六年级下册奥数讲义-奥数方法：交集法(练习无答案)全国通用
六年级下册奥数讲义-奥数方法：综合训练(练习无答案)全国通用
1．在1997后面补上三个数字，组成一个七位数1997口口口，如果这个七位数能被4、5、6整除，那么补上的三个数字的和的最小可能值2．在300到400之间的自然数中，恰有3个约数的数的总和等于3．给定1997个连续的自然数。
已知其中最小数与最大数的平均但是1997，那么最大数等于4．在下式的方框里分别填上2、4、6、8四个数字，使等式成立。
最多可写出个不同的算式。
5．如图1所示，四边形ABCD的周长是60厘米．点M到各边的距离都是4．5厘米，这个四边形的面积是平方厘米。
6．有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个橘子，结果有10个小朋友苹果和橘子都拿到，那么这些小朋友最多有人。
7．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。
在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降 40％，二队的工作效率要下降10％。
结果两队同时完成这两项工程。
那么在施工的日子里，雨天确天。
8．龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是龟的速度的5倍。
当它们从起点一起出发后，龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉。
兔子醒来时。
龟已经领先它5000米，兔子奋起直追，但龟到达终点时，兔子仍落后100米，那么在兔子睡觉期间，龟跑了米。
9．中山商场销售的名人系列笔记本电脑，按台数统计每月销售量平均增长20％，1996年12月份销售了120台，按此速度下去，预计1997年3月份比l月份多销售多少台?(按四舍五入计算)。
10．一辆汽车的速度是每小时50千米，现有一块每5小时慢2分的表，若用该表计时，测得这辆汽车的时速是多少?(得数保留一位小数) 11．图2中有九个方格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。
问：图中左上角的数是多少?12．甲管注水速度是乙管的一倍半，同时开放甲、乙两个水管向游泳池注水，12小时可注满。
现在先开甲管向游泳池注水若干小时，剩下的由乙管注9小时将游泳池注满，问：甲管注水时间是多少?13．威力集团生产的某种洗衣机的外形是长方体，装衣物部分是圆柱形的桶，直径40厘米，深36厘米，已知该洗衣机装衣物的空间占洗衣机体积的25％，长方体外形的长为52厘米，宽50厘米。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：假设法（练习无答案）全国通用
六年级下册奥数讲义-奥数⽅法：假设法（练习⽆答案）全国通⽤对于某些数学问题，可以根据题⽬中的已知条件或结论作出某种假设，然后依据假设进⾏分析推理，这种解题⽅法叫做假设法。
假设思维是⼀种常⽤的推测性的辩证思维，它要求⼈们在错综复杂的数量关系中，找出能起主导作⽤的某⼀数量或某⼀等量关系，以显现可求解的对应关系，从⽽确定解题思路。
常⽤的假设有条件假设、问题假_设、单位假设及情境假设等。
⽤假设法解题的思维过程分为三步：第⼀步对题⽬中的部分条件进⾏假设，第⼆步由假设导出⽭盾，第三步分析产⽣⽭盾的原因，原因找到后，问题也就解决了。
【例1]有五堆苹果，较⼩的三堆平均有18个苹果，较⼤的两堆，苹果数之差为5个，⼜，较⼤三堆平均有26个苹果，较⼩的两堆苹果数之差为7个。
最⼤堆与最⼩堆平均有22个苹果。
则每堆各有个苹果。
分析与解答根据题意按从⼤到⼩⽤字母表⽰如下：abcde，因为a，b，c的平均数是26，所以b应接近26，则a=26+5=31，e=22×2-31=13，d=13+7= 20。
c=18×3-13-20=21，符合题意，故每堆有(从⼤到⼩)31、26、21、20、13。
[例2] 绕湖的⼀周是22千⽶，甲、⼄⼆⼈从湖边某⼀地点同时出发反向⽽⾏，甲以4千⽶／⼩时的速度每⾛1⼩时后休息5分钟，⼄以6千⽶／⼩时的速度每⾛50分钟后休息10分钟，则两⼈从出发到第⼀次相遇⽤分析与解答如图1所⽰，包括休息时间，甲65分钟⾛4千⽶，⼄60分钟⾛5千⽶(⼄以60千⽶／⼩时的速度⾛50分钟只能⾛5千⽶)。
剩下的路程两⼈共同⾛完需：(22-19)÷(4+6)=0．3(⼩时)=18(分钟)故两⼈从出发到第⼀次相遇⽤时：65×2+18=148(分钟)。
[例3】⼩⽞和⼩斌⼀起跳绳，⼩⽞先跳了2分钟，然后两⼈各跳了3分钟，⼀共跳了780下，已知⼩⽞⽐⼩斌每分钟多跳12下，问⼩⽞⽐⼩斌多跳了多少下?周『-路剖析因为本题中有些数量关系⽐较隐蔽，如果对已知条件作出假设，就能顺利找到解此题的途径和答案了。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：植树问题(练习无答案)全国通用
植树问题一般是指以植树为内容，研究总距离、棵数、株距、段数等数量关系的问题，其中株距是指相邻两棵树的距离。
植树问题与形成的图形有着密切的关系，图形不同，上述四个量之间的关系就略有不同，解题方法也就不同。
下面，我们先大体介绍一下四种最简单、最基本的植树问题。
为了形象直观，我们用图示法来说明，用点表示树，用线表示植树的沿线。
这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭曲线上的点数与相邻两点之间线段之间的关系问题。
1．非封闭曲线的两端都有点，如图1所示。
棵数=段数+1或段数=棵数一12．非封闭曲线只有一端有点，如图2所示。
棵数=段数3．非封闭的两端都没有点，如图3所示。
棵数=段数-l或段数=棵数+1 4．封闭曲线上，如图4所示。
棵数=段数实际上，许多应用题我们都可以转化或借助植树问题来解答。
[例1】一条小路长30米，在路一侧从一端开始，每5米栽一棵杨树，一共可栽多少棵(图5)?思路剖析小路全长30米，每5米分一段，刚好分成30÷5=6段。
因为从路的一端开始栽树，到尽头时还可栽一棵，所以栽树的总棵数等于段数加1。
解答30÷5+1=6+1=7(棵)．答：一共可栽7棵杨树。
．[例2】一段公路的两侧连两端在内共有92棵树，同一侧的每两棵树中间的距离是4米，问：这段公路长多少米?解答(1)每侧有：92÷2=46(棵)(2)每侧共被分成：46-1=45(段)(3)这段公路长：4×45=180(米)答：这段公路长为180米。
[例3】操场的直跑道长100米，在跑道的一旁等距离插了21面旗帜。
每两面旗帜之间相距多少米?思路剖析和前面2个例题相比较，这是一道植树问题的类似题，只不过知道旗帜数，要求跑道长。
因为连两端在内共有21面旗帜，所以有20个间隔。
求每两面旗帜之间的距离就是求每个间隔的长度。
解答100÷(21-1)=100÷20=5(米)答：每两面旗帜之间相距5米。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：交集法
有些数学题目的问题所求,是由几个条件共同决定的,这时我们可以对每一条进行分别考虑,然后再求满足所有条件的情况。
在考虑问题时,我们把满足每一个条件的情况称为一个集合,用一个圈表示。
那么这些圈的交叉重叠部分就是同时满足这几个条件公共部分,称为交集。
用这种思考方法解题叫做交集法。
另一方面,在运用交集法解题的过程中,常要考虑由于重复、相互包含而引起的多加的数学问题,即包含与排除的问题,也就是常说的“容反”原理。
同时,用交集法解题,要善于使用形象的图示帮助理解题意,搞清数量关系和逻辑关系。
[例1】有50个学生,他们穿的裤子是白色的或黑色的,上衣是蓝色或红色的。
若有14人穿的是蓝色上衣白裤子,31人穿黑裤子,18人穿红上衣,那么穿红上衣黑裤子的学生有分析与解答50个学生中,有14人穿的是蓝色上衣白裤子,则剩下的50-14=36 (人)穿的是红上衣白裤和蓝上衣黑裤子,红上衣黑裤子,又知31人穿黑裤子,则剩下36-31=5(人)穿红上衣白裤子,又知穿红上衣有18人,故18-5=13(人)穿红上衣黑裤子。
[例2】 100名学生,有音乐爱好者53人,体育爱好者72人,那么音乐、体育都爱好的学生至少有几人?至多有几人?思路剖析这100名学生可以分成4部分：①爱好音乐而不爱好体育的同学；②爱好体育而不爱好音乐的同学；③既爱好体育又爱好音乐的同学；④既不爱好音乐又不爱好体育的同学。
如图l所示。
①+③表示爱好音乐的同学53人,②+③表示爱好体育的同学72人。
由于①+②+③+④=100,即有(①+③)+(②+③)-③+④=100,53+72-③+④=100,故有③=25+④。
由③=25+④知,当既不爱好音乐又不爱好体育的人数为0时,既爱好音乐又爱好体育的人数最少为25人。
因为音乐爱好者53人,体育爱好者72人,53<72,所以音乐、体育都爱好的学生至多有53人。
解答53+72-100=25(人)……音乐、体育都爱好的学生最少人数因53<72,所以音乐、体育都爱好的学生至多有53人。
六年级下册数学试题-奥数讲义：第01讲 四则运算(上) (无答案)全国通用
第一讲四则运算（上）1、掌握用“凑整”、“分组”、“抵消”等数学思想进行简单的计算；2、根据题目的类型，合理选择速算和巧算方法和技巧；3、引导学员发现计算的简洁性，培养学员对计算的兴趣。
巩固加减法运算中的各种计算技巧：1、凑整；2、带着符号搬家；3、加减相消；4、数的分拆和合并；5、轮换数的计算；6、加减法运算中添、去括号的法则。
借用这些方法，来简化运算。
计算：（1）280－24－76－65－35（2）267－162＋84－38－147＋126计算：（1）246＋462＋624－888（2）125－24＋251－240＋512－402讲演者：得分：讲演者：得分：计算：11＋192＋1993＋19994＋199995所得结果的数字之和是多少？如图，除第一行外，每个圆圈中的数都等于它上面两个圆圈中数的和，请计算最下面的圆圈中应填的数。
计算：（1）100＋99－98＋97－96＋95－94＋…＋5－4＋3－2＋1（2）2004＋2003－2002－2001＋2000＋1999－1998－1997＋…＋8＋7－6－5＋4＋3－2－1已知1234＋2345＋3456＋4567＋5678－6543－5432－4321的计算结果是984。
请问：1244＋2355＋3466＋4577＋5688－6513－5412－4311的计算结果是多少？计算：（1）12345＋23451＋34512＋45123＋51234（2）（56789＋67895＋78956＋89567＋95678）÷7计算：8457－（7630－4578）＋（7845－3076）－（6307－5784）－763计算：（1）21－20＋19－18＋17－16＋15－14＋13－12＋11（2）100＋102－104＋106－108＋110－112＋114－116＋118计算：（1234＋2341＋3412＋4123）÷（1＋2＋3＋4）计算：3355＋4466＋9977－3366－4477－9955将同学们编为两组，做脑筋急转弯的游戏，一组出题，另一组回答，轮流进行。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：平均数(练习无答案)全国通用
专题3平均数在日常生产和生活中，经常可以遇到很多平均数问题，如：几个同学的平均身高；几门功课的平均成绩；一周的平均气温；平均亩产量；汽车的平均速度等。
把几个不相等的数，在总和不变的情况下，移多补少，使它们完全相等，所得的相等数，叫做这几个数的平均数，这样的问题就叫做平均数问题。
平均数问题的基本解法是：先求出几个数的总数量以及总的份数，然后再用总数量除以总份数，得到平均数，即：总数量÷总份数=平均数这个基本数量关系式还可以写成另外两种形式，即：平均数×总份数=总数量总数量÷平均数：总份数所以，对于这三个量，只要知道其中任意两个量，就可以求出第三个量。
另外要注意的是：“平均数”是“移多补少”的结果，所以平均数的数值范围有固定的特点：不能大于最大数，也不能小于最小数。
[例l】有两组数，第一组16个数的和是98，第二组的平均数是11，两组中所有数的平均数是8，则第二组有几个数。
分析与解答设第二组数有x个98+llx=8×(16+x)3x=30x=10 故第二组有10个数。
[例2] 小明期末考试语文、数学、思想品德、体育、音乐五科成绩分别是95、100、90、85、80分，问小明这五科平均成绩是多少分思路剖析由于五科成绩已经知道，故可以得出小明在期末考试中五科的总成绩是（95+100+90+85+80）=450（分）现在我们需要求的是这五科的平均成绩，也就是把五科的总成绩平均分成五份取其中的一份，这就是这五科的平均成绩。
要求小明五科的平均成绩，首先应把五科的总成绩和考试科目的总数求出来。
五科的总成绩为：95+100+90+85+80=450(分)五科的平均成绩为：450÷5=90(分)答：小明这五科的平均成绩是90分。
[例3] 有五个数的平均数为30，如果把其中一个数按60计算，则平均数变为40，求这个数原来是多少?思路剖析可以这样想，先求出总数增加了多少，总数增加的数值，实际上就是把某数按60计算是比原来多算的数值，这样，我们就可以求出原来的数了。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：消去法(练习无答案)全国通用
在一道题中，有两个或两个以上的未知量，解题时通过一定的方法，消去一些未知量，只保留一个未知量，这种类型的问题，叫做消去问题；解决这类问题的方法，就叫做消去法。
消去法一般分为加减消去法、比较消去法和代入消去法三类。
但不管是哪种消去法，我们的解题目的和解题步骤是一样的，都是为了使一个问题中的未知量由多个转为一个，使得问题简化。
[例1】用甲、乙两种糖配成什锦糖，如果用3千克甲种糖和2千克乙种糖配成的什锦糖，比用2千克甲种糖和3千克乙种糖配成的什锦糖每千克贵1．32元，那么1千克甲种糖比1千克乙种糖贵元分析与解答为叙述方便，设1千克甲种糖需a元，1千克乙种糖需b元，依题意有：所以a-b=1．32×5=6．6(元)即l千克甲种糖比l千克乙种耱贵6．6元。
【例2】学校本学期买了6个足球和2个篮球，共付人民币540元，而上学期买了1个足球和2个篮球共付人民币240元。
请问一个篮球和一个足球的售价各是多少元?分析与解答用消去法解应用题，可以先整理条件。
6个足球 2个篮球共540元1个足球 2个篮球共240元从整理条件可以看出，两次买得篮球的个数相同，可以先消去篮球的个数。
两次买得足球的个数相差(6-1)个，两次付得人民币相差(540- 240)元，说明(6-1)个足球的售价刚好是(540-240)元，因此，可求出一个足球的售价，然后求出一个篮球的售价。
(1)一个足球的售价是：(540-240)÷(6-1)=300÷5=60(元)(2)一个篮球的售价是：(240-60)÷2=180÷2=90(元)或：(540-60×6)÷2=180÷2=90(元)答：一个篮球的售价是90元，一个足球的售价是60元。
[例3] 10头牛和2匹马每天吃草170千克，4头牛和10匹马每天吃草160千克，每头牛和每匹马各吃草多少千克?思路剖析按对应关系，排列题中条件：10头牛 2匹马每天吃草170千克4头牛 10匹马每天吃草160千克我们不难发现马每天吃草的数量有倍数关系存在，如果把10头牛和2匹马每天的吃草量扩大5倍，这时可有如下关系：50头牛 10匹马每天吃草850千克4头牛 10匹马每天吃草160千克这样我们就可以用减法消去马每天的吃草量，得到(50-4)：46头牛吃草(850-160)=690千克，所以每头牛每天吃草量是：690÷46=15(千克)，每匹马每天吃草量是：(170-15×10)÷2=10(千克)解答列综合算式为：牛每天吃苹量： (170×5-160)÷(10×5-4)=15(千克)马每天吃草量：(170-15×lO)÷2=10(千克)答：每头牛每天吃草15千克，每匹马每天吃草10千克[例4】开学时，学校第一次买来8张课桌和5把椅子，共付人民币330元，第二次又买来4张课桌和20把椅子，共付人民币480元。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：还原法(练习无答案)全国通用
有一类问题，告诉我们最后的结果，让我们从结果出发，根据已知条件和现有的知识，一步步倒着分析推理，直到退还到原来的出发点。
这类问题叫做还原问题；这样逆向推理，解决问题的方法叫做还原法(也叫倒推法)。
解决还原问题的基本思路是：一步一步退回去。
也就是说，原来加的，退回去用减；原来减的，退回去用加；原来乘的，退回去用除；原来除的，退回去用乘。
还原法的精髓就是先找原运算的逆运算。
原问题，所以根据我们的基本思路：一步步往回退，从结果5出发，做除的逆运算乘，接着做减的逆运算加，然后做乘的逆运算除，最后做加的逆运算减，即可得最初的数。
解答(1)如果没有除以5，这个数是：5×5=25(2)如果没有减去5，这个数是：25+5=30(3)如果没有乘以5，这个数是：30÷5=6(4)如果没有加上5，这个数是：6-5=1综合算式：(5×5+5)÷5-5=(25+5)÷5-5=30÷5-5=6-5=1答：这个数为1。
[例3] 小东在做整数加法运算时，把一个加数个位上的7看成了1，把另一个加数十位上的3看成了8，结果所得的和是342，请问这道题的正确答案应该是多少?思路剖析把个位上的7看成了l，那么和就减少了(7-1)=6，把十位上的3看成了8，那么和就增加了(8-3)×10=50，再根据加和减的互逆关系，把错误的和加上减少的，减去增加的，就可得出正确的答案。
解答要求这道题的正确答案是多少，可以先求出当把个位上7看成1时，和减少了多少，还需要求出当把十位上的3看成8时，和增加了多少?(1)把个位上的7看成1时，和减少了：7-l=6(2)把十位上的3看成8时，和增加了：【例‘1】李老师在黑板上写了若干个从l开始的连续正整数l，2，3，…然后擦掉其中一个，剩下的数的平均数是10．8。
那么，被擦掉的那个正整数是多少?分析与解答以上分数的分子表示去掉一个正数的和，分母表示个数。
六年级下册数学奥数讲义-分数、百分数应用题(二)(无答案)全国通用
1
，第二天比
2
【巩固】 迎 春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的 划产量的 16％．那么，原计划生产插秧机台．
56％，如果再生产 5040 台，总产量就超过计
【例 9】 某运输队运一批大米． 第一天运走总数的 1 多 60 袋，第二天运走总数的 1 少 60 袋．还剩下 220
5
4
袋没有运走。这批大米原来一共有多少袋？
我国人口是部分数， 世界人口就是单
位“ 1”。
解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“
1”就很容易了。
（二）、两种数量比较
分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是
带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通
常就作为标准量，也就是单位“ 1”。
分数、百分数应用题（二）
知识框架
一、 知识点概述：
分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一
方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”
之间的对应是解题的关键． 关键： 分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称
【例 6】 一个机关精简机构后有工作人员 120 人，比原来工作人员少 40 人，精简了百分之几？
【巩固】 小 强看一本书，每天看 15 页， 4 天后加快进度，又看了全书的 多少页？
2 ，还剩下 30 页，这本故事书有 5
【例 7】 有男女同学 325 人，新学年男生增加 25 人， 女生减少 5％，总人数增加 16 人，那么现有男同学 多少人？
六年级下册奥数讲义-奥数方法：数字游戏(练习无答案)全国通用
在这里讲的数学游戏主要有数学谜语、奇妙的幻方和破数阵三个部分。
数学谜语是一种有趣的数学问题，也是锻炼人的思维的体操，它对我们学习数学，提高分析问题的能力是非常有益的。
数学谜语的特点是给出运算式子，但式子中的数学有些是用字母或汉字来代表的，要求我们根据它们的关系和特征，进行恰当的判断和推理，从而确定这些字母或汉字所代表的数。
解题时，选择有特征的部分作为突破口是解答这类问题的关键；其次还可以采用试验、估算的方法。
幻方是我国丰富的文化遗产之一，在古代就有“河图”、“洛书”的传说。
到了宋朝，杨辉对幻方已有较深的研究。
把一些自然数填在纵横都相等的正方形内，使每一行、每一列和每一对角线上各个数之和都相等，这样的方阵图叫做幻方。
数阵是某些数按照一定的规律排列成的一种图形，它是由幻方演变出来的一种数学图。
做填数阵的题时，一般要注意交叉点上的数的填写。
【例2】某校人数是一个三位数，平均每个班级36人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人数比实际少180人，那么该校人数最多可以达到人。
[例3] 如图l是一个小数的除法竖式，其中算式中所注明的两个字母要求：A<曰，那么满足这个竖式的除数与商的和是分析与解答由竖式可知：商的中间一位是0，商的末位乘以除数应是整百数，又因为被除数的首位是6，所以商的首位和除数的首位必须大于7，不难推出除数是75，商的末位是4或8。
当商的末位是4时，A>B，当商的末位是8，商的首位是9时，A=l，B=5，符合题意。
所以除数和商的和为75+9．08=84．08。
【例4] 在口里填入合适的数，使算式成立。
分析与解答确定加法竖式和减法竖式中的数字，主要根据加法和减法的互逆运算关系。
各个数位上的加数都可以看作是和减去一个加数得到的，加或减时要注意进位和退位。
(1)和的个位数是8。
被加数的个位数是2，加数的个位数为8-2=6。
和的十位数是7，加数的十位数是4，被加数的十位数为7-4=3。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：图示法(练习无答案)全国通用
在解答数学问题时，可以用图形把题中的数量关系具体化，使较复杂问题的数量关系简单化，从而悟出解题思路。
这种运用直观图形来分析思考、求解的方法叫做图示法。
其特点是直观、可靠，便于分析数量关系，同时不受逻辑推导限制，思路灵活开阔。
常用的图示有实物图、示意图、线段图三种。
实物图图示法就是把题中的实物画成具体的图形，展示出题中数量关系，通过观察图形找出解题思路；示意图图示法是把题中数量关系用长方形、正方形、圆等示意图的形式来表示，通过观察，找出解题思路；线段图图示法是把题中数量关系用线段的形式表示出来，使题中较复杂的数量关系具体化、简单化，便于从中找出解题思路。
[例1] 一辆汽车往线路上运送电线杆，从出发地装车，每次拉4根，线路上每两根电线杆间距为50米，共运了两次，装卸结束后返回原地共3 小时，其中装一次车用30分钟，卸一根电线杆用5分钟，汽车运行时的平均速度是每小时24千米，则从出发点到第一根电线杆的距离是千米。
分析与解答如图l，汽车从A地(出发地)装上4根电线杆到达曰地，卸下后返回A地，又装上4根开往C地，卸下后并返回A地。
(每50米卸下一根。
)共用3小时，其中装车共用30×2=60分钟，卸电线杆用8×5：40分钟，所以汽车用于行驶的时间为3×60-60-40=80分钟可设从出发点到第一根电线杆的距离是x米远，则有方程：解之得：x=7750米=7．75千米即从出发点到第一根电线杆的距离是7．75千米。
[例2] 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛打乒乓球，每两人都要打一盘，到现在为止，甲已经打了4盘，乙打了3盘，丙打了2盘，丁打了l盘，问小强已经打了多少盘?思路剖析本题看上去比较抽象，关系较复杂，可利用关系图进行分析，即用点表示对象，用连结点的线条表示对象间的某种关系。
这样不仅直观、形象，而且能直接找到问题的答案。
解答我们将五个人看成五个“点”一两人比赛过，就用线条连结相应的两点。
六年级下册数学试题-奥数讲义：第02讲 和差倍问题(下)(无答案)全国通用
第一讲和差倍问题（下）1、巩固解决较复杂的和差倍问题和年龄问题，并熟练运用线段图分析数量关系，复习前一讲内容；2、培养学员的读题能力，会找“隐含量”，能理清多种数量彼此对应的关系；3、培养学员解决问题的能力，提高学员的信心。
差倍问题是大数、小数、倍数以及大小数之差四者之间发生的问题，所有的问题都离不开三个基本公式：两数差÷（倍数－1）＝小数（一倍数）小数×倍数＝大数（几倍数）小数＋两数差＝大数（几倍数）同和倍问题一样，解答差倍问题一般也是先确定较小的数为标准数（或称一倍数），再根据其他数与标准数之间的倍数关系确定两数差相当于标准数的多少倍，然后利用除法求出标准数，再求出其他各数。
为了更好的弄清楚题意，同样通常采用画线段图的方法。
年龄变化基本规律：1、两人年龄差不变2、两人年龄倍数关系不是一成不变的，它会随时间改变3、随着时间推移，两人年龄的增加量相等为了过冬，小白兔和小黑兔都储藏了一些胡萝卜。
已知小白兔储藏的胡萝卜数量是小黑兔储藏数量的3倍。
它们各吃了5个胡萝卜后，小白兔剩下的胡萝卜数量是小黑兔剩下数量的4倍。
那么它们剩下的胡萝卜共有多少个？小波问李老师今年有多少岁，李老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。
”你知道李老师今年多少岁吗？讲演者：得分：讲演者：得分：有50名学生参加联欢会，第一名到会的女生同全部的男生握过手，第二名到会的女生只差1名男生没有握过手，第三名到会的女生只差2名男生没有握过手，以此类推，最后一名到会的女生同7名男生握过手。
问：这些学生中有多少名男生？小巧原有的故事书是小胖的5倍，两人各再买10本，则小巧现有的故事书是小胖的3倍，小巧原来有故事书多少本？小胖现在有故事书多少本？黑、白棋子总共62枚，把他们分成3堆：在第一堆中，黑子数量正好是白子的2倍；在第二堆中，黑子数量则是白子的3倍；在第三堆中，黑子数量是白子的4倍。
如果第二堆白子是第一堆白子的2倍，第三堆黑子是第二堆总数的2倍。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：奇偶分析法(练习无答案)全国通用
我们知道，全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数和偶数两大类。
灵活运用奇偶数的一些性质，可以解决许多复杂而有趣的问题，这种解题方法就叫做奇偶分析法。
奇偶分析法常用于解决判定满足某些条件的事件是否存在的问题。
用奇偶分析法解题，需要用到奇偶数的许多性质，常用的有：(1)相邻的两个自然数总是一奇一偶；(2)偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数偶数±奇数=奇数，奇数±偶数=奇数；(3)偶数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数偶数×奇数=偶数。
[例1] 有四个互不相同的自然数，最大的数与最小的数之差是4。
最大数与最小数之积是奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，则这四个数的乘积是分析与解答由题意知，最大数与最小数之积是奇数，那么最大数和最小数要么是一奇一偶，要么是两奇，又知最大的数与最小的数之差是4，所以这两个数是两个奇数，并且四个数之和是最小的两位奇数，即ll，那么最大数和最小数可能是5和1，7和3，试验得只有5和1再加上3和2符合条件，即四个数的乘积是1×2×3×5=30。
[例2]在一间屋子里，有一百盏电灯排成一排，依从左到右的顺序编上号码1、2、3、4、…、99、100，每盏电灯上有一根拉线开关。
开始的时候，全部电灯是关着的。
有100个同学在门外排着队，第一个人走进屋来，把编号是1的倍数的电灯的开关都拉了一下(即把所有的电灯都打开了)；接着第二个人走进屋来，把编号是2的倍数的所有电灯的开关都拉了一下(即把2、4、6、…、98、100号电灯又关上了)；第三个人进来把编号是 3的倍数的所有电灯的开关再拉一下，……最后第100个人走进来，把编号是100的倍数的电灯开关拉了一下(即仅把第100号电灯的开关拉一下)。
这样做完之后，问哪些电灯还亮着?思路剖析一盏电灯最后是亮着还是不亮；由开关被拉的次数决定。
因为开始所有电灯是关着的，所以被拉了偶数次的电灯，最后仍是关着的；被拉了奇数次的电灯，最后则是亮着的。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：推倒法(练习无答案)全国通用
有些数学问题，从条件出发顺向思考很难找到答案，倘若倒过来考 虑，则容易得多。
而这种采用与事情发生过程相反的顺序思考的解题方 法叫做倒推法。
用倒推法分析数学问题，关键是要掌握数量之间运算的关系。
能用 倒推法求解的数学问题常常满足下列三个条件： (1)已知最后的结果；(2)已知在到达最终结果时每一步的具体过程或具体做法； (3)未知的是最初的数量。
用倒推法解题的步骤也是从最后得出的结果出发，按照原题运算的 逆运算，步步逆推，从而推算出原数。
[例1】 已知甲、乙、丙三个容器各盛水若干千克。
第一次把甲容器 的一部分水倒入乙、丙两容器，使乙、丙两容器内的水分别增加到原来的2 倍，第二次从乙容器把水倒入丙、甲两容器，使丙、甲两容器水分别增加到 第二次倒之前容器内水的2倍；第三次从丙容器把水倒入甲、乙两容器。
使甲、乙两容器内的水分别增加到第三次倒之前容器内水的2倍，这时各 容器内的水都为16千克。
问甲、乙、丙三个容器内原来各有水多少千 克?思路剖析根据题中条件，画一个表格，用倒推法进行逆运算。
所以由表1可知，甲、乙、丙三个容器原来的水依次为26千克、14千[例2] 某仓库原有化肥若干吨。
第一次运出原化肥的一半，第二次 运进450吨，第三次又运出现有化肥的一半又50吨，结果剩余化肥的2倍 是1200吨。
问仓库原有化肥多少吨? 思路剖析这道题由于原有化肥的总吨数是未知的，所以要想求解是很不容易 的。
根据题意画出图1。
根据图1用倒推法可知，“剩余化肥的2倍是1200吨”，就可以求出剩 余化肥的吨数；根据“第三次运出现有化肥的一半又50吨”。
和剩余化肥 的吨数，就可以求出现有化肥的一半是多少吨?进而可求出现有化肥的 吨数；用现有化肥的吨数减去第二次运进的450吨，就可以求出原有化肥 的一半是多少，最后再求出原有化肥多少吨? 解答(1)剩余化肥的吨数是：1200÷2=600(吨) (2)现有化肥的一半是：600+50=650(吨) (3)现有化肥的吨数是：650×2=1300(吨) (4)原有化肥的一半是：1300-450=850(吨)(5)原有化肥的吨数是．850×2=1700(吨)综合列式计算：[(1200÷2+50)×2-450]×2=[(600+50)×2-450]×2=(650×2-450)×2=(1300-450)×2=850×2=1700(吨)答：原有化肥为1700吨。
六年级下册数学试题-奥数讲义：第01讲 和差倍问题(上)(无答案)全国通用
第一讲和差倍问题（上）1、掌握解决较复杂的和差倍问题和年龄问题，并熟练运用线段图分析数量关系；2、培养学员的读题能力，会找“隐含量”，能理清多种数量彼此对应的关系；3、培养学员解决问题的能力，提高学员的信心。
和倍问题是大数、小数、倍数以及大小数之和四者之间发生的问题，所有的问题都离不开三个基本公式：两数和÷（倍数＋1）＝小数（一倍数）小数×倍数＝大数（几倍数）两数和－小数＝大数（几倍数）解答和倍问题一般先确定较小的数为标准数（或称一倍数），再根据其他几个数与标准数之间的倍数关系确定总和相当于标准数的多少倍，然后利用除法求出标准数，再求出其他各数。
为了更好的弄清楚题意，通常可采用画线段图的方法。
两个仓库共有存粮173吨，从第一个仓库运出38吨，第二个仓库的粮食是第一个仓库的2倍还多6吨，求第一个仓库、第二个仓库原有粮食各多少吨？A书架加上24本书时，书数正好与B书架上的书数相等。
B书架加上36本书时，书数等于A书架书数的3倍，A、B书架原来各有多少本书？讲演者：得分：讲演者：得分：水果店里有苹果和梨共123筐，已经卖出8筐苹果和15筐梨，剩下苹果的筐数正好比梨多2倍，水果店原有苹果和梨各多少筐？甲乙丙三个数的和为78，甲比乙的2倍多4，乙比丙的3倍少2，求甲乙丙各是多少？某家禽养殖场有鸡鸭鹅共1462只，其中鸡的数量比鸭的4倍还多132只，鹅的数量比鸭的2倍少70只，问该养殖场有鸡鸭鹅各多少只？某养鸡场的母鸡只数是公鸡只数的6倍，后来公鸡、母鸡各增加60只，母鸡的只数变为公鸡只数的4倍，则养鸡场原来一共养了多少只鸡？至慧学堂老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖。
她发给每个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖。
发完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的3倍。
那么共有多少个小朋友？11年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍，14年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，今年父亲多少岁，儿子多少岁？图书馆有语文书、数学书、英语书共72本。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：图示法(练习无答案)全国通用
在解决和差、和倍、差倍问题时，我们曾用线段图法。
这里所讲的图示法是线段图法的一个继续。
这一讲主要讨论相遇和追及问题。
解答相遇和追及问题时要熟练掌握路程、时间和速度之间的关系：路程=速度×时间时间=路程÷速度速度=路程÷时间相遇问题中要求甲、乙从不同地方出发相向而行，追及问题中要求甲、乙从同一地方或者不同地方出发但是沿着相同的方向行进。
[例1] 四名棋手每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得2 分，平一局得1分，负一局得0分。
比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至多有局平局。
分析与解答每两名选手都要比赛一局，共有6局比赛，由于比赛结果没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么不可能有4局平局，更不可能有5或6局平局，否则就会出现比分相同的情况。
至多有没有3局平局呢?可画图分析：(箭头方向表示胜一局)即甲、乙、丙丁四人分别得4，2，5，1分，有3局平局．【例2】甲、乙两个工程队合伙修一条路，全长为4960米，甲队从一靖起每天修45米，乙队从另一端起每天比甲队少修10米，两队在离中点多远处汇合?(示意图见图1)思路剖析这是一个相遇问题，我们已经知道“总路程”为4960米，只要知道乙队的修路速度就可以解决问题。
题中指出乙队每天比甲队少修10米，可以很容易得到乙队每天修多少米，从而知道经过多少天以后两队相遇，便可求出汇合点距离中点的距离。
解答(1)乙队每天修路：45-10=35(米)(2)甲、乙两队每天一共修路：35+45=80(米)(3)两队汇合所需要的天数：4960÷80=62(天)(4)甲队在这62天中修路的长度为：45×62=2790(米)(5)汇合点距离中点的距离：2790-(4960÷2)=2790-2480=310(米)综合算式：45×[4960÷(45+45-10)]-4960÷2=45×[4960÷80]-2480=45×62-2480=2790-2480=310(米)或者4960÷2-(45-10)×[4960÷(45+45-10)]=2480-35×[4960÷80]=2480-35×62=2480-2170=310(米)答：两队在距离中点310米处汇合。
第6讲 集合的运算(交集)(解析版)
第6讲：集合的运算（交集）【学习目标】1．理解两个集合的交集的含义．会求两个简单集合的交集；2．能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．【基础知识】一、交集【考点剖析】考点一：交集的运算（基础）例1．已知集合{}1,2A =，{}03,B x x x N =<<∈，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,3【答案】A 【详解】集合{}1,3A =，{}03,={12}B x x x N =<<∈，， 所以{1}AB =.故选：A.变式训练1：已知集合{1,0,1,2,3,4}A =-，{2,3,4,5,6,7}B =，则A B =（ ）A ．{1,0,1,2,3,4,5,6,7}-B ．{1,0,1}-C ．{2,3,4}D ．{5,6,7}【答案】C 【详解】{1,0,1,2,3,4}A =-，{2,3,4,5,6,7}B =， {2,3,4}A B ∴⋂=.故选：C变式训练2：已知集合()(){}=12|0A x x x -+≤，=3,2,1,0,1,2},3{B ---，则A B =（ ）A ．{2,1,0,1}--B ．{1,0}-C ．{1,0,1,2}-D ．{0,1}【答案】A 【详解】∵{|21}A x x =-≤≤，=3,2,1,0,1,2},3{B ---， ∴{2,1,0,1}AB =--.故选：A变式训练3：设集合{}516A x x =<<，{}3,4,6,7,9,12,13,16B =，则A B 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【详解】因为集合{}516A x x =<<，{}3,4,6,7,9,12,13,16B =， 所以则A B 中元素的个数为5个.故选：C.考点二：交集的运算（提升）例2．已知集合{}04A x x =≤<，{}2230B x x x =--≤，则A B =（ ）A ．{}14x x -≤< B ．{}10x x -≤≤C ．{}13x x -≤≤D ．{}03x x ≤≤【答案】D 【详解】{}04A x x =≤<，{}13B x x =-≤≤，∴[0,3]A B ⋂=，故选：D变式训练1：已知集合{13}p x x =<<，{24}Q x x =<<，则P Q =（ ）A ．{12}x x <≤B ．{23}x x <<C ．{34}x x ≤<D ．{14}x x <<【答案】B 【详解】因为集合{13}p x x =<<，{24}Q x x =<<，所以P Q ={23}x x <<，故选：B ．变式训练2：已知集合{}220A x x x =-≤，{}12B x x =<≤，则A B =（ ）A ．{|12}x x <≤B ．{|12}x x <<C ．{|02}x x ≤≤D ．{|01}x x <<【答案】A 【详解】因为{}{}22002A x x x x x =-≤=≤≤，{}12B x x =<≤，所以{}12A B x x =<≤.故选：A.变式训练3：已知集合{}{}22,430A x x B x x x =>=-+≤，则A B =（ ）A ．{}23x x ≤≤B ．{}23x x <≤C ．{}23x x <<D ．{}23x x ≤<【答案】B 【详解】集合{}{}243013B x x x x x =-+≤=≤≤，{}2A x x =>，故{}23A B x x ⋂=<≤. 故选：B.考点三：交集的运算（拓展）例3．已知集合{}31,A x x x Z =-<∈，{}2560,B x x x x Z =-+≤∈，则A B =（ ）A ．{}2,3B ．{}3C ．{}23x x <≤D ．{}2,3,4【详解】由|3|1x -<知 24x <<，又x ∈Z ， 所以{3}=A .由256(2)(3)0x x x x -+=--≤得23x ≤≤，又x ∈Z ， 所以{2,3}B =. 于是{3}AB =，故选：B.变式训练1：已知集合{}13A x x =-<，{}21,B x x x Z =>∈，则A B =（ ）A ．{}1,0,1,2,3-B ．{}2,3C ．{}1,2,3D ．{}1,0-【答案】B 【详解】()2,4A =-，{1B x Z x =∈<-或}1x >，所以{}2,3A B ⋂=.故选：B.变式训练2：已知集合()(){}320A x x x =-+＜，{}20B x x =-＞，则A B =（ ）A ．{}32x x --＜＜ B ．{}3x x ＞C ．{}4x x -＜D ．{}23x x ＜＜【答案】D 【详解】()(){}320(2,3)A x x x =-+=-＜,{}20(2,)B x x =-=+∞＞, (2,3)A B ∴=故选：D变式训练3：已知集合()(){}320A x x x =-++<，()(){}420B x x x =+->，则A B =（ ）A ．{4x x <-或3}x >B ．{}3x x >C ．{}4x x <-D ．{}32x x -<<-【详解】由题意{|2A x x =<-或3}x >，{|4B x x =<-或2}x >， 所以{|4AB x x =<-或3}x >．故选：A ．考点四：交集的运算（探究） 例4．集合(){},1,A x y y kx k R ==+∈，(){}22,2B x y xy =+=，则A B 的元素个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【详解】直线1y kx =+恒过定点()0,1M ，点()0,1M 在圆222x y +=内，所以直线1y kx =+与圆222x y +=有两个交点，集合AB 有两个元素.故选：B变式训练1：已知集合(){},1A x y x ==，(){},1B x y y x ==+，则AB =（ ）A ．{|12}x x <<B ．(){}1,2C ．{|1}x x ≥D ．{}1【答案】B 【详解】由11x y x =⎧⎨=+⎩得12x y =⎧⎨=⎩，所以{(1,2)}A B =． 故选：B ．变式训练2：已知集合(){},0A x y x y =-=，(){},1B x y x y =⋅=，则AB =（ ）A ．()(){}1,1,1,1--B ．(){}1,1C ．(){}1,1--D ．∅【答案】A 【详解】解：解01x y x y -=⎧⎨⋅=⎩得，11x y =-⎧⎨=-⎩或11x y =⎧⎨=⎩，()(){}1,1,1,1A B ∴=--．故选：A ．变式训练3：已知集合{(,),,}A x y x y N y x =∈<∣，{(,)6}B x y x y =+=∣，则AB 中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【详解】A B 中的元素必满足,x y N ∈，且6x y +=，∴AB 中的元素必在这七个元素中(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)，y x <，∴(4,2),(5,1),(6,0)为A B 中的元素，故选：B.考点五：交集求参例5．已知集合{}2230A x N x x *=∈--<，{}20B x ax =+=，若A B B =，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}1,2--B ．{}1,0-C ．2,0,1D ．{}2,1,0--【答案】D 【详解】{}{}22301,2A x N x x *=∈--<=，因为A B B =，所以B A ⊆，当0a =时，集合{}20B x ax φ=+==，满足B A ⊆； 当0a ≠时，集合{}220B x ax x a ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，由B A ⊆，{}1,2A =得21a -=或22a-=，解得2a =-或1a =-， 综上，实数a 的取值集合为{}2,1,0--.变式训练1：已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若{}1AB =，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【详解】 由{}1AB =，而233a +≥，故1a =，故选：B.变式训练2：（多选）设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =+=，若AB B =，则实数a 的值可以为（ ）A ．15-B ．0C ．3D ．13-【答案】ABD 【详解】A B B = ， B A ∴⊆，{}{}2|81503,5A x x x =-+== ，当0a =时，B =∅，符合题意； 当0a ≠时，1B a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭， 要使B A ⊆，则13a -=或15a-=， 解得13a =-或15a =-． 综上，0a =或13a =-或15a =-． 故选：ABD ．变式训练3：设集合{}{}290,30A x x B x x a =-≤=+≥，且{}13A B x x =≤≤，则a =（ ）A ．1-B ．3-C ．1D ．3【答案】B{}{}29033A x x x x =-≤=-≤≤，3a B x x ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭,由{}13A B x x ⋂=≤≤，所以13a-=，即3a =-. 故选：B.考点六：交集求参取值范围（一）例6．设集合{}05A x z x =∈<<，{}5B x a x =<<，若{}2,3,4A B =，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．[)1,2D ．[]1,2【答案】C 【详解】由题意，集合{}{}051,2,3,4A x z x =∈<<=，{}5B x a x =<<， 因为{}2,3,4AB =，则a 的取值范围是[)1,2.故选：C.变式训练1:已知集合{}2230P x x x =--≤，{}Q m =.若P Q Q ⋂=，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,3-B ．(],3-∞C ．(][),13,-∞-+∞D ．[]1,3-【答案】D 【详解】∵P Q Q ⋂=，∴Q P ⊆，又集合{}{}223013P x x x x x =--≤=-≤≤，{}Q m =，∴实数m 的取值范围是[]1,3-. 故选：D变式训练2：已知集合{}2430A x x x =-+≤，{}B x x a =>，若AB =∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)3,+∞B ．()3,+∞C ．(],1-∞D ．(),1-∞【答案】A 【详解】集合{}{}243013A x x x x x =-+≤=≤≤，{}B x x a =>， 因为AB =∅，所以3a ≥，故选：A.考点七：交集求参取值范围（二）例7．已知集合2{|120}A x x x =--≤，{|211}B x m x m =-<<+，且A B B =，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{|12}m m -≤<B ．{|13}m m -≤≤C ．{|2}m m ≥D ．{|1}m m ≥-【答案】D 【详解】因为2120x x --≤，所以34x -≤≤，所以[]3,4A =-， 又因为AB B =，所以B A ⊆，当B =∅时，B A ⊆满足，所以211m m -≥+，解得2m ≥；当B ≠∅时，若B A ⊆，则有221314m m m <⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，解得12m -≤<，综上可知：{|1}m m ≥-，故选：D.变式训练1：设集合{}220A x x x =--≤，集合{}21B x m x =<<，且B ≠∅. （1）若AB B =，求实数m 的取值范围；【答案】（1）1122m -≤< 【详解】（1）{}220A x x x =--≤{|12}x x =-≤≤， 因为A B B =，所以B A ⊆，又B ≠∅，所以2121m m <⎧⎨≥-⎩，解得1122m -≤<.变式训练2：设集合{|2}A x x =>，{}(1)(1)0B x x a x a =---+<，R a ∈. （1）当2a =时，求A B ；（2）若AB B =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}1x x >；（2）3a ≥. 【详解】解：（1）{}(1)(1)0B x x a x a =---+< 当2a =时，有{}2A x x =>，{}13B x x =<<， 所以{}1A B x x ⋃=>； （2）由AB B =，得B A ⊆，因为{}2A x x =>，{}11B x a x a =-<<+， 所以12a -≥，即3a ≥；变式训练3：已知集合{}211A x a x a =-<<+，{}01B x x =≤≤. （1）若1a =，求A B ；（2）若AB φ=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}02x x ≤<；（2）(][),11,-∞-+∞.【详解】（1）当1a =时，{}{}21112A x a x a x x =-<<+=<<，所以{}02A B x x ⋃=≤<. （2）因为A B φ⋂=，（i ）当211a a -≥+，即2a ≥时，A φ=，符合题意； （ii ）当A φ≠时，21121110a a a a -<+⎧⎨-≥+≤⎩或，解得12a ≤<或1a ≤-.综上所述，实数a 的取值范围是(][),11,-∞-+∞.【过关检测】1、已知集合{}2,1,0,1A =--，{}12B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】D 【详解】{}0,1A B =.故选：D.2、已知集合{21012}A =--,,,,，2{|1}B x x =≥，则A B =（ ）A ．{1,0,1}-B ．{2,1,1,2}--C ．{|1}1x x -≤≤D ．{|1x x ≤-或1}x ≥【答案】B 【详解】因为21x ≥，所以1≥x 或1x ≤-，所以{1B x x =≤-或}1x ≥， 所以{}2,1,1,2AB =--，故选：B.3、已知集合{}2A x x =<，{}234B x Z x x =∈-≤，则A B =（ ）A ．{}12x x -≤<B ．{}4x x ≤C ．{1,0,1}-D ．{1,0,1,2}-【答案】C 【详解】因为集合{}2A x x =<，{}{}{}234141,0,1,2,3,4B x Z x x x Z x =∈-≤=∈-≤≤=-， 所以{1,0,1}A B ⋂=-. 故选：C.4、已知集合{}3P x x =<，{}22Q xx =-<<∣，则（ ）A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．PQ P = D ．P Q Q ⋃=【答案】B 【详解】因为{}3P x x =<，{}22Q xx =-<<∣， 所以Q P ⊆，P Q Q ⋂=，P Q P =.故选：B.5、已知集合{0A x x =<或}2x >，{}14B x x =<<，则A B =（ ）A ．{}04x x ≤<B ．{}12x x <≤C ．{}14x x <<D ．{}24x x <<【答案】D 【详解】{}|24A B x x =<<.故选：D.6、已知集合{}31A x x =-<<，{}2340B x x x =--<，则A B =（ ）A ．{}31x x -<< B ．{}11x x -<<C ．{}12x x <<D ．{}32x x -<<【答案】B 【详解】由集合{}{}234014B x x x x x =--<=-<<， 又由{}31A x x =-<<，所以{}11A B x x ⋂=-<<.故选：B. 7、设集合{2,3,4}A ，集合{}230B x x x m =-+=∣．若{2}A B =，则B =（ ）A ．{1,2}-B ．{}1,0C ．{1,2}D ．{1,3}【答案】C 【详解】 由{2}AB =得2B ∈，即2x =是方程230x x m -+=的根，460m -+=所以2m =，{1,2}B =， 故选：C ．8、设集合{}1A x x =≥，{}210B x x mx =++≤，且{}12AB x x =≤≤，则实数m =（ ）A ．52-B ．52C ．32-D ．32【答案】A 【详解】若210x mx ++=的两个根分别为,l n 且l n <， ∴{|}B x l x n =≤≤且l n m +=-，1l n ⋅=， ∵{}12A B x x ⋂=≤≤，且{}1A x x =≥，∴12l n ≤⎧⎨=⎩， 综上，可得：52m =-. 故选：A.9、设集合{}260A x x x =--≤，{|20}B x x a =+≤，且{|22}A B x x =-≤≤，则a =（ ）A ．2B ．-2C ．-4D ．4【答案】C 【详解】260x x --≤，解得：23x -≤≤，即{}23A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，{}22A B x x ⋂=-≤≤，22a∴-=，解得：4a =-. 故选：C10、已知集合{}2230A x x x =--<，{}B x x a =>，若{}1A B x a x a =<<+，则a =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-1【答案】A 【详解】∵{}13A x x =-<<，{}B x x a =>，{}1A B x a x a ⋂=<<+， ∴13a +=，解得2a =. 故选：A.11、设{}12A xx =-≤≤∣，{}20B x x a =-≤∣，且{}11A B x x =-≤≤∣，则a 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【答案】B 【详解】由20x a -≤解得：2a x ≤，所以|2a B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭， 又{}12A x x =-≤≤∣，{}11A B xx =-≤≤∣，所以12a=,2a ∴=, 故选：B.12、设集合{}3,5A =，{}250B x x x m =-+=，满足{}2,3,5AB =.（1）求集合B ；（2）若集合{}10C x ax =-=，且满足B C C =，求所有满足条件的a 的集合.【答案】（1）{}2,3B =；（2）11{0,,}23. 【详解】 解：（1）∵{}2,3,5AB =，∴2B ∈，∴6m =， ∴{}2,3B =. （2）∵BC C =，∴C B ⊆，∴C 的可能情形为C =∅，{}2C =，{}3C =，{}2,3C =， 若C ≠∅，则0a =， 若{}2C =，则12a =， 若{}3C =，则13a =， 若{}2,3C =，显然不满足题意. ∴a 的取值集合为110,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭.13、已知集合{}2430A x x x =-+=，{}230B x x ax =-+=． （1）若A B B =，求实数a 的值； （2）若AB B =，求实数a 的取值范围．【答案】（1）4；（2）a -<<4a =. 【详解】{}2430A x x x =-+=={}1,3，（1）因为A B B ⋃=，所以A B ⊆， 所以1和3是230x ax -+=的两个实根， 所以13a +=，即4a =. （2）因为AB B =，所以B A ⊆，所以B =∅或{}1B =或{}3B =或{}1,3B =，当B =∅时，230x ax -+=无解，所以2120a ∆=-<，即a -<<， 当{}1B =时，230x ax -+=有且只有一个实根1x =，所以2130120a a -+=⎧⎨∆=-=⎩无解， 当{}3B =时，230x ax -+=有且只有一个实根3x =，所以29330120a a -+=⎧⎨∆=-=⎩无解， 当{}1,3B =时，230x ax -+=有2个实根1x =和3x =，所以13a +=，即4a =.综上所述：实数a 的取值范围是a -<4a =.14、已知集合{}2|320A x x x =-+=，{}22|2(1)(5)0B x x a x a =-++-=． （1）若{}2A B =，求实数a 的值； （2）若AB B =，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1a =-或5a =；（2）3a <-． 【详解】（1）∵{}2A B ⋂=，∴2B ∈，即2222(1)250a a -+⋅+-=，解得1a =-或5a =.当1a =-时，{}{}2|402,2B x x =-==-，{}1,2A =，满足{}2A B ⋂=当5a =时，{}{}2|122002,10B x x x =-+==，满足{}2A B ⋂=∴所求实数a 的值是1a =-或5a =． （2）∵AB B =，∴B A ⊆，即B 可能为∅，{}1，{}2，{}1,2当B =∅时，224(1)4(5)0a a ∆=+--<，解得3a <-当集合B 中只有一个元素时，224(1)4(5)0a a ∆=+--=，解得3a =-，此时{}{}2|4402B x x x =++==-，即集合B 不可能为{}1或{}2当{}1,2B =时，由根与系数的关系可知22(1)352a a +=⎧⎨-=⎩方程组无解，则B 不可能为{}1,2∴所求实数a 的取值范围是3a <-．15、已知集合{}(3)(21)0A x x x =-+>，{}132B x a x a =+≤≤-. （1）若1{|4}2A B x x =-<≤，求实数a 的值；（2）若AB B =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2；（2）53a <. 【详解】（1）由题意知不等式()()3120x x -+>， 解得：132x -<<， 即1|32A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭. ∵ 1{|4}2AB x x =-<≤，∴324a -=， 解得2a =，此时，{|34}B x x =≤≤，满足题意， ∴ 实数a 的值是2. （2）由AB B =知B A ⊆，①当B =∅时，321a a -<+，解得32a <，满足题意； ②当B ≠∅时，321323112a a a a ⎧⎪-≥+⎪-<⎨⎪⎪+>-⎩，解得3523a ≤< . 综上，实数a 的取值范围是53a <. 16、已知集合{|42}A x x =-≤≤，2{|450}B x x x =+->，{|11}C x m x m =-<<+. （1）求A B ；（2）若BC C =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|5A B x x =<-或4}x ≥-；（2）6m ≤-或2m ≥.【详解】（1）2{|450}{|5B x x x x x =+->=<-或1}x >，所以{|5A B x x =<-或4}x ≥-．（2）因为BC C =，所以C B ⊆，显然C ≠∅，所以15m +≤-或11m -≥，即6m ≤-或2m ≥．17、集合{|24}A x x =-<<，集合{|121}B x m x m =-<<+. （1）当2m =时，求A B ；（2）若AB B =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}25x x -<<；（2）3{|21}2m m m ≤--≤≤或 【详解】（1）当2m =时，集合{}{}12115B x m x m x x =-<<+=<<， 又{}24A x x =-<<， 所以{}25A B x x ⋃=-<<； （2）由AB B =，则B A ⊆，当B =∅时，有121m m -≥+，解得2m ≤-，满足题意；当B ≠∅时，应满足212214m m m >-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得312m -≤≤．综上所述，m 的取值范围是3{|21}2m m m ≤--≤≤或．18、已知全集=U R ，{|2A x x a =≤-或}x a ≥，{}250B x x x =-<.（I ）当1a =时，求A B ，A B ；（II ）若AB B =，求实数a 的取值范围.【答案】（I ）{}|15A B x x ⋂=≤<，{|1A B x x ⋃=≤-或}0x >；（II ）7a ≥或0a ≤ 【详解】（I ）当1a =时，{|1A x x =≤-或}1x ≥，{}{}250|05B x x x x x =-<=<<，则{}|15A B x x ⋂=≤<，{|1A B x x ⋃=≤-或}0x >； （II ）AB B =，即B A ⊆则25a -≥或0a ≤，即实数a 的取值范围是7a ≥或0a ≤19、已知集合{}2A x a x a =≤≤+，{}2280B x x x =--≤. （1）当3a =时，求A B ；（2）若AB A =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}25A B x x ⋃=-≤≤；（2）{}22a x -≤≤. 【详解】（1）3a =时，{}35A x x =≤≤，{}24B x x =-≤≤ ∴{}25A B x x ⋃=-≤≤ （2）∵A B A =，∴A B ⊆，∴224a a ≥-⎧⎨+≤⎩，即22a -≤≤，故a 的取值范围是{}22a x -≤≤.。
数学课件交集
1.3.1 交集
例3 设集合A={x| -2<x≤1}，集合B ={x|-1≤x < 3}．求Ａ∩B．
分析 将这两个集合在数轴上表示出来，图阴影部分即为两 个集合的交集．
解 A∩B={x|-2<x≤1}∩{x| -1≤x < 3}={x|-1≤x < 1}.
1.3.1 交集
由交集的定义可以推知, 对于任何集合A、B, 有
(1) A∩B= B∩A ； (2) A∩A=A ； (3) A∩∅=∅∩A=∅ ； (4) A∩B⊆A, A∩B⊆B.
1.3.1集合B={0,1,2}. 求A∩B． 2.设集合A={(x,y)|x-2y=1}, 集合B={(x,y)|x+2y=3}, 求A∩B． 3.设集合A ={x |x>-1}, 集合A ={x |x≤-2}, 求A∩B．
1.3.1 交集
例2 设集合A={(x,y)| x-y=1}, 集合B={(x,y)|x+y=5},求A∩B． 分析 集合A表示方程x-y=1的解集, 集合B表示方程x+y=5的解集.
所以两个集合的交集就是方程组
的解集.
解 解方程组
, 得到 , 所以 A∩B={(3,2)}．
1.3.1 交集
二元一次方程组的解集是一组有序实数对,可以用列 举法表示,也可以用描述法表示.如例2中的解集{(3,2)}的 用列举法表示的,也可以用描述法表示为{(x,y)|x =2,y=2}.
A∩B={2},
A∩B ={(2,1/2)}, A∩B =
再见
1.3.1
交集
1.3.1 交集
某班第一小组8位学生的登记表：
女生组成的集合为 M={5,6,7,8} ,
共青团员组成的集合为 N={1,3,5,7,8} .
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有些数学题目的问题所求，是由几个条件共同决定的，这时我们可以对每一条进行分别考虑，然后再求满足所有条件的情况。
在考虑问题时，我们把满足每一个条件的情况称为一个集合，用一个圈表示。
那么这些圈的交叉重叠部分就是同时满足这几个条件公共部分，称为交集。
用这种思考方法解题叫做交集法。
另一方面，在运用交集法解题的过程中，常要考虑由于重复、相互包含而引起的多加的数学问题，即包含与排除的问题，也就是常说的“容反”原理。
同时，用交集法解题，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系和逻辑关系。
[例1】有50个学生，他们穿的裤子是白色的或黑色的，上衣是蓝色或红色的。
若有14人穿的是蓝色上衣白裤子，31人穿黑裤子，18人穿红上衣，那么穿红上衣黑裤子的学生有
分析与解答
50个学生中，有14人穿的是蓝色上衣白裤子，则剩下的50-14=36 (人)穿的是红上衣白裤和蓝上衣黑裤子，红上衣黑裤子，又知31人穿黑裤子，则剩下36-31=5(人)穿红上衣白裤子，又知穿红上衣有18人，故18-5=13(人)穿红上衣黑裤子。
[例2】 100名学生，有音乐爱好者53人，体育爱好者72人，那么音乐、体育都爱好的学生至少有几人?至多有几人?
思路剖析
这100名学生可以分成4部分：①爱好音乐而不爱好体育的同学；②爱好体育而不爱好音乐的同学；③既爱好体育又爱好音乐的同学；④既不
爱好音乐又不爱好体育的同学。
如图l所示。
①+③表示爱好音乐的同学53人，②+③表示
爱好体育的同学72人。
由于①+②+③+④=
100，即有(①+③)+(②+③)-③+④=100，53+
72-③+④=100，故有③=25+④。
由③=25+④
知，当既不爱好音乐又不爱好体育的人数为0时，既
爱好音乐又爱好体育的人数最少为25人。
因为音乐爱好者53人，体育爱好者72人，53<72，所以音乐、体育都爱好的学生至多有53人。
解答
53+72-100
=25(人)……音乐、体育都爱好的学生最少人数
因53<72，所以音乐、体育都爱好的学生至多有53人。
答：音乐、体育都爱好的学生至少有25人，至多有53人。
[例3] 在某班48个学生中，每个学生至少会打乒乓球或羽毛球中的一种。
其中有的学生会打乒乓球，有的学生两种都会。
求会打羽毛球的学生有多少人?
思路剖析
依题意，48个学生中，包括三种人：只会打乒乓球的人；只会打羽毛球的人；两种全会的人。
所以我们只要求出会打乒乓球的人，就知道了会打羽毛球的人了。
解答
会打乒乓球的人数：
两样都会的人数：
所以会打羽毛球的人数：
48-28+12=32(人)
[例4] 如图2所示。
A、B、c分别代表面积为8平方厘米、9平方厘米、11平方厘米的三张不同形状的纸片。
它们重叠放在一起没盖住的面
积是18平方厘米。
并且A与B、B与C、C与A公共部分的面积分别为4 平方厘米、5平方厘米、3平方厘米。
求：A、B、C三个图形公共部分的面积是多少平方厘米?
思路剖析
为了说明方便，在图中加上①、②、③、④。
①、②、③是两层重叠；④是三层重叠。
弄清楚A与B相交部分是由②+④组成，B与C相交部分是③+④的和，A与C的公共部分是①+④的和。
解答
A+B+C=8+9+1l=28(平方厘米)
28-没盖住面积=①+②+③+④×2
28-18=10(平方厘米)
(①+④)+(②+④)+(③+④)=①+②+③+④×3
4+5+3=12(平方厘米)
①+②+③+④×3-(①+②+③+④×2)=④
12-10=2(平方厘米)
答：A、B、C三个图形公共部分的面积是2平方厘米。
[例5] 一个班有42名同学，其中有32人参加了文科知识竞赛，27 人参加了理科知识竞赛，文理科知识竞赛都没有参加的一个也没有，问：同时参加文理科知识竞赛的有多少人?
思路剖析
如图3所示，长方形的平面部分表示这个
班的全体同学，左边的圆面表示参加文科知识
竞赛的同学，右边的圆面表示参加理科知识竞
赛的同学，两个圆面的重叠部分表示同时参加
文、理科知识竞赛的同学。
由图3可知：
全班人数一文理科知识竞赛都未参加的人
数
：参加文科知识竞赛的同学人数+参加理科知识竞赛的同学人数一同时参加文、理科知识竞赛的同学人数
解答
设同时参加了文、理科知识竞赛的同学人数为x，
则： 32+27-x=42-0
所以 x=32+27-42
x=17(人)
答：同时参加文理科知识竞赛的同学有17人。
【例6】某班有学生45人，参加天文爱好小组、文学爱好小组和物理爱好小组的各20人、20人、15人。
其中同时参加天文爱好小组和文学爱好小组的有5人，同时参加文学爱好小组和物理爱好小组的有5人，同时参加物理爱好小组和天文爱好小组的有3人，并且全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个。
三个小组都参加的有多少人?
思路剖析
我们用图4帮助思考，用长方形的平面表示全体同学，用3个圆面分别表示参加天文爱好小组、文学小组和物理小组的学生，从中可以看出：全班人数=3个小组都未参加的人数+天文爱好小组人数+文学爱好小组人数+物理爱好小组人数一同时参加天文爱好小
组和文学爱好小组人数一同时参加天文爱好小组和物理
爱好小组的人数一同时参加文学爱好小组和物理爱好小组的人数+同时参加3个小组的人数。
解答
设同时参加3小组的人数为x．则
45=0+20+20+15-5-5-3+x
45=55-13+x
故x=45+13-55=3
答：三个小组都参加的有3人。
[例7】向阳区100个外语教师懂法语或德语，其中懂法语的75人。
既懂法语又懂德语的20人，问懂德语的有
多少?
思路舌_析
我们用交集法来求解，在图5中，左边
的圆圈表示懂法语的人，右边的圆圈表示
懂德语的人，中间相交部分表示既懂法语
又懂德语的人，图中阴影部分表示只懂法
语的人，由图5可知：
懂德语的人=只懂德语的人数+既懂法语又懂德语的人。
解答
依题意
只懂德语的人数：
100-75=25(人)
懂德语的人数：
25+20=45(人)
答：懂德语的有45人。
点津
用交集法解题的实质是用集合的思想来考虑数学问题，因此，正确理解集合的含义及集合之间的运算的意义是解题的关键。
利用正确的图形直观表示题中条件，有助于我们对问题的综合思考。
1．某学校开展课外活动，有400名学生踊跃报名。
其中有200名学生报名参加舞蹈班，有312名学生报名参加武术班，问两个班都报名参加的学生有多少人?
2．在1至100的整数中，能被2整除或能被3整除的整数共有多少个?
3．甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事，每个人都是从某一个故事开始按顺序往后读。
已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事。
那么甲、乙、丙共同读过的故事至少有多少个?
4．设A={1、2、3、4、5、6、7、8、9}，B={1、2、3、5、6}，C={1、5}，指出集合A、B、C之间的关系。
5．朝阳小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的。
现知道，五、六年级有25幅画。
问其他年级共有多少幅画?
6．甲、乙两班共有83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人。
问甲班和丁班共多少人?
7．某班学生中骑车、游泳、打球每人至少会一项，其中会骑车的有29 人，会游泳的有25人，会打球的有37人；同时会骑车和游泳的有15人，同时会游泳和打球的有13人，同时会骑车和打球的有16人，同时会这三项
的有7人，问全班共有学生多少人?
8．从1到500的整数中，不能被3整除，也不能被5整除的数有多少? 9．某班参加田径运动会各类项目的人数统计如下：，参加田径赛项目的有15人；(A)
参加跳类项目的有13人；(B)
参加投掷项目的有14人；(C)
既参加径赛、又参加跳类项目的有4人：
既参加跳类、又参加投掷类项目的有5人；
既参加投掷、又参加径赛项目的有6人；
三类项目都参加的有2人。
求这个班参加运动会比赛的总人数。
10．在50名女学生中，穿的都是红裙子或黄裙子，白上衣或花上衣。
穿黄裙子的有31人，穿白上衣的有18人，穿红裙子和花上衣的有14人，问穿黄裙子和白上衣的有多少人?。