2020届 百校联盟TOP20 高三四月联考(全国Ⅰ卷) 数学(理)试题(解析版)

2020届百校联盟 top20高三四月联考（全国i 卷） 数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}29A x x =∈≤Z ，{}ln 1B x x =<，则A B =I （ ） A ．{}0e x x << B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3D ．{}3,2,1,0,1,2---【答案】B【解析】解一元二次不等式、对数不等式化简集合,A B 的表示，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】集合{}3,2,1,0,1,2,3A =---，集合{}0B x x e =<<，故{}1,2A B =I . 故选：B 【点睛】本题考查了集合交集的定义，考查了一元二次不等式、对数不等式的解法，考查了数学运算能力. 2．已知复数i1im z =-（m ∈R ），若满足1z ≤，则复数z 的虚部取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．22⎡-⎢⎣⎦D ．⎡⎣【答案】C【解析】运用复数的除法的运算法则化简复数z 的表示，根据复数模的定义，结合已知条件进行求解即可. 【详解】由题意知i i 1i 22m m m z ==-+-，1z ==≤即m ≤≤z 的虚部,222m ⎡∈-⎢⎣⎦.故选：C本题考查了复数的除法运算法则、复数模的计算公式，考查了数学运算能力.3．支付宝和微信支付已经成为现如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问100名居民（男女居民各50名）喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如下的22⨯列联表：附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.则下面结论正确的是（ ）A ．有99.9%以上的把握认为“支付方式与性别有关”B ．在犯错误的概率超过1%的前提下，认为“支付方式与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“支付方式与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“支付方式与性别无关” 【答案】C【解析】根据题中所给的公式和列联表计算出2K 的值，然后根据观测值的比较进行求解即可. 【详解】由22⨯列联表得到40a =，10b =，25c =，25d =，则代入()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，解得2K 的观测值()210010002509.8950506535k ⨯-=≈⨯⨯⨯.因为6.6359.8910.828<<，所以有99%以上的把握认为“支付方式与性别有关”. 故选：C本题考查了2K 的计算，属于基础题.4．已知曲线C ：221x y m n+=表示焦点在y 轴上且离心率大于2的双曲线，则下列不等关系正确的是（ ） A ．0m n +> B ．0m n +< C ．0m n -> D ．20m n ->【答案】B【解析】根据曲线方程表示焦点在y 轴的双曲线，得到,m n 的正负性，再根据双曲线的离心率，结合不等式的性质进行求解即可. 【详解】由题意知0m <，0n >，又因为212m e n =->，故1mn->，即0m n +<. 故选：B 【点睛】本题考查了已知曲线表示双曲线求参数取值范围，考查了双曲线离心率公式，考查了不等式的性质，考查了数学运算能力.5．执行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）A ．32B ．64C ．128D ．256【答案】C【解析】先判断后执行循环体，可以判断出程序的功能，最后求值即可. 【详解】阅读程序框图知，因为234560222222100S =++++++≥，故最后输出128.【点睛】本题考查了循环结构的输出问题，考查了数学运算能力.6．已知两个锐角α，β（αβ<），且tan α，tan β为方程2401310x x -+=的两根，如果钝角γ的始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()2,1-，则αβγ+-=（ ） A ．4π- B ．23π-C ．34π-D ．4π 【答案】C【解析】根据一元二次方程根与系数关系，结合两角和与差的正切公式、正切的定义，特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】由tan α，tan β为方程2401310x x -+=的两根，解得1tan 8α=，1tan 5β=，则()11185tan 13140αβ++==-，又1tan 2γ=-，则()1132tan 1116αβγ++-==-.因为 06παβ<+<，56πγπ<<，则23ππαβγ-<+-<-，故34παβγ+-=-. 故选：C 【点睛】本题考查了两角和与差的正切公式，考查了正切函数的定义，考查了数学运算能力. 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20180S >，20190S <，记n n b a =，则n b 最小时，n 的值为（ ） A ．1009 B ．1010C ．1011D ．2019【答案】B【解析】根据等差数列的前n 项和公式，结合等差数列的下标性质、绝对值的性质进行求解即可. 【详解】由2019101020190S a =<，10100a <；由()120182018201802a a S +=>，即101010090a a +>，10101009a a >-，故10091010a a >.故选：B 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式，考查了等差数列的下标性质，考查了绝对值的性质，考查了数列最小项问题，考查了数学运算能力.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．113【答案】C【解析】由三视图可知; 该几何体为一个直三棱柱削去一个三棱锥，运用棱柱和棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】如图，该几何体为一个直三棱柱削去一个三棱锥，故体积为11111022222223223⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=. 故选：C【点睛】本题考查了由三视图还原空间几何体求体积问题，考查了棱柱和棱锥的体积公式，考查了空间想象能力和数学运算能力.9．已知()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-中0a >，若13945a =-，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】根据()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-利用二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、以及13945a =-，即可求得a 的值，得到答案． 【详解】由题意，二项式()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-，又由()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-，所以()()()2151501215[(1)(1)]111a x a a x a x a x --++-=+-+-+⋅⋅⋅+-，其中0a >，由13945a =-，可得：1321315[(1)]945a C a =-⋅-+=-，即2105(1)945a -+=-，即2(1)9a +=，解得2a =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，其中解答中熟记二项展开式的通项及性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．10．设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，已知P ，Q ，T 为抛物线C 上三个动点，且满足F 为PQT ∆的重心，PQT ∆三边PQ ，PT ，TQ 的中点分别为1M ，2M ，3M ，分别过1M ，2M ，3M 作抛物线C 准线的垂线，垂足分别为1N ，2N ，3N ，若11223312M N M N M N ++=，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】C【解析】设P ，Q ，T 的横坐标分别为1x ，1x ，1x ，过点P ，Q 作抛物线C 准线的垂线，垂足分别为1P ，1Q ，运用梯形中位线定理，结合抛物线的定义求出11M N 的表达式，同理求出2233,M N M N 的表达式，最后利用已知进行求解即可.【详解】设P ，Q ，T 的横坐标分别为1x ，1x ，1x ，过点P ，Q 作抛物线C 准线的垂线，垂足分别为1P ，1Q ，在梯形11PPQ Q 中，11112PP QQ M N +=，由抛物线定义知1PP PF =，1QQ QF =，故112PF TFM N +=. 同理可知222PF TF M N +=，332TF QFM N +=， 故11223312M N M N M N PF QF TF ++=++=.再由焦半径公式可得1233122x x x p +++=，又123132x x x p ++=，故312p =，解得4p =. 故选：C【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了梯形中位线定理，考查了数学运算能力. 11．函数()f x 在定义域R 内的导函数为()f x '，若4()(),(2),(1)f x f x a e f b ef '>=-=，(2)c f =，A ．a c b >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】由题得()[]0x f x e '>，设()()xf xg x e=，得函数g(x)在R 上是增函数，再利用函数的单调性分析得解. 【详解】由题得()()0,f x f x '-> 所以()e ()e 0,x x f x f x '-> 所以()[]0x f x e '>，设()()xf xg x e =，所以函数g(x)在R 上是增函数， 所以(2)(1)(2)g g g >>-， 所以212(2)(1)(2)f f f e e e-->>， 所以c b a >>. 故选：D 【点睛】本题主要考查导数的运算和性质，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2AB BD ==，M 为AD 中点，H 为线段AC 上一点（除AC 的中点外），且MH HB ⊥.当三棱锥M HAB -的体积最大时，则三棱锥M ABC -的外接球表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π【答案】B【解析】利用线面垂直的判定定理和性质，可以证明AM ⊥平面BHM ，利用三棱锥的等积性，结合基本不等式，这样可以求出1BH HM ==，过点C 作CK BD ⊥，取AB ，AC 的中点T ，N ，连接MN ，MT ，过点T 作CK 的平行线交MN 于点O .利用线面垂直的性质和判定定理可以证明出O 为三棱锥M ABC -的外接球的球心，运用正切函数的定义，球的表面积公式进行求解即可. 【详解】在Rt ABD ∆中，因为M 为AD 中点，故BM AD ⊥，且2BM =CD BC ⊥，CD AB ⊥，所以CD ⊥平面ABC ，故CD BH ⊥，又因为MH BH ⊥，所以BH ⊥平面ACD ，因此BH AD ⊥，故AM ⊥平面BHM ，三棱锥M HAB -的体积等于三棱锥A BHM -的体积，即只需底面BHM ∆面积最大即可.因为2222BH HM BM +==，则22BH HM ≥⋅，故1122BHM S BH HM ∆=⋅≤，当且仅当1BH HM ==时取等号.在Rt ABC ∆中，30CAB ∠=︒，故3BC =，过点C 作CK BD ⊥，取AB ，AC 的中点T ，N ，连接MN ，MT ，过点T 作CK 的平行线交MN 于点O .由CK ⊥平面ABD 知OT ⊥平面ABD .又DC ⊥平面ABC ，故MN ⊥平面ABC .因此O 为三棱锥M ABC -的外接球的球心，由tan tan tan 2CDTOM KCD CBK BC∠=∠=∠==，因为1TM =，所以2tan 2TM OT TOM ==∠，故2232R OA ==，即三棱锥M ABC -的外接球表面积为6π.故选：B【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积问题，考查了基本不等式的应用，考查了线面垂直的判定定理和性质，考查了数学运算能力.二、填空题13．已知向量()1,a t =-r ，()1,2b =r，且()2a b b +⊥r r r ，则实数t 的值为______.【答案】92-【解析】根据平面向量加法、数乘、数量积的坐标表示公式，结合两个平面向量垂直的性质进行求解即可. 【详解】由题意知()21,4a b t +=+r r ，再由()2a b b +⊥r r r 得290t +=，解得92t =-.故答案为：92-【点睛】本题考查了平面向量加法、数乘、数量积的坐标表示公式，考查了两个平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a +=，则使不等式427m a ≥（m *∈N ）成立的m 最大值为______. 【答案】3【解析】对递推关系21n n S a +=再递推一步，得到新的等式，两个等式相减，结合等比数列的定义进行求解即可. 【详解】当1n =时，111231S a a +==，故113a =；当2n ≥时，1121,21,n n n n S a S a --+=⎧⎨+=⎩两式相减得123n n a a -=.故数列{}n a 为首项为13，公比为23的等比数列，故11233n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故12341237m -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭≥，即12439m -⎛⎫ ⎪≥⎝⎭，则3m ≤，故m 的最大值为3. 故答案为：3 【点睛】本题考查了由数列递推公式求数列通项公式，考查了等比数列的定义，考查了数学运算能力.15．设函数()22sin sin 3f x x x πωω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0>ω），若()f x 在区间0,24π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则下列说法中正确的是______（填所有正确选项的序号）. ①存在ω使得函数()f x 为奇函数；②函数()f x 的最大值为12；③ω的取值范围为(]0,4；④存在4个不同的ω使得函数()f x 的图象关于2x π=对称. 【答案】②③④【解析】根据正弦型函数的单调性、奇偶性、对称性进行逐一判断即可. 【详解】由题意()212sin sin sin 2362f x x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然不存在ω使得函数()f x 为奇函数，故①错误；()12f x ≤，故②正确；由于()f x 在区间0,24π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故26221262k k ππππππωπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩（k ∈Z ），解得04ω<≤，故③正确：；令62m πππωπ+=+，m ∈Z ，解得13m ω=+，由04ω<≤知ω的取值为13，43，73，103，故④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查了正弦型函数的单调性、奇偶性、最值、对称性，考查了数学运算能力. 16．已知函数()ln xf x x=，函数()y g x =与()y f x =的图象关于原点对称，若函数()222log e G x g x m e x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数）有4个不同的零点，则实数m 的取值范围为______.【答案】()(),4222,e e -∞---+∞U【解析】根据对称性可以求出()y g x =的解析式，对该函数进行求导，判断单调性，利用换元法，结合基本不等式、双勾函数的单调性，最后求出实数m 的取值范围. 【详解】由题意知()()()ln xg x f x x =--=-，()()()2ln 1ln x g x x --'=-⎡⎤⎣⎦，当()1,0x ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减且()0g x >；当(),1x e ∈--时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(),e -∞-时，()0g x '>，()g x 单调递增.令(][)2,,22,e t x m t m e m e x=++∈-∞-++∞U ，由()()()224ln 2g t g g =-=-=-，故2t =-或4t =-.由2e t x m x =++图象知22m e ->-或24m e +<-，解得22m e >-或42m e <--.故答案为：22m e >-或42m e <-- 【点睛】本题考查了利用对称性求函数的解析式，考查了已知函数零点的个数求参数取值范围问题，考查了数学运算能力.三、解答题17．在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22tan tan b A a B =，22sin 1cos 22A BC +=+. （1）求角A 的大小；（2）若点D 为AB 边上一点，满足45BCD ∠=︒且CD =ABC ∆的面积.【答案】（1）30A =︒；（2）【解析】（1）根据降幂公式，结合三角形内角和定理，通过解一元二次方程，结合特殊角的余弦值、正弦定理、同角三角函数关系式中商关系进行求解即可；（2）由（1），可以得知ABC ∆为等腰三角形，顶角120C =︒，由ABC ∆的面积建立等式关系，结合三角形面积公式进行求解即可. 【详解】 （1）由22sin1cos 22A BC +=+得()21cos 2cos A B C -+=， 即22cos cos 10C C --=，解得1cos 2C =-， 故120C =︒. 根据正弦定理知sin sin a b A B=，代入22tan tan b A a B =得22sin sin sin sin cos cos A BB A A B⋅=⋅， 即sin cos sin cos A A B B =，故sin 2sin 2A B =， 因此A B =或90A B +=︒（舍去），故30A =︒. （2）由（1）知ABC ∆为等腰三角形，顶角120C =︒. 设BC AC m ==，由ABC BCD ACD S S S ∆∆∆=+， 即2111sin120sin 45sin 75222m m CD m CD ⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒，(32CD ⎛=⋅+== ⎝⎭，解得m =故21sin120332ABC S m ∆=⋅︒=. 【点睛】本题考查了降幂公式，考查了三角形面积公式，考查了正弦定理，考查了同角三角函数关系式中的商关系，考查了数学运算能力.18．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1B A ⊥底面ABCD ，12BB BC AB ==，60ABC ∠=︒.（1）求证：1AB A D ⊥；（2）求二面角1A A D C --的余弦值.【答案】(1)见解析；（210【解析】（1）连接11A C ，1C D ，AC ,通过勾股定理得到AB AC ⊥，再由条件推得1AB C D ⊥进而得到线面垂直，线线垂直；（2）建立坐标系，分别求得两个面的法向量，进而求得夹角的余弦值. 【详解】(1)连接11A C ，1C D ，AC ，以为原几何体是平行六面体，故得到1111AA CC AC CA=∴P 是平行四边形，进而得到11AC AC ∥，因为2BC AB =且60ABC ∠=︒， 在三角形ABC 中由余弦定理得到边22222122AC AB BC AB BC BC AB =+-⨯⨯=-，222AB AC BC AB AC ∴+=∴⊥，进而得到11AB A C ⊥，又因为1B A ⊥底面ABCD ，1111,B A AB B A C D AB C D ∴⊥∴⊥Q P1111AC C D C AB ⋂=∴⊥面11AC D .1AB A D ∴⊥.(2)根据题干，以及第一问可建立如图坐标系：设122BB BC AB ===，13AB =，()()1,0,0,0,0,0B A，()()10,0,3,0,3,0B C 根据()1111,0,3A B AB A =⇒-，设面1AA D 的法向量为(),,n x y z =r()()11,0,3,1,3,0AA AD BC =-==-u u u r u u u r u u u r()303,1,130x z n x y ⎧-+=⎪⇒=⎨-+=⎪⎩v设面1A CD 的法向量为(),,m x y z =u r()1,0,0AB DC ==u u u r u u u r ，()11,3,3CA =--u u u r ，()00,1,1330x m x y z =⎧⎪⇒=⎨--+=⎪⎩v则两个半平面的夹角余弦值为：10cos .5||||n m n m θ⋅==⋅r u r r u u r【点睛】这个题目考查了空间中直线和面的位置关系的应用，涉及线面垂直的性质的应用，以及线线垂直的证明，和二面角的求法，一般求二面角，可以利用几何方法，做出二面角，或者建立空间坐标系得到法向量进而求得二面角的大小.19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左，右焦点为1F ，2F ，且焦距为3点2B ，1B 分别为椭圆C 的上、下顶点，满足111212111212B F B F B B B F B F B B +=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点()2,0E -，椭圆C 上的两个动点M ，N 满足EM EN ⊥，求证：直线MN 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析【解析】（1）设111111B F B FB F =u u u u ru u u u r u u u u r ，121212B F B F B F =u u u u r u u u u r u u u u r ，121212B B B B B B =u u u u ru u u ur u u u u r ，结合已知的向量表达式，根据平面向量加法的几何意义可知四边形1122B F B F '''为菱形，结合已知条件进行求解即可；（2）根据直线MN 是否存在斜率进行分类讨论.设直线MN 的方程，与椭圆方程联立，结合一元二次方程根与系数的关系，结合两平面向量垂直的性质进行求解即可. 【详解】（1）设111111B F B F B F =u u u u ru u u u r u u u u r ，121212B F B F B F =u u u u r u u u u r u u u u r ，121212B B B B B B =u u u u ru u u ur u u u u r ， 由1112121112121B F B F B B B F B F B B ===u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u ru u u u r 可知四边形1122B F B F '''为菱形且11260F B B ''∠=︒， 故33=，解得1b =，故2a =， 椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线MN 斜率存在时，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y .联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得 ()222148440k xkmx m +++-=，()()()222222641611416140k m m k k m ∆=--+=+->，122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+， 由EM EN ⊥，则0EM EN ⋅=u u u u r u u u r， 即()()1212220x x y y +++=， 整理得()()()2212121240kx x km x x m++++++=，将122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+代入整理得22121650k km m -+=， 即()()2650k m k m --=， 解得2m k =或65m k =. 当2m k =时，直线MN ：2y kx k =+过点E ，舍去； 当65m k =时，直线MN ：65y kx k =+过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭. 当直线MN 斜率不存在时，不妨设()11,M x y ，()11,N x y -， 则由EM EN ⊥，则0EM EN ⋅=u u u u r u u u r，即()221120x y +-=，即()22112104x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即211516120x x ++=，解得12x =-（舍去）或165x =-，也过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭. 综上，直线MN 过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了平面向量加法的几何意义，考查求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆中直线过定点问题，考查了数学运算能力，考查了分类讨论思想. 20．新疆小南瓜以沙甜闻名全国，小田计划从新疆运输小南瓜去上海，随机从某瓜农的瓜地里挑选了100个，其质量分别在[)100,200，[)200,300，[)300,400，[)400,500，[)500,600，[]600,700（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示，将频率视为概率.（1）请根据频率分布直方图估计该瓜农的小南瓜的平均质量；（2）已知瓜地里还有2万个小南瓜已经成熟，可以采摘，小田想全部购买，可是瓜农要求超过400克的小南瓜以5元一个的价格出售，其他的以3元一个的价格出售.将频率视为概率，若新疆到上海往返的运费约2000元，请问这2万个小南瓜在上海以每斤（500克）多少元定价才能保证小田的利润不少于5000元？（结果保留一位小数） （3）某天王阿姨在上海某超市的蔬菜柜台上看到小田从新疆采摘的新疆小南瓜，已知柜台上有若干个，若质量超过500克的小南瓜为“优质品”，王阿姨随机购买了20个小南瓜，求王阿姨购买的小南瓜中“优质品”个数的期望. 【答案】（1）415克；（2）至少定价每斤5.6元；（3）5【解析】（1）根据每组取中点为代表，根据平均数的定义进行求解即可；（2）求出每个小南瓜质量超过400克的概率，再求出2万个小南瓜中质量超过400克的个数，最后结合已知条件进行求解即可；（3）由频率分布直方图可求出小南瓜质量超过500克的概率，结合二项分布的性质进行求解即可. 【详解】（1）小南瓜的平均质量为1500.12500.13500.154500.45500.26500.05415⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（克）（2）每个小南瓜质量超过400克的概率为0.65， 故2万个小南瓜中质量超过400克的个数为13000个，价值为130********⨯=（元），质量低于400克的价值为7000321000⨯=（元）， 则小田运到上海总的费用为6500021000200088000++=（元）. 由（1）知，2万个小南瓜的总质量为2000041550016600⨯÷=（斤）， 因为8800050005.616600+≈，所以小田至少定价每斤5.6元才能保证利润不少于5000元.（3）由频率分布直方图知，小南瓜质量超过500克的概率0.25P =，由题意知，王阿姨购买的小南瓜中“优质品”个数X 服从二项分布()20,0.25B ， 则()200.255E X =⨯=，故王阿姨购买的小南瓜中“优质品”个数的期望为5. 【点睛】本题考查了二项分布的性质，考查了利用频率直方图求平均数，考查了数学运算能力.21．已知函数()2e ,02,0x m x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩（e 为自然对数的底数）.（1）当1m =-时，设()()g x xf x =，求()g x 的单调区间；（2）若()f x 的图象在两点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x （120x x ≤<）处的切线重合，求证：314m -≤<. 【答案】（1）增区间40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间(),0-∞，4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）见解析 【解析】（1）求出函数()g x 的解析式，然后分类讨论，结合导数进行求解即可； （2）根据题意，利用导数求出两点处切线的斜率，再求出Q 点处的切线方程，这样可以得到()()2222222ln 2222m x x x x =-+-++-+，通过换元法，构造函数，再求导，求出新函数的单调性，利用单调性进行求解即可. 【详解】（1）由题意知()32e ,0,2,0,x x x x g x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩ 当0x ≤时，()()1e 10xg x x '=+-≤，故()g x 在(),0-∞上单调递减；当0x >时，()234g x x x '=-+，故()g x 在40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）由题意知()11e xf x '=，()2222f x x '=-+，则(]12e 220,1xx =-+∈，Q 点处的切线方程为()()22222222y x x x x x =-+--+，则有()()1221222e 222xm x x x x x +=-++-+，将12e 22xx =-+代入整理得()()2222222ln 2222m x x x x =-+-++-+，令(]2220,1t x =-+∈，则2ln 214t m t t t =-++，令()2ln 214t G t t t t =-++（(]0,1t ∈），则()ln 102tG t t '=-+<， 故()G t 在(]0,1上单调递减， 故()()314G t G ≥=-， 又因为()1ln 204t G t t t ⎛⎫-=-+< ⎪⎝⎭， 所以()1G t <，即3,14m ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性，考查了曲线的切线求法，考查了数学运算能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是1212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）证明：直线l 与曲线C 相切；（2）设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点P 是曲线C 上任意一点，求22PA PB +的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）[]4,8【解析】（1）利用加减消元法把直线l 化成普通方程，再根据极坐标与直角坐标互化公式把曲线C 化成直角坐标方程形式，最后通过圆心到直线的距离进行证明即可；（2）由（Ⅰ）知()2,0A ，()0,2B ，设点P坐标为11cos ,sin 2222θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，根据两点间距离公式，结合辅助角公式进行求解即可. 【详解】（1）直线l 的普通方程为20x y +-=， 根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，代入得曲线C 的直角坐标方程为220x y x y +--=， 即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心为11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2，圆心C 到直线l 的距离d ==， 故直线l 与曲线C 相切.（2）由（Ⅰ）知()2,0A ，()0,2B ，设点P 坐标为11cos ,sin 2222θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭， 22231cos 2222PA θθ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32θθ-=+2221322PB θθ⎛⎫⎫=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭32θθ-=+，则)226sin cos PA PB θθ+=+[]62sin 4,84πθ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，故22PA PB +的取值范围为[]4,8.【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程化成普通直角坐标方程，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力. 23．已知函数()4f x x x a a=+--（0a >） （1）求证：()4f x ≥；（2）当4a =时，解不等式()9f x ≥. 【答案】（1）见解析；（2）(][),27,-∞-+∞U第 21 页 共 21 页 【解析】（1）利用绝对值的性质进行求解即可；（2）利用绝对值的性质把函数()f x 的解析式化简为分段函数的形式，最后分类讨论求解即可.【详解】（1）()4f x x x a a=+-- 444x x a a a a≥-++=+≥（当且仅当2a =且()40x x -≤时“=”成立）， 故()4f x ≥成立.（2）当4a =时，()5f x x x =+-52,0,5,05,25,5,x x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩则0529x x ≤⎧⎨-≥⎩或5,259,x x ≥⎧⎨-≥⎩ 解得2x -≤或7x ≥，故()9f x ≥的解集为(][),27,-∞-+∞U .【点睛】本题考查了绝对值的性质，考查了解绝对值不等式，考查了数学运算能力.。