 40 2 12 3 5 30 3 9 7 9 60 4 6 7 11 30 供 应 供 应 50 60 50
门市 工厂
1 2 3 需求
1
2
3 20 30 10 60
4
30 40 40 30
30 50 60 50 30
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运筹学
两种特殊情况： 一是当在中间步骤的未划去的单位运价表中寻找 最小元素时，有多个元素同时达到最小，这时从这 些最小元素中任意选择一个作为基变量；
某公司有3个生产同类产品的工厂，生产的产品由4个销 售点销售，各工厂的生产量、各销售点的销售量以及各工 厂到各销售点的单位产品运价如表所示。问该公司应如何 调运产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总的运 费为最小。
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运筹学
初始可行解（最小元素法） 就近供应的思想：
从单位运价表中选取最低 运价的空格开始供求分配。 供应量大于需求量，取值 为需求量，划去该空格的列； 供应量小于需求量，取值供 应量，划去该空格的行。 根据划去一列或行的单位 运价表，再选择最小运价的 空格进行。
门市部 工厂
1 2 3 4 需求总计 1 9 7 6 0 40 2 12 3 5 0 70 3 9 7 9 0 60 4 6 7 11 0 20 供应总计 50 60 50 30
供应量＝190，需求量＝190，供需平衡。
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运筹学
这就是运输问题的数学模型，它包含mn个变量 ，m + n个约束条件，是一个线性规划问题。 如果用单纯形法求解，首先应在每个约束条件上 加入一个人工变量(以便求出初始基可行解)。即使 是m =4，n = 5这样的简单问题, 变量个数就有29个 之多，利用单纯形法进行计算是非常复杂的。 有必要针对运输问题的某些特点，来寻求更为简 单方便的求解方法。
目标函数表示运输总费用，要求其极小化； 第一个约束条件的意义是由各产地运往某一销地的物品数 量之和等于该销地的销量；
第二个约束条件表示由某一产地运往销地的物品数量之和 等于该产地的产量；
第三个约束条件表示变量的非负条件。
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运筹学
设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机， 日生产能力分别是：50，60，50，供应四个 门市部，日销售量分别是：40，40，60，20 台，从各分厂运往个门市部的运费如表所示， 试安排一个运费最低的运输计划。
运筹学
运输问题建模及分析
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运筹学
1.1 运输问题数学模型
煤炭、钢铁、木材、粮食等物资,在全国有若干 生产基地，据已有交通网，应如何制定调运方案， 将这些物资运到各消费地点，而使总运费最小。
这类问题可用以下数学语言来描述：假设有m个 生产地点，可以供应某种物资(以后称为产地)，用 Ai表示，i=1,2,,m；有n个销售地，用Bj表示， j=1,2,,n；产地的产量和销售地的销售量分别为 ai ,i=1,2,,m和bj，j=1,2,,n，从Ai到Bj运输单 位物资的运价为cij，这些数据可汇总于如表。
二是当在中间步骤的未划去的单位运价表中寻找 最小元素时，发现该元素所在行的剩余产量等于该 元素所在列的剩余销售量。这时在产销平衡表相应 的位置填上一个数，同时划去一行和一列，需要在 同时划去的行或列的任一空格位置添上一个“0”。
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运筹学
某公司有3个生产同类产品的工厂，生产的产品由4个 销售点销售，各工厂的生产量、各销售点的销售量以 及各工厂到各销售点的单位产品运价如表所示。利用 最小元素法，求该公司的初始调运方案。
门市部 工厂
1 2 3 需求总计 1 9 7 6 40 2 12 3 5 40 3 9 7 9 60 4 6 7 11 20 5 0 0 0 20 供应总计 50 80 50
供应量＝180，需求量＝180，供需平衡。
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设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机， 日生产能力分别是：50，60，50，供应四个门 市部，日销售量分别是：40，70，60，20台， 从各分厂运往个门市部的运费如表所示，试安 排一个运费最低的运输计划。
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运筹学
特点与处理办法
• 特点
a b
i 1 i j 1
m
n
j
• 处理办法：增加一个虚产地m+1，使
am1 b j ai
且
n
m
cm1, j 0 ，化为平衡问题。
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j 1
i 1
运筹学
设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机， 日生产能力分别是：50，60，50，供应四个门 市部，日销售量分别是：40，70，60，20台， 从各分厂运往个门市部的运费如表所示，试安 排一个运费最低的运输计划。
4 xij ai , i 1,2,3 j 1 3 s.t. xij b j , j 1,2,3,4 i 1 xij 0
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运筹学
设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机，日生 产能力分别是：50，80，50，供应四个门市部， 日销售量分别是：40，40，60，20台，从各分 厂运往个门市部的运费如表所示，试安排一个运 费最低的运输计划。