第三章流体动力学
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工程流体力学--第三章--流体动力学基础ppt课件
当地加速度和迁移加速度的理解，现举例说明这两个加速
度的物理意义。如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中 间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的 速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2 点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移
加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变
第三章 流体动力学基础
§1–1 描述流体运动的两种方法
§1–2 流体运动的一些基本概念
§1–3 流体运动的连续性方程
§1–4 理想流体的运动微分方程
§1–5 理想流体微元流束的伯努力方程
§1–6 伯努利（Bernoulli）方程的应用
§1–7 定常流动的动量方程和动量矩方程
§1–8 液体的空化和空蚀现象
拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体 质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本
2021/4/19
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的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的
位置可表示为：
X=x (a，b，c，t)
y=y (a，b，c，t)
z=z (a，b，c，t)
(3-1)
式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、 b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、 b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。 对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到 某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉
(3-2) (3-3)
az w t t22 zaz(a,b,c,t)
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式（3-6）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间 求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量
u dx dt
度的物理意义。如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中 间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的 速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2 点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移
加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变
第三章 流体动力学基础
§1–1 描述流体运动的两种方法
§1–2 流体运动的一些基本概念
§1–3 流体运动的连续性方程
§1–4 理想流体的运动微分方程
§1–5 理想流体微元流束的伯努力方程
§1–6 伯努利（Bernoulli）方程的应用
§1–7 定常流动的动量方程和动量矩方程
§1–8 液体的空化和空蚀现象
拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体 质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本
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的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的
位置可表示为：
X=x (a，b，c，t)
y=y (a，b，c，t)
z=z (a，b，c，t)
(3-1)
式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、 b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、 b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。 对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到 某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉
(3-2) (3-3)
az w t t22 zaz(a,b,c,t)
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式（3-6）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间 求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量
u dx dt
第3章流体力学连续性方程微分形式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
du p p p du d y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt d
<I> <II> <III>
p 2、均匀不可压缩流体，即=Const； <II>= d ( )
中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。 受力分析(x方向为例)： 1.表面力
z
A'
D' M p(x,y,z) B' N
C'
p dx p x 2
dz dx D dy A
O
o’
p dx p Cx 2
B
x
∵理想流体，∴=0
左表面
y
p dx P p A ( p ) dydz M M 2 x p dx 右表面 P p A ( p ) dydz N N 2 x
2 2 2 2 2 2 ，例： 拉普拉斯算符 x y z 2
2 2 2 u u u x x x u x 2 2 2 x y z 2
第三节 流体动力学基本方程式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三 项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分， 只能在一定条件下积分。 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距ds 的坐标分量），然而相加得：
du p p p du du y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt dt
第03章流体动力学
第三章 流体动力学
Chapter 3 Hydrodynamics
流体动力学是研究流体在外力作用下的运动规律，即研究作用 在流体上的力与流体流动行为之间关系。 在流体静力学中，主要研究作用在静止或相对静止流体体系上 的质量力(体积力)与表面力的平衡关系。这种力是外界或通过外力场 作用在流体体系上的，所以称之为外力。 当流体体系处于任意的流动状态时，流体除了仍然受到以上提 到的力的作用外，根据牛顿粘性定律，处于不均匀流速流动状态的 流体内部会产生抵抗流动不均匀性的粘性力。当流动不稳定时，还 会产生惯性力。于是，外界作用力、粘性力和惯性力等力的平衡关 系共同决定了特定流体体系的流动行为。 流体动力学就是基于有关的物理定律，通过建立相应的平衡数 学方程，来定量描述流体的流动行为，如：流动方式，速度的方 向、大小和分布等。
四、流管、流束与流量
流管：在流场中作一本身不是流线又与流线相交 的封闭曲线，通过这一封闭曲线上各点的 流线所构成的管状表面； 流束：流管内部的流体； 有效截面：处处与流线相垂直的流束的截面积； 流量：单位时间内流过某一有效截面的流体量称 为流过该表面的流量 Q [m3/s]
数学上流量的表达式为： Qv
Vz max Vz ( r 0) R2 P 1 P 2 g 4 L (3 31)
如图所示有一垂直半径为R， 长度为L的直圆管，假定： ①圆管内为层流流动； ②流体的密度和粘度分别为 和 ③ 圆管上、下两端流体所受压力分 别为P1和P2 。 求：圆管内的速度分布？
[分析]：在稳定层流流动状态下，粘性流体中的速度 只沿径向r变化；取图示方向的柱面坐标系统，即： Vz=Vz(r)；为能描述圆管内沿r向变化的速度分布Vz(r)，应 取图示的微元体，厚r，长L，半径为r的薄筒，并建立该 微元题的动量平衡关系式。
Chapter 3 Hydrodynamics
流体动力学是研究流体在外力作用下的运动规律，即研究作用 在流体上的力与流体流动行为之间关系。 在流体静力学中，主要研究作用在静止或相对静止流体体系上 的质量力(体积力)与表面力的平衡关系。这种力是外界或通过外力场 作用在流体体系上的，所以称之为外力。 当流体体系处于任意的流动状态时，流体除了仍然受到以上提 到的力的作用外，根据牛顿粘性定律，处于不均匀流速流动状态的 流体内部会产生抵抗流动不均匀性的粘性力。当流动不稳定时，还 会产生惯性力。于是，外界作用力、粘性力和惯性力等力的平衡关 系共同决定了特定流体体系的流动行为。 流体动力学就是基于有关的物理定律，通过建立相应的平衡数 学方程，来定量描述流体的流动行为，如：流动方式，速度的方 向、大小和分布等。
四、流管、流束与流量
流管：在流场中作一本身不是流线又与流线相交 的封闭曲线，通过这一封闭曲线上各点的 流线所构成的管状表面； 流束：流管内部的流体； 有效截面：处处与流线相垂直的流束的截面积； 流量：单位时间内流过某一有效截面的流体量称 为流过该表面的流量 Q [m3/s]
数学上流量的表达式为： Qv
Vz max Vz ( r 0) R2 P 1 P 2 g 4 L (3 31)
如图所示有一垂直半径为R， 长度为L的直圆管，假定： ①圆管内为层流流动； ②流体的密度和粘度分别为 和 ③ 圆管上、下两端流体所受压力分 别为P1和P2 。 求：圆管内的速度分布？
[分析]：在稳定层流流动状态下，粘性流体中的速度 只沿径向r变化；取图示方向的柱面坐标系统，即： Vz=Vz(r)；为能描述圆管内沿r向变化的速度分布Vz(r)，应 取图示的微元体，厚r，长L，半径为r的薄筒，并建立该 微元题的动量平衡关系式。
流体力学基础-第三章-一维流体动力学基础
1Q1dt 2Q2dt
1. 微小流束连续性方程
1Q1 2Q2 11dA1 22dA2
对不可压缩流体：
1 2 , Q1 Q2 1dA1 2dA2
1. 微小流束连续性方程 推而广之，在全部流动的各个断面上：
Q1 Q2 ~ Q
拉格朗日法(Lagrange method)—“跟踪”法
拉格朗日法是将流场中每一流体质点作为研究对象， 研究每一个流体质点在运动过程中的位置、速度、加 速度及密度、重度、压强等物理量随时间的变化规律。 然后将所有质点的这些资料综合起来，便得到了整 个流体的运动规律。即将整个流体的运动看作许多流 体质点运动的总和。
d 2 4A d 4R d x
非圆形截面管道的当量直径 x
D 4A 4R x
R
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
五、一维流动模型
一维流动： 流动参数是一个坐标的函数； 二维流动： 流动参数是两个坐标的函数； 三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。
二维流动→一维流动
（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以 得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得 出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
流体质点速度为： x a，b，c，t
流体质点加速度为：
v x x a，b，c，t a x t t 2 v y 2 y a，b，c，t a y 2 t t vz 2 z a，b，c，t a z t 2 t
动方向的横断面, 如图中的 1-1，2-2 断面。又称为有效 截面，在流束中与各流线相垂直，在每一个微元流束的过 水断面上，各点的速度可认为是相同的。
流体力学 第三章 流体动力学
按周界性质： ①总流四周全部被固体边界限制——有压流。如 自来水管、矿井排水管、液压管道。 ②总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接 触——无压流。如河流、明渠。 ③总流四周不与固体接触——射流。如孔口、管 嘴出流。
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
第三章 流体动力学积分形式的基本方程
第三章流体动力学积分形式的基本方程§3-1 系统和控制体一、系统系统定质量的流体组成的定体积的物系系统：一定质量的流体组成的一定体积的物系特点：系统可以变形，但质量不变；系统与外界有能量交换，即作功和热传递。
交换即作功和热传递二、控制体控制体：被流体所流过的，相对于某个坐标系来说，固定不变的任何体积控制体表面是封闭表面，称为控制面。
特点：体积和控制面不变（血管除外），控制面上既有质量交换又有能量交换。
D 00d DDt Dt τρτ==∑∫∫∫K V F 000d d n A A τρτ =+∫∫∫∫∫f p()()000d d n A A τρτ =×+×∫∫∫∫∫r f r p●热辐射总辐射热0d R q τρτ∫∫∫2Dt 0τ⎝⎠时刻也,系统体积为，也是控制体体积0τt ()()00t =A t ττΑ= 时刻,系统体积为，t t +Δ0τ′′相应表面为。
为公共部分Α01τ0300102001ττττττ′=− , =−为与交界面010102A ττ ′02001A A A =−A ′′′为与交界面020103A ττ 02001A A =−()t ⎢⎥Δ()()020323ττ⎢⎥⎣⎦由微分中值定理由微分中值定理：()0100A d tdA τ≈Δ∫∫V n i(t ADt t ∂0()ττ——输运公式，即系统导数的欧拉表达式⎛⎞D 0D d Dtτρρτ+∇•=⎜⎟⎝⎠∫∫∫V Dt ρρ+∇•V =0若代入（ρφΦ=D D d ρ()00d Dt Dt ττφρφττ=∫∫∫∫∫∫——3∫∫∫∫∫ A t τ∂⎣⎦⎣⎦单位时间由控制面流入控制体的总能量单位时间控制体中总能量的增量例：写出理想流体作绝热定常流动，且质量力有势情况下能量方程定常流动，则连续性方程为()0A dA=d τρρτ∇=∫∫∫∫∫n V V i i ()0ρ∇=V i 理想流体n p =−p n于是，能量方程中：(dA dA)()n A AdA=pdA −∫∫∫∫i i p V n Vq =q 0=代入后⎛代入后，2A v p e U dA 02ρρ⎞+++=⎜⎟⎝⎠∫∫n V id d 00D D Dt Dt ττρτρτ=∫∫∫∫∫∫V V§3-5 欧拉型积分形式基本方程的应用一. 不可压缩流体对弯管管壁的作用力不可压缩流体流过上图所示固定弯管，设流动是定常的且质量力只有重力是定常的，且质量力只有重力。
流体力学——流体动力学
pB＝47.04kN
pB
b
2
a
3.6 10 0 3.6 a 0.24
a＝6.16m
v2 2g
2
3.15 如图， 水从敞口水池沿一截面有变化的管路排出， 若质量流量 qm＝15kg/s， d1＝100mm， d2＝75mm，不计损失，试求所需的水头 H 以及第二管段中央 M 点的相对压强。 （参考分数： 12 分）
故
pm＝3.94kPa
3.16 如图，由水池通过等直径虹吸管输水，A 点为虹吸管进口处，HA＝0；B 点为虹吸管中 与水池液面齐高的部位，HB＝6m；C 点为虹吸管中的最高点，HC＝7m；D 点为虹吸管的出 口处，HD＝4m。若不计流动中的能量损失，求虹吸管的断面平均流速和 A、B、C 各断面上 的绝对压强。 （参考分数：12 分）
Δh
uA A
d
2 uA p p A 2g
解：由能量方程
2 uA p p A ，得到 2g
由毕托管原理
p pA
12.6h
解得
u A 3.85m / s ， v 0.84u A 3.24m / s ， Q vA 0.102m 3 / s
3.10 如图，用抽水量 Q＝24m3/h 的离心水泵由水池抽水，水泵的安装高程 hs＝6m，吸水管 的直径为 d＝100mm，如水流通过进口底阀、吸水管路、90º弯头至泵叶轮进口的总水头损 失为 hw＝0.4mH2O，求该泵叶轮进口处的真空度 pv。 （参考分数：12 分）
B
C
解：取 1-1 断面在 C 处，2-2 断面在 B 处，自由液面为 0-0 断面，选基准面在 C 处。列 0、1 断面的能量方程，有
3.6 0 0 0 0
pB
b
2
a
3.6 10 0 3.6 a 0.24
a＝6.16m
v2 2g
2
3.15 如图， 水从敞口水池沿一截面有变化的管路排出， 若质量流量 qm＝15kg/s， d1＝100mm， d2＝75mm，不计损失，试求所需的水头 H 以及第二管段中央 M 点的相对压强。 （参考分数： 12 分）
故
pm＝3.94kPa
3.16 如图，由水池通过等直径虹吸管输水，A 点为虹吸管进口处，HA＝0；B 点为虹吸管中 与水池液面齐高的部位，HB＝6m；C 点为虹吸管中的最高点，HC＝7m；D 点为虹吸管的出 口处，HD＝4m。若不计流动中的能量损失，求虹吸管的断面平均流速和 A、B、C 各断面上 的绝对压强。 （参考分数：12 分）
Δh
uA A
d
2 uA p p A 2g
解：由能量方程
2 uA p p A ，得到 2g
由毕托管原理
p pA
12.6h
解得
u A 3.85m / s ， v 0.84u A 3.24m / s ， Q vA 0.102m 3 / s
3.10 如图，用抽水量 Q＝24m3/h 的离心水泵由水池抽水，水泵的安装高程 hs＝6m，吸水管 的直径为 d＝100mm，如水流通过进口底阀、吸水管路、90º弯头至泵叶轮进口的总水头损 失为 hw＝0.4mH2O，求该泵叶轮进口处的真空度 pv。 （参考分数：12 分）
B
C
解：取 1-1 断面在 C 处，2-2 断面在 B 处，自由液面为 0-0 断面，选基准面在 C 处。列 0、1 断面的能量方程，有
3.6 0 0 0 0
三章一元流体动力学基础
例如：水从管中以怎样旳速度流出，风经过门窗等等，只 要懂得一定地点（水龙头处）一定断面（门窗洞口断面）， 而不需要了解某一质点， 或某一流体集团旳全部流动过程
第三节、流线与迹线
1、迹线(path line)：运动中旳某一流体质点，在连续时间
内所占据空间点旳连线，即质点运动旳轨迹 例如：在流动旳水面上洒上某些木屑，木屑随水流漂流旳途径
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 旳流动情况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
▪在流场中，因为辨认空间比辨认某一种质点轻易。所
以，欧拉法在流体力学中被广泛采用。
▪在流动旳流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述
每个质点旳运动是很困难甚至不可能,极难实现，在流体力 学中不常采用。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用得 较多。
三元流动旳连续性方程
利用质量守恒定律还能够导出空间流动旳连续性方 程，其体现式为
ux uy uz 0 x y z
该方程合用于不可压缩流体，对于恒定流和非恒定流均合用。
例题：P56
第六节 理想流体旳运动微分方程
（Euler’s Equation of Motion)
一、推导过程
在某一给定旳瞬间，从流动旳不可压缩性理想流体中任取一微
图3--6 连续性方程推导
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
（质量守恒）
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
u dA (udA (u) ds dA u (dA) ds (u) ds (dA) ds) 0
而合速度u与三个座标轴上旳分速度之间旳关系是：
第三节、流线与迹线
1、迹线(path line)：运动中旳某一流体质点，在连续时间
内所占据空间点旳连线，即质点运动旳轨迹 例如：在流动旳水面上洒上某些木屑，木屑随水流漂流旳途径
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 旳流动情况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
▪在流场中，因为辨认空间比辨认某一种质点轻易。所
以，欧拉法在流体力学中被广泛采用。
▪在流动旳流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述
每个质点旳运动是很困难甚至不可能,极难实现，在流体力 学中不常采用。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用得 较多。
三元流动旳连续性方程
利用质量守恒定律还能够导出空间流动旳连续性方 程，其体现式为
ux uy uz 0 x y z
该方程合用于不可压缩流体，对于恒定流和非恒定流均合用。
例题：P56
第六节 理想流体旳运动微分方程
（Euler’s Equation of Motion)
一、推导过程
在某一给定旳瞬间，从流动旳不可压缩性理想流体中任取一微
图3--6 连续性方程推导
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
（质量守恒）
u dA (u (u) ds) (dA (dA) ds) 0
s
s
u dA (udA (u) ds dA u (dA) ds (u) ds (dA) ds) 0
而合速度u与三个座标轴上旳分速度之间旳关系是：
流体力学 第三章
无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到 的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流 流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
《流体力学》第三章一元流体动力学基础
02
能源领域
风力发电机的设计和优化需要考虑风力湍流对风能转换效率的影响；核
能和火力发电厂的冷却塔设计也需要考虑湍流流动的传热和传质特性。
03
环境工程领域
大气污染物的扩散和传输、城市空气质量等环境问题与湍流流动密切相
关，需要利用湍流模型和方法进行模拟和分析。
06
一元流体动力学的实验研 究方法
实验设备与测量技术
一元流体动力学
研究一元流体运动规律和特性的学科。
研究内容
包括流体运动的基本方程、流体的物理性质、流动状态和流动特 性等。
02
一元流体动力学基本概念
流体静力学基础
静止流体
流体处于静止状态，没有相对运动，只有由于重力引起的势能变 化。
平衡状态
流体内部各部分之间没有相对运动，且作用于流体的外力平衡。
流体静压力
总结词
求解无旋流动的方法主要包括拉普拉斯方程和泊松方程。
详细描述
拉普拉斯方程是描述无旋流动的偏微分方程，它可以通过求 解偏微分方程得到流场的速度分布。泊松方程是另一种求解 无旋流动的方法，它通过求解泊松方程得到流场的速度分布 。
无旋流动的应用实例
总结词
无旋流动在许多工程领域中都有应用，如航 空航天、气象学、环境工程等。
能量方程
• 总结词：能量方程是一元流体动力学的基本方程之一，用于描述流体能量的传递和转化规律。
• 详细描述：能量方程基于热力学第一定律，表示流体能量的变化率等于流入流体的净热流量和外力对流体所做的功。在直角坐标系下，能量方程可以表示为：$\frac{\partial}{\partial t}(\rho E) + \frac{\partial}{\partial x_j}(\rho u_j E + p u_j) = \frac{\partial}{\partial x_j}(k \frac{\partial T}{\partial x_j}) + \frac{\partial}{\partial xj}(\tau{ij} u_i)$，其中$E$为流体 的总能，$T$为温度，$k$为热导率。
第三章流体动力学基础(1)
A Control Volume is a region in space, mass can cross its boundary 8
2019/3/27
流体力学基础
第三章 流体动力学基础
§2 流体运动中的几个基本概念
一、物理量的质点导数（全导数） • 运动中的流体质点所具有的物理量N（例如速度、压强、 密度、温度、质量、动量、动能等）对时间的变化率称 为物理量N的质点导数。 • 流体质点处于静止状态，则不存在质点导数概念； • 质点导数是针对某一物理量； • 质点导数必然是数学上多元复合函数对独立自变量t的 导数
流体微团的标识：通常取 t0 时刻该流体微团的初始空间坐标 （a, b, c ）作为该流体微团的标识 （a, b, c ）可以是直角坐标系下，也可以任选，只要能把所 研究的流体微团彼此区别开即可
2019/3/27
流体力学基础
2
第三章 流体动力学基础
• 拉格朗日变数 ： ( a, b, c ) 和 t • 任一时刻流体微团(a, b, c )的运动空间坐标（x， y，z）
r t
(2)
2019/3/27
流体力学基础
16
第三章 流体动力学基础
• 欧拉参数转换为拉格朗日参数
若已知欧拉法表示的速度场为 v = v (r, t) = v (x, y, z, t ) 利用流体质点的速度关系式： dr/dt = v(r, t) 或分量形式： dx/dt = u(x, y, z, t) dy/dt = v(x, y, z, t) dz/dt = w(x, y, z, t) 设此组常微分方程组的解为： x = x(c1, c2, c3, t) y = y(c1, c2, c3, t) z = z(c1, c2, c3, t) 由起始条件确定积分常数，t=t0时有： a = x(c1, c2, c3, t0) b = y(c1, c2, c3, t0) c = z(c1, c2, c3, t0) 积分常数由拉格朗日参数（a, b, c）表示，获得拉氏与欧氏 参数关系：x=x (a, b, c, t), y=y (a, b, c, t), z=z (a, b, c, t), 原速度场：v = v [x(a,b,c,t), y(a,b,c,t), z(a,b,c,t), t] = v (a,b,c,t) 完成欧氏参数向拉氏参数转换 流体力学基础 17
流体动力学理论基础第三章解析
az= x
uy
ux y
uz
ux z
ay
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
az
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
式中第一项叫时变加速度或当地加速度 (Local Acceleration)，流动过程中流体由于速度 随时间变化而引起的加速度；第二项叫位变速度 ，流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的 加速度(Connective Acceleration)。
uz uz (x、y、z、t)
（x,y,z,t）—欧拉变量
考察不同时刻液体质点通过流场中固定空间点 的运动情况，综合足够多的固定空间点的运动情 况，得到整个液流的运动规律。——流场法
欧拉法不直接追究质点的运动过程，而是研究各时 刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程 置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空 间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够 多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
显然，在欧拉描述中，各空间点上的物理量（实际上是通 过此点的流体质点所具有的物理量）是随时间变化的。因此， 流体的运动参数应该是空间坐标和时间的函数。如流体的速 度、压强和密度可以表示为
z
t时刻
M （x，y，z） O
x
y
ux ux (x, y, z,t) uy uy (x, y, z,t) uz uz (x, y, z,t)
算子
全质 导点 数导
数
d dt
=
t
+ (u )
时变导数 当地导数 局部导数
位变导数 迁移导数 对流导数
中南大学《流体力学》课件第三章动力学
——迹线微分方程
第二节 基本概念
二、迹线和流线
流线
z u2 u1 o y
dl
是流场中的瞬时光滑曲线，曲线上各点的切线方向 与经过该点的流体质点的瞬时速度方向一致。 两矢量方向一致，则其叉积为零。
i
j
k
x
d l u dx dy dz 0 ux uy uz
——流线微分方程
dx dy dz ux u y uz
第一节 描述流体运动的方法
流场 —— 充满运动流体的空间称为流场
一、拉格朗日法 跟踪
是以流场中每一个流体质点作为对象描述流体运动的方法，它 以流体个别质点随时间的运动为基础，通过综合足够多的质点 （即质点系）运动求得整个流动。 ——质点系法
z
(x,y,z,t)
初始时刻t0
新的时刻t
某质点（a,b,c,to）
x f1 (a, b, c, t ) y f 2 (a, b, c, t ) z f (a, b, c, t ) 3
x f1 u x t t y f 2 u y t t u z f 3 z t t
流场运动要素是时空（x,y,z,t）的连续函数
u x F1 ( x, y, z, t ) u y F2 ( x, y, z , t ) u F ( x, y , z , t ) 3 z
x,y,z,t —欧拉变量
du x dF1 u x u x u x u x a u u u x x y z dt dt t x y z du y dF2 u y u y u y u y a u u u y x y z t x y z dt dt a du z dF3 u z u u z u u z u u z x y z z t x y z dt dt
流体力学讲义 第三章 流体动力学基础
第三章流体动力学基础本章是流体动力学的基础。
主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。
此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。
第一节流体流动的基本概念1.流线（1）流线的定义流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。
图3-1为流线谱中显示的流线形状。
（2）流线的作法：在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。
流线是欧拉法分析流动的重要概念。
图3-1 图3-2（3）流线的性质（图3-3）a.同一时刻的不同流线，不能相交。
图3-3因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。
b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。
因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。
c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。
（4）流线的方程（图3-4）根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4设d s为流线上A处的一微元弧长:u为流体质点在A点的流速:因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和d s重合。
所以即展开后得到：——流线方程（3-1）（或用它们余弦相等推得)2.迹线(1)迹线的定义迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。
图3-5中烟火的轨迹为迹线。
(2)迹线的微分方程（3-2）式中，u x,u y,u z均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。
流体力学3-动力学
二、流体动力学基本概念
1. 流束：指在流体中沿流动方向分离出一块基本元面积dA、长为 L的一束流体。 元流（微细流）：指断面无穷小的流束。 总流：指无数微细流的总和。
微元流束
图 3-2 总流和微元流束
3. 流速
质点流速（点速）：指过流断面上各质点的速度，以“u”表示，m/s 断面平均流速（流速）： 指过流断面上各质点的速度的平均值，以“W” 表示，m/s 4.流量：指单位时间内通过某一断面积流体的量。 ① 体积流量（Q）：指单位时间内通过某一断面积流体的体积。m3/s ② 质量流量(m):指单位时间内通过某一断面积流体的质量。Kg/s ③ 重量流量（G）：指单位时间内通过某一断面积流体的重量。 三者之间关系： m = ρQ G = mg = ρQg 体积流量Q与流速W之间关系： Q = WA （A—流体通过的某一断面面积）
Q1 = Q2
W1 A1 = W2 A2
Q1 = Q2 + Q3
分流时：
W1 A1 = W2 A2 + W3 A3
Q1 + Q2 = Q3
合流时：
W1 A1 + W2 A2 = W3 A3
§3-4 流体流动伯努利方程
伯努利方程从功能原理出发，描述流体在外力作用下是按照什 么规律来运动的，从而求出流速的绝对值等。
ρw12
2
= ( ρ − ρ a ) gZ 2 + P2 +
2 ρ w2
2
+ ∆ P1− 2
对于1，3 断面的伯努利方程如下：
不同条件下临界流速Wk不同；但是临界雷诺数Rek都是相同的， 其值约为2000，
Re ≤ 2000 层流 2000 < Re < 4000 过渡态 Re ≥ 4000 紊流
流体力学 第3章流体动力学基础
第3章 流体动力学基础教学提示：流体力学是研究流体机械运动的一门学科，与理论力学中分析刚体运动的情况相似。
如研究的范围只限于流体运动的方式和状态，则属于流体运动学的范围。
如研究的范围除了流体运动的方式和状态以外，还联系到流体发生运动的条件，则属于流体动力学的范围。
前者研究流体运动的方式和速度、加速度、位移等随空间与时间的变化，后者研究引起运动的原因和流体作用力、力矩、动量和能量的方法。
如前所述，流体力学的研究方法是基于连续介质体系的，重点研究由流体质点所组成的连续介质体系运动所产生的宏观效果，而不讨论流体分子的运动。
与处于相对平衡状态下的情况不同，处于相对运动状态下的实际流体，粘滞性将发生作用。
由于流体具有易流动性和粘滞性的影响，因此流体力学的研究方法与固体力学有明显的区别。
教学要求：流体运动的形式虽然多种多样的，但从普遍规律来讲，都要服从质量守恒定律、动能定律和动量定律这些基本原理。
在本章中，我们将阐述研究流体流动的一些基本方法，讨论流体运动学方面的一些基本概念，应用质量守恒定律、牛顿第二运动定律、动量定理和动量矩定理等推导出理想流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、欧拉方程、伯努利方程、动量方程、动量矩方程等，并举例说明它们的应用。
3.1 流体运动的描述方法要研究流体运动的规律，就要建立描述流体运动的方法。
在流体力学中，表达流体的运动形态和方式有两种不同的基本方法：拉格朗日法和欧拉法。
3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法是瑞士科学家欧拉首先提出的，法国科学家J. L.拉格朗日作了独立的、完整的表述和具体运用。
该方法着眼于流体内部各质点的运动情况，描述流体的运动形态。
按照这个方法，在连续的流体运动中，任意流体质点的空间位置，将是质点的起始坐标),,(c b a (即当时间t 等于起始值0t 时的坐标)以及时间t 的单值连续函数。
若以r 代表任意选择的质点在任意时间t 的矢径，则： ),,,(t c b a r r = (3-1) 式中，r 在x 、y 、z 轴上的投影为x 、y 、z ；a 、b 、c 称为拉格朗日变量。
3流体动力学
19
工程流体力学
连续性方程的应用
3.流体动力学
连续性方程表明：
通过各个断面上的流体质量是相等的，流体通过管 道各断面上的流速和其断面面积成反比。在图a所示的管 路中，由于A1>A2，所以V1<V2。
对于有分支的管道，连续性方程就是： Q1=Q2+Q3+Q4即在有分支的管道中，各输入管道的
流量之和等于各输出管道流量之和。
流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流 线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向， 由流线的密集程度，也可以判定出速度的大小。流线 的引入是欧拉法的研究特点。例如在流动水面上同时 撤一大片木屑，这时可看到这些木屑将连成若干条曲 线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的流动方向线 就是流线。
12
工程流体力学
9
工程流体力学
3.流体动力学
2、 二元流(two-dimensional flow):
流体主要表现在两个方向的流动，而第三个方向的流 动可忽略不计，即流动流体的运动要素是二个空间坐标 （不限于直角坐标）函数。 如实际液体在圆截面（轴对 称）管道中的流动。
3、三元流（three-dimensional flow):
2）质量流量Qm
单位时间内通过过流截面的流体质量称为质量流量,以 Qm表示，其单位为kg/s.
3）关系：
Qm Q
17
工程流体力学
3.流体动力学
3、断面平均流速
平均流速为流量与过流断面通流面积之比。实
际上由于液体具有粘性，液体在管道内流动时，通 流截面上各点的流速是不相等的。管道中心处流速 最大；越靠近管壁流速越小；管壁处的流速为零。 为方便起见，以后所指流速均为平均流速。
21
工程流体力学
连续性方程的应用
3.流体动力学
连续性方程表明：
通过各个断面上的流体质量是相等的，流体通过管 道各断面上的流速和其断面面积成反比。在图a所示的管 路中，由于A1>A2，所以V1<V2。
对于有分支的管道，连续性方程就是： Q1=Q2+Q3+Q4即在有分支的管道中，各输入管道的
流量之和等于各输出管道流量之和。
流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流 线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向， 由流线的密集程度，也可以判定出速度的大小。流线 的引入是欧拉法的研究特点。例如在流动水面上同时 撤一大片木屑，这时可看到这些木屑将连成若干条曲 线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的流动方向线 就是流线。
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工程流体力学
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工程流体力学
3.流体动力学
2、 二元流(two-dimensional flow):
流体主要表现在两个方向的流动，而第三个方向的流 动可忽略不计，即流动流体的运动要素是二个空间坐标 （不限于直角坐标）函数。 如实际液体在圆截面（轴对 称）管道中的流动。
3、三元流（three-dimensional flow):
2）质量流量Qm
单位时间内通过过流截面的流体质量称为质量流量,以 Qm表示，其单位为kg/s.
3）关系：
Qm Q
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工程流体力学
3.流体动力学
3、断面平均流速
平均流速为流量与过流断面通流面积之比。实
际上由于液体具有粘性，液体在管道内流动时，通 流截面上各点的流速是不相等的。管道中心处流速 最大；越靠近管壁流速越小；管壁处的流速为零。 为方便起见，以后所指流速均为平均流速。
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水力学：第三章 流体动力学理论基础
若过水断面为渐变流，则在断面上 得
g
积分可
p
(z
p
Q
g
) gdQ ( z
p
g
) g dQ ( z
u x t p t 0 u y t 0 t u z
非恒定流：流场中任何点上有任何一个运动要素是随 时间而变化的。
6
二、 迹线与流线
拉格朗日法研究个别流体质点在不同时刻的运动情况 ，引出了迹线的概念。 欧拉法考察同一时刻流体质点在不同空间位置的运动 情况引出了流线的概念。
u x x
t
0
0
u y y
常数
u z z 0
22
二、 恒定不可压缩总流的连续性方程
液流的连续性方程是质量守恒定律的一种特殊方式。 取恒定流中微小流束如图所示: 因液体为不可压缩的连续介质，有
1 2
根据质量守恒定律在dt时段内
流入的质量应与流出的质量
）于1738年首先推导出来的。
28
二、实际流体恒定元流的能量方程
理想流体没有粘滞性无须克服内摩擦力而消耗能量，
其机械能保持不变。
对实际流体，令单位重量流体从断面1-1流至断面2-2
所失的能量为
hw
'
。则1-1断面和2-2断面能量方程为：
p1
z1
g
u1
2
2g
z2
p2
g
u2
2
2g
hw
相等。
u 1 dA 1 dt u 2 dA 2 dt u 1 dA 1 u 2 dA 2
第三章流体动力学理论基础
连续性方程说明了流速与过水断面的关系，是运 动学方程；能量方程则是从动力学的观点讨论 流体各运动要素之间的关系。
一、理想流体恒定元流的能量方程 (伯诺里方程）
依据：动能定理
运动流体的动能增量等于作用 在它上面各力做功的代数和。
动能增量
dA1
1
1’
u1
dm dl1dA1 dl2dA2
uy
ux y
uz
ux z
法有， 加将速度（a分xy ,y量,dz）u的y (看x表d,ty成达, z是,式t) 时间＝t的ut函y 数， u则x uxy
uy
uy y
uz
uy z
az
duz (x, y, dt
z,t)
uz t
ux
uz x
6.断面平均流速
若过流断面上各点的流 ω 速都相等（等于v）， 此时通过的流量与实际 流速为不均匀分布时通 过的流量相等，v就叫 做断面平均流速。
x
不均匀分布
Q ud
断面平均流速v
Q vd v
Q ud vd v
vQ
四、均匀流与非均匀流
1.均匀流
流体静力学
关于流体平衡的规律 ，它研究流体处于静 止（或相对平衡）状 态时，作用于流体上 的各种力之间的关系 。
流体动力学
关于流体运动的规律， 它研究流体在运动状 态时，作用于流体上 的力与运动要素之间 的关系，以及流体的 运动特性与能量转换 等等。
第一节 描述流体运动的两种方法
流体运动时，表征运动特征的运动要素一般随 时空而变，而流体又是众多质点组成的连续介质
③在恒定流条件下，流线的形状及位置以及流谱不随时 间发生变化，且流线与迹线重合。
一、理想流体恒定元流的能量方程 (伯诺里方程）
依据：动能定理
运动流体的动能增量等于作用 在它上面各力做功的代数和。
动能增量
dA1
1
1’
u1
dm dl1dA1 dl2dA2
uy
ux y
uz
ux z
法有， 加将速度（a分xy ,y量,dz）u的y (看x表d,ty成达, z是,式t) 时间＝t的ut函y 数， u则x uxy
uy
uy y
uz
uy z
az
duz (x, y, dt
z,t)
uz t
ux
uz x
6.断面平均流速
若过流断面上各点的流 ω 速都相等（等于v）， 此时通过的流量与实际 流速为不均匀分布时通 过的流量相等，v就叫 做断面平均流速。
x
不均匀分布
Q ud
断面平均流速v
Q vd v
Q ud vd v
vQ
四、均匀流与非均匀流
1.均匀流
流体静力学
关于流体平衡的规律 ，它研究流体处于静 止（或相对平衡）状 态时，作用于流体上 的各种力之间的关系 。
流体动力学
关于流体运动的规律， 它研究流体在运动状 态时，作用于流体上 的力与运动要素之间 的关系，以及流体的 运动特性与能量转换 等等。
第一节 描述流体运动的两种方法
流体运动时，表征运动特征的运动要素一般随 时空而变，而流体又是众多质点组成的连续介质
③在恒定流条件下，流线的形状及位置以及流谱不随时 间发生变化，且流线与迹线重合。
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某瞬时，整个流场各空间点处的状态
ux ? ux (x, y, z,t) u y ? u y (x, y, z, t) uz ? uz (x, y, z, t)
p ? p(x, y, z,t)
以固定空 间、固定 断面或固 定点为对 象，应采 用欧拉法
? ? ? (x, y, z,t) 式中： 坐标x、y、z、t为欧拉变量。
u1
流内各点的运动参数(z、
u、p)均相同。
?总流 过流断面为有限面积的流管中的流动叫总
流。总流可看作无数个元流的集合。
dA2
u2
三、流体的运动要素
?单位时间内通过某
一过流断面 的流体体 积，称为流量 ，单位 dA1
u1
为 m3/s
dA2
u2
dQ ? udA
Q ? ?dQ ? ?udA
Q
A
?设想过流断面上各点的流速都均匀分布，且等
uz ?
?t
加速度：
ax
?
?ux(a,b, c,t) ?t
ay
?
?uy (a , b, c, t) ?t
az
?
?uz (a,b,c,t) ?t
2. 欧拉法 ——以液体质点的空间 —流场为研究对象 ， 研究流场中各液体质点在同一时刻的运动情况，并 将每个时刻汇总，从而得到整个流体的运动情况。 （空间法）
流体动力学
描述流体运动的两种方法 流体运动的基本概念
恒定总流的连续性方程 恒定元流的能量方程
渐变流过流断面的压强分布规律 恒定总流的能量方程
恒定总流能量方程的应用 恒定总流的动量方程
本章重点
本章学习指导
描述流体运动的两种方法，流体运动的基本概念； 恒定总流的连续性方程及其应用； 恒定总流的能量方程及其应用； 恒定总流的动量方程及其应用。
清晰，但 处理问题 十分困难
t0时，质点的初始坐标（ a、b、c）作为该质点的位移方程：
x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t) ，z=z(a,b,c,t)，
其中： a、b、c、t为拉格朗日变数。
速度：
ux
?
?x(a,b, c,t) ?t
uy
?
?y(a, b, c,t) ?t
?z(a, b, c, t)
二元流动：与两个空间自变量有关 。 u ? u?x, y?
三元流动：与三个空间自变量有关 。u ? u?x, y, z?
?注意： 任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生
的，二元和一元流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和 抽象，以便分析处理。
? 一元简化
s
? 元流是严格的一元流动。
? 在实际问题中，常把总流也简化为一元流动 ，但由于
拉格朗日法
以流体质点为研究对象 ， 研究液体质点在不同时刻 的运动情况。
欧拉法
是描述流体运动 常用的一种方法。
以液体质点的空间 ——流 场为研究对象 ，研究流场 中各液体质点在同一时刻 的运动情况。
研究流体运动的两种方法
1.拉格朗日法 ——以流体质点为研究对象 ， 物理概念
研究液体质点在不同时刻的运动情况 ,再将 每个质点的运动汇总起来，从而得到整个 流体的运动情况。
加速度
ax
?
?u x ?t
?
ux
?u x ?x
?
uy
?ux ?y
?
uz
?u x ?z
ay
?
?u y ?t
?
ux
?u y ?x
?
uy
?u y ?y
?
uz
?u y ?z
az
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
?
?u z ?t
?
ux
?u z ?x
?
uy
?u z ?y
?
uz
?u z ?z
当地加速度 （时变加速度）
迁移加速度 (位变加速度 )
过流断面上的流动要素一般是不均匀的，所以一维简化的关键 是要在过流断面上给出运动要素的代表值，通常的办法是 取平 均值。
补充例题：
第三节 恒定总流连续性方程
恒定总流的连续性方程
? 连续性方程 ——质量守
恒定律对流体运动的一个基
本约束，建立流体流速与运
动面积的关系。
Qm
A1
Qm A2
? 几个假定：恒定条件下，
它们只是空间位置坐标的函数，时变加速度为零。
（二） 均匀流、非均匀流
运动要素是否沿程变化 ？
均匀流
非均匀流
均匀流时，迁移加速度为零
?注意： 均匀流的流线必为相互平行的直线，而
非均匀流的流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。
（三）一元流、二元流、三元流 （补）
一元流动：只与一个 空间自变量 有关 。 u ? u?x?
全加速度
a?
a
2 x
?
a
2 y
?
a
2 z
第二节 流体运动的基本概念 (欧拉法)
迹线 ——是流体质点运动的轨迹线， 与拉格朗日 观点 相对应的概念。
流线 ——是流速场的矢量线，是 某瞬时 对应的流场的 一条曲线，该瞬时位于流线上的流体质点之速度矢量 都和流线相切，是与 欧拉法观点相对应的概念。
? 根据流线的定义
推断：流线不能相交，也不能转折，是光滑的曲线或直线；
?迹线和流线最基本的差别是：
迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线 (与拉格 朗日观点对应 ); 流线 是同一时刻、不同流体质点 速度矢量 与之相切 的曲线(与欧拉观点相对应 )。
? 在恒定流情况下，迹线与流线重合 。？？？？ p33
二、 流管、微小流束、总流、过流断面
本章研究流体运动的基本方程式及其应用，并简要介绍如何运用这些基本 方程式分析解决实际工程问题。
三大方程 是分析流体流动现象，研究流体运动的重要“工具”，也是分析 解决实际工程的流体力学问题最重要的理论基础。必须正确理解，明确建 立这些方程式的条件和适用范围，掌握其运用。
第一节 描述流体运动的两种方法 一、描述流动的两种方法
于 v ，按这一流速计算所得的流量与按各点的真 实流速计算所得的流量相等，则把流速 v定义为 断面平均速度 ，单位为 m/s
Q ? ?udA? vA A
四、流体运动的类型
恒定流、非恒定流
? 若流场中各空间点上的任何运动要素 均不随时
间变化，称流动为 恒定流。否则，为 非恒定流。
? 恒定流中，所有物理量的表达式中将不含时间，
? 总流管的形状、位置不随时间变化。 ? 流体一般可视为不可压缩的连续介质，其密度为常数 。 ? 没有流体穿过总流管侧壁流入或流出，流体只能通过两个 过流断面进出控制体。
?在 流 场 中 ， 取 一
条不与流线重合的封 闭曲线 L，在同一时 L 刻过 L上每一点作流 线，由这些流线围成 的管状曲面称为 流管， 充满液体的流管称为 流束。
流管 流线
? 与流线一样，流
管是瞬时概念。
?过流断面 与流线正交的流束的横断面
?元流
过流断面为无限小的流管
叫元流管，其中的流动称
为元流（微小流束）。元 dA1
ux ? ux (x, y, z,t) u y ? u y (x, y, z, t) uz ? uz (x, y, z, t)
p ? p(x, y, z,t)
以固定空 间、固定 断面或固 定点为对 象，应采 用欧拉法
? ? ? (x, y, z,t) 式中： 坐标x、y、z、t为欧拉变量。
u1
流内各点的运动参数(z、
u、p)均相同。
?总流 过流断面为有限面积的流管中的流动叫总
流。总流可看作无数个元流的集合。
dA2
u2
三、流体的运动要素
?单位时间内通过某
一过流断面 的流体体 积，称为流量 ，单位 dA1
u1
为 m3/s
dA2
u2
dQ ? udA
Q ? ?dQ ? ?udA
Q
A
?设想过流断面上各点的流速都均匀分布，且等
uz ?
?t
加速度：
ax
?
?ux(a,b, c,t) ?t
ay
?
?uy (a , b, c, t) ?t
az
?
?uz (a,b,c,t) ?t
2. 欧拉法 ——以液体质点的空间 —流场为研究对象 ， 研究流场中各液体质点在同一时刻的运动情况，并 将每个时刻汇总，从而得到整个流体的运动情况。 （空间法）
流体动力学
描述流体运动的两种方法 流体运动的基本概念
恒定总流的连续性方程 恒定元流的能量方程
渐变流过流断面的压强分布规律 恒定总流的能量方程
恒定总流能量方程的应用 恒定总流的动量方程
本章重点
本章学习指导
描述流体运动的两种方法，流体运动的基本概念； 恒定总流的连续性方程及其应用； 恒定总流的能量方程及其应用； 恒定总流的动量方程及其应用。
清晰，但 处理问题 十分困难
t0时，质点的初始坐标（ a、b、c）作为该质点的位移方程：
x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t) ，z=z(a,b,c,t)，
其中： a、b、c、t为拉格朗日变数。
速度：
ux
?
?x(a,b, c,t) ?t
uy
?
?y(a, b, c,t) ?t
?z(a, b, c, t)
二元流动：与两个空间自变量有关 。 u ? u?x, y?
三元流动：与三个空间自变量有关 。u ? u?x, y, z?
?注意： 任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生
的，二元和一元流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和 抽象，以便分析处理。
? 一元简化
s
? 元流是严格的一元流动。
? 在实际问题中，常把总流也简化为一元流动 ，但由于
拉格朗日法
以流体质点为研究对象 ， 研究液体质点在不同时刻 的运动情况。
欧拉法
是描述流体运动 常用的一种方法。
以液体质点的空间 ——流 场为研究对象 ，研究流场 中各液体质点在同一时刻 的运动情况。
研究流体运动的两种方法
1.拉格朗日法 ——以流体质点为研究对象 ， 物理概念
研究液体质点在不同时刻的运动情况 ,再将 每个质点的运动汇总起来，从而得到整个 流体的运动情况。
加速度
ax
?
?u x ?t
?
ux
?u x ?x
?
uy
?ux ?y
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ay
?
?u y ?t
?
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az
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
?
?u z ?t
?
ux
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当地加速度 （时变加速度）
迁移加速度 (位变加速度 )
过流断面上的流动要素一般是不均匀的，所以一维简化的关键 是要在过流断面上给出运动要素的代表值，通常的办法是 取平 均值。
补充例题：
第三节 恒定总流连续性方程
恒定总流的连续性方程
? 连续性方程 ——质量守
恒定律对流体运动的一个基
本约束，建立流体流速与运
动面积的关系。
Qm
A1
Qm A2
? 几个假定：恒定条件下，
它们只是空间位置坐标的函数，时变加速度为零。
（二） 均匀流、非均匀流
运动要素是否沿程变化 ？
均匀流
非均匀流
均匀流时，迁移加速度为零
?注意： 均匀流的流线必为相互平行的直线，而
非均匀流的流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。
（三）一元流、二元流、三元流 （补）
一元流动：只与一个 空间自变量 有关 。 u ? u?x?
全加速度
a?
a
2 x
?
a
2 y
?
a
2 z
第二节 流体运动的基本概念 (欧拉法)
迹线 ——是流体质点运动的轨迹线， 与拉格朗日 观点 相对应的概念。
流线 ——是流速场的矢量线，是 某瞬时 对应的流场的 一条曲线，该瞬时位于流线上的流体质点之速度矢量 都和流线相切，是与 欧拉法观点相对应的概念。
? 根据流线的定义
推断：流线不能相交，也不能转折，是光滑的曲线或直线；
?迹线和流线最基本的差别是：
迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线 (与拉格 朗日观点对应 ); 流线 是同一时刻、不同流体质点 速度矢量 与之相切 的曲线(与欧拉观点相对应 )。
? 在恒定流情况下，迹线与流线重合 。？？？？ p33
二、 流管、微小流束、总流、过流断面
本章研究流体运动的基本方程式及其应用，并简要介绍如何运用这些基本 方程式分析解决实际工程问题。
三大方程 是分析流体流动现象，研究流体运动的重要“工具”，也是分析 解决实际工程的流体力学问题最重要的理论基础。必须正确理解，明确建 立这些方程式的条件和适用范围，掌握其运用。
第一节 描述流体运动的两种方法 一、描述流动的两种方法
于 v ，按这一流速计算所得的流量与按各点的真 实流速计算所得的流量相等，则把流速 v定义为 断面平均速度 ，单位为 m/s
Q ? ?udA? vA A
四、流体运动的类型
恒定流、非恒定流
? 若流场中各空间点上的任何运动要素 均不随时
间变化，称流动为 恒定流。否则，为 非恒定流。
? 恒定流中，所有物理量的表达式中将不含时间，
? 总流管的形状、位置不随时间变化。 ? 流体一般可视为不可压缩的连续介质，其密度为常数 。 ? 没有流体穿过总流管侧壁流入或流出，流体只能通过两个 过流断面进出控制体。
?在 流 场 中 ， 取 一
条不与流线重合的封 闭曲线 L，在同一时 L 刻过 L上每一点作流 线，由这些流线围成 的管状曲面称为 流管， 充满液体的流管称为 流束。
流管 流线
? 与流线一样，流
管是瞬时概念。
?过流断面 与流线正交的流束的横断面
?元流
过流断面为无限小的流管
叫元流管，其中的流动称
为元流（微小流束）。元 dA1