(完整版)高考导数解答题中常见的放缩大法
放缩法技巧全总结(非常精辟,是尖子生解决高考数学最后
2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:一、裂项放缩例1.1求的值;2求证:.解析:1因为,所以2因为,所以奇巧积累:1 2 34 5 6 7 8 9 10 11111213 14 15 15 例2.1求证: 2求证: 3求证: 4 求证:解析:1因为,所以2 3先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案4首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的,所以例3.求证: 解析:一方面:因为,所以另一方面: 当时,,当时,,当时,,所以综上有例 4.2008年全国一卷设函数.数列满足..设,整数.证明:解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则,否则若,则由知,,因为,于是例5.已知,求证: 解析:首先可以证明: 所以要证只要证:故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知,,求证:.解析:所以从而例7.已知,,求证:证明: ,因为,所以所以二、函数放缩例8.求证: 解析:先构造函数有,从而因为所以例9.求证:1 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式: ,例10.求证:解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,,…,,,相加后可以得到:另一方面,从而有取有,,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:加强命题例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,令有,所以,所以例14. 已知证明.解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案放缩思路:。
高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结（最强大）
放缩技巧（高考数学备考资料）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求nk k 12142的值; (2)求证:35112nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422n n n n n,所以122121114212n nnknk (2)因为12112121444111222n n nnn,所以35321121121513121112nnknk奇巧积累:(1)1211212144441222nn nnn(2))1(1)1(1)1()1(21211n n n n n n n C C nn (3))2(111)1(1!11)!(!!11r rr rr r nr nr n nC T rrrnr (4)25)1(123112111)11(nn nn(5)n nn n 21121)12(21(6) nnn221(7))1(21)1(2n n n n n (8)nn nnn nn 2)32(12)12(1213211221(9)kn nk k n n n k kn k n k 11111)1(1,11111)1(1(10)!)1(1!1!)1(n n n n (11)21212121222)1212(21nnn n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112n nn n nn nnn nnnnn(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123n n nn n n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nnnnnnnnn (14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2kk kkk k(15))2(1)1(1n n n n n (15)111)11)((1122222222jij ijij ij i jij i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222n nn (2)求证:nn412141361161412(3)求证:1122642)12(531642531423121n nn (4) 求证：)112(2131211)11(2n nn 解析:(1)因为12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112n n ini (2))111(41)1211(414136116141222nnn(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531n nn ,再结合nn n221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nnn n n12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2再证21212121222)1212(21nnn n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211n n例3.求证:35191411)12)(1(62nn n n 解析:一方面: 因为12112121444111222n n nnn,所以35321121121513121112nn knk 另一方面: 1111)1(143132111914112n n n n n n当3n 时,)12)(1(61n n nn n,当1n 时,2191411)12)(1(6nn n n ,当2n时,2191411)12)(1(6n n n n , 所以综上有35191411)12)(1(62nn n n 例 4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x xx x .数列n a 满足101a .1()nn a f a .设1(1)b a ，，整数11ln a bk a b≥.证明:1ka b .解析: 由数学归纳法可以证明n a 是递增数列, 故若存在正整数k m, 使b a m, 则b a a kk1,若)(k mb a m,则由101ba a m知0ln ln ln11ba a a a a mmm ,km mm k k k ka a a a a a a 111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km mm ,于是ba ba b a k a a k)(|ln |11111例5.已知m mmmmn S x N m n 321,1,,,求证:1)1()1(11mnmnS mn .解析:首先可以证明:nx x n1)1(nk m m m m m m m m k knnn nn111111111])1([01)2()1()1(所以要证1)1()1(11mnmnS mn 只要证:nk m mm m m m m m m nk mnk m m k kn nnnnkm k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证nk m mnk mn k m m k k km kk1111111])1[()1(])1([,即等价于m mmm m k kk mkk 111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11m m kkm kkm 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知nnna 24,nnna a a T212,求证:23321nT T T T . 解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321nnn n nnnT 所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111nnnn n n n n nn n nnnnnT 从而231211217131311231321n nnT T T T 例7.已知11x ,),2(1),12(Z kk nn Z k k n n xn,求证:*))(11(21114122454432N nn x x x x x x nn 证明:nn n n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122,因为12n nn,所以)1(2122214122n n n nn x x nn 所以*))(11(21114122454432N n nx x x x x x nn 二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N nn nnn.解析:先构造函数有x x x x x11ln 1ln ,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nnnncause nnnn311212191817161514131213131216533323279189936365111n nn n n 所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln n n nnnn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22nn n n nn 解析:构造函数xx x f ln )(,得到22ln ln n n nn ,再进行裂项)1(1111ln 222n n nnn,求和后可以得到答案函数构造形式: 1ln x x,)2(1ln nn 例10.求证:nnn 1211)1ln(113121解析:提示:2ln 1ln1ln1211ln )1ln(nn nn nn nn n 函数构造形式:xxx x 11ln ,ln 当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数xx f 1)(, 首先:ni nABCFxS 1,从而,)ln(ln |ln 11i n n x x in nin nin取1i有,)1ln(ln 1n n n ,所以有2ln 21,2ln 3ln 31,…，)1ln(ln 1n n n,n n n ln )1ln(11,相加后可以得到:)1ln(113121n n 另一方面nin ABDExS 1,从而有)ln(ln |ln 11i n n x xiinninnin 取1i有,)1ln(ln 11n nn ,所以有nn 1211)1ln(,所以综上有nn n 1211)1ln(113121例11.求证:en )!11()!311)(!211(和en)311()8111)(911(2.解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(n en n 解析:1)1(32]1)1(ln[n n n n ,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:)0(13)1ln(1)0(132)1ln(x xxx x x x(加强命题)例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(xx x x f ,求导,可以得到: 12111)('xx x x f ,令0)('x f 有21x,令0)('x f 有2x,所以0)2()(f x f ,所以2)1ln(x x ,令12nx有,1ln 22nn所以211ln n nn ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln nN nn n n n 例14. 已知112111,(1).2nnna a a nn证明2na e.解析:n nnnna n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1,然后两边取自然对数,可以得到nnna n n a ln )21)1(11ln(ln 1然后运用x x )1ln(和裂项可以得到答案)放缩思路：nnn a nna)2111(21nnna n n a ln )2111ln(ln 21nnnna 211ln 2。
3常用的导数放缩技巧-解析版-2023届高考数学二轮复习
第3讲 常用的导数放缩技巧知识与方法第一组: 对数放缩(放缩成一次函数) ln 1,ln ,ln(1),ln x x x x x x x x -<+<;(放缩成双次函数)1111ln (1),ln (01),ln 1),ln 22x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫<->>-<<<>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1)x x x<<;(放缩成二次函数)22211ln ,ln(1)(10),ln(1)(0)22x x x x x x x x x x x -+--<<+->; (放缩成类反比例函数) 12(1)ln 1,ln(1),ln (01)11x x x x x x x x x --+<<<++. 第二组: 指数放缩(放缩成一次函数) e1,e ,e e xx x x x x +>; (放缩成类反比例函数) 11e(0),e (0)1xx x x x x <-<-; (放缩成二次函数) 223111e 1(0),e 1226x xx x x x x x ++>+++.第三组: 以直线 1y x =- 为切线的函数121ln ,e 1,,1,ln x y x y y x x y y x x x-==-=-=-=.以上公式较多且繁杂, 我们记住基础的、最常见的即可, 其他可以根据最基础的不等式推导. 常用不等式 11:e 11ln 1xx x x x x+>>--. 常用不等式12:ee ,ln exx x x (非常具有对称美感)证明: e1xx +构造()e (1)()e 1x xf x x f x =-+'=- (,0)()0()x f x f x ∈-∞'<单调递减(0,)()0()x f x f x ∈+∞'>单调递加 ∴0()(0)e (01)0f x f =-+= ∴e 1xx +证明: 1ln x x - 构造1()1ln ()1f x x xf x x=--'=-(0,1)()0()x f x f x ∈'<单调递减(1,)()0()x f x f x ∈+∞'>单调递加∴()(1)11ln10f x f =--= 1ln x x ∴-证明: 1ln 1x x-构造221111()ln 1()x f x x f x x x x x -⎛⎫=--'=-= ⎪⎝⎭(0,1)()0()x f x f x ∈'< 单调递减(1,)()0()x f x f x ∈+∞'>单调递加()(1)0(11)0f x f =--=1ln 1x x ∴-证明: e e xx构造()e e ()e e x xf x xf x =-'=-(,1)()0()x f x f x ∈-∞'<，，单调递减(1,)()0()x f x f x ∈+∞'>，， 单调递加1()(1)e 0f x f e ∴=-=∴ee xx 证明: 1ln x x e构造111()ln ()f x x xf x e e x=-'=- (0,)()0()x e f x f x ∈'<单调递减(,)()0()x e f x f x ∈+∞'>，，单调递加 ∴()()110f x f e =-= 1ln x x e∴ 典型例题【例1】已知函数1()e xf x x =+, 若对于任意的,()x f x ax ∈>R 恒成立, 则实数a 的取值范围是 ( ) A. (,1e]-∞- B. (1,)+∞C. (1e,1]-D. (,1e](1,)-∞-⋃+∞【解析】 【解法1】 对任意的x ∈R , 要使()f x ax >恒成立, 可设1()()(1)e xg x f x ax a x =-=+-, 则要 ()0g x >恒成立. 当1a =时, 1()0ex g x =>恒成立, 故满足题意; 当1a ≠时,()1g x a '=-- e x -;若1a >, 则()0g x '<恒成立, ()g x 单调递减, 当x 趋近于正无穷时, ()g x 趋近于负无穷, 不满足题意; 若1a <, 由于()0g x '=, 解得ln(1)x a =--, 所以()g x 在(,ln(1))a -∞--上单调递减,在(ln(1),)a --+∞上单调递增, ()g x 在ln(1)x a =--处取得极小值即最小值, 要使()0g x >恒成立, 即 (ln(1))0g a -->恒成立, 解得此时1e a >-. 综上所述, a 的取值范围是(1e,1]-.【解法2】 函数1()e x f x x =+, 即1(1)e x a x >-恒成立, 设函数1()e xg x =, 同时令不等式右边为h ()(1)x a x =-, 如图所示:由于e x存在过原点的切线e y x =, 故此时该切线为e y x =-, 故e 10a -<-, 则1e 1a -<.【答案】C.【例2】已知对于任意的1x <, 有不等式ln(1)x ax a -+恒成立, 则实数a 的取值范围？ 【解析】【解法1】 由于要对于任意的1x <有ln(1)x ax a -+恒成立, 即ln(1)(1)x a x --, 由于x <1时, 10x ->, 故只需ln(1)1x a x --, 令ln(1)()(1)1x g x x x-=<-, 令1t x =-,即此时0t >,即ln ()(0)t g t t t =>, 此时221ln 1ln ()(0)t t t t g t t t t ⋅--'==>. 当0e t <<时, 函数()0g t '>, 此时函数 ()g t 单调递增; 当e t >时, 函数 ()0g t '<, 此时函数()g t 单调递减,故函数()g t 在e t =时取得极 大值, 即最大值, 故函数1()(e)eg t g =, 即此时得到1()e a g t , 故实数a 的取值范围为1e⎡⎢⎣, )+∞.【解法2】 若保证ln(1)x ax a -+恒成立, 即保证ln(1)(1)x a x ---恒成立, 此时令1t =-x , 即ln (0)t at t >恒成立, 由基本不等式, 1ln e x x , 故得到1,e a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【答案】1e⎡⎢⎣, )+∞.【例3】已知函数()e ln()xf x x m =-+.(1) 设0x =是()f x 的极值点, 求m 并讨论()f x 的单调性;(2) 当2m 时, 证明：()0f x >. 【解析】(1) ∵1()e ,0xf x x x m '=-=+ 是 ()f x 的极值点, ∴1(0)10f m'=-=, 解得 1m =.所以函数()e ln(1)xf x x =-+, 其定义域为1e (1)1(1,).()e 11x xx f x x x +--+∞'=-=++.设()g x = e (1)1xx +-, 则()e (1)e 0x x g x x '=++>, 所以()g x 在(1,)-+∞上为增函数, 又∵(0)0g =, 所以当0x >时, ()0g x >, 即()0f x '>; 当10x -<< 时, ()0,()0g x f x <'<.所以()f x 在(1,0)-上为减函数; 在(0,)+∞上为增函数.(2)证明: 【解法1】当2,(,)m x m ∈-+∞时, ln()ln(2)x m x ++, 故只需证明当2m =时()0f x >. 当2m =时, 函数1()e 2x f x x '=-+在(2,)-+∞上为增函数, 且(1)0,(0)f f '-<'0>.故()0f x '=在(2,)-+∞上有唯一实数根0x , 且0(1,0)x ∈-. 当()02,x x ∈-时,()f x '0<,当()0,x x ∈+∞时, ()0f x '>, 从而当0x x =时, ()f x 取得最小值. 由 ()00f x '=,得0e x=()0001,ln 22x x x +=-+. 故()()2000011()022x f x f x x x x +=+=>++. 综上, 当2m 时, ()f x 0>.【解法2】当 2,(,)m x m ∈-+∞ 时, ln()ln(2)x m x ++, 故只需证明当2,()0m f x =>. 即证 明 e ln(2)0x x -+>, 由于 e 1x x +, 即证明 1ln(2)x x ++,显然成立.【例4】已知函数()e ln 1xf x a x =--.（1）设2x =是()f x 的极值点, 求a 的值,并求()f x 的单调区间; （2）证明: 当1ea时, ()0f x . 【解析】 (1) ∵函数1()e ln 1.0,()e ,2xxf x a x x f x a x x=--∴>'=-= 是()f x 的极值点,∴(2)f '=21e 02a -=, 解得 2221111,()e ln 1,()e 2e 2e 2e x x a f x x f x x=∴=--∴'=-,当02x <<时, ()f x ' 0<; 当2x > 时, ()0.()f x f x '>∴在(0,2)上单调递减, 在(2,)+∞上单调递增.（2）证明: 【解法1】 当1ea 时, e ()ln 1e x f x x --, 设e ()ln 1e x g x x =--, 则e 1()e x g x x '=-, 由 e 1()0e x g x x'=-=, 得 1x =, 当01x <<时,()0g x '<, 当1x >时,()0,1g x x '>∴=是()g x 的最小值点, 故当0x >时, ()(1)0,g x g =∴当1ea 时, ()0f x .【解法2】当1ea 时, e ()ln 10e x f x x --, 由于e e x x 或者1e x x -, 所以证明ln 10x x --即可, 显然成立.强化训练1. 已知函数e ()ln exm f x x =-.(1) 设1x =是函数()f x 的极值点, 求m 的值并讨论()f x 的单调性; (2) 当2m 时, 证明: ()0f x >.【解析】 (1) e 1(),(0),1e x m f x x x x '=->=是函数()f x 的极值点, 即e10em -=, 所以1m =.于是函数e ()ex m f x = 数e e 1ln ln ,()e e x x x x f x x =-'=-, 由()0f x '=, 可得1x =, 因此，当(0,1)x ∈时, ()0f x '<; 当(1x ∈, )+∞时, ()0f x '>, 所以, 函数()f x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增.(2) 证明: 当2m 时, 对于任意(0,),e 1xx x ∈+∞>+恒成立, 又(0,),ln x x x ∈+∞>恒成立, 2x ≠时, 22e e 1ln ,2e x x x x x -=>-=时, 2e 1ln ex x x =->, 原式得证, 即()0f x >.2. 设函数1()e ln x xf x a x x-=+, 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处得切线方程为e(1)2y x =-+. (1) 求a 、b ;(2) 证明: ()1f x >.【解析】(1)函数()f x 的定义域为112(0,),()e ln e e e xx x x a b b f x a x x x x--+∞'=+-+,由题意可得(1)2,(1)e f f ='=, 故 1,2a b ==;(2)证明:由(1)知,12()e ln e ,x x f x x x -=+若()1f x >, 有12e ln e 1xx x x-+>, 即12ln ,()e e x x f x x >-∴ 1>等价于2ln e ex x x x ->-, 设函数()ln g x x x =, 则()1ln ,g x x '=+∴ 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0g x '<;当x 1,e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0g x '>. 故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增, 从而()g x 在 (0,)+∞上的最小值为11e e g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设函数2()e e xh x x -=-, 则()e (1)x h x x -'=-. 当 (0,1)x ∈ 时, ()0h x '>; 当(1,)x ∈+∞时, ()0h x '<, 故()h x 在(0,1)上单调递增, 在(1,)+∞上单调递减, 从而h ()x 在(0,)+∞上的最大值为1(1)eh =-.综上, 当0x >时,()()g x h x >, 即()1f x >.。
放缩法技巧全总结(高考精品,吐血推荐,不看后悔一辈子)
2010高考数学备考之放缩技巧放缩法精选大全证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n nn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn n n 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221n n nn n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i ji j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn 412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n nnn n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m nk m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα解析:构造函数xx x f ln )(=,得到22ln ln n n n n ≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n+==+++证明2n a e <.解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。
高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)
放缩技巧（高考数学备考资料）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C nn(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n nn n n n n n n n n n n n(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫⎝⎛+--=n n nn n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(1n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例 4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a<<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a akm m m<∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证:1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m nk m m k k k m k k1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kkm kkm 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+ 证明:nn n n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ . 解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n nn+++--<++++ cause ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.2ααα例10.所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e <+⋅⋅++)311()8111)(911( .解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n naa a n n +==+++证明2n a e <. 解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a nn a )2111(21⇒++++≤+n nn a nn a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。
导数大题中最常用的放缩大法
导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
(完整版)高考导数解答题中常见的放缩大法
(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴，变形即为sin1xx<，其几何意义为sin,(0,)y x xπ=∈上的的点sin,(0,)x x xπ<∈与原点连线斜率小于1.⑵1xe x>+⑶ln(1)x x>+⑷ln,0xx x e x<<>.将这些不等式简单变形如下：那么很多问题将迎刃而解。
exxexexexxxxx1ln,,1,1ln11-≥≥+≥-≤≤-例析：（2018年广州一模）恒成立，xexxfxxaxxf2)(,0,1ln)(⋅≤>++=若对任意的设求a的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥xe x2)1(ln1ln2)1(ln)1(ln1ln ln22=+-++≥+-=+-=+-+xxxxxxexxxexxexxxx高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数），，ln1x x≤-ln x x<()ln1x x+≤（放缩成双撇函数），，()11ln12x x xx⎛⎫<->⎪⎝⎭()11ln012x x xx⎛⎫>-<<⎪⎝⎭，，)ln1x x<>)ln01x x><<（放缩成二次函数），，2ln x x x≤-()()21ln1102x x x x+≤--<<()()21ln102x x x x+≥->（放缩成类反比例函数），，1ln1xx≥-()()21ln11xx xx->>+，()()21ln011xx xx-<<<+，，()ln 11x x x +≥+()()2ln 101x x x x +>>+()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数），，，1x e x ≥+x e x >x e ex ≥（放缩成类反比例函数），，()101x e x x ≤≤-()10x e x x <-<（放缩成二次函数），，()21102x e x x x ≥++>2311126x e x x x ≥+++第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩，，. ()sin tan 0x x x x <<>21sin 2x x x ≥-22111cos 1sin 22x x x -≤≤-第五组：以直线为切线的函数1y x =-，，，，.ln y x =11x y e -=-2y x x =-11y x =-ln y x x =拓展阅读：为何高考中总是考因为高考命题专家是大学老师，这些超越函数呢？和x e xln 他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
常用导数放缩法
一：消参放缩(适合含参)1.已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.解：(1)f′(x)＝1e xx m -+.由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.于是f(x)＝e x－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝1e1 xx-+.函数f′(x)＝1e1xx-+在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0.因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.当m＝2时，函数f′(x)＝1e2xx-+在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得0e x＝01 2x+，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝01 2x+＋x0＝212xx(+)+＞0.综上，当m≤2时，f(x)＞0.2.已知函数f(x)=m e x-ln x-1.（Ⅰ）当m =1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（Ⅱ）当m ≥1时，证明：f(x)>1.【答案】（Ⅰ）y =(e -1)x（Ⅱ）当m ≥1时，f (x)= m e x-ln x -1≥e x-ln x -1.（放缩）要证明f (x)>1，只需证明e x-ln x -2>0.3.知函数1()ln(1)(1)nf x a xx=+--，其中*x∈N，a为常数．（Ⅱ）当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2n ≥时，有()1f x x -≤． 当1a =时，1()ln(1)(1)nf x x x =+--．当2x ≥时，对任意的正整数n ，恒有11(1)nx -≤，故只需证明1ln(1)1x x +--≤．令()1(1ln(1))2ln(1)h x x x x x =--+-=---，[)2x ∈+∞，，则12()111x h x x x -'=-=--，当2x ≥时，()0h x '≥，故()h x 在[)2+∞，上单调递增，因此当2x ≥时，()(2)0h x h =≥，即1ln(1)1x x +--≤成立． 故当2x ≥时，有1ln(1)1(1)nx x x +---≤．即()1f x x -≤．二：构造放缩（适合f(x)或其变式的N 项和有关）4.设函数()()2ln 1f x x b x =++.（1）若x =1时，函数()f x 取最小值，求实数b 的值；（2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；（3）若1b =-，证明对任意正整数n ，不等式33311......31211)1(n ＜k f nk ++++∑=都成立解:（1）由x + 1＞0得x ＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),对x ∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f /(1) = 0,,022,12)(/=+∴++=bx b x x f 解得b= - 4. 经检验合题意；（2）∵,12212)(2/+++=++=x b x x x b x x f 又函数f(x)在定义域上是单调函数，∴f /(x) ≥0或f /(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.若f /(x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x 2+2x+b ≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立,即b ≥-2x 2-2x =21)21(22++x 恒成立,由此得b ≥21; 若f /(x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x 2+2x+b ≤0,即b ≤- (2x 2+2x)恒成立，因-(2x 2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b 使f(x) ≤0恒成立.综上所述，实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21. （3）当b= - 1时，函数f(x) = x 2- ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) – x 3= x 2– ln(x+1) – x 3，则h /(x) = - 3x 2 +2x - 1)1(31123+-+-=+x x x x ，∴当[)+∞∈,0x 时，h /(x)＜0所以函数h(x)在[)+∞∈,0x 上是单调递减.又h(0)=0，∴当()+∞∈,0x 时，恒有h(x) ＜h(0)=0,[ 即x 2– ln(x+1) ＜x 3恒成立.故当()+∞∈,0x 时,有f(x) ＜x 3..∵()1,0,,k N k +∈∴∈+∞取,1k x =则有311(),f k k < ∴33311 (312)11)1(n ＜k f nk ++++∑=,故结论成立。
导数放缩的常见形式
导数放缩的常见形式导数放缩是微积分中的一种常见技巧，通过对函数进行适当的变形，可以简化计算或者提供更多有关函数性质的信息。
下面是导数放缩的一些常见形式。
1.常数乘法和加法法则：对于函数f(x)和常数a、b，有以下关系：(a·f(x))'=a·f'(x)(f(x)+b)'=f'(x)这意味着导数函数遵循常数乘法和加法法则。
可以根据这个法则查找任何函数的导数。
2.乘法法则：对于两个函数f(x)和g(x)，有以下关系：(f(x)·g(x))'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)乘法法则使我们能够通过计算原函数和导函数之间的乘积来计算复合函数的导数。
3.倒数法则：对于函数f(x)，有以下关系：(1/f(x))'=-f'(x)/[f(x)]^2倒数法则允许我们通过计算原函数的导数来计算倒数函数的导数。
4.加法法则：对于函数f(x)和g(x)，有以下关系：(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)加法法则使我们能够通过计算原函数的导数来计算两个函数之和的导数。
5.减法法则：对于函数f(x)和g(x)，有以下关系：(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)减法法则允许我们通过计算原函数的导数来计算两个函数之差的导数。
6.链式法则：链式法则是导数放缩中最重要的法则之一，它适用于复合函数。
对于函数y=f(g(x))，有以下关系：dy/dx = f'(g(x))·g'(x)链式法则允许我们通过计算原函数和内部函数的导数来计算复合函数的导数。
7.平方函数的导数：对于函数f(x)=x^2，有以下关系：f'(x)=2x平方函数的导数是一个常见形式，计算平方函数的导数非常简单。
8.指数函数的导数：对于函数f(x)=a^x，有以下关系：f'(x) = ln(a)·a^x指数函数的导数是一个常见形式，计算指数函数的导数需要用到自然对数。
(完整版)导数大题精析1——放缩思想在高考函数中的应用
放缩思想在高考数学中的应用高中阶段,在数列那一章节的学习中，我们曾接触过放缩思想。
其实在高考函数中，尤其是导数大题中，放缩思想起着举足轻重的作用。
例如,让我们证明x^2-2x+1≥0，这个题目对大家来说根本算不上问题。
但是如果让我们证明x^2—3x+e^x ≥0。
这个式子我们看起来非常陌生，我们对e^x 并不熟悉，我们不喜欢e^x 或者lnx,因此,我们可以把他们转化为x 的形式。
这道题目，我们可以先证明e^x ≥x+1，这里构造辅助函数f(x ）=e^x-x-1即可证明,证明后,我们可以得到x^2—3x+e^x ≥x^2—2x+1≥0当x=1时两等号成立。
在此,我给出以下4个常考的辅助函数供大家参考。
① e^x ≥x+1当x=0时等号成立② lnx ≤x —1当x=1时等号成立③ sinx ≤x 当x=0时等号成立④ cosx ≤x+1当x=0时等号成立接下来我们不妨来试一道高考题，2012年山东高考压轴题。
22（本小题满分13分）已知函数f(x) = x ek x +ln （k 为常数，e=2。
71828……是自然对数的底数)，曲线y= f(x ）在点(1,f （1）)处的切线与x 轴平行。
（Ⅰ)求k 的值；（Ⅱ）求f(x)的单调区间；（Ⅲ）设g （x ）=（x 2+x ） '()f x ，其中'()f x 为f （x ）的导函数，证明：对任意x ＞0,21)(-+<e x g .上面本题的标准答案，前两问在此不做解释。
在第三问中,我们可以看出关键步骤就是把g（x）分成1+x/e^x和1-x-xlnx两部分,但是我们如何想到这一步呢？为什么他要把函数分成这两部分呢?看完上面的文章,我想各位读者已经有了初步的思考，下面，让我们再重新看一遍第三问。
g(x)= （1-x-xlnx)（x+1)/e^x看到这个函数，我们的第一反应应该是:这个函数不好做,e^x和lnx太烦了，我们把它放缩一下.把lnx换成x-1，把e^x换成x+1。
2022年高考数学放缩法在解答数列题中的应用技巧(十一种放缩方法全归纳)
n
21 3 2
n(n 1)
(5)
2n
1 (2n
1)
1 2n 1
1 2n
(6) 1 n 2 n n 2
(7) 2( n 1 n) 1 2( n n 1) n
(8)
2 2n
1
1 2n
3
1 2n
1
(2n 1) 2n1
1 (2n 3) 2n
(9)
k(n
1 1
k)
n
1 1
k
1 k
34．已知数列 an 的首项
a1
3 5
，
an1
3an 2an 1
，
n
1、
2
、
．
（1）证明：对任意的
x
0
，
an
1 1 x
1
1 x2
2 3n
x
，n
1、2
、
；
（2）证明： a1 a2
an
n2 . n 1
12、经典题目方法探究
35．已知函数 f (x) ln(1 x) x .若 f (x) 在区间[0, n](n N*) 上的最小值为 bn ，令 an ln(1 n) bn .求
(Ⅰ)①求证:函数 g(x) f (x) 在 (0, ) 上是增函数;
x
①当 x1 0，x2 0 时,证明: f x1 f x2 f x1 x2 ;
(Ⅱ)已知不等式 ln(x 1) x 在 x 1且 x 0 时恒成立,求证:
1
22
ln
22
1 32
ln
32
1 42
ln
an 1, ai 0 (i 1, 2
n) ，求证： a12 a22 a1 a2 a2 a3
高中导数放缩常用公式及证明
高中导数放缩常用公式及证明在高中数学学习中，导数是一个重要的概念。
导数的定义和性质都是高中数学的基础知识。
导数的放缩是导数的一个重要应用，它可以让我们更加方便地进行计算和推导。
本文将介绍一些高中导数放缩常用公式及其证明。
一、导数放缩公式1.和差法则设函数f(x)和g(x)在点x0处可导，则有：f(x) ± g(x)在x0处可导，且(f(x) ± g(x))'|x0 = f'(x0) ± g'(x0)证明：对于f(x) + g(x)，设h(x) = f(x) + g(x)，则有：h'(x0) = lim(x → x0) [h(x) - h(x0)] / (x - x0)= lim(x → x0) [f(x) + g(x) - f(x0) - g(x0)] / (x - x0) = lim(x → x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0) + lim(x → x0) [g(x) - g(x0)] / (x - x0)= f'(x0) + g'(x0)同理可证f(x) - g(x)在x0处可导，且(f(x) - g(x))'|x0 = f'(x0) - g'(x0)。
2.积法则设函数f(x)和g(x)在点x0处可导，则有：f(x)g(x)在x0处可导，且(f(x)g(x))'|x0 = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0)证明：对于f(x)g(x)，设h(x) = f(x)g(x)，则有：h'(x0) = lim(x → x0) [h(x) - h(x0)] / (x - x0)= lim(x → x0) [f(x)g(x) - f(x0)g(x0)] / (x - x0)= lim(x → x0) [(f(x) - f(x0))g(x0) + f(x0)(g(x) - g(x0))] / (x - x0)= lim(x → x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0) · g(x0) +f(x0) · lim(x → x0) [g(x) - g(x0)] / (x - x0)= f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0)3.商法则设函数f(x)和g(x)在点x0处可导，且g(x0) ≠ 0，则有：f(x) / g(x)在x0处可导，且(f(x) / g(x))'|x0 = [f'(x0)g(x0) - f(x0)g'(x0)] / (g(x0))^2 证明：对于f(x) / g(x)，设h(x) = f(x) / g(x)，则有：h'(x0) = lim(x → x0) [h(x) - h(x0)] / (x - x0)= lim(x → x0) [f(x) / g(x) - f(x0) / g(x0)] / (x - x0) = lim(x → x0) [(f(x)g(x0) - f(x0)g(x)) / (g(x)g(x0))] / (x - x0)= lim(x → x0) [(f(x) - f(x0)) / (x - x0) · g(x0) - f(x0) / (x - x0) · (g(x) - g(x0))] / (g(x0))^2= [f'(x0)g(x0) - f(x0)g'(x0)] / (g(x0))^2二、导数放缩应用1.最值问题对于一元函数f(x)，如果在区间[a, b]上可导，且在[a, b]的端点处导数存在，则在[a, b]上f(x)取得最大值或最小值时，导数为0。
高考数学导数放缩大全
高考导数大题中常用的放缩大法切线放缩及推广⑴ 111ln 1xe x x x x x≥+>>−≥≥− 拆开任意组合，在其定义域内恒成立 *1x e x ≥+在0x =时取等；ln x 1x ≤−，1ln 1x x ≥−在1x =时取等。
⑵ x e ex ≥ 切点为(1,)eln x x e≥ 切点为(,1)e 略证： 1.构造()1x f x e x =−−，证得1x e x ≥+，对其①ln x 代x ，证得1ln x x −≥②ln x −代x ，证得1ln 1x x≥−③1x −代x ，证得x e ex ≥. 2.对于x e ex ≥①ln x 代x ，证得ln x x e ≥②ln x −代x ，证得 3.对于，两边同时取对数，继而1x −代x ，化简为ln x 1x ≤− 4.对于，两边同时取对数，继而x −代x ，化简为ln x x <5.其他常用变形：，，，x nx x nn x x e x e e n n>=>>=>> 11ln ln ln n n x x x x x <=><=><三角不等式sin tan ,[0,)2x x x x π<<∈不等式链（调几对根算方）数列不等式第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤−，ln x x <，（放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x <−> ，()11ln 012x x x x >−<< ，)ln 1x x <−>，)ln 01x x ><< （ln x < （放缩成二次函数）2ln x x x ≤−，()()21ln 1102x x x x +≤−−<<，()()21ln 102x x x x +≥−> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥−，()()21ln 11x x x x −>>+，()()21ln 011x x x x −<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x+<<+，1ln x ex ≥−第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥，122x e x ≥+（放缩成类反比例函数）()101x e x x≤≤−，()10x e x x <−< （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++，2x e x > 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x −≥+−−=第四组：三角函数放缩sin tan ,[0,)2x x x x π<<∈，21sin 2x x x ≥−，22111cos 1sin 22x x x −≤≤−泰勒公式。
常用导数放缩法
常用导数放缩法一：消参放缩（适合含参）已知函数$f(x)=e^{-\ln(x+m)}$。
1) 设$x_0$是$f(x)$的极值点，求$m$，并讨论$f(x)$的单调性；2) 当$m\leq2$时，证明$f(x)>0$。
解：(1) $f'(x)=e^{-x/(x+m)}$。
由$x_0$是$f(x)$的极值点得$f'(x_0)=0$，所以$m=1$。
于是$f(x)=e^{-\ln(x+1)}$，定义域为$(-1,+\infty)$，$f'(x)=e^{-x/(x+1)}/(x+1)$。
函数$f'(x)=e^{-x/(x+1)}/(x+1)$在$(-1,+\infty)$单调递增，且$f'(0)=0$。
因此当$x\in(-1,0)$时，$f'(x)0$。
所以$f(x)$在$(-1,0)$单调递减，在$(0,+\infty)$单调递增。
2) 当$m\leq2$，$x\in(-m,+\infty)$时，$\ln(x+m)\leq\ln(x+2)$，故只需证明当$m=2$时，$f(x)>0$。
当$m=2$时，函数$f'(x)=e^{-x/(x+2)}/(x+2)$。
又$f'(-1)0$，故$f'(x)=0$在$(-2,+\infty)$有唯一实根$x$，且$x\in(-1,0)$。
当$x\in(-2,x)$时，$f'(x)0$，从而当$x=x$时，$f(x)$取得最小值。
由$f'(x)=e^{-x/(x+2)}/(x+2)$得$e^x/(x+2)$在$(-2,+\infty)$单调递增。
故$f(x)\geq f(x)=(x+1)^2/(x+2)$。
综上，当$m\leq2$时，$f(x)>0$。
2.已知函数$f(x)=me^x-\ln x-1$。
Ⅰ）当$m=1$时，求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；Ⅱ）当$m\geq1$时，证明：$f(x)>1$。
高考数学 压轴题 放缩法技巧全总结(最强大)
高考数学压轴题放缩法技巧全总结（最强大）高考数学-压轴题-放缩法技巧全总结（最强大）变焦技术（高考数学备考资料）证明级数不等式由于其思维跨度大、建构性强，充满了思考和挑战。
它可以全面全面地测试学生的潜能和后续学习能力。
因此，它已成为高考最后一道题和各级各类竞赛题命题的优秀材料。
这类问题的解决策略往往是：多角度观察给定序列的通项结构，深入分析其特点，把握其规律，适当放大缩小；主要有以下膨胀和收缩技术：一、裂项放缩例1（1）请问？K1n24k2？124n2？11? n2n值；（2）验证：？1.五2k?1k3解析:(1)因为211，那么n212n 1.2（2n？1）（2n？1）2n？12n？12n？12n？1k？14k？14（2）因为n1111?251?,所以?1?1?2??11????2?2?2???k352n?12n?133??k?114n?1?2n?12n?1?n2?41奇巧积累:(1)1441?? 1.2.2.2.2N4N？1.2n？12n？1.R1r？中国？(2)121112cn?1cn(n?1)n(n?1)n(n?1)n(n?1)（3） t1n！11111 （r？2）rrr！（n？r）！nr！r（r？1）r？1rn（4）（1？1）n？1.1.1.1.氮气？13? 215?n(n?1)21?n?2?nn?2?2n?12n?3?211?n?1(2n?1)?2(2n?3)?2n(5)111? Nnnn2（2？1）2？12(6)21?1(7)2(n?1?n)?1?2(n?n?1)(8)n?n（9）111?111?11,????k(n?1?k)?n?1?kk?n?1n(n?1?k)k?1?nn?1?k?n11??(n?1)!n!(n?1)!(10)(11)1n？2（2n？1？2n？1）？222n？1.2n？1.N211? N22(11)(12)(13)(14)2n？111 （n？2）n2nnnnnnnnnn？1n？1n（2？1）（2？1）（2？1）（2？1）（2？2）（2？1）（2？1）2？12? 11n3？1n？n21111 n（n？1）（n？1）？n（n？1）？？n（n？1）？N1.N一1?n?1?n?1?1n?1?2n?n?111N1n？一2n12n?n?32?132n?1?2?2n?(3?1)?2n?3?3(2n?1)?2n?2n?1?k?211??k!?(k?1)!?(k?2)!(k?1) !(k?2)!1.NN1（n？2）n（n？1）（15）22(15)i?1?j?1?i2?j2(i?j)(i2?1?j2?1)i?j?i?ji2?1?j2?1?1例2（1）验证：1？11171? 2.（n？2）2262（2n？1）35（2n？1）（2）验证：1？1.1.1.1.12416364n24n（3）验证：1？1.3.1.3.5.1.3.5.（2n？1）？2n？1.一22?42?4?62?4?62nn(4)求证：2(n?1?1)?1?1?11?2(2n?1?1)23分析：（1）因为111?11?,所以2(2n?1)(2n?1)2?2n?12n?1?(2n?1)?(2i?1)i?1n12111111?1?(?)?1?(?)232n?1232n 1(2)11111(111)1(111)222416364n42n4n（3）首先证明1？3.5.（2n？1）？2.4.6.2n12n？1.重新连接1n?2?n?2?n进行裂项,最后就可以得到答案（4）首先，再次证明1n1n?2(n?1?n)?2n?1?n22,所以容易经过裂项得到2(n?1?1)?1?1?1123n从平均不平等性来看，很明显这是真的，2(2n12n1)2n12n1n211n22所以1?1?11?2(2n?1?1)23n例3.求证:6n1115？1.2.(n?1)(2n?1)49n31?n21??1?2?214n?12n?12n?1?2?n?414解析:一方面:因为,所以kk？1n1211？25? 11? 1.2.1.2n？12n？1.33? 35另一方面：1？1.1.1.1.1.1.249n2？33? 411n1n(n1)n1n1当n?3时,什么时候？2点，总结一下6n111n6n,当n?1时,?12?(n?1)(2n?1)49nn?1(n?1)(2n?1)6n111?12,（n？1）（2n？1）49n，6n1115?12?（n？1）（2n？1）49n3案例4（2022年国家第一卷）集合函数f（x）？十、xlnx。
2019届高考导数解答题中常见的放缩大法
而
由
对
数
平
均
不
等
式
得
：
x2 x1
(2 x1 ) (2 x2 ) (2 x1 ) (2 x2 ) 2 x1 x2 1
ln(2 x1) ln(2 x2) ln(2 x1) ln(2 x2)
2
2
，矛盾。
由 (x1 1)2 (x2 1)2 0, 4 (x1 x2 ) 0 ，故 x1 x2 2
（2）法一： f (x) (x 2)ex a(x 1)2 0 即 (2 x)ex a(x 1)2 0;
由
f
( x1 )
f
(
x2
)
0
得
(2 (2
x1)e x1 x2 )ex2
a(x1 1)2 a(x2 1)2
，两式相减得
(2 x1)ex1 (2 x2 )ex2 a(x1 x2 )(x1 x2 2),
放缩法：由 ex x 1可得：
e2x ln x 1 xex (ln x 1) e2xln x (ln x 1) 2x ln x 1 (ln x 1) 2
x
x
x
x
高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。 第一组：对数放缩
（放缩成一次函数） ln x x 1， ln x x ， ln 1 x x
近似函数在这一点的邻域中的值，如果这个点是 0，就是形式比较简单的麦克劳林级数。简而言之，它的功能就 是把超越式近似表示为幂函数。常见的幂级数展示式有：
（放缩成双撇函数）
ln
x
1 2
放缩法技巧全总结（非常精辟,是尖子生解决高考数学最后（可编辑）
2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:一、裂项放缩例1.1求的值;2求证:.解析:1因为,所以2因为,所以奇巧积累:1 2 34 5 6 7 8 9 10 11111213 14 15 15 例2.1求证: 2求证: 3求证: 4 求证:解析:1因为,所以2 3先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案4首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的,所以例3.求证: 解析:一方面:因为,所以另一方面: 当时,,当时,,当时,,所以综上有例4.2008年全国一卷设函数.数列满足..设,整数.证明:解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则,否则若,则由知,,因为,于是例5.已知,求证: 解析:首先可以证明: 所以要证只要证:故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知,,求证:.解析:所以从而例7.已知,,求证:证明: ,因为,所以所以二、函数放缩例8.求证: 解析:先构造函数有,从而因为所以例9.求证:1 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式: ,例10.求证:解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,,…,,,相加后可以得到:另一方面,从而有取有,,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:加强命题例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,令有,所以,所以例14. 已知证明.解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案放缩思路:。
2023高考专题篇：5种放缩方法汇总
学习札记钻研数学钻研数学5种放缩方法汇总放缩法就是针对不等式的结构特征,运用不等式的性质,将不等式的一边或两边进行放大或缩小,也就是对代数式进行恰到好处的变形,使问题便于解决.放缩方法众多，各有优劣，黑猫花猫能抓住耗子就是好猫……放缩法大致分为以下几类:.将代数式中的分母和分子同时扩大和缩小Ⅰ;Ⅱ.利用均值不等式或其它的不等式放缩数式;Ⅲ.也可以在不等式两边同时加上或减去某一项;Ⅳ.可以把代数式中的一些项进行分解再重新组合,这样就可以消去一些项便于求解,这也是我们常用的裂项法.导数的解答题中,经常会用到一些不等式进行放缩,主要分为五类:.Ⅰ切线不等式①e x ≥x +1;②ln x ≤x -1;③e x ≥ex ;④ln x ≤e 1x ;⑤ln x ≥1-x1.xyy =x +1y =x -11=y e xy =lnxy =exy =exⅡ.与三角有关的一些不等式①当x ≥0时,sin x ≤x ,cos x ≥1-x 22;2时,cos x ≤1-x 24②当0≤x ≤π③当0<x <;π2时,sin x <x <tan x ;学习札记④当0<x ≤钻研数学钻研数学π2时,sin x x ≥π2.Ⅲ.一些常见不等式(稍微提高)①当x >1时,x 2-x +2121<(x -1)x +1<ln x <x -1x<21 x -x 1;②当0<x <1时,21 x -x 1 <x -12x<ln x <(x -1)x +1<x 2-x +211;1x ③对数平均不等式:∀x 1>x 2>0,x 1x 2<ln 2x x -1-ln x 2x 1<+x 22.Ⅳ.一些不常见的不等式①当x >0时,e x >1+x +21x 2;+②当0<x <1时,ln1x 1-x >2x +32x 3;+ 当-1<x <0时,ln 1x 1-x <2x +32x 3.Ⅴ.偶尔用上的不等式1≤1+n1x .当n >1,n ∈N ∗,x >-1时,则:(1+x )n≥1+nx ,(1+x )n(当且仅当x =0时等号成立.)在解答导数问题时,我们经常使用到函数的切线、割线逼近进行放缩,两个常用的结论为ln x ≤x -1(当且仅当x =1时取等号),e x ≥x +1(当且仅当x =0时取等号),借助这两个结论可以将超越函数放缩成一次函数.针对高考压轴导数问题,放缩法可以起到很好的效果.使用放缩法需要较高的拆分组合技巧,一定要注意同向传递,还要把握好放缩的“尺度”,否则将达不到预期的目的,或者会得出错误的结论.在不等式“改造”或证明的过程中，有时借助于e x ，ln x 有关的常用不等式进行适当的放缩，再进行证明，会取得意想不到的效果．典例1.已知函数f (x )=ae x +2x -1(其中常数e =2.71828⋯,是自然对数的底数).ⅰ讨论f (x )的单调性;ⅱ证明:对任意的a ≥1,当x >0时,f (x )≥(x +ae )x .典例剖析指数放缩学习札记钻研数学钻研数学解析：ⅰ求导,得f(x )=ae x+2.当a ≥0时,f (x )>0,f (x )在R 上单调递增;当a <0时,令f (x )=0,得x =ln -a2.2当x ∈ -∞,ln -a 时,f (x )>0,f (x )单调递增;当x ∈ ln - a2,+∞时,f (x )<0,f (x ) 单调递减.综上,当a ≥0时,f (x )在R 上单调递增;2当a <0时,f (x )在 -∞,ln -a上单调递增 ,2,+∞ 上单调递减.在 ln -aⅱ解法1:指对处理技巧exx 型当a ≥1,x >0时,要证f (x )≥(x +ae )x ,x 2-(2即ae x -x 2+(2-ae )x -1≥0，即1--)x +ae 1ae x≥0,x 2-(2令g (x )=1--)x +ae 1x,ae x (x -1则g (x )=)(+ae -3)ae x,①当a ≥e3时,令g (x )=0,得x =1,故当x ∈(0,1)时,g (x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(1,+∞),g (x )>0,g (x )单调递增.所以g (x )≥g (1)=0,即f (x )≥(x +ae )x .②当1≤a <e3吋,令g (x )=0,得x =1,或x =3-ae .当x ∈(0,3-ae ),(1,+∞),g (x )>0,g (x )单调递增;当x ∈(3-ae ,1),g (x )<0,g (x )单调递减.又g (0)=1-a1≥0,g (1)=0,故此时g (x )≥0,即f (x )≥(x +ae )x .综上,对任意的a ≥1,当x >0时,f (x )≥(x +ae )x .解法2:指对处理技巧e xx+主元放缩 当a ≥1,x >0时,要证f (x )≥(x +ae )x ,即a e x -ex -(x -1)2≥0,即证e x x -x a -ax 1+a2-e ≥0，令g (x )=e x x -x a -ax 1+a2-e ,(x -1)-x -ae 则g (x )=x1ax 2,学习札记当a ≥1时,ae x -x -1≥e x -x -1,当且仅当a =1时等号成立,令ℎ(x )=e x-x -1,则ℎ(x )=e x-1>0在(0,+∞)上恒成立,故ℎ(x )单调递增,ℎ(x )>ℎ(0)=0,g (x )=0,则x =1,所以x ∈(0,1)时,g (x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(1,+∞)时,g (x )>0,g (x )钻研数学钻研数学单调递增.所以g (x )≥g (1)=0,即e x x -x a -ax 1+a2-e ≥0,即f (x )≥(x +ae )x .综上,对任意的a ≥1,当x >0时,f (x )≥(x +ae )x .解法3:直接讨论法当a ≥1,x >0时,要证f (x )≥(x +ae )x ,即a e x -ex -(x -1)2≥0,令g (x )=ae x -x 2+(2-ae )x -1,则g (x )=ae x -2x -(ae -2),因此g (x )=ae x -2在(0,+∞)上单调递增.①当a ≥2时,g (x )>0在(0,+∞)上恒成立,故g (x )单调递增,又g (1)=0,故当x ∈(0,1)时,g (x )<0,g (x )单调递减,当x ∈(1,+∞)时,g (x )>0,g (x )单调递增.所以g (x )≥g (1)=0,即f (x )≥(x +ae )x .当1≤a <2时,令g (x )=0,得x =ln a2∈(0,1).当x ∈ 0,ln a 2,g (x )<0,g (x )单调递减;当x ∈ ln a 2,+∞,g (x )>0,g (x )单调递增.2②当e -1≤a <2时,g (0)=a (1-e )+2≤0,又g (1)=0,g ln a2<g (1)=0,故当x ∈(0,1)时,g (x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(1,+∞)时,g (x )>0,g (x )单调递增.所以g (x )≥g (1)=0,即f (x )≥(x +ae )x .2③当1≤a <e -1时,则g (0)=a (1-e )+2>0,又g ln a 2<g (1)=0,故存在唯一x 0∈ 0,ln a2,使得ℎ x 0=0,当x ∈ 0,x 0,(1,+∞)时,g (x )>0,g (x )单调递增;当x ∈ x 0,1时,g (x )<0,g (x )单调递减.又g (0)=a -1≥0,g (1)=0.故此时g (x )≥0,即f (x )≥(x +ae )x .综上,对任意的a ≥1,当x >0时,f (x )≥(x +ae )x .学习札记钻研数学钻研数学解法4:主元放缩+指数放缩法当a ≥1,x >0时,要证f (x )≥(x +ae )x ,即a e x-ex -(x -1)2≥0,令g (x )=e x -ex ,则g (x )=e x -e ,令g (x )=0,得x =1.当x ∈(-∞,1),g (x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(1,+∞),g (x )>0,g (x )单调递增.所以g (x )≥g (1)=0,即e x -ex ≥0,当且仅当x =1时等号成立,故a e x -ex ≥e x -ex ,当且仅当a =1,x =1时等号成立;要证a e x -ex -(x -1)2≥0,只需要证e x -ex -(x -1)2≥0.策略一:直接讨论法令ℎ(x )=e x -ex -(x -1)2(x >0),则ℎ (x )=e x -e -2(x -1),ℎ (x )=e x -2,令ℎ (x )=0,得x =ln2.当x ∈(0,ln2)时,ℎ (x )<0,ℎ (x )单调递减;当x ∈(ln2,+∞)时,ℎ (x )>0,ℎ (x )单调递增.又ℎ (0)=3-e >0,ℎ (1)=0,ℎ (ln2)<0,因此存在唯一x 0∈(0,ln2),使得ℎ x 0=0.当x ∈ 0,x 0时,ℎ (x )>0,ℎ(x )单调递增;当x ∈ x 0,1,ℎ (x )<0,ℎ(x )单调递减.又ℎ(0)=0,ℎ(1)=0,故此时ℎ(x )≥0恒成立,即f (x )≥(x +ae )x .综上,对任意的a ≥1,当x >0时,f (x )≥(x +ae )x .策略二:指数处理,同解法 1ex 即证1-+(-1)x 2e x ex ≥0,令g (x )=1-+(-1)x 2e x ,(x -1则g (x )=)(+e -3x )e x，令g (x )=0,得x =1,或x =3-e .当x ∈(0,3-e ),(1,+∞)时,g (x )>0,g (x )单调递增;当x ∈(3-e ,1)时,g (x )<0,g (x )单调递减.又g (0)=0,g (1)=0,故此时g (x )≥0,即f (x )≥(x +ae )x .综上,对任意的a ≥1,当x >0时,f (x )≥(x +ae )x .策略三:指对处理,同解法2即证e x x -x -x1+2-e ≥0，令g (x )=e x x -x -x (x -1)-x -e 1+2-e ,则g(x )=x 1 x 2.令ℎ(x )=e x -x -1,则ℎ (x )=e x -1>0在(0,+∞)上恒成立,故ℎ(x )单调递增,从而ℎ(x )>ℎ(0)=0,令g (x )=0,则x =1.当x ∈(0,1)时,g (x )<0,g (x )单调递减;学习札记当x ∈(1,+∞)时,g (x )>0,g (x )钻研数学钻研数学单调递增.所以g (x )≥g (1)=0,即e x x -x -x1+2-e ≥0,从而f (x )≥(x +ae )x .综上,对任意的a ≥1,当x >0时,f (x )≥(x +ae )x .点评：本题的第ⅱ问是一道开放性较强的试题,可以从多角度入手分析.当a ≥1,x >0时,要证f (x )≥(x +ae )x ,即ae x -x 2+(2-ae )x -1≥0,观察此时含有指数项ae x ,也含有二次项,直接讨论至少要求两次导数才便于探究(解法2),结合指对处理技巧,可考虑同时除以ae x ,这样求导后就只需要讨论二次型函数即可.x 2-(2即证g (x )=1--)x +ae 1ae x≥0,求导后是可因式分解的二次函数，且两根易求,分别为x =1与x =3-ae .但对于x =3-ae 是否在区间(0,+∞)内不能确定,因此需要进行讨论.解法1采用的是整理为ex x 型函数,解法2则是整理为e xx 型的函数,解法2采用的是直接讨论.对于解法4,观察到所证不等式中含有e x 与ex ,即可联想到e x ≥ex ,为此将待证式整理成a e x -ex -(x -1)2≥0, 借助e x ≥ex ,只需要证明e x -ex -(x -1)2≥0即可.接下来的证明与前述含参讨论的情形大同小异,可直接讨论,也可采用指对处理.1.已知函数f (x )=e x -x (e 为自然对数的底数)．ⅰ求函数f (x )的最小值；ⅱ若n ∈N *，证明： n 1n + n 2n +⋯+ n n -1n + n n en <e -1．解析：ⅰ∵f (x )=e x -x ，∴f (x )=e x -1，令f (x )=0，得x =0．∴当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )<0．∴函数f (x )=e x -x 在区间(-∞,0)上单调递减，在区间(0,+∞)上单调递增．∴当x =0时，f (x )有最小值1．ⅱ由(1)知，对任意实数x 均有e x -x ≥1，即1+x ≤e x ．令x =-nk(n ∈N *，k =1，2，n -1)，则0<1-n k ≤e -k n ，∴ 1-nk n≤ e -n k n =e -k (k =1,2,n -1)．典例精练学习札记钻研数学钻研数学即n n -k n ≤e -k(k =1,2,n -1)．∵ n n n =1 ，∴ n 1n + n 2n +⋯+ n n -1n +n n n ≤e -(n -1)+e -(n -2)+⋯⋅+e -2+e -1+1．∵e -(n -1)+e -(n -2)+⋯+e -2+e -1+1=1-e -n 1-e -1<1-1e-1=e e -1，∴ n 1n + n 2n +⋯+ n n -1n + n n e n <e -1．典例1.已知函数f (x )=x ln -x1.ⅰ求函数f (x )的单调区间;ⅱ证明:在x >21且x ≠1时,f (x )<x 2+43恒成立.解析：f (x ⅰ)=1ln x -1+x(ln x )2(x >0,且x ≠1),令g (x )=ln x -1+x 1,则g (x )=x 1-x 12=x x -21,当x ∈(0,1)时,g (x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(1,+∞)时,g (x )>0,g (x )单调递增;故g (x )>g (1)=0,即f (x )>0恒成立,故f (x )在(0,1),(1,+∞)上单调递增.综上,f (x )的单调递增区间为(0,1),(1,+∞),无单调递减区间.ⅱ解法1:放缩法今ℎ(x )=x -1-ln x (x >0),则ℎ (x )=x -x1,当x ∈(0,1),ℎ (x )<0,ℎ(x )单调递减;当x ∈(1,+∞),ℎ (x )>0,ℎ(x )单调递增.故ℎ(x )≥ℎ(1)=0,即x -1≥ln x ,当且仅当x =1时等号成立.因此,当x ∈2 1,1,x -1>ln x ,则x ln -x 1<1,而此时x 2+43>1,所以x ln -x 1<x 2+43;另一方面,x ∈(1,+∞),由(1)可知ln x >1-x 1,对数放缩典例剖析学习札记因此x ln -x 1钻研数学钻研数学<x -1-x 11=x ,而x 2+4故x 2+43-x >0在(1,+∞)恒成立,3>x >x ln -x1成立.3在x >2综上,不等式x ln -x 1<x 2+4解法2:1,且x ≠1时恒成立.等价变形当x ∈ 21,1时, 即证x -2x +431>ln x ;当x ∈(1,+∞),即证x -31<ln x x 2+4;令F (x )=x -3x 2+41-ln x x >21,且x ≠1 ,x 2+则F (x )=43-2x (x -1) x 2+43 2-x 11=-x 4+x 3-22x -43x 9+1632x +4x 2,令G (x )=x 4+x 3-21x 2-43x +169,3则G (x )=4x 3+3x 2-x -4=4x 2 x +4 33- x +4= x +434x 2-1>0,故G (x )单调递增,G (x )>G 2 1=41>0,故F (x )<0,所以F (x )单调递减,而F (1)=0,故当x ∈ 2 1,1时,F (x )>0,即x -2x +431>ln x ;当x ∈(1,+∞)时,F (x )<0,即x -31<ln x x 2+4.综上,不等式x ln -x 1<x 2+43在x >21且x ≠1时成立.典例精练1.已知函数f (x )=a ln x +x 2，其中a ∈R ．ⅰ讨论f (x )的单调性；ⅱ当a =1时，证明：f (x )≤x 2+x -1；ⅲ求证：对任意的n ∈N *且n ≥2，学习札记钻研数学钻研数学都有：2 1+2 2 1+3 1+4 2⋯ 1+n 2<e．(其中e ≈2.7183为自然对数的底数)．解析：ⅰ函数f (x )的定义域为(0,+∞)，f(x )=x a +2x =a +x2x 2，①当a ≥0时，f (x )>0，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，-②当a <0时，令f (x )=0，解得x =a 2．-当0<x <a 2时，a +2x 2<0，所以f (x )<0，0,-所以f (x )在a 2上单调递减；-当x >a 2时，a +2x 2>0，所以f (x )>0，-所以f (x )在a 2 ,+∞ 上单调递增．综上，当a ≥0时，函数f (x )在(0,+∞)上单调递增；0,-当a <0时，函数f (x )在a 2 上单调递减，-在a 2,+∞ 上单调递增．ⅱ当a =1时，f (x )=ln x +x 2，要证明f (x )≤x 2+x -1，即证ln x ≤x -1，即ln x -x +1≤0．即ln x -x +1≤0．设g (x )=ln x -x +1则g (x )=1-xx，令g ′(x )=0得，x =1．当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，当x ∈(1,+∞)时，g ′(x )<0．所以x =1为极大值点，也为最大值点所以g (x )≤g (1)=0，即ln x -x +1≤0．故f (x )≤x 2+x -1．ⅲ证明：由(2)ln x ≤x -1，(当且仅当x =1时等号成立)2，则ln 1+n 1 2<n 12，令x =1+n 1所以ln 1+21 2+ln 1+31 22+⋅⋅⋅+ln 1+n1<212+312+⋅⋅⋅+n 121<1×12+2×3+⋯+n (n 1-1)=11-21+21-31+⋯+n 1-11-n=1-n 1<1=ln e ，2 2 1+31 1+41 22⋯ 1+n 1 1+2即ln 1<ln e ，学习札记钻研数学钻研数学2所以 1+2 2 1+3 1+4 2⋯ 1+n 2<e．典例1. 已知函数f (x )=e x .ⅰ讨论函数g (x )=f (ax )-x -a 的单调性;ⅱ证明:f (x )+ln x +x 3>4x .解析：ⅰg (x )=f (ax )-x -a =e ax -x -a ,g (x )=ae ax -1,①若a ≤0时,g (x )<0,g (x )在R 上单调递减;②若a >0时,当x <-a 当x >-a1ln a 时,g (x )<0,g (x )单调递减;1ln a 时,g (x )>0,g (x )单调递增;综上若a ≤0时,g (x )在R 上单调递减;若a >0时,g (x )在 -∞,-a1ln a 上单调递减 ;在 -a1ln a ,+∞上单调递增;ⅱ证明:要证f (x )+ln x +x 3>4x,只需证x ln x +e x -4x +3>0,由(1)可知当a =1时,e x -x -1≥0,即e x ≥x +1,当x +1>0时,上式两边取以e 为底的对数,可得ln (x +1)≤x (x >-1),用x -1代替x 可得ln x ≤x -1(x >0),又可得ln x 1≤x所以ln x ≥1-x1-1(x >0),1(x >0),所以x ln x +e x -4x +3>x 1-x1+x +1-4x +3=x 2+2x +2-4x=(x +1)2-4x +1≥(2x )2-4x +1=(2x -1)2≥0,指对混合放缩典例剖析学习札记从而不等式f (x )+ln x +钻研数学钻研数学x 3>4x成立. 典例2. 已知函数f (x )=e x -ax 2,g (x )=x ln x -x 2+(e -1)x +1,且曲线y =f (x )在x =1处的切线方程为y =bx +1.ⅰ求a ,b 的值;ⅱ求函数f (x )在[0,1]上的最小值;ⅲ证明:当x >0时,g (x )≤f (x ).解析：ⅰa =1,b =e -2.ⅱf (x )min =1;ⅲ即证:e x +(1-e )x -x ln x -1≥0,因为f (0)=1,且曲线y =f (x )在x =1处的切线方程为y =(e -2)x +1,故可猜测:当x >0且x ≠1时,f (x )的图象恒在切线y =(e -2)x +1的上方.下面证明:当x >0时,f (x )≥(e -2)x +1.解法1:设φ(x )=f (x )-(e -2)x -1(x >0),则φ (x )=e x -2x -(e -2),令F (x )=φ (x ),F (x )=e x -2,当x ∈(0,ln2)时,F (x )<0,φ (x )单调递减;当x ∈(ln2,+∞)时,F (x )>0,φ (x )单调递增.又φ (0)=3-e >0,φ (1)=0,0<ln2<1,φ (ln2)<0所以,存在x 0∈(0,1),使得φ x 0=0.当x ∈ 0,x 0∪(1,+∞)时,φ (x )>0;当x ∈ x 0,1,φ (x )<0;故φ(x )在 0,x 0上单调递增,在 x 0,1上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.又φ(0)=φ(1)=0,所以φ(x )=e x -x 2-(e -2)x -1≥0,当且仅当x =1 时取等号.e x +(2-e )x -故1x≥x (x >0).由(2)知,e x ≥x +1,故x ≥ln (x +1),所以x -1≥ln x ,当且仅当x =1时取等号.e x +(2-e )x -所以1x≥x ≥ln x +1,e x +(2-e )x -即1x第１１／２０页≥ln x +1.所以e x +(2-e )x -1≥x ln x +x ,即e x +(1-e )x -x ln x -1≥0成立(当x =1时等号成立).学习札记故当x >0时,g (x )≤f (x )钻研数学钻研数学.解法2:要证x ln x -x 2+(e -1)x +1≤e x -x 2,等价于证明x ln x +(e -1)x +1-e x ≤0,又x >0,可转化为证明ln x +e -1+x 1-e xx≤0,令F (x )=ln x +e -1+x 1-e xx ,则F(x )=x 1-x 1e x(2-x -1)x 2(x -1=)1-e x x 2,因为x >0,所以当x ∈(0,1)时,F (x )>0,F (x )单调递增;当x ∈(1,+∞)时,F (x )<0,F (x )单调递减;所以F (x )有最大值F (1)=0,故F (x )≤0恒成立,即当x >0时,g (x )≤f (x ).典例精练1.已知函数f (x )=ln x -a 2x 2+ax ．ⅰ试讨论f (x )的单调性；ⅱ若a =1，求证：当x >0时，f (x )<e 2x -x 2-2．解析：f (x )的定义域为(0，+∞)ⅰ，当a =0时，当a >0f (x )=ln x 在(0，+∞)上单调递增；时，f ′(x )=x1-2a 2x +a=-2a 2x 2+ax +1x=-(ax -1)(2ax +1)x，当0<x <a 1时，f ′(x )>0，当x >a1时，f ′(x )<0，所以f (x )在 0，a 1上单调递增，在 a1，+∞上单调递减；f ′(x )=-(ax -1当a <0时，)(2ax +1)x，当0<x <-21a 时，f ′(x )>0，当x >-21a时，f ′(x )<0， 所以f (x )在 0，-21a 上单调递增，在 -21a，+∞上单调递减．ⅱ当a =1时，f (x )=ln x -x 2+x ，要证当x >0时，f (x )<e 2x -x 2-2，只需证ln x <e 2x -x -2．学习札记令g (x )=e 2x -2x -1，则g ′(x )=2e 2x -2=2(e 2x -1)钻研数学钻研数学，当x >0时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0，+∞)上单调递增，所以g (x )>g (0)=0，所以，当x >0时，e 2x >2x +1，所以e 2x -x -2>x -1．令h (x )=x -1-ln x ，x >0，则h ′(x )=1-x1，当0<x <1时，h ′(x )<0，当x >1时，h ′(x )>0，所以h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以h (x )min =h (1)=0，所以当x >0时，h (x )≥h (1)=0，即当x >0时，x -1≥ln x ，所以，当x >0时，所以，当x >0时，e 2x -x -2>x -1≥ln x ，即ln x <e 2x -x -2，f (x )<e 2x -x 2-2．典例1. 设a >0,且a ≠1,函数f (x )=sin ax -a sin x .ⅰ若f (x )在区间(0,2π)上有唯一极值点x 0, 证明:f x 0<min {2a π,(1-a )π};ⅱ若f (x )在区间(0,2π)没有零点,求a 的取值范围.解析：f (x )=a cos ax -a cos ⅰx=a (cos ax -cos x )=-2a sin a +21x sin a -21x ,若a >1,则f (x )在区间(0,2π)至多有x 1=a 2π+1,x 2=a 4π+1两个变号零点,故0<a <1,令f (x )=0,得x m =a 2m +π1,x n =a 2n +π1,其中m ,n ∈Z ,仅当m =1时,x 1=a 2π+1∈(0,2π),且在x 1的左右两侧,导函数的值由正变负,故当0<a <1时,f (x )在区间(0,2π)有唯一极值点x 0=a 2π+1,此时f x 0=sin ax 0-a sin x 0.解法1:将x 0=a 2π +1代入得f x 0=sin a 2+a π1-a sin a 2π+1三角函数放缩典例剖析学习札记=sina 2+a 钻研数学钻研数学π1+a sin 2π-a 2π+1=(1+a )sin a 2+aπ1,①当a 2+a 1≤21,即0<a ≤31时,2a π≤(1-a )π,由不等式x >0,sin x <x 知:(1+a )sin a 2+a π1<(1+a )a 2+a π1=2a π;②当a 2+a 1>21,即当31<a <1时,(1-a )π<2a π,(1+a )sin a 2+a π1=(1+a )sin π-a 2+a π1=(1+a )sin (1a -+a 1)π,由不等式x >0,sin x <x知:(1+a )sin a 2+a π1<(1+a )(1a -+a 1)π=(1-a )π.由(1)(2)知f x 0<min {2a π,(1-a )π} .解法2:由x 0=a 2π+1⇒ax 0=2π-x 0,a =2π-1x 0,代入得f x 0=sin ax 0-a sin x 0=sin 2π-x 0- x 02π-1sin x 0 ,即f x 0=- 2πsin x 0x 0. 以下用分析法可证:f x 0<min {2a π,(1-a )π}.ⅱ①当a >1时,fa π-a sin a π=-a sin aπ<0,f 3π 2 2=sin 3a π=sin a ⋅a π+a >0,所以f a πf 3π2<0,π,3π由零点存在性定理知,f (x )在区间 a 2至少有一个零点;②当21<a <1时,π<a π<2π,π2<a π<π,π<2a π<2π,f a π=-a sin aπ>0,f (π)=sin a π>0,f (2π)=sin2a π<0,由零点存在定理可知,f (x )在区间(π,2π)至少有一个零点;③当0<a ≤21时,f (x )=a cos ax -a cos x =a (cos ax -cos x ),令g (x )=cos ax -cos x ,则g (x )=-a sin ax +sin x ,在区间(0,π)上,cos ax >cos x ,f (x )>0,f (x )是增函数;在区间(π,2π)上,g (x )<0,即g (x )递减,即f (x )递减,f (x )<f (2π)<0,故f (x )在(0,π)上递增,在(π,2π)上递减,学习札记又f (0)=0,f (π)=sin a π>0,f (2π)=sin2a π≥0,即在(π,2π)上,f (x )>0.所以f (x )在区间(0,2π)上没有零点,满足题意.综上所述,若f (x )在区间(0,2π)没有零点钻研数学钻研数学,则正数a 的取值范围是 0,21.典例1. 已知函数f (x )=e x -ax -cos x ,其中a ∈R .ⅰ求证:当a ≤-1时,f (x )无极值点;ⅱ若函数g (x )=f (x )+ln (x +1),是否存在a ,使得g (x )在x =0处取得极小值?并说明理由.解析：ⅰ证明:f (x )=e x -a +sin x ,显然e x >0,-1≤sin x ≤1,当a ≤-1时,e x -a +sin x >0-a -1≥0,即f (x )>0,所以函数f (x )在其定义域上为增函数,故f (x )无极值点;1ⅱg (x )=e x -ax -cos x +ln (x +1),g (x )=e x -a +sin x +x +1,显然x =0是g (x )的极小值点的必要条件,为g (0)=2-a =0,即a =2.1此时g (x )=e x +x +1+sin x -2,显然当x ∈ 0,π2时,1g (x )=e x +x +11+sin x -2>1+x +x +1+sin x -2>sin x >0,当x ∈ -4 1,0时,(1+x ) 1-x +3 2x 2=1+x 22(3x +1)>1,1故1+x <1-x +32x 2,2令m (x )= 1+x +x 2e -x ,则m (x )=-x 22e -x ≤0,故m (x )是减函数,故当x <0时,m (x )>m (0)=1,即e x<1+x +x 22,令ℎ(x )=sin x -21x ,则ℎ (x )=cos x -21,当-1<x <0时,ℎ (x )>cos1-21>0,故ℎ(x )在(-1,0)单调递增,故当-1<x <0时,ℎ(x )<ℎ(0)=0,即sin x <21x ,含三角函数的指对放缩典例剖析学习札记钻研数学钻研数学故当x ∈ -41,0时,g (x )=e x +x 1+1+sin x -22≤ 1+x +x 2+ 1-x + 32x 2-2+x2=2x 2+x2<0,因此,当a =2时,x =0是g (x )的极小值点,即充分性也成立.综上,存在a =2,使得g (x )在x =0处取得极小值.点评：本题第(2)问先由必要性探路可知a =2,再证明当a =2时,x =0是函数g (x )的极小值点,即证明其充分性,由此即可得出结论.典例2. 已知函数f (x )=2ln (x +1)+sin x +1,函数g (x )=ax -1-ln x (a ∈R ,且a ≠0).ⅰ讨论函数g (x )的单调性;ⅱ证明:当x ≥0时,f (x )≤3x +1;ⅲ证明:当x >-1时,f (x )< x 2+2x +2e sin x .解析：ⅰg (x )定义域为(0,+∞),g (x )=a -x 1=ax x-1.当a <0时,g (x )<0,则g (x )在(0,+∞)上单调递减;当a >0时,令g (x )>0,得x >a1,即g (x )在 a1,+∞上单调递增;令g (x )<0,得0<x <a 1,得g (x )在 0,a1上单调递减.综上所述,当a <0时,g (x )在(0,+∞)上单调递减;1,+∞上单调递增,在 0,a1上单调递减.当a >0时,g (x )在 a ⅱ解法1:作差法+直接求导2设函数ℎ(x )=f (x )-(3x +1),则ℎ (x )=x +1+cos x -3.2因为x ≥0,所以x +1∈(0,2],cos x ∈[-1,1],则ℎ (x )≤0,从而ℎ(x )在[0,+∞)上单调递减,所以ℎ(x )=f (x )-(3x -1)≤ℎ(0)=0,即f (x )≤3x +1.解法2:常用不等式+兵分两路当a =1时,g (x )=x -1-ln x ,由(1)知g (x )min =g (1)=0,学习札记钻研数学钻研数学所以ln x ≤x -1,所以2ln (x +1)≤2x .令φ(x )=x -sin x ,则φ(x )=1-cos x ≥0恒成立,又φ(0)=0,所以当x ≥0时,有φ(x )=x -sin x ≥0,即sin x ≤x .所以f (x )=2ln (x +1)+sin x +1≤2x +x +1=3x +1.ⅲ证明:当a =1时,g (x )=x -1-ln x ,由ⅰ知g (x )min =g (1)=0,所以x ≥ln x +1,当x >-1时,(x +1)2>0,(x +1)2e sin x >0,所以(x +1)2e sin x >ln (x +1)2e sin x +1=2ln (x +1)+sin x +1.从而 x 2+2x +2e sin x >(x +1)2e sin x>ln (x +1)2e sin x +1=2ln (x +1)+sin x +1=f (x ),所以f (x )< x 2+2x +2e sin x .典例精练1.已知函数f (x )=x e +xa(a ∈R )在x =0处取得极值.ⅰ求a ,并求f (x )的单调区间;ⅱ证明:当0<m ≤e ,x ∈(1,+∞)时,xe x -2-m (x -1)ln x >0.解析：f (x )=1-e ⅰx x-a,由题意可得,f (0)=1-a =0,故a =1,f (x )=1e +x x ,f (x )=-exx ,由f (x )>0可得x <0,故函数单调递增区间(-∞,0),由f (x )<0可得x >0,故函数单调递减区间(0,+∞),ⅱ证明:由(1)可知f (x )在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)单调递减,故f (x )≤f (0)=1,即x e+x1≤1,故e x ≥x +1,所以e x -2≥x -1,当且仅当x =2时取等号,又因为x >0,所以xe x -2≥x (x -1),所以xe x -2-m (x -1)ln x≥x (x -1)-m (x -1)ln x =(x -1)(x -m ln x ),因为x >1,所以ln x >0,因为0<m ≤e ,所以x -m ln x ≥x -e ln x ,令g (x )=x -e ln x ,则g (x )=1-xe,学习札记由g (x )>0可得,x >e ,故g (x )在(e ,+∞)上单调递增,由g(x )<0可得,x <e ,故g (x )在(-∞,e )上单调递减,所以g (x )≥g (e )=0,即x -e ln x ≥0在x =e 处取得等号,所以xe x -2-m (x -1)ln 钻研数学钻研数学x≥(x -1)(x -m ln x )≥(x -1)(x -e ln x )≥0,由于取等条件不同,所以xe x -2-m (x -1)ln x >0.2.已知函数f (x )=ln x -x e.ⅰ若曲线y =f (x )存在一条切线与直线y =ax 垂直,求a 的取值范围.ⅱ证明:f (x )<x 2-ln x -43sin x .解析：f (x )=ⅰx 1-e 1.因为f (x )的定义域为(0,+∞),所以x 1-e 1>-e1.因为曲线y =f (x )存在一条切线与直线y =ax 垂直,所以-a 1>-e1,解得a <0或a >e ,则a 的取值范围为(-∞,0)∪(e ,+∞).ⅱf (x )=x 1-e 1=e xe-x.当x ∈(0,e )时,f (x )>0;当x ∈(e ,+∞)时,f (x )<0.所以f (x )max =f (e )=ln e -ee=0.设函数g (x )=x 2-ln x ,则g(x )=2x -x 1=2x x2-1.2当x ∈ 0,22时,g (x )<0;当x ∈ 2,+∞时,g(x )>0.2所以g (x )min =g 2=21-21ln 21=21+21ln2.因为ln2>ln e =21,g (x )min >43.因为43,43sin x ∈ -4 3,所以x 2-ln x -43sin x >0.又f (x )≤f (x )max =0,所以f (x )<x 2-ln x -43sin x .3.已知函数f (x )=x ln x +32x 2-(a +1)x +b .ⅰ当a =3时,求f (x )的单调区间;ⅱe 为自然对数的底数,若a ∈ e 3-1,3e +1时,f (x )≥0恒成立,学习札记证明:b -2a +6>0钻研数学钻研数学.解析：ⅰ当a =3时,f (x )=x ln x +32x 2-4x +b ,则f (x )=ln x +3x -3在(0,+∞)上单调递增,又f (1)=0,故当x ∈(0,1)时,f (x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(1,+∞)时,f (x )>0,f (x )单调递增.综上,当a =3时,f (x )的单调咸区间为(0,1),单调增区间为(1,+∞).ⅱ解法1:对f (x )求导,得f (x )=ln x +3x -a ,知f (x )在(0,+∞)上单调递增.因为a ∈ e 3-1,3e +1 ,故f e 1= e3-1-a <0,f (e )=3e +1-a >0,故存在唯一x 0∈ e1,e ,使得f x 0=0 ,即ln x 0+3x 0-a =0,所以a =ln x 0+3x 0.当x ∈ 0,x 0时,f (x )<0,f (x )单调递减;当x ∈ x 0,+∞时,f (x )>0,f (x ) 单调递增.又f (x )≥0,故f (x )min =f x 0=x 0ln x 0+ 32-(a +1)x 0+b ≥02x 0,即x 0ln x 0+32x 0 2- ln x 0+3x 0+1x 0+b =-32-x 0+b ≥2x 00在x 0∈ e 1,e 上恒成立.令ℎ(x )=-32x 2-x +b ,则ℎ(x )在 e1,e 上单调递减,故只需ℎ(e )=-3故b -2a +6≥32e 2-e +b ≥0,即b ≥32e 2+e -6e -2+6=32e 2+e ,2e 2-5e +4>0,从而得证.解法2:转化为关于x 0的函数所以b ≥32+x 02x 0,则b -2a +6≥32x 0 2+x 0-2 ln x 0+3x 0+6=32-5x 0-2ln x 0+62x 0,令ℎ(x )=32x 2-5x -2ln x +6 e1<x <e ,则ℎ (x )=3x -5-x 2=3x 2-x (3x +5x -2=1)(x -2)x,令ℎ x 0=0,得x =2.学习札记钻研数学钻研数学当x ∈e1,2,ℎ (x )<0,ℎ(x )单调递减 ;当x ∈(2,e )时,ℎ (x )>0,ℎ(x )单调递增.故ℎ(x )min =ℎ(2)=32×4-10-2ln2+6=2(1-ln2)>0,即b -2a +6>0,从而不等式得证.。
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(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法
相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论
⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为
sin 1x x
<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.
⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.
将这些不等式简单变形如下： ex
x ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x
高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩
（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭
， )
ln 1x x
<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102
x x x x +≤--<<，()()21ln 102
x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x
≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+
第二组：指数放缩
（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤
≤-，()10x e x x
<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩
()()ln 112x e x x x -≥+--=
第四组：三角函数放缩
()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22
x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数
ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x
=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
作为学生没有多大必要去去了解大学的知识，但是作为老师却是有很大的必要去理解感悟高考题命题的背景。
超越函数本质上就是高等数学中的泰勒公式。
即从某个点0x 处，我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，如果这个点是0，就是形式比较简单的麦克劳林级数。
简而言之，它的功能就是把超越式近似表示为幂函数。
常见的幂级数展示式有：。