数值分析思考题

数值分析重点考察内容

第一章：

基本概念

第二章：

Gauss消去法，Lu分解法

第三章：

题型：具体题＋证明，误差分析

三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明

第四章：

掌握三种插值方法：拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数

第五章：

最小二乘法计算

第六章：

梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析。

高斯求积公式的构造

第七章：

几种常用的迭代格式构造，收敛性证明。

第九章：

基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。

第一章 误差

1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。

2. 用Taylor 展开近似计算函数000()()'()()f x f x f x x x ≈+-，这里产生是什么误差？

3. 0.7499作34

的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字.

4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确：

（1）

11,||1121x x x x --++ （2）

||1x （3） 1cos ,0,|| 1.x x x x -≠ （4） sin sin ,αβαβ-≈

5.

采用下列各式计算61)时，哪个计算效果最好？并说明理由。

（1）

（2）

99-（3）

6(3- （4

6. 已知近似数*x 有4位有效数字，求其相对误差限。

上机实验题：

1、利用Taylor 展开公式计算 0!k

x k x e k ∞

==∑，编一段小程序，上机用单精度计算x e 的函数

值. 分别取 x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法.

2、已知定积分10,0,1,2,,206

n n x I dx n x ==+⎰

,有如下的递推关系 1111100(6)61666

n n n n n x x x x I dx dx I x x n ---+-===++-⎰⎰ 可建立两种等价的计算公式 (1) 1016,0.154n n I I I n -=-=取； (2) 12011),0.6n n I nI I n

-=-=（取 来计算123419,,,,,I I I I I ，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析。

第二章 插值法

1. 已知(0)2,(1)1f f ==-，那么差商[1,0]f =_________.

2. n 阶差商与导数的关系是01[,,,]n f x x x = __________________.

3. 由导数和差商的关系知，[,]i i f x x =__________________。

4. 已知函数()f x 在3,1,4x =的值分别是4，6，9，试构造Lagrange 插值多项式。

5.取节点0120,1,2x x x ===, 对应的函数值和导数值分别为0()1,f x = 11()2,'()2f x f x ==，试建立不超过二次的插值多项式。(如果将最后一个条件改为2'()2f x =，插值多项式如何计算？)

6．已知(0)1,(1)2,'(1)3,(2)9f f f f ====，试建立不超过3次的插值多项式，并写出插值余项.

7. 设4()[,]f x C a b ∈,求三次多项式3()p x ,使之满足插值条件

11()(),0,1,2'()'()i i p x f x i p x f x ==⎧⎨=⎩

8. 设1()P x 是过01,x x 的一次插值多项式，2()[,],f x C a b ∈其中[,]a b 是包含01,x x 的任一区

间。试证明：对任一给定的[,]x a b ∈，在（a,b ）上总存在一点ξ，使得101()()()()()()2!

f R x f x P x x x x x ξ''=-=--。 9.证明关于互异节点0{}n i i x =的Lagrange 插值基函数0

{()}n i i l x =满足恒等式01()()()1n l x l x l x +++≡

上机习题：

1. 绘制4题的Lagrange 的插值函数的图像。

第三章 数据拟合

1. 数据拟合与插值的区别是什么？

2. 最小二乘原理是使偏差

i

δ的___________达到最小

3. 求过点（2,3），（0,1），（3,5）的线性拟合函数。

4. 用最小二乘法求一形如2

y a bx

=+的多项式，使与下列数据相拟合

第四章线性方程组的直接解法

1. 线性方程组的解法大致可分为_____________，________________。

2. 平方根法和LDL T分解法要求系数矩阵A满足______________。

3. 上三角和下三角方程组的解法分别称为___________，____________。

4. 严格对角占优矩阵的定义是什么？

5. 试求下面矩阵的杜利特尔分解

（1）

62

34

⎡⎤

⎢⎥

-

⎣⎦

。

（2）

213 457 285

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

。

6. 用列主元高斯消去法求解方程组

1

2

3

1521 04313 2063

x

x

x

-

⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

=

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

。

7. 用LU分解法解方程组

1

2

3

2111 6161 10272

x

x

x

⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

-=

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎣⎦

。

上机实验题：

1.编程实现列主元的高斯消去法

2.编程实现LU分解法

第五章线性方程组的迭代解法