齿轮渐开线公式推导过程审批稿

齿轮渐开线公式推导过
程
YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】
2012-2-27
最近我在研究渐开线齿轮的参数化建模问题。

经过一番搜索，在网上发现了一篇文章中关于用CATIA V5参数化建模的齿轮参数列表和计算公式。

序号参数
类型或单
位
公式描述
1 a 角度(deg) 标准值：20deg 压力角：（10deg≤a≤20deg）
2 m 长度(mm) ——模数
3 z 整数——齿数（5≤z≤200）
4 p 长度(mm) m * π齿距
5 ha 长度(mm) m 齿顶高=齿顶到分度圆的高度
6 hf 长度(mm) if m > ，hf = m * ；
else hf = m *
齿根高=齿根到分度圆的深度
7 rp 长度(mm) m * z / 2 分度圆半径
8 ra 长度(mm) rp + ha 齿顶圆半径
9 rf 长度(mm) rp - hf 齿根圆半径
10 rb 长度(mm) rp * cos( a ) 基圆半径
11 rr 长度(mm) m * 齿根圆角半径
12 t 实数0≤t≤1渐开线变量
13 xd 长度(mm) rb * ( cos(t * π) +sin(t * π) * t * π )基于变量t的齿廓渐开线X坐标
14 yd 长度(mm) rb * ( sin(t * π) -cos(t * π) * t *π )基于变量t的齿廓渐开线X坐标
15 b 角度(deg) ——斜齿轮的分度圆螺旋角
16 L 长度(mm) ——齿轮的厚度
此表来自网络，多谢网友分享。

（使用时个别地方还是要参考一下机械设计手册）
我觉得，干咱们这一行的不仅要知其然，更要知其所以然。

下面我将渐开线的坐标公式做如下推导：
渐开线的形成及其性质：
如图1所示，当直线BK 沿半径为b r 的圆周作纯滚动时，直线上任一点K 的轨迹AK 就是该圆的渐开线。

这个圆称为渐开线的基圆，半径b r 称为基圆半径，直线BK 称为渐开线的发生线，k θ=AOK ∠称为渐开线上点K 的展角。

由渐开线的形成过程，可得渐开线的性质如下：
（1） 发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过圆弧的长度，即
KB AB =。

（2） 渐开线上任一点的法线恒与基圆相切。

（3） 渐开线上离基圆越远的部分，其曲率半径愈大，渐开线愈平直。

（4） 基圆内无渐开线。

（5） 渐开线的形状取决于基圆的大小。

渐开线方程
在图1中有两个重要的角度分别是：渐开线的展角k θ，另一个是渐开线的压力角k α。

由图1易得：
cos b
k k
r r α=
（1） cos 2
b k m z
r α⋅=
⋅
（2）
公式2中m 为齿轮的模数，z 为齿轮的齿数。

将图1中的坐标系纵轴旋至与OA 重合，如图2
在图2中，OB BK ⊥ 则 ()tan k k b
AB k k k b l r BK OB OB r θααθα+====+ 角的大小用弧度表示
（3）
令d x ，d y 分别为OK 在x 轴，y 轴上投影的坐标值 则
sin sin cos b
d k k k
r x OK θθα==
（4） 由3得 tan k k k θαα=-
（5）
将5代入4：
sin(tan )cos b
d k k k
r x ααα=
- (sin tan cos cos tan sin )cos b
d k k k k k
r x ααααα=
⋅-⋅ (sin tan tan cos tan )d b k k k x r ααα=-⋅
（6）
3代入6得：
(sin()()cos())d b k k k k k k x r αθαθαθ=+-+⋅+
（7）
令k k a αθ=+
则 (sin cos )d b x r a a a =-⋅
（8） 同理可求：(cos sin )d b y r a a a =+⋅
（9）
所以渐开线的笛卡尔坐标可表示为：
(sin cos )
(cos sin )d b d b x r a a a y r a a a =-⋅⎧⎨
=+⋅⎩
（10）
下面我用MATlab 验证公式：
用为个公式就可以建出标准渐开线齿的参数化模型。

（有图，有真相！）
以上仅供参考。