三角形内角和定理的证明课
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猜谜语 形状像座山,稳定性能强 三线首尾连,学问不简单 (打一几何图形 )
大哥 二哥
内角三兄弟之争
三弟
在一个直角三角形里住着三个内角，平时， 它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突 然不高兴，发起脾气来，它指着老大说： “你凭什么度数最大，我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能 的，否则，我们这个家就再也围不起来 了……”“为什么？” 老二很纳闷。
同学三们角，你形们的知内道角其中和的等道于理1吗8？00
动手折一折
1
1
2
2
3
3
在纸片上画任意的三角形△ ABC（把 表示三角形三个顶点的字母标在三角形的 内部）动手操作剪下内角拼一拼，你能得 到什么结论？
A
B
C
A
A
B
C
B
C
三角形三这个只内同是角学实的们验观和，察等而和观于总察1结8与0的实°非验. 常得棒到，的但结
爱学习，要牢记
成绩好，有诀窍，认真听课很重要； 书展开，笔在手，课前准备要做好； 眼看清，耳听好，上课专心不说笑； 勤动手，多动脑，精力集中质量高； 师教导，要记好，同学之间多探讨； 敢提问，会创造，方法科学效率高；
E
A
F
证明：
1 2
3
4
D
B
C
过A点作射线AD，过Ｂ点作BE ∥ AD，过C点 CF∥AD 则BE ∥ CF （平行与同一条直线的两直线平行）
∴ ∠1= ∠2， ∠3= ∠4 （两直线平行，内错角相等）
∠EBC+ ∠FCB=180 ° （两直线平行，同旁内角互补） 即∠1+ ∠ABC+ ∠ACB+∠4= 180 ° 又∵ ∠BAC= ∠2+ ∠3 ∴ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB= 180 ° （等量代换）
Q
Байду номын сангаасA R
（
∴∠ 1= ∠ B （两直线平行，同位角B相等） P
C
∠ 2= ∠ C （两直线平行，同位角相等）
∠ 3= ∠ 4 （两直线平行，内错角相等）
∠ A= ∠ 4 （两直线平行，同位角相等）
∴ ∠ 3= ∠ A
（等量代换）
∵ ∠ 1+ ∠ 2 + ∠ 3=180 °
(平角的定义)
∴ ∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180 ° （等量代换）
证法2
三角形三个内角的和等于180°.
A
E
证法2：延长BC到D，过点C作
CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等)
12
∠B=∠2
B
CD
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
证法３
证明：过点P作PQ ∥ AC交AB于Q点，
作PR ∥ AB交AC于R点。
证法4
A E
求证：三角形三个内角的和等于180° 已知：如图，△ABC。
求证：∠A+∠B +∠C=180° 。 B
C
证明：过A作AE∥BC，
∴∠C=∠CAE (两直线平行,内错角相等)
∠EAC+∠BAC+∠B=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换)
证法5
论不一定正确，可靠，这样就需要通 过数学证明来验证结论是否正确．
从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?
在三这角里形，三为个了证内明角的的需和要等，于在原18来0°.
的图形上添画的线叫做辅助线。在
这是平面一几个何文里字，命辅题助线，通如常何画转成化虚为线。几何命题，
结合图形，你能写出已知和求证吗？
已知：△ＡＢＣ，
中考题
如图，求A1+A2+A3+A4+A5 的度数。
A1
A4 A3
1
A2
2 A5
本节课你有什么收获？
我们证明了三角形内角和定理。
证明的思路是：利用平角的定义或平行线 下的同旁内角互补
证明的基本思想是：
运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三 个内角集中在一起，拼成一个平角，辅助线 是联系命题的条件和结论的桥梁。
EA
F
求证：∠A+∠B+∠C=180° 1 2
证明：过点A作EF∥BC，
CB
∴∠B=∠1
(两直A 线平行,内错角相等) ∠C=∠2
B
C
B(两直线平行,C内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°
同学们还有其 他的方法吗？
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
探究新知 利用所学过的知识，还可以怎样添加辅助线？
大哥 二哥
内角三兄弟之争
三弟
在一个直角三角形里住着三个内角，平时， 它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突 然不高兴，发起脾气来，它指着老大说： “你凭什么度数最大，我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能 的，否则，我们这个家就再也围不起来 了……”“为什么？” 老二很纳闷。
同学三们角，你形们的知内道角其中和的等道于理1吗8？00
动手折一折
1
1
2
2
3
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在纸片上画任意的三角形△ ABC（把 表示三角形三个顶点的字母标在三角形的 内部）动手操作剪下内角拼一拼，你能得 到什么结论？
A
B
C
A
A
B
C
B
C
三角形三这个只内同是角学实的们验观和，察等而和观于总察1结8与0的实°非验. 常得棒到，的但结
爱学习，要牢记
成绩好，有诀窍，认真听课很重要； 书展开，笔在手，课前准备要做好； 眼看清，耳听好，上课专心不说笑； 勤动手，多动脑，精力集中质量高； 师教导，要记好，同学之间多探讨； 敢提问，会创造，方法科学效率高；
E
A
F
证明：
1 2
3
4
D
B
C
过A点作射线AD，过Ｂ点作BE ∥ AD，过C点 CF∥AD 则BE ∥ CF （平行与同一条直线的两直线平行）
∴ ∠1= ∠2， ∠3= ∠4 （两直线平行，内错角相等）
∠EBC+ ∠FCB=180 ° （两直线平行，同旁内角互补） 即∠1+ ∠ABC+ ∠ACB+∠4= 180 ° 又∵ ∠BAC= ∠2+ ∠3 ∴ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB= 180 ° （等量代换）
Q
Байду номын сангаасA R
（
∴∠ 1= ∠ B （两直线平行，同位角B相等） P
C
∠ 2= ∠ C （两直线平行，同位角相等）
∠ 3= ∠ 4 （两直线平行，内错角相等）
∠ A= ∠ 4 （两直线平行，同位角相等）
∴ ∠ 3= ∠ A
（等量代换）
∵ ∠ 1+ ∠ 2 + ∠ 3=180 °
(平角的定义)
∴ ∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180 ° （等量代换）
证法2
三角形三个内角的和等于180°.
A
E
证法2：延长BC到D，过点C作
CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等)
12
∠B=∠2
B
CD
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
证法３
证明：过点P作PQ ∥ AC交AB于Q点，
作PR ∥ AB交AC于R点。
证法4
A E
求证：三角形三个内角的和等于180° 已知：如图，△ABC。
求证：∠A+∠B +∠C=180° 。 B
C
证明：过A作AE∥BC，
∴∠C=∠CAE (两直线平行,内错角相等)
∠EAC+∠BAC+∠B=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换)
证法5
论不一定正确，可靠，这样就需要通 过数学证明来验证结论是否正确．
从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?
在三这角里形，三为个了证内明角的的需和要等，于在原18来0°.
的图形上添画的线叫做辅助线。在
这是平面一几个何文里字，命辅题助线，通如常何画转成化虚为线。几何命题，
结合图形，你能写出已知和求证吗？
已知：△ＡＢＣ，
中考题
如图，求A1+A2+A3+A4+A5 的度数。
A1
A4 A3
1
A2
2 A5
本节课你有什么收获？
我们证明了三角形内角和定理。
证明的思路是：利用平角的定义或平行线 下的同旁内角互补
证明的基本思想是：
运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三 个内角集中在一起，拼成一个平角，辅助线 是联系命题的条件和结论的桥梁。
EA
F
求证：∠A+∠B+∠C=180° 1 2
证明：过点A作EF∥BC，
CB
∴∠B=∠1
(两直A 线平行,内错角相等) ∠C=∠2
B
C
B(两直线平行,C内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°
同学们还有其 他的方法吗？
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
探究新知 利用所学过的知识，还可以怎样添加辅助线？