完全平方公式 .2.2完全平方公式(一)
《完全平方公式》
《完全平方公式》完全平方公式是数学中的一个重要公式，其实际应用非常广泛。
完全平方公式的概念比较简单，即对任意实数a和b，有(a+b)²=a²+2ab+b²。
完全平方公式的这个形式可以拆解开来，得到a²和b²，非常有用。
从几何角度看，完全平方公式可以简化两个线段相加的平方求和计算。
例如，将两根线段相加，然后求和再平方，即(a+b)²。
可以使用完全平方公式将这个式子简化为a²+2ab+b²。
这两者相等，可以通过数学推导证明。
完全平方公式在代数中的应用非常广泛。
例如，当我们需要展开一个含有两项的平方时，可以直接使用完全平方公式。
例如，将(a+b)²展开，得到的式子就是完全平方公式的形式。
可以通过这种方式将一个复杂的式子简化为更简单的形式。
完全平方公式还可以用于解一元二次方程，即形如ax²+bx+c=0的方程。
我们可以通过配方法（即二项式的平方）和完全平方公式来求解该方程。
首先，对方程两边进行配方法，即将方程左边看成一个完全平方，然后利用完全平方公式将其展开。
通过对比方程两边的系数，我们可以得到一个关于x的一元二次方程。
完全平方公式也广泛应用于数学推导中。
例如，我们如果需要证明一个式子具有一些性质，可以使用完全平方公式将式子进行展开，然后得到一个更加清晰、易于理解的形式。
这样，我们就可以更容易地证明该式子的性质。
完全平方公式在实际应用中也有一些具体的例子。
例如，我们可以用完全平方公式来计算矩形的对角线长。
假设一矩形的两边长分别为a和b，利用完全平方公式可以得到矩形对角线长为√(a²+b²)。
完全平方公式还可以用于计算两个数的平均数的平方。
例如，设两个数的平均数为a，差值为b，利用完全平方公式可以计算出这两个数。
我们知道两个数之差的一半为平均数，即(a+b/2)²=a²+b²/4、通过进一步整理，我们可以得到这两个数。
完全平方公式(1)
2 (a-b)
完全平方公式的数学表达式：
2 (a+b) (a+b)22= =a a22 +2ab+b +b2 +2ab
2 2 2 2 2 2 (a b) = a 2ab+b (a-b) = a +b - 2ab
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
p2-2p+1 (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ________;
(4) (m-2)2 = __________. m2-4m+4
算一算：
2 (a+b)
=(a+b) (a+b) 2 2 = a +ab +ab +b 2 2 = a +2ab+b =(a-b) (a-b) 2 2 = a - ab - ab +b 2 2 = a - 2ab+b
完全平方公式
回顾 & 思考
平方差公式
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
公式的结构特征: 左边是 右边是 两数和与这两数差的积. 相同项的平方减去相反项的平方
２.计算下列各题:
1.(2 x 3)(2 x 3) = 4 x 2 9 2.(3x y)(3x y) = y 2 9 x2
2
2
2
2 (a+b) =
2 a 2 a
2 +2ab+b
公式特点：
2 (a-b) =
-
2 2ab+b
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和；
第十四章 14.2 14.2.2 完全平方公式
解：原式＝(2000＋18)2＝20002＋2×2000×18＋182＝ 4000000＋72000＋324＝4072324.
5. 已知 x＋y＝4，xy＝2，试求： (1)x2＋y2 的值；
解：∵(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy， 又 x＋y＝4，xy＝2，∴x2＋y2＝42－2×2＝16－4＝12；
9. 已知多项式 A＝(x＋2)2＋x(1－x)－9.
(1)化简多项式 A 时，小明的结果与其他同学的不同， 请你检査．
小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出 现错误的是出错的是①；正确的解答过程为 正确的解
答过程为：A＝x2＋4x＋4＋x－x2－9＝5x－5 ．
(2)小亮说：“只要给出 x2－2x＋1 的合理的值，即可 求出多项式 A 的值．”小明给出 x2－2x＋1 值为 4，请你 求出此时 A 的值．
．
【解析】由题意，①9x2＋1－9x2＝12；②9x2＋1－1 ＝(3x)2；③9x2＋1±6x＝(3x±1)2；④9x2＋1＋841x4＝(92x2＋ 1)2.
7. 计算： (1)(x＋3)(x－3)(x2－9)； 解：原式＝x4－18x2＋81； (2)(a＋2b－c)(a－2b－c)；
解：原式＝a2－2ac＋c2－4b2.
4. 已知 a－b＝2，b－c＝3，则 a2－2ac＋c2＝ 25 ．
5. 若x＋1x2＝9，则x－1x2的值为 5
．
6. (易错题)多项式 9x2＋1 加上一个单项式后，能成为
一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 6x 或
－6x 或841x4 或－9x2 或－1
解：(m＋n)2＝69.
1．完全平方公式的特征：左边是一个二项式的完全 平方，右边是一个二次三项式，其结构是：“首平方，尾 平方，积的 2 倍放中央”．
人教版八年级数学上册课件：14.2.2完全平方公式(第一课时)
(2)理解字母a、b的意义：公式中的字母a、b，它们可以 表示具体的数，也可表示单项式；
(3)运用完全平方公式的口诀为：首平方、尾平方，首尾 2倍在中央，中间符号看首尾．
2．利用完全平方公式 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; (2)(a+b)2-(a-b)2=4ab． 3．计算一些大数的平方时，关键是把已知数的底数拆成
(6)2(x+y)(x-y)-(x+y)2-(x-y)2．
解：原式=-[(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2] =-[(x+y)-(x-y)]2 =-(2y)2 =-4y2．
9．先化简，再求值： (1)(a+2b)2+(b+a)(b-a)，其中a=-1，b=2；
解：原式=a2+4ab+4b2+b2-a2 =4ab+5b2． 当a=-1，b=2时， 原式=4×(-1)×2+5×22=12．
(3)(2x-y)2(2x+y)2； 解：原式=[(2x-y)(2x+y)]2 =(4x2-y2)2 =16x4-8x2y2+y4；
(4)9x(x+1)-(3x-1)2；
解：原式=9x2+9x-9x2+6x-1 =15x-1；
(5)(2x-4y)2+(4y-2x)2； 解：原式=(4x2-16xy+16y2)+(16y2-16xy+4x2) =8x2-32xy+32y2；
11． (1)若(a-b)2=9，ab=2，则(a+b)2= 17 ;
(2)若(x+y)2=11，(x-y)2=7，则xy的值为 1 ;
七年级数学下册 2.2.2 完全平方公式课件 (新版)湘教版
第十六页，共31页。
3.已知x2+16x+k是完全平方式,则常数(chángshù)k等于( )
A.64
B.48
C.32
D.16
【解析】选A.因为16x=2×x×8,所以这两个数是x,8,所以k=82=64.
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题组二:完全平方(píngfāng)公式的应用
1.已知(m-n)2=8,(m+n)2=2,则m2+n2=( )
(m-n)2=8,所以m2-2mn+n2=8①,
又因为(m+n)2=2,所以m2+2mn+n2=2②,
①+②,得2m2+2n2=10,所以m2+n2=5.
【例1】计算(jì suàn)：(1)
(2)(-3m-2n)2.
【思路点拨】观察括号(内2x式子12特)2.点，分清是哪两个数的和或
差，选用两数和或差的完全平方公式进行计算(jì suàn).
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【自主解答(jiědá)】(1)方法一:原式(=2x)2 2 (2x) 1 (1)2 22
4x2 2x 1 . 方法二:原式=4
(2)(-3m-2n)2=((13m2+x2)2n)2(1)2 2 1 2x 2x2 1 2x 4x2.
2
22
4
=(3m)2+2·(3m)·2n+(2n)2=9m2+12mn+4n2.
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【总结提升】运用完全平方公式计算的“技巧” 1.口诀:“首(a)平方、尾(b)平方,首(a)尾(b)乘积的2倍在中央 (zhōngyāng)”. 2.变形:(-a+b)2,(-a-b)2在计算中易出现符号错误,可作如下变 形:(-a+b)2=(b-a)2,(-a-b)2=(a+b)2.
完全平方公式
2．2 完全平方公式（一）【学习目标】1、记住完全平方公式并会灵活应用。
2、能用几何拼图的形式验证完全平方公式。
【学习重点】完全平方公式的灵活应用。
【学习难点】理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．【导学流程】一、提出问题，创设情境请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？学生互相讨论交流。
明确本节的学习目标。
计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=___ ___________；（2）（m+2）2=________________；（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=_______________；（4）（m-2）2=_________________；（5）（a+b）2=______ _______；（6）（a-b）2=_________________．二、独立探究，探索交流自学课本P36-P38,完成以下检测：1、完全平方公式文字叙述：______________________________________________________________.符号叙述：_____________________________________________.2、下列式子符合完全平方公式形式的是（）A、a2+ab+b2B、a2+2a+2C、a2-2b+b2D、a2+2a+1三、精讲点拨，提高升华请同学们总结完全平方公式的结构特征。
公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
初中数学完全平方公式
初中数学完全平方公式完全平方公式是数学中的重要概念，它是解决二次方程问题的基础。
在初中数学中，学习完全平方公式对于解决相关的算式和问题非常有帮助。
接下来，我将详细介绍初中数学中的完全平方公式。
首先，我们要了解什么是完全平方。
在数学中，完全平方是指一个数的平方能够被开根号得到一个整数。
例如，4的平方是16，所以16是一个完全平方数。
类似地，9的平方是81，所以81也是一个完全平方数。
为了方便理解，我们可以通过一个图表来列举一些完全平方数。
完全平方数表：1→12→43→94→165→256→367→498→649→8110→10011→121现在，我们可以来看一下初中数学中的完全平方公式。
完全平方公式有两种形式，一种是求平方的公式，另一种是还原平方的公式。
第一种形式：求平方的公式如果已知一个数x，我们想要求它的平方。
根据完全平方的定义，我们可以得到以下公式：(x + a)² = x² + 2ax + a²在这个公式中，x代表一个数，a代表一个常数。
例如，如果我们想要求4的平方，那么可以将x设为4，a设为2、带入公式得到：(4+2)²=4²+2×4×2+2²6²=16+16+436=36所以，通过这个公式，我们可以轻松地求出任意一个数的平方。
第二种形式：还原平方的公式如果已知一个完全平方数y，我们想要还原它的平方根。
根据完全平方的定义，我们可以得到以下公式：x²=y-(x+a)²同样地，x代表一个数，a代表一个常数。
以9为例，我们想要求9的平方根。
可以将y设为9，x设为3，a设为1、带入公式得到：3²=9-(3+1)²9=9所以，通过这个公式，我们可以轻松地求出任意一个完全平方数的平方根。
除了上述的两种形式，完全平方公式还有其他一些推论和应用。
例如，完全平方公式可以用来求解二次方程，其中的常数项和平方项的系数分别对应于完全平方公式中的a²和2ax。
§15.2.2完全平方公式
提高练习题
总结词：综合运用
详细描述：综合思考题是更高层次的练习，要求学习者能够综合运用完全平方公式和其他数学知识来解决复杂的问题。这些问题通常涉及到多个数学概念和技巧，需要学习者具备较高的思维能力和综合素质。通过解决这类问题，可以提高学习者的数学思维能力和解决问题的能力。
综合思考题
感谢您的观看
THANKS
$ab = frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}$，$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
完全平方公式的变形
利用完全平方公式可以将一元二次方程转化为更简单的形式，从而求解。
解一元二次方程
在代数运算中，完全平方公式可以简化复杂的代数表达式，提高运算效率。
代数运算
在几何图形中，完全平方公式可以用于计算图形的面积和周长等。
完全平方公式是数学中一个重要的恒等式，它在代数、几何和三角学等领域有着广泛的应用。
完全平方公式的意义
02
完全平方公式的证明
总结词
数学归纳法是一种证明完全平方公式的方法，通过归纳推理，逐步推导证明结论。
详细描述
首先，我们假设$n=k$时，公式成立，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。然后，我们考虑$n=k+1$的情况，通过展开$(a+b)^{k+1}$并利用归纳假设，我们可以推导出$(a+b)^{k+1}=[a(a+b)^k+b(a+b)^k]=(a^2+ab+ba+b^2)(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=(a+b)^2$。因此，我们证明了当$n=k+1$时，公式也成立。
人教版八年级数学上册(教案).2.2完全平方公式
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《完全平方公式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或解决速度问题时，发现可以使用简单的数学公式来快速解答？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索完全平方公式的奥秘。
然而，我也发现了一些需要改进的地方。在新课讲授中，我应该更加注重对学生的引导，而不是单一的知识传授。特别是在讲解重点难点时，我应该鼓励学生主动提问和思考，而不是被动接受信息。这样，他们才能更深刻地理解和内化知识。
在小组讨论环节，我观察到学生们在交流和应用完全平方公式解决实际问题时存在一些障碍。这可能是因为我对问题的引导不够明确，或者是学生对公式的掌握还不够熟练。在未来的教学中，我需要设计更多具有针对性的问题和练习，帮助学生更好地将理论应用于实践。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了完全平方公式的推导、记忆方法和在实际问题中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对完全平方公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问进行多项式的乘法运算，以及如何分解因式。
-实际问题中的应用：培养学生将完全平方公式应用于解决实际问题，如计算矩形面积、求解速度问题等。
举例：
-重点强调在多项式乘法中，如何识别并应用完全平方公式，如计算(x+3)²时，引导学生使用完全平方公式而非死记硬背。
完全平方公式(一)
作业：教材 156 页习题第 2 题、第 4 题、第 7 题 教材
§15．2．2 完全平方公式（一） （ 一） 、1．提出问题： 问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2 应该写成什么样的形 式呢？计算下列各式，你能发现什么规律？ （1） （p+1）2=（p+1） （p+1）=_______； （m+2）2=_______； 2 （2） （p-1） =（p-1） （p-1）=________； （m-2）2=___ 2
(2) (y-5)2; (4) (
3 2 2. xy) 4 3
2.下面各式的计算错在哪里 应当怎样改正 下面各式的计算错在哪里?应当怎样改正 下面各式的计算错在哪里 应当怎样改正? (1) (a+ b)2 = a2 +b2; (2) (a – b) 2 =a2 – b2. 简便计算： 例 2：运用完全平方公式计算： 运 （1）1022 （2）992 思考： 思考： (a+b)2 与(-a-b)2 相等吗 相等吗? 2 2 (a-b) 与(b-a) 相等吗 相等吗? 为什么? 为什么
2 (a+b) =a2+2ab+b2
施教时间
年
月 日
(a-b)2=a2-2ab+b2
即：
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和， 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 倍． 或减） 2. 几 何 分 析 ： 你 能 根 据 图 形 的 面 积 ， 写 出 完 全 平 方 公 式 吗 ？ （/page/09-12-21/40141.html）
•
拓展延伸：用完全平方公式计算 拓展延伸： 延伸 xy=3 已知 : x+y=4, 2 2 • (1)x +y 的值 (2) (x-y)2 的值 求 : （四）小结：1、完全平方公式 1 • 完全平方和式：(a+b)2=a2+2ab+b2 完全平方和式： • 完全平方差式：(a-b)2 =a2-2ab+b2 完全平方差式： • 2、应用公式时注意公式的结构特点 • 3、有关数字计算题运用完全平方公式可以使计算简便
2.2完全平方公式 一等奖创新教学设计
2.2完全平方公式一等奖创新教学设计《完全平方公式》的教学设计一、教学目标（一）教学目标：1、通过学生自主学习，合作探究等一系列活动，探索完全平方公式的过程，进一步发展推理能力。
2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。
3、了解完全平方公式的几何背景。
（二）知识与技能：通过自主学习，经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程，进一步培养学生归纳总结的能力,并给公式的应用打下基础。
（三）数学思考：能收集、选择、处理数学信息，并做出合理的推断或大胆的猜测；（四）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。
（五）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难并有独立克服困难勇气和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性；在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。
二、学情分析：在学习完全平方公式之前，学生已经掌握了多项式的乘法计算及平方差公式等知识，这节课的目的就是运用数形结合、转化思想得出完全平方公式,并能正确运用整体思想应用公式。
三、教学重点：完全平方公式的准确应用。
四、教学难点：掌握公式中字母表达式的意义及灵活运用公式进行计算。
五、教学和活动过程：活动1、复习导入（1）复习平方差切入主题师：今天我们要探讨的内容是：完全平方公式，在学习新内容之前，我们先复习一下平方差公式。
（a+b）（a-b）= a2-b2 两数的和乘以两数的差，等于两数的平方差（2）快速口答师：请同学们运用平方差公式快速答题，准备好了吗？（a+2）（a-2）（1+2a）（1-2a）（3a-5b）（3a+5b）（教师用出示平方差公式及口答题，学生运用公式答题，为下面的观察活动做铺垫）（3）观察判断师：请观察，（2a-3b）（2a-3b）能用平方差公式计算吗？（出示题目）【预设】学生应能观察出不符合平方差公式运用条件，教师相机引导学生观察两者的不同，为后面学习完全平方公式观察其运用条件打下基础（4）激发兴趣师：刚刚这道题看起来和之前的题目很相似，可计算过程却如此复杂，这是为什么呢？（通过这个问题，让学生感受到该公式能使计算更简便，激发学生学习兴趣。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是数学中重要的基本定理，它可以将复杂的高等数学问题简化成简单的形式。
它通过分解复数式，使得许多数学问题变得简单明了，也可以用于求解非线性方程，是一个必不可少的数学理论的重要组成部分。
完全平方公式的定义：如果a和b是整数，那么a的完全平方公式表示为：a2 + b2 = c2，其中c也是一个整数。
这里的a和b是两个不同的整数，而c是由a和b构成的两个不同数字的和。
完全平方公式的算法：1.于两个不同的整数a和b，将它们求和，即a+b，然后将该和平方，即（a+b）2。
2.该平方值减去a2和b2，求出它们的差值，即（a+b）2 - a2 - b2。
3.后，根据此差值，结合a和b的值，求出c的值，即a2 + b2 = c2，即 c =（a2 + b2）。
完全平方公式的应用：1.以用完全平方公式来求解非线性方程，即求解x2+2x+1=0，在这个例子中，它可以转化为x2+2x= -1，那么用到完全平方公式，即x2+2x+1=0可以求得x=-1±√2。
2.全平方公式还可以帮助我们解决类似于a2+b2+c2+d2的多项式的求根问题。
例如：a2+b2+c2+d2=3，那么用到完全平方公式，可以求得a2+b2=3-c2-d2，即a2+b2=1，这样就可以把这个问题转变成一个完全平方的求根问题。
3.全平方公式还可以用来解决类似于a2+2ab+b2=c2+2cd+d2的多项式方程。
例如，a2+2ab+b2=4，c2+2cd+d2=9，那么可以分别求出a2，b2和c2，d2，即a2=2，b2=2，c2=7，d2=7，从而求出a，b，c，d的值。
完全平方公式是数学中重要的基本定理，它可以将复杂的高等数学问题简化成简单的形式，给予解决数学问题带来极大的便利，是研究数学理论的最佳工具之一。
它的应用非常广泛，几乎可以用于各种数学问题的解决，也可以用来解决复杂的非线性方程，对于提高数学水平有重要的意义。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是高中数学中最重要的公式之一，它能够帮助学生解决复杂的问题，因而被广泛使用。
完全平方公式的基本内容是一个多项式，它的一般形式如下：ax2 + bx + c = 0。
完全平方公式的原理很简单，它是分解多项式的系统方法，即先将多项式分解为完全平方公式的形式，然后从中求出解。
完全平方公式的分解如下：a(x + b/2a)2 = ax2 + bx + c，其中a为多项式中的系数，b为多项式中的系数，c为多项式中的常数。
现在我们来看看如何使用完全平方公式来求解多项式。
假设有一个如下形式的多项式：x2 + 6x + 9 = 0，即ax2 + bx + c = 0，其中a=1，b=6，c=9。
首先，将多项式分解为完全平方公式：(x + 3)2 = x2 + 6x + 9，即a(x + b/2a)2 = ax2 + bx + c，其中a=1，b=6，c=9。
继而，从多项式一般形式中求出解：x = -3，即x + 3 = 0，所以x = -3。
完全平方公式的应用广泛，它可以用于求解一元二次方程、求取多次方程的解等。
然而，使用完全平方公式需要注意一些重要问题，例如是否能够简化为完全平方公式形式，这得根据实际情况而定。
此外，完全平方公式也可以用于计算各种数学结果，例如计算角的正弦值、余弦值、正切值等。
一般而言，利用完全平方公式就可以快速求出解，从而节省计算时间。
最后，当我们碰到一些复杂的数学问题时，完全平方公式可以提供非常有用的帮助。
它可以帮助我们提高解决数学问题的速度，同时避免出现错误，从而减少计算错误的机会。
综上所述，完全平方公式是高中数学中最重要的公式之一，它能够帮助我们快速准确地解决复杂的数学问题，节省计算时间，减少出错的机会。
湘教版七年级下册第2章2.2.2完全平方公式第1课时(课件)
（1）下列多项式是完全平方式的是
（ D）
A. 4x²+9
B. x²+2x+4
C. x²-4x+2
D. 4x²-4x+1
解析：A只有两项，显然不是完全平方式。B中4是2²， x²+4是两数x、2的平方和，则第三项为2·x·2=4x，故B 不是完全平方式。C中-4x可写成-2·x·2，则另两项为x²， 4，而不是x²，2，因此也不是完全平方式。D是(2x-1)² 的计算结果，符合题意。
2. 运用完全平方公式计算：
(1) (x+4)²；
(3) 5m 1 2 . 2
答案：(1) x²+8x+16；
3 25m2 5m 1 .
4
(2) (2a-3)²； (2) 4a²-12a+9；
3. 下面计算正确的是
（B）
A. (m＋n)²=m²＋n² C. -x(2x＋1)=-2x²＋1
5. 我们把计算和或差的平方得到的二次三项式叫做 完 全 平 方 式 ， 例 如 计 算 (x+1)²=x²+2x+1 ， 则 x²+2x+1 叫做一个完全平方式；同样x²-2x+1也是一个完全平 方式。完全平方式的结构特征是：共有三项，其中 两项是两个数（式）的平方和，一项是加或减这两 数（式）的积的2倍。请你根据完全平方式的结构特 征解决问题：
（2）若x²＋kx+16是一个完全平方式，则k=（ D ）
A. 4
B. 8 C. 4或-4 D. 8或-8
解析：∵ x²＋kx+16是一个完全平方式， ∴ x²＋kx+16=x²±2·x·4+4²=x²±8x+16 . ∴ k=±8. 故选D.
《2.2.2完全平方公式》作业设计方案-初中数学湘教版12七年级下册
《完全平方公式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次《完全平方公式》作业设计的目标主要有以下几点：1. 理解完全平方公式的构成及其意义。
2. 熟练掌握完全平方公式的运用方法，能独立推导和应用。
3. 通过实践操作和自主探究，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、作业内容作业内容主要包括以下部分：1. 基础知识巩固：要求学生复习并掌握完全平方公式的定义、推导过程及基本形式。
通过记忆和默写的方式，加深对公式的理解和记忆。
2. 公式运用练习：设计一系列练习题，包括填空题、选择题和计算题等，要求学生运用完全平方公式进行计算和推导。
3. 实际问题解决：设计一些与完全平方公式相关的实际问题，如面积计算、几何图形面积的推导等，让学生通过实际操作，加深对公式的理解和应用。
4. 自主探究活动：鼓励学生自主设计一些与完全平方公式相关的问题，通过小组合作或个人探究的方式，寻找解决方案，培养学生的创新思维和合作能力。
三、作业要求为保证作业的完成质量和效果，提出以下要求：1. 要求学生独立完成作业，不得抄袭或他人代做。
2. 对基础知识部分要求熟练掌握，并能准确运用在练习题中。
3. 在解决实际问题时，要结合实际情况，灵活运用完全平方公式。
4. 自主探究活动要求学生在小组或个人完成的基础上，提交解决方案和过程记录。
5. 作业需按时提交，如有特殊情况需及时向老师说明。
四、作业评价作业评价将从以下几个方面进行：1. 基础知识的掌握程度。
2. 公式的运用能力和解题思路的准确性。
3. 解决实际问题的能力和创新思维。
4. 自主探究活动的完成情况和记录的详细程度。
评价结果将分为优秀、良好、一般和需努力四个等级，并给予相应的鼓励和建议。
五、作业反馈作业反馈是作业设计的重要环节，主要包括以下几点：1. 对学生的作业进行逐一评价，指出优点和不足。
2. 对共性问题进行集中讲解，帮助学生改正错误。
3. 对优秀作业进行展示和表扬，激励学生积极完成作业。
完全平方公式(一)
练一练
2. 指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1.
又识完全平方公式：
利用完全平方公式计算：
(1) (－1－2x)2 ；
(2) (－2x+1)2
课堂小结
1. 注意完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同． 完全平方公式的结果是三项 即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和 （或差） 的平方，等于它 们的平方和，加上 （或减去） 它们的积的2 倍。
公式的特点认识 (a + b) 2 = a2 + 2ab + b 2 2 2 2 a b a 2ab b
完 （1）左边两数的和的平方，右边是一个二次三 全 项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项 平 的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的两倍。 方 （首平方尾平方，首尾两倍放中央。加的加，减 公 的减，这是公式的特点。） 式 的（2）公式中的a,b可以表示 任意的代数式 特（3）对于两数的和的平方，都可以用此公式。 点
a b
2
2
a 2ab b
2
2
再识完全平方公式：
例1 利用完全平方公式进行计算：
(1) (2x−3)2 ； (2) (4x+5y)2 ; (3) (mn−a)2
练一练
1.计算： (1) ( 1 x − 2y)2 ； 2 1 2 (2) (2xy+ x ) ; 5 (3)(n +1)2 − n2 ; (4) (4x + 0.5)2 ; (5) (2x2－3y2)2
15.2.2完全平方公式(1)课件
(a ± b)2=a2±2ab+b2
2=a2+b2 (1)（a+b)
(2)
2=a2-b2 (a-b)
(a ± b)2=a2±2ab+b2 运用完全平方公式计算 (1) (4m+n)2 (2)(y 1 2 2)
(a ± b)2=a2±2ab+b2
运用完全平方公式计算 (1) ( x + 6 )2 (2) ( y - 5 )2 (3) ( -2x + 5 )2
(a ± b)2=a2±2ab+b2
完全平方公式的应用: (1) 1022 ; (2)992
解:(1) 1022 =(100+2)2
(2) 992
=1002+2×100×2+22 =10000+400+4=10404 =(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =10000-200+1=9801
2x −3 解：(1) (2x−3)2 = ( 2x )2 − 2 • 2x • 3 + 3 2 = 4x2 − 12x + 9 ;
自己做
减去 第一数与第二数 乘积 的2倍, 加上 第二数 的平方.
(2) (3) .
纠
错 练 习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
请同学们完成导学案P93 问题探究一 问题探究二
预习检测
请同学们完成导学案P预习自测
计算下列各式，你能发现什么？ (1) (p+1)2 =(p+1)(p+1)= p2+2p+1 2= (m+2)(m+2)=m2+4m+4 (2) (m+2) 2 =(p-1)(p-1)= p2-2p+1 (3) (p-1) 2 = (m-2)(m-2)=m2- 4m+4 (4) (m-2)
完全平方公式
结论：
(8 3)2 121 82 28 3 32
2.自主探究，获取新知
接刚才的问题，如果 一个正方形边长是a， 现在将它的边长增加b， 试用多种方法求后来 的面积? 求解的方法是否一样？
直接求法：面积=(a+b)2
间接求法：面积
=a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2
1 创设情境，引入新课
如图，一个正方形 3 边长是8，现在将 它的边长增加3， 试用多种方法求后 来图形的面积？ 8
8
3
3
8
8
3
直接求法：面积=(8+3) ×(8+3)
=11×11
=121
3
8
8
3
间接求法：面积＝ 82 3 8 3 8 32
121
结论：(8 3)2 82 28 3 32
=a2+b2-2ab
(二):套用公式 (a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2 =[a+(-b)]2
=a2+2a(-b)+(-b)2
=a2 -2ab+b2
（三）：利用几何图形解释
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
a
b
ab
(a−b)2
a
(a−b)2 = a2−ab-b(a−b) = a2−2ab+b2
利用完全平方公式计算
(1)(1 x 2 y)2 2
(2)(2xy 1 x)2 5
(3)(n 1)2 n2
4.课堂小结
本节课，我们通过讨论...... 得到了...... 需要注意......
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作业：
《启航》P91页 1--5、8--10
（其余的选做）
14.2.2 完全平方公式
1、多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以另一个
多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n) = am+an+ bm+bn
探究
14.2.2 完全平方公式
计算下列各式,你能发现什么规律?
(1)(p+1)2 = (p+1) (p+1)= p2+2p+1
=a2-2ab+b2
一般地,我们有
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b) 2 = a2-2ab +b2. 即两数和(或差)的平方,等于它们的平 方和,加(或减)它们的积的2倍.
这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特点：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
.
(2)(m+2)2= m2+4m+4
;
(3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = p2-2p+1 ;
(4) (m-2)2 = m2-4m+4
.
我们来计算(a+b)2, (a-b)2
(a+b)2= (a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
(a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-ab-ab+b2
例如： 运用完全平方公式计算：
(1)(x+2y)2 解： (x+2y)2= x2 +2•x •2y +(2y)2
(a +b)2 = a2 + 2 ab + b2 =x2 +4xy +4y2
例3 运用完全平方公式计算:
(1) (4m+n)2; (2) (y- 1 )2.
2
练习1.运用完全平方公式计算:
练习3.下面各式的计算错在哪里? 应当怎样改正?
(1)(a+ b)2 = a2 +b2; (2)(a – b)2 =a2 – b2.
(3) (x -y)2 =x2+2xy +y2
(4) (x+y)2 =x2什么项才能成为一个完全平方式
X2+4y2 (±4xy)
a2-9ab
(+
81 4
b2)
X2+6x ( +9 ) 1/9x2+2xy( +9y2 )
(2)已知9x2+mx+1是一个完全平方式，
则m＝ ±6 .
补充练习：
(3)已知a+b=4,ab=3，求a2+b2的值. 解：∵ (a+b)2=a2+2ab+b2
∴a2+b2=(a+b)2-2ab 又∵a+b=4,ab=3 ∴a2+b2=42-2×3=10
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两首数平积方的2，倍尾，平且方与，乘式 4中、间公的式符中号的相字同积母; 的a，2b倍可在以中表央示数、
单项式和多项式.
思考： 你能根据图15.2 -2和图15.2 -3 中
的面积说明完全平方公式吗?
b
a ab
图 15.2--2
b a
ab 图15.2-3
(1)(x+6)2; (3) (-2x+5)2;
(2) (y-5)2;
(4) (
3
4x -
2 3
y)2.
例4 运用完全平方公式计算:
(1) 1022 ;
(2) 992 .
练习2.运用完全平方公式计算:
(1)632;
(2) 982;
思考： (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?