小升初奥数—排列组合问题
小升初专题-组合问题
$A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
组合公式
$C_n^m = frac{n!}{m!(n-m)!}$
排列与组合的关系
$A_n^m = n times C_n^m$
组合数的性质
组合数的对称性
$C_n^m = C_n^(n-m)$
组合数的递推关系
$C_n^m = C_n^(m-1) + C_n^(m-2)$
组合问题在计算机科学中的解题技巧
解决组合问题需要掌握一些计算机科学的特有方法和技巧，如递归、分治、贪心算法等， 这些技巧能够帮助学生快速找到问题的解决方案。
组合问题在日常生活中的应用
日常生活中的应用场景
01
组合问题在日常生活中应用广泛，如物品的排列组合、概率统
计的应用、决策问题的选择等。
组合问题在日常生活中的应用实例
02
例如在购物时选择不同的优惠方案、在旅行时选择不同的路线
和住宿方案等，都需要运用组合问题的知识和方法。
组合问题在日常生活中的应用价值
03
解决组合问题能够帮助人们更好地规划和管理自己的生活，提高决策的质量和效率。 Nhomakorabea04
组合问题的练习与思考
基础练习题
总结词
这些题目是组合问题的入门级题目，适合初学者进行基础练 习。
解决组合问题需要掌握一些常用的数学方法和技巧，如分治策略、数理
逻辑等，这些技巧能够帮助学生快速找到问题的解决方案。
组合问题在计算机科学中的应用
计算机科学中的组合问题
计算机科学中经常涉及到数据结构和算法的设计，其中很多问题可以归结为组合问题，如 动态规划、图论等。
组合问题在计算机科学中的重要性
奥数题排列组合问题附答案
奥数题排列组合问题附答案
奥数题排列组合问题附答案
小学生想要学好数学，做题是最好的办法，但想要奏效，还得靠自己的积累。
多做些典型题，并记住一些题的解题方法。
以下是小学频道为大家提供的二年级奥数题排列组合问题附答案，供大家复习时使用！
1、有10把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次?
2、上体育课时,同学们站好了队,1、2报数，然后让报1的学生退出队列;再1、2报数，让报1的学生退出队列;从第三次开始每次报数后，一律让报2的学生退出队列，直到最后一个人为止，问剩下的一个人最初在队列的第几位?
1、解析：
第1把锁，试9次可以确定所配的`钥匙;第2把锁，试8次可以确定所配的钥匙;第3把锁，试7次可以确定所配的钥匙……第9把锁，试1次可以确定所配的钥匙;第10把锁不用试。
9+8+7+6+5+4+3+2+1=45次。
2、解析：
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14……
第1次：留下的是2、4、6、8、10、12……
第2次：留下的是4、8、12、16……
第3次：留下的是4、12、20、28……
第4次：留下的是4、20、……
第5次：留下的是4……
从第3次开始，报2的退出，那么最后一个人总是第4位。
小升初数学解决问题系列——排列组合
小升初解决问题系列《排列组合》专题专练1．乐乐有3件衬衫、2条短裙、2双皮鞋，用它们一共可以搭配() 种不同的穿法。
A．6B．8C．9D．12解：3×2×2=12（种）用它们一共可以搭配12种不同的穿法。
故答案为：D。
2．明明、红红、奇奇、亮亮4名同学站成一排拍照，其中亮亮站在最左边，一共有()种不同的排法。
A．6B．4C．12D．24解：3×2×1=6（种）。
故答案为：A。
3．用2、4、9和小数点组成的两位小数共有（）个。
A．3B．4C．6D．12解：用2、4、9和小数点组成的两位小数有：2.49、2.94、4.29、4.92、9.42、9.24共6个。
故答案为：C。
4．从猴山到狮虎山，一共有（）条路线。
A．6B．8C．10D．12解：3×2=6（条）故答案为：A。
5．小明想从四本不同的书中任选2 本书，共有（）种选法A．3B．4C．5D．6解：，将四本书进行编号，再两两组合，一共有3+2+1=6(种)选法；故答案为：D。
二、填空题6．2023年3月24~26日，第二十八届“CBA全明星周末”在厦门奥林匹克体育中心举办，掀起了一阵篮球风。
某校三年级如火如荼地开展篮球赛，每两班比赛一场，三年级有6个班，一共需要进行场比赛。
解：5+4+3+2+1=15（场）故答案为：15。
7．25支球队参加比赛。
以单场淘汰赛进行到决出冠军，一共要进行场比赛。
解：12+6+3+2+1=24（场）故答案为：24。
8．四年级四个班进行足球比赛，每两个班都要赛一场，已知一班已经赛了3场，二班已经赛了1场，三班已经赛了2场，四班已经赛了场。
解：1＋1=2（场）。
故答案为：2。
9．四个小朋友进行兵乓球比赛，每两人之间比一场，一共要比场。
他们用手中的数字卡片组成没有重复数字的两位数，一共可以组成个。
解：3+2+1=6（场）；一共可以组成12、13、14、21、23、24、31、32、34、41、42、43，共12个两位数。
小升初数学数的排列组合
小升初数学数的排列组合1. 从数字1到数字5中任取两个不同的数字组成一个两位数，可以组成多少个不同的两位数？2. 一个书架上有6本不同的数学书和4本不同的科学书，如果从中任意取出一本书，共有多少种取法？3. 小华有3件不同颜色的上衣和2条不同款式的裤子，他有多少种不同的穿衣搭配方式？4. 从字母A、B、C、D中选取两个不同的字母进行排列，可以得到多少种不同的排列方式？5. 一个密码锁由数字1至5组成，每次使用需输入3个数字且可以重复，问有多少种不同的密码组合？6. 有7名学生站成一排拍照，其中小明和小红希望站在一起，有多少种不同的站位方式？7. 从6个苹果和4个橙子中任取3个水果，要求至少有一个苹果，有多少种取法？8. 一副扑克牌中去掉大小王，剩余52张牌，从中随机抽取5张牌，有多少种不同的抽法？9. 一个篮子里有8个红球和6个蓝球，从中任意取出3个球，有多少种不同的取球方式？10. 一个小组有4名男生和3名女生，从中选出2名男生和1名女生参加活动，有多少种不同的选法？11. 一个书包里有5本不同的数学书，要从中选出2本带到学校，有多少种选择方法？12. 从数字0到9中选取3个不同的数字组成一个三位数，有多少种可能的组合？13. 一个圆形餐桌周围有7个座位，若主宾已确定位置，其余6人随意就坐，有多少种不同的坐法？14. 一个球队有11名首发球员，其中守门员固定位置，其余10人中选出3名前锋，有多少种选法？15. 从5种不同的饮料中选择2种，有多少种不同的选择方式？16. 一个密码由3个数字组成，每个数字可以是1到7中的任意一个，有多少种不同的密码设置？17. 有4件不同颜色的T恤和3条不同款式的短裤，小李有多少种不同的夏日穿搭方式？18. 从8名候选人中选出正副班长各一名，有多少种不同的选举结果？19. 从数字1到10中任选3个数字（可重复），组成一个无重复数字的三位数，有多少种组合方式？20. 一个音乐会需要从10首歌曲中选择3首进行表演，有多少种不同的选歌方案？21. 有5个不同的景点，小张计划周末去其中的2个，有多少种不同的选择方案？22. 从英文字母A到H中任选3个字母排列，有多少种不同的排列方式？23. 一个班有30名学生，要选出5名学生组成一个学习小组，有多少种不同的选法？24. 从数字1到数字9中选出3个数字（可重复），组成一个三位数，有多少种不同的组合？25. 一个箱子里有3个红球、4个蓝球和2个黄球，从中随机取出2个球，有多少种不同的取法？26. 一个舞蹈队有10名队员，要选出3人作为领舞，有多少种不同的选择方式？27. 一个书架上层放有5本小说，下层放有7本历史书，从中任意取一本书阅读，有多少种取法？28. 从数字0到9中选取4个不同的数字组成一个没有重复数字的四位数，有多少种可能的组合？29. 一个篮子里有3个苹果、4个香蕉和2个橘子，从中任意取出4个水果，要求每种水果至少取一个，有多少种取法？30. 一个足球队有15名队员，其中必须选出1名队长和1名副队长，有多少种不同的选法？31. 从6种不同的早餐食物中选择2种作为明天的早餐，有多少种不同的选择方式？32. 一个圆形花坛周围有10个等距离的花盆位置，若已确定一种花卉种植在第一个位置，其余9个位置种植另外两种花卉，每种至少一盆，有多少种不同的种植方案？33. 从10名学生中选出3人分别担任班长、学习委员和体育委员，有多少种不同的任命方式？34. 一个书架上有3本小说、4本传记和2本科普书，从中任意取出2本书籍，要求两本书种类不同，有多少种取法？35. 一个密码由2个大写字母和3个小写字母组成，有多少种不同的密码组合？36. 一个篮球队有12名队员，要选出5名队员上场比赛，有多少种不同的阵容组合？37. 从数字1到数字7中任选3个数字（不可重复），组成一个无重复数字的三位数，有多少种组合方式？38. 一个班级有20名学生，要选出4人组成一个讨论小组，有多少种不同的选法？39. 从5种不同的水果中选择3种制作水果拼盘，有多少种不同的选择方式？40. 一个音乐会的节目单上共有8首曲目，从中选择4首进行演出，有多少种不同的选择方案？41. 一个棋盘上有8行8列共64个格子，从左上角走到右下角，只能向右或向下走，有多少种不同的走法？42. 从字母A到F中选取3个字母（可以重复）组成一个序列，有多少种不同的序列？43. 一个书架上有8本不同的书，从中选出3本借阅，有多少种不同的借阅方式？44. 从数字1到数字9中选取4个数字（不可重复），组成一个无重复数字的四位数，有多少种不同的组合？45. 一个篮子里有3个红球、3个蓝球和2个绿球，从中随机取出3个球，有多少种不同的取法？46. 一个舞蹈队有8名男生和7名女生，从中选出3男2女参加表演，有多少种不同的选法？47. 从10种不同的菜肴中选择3种作为晚餐，有多少种不同的选择方式？48. 一个篮球队有10名队员，要选出5名队员进行比赛，其中必须包括队长，有多少种不同的选法？49. 从数字1到数字6中任选3个数字（可重复），组成一个无重复数字的三位数，有多少种不同的组合？50. 一个会议有12位参与者，要从中选出3位分别担任主席、秘书和财务，有多少种不同的选举结果？。
小学奥数之排列组合问题
题目：将5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为 _______． 答案：60
掌握基础概念和公式
理解排列组合的原理和计算方法
理解排列组合的概念和公式
练习题：有5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为多少？ 答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？ 答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。练习题：用数字0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字且大于2000的三位数？ 答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？ 答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。
小升初复习排列组合
去掉的数字只能是3或9。
去掉的数字为3时，即选2，5，7，9四个数字，能排出4×3×2×1=24（个）符合要求的数，去掉的数字为9时也能排出24个符合要求得数，因此这样的四位数一共有24+24=48（个）【变式4-1】在1，2，3，4，5这五个数字中，选出四个数字组成被3除余2的四位数，这样的四位数有多少个？【变式4-2】在1，2，3，4，5这五个数字中，选出四个数字组成能被3整除的四位数，这样的四位数有多少个？【例5】从学校到少年宫有4条东西方向的马路和3条南北方向的马路相通（如图），小明从学校出发到少年宫（只许向东或向南行进），最后有多少种走法？解：为了方便解答，把图中各点用字母表示如图。
根据小明步行规则，显然可知由A到T通过AC边上的各点和AN边上的各点只有一条路线，通过E点有两条路线（即从B点、D点来各一条路线），通过H点有3条路线（即从E点来有二条路线，从G点来有一条路线），这样推断可知通过任何一个交叉点的路线总数等于通过该点左边、上方的两邻接交叉点的路线的总和，因此，可求得通过S点有4条路线，通过F点有3条路线……由此可见，由A点通过T点有10条不同的路线，所以小明从学校到少年宫最多有10种走法。
【变式5-1】从学校到图书馆有5条东西的马路和5条南北的马路相通（如图）。
李菊从学校出发步行到图书馆（只许向东或向南行进），最多有多少种走法？【变式5-2】某区的街道非常整齐（如图），从西南角A处走到东北角B处，要求走最近的路，一共有多少种不同的走法？5、在1，4，5，6，7这五个数字中，选出四个数字组成被3除余1的四位数，这样的四位数有多少个？6、如图有6个点，9条线段，一只小虫从A 点出发，要沿着某几条线段爬到F 点。
行进中，同一个点或同一条线段只能经过一次，这只小虫最多有多少种不同的走法？1、今年父亲36岁，儿子8岁， 年后儿子的年龄是爸爸年龄的125。
2、一片草地，草每天生长量相同，17头牛30天可将草吃完，19头年24天可将草吃完。
小升初奥数排列组合
排列组合教学目标1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。
5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。
知识点拨：一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不同的方法，……，在第N类办法中有M n种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同的方法。
二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，完成第一步有n1种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同的方法。
三.两个原理的区别⏹做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。
每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)⏹做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．四.排列及组合基本公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 P mn表示.P mn=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号C mn表示.C mn = P mn/m!=n!(n-m)!×m!一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用C mn = C n-mn来简化计算。
小升初数学排列组合练习及答案
小升初数学排列组合练习及答案小升初数学排列组合练习及答案1、将A,B,C,D,E,F分成三组,共有多少种不同的分法解:要将A,B,C,D,E,F分成三组,可以分为三类办法:(1-1-4)分法,(1-2-3)分法,(2-2-2)分法下面分别计算每一类的方法数:第一类(1-1-4)分法,这是一类整体不等分局部等分的问题,可以采用两种解法解法一:从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组,余下的两个元素各作为一个组,有种不同的分法解法二:从六个元素中先取出一个元素作为一个组有种选法,再从余下的五个元素中取出一个元素作为一个组有种选法,最后余下的四个元素自然作为一个组,由于第一步和第二步各选取出一个元素分别作为一个组有先后之分,产生了重复计算,应除以所以共有=15种不同的分组方法第二类(1-2-3)分法,这是一类整体和局部均不等分的问题,首先从六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有种不同的选法,再从余下的五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一个组有种不同的选法,余下的.最后三个元素自然作为一个组,根据乘法原理共有=60种不同的分组方法第三类(2-2-2)分法,这是一类整体"等分"的问题,首先从六个不同元素中选取出两个不同元素作为一个组有种不同的取法,再从余下的四个元素中取出两个不同的元素作为一个组有种不同的取法,最后余下的两个元素自然作为一个组由于三组等分存在先后选取的不同的顺序,所以应除以,因此共有=15种不同的分组方法根据加法原理,将A,B,C,D,E,F六个元素分成三组共有:15+60+15=90种不同的方法2、一排九个坐位有六个人坐,若每个空位两边都坐有人,共有多少种不同的坐法解:九个坐位六个人坐,空了三个坐位,每个空位两边都有人,等价于三个空位互不相邻,可以看做将六个人先依次坐好有种不同的坐法,再将三个空坐位"插入"到坐好的六个人之间的五个"间隙"(不包括两端)之中的三个不同的位置上有种不同的"插入"方法根据乘法原理共有=7200种不同的坐法。
小学奥数精讲：排列组合常见解题方法
小学奥数精讲：排列组合常见解题方法小学奥数精讲：排列组合问题常见解题方法方法一：捆绑法“相邻问题”——捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有在一起的A、B两人也要排序，有种。
例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种排法；又3本数学书有种排种。
种排法。
又因为捆绑种排法。
根据分步乘法原理，总的排法有【提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
方法二：插空法“不邻问题”——插空法，即在解决关于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。
第一将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中央”和“两端”共有四个空位置，也等于：︺D︺C︺E︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有共有排队方法：。
种插法。
由乘法原理，例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有8个空位，有种方法；用末了一个节目去插9个空位，有=504种。
小升初奥数—排列组合问题
小升初奥数—排列组合问题一、排列组合的应用【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。
【解析】 （1）775040P =（种）。
（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）.（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×66P =1440(种)．（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ⨯= (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ⨯=（种）. （6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。
【例 2】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种。
第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312⨯=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次．【例 3】 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?【解析】 设A :BC DE 是满足题意的时刻，有A 为8，B 、D 应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有26P 种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有27P 种选法，所以共有26P ×27P =1260种选法。
2022年小升初名校奥数专题训练：排列组合(附答案解析)
2022年小升初名校奥数专题训练：排列组合一、选择题（共21小题，每小题3分，满分63分）1．（3分）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有种．2．（3分）只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）A．6个B．9个C．18个D．36个3．（3分）某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）A．24种B．36种C．38种D．108种4．（3分）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）A．72B．96C．108D．1445．（3分）如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有（）A．50种B．60种C．120种D．210种6．（3分）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）．7．（3分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种8．（3分）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B．126C．90D．549．（3分）6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（）A．40B．50C．60D．7010．（3分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A．32B．24C．30D．3611．（3分）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）A．30种B．90种C．180种D．270种12．（3分）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有种．13．（3分）按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？（1）各组人数分别为2，4，6个；（2）平均分成3个小组；（3）平均分成3个小组，进入3个不同车间．14．（3分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．60B．48C．42D．3615．（3分）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（）A．432B．288C．216D．10816．（3分）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A．360B．188C．216D．9617．（3分）12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（）A．155B．355C．14D．1318．（3分）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个．19．（3分）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．20．（3分）有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（）种．A．1260B．2025C．2520D．504021．（3分）8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？2022年小升初名校奥数专题训练：排列组合参考答案与试题解析一、选择题（共21小题，每小题3分，满分63分）1．（3分）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有144种．【解答】解：A44×C42＝24×6＝144（种）答：恰有一个空盒的放法有144种．故答案为：144．2．（3分）只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）A．6个B．9个C．18个D．36个【解答】解：根据分析可得，A33×C31＝6×3＝18（种）答：这样的四位数有18种．故选：C。
精选小升初数学排列组合专项例题及解析
精选小升初数学排列组合专项例题及解析由于"小升初"不允许统一考试各个重点中学自行按照各自的标准录取学生而备受关注。
下面是为大家收集的小升初数学排列组合专项例题及解析，供大家参考。
1.有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有( )A 768种B 32种C 24种D 2的10次方中解：根据乘法原理，分两步：第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1=120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5=24种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2=32种综合两步，就有24×32=768种。
2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有( )A 119种B 36种C 59种D 48种解：5全排列5*4*3*2*1=120有两个l所以120/2=60原来有一种正确的所以60-1=593.慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间? 答案为53秒算式是(140+125)÷(22-17)=53秒可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。
4.在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米?答案为100米300÷(5-4.4)=500秒，表示追及时间5×500=2500米，表示甲追到乙时所行的路程2500÷300=8圈……100米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的前方100米处相遇。
小升初数学排列组合练习题(附答案)
2019小升初数学排列组合练习题（附答案）数学是一个重要的基础课程，下面为大家分享小升初数学排列组合练习题，大家一定要经常用习题来锻炼自己的数学各种思维。
1、有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有( )A 768种B 32种C 24种D 2的10次方中解：根据乘法原理，分两步：第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1=120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5=24种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2=32种综合两步，就有24×32=768种。
2、若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )A 119种B 36种C 59种D 48种解：全排列5*4*3*2*1=120 有两个l所以120/2=60原来有一种正确的所以60-1=593、小华从甲地到乙地，3分之1骑车，3分之2乘车;从乙地返回甲地，5分之3骑车，5分之2乘车，结果慢了半小时.已知，骑车每小时12千米，乘车每小时30千米，问：甲乙两地相距多少千米?解答：把路程看成1，得到时间系数去时时间系数：1/3÷12+2/3÷30返回时间系数：3/5÷12+2/5÷30两者之差：(3/5÷12+2/5÷30)-(1/3÷12+2/3÷30)=1/75相当于1/2小时去时时间：1/2×(1/3÷12)÷1/75和1/2×(2/3÷30)1/75路程：12×〔1/2×(1/3÷12)÷1/75〕+30×〔1/2×(2/3÷30)1/75〕=37.5(千米)以上是为大家分享的小升初数学排列组合练习题，希望能够切实的帮助到大家，同时祝大家能够顺利进入理想的重点中学！加油哦~。
小学奥数思维训练-排列组合(经典透析)(通用,含答案)
保密★启用前小学奥数思维训练排列组合（经典透析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．小明和小王从北京出发先到天津看海，然后再到上海东方明珠塔参观．从北京到天津可以坐火车或者坐公共汽车，坐火车有4种车次，坐公共汽车有3种车次；而从天津到上海可以坐火车，公共汽车，轮船或者飞机，火车有3种，汽车有5种，轮船有4种，飞机有2种．问小明和小王从北京到上海旅游一共有多少种走法？2．某公园有两个园门，一个东门，一个西门．若从东门入园，有两条道路通向龙凤亭，从龙凤亭有一条道路通向园中园，从园中园又有两条道路通向西门．另外，从东门有一条道路通向游乐场．从游乐场有两条道路通向水上世界，另有一条道路通向园中园．从水上世界有一条道路通向西门，另有一条道路通向小山亭，从小山亭有一条道路通向西门．问若从东门入园，从西门出园一共有多少种不同的走法（不走重复路线）？3．由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？①可组成多少个没有重复数字的三位数？4．如下图，A、B、C、D、E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？5．4名同学到照相馆照相。
他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？6．从分别写有1、3、5、7、8五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：①有多少个不同的乘积？①有多少个不同的乘法算式？7．如下图，问：①下左图中，共有多少条线段？①下右图中，共有多少个角？8．从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？9．国家举行足球赛，共15个队参加．比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队．各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）．然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军．问：①共需比赛多少场？①如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？参考答案：1．98种【解析】【分析】首先看他们完成整个过程需要几个步骤，这是判断利用加法原理和乘法原理的依据．很明显整个过程要分两步完成，先从北京到天津，再从天津到上海，应该用乘法原理．我们再分开来看，先看从北京到天津，无论是坐火车还是汽车都是一步完成，所以要用加法原理，同样的道理，从天津到上海的走法计算也应该用加法原理．【详解】解：从北京到天津走法有：4+3=7种，从天津到上海走法有：3+5+4+2=14（种）．从北京到上海的走法有：7×14=98（种）．答：小明和小王从北京到上海旅游一共有98种走法．2．10种【解析】【详解】解法一：这个题的已知条件比较复杂．我们可将已知条件稍加“梳理”：1.从东门入园，从西门出园；2.从东门入园后，可以通向两个游览区，龙凤亭与游乐场；3.从龙凤亭经园中园可达到西门；4.从游乐场经水上世界可达到西门，或从游乐场经园中园可达到西门；5.从水上世界经小山亭可达到西门；根据以上五条可知，从东门入园经龙凤亭经园中园达到西门为一主干线．而东门到龙凤亭有两条不同路线；龙凤亭到园中园只有一条路线；园中园到西门又有两条不同的路线．由乘法原理，这条主干线共有2×1×2=4种不同的走法．再看从东门入园后到游乐场的路线．从东门到游乐场只有一条路，由游乐场分成两种路线，一是经园中园到西门，这条路线由乘法原理可知有1×1×2=2种不同走法；二是经水上世界到西门，从水上世界到西门共有两条路线（由水上世界直接到西门和经小山亭到西门），再由乘法原理可知这条路线有1×2×2=4种不同路线．最后由加法原理计算．从东门入园从西门出园且不走重复路线的走法共有2×1×2+1×1×2+1×2×2=10种．解法二：“枚举法”解题．如图，图中A 表示东门，B 表示西门，C 表示龙凤亭，D 表示园中园，E 表示游乐场，F 表示水上世界，G 表示小山亭，线表示道路．不同的走法有10种．1121111A C D BA C DB A E D BA E F G BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→ 1222222A C D BA C DB ACD B AEFG BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→答：不走重复路线，共有10种不同走法．【点睛】本题主要考察加法乘法原理．先分类利用加法原理，再对每一类进行分步利用乘法原理．建议可以利用加法与乘法原理的题型就没必要用枚举法，因为枚举法比较容易重复和遗漏．3．①48个①18个【解析】【分析】在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。
小学奥数排列和组合试题及答案
小学奥数排列和组合试题及答案第一篇：小学奥数排列和组合试题及答案小学四年级奥数排列组合练习1.由数字0、1、2、3、4可以组成多少个①三位数？②没有重复数字的三位数？③没有重复数字的三位偶数？④小于1000的自然数？2.从15名同学中选5人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种？①某两人必须入选；②某两人中至少有一人入选；③某三人中恰入选一人；④某三人不能同时都入选.3.如右图，两条相交直线上共有9个点，问：一共可以组成多少个不同的三角形？-------------------4.如下图，计算①下左图中有多少个梯形？②下右图中有多少个长方体？5.七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？①七个人排成一排；②七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；③七个人排成一排，某两人必须站在两头；④七个人排成一排，某两人不能站在两头；⑤七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排.-------------------答案：1.①100；②48；③30；④124.2.①C313＝286；②C515－C513＝1716；③C13·C412＝1485；④C515－C212＝2937.3.C15·C23＋C26·C13＝60；或C39－C36－C34＝60.4.①C26×C26＝225；②C25×C26×C25＝1500.5.①P77＝5040；②2P66＝1440；③2P55＝240；④5×4×P55＝2400；⑤2×3×4×P55＝2880.-------------------第二篇：小学奥数经典专题点拨：排列与组合排列与组合【有条件排列组合】例1 用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字能够组成______个没有重复数字的三位数。
（哈尔滨市第七届小学数学竞赛试题）讲析：用这十个数字排列成一个不重复数字的三位数时，百位上不能为0，故共有9种不同的取法。
小升初奥数—排列组合应用题
小升初奥数—排列组合应用题排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种 D 、444128433C C C A 种答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A = 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A = ð共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A ð中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I = 分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A = ；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B = ，能被4除余2的数集{}2,6,,98C = ，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D = ，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种. 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+- .例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
小升初数学排列组合练习题(附答案)
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?路程：12×〔1/2×(1/3÷12)÷1/75〕+30×〔1/2×(2/3÷30)1/75〕=37.5(千米)
单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果2千米，乘车每小时30千米，问：甲乙两地相距多少千米?
解答：
把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：1/3÷12+2/3÷30
返回时间系数：3/5÷12+2/5÷30
单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。两者之差：(3/5÷12+2/5÷30)-(1/3÷12+2/3÷30)=1/75相当于1/2小时
小升初排列组合的练习总结
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小升初排列组合的练习总结
小升初排列组合的练习总结
1、100件产品中有4件次品,现抽取3件检查,
(1)恰好有一件次品的取法有___________种;
(2)既有正品又有次品的取法有_______________种.
解:
(1) =18240种;
(2)既有正品又有次品分为:1件次品,2件正品;2件次品,1件正品两类,
即:=18816手中.
2、6本不同的书,
(1)分成三堆,一堆一本,一堆两本,一堆三本,有___________分法;
(2)分给甲,乙,丙三人,一人一本,一人两本,一人三本,有_________ 分法;
(3)分成三堆,每堆两本,有__________分法;
(4)分给甲,乙,丙三人,每人两本,有_____________ 分法.
解:
(1)三堆书的'本数各不相同:=60种(分组,没有顺序);
(2)相当于(1)中三堆书再分给三个人:=360种;
(3)三堆书的本数相同(平均分组的问题):=15种;
(4)相当于(3)中三堆书再分给三个人:.。
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小升初奥数—排列组合问题一、 排列组合的应用【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。
【解析】 （1）775040P =（种）。
（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）.（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×66P =1440(种)．（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ⨯= (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ⨯=（种）. （6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。
【例 2】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种。
第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312⨯=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次．【例 3】 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?【解析】 设A :BC DE 是满足题意的时刻，有A 为8，B 、D 应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有26P 种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有27P 种选法，所以共有26P ×27P =1260种选法。
从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个。
【例 4】 4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：⑴ 甲不在中间也不在两端； ⑵ 甲、乙两人必须排在两端；⑷男女相间．【解析】⑴先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下的8个人随意排，也就是8个元素全排列的问题，有888765432140320P=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)选择．由乘法原理，共有640320241920⨯=(种)排法．⑵甲、乙先排，有22212P=⨯=(种)排法；剩下的7个人随意排，有7 776543215040P=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)排法．由乘法原理，共有2504010080⨯=(种)排法．⑶分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有22212P=⨯=(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分别有4 4432124P=⨯⨯⨯=(种)和5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(种)排法．由乘法原理，共有2241205760⨯⨯=(种)排法．⑷先排4名男生，有44432124P=⨯⨯⨯=(种)排法，再把5名女生排到5个空档中，有5 554321120P=⨯⨯⨯⨯=(种)排法．由乘法原理，一共有241202880⨯=(种)排法。
【例 5】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：⑴当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？⑵当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？【解析】⑴先将4个舞蹈节目看成1个节目，与6个演唱节目一起排，则是7个元素全排列的问题，有7 77!76543215040P==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)方法．第二步再排4个舞蹈节目，也就是4个舞蹈节目全排列的问题，有444!432124P==⨯⨯⨯=(种)方法．根据乘法原理，一共有504024120960⨯=(种)方法．⑵首先将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，是6个元素全排列的问题，一共有6 66!654321720P==⨯⨯⨯⨯⨯=(种)方法．×□×□×□×□×□×□×第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间(即上图中“×”的位置)，这相当于从7个“×”中选4个来排，一共有477654840P=⨯⨯⨯=(种)方法．根据乘法原理，一共有720840604800⨯=(种)方法。
【例 6】⑴从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）⑵从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？⑶3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？⑷8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？⑸一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？⑹8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？【解析】⑴按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出3个往上排，有38P种．⑵3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有38P种．⑶3位同学看成是三个位置，任取8个座位号（8个元素）中的3个往上排（座号找人），每确定一种号码即对应一种坐法，有38P种．⑷3个坐位排号1，2，3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有38P种．⑸3列火车编为1，2，3号，从8股车道中任取3股往上排，共有38P种．⑹土地编1，2，3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有38P种。
【例 7】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？【解析】第一阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛266515 21C⨯==⨯场，共8个小组，有243⨯组，有6424⨯=场；第三阶段赛224+=场．根据加法原理，整个赛程一共有120244148++=场比赛。
【例 8】 8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？【解析】 冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的位置就一定要留给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇． 小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻 小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件的站法总数为：3212372423P P P 3360C C ⨯⨯⨯⨯=（种） 同时满足第一、三个条件，满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：3222262322P P P P 960C ⨯⨯⨯⨯=（种）因此同时满足三个条件的站法总数为：33609602400-=（种）。
【例 9】 某池塘中有A B C 、、三只游船，A 船可乘坐3人，B 船可乘坐2人，C 船可乘坐1人，今有3个成人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？【解析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，所以儿童不能乘坐C 船．⑴若这5人都不乘坐C 船，则恰好坐满A B 、两船，①若两个儿童在同一条船上，只能在A 船上，此时A 船上还必须有1个成人，有133C =种方法；②若两个儿童不在同一条船上，即分别在A B 、两船上，则B 船上有1个儿童和1个成人，1个儿童有122C =种选择，1个成人有133C =种选择，所以有236⨯=种方法．故5人都不乘坐C 船有369+=种安全方法；⑵若这5人中有1人乘坐C 船，这个人必定是个成人，有133C =种选择．其余的2个成人与2个儿童，①若两个儿童在同一条船上，只能在A 船上，此时A 船上还必须有1个成人，有122C =种方法，所以此时有326⨯=种方法；②若两个儿童不在同一条船上，那么B 船上有1个儿童和1个成人，此时1个儿童和1个成人均有122C =种选择，所以此种情况下有32212⨯⨯=种方法；故5人中有1人乘坐C 船有61218+=种安全方法．所以，共有91827+=种安全乘法．【例 10】 从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？⑴恰有3名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选； ⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人。
【解析】 ⑴恰有3名女生入选，说明男生有5人入选，应为3581014112C C ⨯=种； ⑵要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：8871181010843758C C C C --⨯=；⑶4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4人，有4141001C =种； ⑷从所有的选法818C 种中减去这4个人同时入选的414C 种： 84181443758100142757C C -=-=．⑸分三类情况：4人无人入选；4人仅有1人入选；4人中有2人入选，共：817261441441434749C C C C C +⨯+⨯=。
【例 11】 在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要3人，共有多少种不同的选人方案？【解析】 按具有双项技术的学生分类：⑴ 两人都不选派，有3554310321C ⨯⨯==⨯⨯(种)选派方法；若此人要安装电脑，则还需2人安装电脑，有25541021C ⨯==⨯(种)选法，而另外会安装音响设备的3人全选派上，只有1种选法．由乘法原理，有10110⨯=(种)选法；若此人安装音响设备，则还需从3人中选2人安装音响设备，有2332321C ⨯==⨯(种)选法，需从5人中选3人安装电脑，有3554310321C ⨯⨯==⨯⨯(种)选法．由乘法原理，有31030⨯=(种)选法．根据加法原理，有103040+=(种)选法； 综上所述，一共有24080⨯=(种)选派方法． ⑶ 两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：①两人全安装电脑，则还需要从5人中选1人安装电脑，另外会安装音响设备的3人全选上安装音响设备，有515⨯=(种)选派方案； ②两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有22535432602121C C ⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯(种)选派方案； ③两人全安装音响设备，有355433330321C ⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯(种)选派方案．根据加法原理，共有5603095++=(种)选派方案．综合以上所述，符合条件的方案一共有108095185++=(种)．【例 12】 有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？【解析】 针对两名英语、日语都精通人员(以下称多面手)的参考情况分成三类：⑴ 多面手不参加，则需从5名英语翻译员中选出4人，有41555C C ==种选择，需从4名日语翻译员中选出4人，有1种选择．由乘法原理，有515⨯=种选择．⑵ 多面手中有一人入选，有2种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能：如果参加英文翻译，则需从5名英语翻译员中再选出3人，有3554310321C ⨯⨯==⨯⨯种选择，需从4名日语翻译员中选出4人，有1种选择．由乘法原理，有210120⨯⨯=种选择；如果参加日文翻译，则需从5名英语翻译员中选出4人，有41555C C ==种选择，需从4名日语翻译员中再选出3名，有31444C C ==种选择．由乘法原理，有25440⨯⨯=种选择．根据加法原理，多面手中有一人入选，有204060+=种选择．⑶ 多面手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况： ①两人都译英文；②两人都译日文；③两人各译一个语种．情况①中，还需从5名英语翻译员中选出2人，有25541021C ⨯==⨯种选择．需从4名日语翻译员中选4人，1种选择．由乘法原理，有110110⨯⨯=种选择． 情况②中，需从5名英语翻译员中选出4人，有41555C C ==种选择．还需从4名日语翻译员中选出2人，有2443621C ⨯==⨯种选择．根据乘法原理，共有15630⨯⨯=种选择． 情况③中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择．剩下的需从5名英语翻译员中选出3人，有3554310321C ⨯⨯==⨯⨯种选择，需从4名日语翻译员中选出3人，有31444C C ==种选择．由乘法原理，有1210480⨯⨯⨯=种选择．综上所述，由加法原理，这样的分配名单共可以开出560120185++=张．二、 几何计数【例 13】 下图中共有____个正方形。