离散数学习题的答案解析

离散数学习题答案习题一及答案:(P14-15) 14、将下列命题符号化:(5)李辛与李末就是兄弟解:设p:李辛与李末就是兄弟,则命题符号化的结果就是p (6)王强与刘威都学过法语解:设p:王强学过法语;q:刘威学过法语;则命题符号化的结果就是p q ∧(9)只有天下大雨,她才乘班车上班解:设p:天下大雨;q:她乘班车上班;则命题符号化的结果就是q p → (11)下雪路滑,她迟到了解:设p:下雪;q:路滑;r:她迟到了;则命题符号化的结果就是()p q r ∧→15、设p:2+3=5、q:大熊猫产在中国、 r:太阳从西方升起、 求下列复合命题的真值:(4)()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→ 解:p=1,q=1,r=0,()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔,(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔ ()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型: (2)()p p q →⌝→⌝解:列出公式的真值表,如下所示:20、求下列公式的成真赋值: (4)()p q q ⌝∨→解:因为该公式就是一个蕴含式,所以首先分析它的成假赋值,成假赋值的条件就是:()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有:01,10,11。

习题二及答案:(P38)5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值: (2)()()p q q r ⌝→∧∧解:原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨,此即公式的主析取范式, 所以成真赋值为011,111。

*6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值: (2)()()p q p r ∧∨⌝∨解:原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔,此即公式的主合取范式, 所以成假赋值为100。

7、求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式: (1)()p q r ∧∨解:原式()(()())p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧ 13567m m m m m ⇔∨∨∨∨,此即主析取范式。

主析取范式中没出现的极小项为0m ,2m ,4m ,所以主合取范式中含有三个极大项0M ,2M ,4M ,故原式的主合取范式024M M M ⇔∧∧。

9、用真值表法求下面公式的主析取范式: (1)()()p q p r ∨∨⌝∧范式,故主析取范式1234567m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨习题三及答案:(P52-54)11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。

前提:,,,p q q r r s p ⌝∨⌝∨→ 结论:s 证明:① p 前提引入 ② p q ⌝∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④ q r ⌝∨ 前提引入⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入⑦ s ⑤⑥假言推理15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理: (2)前提:()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论:p u →证明:用附加前提证明法。

① p 附加前提引入 ② p q ∨ ①附加 ③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入 ④ r s ∧ ②③假言推理 ⑤ s ④化简 ⑥ s t ∨ ⑤附加 ⑦ ()s t u ∨→ 前提引入⑧ u ⑥⑦假言推理 故推理正确。

16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理:(1)前提:p q →⌝,r q ⌝∨,r s ∧⌝ 结论:p ⌝证明:用归谬法① p 结论的否定引入 ② p q →⌝ 前提引入 ③ q ⌝ ①②假言推理 ④ r q ⌝∨ 前提引入⑤ r ⌝ ③④析取三段论 ⑥ r s ∧⌝ 前提引入 ⑦ r ⑥化简 ⑧r r ∧⌝ ⑤⑦合取由于0r r ∧⌝⇒,所以推理正确。

17、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明:只要A 曾到过受害者房间并且11点以前没离开,A 就就是谋杀嫌犯。

A 曾到过受害者房间。

如果A 在11点以前离开,瞧门人会瞧见她。

瞧门人没有瞧见她。

所以,A 就是谋杀嫌犯。

解:设p:A 到过受害者房间,q:A 在11点以前离开,r:A 就是谋杀嫌犯,s:瞧门人瞧见过A 。

则前提:()p q r ∧⌝→,p ,q s →,s ⌝ 结论:r 证明:① q s → 前提引入 ② s ⌝ 前提引入 ③ q ⌝ ①②拒取式 ④ p 前提引入 ⑤ p q ∧⌝ ③④合取引入 ⑥ ()p q r ∧⌝→ 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理习题四及答案:(P65-67)5、在一阶逻辑中将下列命题符号化: (2)有的火车比有的汽车快。

解:设F(x):x 就是火车,G(y):y 就是汽车,H(x,y):x 比y 快;则命题符号化的结果就是:(()()(,))x y F x G y H x y ∃∃∧∧(3)不存在比所有火车都快的汽车。

解:方法一:设F(x):x 就是汽车,G(y):y 就是火车,H(x,y):x 比y 快;则命题符号化的结果就是:(()(()(,)))x F x y G y H x y ⌝∃∧∀→或(()(()(,)))x F x y G y H x y ∀→∃∧⌝方法二:设F(x):x 就是火车,G(y):y 就是汽车,H(x,y):x 比y 快;则命题符号化的结果就是:(()(()(,)))x G x y F y H x y ⌝∃∧∀→或(()(()(,)))x y G x F y H x y ⌝∃∀∧→9、给定解释I 如下:(a) 个体域为实数集合R 。

(b) 特定元素0a-=。

(c) 函数(,),,f x y x y x y R -=-∈。

(d) 谓词(,):,(,):,,F x y x y G x y x y x y R --=<∈。

给出以下公式在I 下的解释,并指出它们的真值:(2)(((,),)(,))x y F f x y a G x y ∀∀→解:解释就是:(0)x y x y x y ∀∀-=→<,含义就是:对于任意的实数x,y,若x-y=0则x<y 。

该公式在I 解释下的真值为假。

14、证明下面公式既不就是永真式也不就是矛盾式: (1)(()(()(,)))x F x y G y H x y ∀→∃∧解:取解释I 如下:个体域为全总个体域,()F x :x 就是兔子,()G y :y 就是乌龟,(,)H x y :x 比y 跑得快,则该公式在解释I 下真值就是1;取解释'I 如下:(,)H x y :x 比y 跑得慢,其它同上,则该公式在解释'I 下真值就是0; 故公式(1)既不就是永真式也不就是矛盾式。

此题答案不唯一,只要证明公式既不就是永真式也不就是矛盾式的每个解释合理即可。

习题五及答案:(P79-81)5、给定解释I 如下: (a) 个体域D={3,4}(b)():(3)4,(4)3f x f f ---==(c) (,):(3,3)(4,4)0,(3,4)(4,3)1F x y F F F F -----==== 试求下列公式在I 下的真值: (1)(,)x yF x y ∀∃解:方法一:先消去存在量词x yF x y x F x F x∀∃⇔∀∨(,)((,3)(,4))⇔∨∧∨((3,3)(3,4))((4,3)(4,4))F F F F⇔∨∧∨(01)(10)⇔115、在自然推理系统N中,构造下面推理的证明:ξ(3)前提:(()())⌝∃xG xx F x G x∀∨,()结论:()∃xF x证明:①()⌝∃前提引入xG x②()∀⌝①置换x G x③()⌝②UI规则G c④(()())x F x G x∀∨前提引入⑤()()∨④UI规则F cG c⑥()F c③⑤析取三段论⑦()∃⑥EG规则xF x*22、在自然推理系统N中,构造下面推理的证明:ξ(2)凡大学生都就是勤奋的。

王晓山不勤奋。

所以王晓山不就是大学生。

解:设F(x):x为大学生,G(x):x就是勤奋的,c:王晓山则前提:(()())⌝G cx F x G x∀→,()结论:()⌝F c证明:①(()())∀→前提引入x F x G x②()()→①UI规则F cG c③()⌝前提引入G c④ ()F c ⌝ ②③拒取式 25、在自然推理系统N ξ中,构造下面推理的证明:每个科学工作者都就是刻苦钻研的,每个刻苦钻研而又聪明的人在她的事业中都将获得成功。

王大海就是科学工作者,并且就是聪明的。

所以,王大海在她的事业中将获得成功。

(个体域为人类集合)解:设F(x):x 就是科学工作者,G(x):x 就是刻苦钻研的,H(x):x 就是聪明的,I(x):x 在她的事业中获得成功,c:王大海则前提:(()())x F x G x ∀→,(()()())x G x H x I x ∀∧→,()()F c H c ∧ 结论:()I c 证明:① ()()F c H c ∧ 前提引入 ② ()F c ①化简 ③ ()H c ①化简 ④ (()())x F x G x ∀→ 前提引入 ⑤ ()()F c G c → ④UI 规则 ⑥ ()G c ②⑤假言推理 ⑦ ()()G c H c ∧ ③⑥合取引入 ⑧ (()()())x G x H x I x ∀∧→ 前提引入 ⑨ ()()()G c H c I c ∧→ ⑧UI 规则 ⑩ ()I c ⑦⑨假言推理习题六及答案(P99-100)28、化简下述集合公式:(3)(())(())(())(())A B C A B C A B C A B C --⋃-⋂⋃⋂-⋂⋂ 解:(())(())(())(())A B C A B C A B C A B C --⋃-⋂⋃⋂-⋂⋂()()A B A B =-⋃⋂A =30、设A,B,C 代表任意集合,试判断下面命题的真假。

如果为真,给出证明;如果为假,给出反例。

(6)()A B A B ⋃-=解:该命题为假,()A B A B A ⋃-=-,如果B A ⋂=∅,则B A B -=,否则B A B -≠,故B A B -=为假。

举反例如下:{1,2},{1,3},A B ==则(){3}A B A B ⋃-=≠。

(8)A B A C B C ⋃=⋃⇒=解:该命题为假,举反例如下:如果B,C 都就是A 的子集,则A B A C ⋃=⋃一定成立,但B C=不一定成立,例如:{1,2}A =,{1}B =, {2}C =,则A B A C A ⋃=⋃=,但B C ≠。