三角形内角和定理的证明课
三角形内角和定理-PPT课件
请你帮小明把想法化为实际行动. 证明:过点A作PQ∥BC,则 ∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等), 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
P AQ 132
B
C
∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).
小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?
同学们，你们知道其中的道理吗？
2
1 .知识目标
（1）三角形的内角和定理的证明. （2）掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题. (3)理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用.
2 .教学重点
（1）三角形内角和定理的证明. （2）三角形内角和定理的推论.
3.教学难点
（1）三角形内角和定理的证明方法. (2)三角形的外角、三角形内角和定理的推论.
2
∴∠DAE=∠B(等量代换) ∴ AD∥BC(同位角相等,两直线平行)
·B
C
这里是运用了公理
“同位角相等，两直
线平如图,在△ABC中, ∠1是它的一个
C
外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.
求证: ∠1 >∠2.
E5
3
4 A
1
B
F
证明：∵ ∠1是△ABC 的一个外角 (已知) ∴ ∠1 >∠3 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∵∠3是△CDE 的一个外角 (外角定义) ∴∠3 >∠2 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) ∴ ∠1 >∠2 (不等式的性质)
又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换). 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?
北师大版八年级下册数学《三角形内角和定理的证明》证明说课教学复习课件
动手实践 ，尝试发现
剪拼活动：
将角Ａ和角Ｂ裁下，拼在角１与角２的位置（注 意剪裁线应为折线）
设计意图：1、通过剪纸活动，让学生初步体会到三
角形内角和为1800； 2、通过剪纸活动，锻炼学生的动手能力与合作探
设计意图：让学生在今后的证明中能灵活应用。
课堂小结
学了本节你能回答下列问题吗？ 1、三角形内角和定理是什么？ 2、三角形内角和定理的证明有哪几种方法？ 3、在证明三角形内角和定理的过程中，最重要的
是什么？如何作？
活动内容：学生用自己的语言总结，学生之间相互
补充。
设计意图：总结复习巩固本课知识，提高学生的
三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核 心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型 平面图形，而且几乎是研究所有其它图形的工具 和基础，而三角形内角和定理又是三角形中最为 基础的知识。
➢教学目标与教学重、难点分析
教学目标: 知识与技能： 1、 理解三角形内角和定理； 2、掌握三角形内角和定理的证明方法； 3、会用三角形内角和定理进行证明和解决其他相关问题。 过程与方法：
知识的独特理解和感受，激发学生的求知欲望，创造性的 使用教材。
4、课堂组织有效，能够充分的调动学生动手动脑，气 氛较好。
5、重、难点把握得到，，突出了重点，突破了难点。 6、教师语言精练，教态亲切自然，讲求教学艺术。 7、当堂训练到位，且有梯度，符合教学实际。
缺点：时间把握不够恰当，教学节奏慢
以疑引入
2、三角形内角和定理的内容，学生在小学已经熟悉，但在小学 是通过实验得出的，要向学生说明证明的必要性，同时说明今后在 几何里，常常用这种方法得到新知识，而定理的证明需要添辅助线， 让学生明白添辅助线是解决数学问题（尤其是几何问题）的重要思 想方法，它同代数中设末知数是同一思想。
沪科版数学八上13.三角形内角和定理的证明课件(共15张)
第3课时 三角形内角和定理的证明
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理.（重点）
2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）
知识讲授
一、三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
前面已经学习了用拼接的方法验证三角形的内角和等于180°，你
∴ ∠ ＝ 180° − ∠ − ∠ ＝ 180° − 90° − 54°＝ 36° .
∴ ∠ ＝∠ − ∠ ＝ 44° − 36°＝ 8° .
随堂训练
1.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC
于点D，若∠BAC＝130°，∠C＝30°，则
∠DAE的度数是 5° .
3.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求
∠BAE和∠AEB的度数.
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
1
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
2
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，
∴∠BAE=37.5°.
A
(两直线平行，同旁内角相补)
E
∴ ∠A=∠EDF.
F
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
B
想一想：同学们还有其他的方法吗？
D
C
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
A
A
A
D
C
B
1
2
B
l
4
《三角形的内角和》优质ppt课件
角之比为1:2:3，求这个三角形
的最大内角。
02
题目3：判断下列各组角能否
构成一个三角形的内角，并说
明理由。
03
A. 30°, 40°, 110°
04
B. 60°, 60°, 60°
05
C. 20°, 50°, 120°
06
学生自主思考、提问及讨论环节
01
02
03
问题1
三角形的内角和为什么是 180°？
应用举例
例1
计算五边形的内角和。
解
五边形可以划分为3个三角形，因此五边形的内角和 = 3 × 180° = 540°。
例2
计算正六边形的内角和。
解
正六边形可以划分为4个三角形，因此正六边形的内角 和 = 4 × 180° = 720°。
例3
已知一个多边形的内角和为1080°，求这个多边形的边 数。
有助于培养逻辑思维和空间想象能力
预习下一讲内容：《全等三角形》
了解全等三角形的定 义和性质
通过实例和练习加深 对全等三角形相关知 识的理解和应用
掌握全等三角形的判 定方法
谢谢您聆听
THANKS
《三角形的内角和》优质ppt 课件
CONTENTS
• 三角形基本概念与性质 • 三角形内角和定理推导 • 三角形内角和定理应用举例 • 拓展：多边形内角和计算方法
探讨 • 练习题与课堂互动环节 • 课程小结与预习提示
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次连接所组成的封闭图形。
已知三角形一个内角及相邻两边，求另一 个内角的大小。
已知三角形三边长度，利用余弦定理求任 一内角的大小。
三角形内角和定理的证明
第五节三角形内角和定理的证明第六课时●课题§6.5 三角形内角和定理的证明●教学目标（一）教学知识点三角形的内角和定理的证明.（二）能力训练要求掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.（三）情感与价值观要求通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.●教学重点三角形内角和定理的证明.●教学难点三角形内角和定理的证明方法.●教学方法实验、讨论法.●教具准备三角形纸片数张.投影片三张第一张：问题（记作投影片§6.5 A）第二张：实验（记作投影片§6.5 B）第三张：小明的想法（记作投影片§6.5 C）●教学过程Ⅰ.巧设现实情境，引入新课［师］大家来看一机器零件（出示投影片§6.5 A）工人师傅将凹型零件（图6－34）加工成斜面EC与槽底CD成55°的燕尾槽（图6－35）的程序是：将垂直的铣刀倾斜偏转35°角（图6－5），就能得到55°的燕尾槽底角.图6－34图6－35图6－36 为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？Ⅱ.讲授新课［师］为了回答这个问题，先观察如下的实验（电脑实验，或实物实验）用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如图6－37），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？图6－37［生甲］当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于0°.［生乙］三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.［师］很好.在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180°的？［生丙］三角形的最大内角不会大于或等于180°.［师］很好.看实验：当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？［生齐声］180°［师］180°，这一猜测是否准确呢？我们曾做过如下实验：（出示投影片§6.5 B）实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.（1）（2）（3）（4）图6－38实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.［师］由实验可知：我们猜对了！三角形的内角之和正好为一个平角.但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？请同学们再来看实验.图6－39这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方.这时，∠A与∠ACE能重合吗？［生齐声］能重合.［师］为什么能重合呢？［生齐声］因为同位角∠ECD=∠B.所以CE∥B A.［师］很好，这样我们就可以证明了：三角形的内角和等于180°.接下来同学们来证明：三角形的内角和等于180°这个真命题.这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？［生］需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证.［师］对，下面大家来证明，哪位同学上黑板给大家板演呢？图6－40［生甲］已知，如图6－40，△AB C.求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）即：∠A+∠B+∠C=180°.［生乙］老师，我的证明过程是这样的：证明：作BC的延长线CD，作∠ECD=∠B.则：EC∥AB（同位角相等，两直线平行）∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）［师］同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们仅仅添画了一条射线CE，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理.即：三角形的内角和定理.小明也在证明三角形的内角和定理，他是这样想的.大家来议一议，他的想法可行吗？（出示投影片§6.5 C）图6－41在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC.（如图6－41）他的想法可行吗？你有没有其他的证法.［生甲］小明的想法可行.因为：∵PQ∥BC（已作）∴∠P AB=∠B（两直线平行，内错角相等）∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）∵∠P AB+∠BAC+∠QAC=180°（1平角=180°）∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）图6－42［生乙］也可以这样作辅助线.即：作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C（如图6－42）.［生丙］也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理.图6－43即：如图6－43，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC 交AB于F.∴四边形AFDE是平行四边形（平行四边形的定义）∠BDF=∠C（两直线平行，同位角相等）∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等）∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等）∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）［师］同学们讨论得真棒.接下来我们做练习以巩固三角形内角和定理.Ⅲ.课堂练习（一）课本P196随堂练习1、2.图6－441.直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论.答案：90°60°如图6－44，在△ABC中，∠C=90°∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+∠B=90°.图6－45如图6－45，△ABC是等边三角形，则：∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°图6－462.如图6－46,已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求证：∠ADE=50°.证明：∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）∵∠C=70°（已知）∴∠AED=70°（等量代换）∵∠A+∠AED+∠ADE=180°（三角形的内角和定理）∴∠ADE=180°－∠A－∠AED（等式的性质）∵∠A=60°（已知）∴∠ADE=180°－60°－70°=50°（等量代换）（二）读一读P197.（三）看课本P195~196，然后小结.Ⅳ.课时小结这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它.Ⅴ.课后作业（一）课本P198习题6.6 1、2（二）1.预习内容P199~2002.预习提纲（1）三角形内角和定理的推论是什么？（2）三角形内角和定理的推论的应用.Ⅵ.活动与探究1.证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？（如图6－47（1）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图6－47（2））“凑”到三角形外一点呢？（如图6－47（3）），你还能想出其他证法吗？（1）（2）（3）图6－47［过程］让学生在证明这个题的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路.［结果］证明三角形内角和定理时，既可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P，也可以把三个角“凑”到三角形内一点；还可以把这三个角“凑”到三角形外一点.证明略.●板书设计§6.5 三角形内角和定理的证明一、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°图6－48已知，如图6－48，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA，则：∠A=∠ACE（）∠ECD=∠B（）∵∠ECD+∠ACE+∠ACB=180°（）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（）二、议一议三、课堂练习四、课时小结五、课后作业巧添平行线－6.5 三角形内角和定理的证明证三角形内角和定理贵州省剑河二中杨通刚课本给出了三角形内角和定理的一种证明方法，其证明思路是作∠ECA=∠A，然后利用平行线的判定与性质证明∠ECD=∠B.这样就将三个内角转移成平角∠BCD使定理获证.其实，巧添平行线转移角度也能很快地得到证明.图6－49证法一：如图6－49，延长BC至D，过C点作CE∥A B.∵CE∥AB，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）∵∠ACB+∠2+∠1=180°（平角定义）∴∠A+∠B+∠ACB=180°.图6－50证法二：如图6－50，过点A作EF∥BC，则∠1=∠B，∠2=∠C.∵∠1+∠BAC+∠2=180°,∴∠BAC+∠B+∠C=180°.图6－51证法三：如图6－51，在BC边上任取一点D，过D作DE∥AB交AC于E，作DF∥AC交AB于F.∵DE∥AB，∴∠1=∠B，∠2=∠4，∵DF∥AC，∴∠3=∠C，∠A=∠4，∴∠2=∠A，又∠1+∠2+∠3=180°∴∠A+∠B+∠C=180°.图6－52证法四：过点A作AD∥BC（如图6－52）∵AD∥BC∴∠1=∠C，∠DAB+∠ABC=180°∴∠BAC+∠B+∠C=∠DAB+∠ABC=180°.图6－53证法五：如图6－53，过点A任作一条射线AD，再作BE∥AD，CF∥AD.∵BE∥AD∥CF∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠EBC+∠BCF=180°∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠EBC+∠BCF=180°.参考练习－6.5 三角形内角和定理的证明图6－541.已知，△ABC中，AD是高，E是AC边上一点，BE与AD交于点F（如图6－54），∠ABC=45°,∠BAC=75°,∠AFB=120°.求证：BE ⊥AC .证明：∵AD 是高（已知） ∴∠ADB =90°（垂直的定义）∵∠ABC +∠ADB +∠BAD =180°（三角形内角和定理） ∠ABC =45°（已知）∴∠BAD =45°（等式的性质） ∵∠BAC =75°（已知）∴∠DAC =30°（等式的性质）∵∠AFB +∠AFE =180°（1平角=180°） ∠AFB =120°（已知）∴∠AFE =60°（等式性质）∵∠AFE +∠AEF +∠DAC =180°（三角形内角和定理） ∴∠AEF =90°（等式性质） ∴AC ⊥AE （垂直的定义）2.如图6－55，△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD 是高，求证：∠BCD =21∠A.图6－55证明：∵∠A +∠B +∠ACB =180°（三角形内角和定理） ∠B =∠ACB （已知）∴∠B =2180A ∠-︒=90°－21∠A∵CD 是△ABC 的高（已知） ∴∠BDC =90°∵∠BDC +∠B +∠DCB =180°（三角形内角和定理） ∴∠BCD =180°－∠BDC －∠B=180°－90°－（90°－21∠A ）=21∠A （等式的性质）§6.5 三角形内角和定理的证明班级：_______ 姓名：_______一、填空请你填一填（1）如果三角形的三个内角都相等，那么每一个角的度数等于_______.（2）在△ABC中，若∠A=65°,∠B=∠C，则∠B=_______.（3）在△ABC中，若∠C=90°,∠A=30°，则∠B=_______.（4）在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______.（5）在图6—5—1和6—5—2中，∠1、∠2与∠B、∠C的关系是_______（6）已知，如图6—5—3，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC，垂足为D，则∠DBC的度数为_______.图6—5—1 图6—5—2 图6—5—3二、选择题认真选一选（1）在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线交于O点，则∠BOC等于（）A.65°B.115°C.80°D.50°（2）两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的平分线（）A.相互重合B.互相平行C.相互垂直D.无法确定相互关系图6—5—4（3）如图6—5—4，AB∥CD，∠A=35°,∠C=80°,那么∠E等于（）A.35°B.45°C.55°D.75°三、数学眼光看世界图6—5—5（1）一块大型模板如图6—5—5，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°的角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数，来检查模板是否合格？（2）小芳和小白在一起温习三角形内角和定理，小芳灵机一动，想考考小白对知识掌握的程度，她给小白出了一道这样的题目：图6—5—6如图6—5—6，证明五边形的内角和等于540°.即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°.参考答案一、（1）60°（2）57.5°(3)60°(4)30°60°90°(5)∠1+∠2=∠B+∠C(6)18°二、(1)B (2)C (3)B三、（1）测量∠B+∠C是否等于150°，∠C+∠D是否等于160°，若是则合格，否则不合格.（2）分析：连结对角线将五边形分割成三个三角形.如连结BD、BE，则五边形ABCDE 被分割成三个三角形：△BCD、△BDE、△ABE，这三个三角形的所有内角和等于180°×3=540°,即为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°。
北师大版数学八年级上册《三角形内角和定理的证明》说课稿1
北师大版数学八年级上册《三角形内角和定理的证明》说课稿1一. 教材分析北师大版数学八年级上册《三角形内角和定理的证明》这一节，是在学生已经掌握了角的定义，角的计算方法等基础知识之后进行的一节证明课。
本节课的主要内容是引导学生通过观察，推理，证明的过程，理解并掌握三角形内角和定理，即三角形的三个内角之和等于180度。
这个定理是几何学中的一个重要定理，对于学生后续的学习有着重要的指导意义。
二. 学情分析我所面对的学生是八年级的学生，他们已经具备了一定的逻辑思维能力和推理能力，对于角的计算方法也已经有了初步的了解。
但是，他们的证明能力还有待提高，对于如何将实际问题转化为数学问题，如何通过逻辑推理得出结论，还需要我在教学中进行引导和培养。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解三角形内角和定理的内容，并能够运用定理进行问题的解答。
2.过程与方法目标：学生通过观察，推理，证明的过程，提高自己的逻辑思维能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学的乐趣，增强对数学的学习兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握三角形内角和定理。
2.教学难点：学生能够通过逻辑推理，证明三角形内角和定理。
五. 说教学方法与手段在这一节课中，我将采用引导法，推理法，实践法等教学方法，引导学生通过观察，推理，证明的过程，理解并掌握三角形内角和定理。
同时，我会利用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：我会通过一个实际问题，引导学生思考三角形的内角和是多少，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：我会引导学生通过观察，推理，证明的过程，得出三角形内角和定理。
3.课堂讲解：我会对三角形内角和定理进行详细的讲解，让学生充分理解定理的内容。
4.课堂练习：我会设计一些练习题，让学生运用所学的定理进行解答，巩固所学知识。
5.课堂小结：我会对所学内容进行小结，帮助学生巩固记忆。
三角形内角和定理的证明证明教学PPT课件
1 2 1800 BDC(等式性质).
BDC BAC ABD ACD（等量代换）.
即BDC BAC B C.
1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。 2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
A
M
B
N
C
F
D
练一练
A
1、 如图，已知AD是△ABD
34
和△ACD的公共边.求证：
∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
12
B
D
证法一：
∵在△ABD中, ∠1＝180°－∠B－∠3，
C
在△ADC中, ∠2＝180°－∠C－∠4（三角形内角和定理），
又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定义）
∴∠ BDC ＝360°－（ 180°－∠B－∠3 ）－（ 180°－∠C－∠4 ）
＝ ∠B+∠C+∠3+∠4.
又 ∵ ∠BAC ＝ ∠3+∠4,
∴ ∠ BDC ＝ ∠B+∠C+ ∠BAC （等量代换）
A
证法二：
连接BC.
B
1
D
2
C
在ABC中，BAC ABD ACD 1 2 1800,
三角形的内角和(PPT课件)2024新版
拓展延伸：多边形内角和探讨
多边形的定义及分类
由三条或三条以上的线段首尾顺 次连接所组成的平面图形叫做多 边形。按照边数可分为三边形、 四边形、五边形等。
多边形内角和的计算 公式
在建筑设计中，需要测量建筑物的各个角度，以确保建筑物的稳定性和
美观性。三角形内角和的原理可以帮助建筑师快速准确地计算角度。
02
屋顶角度设计
屋顶的角度设计对于建筑物的排水、采光和保温等方面都有重要影响。
利用三角形内角和的原理，建筑师可以设计出合理的屋顶角度。
03
楼梯角度计算
在楼梯设计中，需要计算楼梯的倾斜角度，以确保人们上下楼梯时的舒
艺术创作
在艺术创作中，艺术家经常需要运用几何原理来构图和设计。三角形内角和的原理可以帮 助艺术家创造出具有美感和平衡感的作品。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
三角形的内角和定义
01
三角形的三个内角之和等于180度。
三角形内角和的验证方法
02
通过测量、撕拼、折叠等方法验证三角形的内角和为180度。
可以通过三角形内角和定理和 邻补角的性质来证明三角形外 角和定理。
03
三角形外角性质与计算
三角形外角定义及性质
三角形外角的定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外 角。
三角形外角的性质
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。此外，三角 形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
方法二：通过撕拼法 证明
从而得到∠A + ∠B + ∠C = 180度。
2024版《三角形的内角和》完整版课件
全等三角形条件判断及证明方法论述
SSS全等条件
三边分别相等的两个三角形全等。
SAS全等条件
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
全等三角形条件判断及证明方法论述
ASA全等条件
两角和它们的夹边分别相等的两个三 角形全等。
AAS全等条件
两角和一角的对边分别相等的两个三 角形全等。
全等三角形条件判断及证明方法论述
三角形的一个内角与它相邻的外角之和等于180°。
内外角之差关系
三角形的一个内角与它不相邻的两个外角之差等于180°。
应用场景
内外角关系在解决三角形的问题中有着广泛的应用，如计算三角形的 内角和、判断三角形的形状、证明三角形的全等或相似等。
04
三角形面积计算公式推导与应 用
基于底和高计算面积公式推导
勾股定理内容：在直角三 角形中，直角边的平方和 等于斜边的平方。
已知直角三角形的两条直 角边，求斜边长度。
应用举例
已知直角三角形的一条直 角边和斜边，求另一条直 角边长度。
特殊角度（30°、45°、60°）边长关系分析
当直角三角形中一个 锐角为30°时
邻边（较长的直角边） 与斜边的比值为√3:2。
THANKS
对边（较短的直角边） 与斜边的比值为1:2。
特殊角度（30°、45°、60°）边长关系分析
当直角三角形中一个锐角为45°时（等腰直角三角形） 两直角边相等。
对边与斜边的比值为1:√2。
特殊角度（30°、45°、60°）边长关系分析
当直角三角形中一个锐角为60° 时
对边（较短的直角边）与斜边 的比值为1:2。
特殊三角形性质
等腰三角形性质
两腰相等，两底角相等；三线合 一（底边上的中线、高线和顶角
《三角形内角和定理的证明及推论1、2》第3课时示范教学方案
第十三章三角形中的边角关系、命题与证明13.2命题与证明第3课时三角形内角和定理的证明及推论1、2一、教学目标1．掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2；2．了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处；3．经历思考、操作、推理等学习活动，培养学生的推理能力和表达能力．二、教学重点及难点重点：根据具体的证明过程，填写推理的理由.难点：将文字语言表述的证明题改写成图形语言和符号语言表述的证明题.三、教学用具多媒体课件．四、相关资源《三角形内角和定理》图片、《例题1》图片、《练习1》图片．五、教学过程【课堂导入】教师提问：在前面的学习中，我们已经知道三角形的内角和等于180，你还记得这个结论的探索过程吗？学生回答：1.度量法2.折叠法3.剪拼法教师总结：但有的时候，观察和实验得到的结论并不一定可靠，这样就需要进行几何证明.那么什么是几何证明，如何进行几何证明呢，接下来我们一起来学习一下.设计意图：通过回顾之前的知识，引出本节课的内容.【新知讲解】1．三角形内角和定理的证明．教师提出问题：如图，在△ABC内任意取一点P，过点P画三条直线分别平行于△ABC的三条边．(1)∠1、∠2、∠3分别和△ABC的哪一个角相等？请说明理由；(2)利用(1)说明三角形三个内角的和等于180°.插入图片《三角形内角和定理》解析：(1)利用平行线的性质即可证得；(2)根据对顶角相等，以及∠HPE＋∠1＋∠FPI＋∠3＋∠GPD＋∠2＝360°和(1)的结论即可证得．解：(1)∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C.理由如下：∵HI∥AC，∴∠1＝∠CEP，又∵DE∥AB，∴∠CEP＝∠A，∴∠1＝∠A.同理，∠2＝∠B，∠3＝∠C；(2)如图，∵∠HPE＝∠1，∠FPI＝∠3，∠GPD＝∠2，又∵∠HPE＋∠1＋∠FPI＋∠3＋∠GPD＋∠2＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∵∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.方法总结：本题考查了平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等．设计意图：通过对相应的例题的讲解，让同学们熟悉证明的一般过程，应用第四种证明三角形内角和为180°的方法，开拓同学们的视野，启发他们的思想.2．证明命题的一般步骤．教师总结：(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据条件画出图形并在图形上标出字母;(3)结合图形和命题写出已知和求证;(4)分析因果关系,探索证明思路;(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.设计意图：通过对证明命题步骤的详细讲解，帮助学生记忆与理解.3．推论．教师下定义：由公理、定理直接得出的真命题叫做推论.推论1:直角三角形两锐角互余.推论2:有两个角互余的三角形是直角三角形.设计意图：给出推论的定义，以及两个三角形内角和定理的相关推论，为下面典型例题及练习的证明做了铺垫.【典型例题】例1直角三角形两锐角的平分线的夹角是______．解析：作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＋∠BAC＝90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB＋∠OBA＝12(∠ABC＋∠BAC)，然后利用三角形的内角和等于180°求出∠AOB，即为两角平分线的夹角．插入图片《例题1》如图，∠ABC＋∠BAC＝90°，∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，(∠ABC＋∠BAC)＝45°，∴∠OAB＋∠OBA＝12∴∠AOB＝180°－(∠OAB＋∠OBA)＝135°，∴∠AOE＝45°，∴两锐角的平分线的夹角是45°或135°.故答案为45°或135°.方法总结：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键，作出图形更形象直观．设计意图：深化对定理的理解．【随堂练习】1. 如图所示，AB∥CD，∠BAC和∠DCA的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？插入图片《练习1》解析：要判断△AHC的形状，首先观察它的三个内角，其中∠1与∠2与已知条件角平分线有关，而两条角平分线分别平分∠BAC和∠DCA，这两个角是同旁内角，于是联想到已知条件中的AB∥CD.解：△AHC是直角三角形．理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠DCA＝180°.又∵AH，CH分别平分∠BAC和∠DCA，∴2∠1＝∠BAC，2∠2＝∠DCA，∴2(∠1＋∠2)＝∠BAC＋∠DCA，∴∠1＋∠2＝90°，∴△AHC为直角三角形．方法总结：判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一个角是直角来判定(直角三角形的定义)，也可以通过有两个角度数之和为90°来判定．设计意图：通过学生练习，使教师及时了解学生的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正．六、课堂小结1．三角形内角和定理的证明.2．证明命题的一般步骤——六步.3．两个推论推论1:直角三角形两锐角互余.推论2:有两个角互余的三角形是直角三角形设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象.七、板书设计第3课时三角形内角和定理的证明及推论1、21. 定理2. 证明与推理。
三角形内角和定理的几种证明方法
三角形内角和定理的几种证明方法有很多种方法可以证明三角形的内角和定理，下面列举了其中的几种常见证明方法。
方法一：利用平行线的性质1.加边法：首先，将三角形ABC边AB上延长一条边AD，使得AD与BC平行。
然后，利用平行线性质可得∠BAC和∠DCA是同位角。
再进一步，由三角形内角和定理可知∠BAC+∠ACB+∠DCA=180°，再结合∠ACB+∠DCA=180°，得到∠BAC+∠ACB+∠DCA=360°，即证明了三角形内角和定理。
方法二：利用直线的性质1.平行线截三角形法：首先，通过点B和点C分别作直线DE和直线AF与边AC交于点D和点E，点AB交于点F。
然后，利用平行线截三角形的性质可知，三角形ADF与三角形ABC相似，三角形CDE与三角形ABC相似。
根据相似三角形的内角和相等，我们可以得到三角形ADF的内角和为∠ADF+∠DAF+∠AFD=180°，以及三角形CDE的内角和为∠CDE+∠EDC+∠DEC=180°。
进一步，根据三角形内角和的性质，我们可以推出∠BAC+∠ACB+∠ABC=∠ADF+∠DAF+∠AFD+∠CDE+∠EDC+∠DEC=180°+180°=360°，即证明了三角形内角和定理。
方法三：利用三角形面积的性质1.面积法：首先，画出三角形ABC，并作高BD。
然后，利用三角形面积的公式S=1/2*底*高，可知三角形ABC的面积为S=1/2*AB*BD+1/2*AC*CD+1/2*BC*CE。
再进一步，可知三角形ABC的面积为S=1/2*(AB*BD+AC*CD+BC*CE)。
由于BD=CD+CE，代入原式可得S=1/2*(AB*CD+AC*CD+BC*CE+BC*CE)。
化简得S=1/2*(AB*CD+AC*CD+BC*2CE)=1/2*(AB+AC+BC)*CD。
由于三角形ABC的面积等于三角形ABC的高与底乘积的两倍，即S=1/2*(AB+AC+BC)*CD。
三角形内角和定理的证明方法
三角形内角和定理的证明方法三角形的内角和定理是指一个三角形的三个内角之和等于180度。
下面将阐述三角形内角和定理的证明方法。
证明方法一：1. 取一条线段AB，并以该线段为边构造一个任意的封闭图形ABCDEF。
2. 假设三角形ABC的内角和为θ。
3. 将该封闭图形ABCDEF分为n个三角形，其中一个三角形为ABC。
4. 根据封闭图形ABCDEF的性质，所有的内角之和等于(n-2)×180度。
即：Σxx = (x−2) ×180度5. 根据三角形的性质，封闭图形ABCDEF中除了三角形ABC之外的其他三角形的内角之和等于180度。
即：Σ(xx) = 180度6. 将上述两个等式相减，得到：(x−2) ×180度- 180度= x7. 化简上述等式得到：(x−3) ×180度= x8. 由于三角形ABC是封闭图形ABCDEF中的一个三角形，所以x等于三角形ABC的内角和。
9. 将上述等式中的x替换为三角形ABC的内角和，得到：(x−3) ×180度= 三角形ABC的内角和10. 将上述等式化简，得到：(x−3) ×180度= θ11. 又因为三角形ABC的内角和为θ，所以上述等式可以改写为：(n - 3) ×180度= θ12. 将等式中的n - 3替换为n，得到：n ×180度= θ13. 由于n表示封闭图形ABCDEF中三角形的个数，所以n = 3，即封闭图形ABCDEF中只包含一个三角形ABC。
14. 所以，三角形ABC的内角和等于θ= n ×180度= 3 ×180度= 540度。
综上所述，三角形ABC的内角和为540度，符合三角形的内角和定理。
证明方法二：1. 以线段AB为边，取一点C在AB的任意一侧。
2. 连接AC和BC，构成三角形ABC。
3. 假设三角形ABC的内角分别为α、β和γ。
4. 将三角形ABC平移到与原来的位置重合。
三角形内角和定理证明ppt课件
CD
（2）∵∠ +∠ ∠ +∠
∴∠ = ∠
+∠ =180°（三角形三个内角的和等于180° ）
=180°（平角的定义）
+∠
（
）
推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
公理、定理及由它们直接推出来的 结论(推论),以后可以直接运用. 9
练一练：
已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长 线上一点，∠EAC=∠B,求证：∠ADE=∠DAE
B
∠A+∠B+∠AOB=180°(三角形三个内角的和等于180°)
O
∴∠A+∠B=180°-∠AOB
在⊿COD中 同理可得
∠C+∠D=180°-∠COD
∵∠AOB与∠COD是对顶角
C
D
∴∠AOB=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D( 等量代换)
8
A
议一议：
B
如图所示：把△ABC的边BC延长，得到∠ACD.
∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等)
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).
1
2 C
辅助线
D
6
A
E
你还有什么
不同的方法?
B
P
AC
Q
B
H
C
B
A
E
C
7
试一试：
已知：如图,AC、BD相交于点O, 求证：∠A+∠B=∠C+∠D.
A 证明：
在⊿AOB中
《三角形内角和定理的证明》教学设计
＾
【 计 意 图 】 设 问题 情境 ， 设 创 激 发 学 生 探 究 生 活 中 的 数 学 的 学 习 兴趣 ， 下 面 引人新 课 打好 基础 。 为
习 数 学 问 题 的兴 趣
学 生 活 动 ： 行 形 象 思 考 ， 想 回答 。 进 猜
【 计 意 图 】 安 排 学 生 自主 阅读 ， 合 动 手 操作 设 ① 结
实 验 ，让 学 生 借 此 进 行 理 性 思 考 ，明 白 课 本 材 料 的 内
③ 让 学 生 敢 于 发 言 ， 敢 于 提 出 不 同 见 解 ，认 识 自 我 ， 立 自信 。 建 教 学 重 点 理 解三 角形 内角和定 理及 其 简单应 用 。 教 学 难 点 三角形 内角和定 理 的证 明 。
（ 示 角 的 度 数 ） 显 。
＾
使 学 生 掌 握 三 角 形 内 角 和 定 理 ，初 步 学 会 利 用 辅
助线 证题 。 ２过 程 与 方 法 目标 ．
① 通过 动手 实 验 、 察 、 考 ， 验 数 学 活 动 是 充 观 思 体
满着 探索 和创 造性 的过 程 ；
以验证 。
学 生活 动 ： 流合 作探 讨 ， 考 拼画 图形 。 交 思 根 据学 生 实验 、 答 ， 师用 电脑 动态 演示 几 种拼 回 教
凑 出 的图形 ：
、
同 学 们 ，请 看 老 师 手 中 的 这 一 小 块 残 破 的 三 角 状 玻 璃 ， 原 本 被 安 装 在 老 师 家 的 书 它 柜上 ， 为不小 心 ， 掉 了一角 。 因 碰 现 在 ， 想 用一 张 自已画的角 状硬 纸 我 画片 来遮 住它 ， 同学们 帮我来 确 请
《三角形的内角和》ppt课件
三角形内角和定理是初中数学中的重要内容之一，对于培养学生的逻辑思维、推理能力和数学素 养具有重要意义。
02
三角形内角和的基本概念
角度与三角形的关系
三角形是由三条边和三个角组成的几何图形。 角度是描述两条射线之间的夹角大小的量度。 三角形中的角度与边长之间存在一定的关系，如正弦、余弦定理等。
基于三角形内角和定理，可以推 导出许多三角恒等式，这些恒等 式在解决三角函数问题时非常有 用。例如，正弦定理、余弦定理
等。
三角函数的应用
在物理学、工程学、天文学等领 域中，经常需要使用三角函数来 解决实际问题。而三角形内角和 定理是解决这些问题的关键之一。
在实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计中，经常需要使用三 角形内角和定理来计算角度、长 度等参数，以确保建筑物的稳定
性和美观性。
地图绘制
在地图绘制中，三角形内角和定理 被用来确定地图上两点之间的角度， 从而保证地图的准确性和可靠性。
导航定位
在导航定位中，三角形内角和定理 被用来计算航向、俯仰角等参数， 以确保飞机、船舶等交通工具的正 确航行方向。
05
总结与回顾
三角形内角和的总结
三角形内角和的定义
三角形内角和是指三角形三个内角的度数之和。
培养空间思维
学习三角形内角和定理有 助于培养学生的空间思维 能力和几何直觉。
回顾与思考
01
回顾三角形内角和定理的证明过程，加深对定 理的理解。
02
思考三角形内角和定理在现实生活中的应用， 提高解决实际问题的能力。
03
探究其他几何图形的内角和性质，拓展几何知 识面。
THANKS
内角和为180度的结论。
《三角形的内角和》PPT课件
三角形内角和与角度关系
三角形内角和为180度
在任何三角形中，三个内角的和总是 等于180度。
角度互余关系
在一个三角形中，如果两个角的和小 于90度，则这两个角互为余角。
角度互补关系
在直角三角形中，两个锐角的角度和 为90度，它们互为补角。
三角形内角和与边长关系
边长与角度关系
在三角形中，边长越长， 对应的角度越大；边长越 短，对应的角度越小。
步骤四
将剪下来的三个角拼在 一起，观察是否能拼成
一个平角。
实验结果分析与讨论
结果分析
通过实验操作，我们发现三角形ABC的三个内角拼在一起后，能够形成一个平角，即三角形的内角和为 180度。
讨论
实验结果验证了三角形的内角和定理，即任意三角形的内角和都等于180度。这一结论在数学和几何学中 有着广泛的应用，对于解决与三角形相关的问题具有重要意义。同时，实验结果也说明了实验操作的准确 性和可靠性。
通过不断练习和挑战自我，可 以提高自己的几何思维能力和 解题能力。
THANKS
感谢观看
《三角形的内角 和》PPT课件
目录
• 课程引入 • 三角形内角和定理 • 三角形内角和性质 • 三角形内角和计算 • 实验操作与探究 • 拓展延伸与应用举例
01
课程引入
三角形的定义与分类
三角形的定义
由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形的分类
根据三角形的边长和角度，可以将 三角形分为等边三角形、等腰三角 形、直角三角形等。
三角形内角和概念
三角形内角和的定义
三角形三个内角的度数之和。
三角形内角和的性质
任意三角形的内角和都等于180度。
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中考题
如图，求A1+A2+A3+A4+A5 的度数。
A1
A4 A3
1
A2
2 A5
本节课你有什么收获？
我们证明了三角形内角和定理。
证明的思路是：利用平角的定义或平行线 下的同旁内角互补
证明的基本思想是：
运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三 个内角集中在一起，拼成一个平角，辅助线 是联系命题的条件和结论的桥梁。
Q
A R
（
∴∠ 1= ∠ B （两直线平行，同位角B相等） P
C
∠ 2= ∠ C （两直线平行，同位角相等）
∠ 3= ∠ 4 （两直线平行，内错角相等）
∠ A= ∠ 4 （两直线平行，同位角相等）
∴ ∠ 3= ∠ A
（等量代换）
∵ ∠ 1+ ∠ 2 + ∠ 3=180 °
(平角的定义)
∴ ∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180 ° （等量代换）
证法4
A E
求证：三角形三个内角的和等于180° 已知：如图，△ABC。
求证：∠A+∠B +∠C=180° 。 B
C
证明：过A作AE∥BC，
∴∠C=∠CAE (两直线平行,内错角相等)
∠EAC+∠BAC+∠B=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换)
证法5
证法2
三角形三个内角的和等于180°.
A
E
证法2：延长BC到D，过点C作
CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等)
12
∠B=∠2
B
CD
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
证法３
证明：过点P作PQ ∥ AC交AB于Q点，
作PR ∥ AB交AC于R点。
爱学习，要牢记
成绩好，有诀窍，认真听课很重要； 书展开，笔在手，课前准备要做好； 眼看清，耳听好，上课专心不说笑； 勤动手，多动脑，精力集中质量高； 师教导，要记好，同学之间多探讨； 敢提问，会创造，方法科学效率高；
EA
F
求证：∠A+∠B+∠C=180° 1 2
证明：过点A作EF∥BC，
CB
∴∠B=∠1
(两直A 线平行,内错角相等) ∠C=∠2
B
C
B(两直线平行,C内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°
同学们还有其 他的方法吗？
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
探究新知 利用所学过的知识，还可以怎样添加辅助线？
猜谜语 形状像座山,稳定性能强 三线首尾连,学问不简单 (打一几何图形 )
大哥 二哥
内角三兄弟之争
三弟
在一个直角三角形里住着三个内角，平时， 它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突 然不高兴，发起脾气来，它指着老大说： “你凭什么度数最大，我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能 的，否则，我们这个家就再也围不起来 了……”“为什么？” 老二很纳闷。
同学三们角，你形们的知内道角其中和的等道于理1吗8？00
动手折一折
1
1
2
2
3
3
在纸片上画任意的三角形△ ABC（把 表示三角形三个顶点的字母标在三角形的 内部）动手操作剪下内角拼一拼，你能得 到什么结论？
A
B
C
这个只内同是角学实的们验观和，察等而和观于总察1结8与0的实°非验. 常得棒到，的但结
论不一定正确，可靠，这样就需要通 过数学证明来验证结论是否正确．
从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?
在三这角里形，三为个了证内明角的的需和要等，于在原18来0°.
的图形上添画的线叫做辅助线。在
这是平面一几个何文里字，命辅题助线，通如常何画转成化虚为线。几何命题，
结合图形，你能写出已知和求证吗？
已知：△ＡＢＣ，
E
A
F
证明：
1 2
3
4
D
B
C
过A点作射线AD，过Ｂ点作BE ∥ AD，过C点 CF∥AD 则BE ∥ CF （平行与同一条直线的两直线平行）
∴ ∠1= ∠2， ∠3= ∠4 （两直线平行，内错角相等）
∠EBC+ ∠FCB=180 ° （两直线平行，同旁内角互补） 即∠1+ ∠ABC+ ∠ACB+∠4= 180 ° 又∵ ∠BAC= ∠2+ ∠3 ∴ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB= 180 ° （等量代换）